SIMULACIÓN 1D DEL FENOMENO OIL-TRAPPING A TRAVÉS DE LAS ECUACIONES DE FLUJO BIFÁSICO EN MEDIOS POROSOS HETEROGÉNEOS

Texto completo

(1)

Cuadernos de Mecánica Computacional

Vol. 9 nº1, 2011

Sociedad Chilena de

Mecánica Computacional

SIMULACIÓN 1D DEL FENOMENO “OIL-TRAPPING” A TRAVÉS

DE LAS ECUACIONES DE FLUJO BIFÁSICO EN MEDIOS

POROSOS HETEROGÉNEOS

Emilio Cariaga*, Marcos Lévano+ y Norman Vergaray+

* Departamento de Ciencias Matemáticas y Físicas – Universidad Católica de Temuco

Casilla 15D – Temuco – CHILE e-mail : ecariaga@uct.cl

+ Escuela de Ingeniería Informática- Universidad Católica de Temuco

Casilla 15D – Temuco – CHILE

e-mail : mlevano@uct.cl, nvergaray2008@alu.uct.cl

RESUMEN

En este trabajo se considera el problema de resolver numéricamente las ecuaciones de flujo bifásico petróleo-agua en un medio poroso heterogéneo que presenta una presión de capilaridad discontinua, tal como ocurre con el fenómeno “oil-trapping” propio de la industria extractiva del petróleo. El modelo matemático consiste en una EDP parabólica altamente no lineal siendo la saturación del agua la incógnita principal. Específicamente, se implementó el método de volúmenes finitos definido sobre una malla admisible en 1D tal como fue definido en [2]. Se informan las curvas de saturación obtenidas en ambos subdominios del dominio heterogéneo. Asimismo se presentan las curvas de saturación a ambos lados de la interface, dejando en evidencia la discontinuidad característica del fenómeno “oil-trapping”. En cada caso se obtiene información relevante del proceso modelado a partir de las simulaciones computacionales. La principal contribución de esta investigación es la generación de código computacional eficiente para un problema que ya cuenta con el respaldo teórico, matemático y numérico.

1. INTRODUCCIÓN.

(2)

discontinuidades de las presiones de capilaridad sobre la interface entre diferentes rocas. En efecto, si el radio medio de los poros en una capa es más pequeña que en su capa vecina, el petróleo debe buscar una presión de acceso (desde la capa con mayor radio a la capa de menor radio medio), de tal modo que la fase formada por el petróleo pueda acceder a la capa menos permeable (ver [2] para una descripción detallada del fenómeno “oil-trapping”).

En este trabajo se considera sólo una versión unidimensional. Se utiliza un esquema de volúmenes finitos implícito del tipo “upwind” para resolver numéricamente el modelo matemático continuo (ver [3] para una presentación exhaustiva del método de volúmenes finitos).

En este trabajo se informa sobre la implementación computacional del problema estudiado en el capítulo 4 de la tesis doctoral [2], el cual constituye el antecedente inmediato de este artículo. El énfasis en [2] está puesto sobre los aspectos teóricos, de tal modo que deja pendiente la implementación computacional en el sentido de que sólo reporta algunos experimentos, en los cuales utiliza sólo un esquema explícito. Basados en esto consideramos el mismo problema pero con un esquema implícito, que como se sabe no requiere de condiciones del tipo CFL entre los tamaños de paso espacial y temporal. Además, la aplicación de esquemas completamente implícitos a problema fuertemente no lineales genera complejidades computacionales adicionales asociadas con el uso del método de Newton para resolver el respectivo sistema algebraico no lineal, las cuales son resueltas de manera satisfactoria tal como lo muestran los resultados informados. Asimismo los resultados reportados, a pesar de corresponder a una versión simplificada del problema físico, muestran un gran potencial para ayudar a comprender el fenómeno mismo.

El artículo posee las siguientes secciones: en la sección 2 se detalla el modelo matemático utilizado el cual corresponde a las ecuaciones clásicas de flujo de dos fases inmiscibles e incompresibles en un medio poroso modelado desde una perspectiva macroscópica. La sección 3 describe el método numérico utilizado para resolver el problema continuo. La sección 4 informa algunos de los experimentos computacionales realizados, junto con un completo análisis cualitativo de la física del fenómeno que es posible comprender a partir de los mismos. El artículo finaliza con las principales conclusiones y una mirada en perspectiva del trabajo realizado.

