SOLUCIÓN: 3er EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICAS. El valor de los reactivos 1 al 7 es de 1 punto; el reactivo 8 es 8 puntos y 5 puntos el reactivo 9.

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(1)

UAM-X 1 2010

SOLUCIÓN: 3er EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICAS

El valor de los reactivos 1 al 7 es de 1 punto; el reactivo 8 es 8 puntos y 5 puntos el reactivo 9.

1. Explique qué significa la estacionariedad débil

Un proceso estocástico se dice estacionario en un sentido débil si su media y varianza son constantes en el tiempo y si además el valor de su covarianza entre dos momentos del tiempo cualesquiera depende solamente de la distancia o del rezago entre los dos períodos y no el tiempo actual en los cuales se calcula está covarianza.

2. Qué es una serie de tiempo integrada.

Si una serie de tiempo tiene que ser diferencida “d” veces antes de que se vuelva estacionaria, la serie es integrada de orden “d”, lo cual se denota como I(d). En su forma sin diferenciar, tal serie de tiempo es no estacionaria.

3. ¿Cuál es el significado de raíz unitaria?

En términos generales, la concepto de raíz unitaria significa que una serie de tiempo dada es no estacionaria. Un poco más técnicamente, el término se refiere a la raíz del polinomio del operador del rezago el cual no converge y hace que la serie no converga y presente un comportamiento “explosivo”.

4. ¿Cuál es el significado de cointegración?

Dos variables se dicen cointegradas si hay una relación estable de largo plazo entre ellas, aun cuando cada variable individualmente sea no estacionaria. En ese caso la regresión de una variable versus la otra no otorga resultados espurios.

5. Explique la diferencia entre un proceso estacionario en tendencia y un proceso estacionario en diferencias

La mayoría de las series de tiempo económicas muestran tendencias: Si tales tendencias resultan perfectamente predecibles, se denomina deterministas. Si ése no es el caso, las llamamos estocásticas. Parte considerable de las series de tiempo no estacionarias exhiben una tendencia aleatoria.

6. ¿Qué es un modelo de caminata aleatoria?

(2)

UAM-X 2 2010

Una caminata aleatoria es un ejemplo de un proceso no estacionario. Si una variable sigue una caminata aleatoria significa que su valor de hoy igual a su valor en el periodo de tiempo anterior más un choque aleatorio (término del error). En tales situaciones, no es posible pronosticar el curso de tal variable en el tiempo. Los precios de las acciones o los tipos de cambio son ejemplos típicos del fenómeno de caminata aleatoria.

7. “Para un proceso estocástico de caminata aleatoria, la varianza es infinita ¿Está de acuerdo ¿ Por qué?

Es cierto. La prueba se describe en Gujarati y Porter (2010: 742) así como en las diapositivas entregadas.

8. Los gráficos que se muestran en la pagina siguiente corresponden a las series de tiempo:

tipo de cambio (TC), oferta de dinero (M2), ventas de refrigeradores (REFRI) e inmigrantes para diferentes países.

a) señale el patrón observado en cada una de estas series.

b) tomando en cuenta su ACF señale cuales son estacionarias.

Véase directamente en los gráficos

(3)

UAM-X 3 2010 TC México

M2 EUA

REFRI EUA

INMIG EUA

0510Mexico

1985 1990 1995 2000 2005

tiempo

-1.00-0.500.000.501.00Autocorrelations of mexico

0 2 4 6 8 10

Lag Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands

050010001500m2

1960m1 1970m1 1980m1 1990m1 2000m1 2010m1

t

-1.00-0.500.000.501.00Autocorrelations of m2

0 10 20 30 40

Lag Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands

10001200140016001800FRIG

1978q1 1980q1 1982q1 1984q1 1986q1

t

-0.500.000.50Autocorrelations of frig

0 5 10 15

Lag Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands

0200000400000600000800000inmig

1800 1850 1900 1950

tiempo

-0.40-0.200.000.200.400.60Autocorrelations of inmig

0 10 20 30 40

Lag Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands

No estacionaria ya que muestra tendencia

Para una serie estacionaria su ACF debe decaer”

rápidamente a cero.

No estacionaria ya que muestra tendencia

Para una serie estacionaria su ACF debe decaer”

rápidamente a cero.

No estacionaria ya que muestra varianza no constante

Para una serie estacionaria su ACF debe decaer”

rápidamente a cero.

No estacionaria ya que muestra tendencia y varianza no constante

Para una serie estacionaria su ACF debe decaer”

rápidamente a cero.

(4)

UAM-X 4 2010

(5)

UAM-X 5 2010

9. Dada la serie de tiempo siguiente:

53 43 66 48 52 42 44 56 44 58

41 54 51 56 38 56 49 52 32 52

59 34 57 39 60 40 52 44 65 43

a) grafique la serie.

3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 Y

0 10 20 30

t

b) calcule el coeficiente de correlación para el primer rezago.

