Grupos puntuales
Las operaciones de simetría que se pueden aplicar sobre una molécula forman un grupo.
Grupo: conjunto de elementos que obedecen ciertas reglas bajo una determinada ley de combinación.
Ejemplos de grupos:
-Números enteros si la regla de combinación es la adición algebraica (grupo infinito).
-Conjunto de vectores r = ai + bj + ck (i, j, k vectores no coplanares) bajo la adición vectorial.
-El conjunto de elementos 1, -1, i, -i si la regla de combinación es la multiplicación algebraica (i = (-1)1/2 ).
Las cuatro matrices:
, , ,
Cuando la regla de combinación es la multiplicación de matrices.
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
Grupos puntuales
Conjunto de operaciones de simetría que se pueden aplicar sobre una estructura molecular forman un grupo si la regla de combinación es la aplicación sucesiva de operaciones de simetría.
Cada una de estas operaciones lleva a la molécula a una posición indistinguible de la original el centro de masa permanece fijo ante la aplicación de todas las operaciones de simetría de este conjunto.
Los elementos de simetría asociados con las diferentes operaciones de simetría coinciden en al menos un punto (el que corresponde al centro de masa del sistema) Grupos puntuales En sistemas periódicos de tamaño infinito (cristales) algunas operaciones no dejan fijo ningún
punto Grupos espaciales.
Trípode (corresponde a NH3)
No hacer nada: E
Reflexión en el plano : Reflexión en el plano : Reflexión en el plano : Rotación por 2/3 alrededor del eje C3: C3
Rotación por 4/3 alrededor del eje C3 (o rotación 2/3 contra las manecillas del reloj ( )
'
σv σ'v
''
σv σ'v'
'' '
σv σ'v''
1 3 2
3 C
C
= C3 (la aplicación de seguida de es igual a la operación C3.
Los elementos aparecen una sola vez en cada fila o columna (teorema del rearreglo).
'
σvσ'v' ''
σv σ'v
Isomorfismo
Dos grupos G = A,B,C,… y G = A, B, C,… son isomórficos si existe una correspondencia uno a uno entre sus elementos
A A , B B
tal que si AB = C entonces AB = C y viceversa.
Grupos isomórficos tienen la misma tabla tienen la misma estructura aun cuando sus
elementos y/o la regla de combinación sean diferentes.
Ejemplo: los grupos G y G son isomórficos
G = 1, i, -1, -i (multiplicación ordinaria)
G = , , , (multiplicación de matrices)
Ambos obedecen la siguiente tabla de combinación (E, A, B, C de izquierda a derecha)
1 0
0 1
0 1
1 0
0 1
0 1
0 1
1 0
Isomorfismo correspondencia uno a uno entre los elementos de los dos grupos.
Homomorfismo Conserva la relación estructural
si AB = C entonces AB = C
pero dos o mas elementos de G pueden tener la misma imagen en G (se conserva la estructura, pero la identidad de cada elemento puede ser perdida).
Ejemplo:
Todo grupo G es homomórfico con el grupo G que consta sólo del número1 (multiplicación ordinaria).
si AB = C entonces 1x1 = 1
Algunas propiedade de los grupos
Orden de un grupo g número de elementos (grupos finitos e infinitos).
Los elementos de un grupo no necesariamente conmutan.
Si todos los elementos de un grupo conmutan entre sí, el grupo es abeliano.
PQR Q y R se combinan para dar algún otro elemento del grupo, el cual se combina con P.
Si P y Q son elementos del grupo entonces Q-1PQ pertenece al grupo.
Si R = Q-1PQ (para al menos un elemento Q del grupo) se dice que P y R son elementos conjugados.
equivalentemente QRQ-1 = QQ-1PQQ-1 = EPE = P
Si P es conjugado de Q y Q es conjugado de R entonces P y R son conjugados.
Si P = X-1QX y Q = Y-1RY P = X-1QX = P = X-1Y-1RY X = (YX)-1R(YX)
Si P es conjugado de Q y Q es conjugado de R entonces P y R son conjugados.
Si P = X-1QX y Q = Y-1RY P = X-1 Y-1RY X = (YX)-1R(YX)
YX = Z es elemento del grupo, P = Z-1RZ, por tanto P y R son conjugados.
Los elementos de un grupo que son conjugados entre sí forman una clase (gi es el número de elementos en la i-ésima clase.
Ejemplo: para el grupo del trípode
Tres clases: clase 1, gi = 1, E; clase 2, g2 = 3 ' , , y clase 3, g3= 2 σv σ'v' σ'v'' C ,3 C23
Dado que E conmuta con todos los elementos del grupo forma una clase por sí mismo.
Para todo Q que pertenece al grupo
Q-1EQ = EQ-1Q = E
Dado que existe E en el grupo, todo elemento P es conjugado de sí mismo E-1PE = E-1EP = P
Si P y Q son conjugados, sus inversas también son conjugadas (por tanto pertenecen a una misma clase)
P = X-1QX P-1 = (X-1QX)-1 = X-1(X-1Q)-1 = X-1Q-1X
El orden de la clase de un conjunto de elementos y de la clase de sus inversas es el mismo.
Para un grupo abeliano
X-1PX = PX-1X = PE = P cada elemento forma una clase por sí mismo (en este caso, el número de clases es igual al orden del grupo).
Reglas simples para clasificar en clases a los elementos de grupos puntuales:
1. Las operaciones de simetría E, i y h forman una clase cada una de ellas por sí mismas (conmutan con el resto de los elementos del grupo).
2. Las operaciones y su inversa forman parte de la misma clase si existe un plano de simetría que contenga al eje o un eje C2 perpendicular al eje .
En caso contrario, estas operaciones están en clases separadas.
Lo mismo se cumple para las operaciones y .
Demostración:
-1 = debe ser una rotación sobre el eje : la aplicación de las tres operaciones sólo deja invariantes a los puntos sobre este eje.
k
Cn C-kn
k
Cn Ckn
k
Sn Sn-k
k
Cn Ckn Ckn
Aplicación de la operación sobre un rectángulo que se encuentra sobre el plano de reflexión xz.
k
Cn
Entonces -1Ckn = por lo que están en la misma clase.C-kn
Si existe un eje de rotación C2 perpendicular a , entonces la operación es por lo que y están en la misma clase.
k
Cn C21CknC2 C-kn
k
Cn C-kn
3. Dos operaciones de simetría y están en una misma clase si existe una operación de simetría que mueva todos los puntos del plano al plano . Regla similar para las rotaciones no coincidentes y k' y para las rotaciones impropias y .
Cn k
Cn Skn Skn'