2. MODELO MATEMÁTICO.

Sea Ω= −1,1 el dominio matemático que representa al medio poroso heterogéneo, y Ω1 = −1,0 , Ω2 = 0,1 , los dos subdominios que se asumen homogéneos. La interfaz

entre ambos está dada por {x=0}. Se trata, por lo tanto, de un problema en una dimensión espacial. El instante máximo para las simulaciones se anotará por T el cual corresponde a un número real positivo. Se considera un flujo de petróleo dey agua, las cuales se asumen como dos fases incompresibles e inmiscibles, a través de Ω. La ley de conservación de la masa aplicada a cada fase, y la ley de Darcy generalizada a flujos multifásicos nos permiten plantear el siguiente sistema de ecuaciones en derivadas parciales para cada (x,t)Ωi×(0,T);i=1,2:

(3)

o i o x i o x t i u μ u P ρ φ∂ −∂ ∂ − − [ ,( ) ( , g)] = 0, (2)

en donde, φi]0, 1[ es la porosidad del medio poroso Ω , i ues la saturación del agua (y

entonces (1−u)es la saturación del petróleo), uβ,ies la movilidad de la fase β = w,o,

donde wse usa para el agua, y opara el petróleo. Pβ,idenota la presión de la fase β , ρβ su densidad, y g el vector gravitacional. Si se suman (1) y (2) se obtiene

0 = ∂ qx ,

en donde,

q:=−μw,i(u) (∂xPw,i −ρwg) −μo,i(u) (∂xPo,i −ρog) (3)

corresponde a la tasa de flujo total, la cual sólo depende del tiempo. Asumiendo que ρ

ρ

ρw = o = , entonces, utilizando esto en las ecuaciones (1) y (2), queda:

(

)

0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , , , , , , , , = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ + − + ∂ + ∂ x wi oi i o i w i o i w i o i w i w x t i P P u u u u q u u u u μ μ μ μ μ μ μ φ . (4)

Se asume que la presión de capilaridad (Pw,iPo,i) depende sólo de la saturación y del tipo de roca, o sea, (Pw,iPo,i)=πi(u), con πi(u) función creciente. Si se denota

) ( ) ( ) ( ) ( : , , , , u u u u i o i w i o i w i μ μ μ μ λ + = , ) ( ) ( ) ( : , , , u u u f i o i w i w i μ μ μ + = , y s a a da s i i i( ): ( ) ( ) 0

′ = λ π ϕ , entonces (4) se convierte en φitu+x

(

qfi

( )

u xϕi

( )

u

)

=0. (5) Ahora nos enfocaremos en las condiciones de transmisión a través de la interfaz {x=0}. Se denota αi =lims0πi(s) y βi =lims→1πi(s). Así, podemos definir las curvas

monótonas π~ por: i

( )

( )

]

]

[

[

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +∞ ∞ − = , , ~ i i i i s s β α π π si s ϵ 0,1 , si s = 0, si s = 1. (7)

En lo que sigue u representa la traza de i i

u|Ω en {x=0}. La traza en {x=0} a partir de

i

Ω de la presión Pβ,ide la fase β se seguirá anotando como Pβ,i. Como fue expuesto en

(4)

μβ,1(u1)(Pβ,1 −Pβ,2)+−μβ,2(u2)(Pβ,2 −Pβ,1)+ =0 . (8) Se puede demostrar que la condición (8) equivale a:

π

~1

( )

u1 I

π

~2

( )

u2 ≠∅ (9) No obstante la discontinuidad en la presión de capilaridad expresada por la condición (9), el flujo de ambas fases debe ser continuo sobre la interface, o sea:

q

( ) ( )

t f1 u

( )

0−,t −∂xϕ1

( )

u

( )

0−,t =q

( ) ( )

t f2 u

( )

0+,t −∂xϕ2

( )

u

( )

0+,t . (10)

Suponemos que q≥0, o sea, que los fluidos se muevan desde x<0 hacia x>0.

Tenemos que elegir algunas condiciones de contorno en {x=−1} y {x=1}. Dejaremos

g (no confundir con la aceleración de gravedad) desplazándose dentro del intervalo

( ) ( )

t qt g

0 , por lo que reescribimos:

q

( ) ( )(

t f1 u −1,t

)

−∂xϕ1

( )(

u −1,t

) ( )

= gt . (11) Esto puede ser comprendido como la inyección de un fluido definiendo g

( ) ( )

t qt como

la saturación del agua y q

( )

t como la tasa de flujo.

