El Campo Eléctrico. 1. Introducción. 2. El Vector Intensidad de Campo Eléctrico

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(1)

El Campo El´

ectrico

1.

Introducci´

on

− Definimos el campo el´ectricocomo aquella regi´on del espacio en la que cualquier carga situada en un punto de dicha regi´on experimenta una acci´on o fuerza el´ectrica.

− El campo el´ectrico, introducido por primera vez por Faraday en la primera mitad del siglo XIX, constituye frente a la ley de Coulomb una forma nueva de describir la interacci´on entre dos cargas el´ectricas en reposo:

la ley de Coulomb es una ley de acci´on a distancia, como la ley de la gravitaci´on uni-versal de Newton para la interacci´on gravitatoria entre dos masas puntuales: seg´un la ley de Coulomb, cuando tenemos una cierta carga puntual q, y situamos otra carga puntual q0

a una cierta distancia r de la primera, la carga q0

experimentar´a de forma instant´anea y a distancia una fuerza que, seg´un la ley de Coulomb, es proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

usando el concepto de campo, la interacci´on entre dos cargas el´ectricas se describe de una forma muy distinta: de acuerdo con esta interpretaci´on, la carga q da lugar a una alteraci´on (o cambio) en las propiedades del espacio que la rodea, de modo que cualquier carga q0

situada en un punto de dicha regi´on experimenta una ac-ci´on el´ectrica. Dicho de otro modo, la carga q produce algo en el espacio que la rodea, y este algo act´ua sobre cualquier carga situada en un punto de dicho espa-cio, produciendo la fuerza que act´ua sobre dicha carga. Este espacio, dotado de una propiedad nueva debido a la carga q, es lo que hemos denominado campo el´ectrico. − El campo el´ectrico tiene su origen en cargas el´ectricas (cargas puntuales, distribuciones

continuas de carga o todas ellas al mismo tiempo). Las cargas que dan lugar a un campo el´ectrico dado suelen recibir el nombre de cargas fuente.

− El concepto de campo fue introducido, como hemos dicho antes, por primera vez por Faraday para describir las interacciones el´ectricas. En la actualidad, desempe˜na un papel fundamental en la F´ısica: todas las interacciones conocidas se describen en t´erminos del concepto de campo.

2.

El Vector Intensidad de Campo El´

ectrico

− Para que el concepto de campo sea ´util es necesario encontrar una cantidad f´ısica que permita caracterizar adecuadamente en cada punto del espacio el campo creado por una distribuci´on de cargas dada.

− Esta cantidad es una magnitud vectorial, que se designa mediante la letra E, y que recibe el nombre de vector intensidad de campo el´ectrico, vector campo el´ectrico, o simplemente campo el´ectrico. Definimos el vector campo el´ectrico E en un punto como la fuerza que se ejerce sobre una carga prueba positiva q0 colocada en dicho punto

(2)

dividida por el valor de la carga prueba q0 o, dicho de otro modo, la fuerza que se ejerce

en dicho punto sobre la unidad de carga positiva: E= Fq0

q0

, (1)

donde Fq0 es la fuerza que se ejerce en dicho punto sobre la carga prueba q0. Por tanto,

para determinar E en un punto se sit´ua una carga prueba q0 en dicho punto y se mide la

fuerza Fq0 que se ejerce sobre ella; el valor de E se obtendr´a entonces usando (1).

− En relaci´on a E es interesante hacer notar los siguientes puntos:

las unidades de E en el sistema internacional son de Newton/Culombio;

el valor de E depende s´olo del punto en que se mide y de la distribuci´on de cargas que crea el campo, pero no de la carga prueba q0 usada para determinar E mediante

la relaci´on (1). Se trata por tanto de una cantidad caracter´ıstica de la distribuci´on de cargas que crea el campo y del punto considerado.

una vez conocido el campo E en un punto, se puede determinar inmediatamente la fuerza que se ejercer´a sobre una carga cualquiera q0 en dicho punto. De (1):

Fq0 = q0E (2)

dado que el campo el´ectrico lo describimos en cada punto mediante una magnitud vectorial (E) decimos que el campo el´ectrico es un campo vectorial. Adem´as, como la magnitud E es una fuerza (fuerza por unidad de carga) decimos que el campo el´ectrico es un campo de fuerzas.

3.

Campo El´

ectrico debido a distintas Distribuciones de

Carga

− La definici´on (1) de campo el´ectrico puede usarse para determinar el campo E debido a los distintos sistemas de cargas definidos en el tema anterior.