Empleando la formula de Gujarati y Porter (2010:749) se tiene

=

= +

=

= n

t t k n

t

k t t

k k

Y Y

Y Y Y Y

1

2 1

0 ( )

) )(

( ˆ

ˆ ˆ

γ

ρ γ

(6)

UAM-X 6 2010

Para ρ ˆ 1 se tienen los siguientes cálculos:

t Y

t

Y

t-1

(Y

t

- Ybar) (Y

t-1

- Ybar) (Y

t

- Ybar)

2

(1) (2) (3) (4) (5) (6)=(4)

2

(7)=(4)*(5)

1 53 - 3.6667 13.4444 -

2 43 53 -6.3333 3.6667 40.1111 -23.2222 3 66 43 16.6667 -6.3333 277.7778 -105.5556 4 48 66 -1.3333 16.6667 1.7778 -22.2222

5 52 48 2.6667 -1.3333 7.1111 -3.5556

6 42 52 -7.3333 2.6667 53.7778 -19.5556 7 44 42 -5.3333 -7.3333 28.4444 39.1111 8 56 44 6.6667 -5.3333 44.4444 -35.5556 9 44 56 -5.3333 6.6667 28.4444 -35.5556 10 58 44 8.6667 -5.3333 75.1111 -46.2222 11 41 58 -8.3333 8.6667 69.4444 -72.2222 12 54 41 4.6667 -8.3333 21.7778 -38.8889

13 51 54 1.6667 4.6667 2.7778 7.7778

14 56 51 6.6667 1.6667 44.4444 11.1111 15 38 56 -11.3333 6.6667 128.4444 -75.5556 16 56 38 6.6667 -11.3333 44.4444 -75.5556 17 49 56 -0.3333 6.6667 0.1111 -2.2222 18 52 49 2.6667 -0.3333 7.1111 -0.8889 19 32 52 -17.3333 2.6667 300.4444 -46.2222 20 52 32 2.6667 -17.3333 7.1111 -46.2222 21 59 52 9.6667 2.6667 93.4444 25.7778 22 34 59 -15.3333 9.6667 235.1111 -148.2222 23 57 34 7.6667 -15.3333 58.7778 -117.5556 24 39 57 -10.3333 7.6667 106.7778 -79.2222 25 60 39 10.6667 -10.3333 113.7778 -110.2222 26 40 60 -9.3333 10.6667 87.1111 -99.5556 27 52 40 2.6667 -9.3333 7.1111 -24.8889 28 44 52 -5.3333 2.6667 28.4444 -14.2222 29 65 44 15.6667 -5.3333 245.4444 -83.5556 30 43 65 -6.3333 15.6667 40.1111 -99.2222

49.3333 2212.6667 -1342.1111

r 1 = -0.6066

(7)

UAM-X 7 2010

Con Stata se pueden comprobar estos resultados:

corrgram y

LAG AC PAC Q Prob>Q [Autocorrelation] [Partial Autocor]

--- 1 -0.6066 -0.6178 12.179 0.0005 ----| ----|

2 0.3006 -0.0768 15.277 0.0005 |-- | 3 -0.3204 -0.3498 18.928 0.0003 --| --|

4 0.3189 -0.0266 22.682 0.0001 |-- | 5 -0.1087 0.1879 23.136 0.0003 | |- 6 -0.0991 -0.2009 23.529 0.0006 | -|

7 0.0522 -0.0893 23.643 0.0013 | | 8 -0.0269 -0.1206 23.674 0.0026 | | 9 0.1711 0.1761 25.013 0.0030 |- |- 10 -0.3074 -0.1960 29.548 0.0010 --| -|

11 0.2653 0.0138 33.106 0.0005 |-- | 12 -0.2590 -0.4167 36.682 0.0003 --| ---|

13 0.3821 0.5548 44.929 0.0000 |--- |---- c) Grafique a la serie contra su primer rezago. Comente.

gen y1=L.y sum y y1

Variable | Obs Mean Std. Dev. Min Max ---+--- y | 30 49.33333 8.734921 32 66 y1 | 29 49.55172 8.805786 32 66

sc y1 y, yline(49.55172) xline(49.33333)

(8)

UAM-X 8 2010

3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 y 1

30 40 50 60 70

Y

Se confirma el valor

de r

1

= -0.6066

(9)

UAM-X 9 2010

d) Calcule la ACF para k=1,2

Es aumentar a k=1 el coeficiente para k=2. Así, para ρ ˆ 2 se tienen los siguientes cálculos:

t Y

t

Y

t-2

(Y

t

- Ybar) (Y

t-2

- Ybar) (Y

t

- Ybar)

2

(1) (2) (3) (4) (5) (6)=(4)

2

(7)=(4)*(5)

1 53 - 3.6667 - 13.4444 -

2 43 - -6.3333 - 40.1111 -

3 66 53 16.6667 3.6667 277.7778 61.1111 4 48 43 -1.3333 -6.3333 1.7778 8.4444 5 52 66 2.6667 16.6667 7.1111 44.4444 6 42 48 -7.3333 -1.3333 53.7778 9.7778 7 44 52 -5.3333 2.6667 28.4444 -14.2222 8 56 42 6.6667 -7.3333 44.4444 -48.8889 9 44 44 -5.3333 -5.3333 28.4444 28.4444 10 58 56 8.6667 6.6667 75.1111 57.7778 11 41 44 -8.3333 -5.3333 69.4444 44.4444 12 54 58 4.6667 8.6667 21.7778 40.4444 13 51 41 1.6667 -8.3333 2.7778 -13.8889 14 56 54 6.6667 4.6667 44.4444 31.1111 15 38 51 -11.3333 1.6667 128.4444 -18.8889 16 56 56 6.6667 6.6667 44.4444 44.4444 17 49 38 -0.3333 -11.3333 0.1111 3.7778