CARGA PUNTUAL

− Suponemos que el campo el´ectrico es debido a una carga puntual q. El campo E debido a q en un punto situado a una distancia r de la misma ser´a:

E = Fq0 q0 = 1 q0  qq 0 4πε0r2 ur  = q 4πε0r2 ur (3)

donde ur es el vector unitario dirigido de la carga q al punto considerado.

Notar que el campo E en un punto debido a una carga puntual q:

(i) tiene direcci´on radial, es decir, tiene la direcci´on de la l´ınea que une la carga al punto en que se calcula el campo (direcci´on de ur). Si q > 0, el vector E se aleja de

(3)

(ii) la magnitud de E s´olo depende de la distancia r de la carga al punto. Es m´as, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto a la carga (|E| ∝ 1/r2).

El hecho de que el campo E debido a una carga puntual tenga direcci´on radial y s´olo dependa de la distancia del punto a la carga se suele expresar diciendo que el campo E debido a una carga puntual tiene simetr´ıa esf´erica.

SISTEMAS DE CARGAS PUNTUALES. PRINCIPIO DE SUPERPOSICION − Supongamos ahora que tenemos un sistema de N cargas puntuales distribuidas en

posi-ciones fijas del espacio. A cada una de estas cargas se le designa por qi, donde i = 1, ..., N .

Queremos determinar el campo E en un punto debido a este sistema de cargas puntuales. Usando nuevamente la definici´on de campo el´ectrico y la expresi´on obtenida en el tema an-terior para la fuerza ejercida por un sistema de cargas puntuales sobre una carga puntual, se obtiene: E = Fq0 q0 = 1 q0 N X i=1 q0qi 4πε0ri2 uri ! = N X i=1 qi 4πε0ri2 uri (4)

donde ri es la distancia de la carga i al punto considerado y uriel vector unitario dirigido

de la carga qi al punto considerado.

− Fijarse que lo que hemos obtenido es que el campo E en un punto debido a un sistema de cargas puntuales es igual a la suma de los campos debidos a cada una de las cargas individuales del sistema. Esto significa que el campo el´ectrico, como las fuerzas el´ectricas, verifica el principio de superposici´on, que podemos enunciar del siguiente modo:

Principio de Superposici´on:el campo el´ectrico E en un punto debido a un sistema de cargas puntuales es igual a la suma de los campos debidos a cada una de las cargas qi del

sistema. Adem´as, el campo creado en dicho punto por cada carga qi es el mismo que si

las dem´as cargas del sistema no existieran: E= E1+ ... + EN = N X i=1 Ei = N X i=1 qi 4πε0ri2 uri

DISTRIBUCIONES DE CARGA DE VOLUMEN

− Suponemos que tenemos una cierta distribuci´on de carga sobre un volumen V, de densidad de carga ρ (ver Fig. 1). La distribuci´on se puede considerar como un conjunto de cargas puntuales: las cargas ∆q = ρ ∆v correspondientes a cada peque˜no elemento de volumen ∆v de la distribuci´on. El campo debido a una de estas cargas puntuales ∆q en un punto dado ser´a:

∆E = ∆q

4πε0r2

ur

donde r es la distancia de la carga ∆q al punto y ur el vector unitario dirigido de ∆q a

(4)

Figura 1:

El campo E debido a toda la distribuci´on en dicho punto se obtiene sumando la contribu-ci´on de cada carga ∆q de V:

E=X V ∆E =X V ∆q 4πε0r2 ur = X V ρ ∆v 4πε0r2 ur,

donde se ha usado que ∆q = ρ ∆v.

Esta suma sobre todo los peque˜nos elementos de volumen de la distribuci´on equivale a una integral sobre el volumen V (X

V

Z

V), de modo que se tendr´a finalmente

E = 1 4πε0 Z V ρ dv r2 ur (5)

DISTRIBUCIONES SUPERFICIALES DE CARGA

− Suponemos ahora que tenemos una cierta distribuci´on superficial de carga sobre una superficie S, de densidad de carga σ (ver Fig. 2). La distribuci´on se puede considerar como un conjunto de cargas puntuales: las cargas ∆q = σ ∆a correspondientes a cada peque˜no elemento de ´area ∆a de la distribuci´on. El campo debido a una de estas cargas puntuales ∆q en un cierto punto ser´a:

∆E = ∆q

4πε0r2

ur

donde r es la distancia de la carga ∆q al punto y ur el vector unitario dirigido de ∆q a

dicho punto.

El campo E debido a toda la distribuci´on en dicho punto se obtiene sumando la contribu-ci´on de cada carga ∆q de S:

E=X S ∆E =X S ∆q 4πε0r2 ur = X S σ ∆a 4πε0r2 ur,

donde se ha usado que ∆q = σ ∆a.

Esta suma sobre todo los peque˜nos elementos de ´area de la distribuci´on equivale a una integral sobre la superficie S (X

S

Z

S), de modo que se tendr´a finalmente

E= 1 4πε0 Z S σ da r2 ur (6)

(5)

Figura 2:

DISTRIBUCIONES LINEALES DE CARGA

− Finalmente, supondremos que tenemos una cierta distribuci´on lineal de carga sobre una curva C, de densidad de carga λ (ver Fig. 3). La distribuci´on se puede considerar como un conjunto de cargas puntuales: las cargas ∆q = λ ∆l correspondientes a cada peque˜no ele-mento de longitud ∆l de la distribuci´on. El campo debido a una de estas cargas puntuales ∆q en un cierto punto ser´a:

∆E = ∆q

4πε0r2

ur

donde r es la distancia de la carga ∆q al punto considerado y ur el vector unitario dirigido

de ∆q a dicho punto.

El campo E debido a toda la distribuci´on en dicho punto se obtiene sumando la contribu-ci´on de cada carga ∆q de C:

E=X C ∆E =X C ∆q 4πε0r2 ur = X C λ ∆l 4πε0r2 ur,

donde se ha usado que ∆q = λ ∆l.

(6)

Esta suma sobre todo los peque˜nos elementos de longitud de la distribuci´on equivale a una integral sobre la curva C (X

C

Z

C), de modo que se tendr´a finalmente

E = 1 4πε0 Z C λ dl r2 ur (7)

4.

L´ıneas de Campo El´

ectrico

− Faraday introdujo el concepto de l´ıneas de campo el´ectricoo l´ıneas de fuerza como ayuda para visualizar la estructura del campo el´ectrico asociado a una distribuci´on de cargas.

− Una l´ınea de campo el´ectrico o l´ınea de fuerza se define como una l´ınea imaginaria dibujada de tal manera que su direcci´on y sentido en cualquier punto es la direcci´on y sentido del campo el´ectrico en dicho punto. Por tanto, las l´ıneas de campo el´ectrico son tangentes en cada punto al campo el´ectrico en dicho punto.

− Propiedades: las l´ıneas de campo dan informaci´on no s´olo sobre la direcci´on y sentido del campo el´ectrico, sino tambi´en acerca de su magnitud. Las propiedades fundamentales de las l´ıneas de campo, que adem´as pueden considerarse como las reglas b´asicas para trazar las l´ıneas de campo asociadas a un cierto sistema de cargas, se pueden resumir del siguiente modo:

1. Las l´ıneas de campo el´ectrico comienzan en las cargas positivas (o en el infinito), y terminan en las cargas negativas (o en el infinito). Es por ello que decimos que las cargas positivas constituyen las fuentes de las l´ıneas de campo, y las cargas negativas los sumideros de las l´ıneas de campo el´ectrico.

2. La magnitud del campo el´ectrico en un punto es proporcional a la densidad de l´ıneas de campo en dicho punto. Por densidad de l´ıneas de campo en un punto se entiende el n´umero de l´ıneas de campo que pasan por unidad de ´area a trav´es de una superficie perpendicular a las l´ıneas de campo en dicho punto. De este modo, la magnitud de E ser´a grande aquellas regiones en que las l´ıneas de campo est´en muy pr´oximas entre s´ı, y peque˜na en donde las l´ıneas de campo est´en separadas.

3. Dos l´ıneas de campo no pueden cortarse en un punto. Fijarse en que si dos l´ıneas de campo se cortaran en un punto, eso significar´ıa que tendr´ıamos en dicho punto dos vectores campo distintos, lo cual es imposible (solamente las l´ıneas de campo pueden juntarse en una carga positiva, donde nacen, o en una carga negativa, donde terminan).

Estas son las propiedades b´asicas de las l´ıneas de campo, a las que cabr´ıa a˜nadir: 4. Las l´ıneas de campo se dibujan sim´etricamente saliendo o entrando de la carga. 5. El n´umero de l´ıneas que abandonan una carga positiva o entran en una carga negativa

es proporcional a la carga.

6. A grandes distancias de una distribuci´on finita de cargas, las l´ıneas de campo est´an igualmente espaciadas y son radiales como si procediesen de una sola carga puntual igual a la carga total de la distribuci´on.

(7)

En la figura 4 se muestran a modo de ejemplo las l´ıneas de campo correspondientes a configuraciones sencillas de carga: una carga puntual positiva, una carga puntual negati-va, dos cargas iguales pero de signo opuesto separadas una cierta distancia (es decir, un dipolo), dos cargas iguales positivas separadas una peque˜na distancia, y un sistema for-mado por una carga positiva de valor 2q y una carga negativa −q separadas una peque˜na distancia.

Figure

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Referencias

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