18 52 56 2.6667 6.6667 7.1111 17.7778

19 32 49 -17.3333 -0.3333 300.4444 5.7778

20 52 52 2.6667 2.6667 7.1111 7.1111

21 59 32 9.6667 -17.3333 93.4444 -167.5556 22 34 52 -15.3333 2.6667 235.1111 -40.8889 23 57 59 7.6667 9.6667 58.7778 74.1111 24 39 34 -10.3333 -15.3333 106.7778 158.4444 25 60 57 10.6667 7.6667 113.7778 81.7778 26 40 39 -9.3333 -10.3333 87.1111 96.4444 27 52 60 2.6667 10.6667 7.1111 28.4444 28 44 40 -5.3333 -9.3333 28.4444 49.7778 29 65 52 15.6667 2.6667 245.4444 41.7778 30 43 44 -6.3333 -5.3333 40.1111 33.7778

49.3333 2212.6667 665.1111

r 2 = 0.3006

(10)

UAM-X 10 2010

-0.7000 -0.6000 -0.5000 -0.4000 -0.3000 -0.2000 -0.1000 0.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000

1 2

Los resultados queda confiramdos en Stata

corrgram y

-1 0 1 -1 0 1 LAG AC PAC Q Prob>Q [Autocorrelation] [Partial Autocor]

--- 1 -0.6066 -0.6178 12.179 0.0005 ----| ----|

2 0.3006 -0.0768 15.277 0.0005 |-- | 3 -0.3204 -0.3498 18.928 0.0003 --| --|

4 0.3189 -0.0266 22.682 0.0001 |-- | 5 -0.1087 0.1879 23.136 0.0003 | |- 6 -0.0991 -0.2009 23.529 0.0006 | -|

7 0.0522 -0.0893 23.643 0.0013 | | 8 -0.0269 -0.1206 23.674 0.0026 | | 9 0.1711 0.1761 25.013 0.0030 |- |- 10 -0.3074 -0.1960 29.548 0.0010 --| -|

11 0.2653 0.0138 33.106 0.0005 |-- | 12 -0.2590 -0.4167 36.682 0.0003 --| ---|

13 0.3821 0.5548 44.929 0.0000 |--- |----

r

AC

(11)

UAM-X 11 2010 t Y

t

Y

t+1

(Y

t

- Ybar) (Y

t+1

- Ybar) (Y

t

- Ybar)

2

(1) (2) (3) (4) (5) (6)=(4)

2

(7)=(4)*(5)

1 53 43 3.6667 -6.3333 13.4444 -23.2222

2 43 66 -6.3333 16.6667 40.1111 -105.5556

3 66 48 16.6667 -1.3333 277.7778 -22.2222

4 48 52 -1.3333 2.6667 1.7778 -3.5556

5 52 42 2.6667 -7.3333 7.1111 -19.5556

6 42 44 -7.3333 -5.3333 53.7778 39.1111

7 44 56 -5.3333 6.6667 28.4444 -35.5556

8 56 44 6.6667 -5.3333 44.4444 -35.5556

9 44 58 -5.3333 8.6667 28.4444 -46.2222

10 58 41 8.6667 -8.3333 75.1111 -72.2222

11 41 54 -8.3333 4.6667 69.4444 -38.8889

12 54 51 4.6667 1.6667 21.7778 7.7778

13 51 56 1.6667 6.6667 2.7778 11.1111

14 56 38 6.6667 -11.3333 44.4444 -75.5556

15 38 56 -11.3333 6.6667 128.4444 -75.5556

16 56 49 6.6667 -0.3333 44.4444 -2.2222

17 49 52 -0.3333 2.6667 0.1111 -0.8889

18 52 32 2.6667 -17.3333 7.1111 -46.2222

19 32 52 -17.3333 2.6667 300.4444 -46.2222

20 52 59 2.6667 9.6667 7.1111 25.7778

21 59 34 9.6667 -15.3333 93.4444 -148.2222

22 34 57 -15.3333 7.6667 235.1111 -117.5556

23 57 39 7.6667 -10.3333 58.7778 -79.2222

24 39 60 -10.3333 10.6667 106.7778 -110.2222

25 60 40 10.6667 -9.3333 113.7778 -99.5556

26 40 52 -9.3333 2.6667 87.1111 -24.8889

27 52 44 2.6667 -5.3333 7.1111 -14.2222

28 44 65 -5.3333 15.6667 28.4444 -83.5556

29 65 43 15.6667 -6.3333 245.4444 -99.2222

30 43 - -6.3333 - 40.1111 -

49.3333333 2212.6667 -1342.1111

r 1 = -0.606558

Figure

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Referencias

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