Finalmente, el Modelo Matemático representativo del fenómeno físico a modelar en este trabajo está dado por (con dato inicial u ): 0

φitu+x

[

q

( ) ( )

t fi u xϕi

( )

u

]

=0 en Ωi×

( )

0,T , q

( ) ( )

t f1 u

( )

0−,t −∂xϕ1

( )

u

( )

0−,t =q

( ) ( )

t f2 u

( )

0+,t −∂xϕ2

( )

u

( )

0+,t sobre

( )

0,T ,

π

~1

( )

u1 I

π

~2

( )

u2 ≠∅ sobre

( )

0,T ,

(

t 0

)

u0 u = = dominio Ω ,i

( ) ( )(

t f u t

)

( )(

u t

) ( )

g t q 1 −1, −∂xϕ1 −1, = sobre

( )

0,T ,

( )( )

1, 0 2 = ∂xϕ u t sobre

( )

0,T . (P)

Note que se trata de un problema evolutivo en una dimensión espacial, con términos convectivo y difusivo no lineales. El modelo supone que en el término convectivo el flujo q es conocido. Además, la ecuación podría degenerar (término difusivo nulo) si

0 =

u .

3. MÉTODO NUMÉRICO.

(5)

Con el fin de simplificar, sólo trataremos con discretizaciones espaciales uniformes. Dejaremos Nℕ∗, por lo que definimos:

N j xj = , ∀j∈ −N, N , N j xj+12 = +12, ∀j∈ −N, N − 1 .

Se denota

δ

x=1 N. Dejando M ∈ℕ∗, se define: ∀ n∈ 0, M , tn =nT M . Se denota

M T t =

δ

. Asimismo, ∀ j −N, N − 1 ,

(

+

)

=

+

=

+1 0

( )

0 2 1 2 1 , 0

1

j j x x j j D

u

x

dx

x

u

x

u

δ

(12)

La primera ecuación de (P) puede ser reescrita de la siguiente forma:

φitu+xF

( )

x,t =0 (13) con F

( ) ( ) ( )

x,t :=q t f u −∂xϕi

( )

u . Consideremos el siguiente esquema implícito: ∀ j

−N, N − 1 , ∀ n∈ 0, M − 1 , 1 1 0 1 2 1 1 2 1 = − + − + + + + + + n j n j n j n j i x F F t u u δ δ φ (14) donde n+1 j

F es una aproximación del flujo promedio a través de x sobre j tn,tn+1 , e i es escogido de tal manera que xj,xj+1 ⊂Ωi. Escogeremos una discretización “upwind”

de los flujos: ∀ j −N + 1, −1 U 1, N − 1 , ∀ n 0, M − 1 ,

( ) ( ) ( )

u x u u f q F n j i n j i n j i n n j δ ϕ ϕ 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 : + − + + + − + + = , (15) en donde,

( )

+

=

+1

:

1

n1 n t t n

dt

t

q

t

q

δ

. Además, definimos

( )

+

=

+1

:

1

n1 n t t n

dt

t

g

t

g

δ

.

Por otro lado: ∀ n∈ 0, M − 1 ,

1 1 + + − = n n N g F , (16)

(

1

)

2 1 2 1 1 + − + + = n N n n N q f u F (17)

Respecto de las condiciones de transmisión sobre {x=0}: ∀ n∈ 0, M − 1 ,

(6)

( )

(

( ) ( )

)

x u u u f q n n n n δ ϕ ϕ 1 2 , 0 2 1 2 1 2 1 2 , 0 2 1 2 + + + + − = (19)

Finalmente, respecto de la condición de discontinuidad: ∀ n 0, M − 1 ,

( ) ( )

+ +1 2 , 0 2 1 1 , 0 1 ~ ~ n n u u π π I ∅ (20)

El sistema algebraico formado por las condiciones (12) a (20) es no lineal, razón por la cual será resuelto por el método de Newton.

4. EXPERIMENTOS COMPUTACIONALES.

En esta sección se informan los resultados computacionales obtenidos a partir de la solución del sistema algebraico (12)-(20). En cada caso se realiza el correspondiente análisis de la física del fenómeno que surge a partir de los gráficos construidos. Físicamente, el medio poroso se supone que inicialmente está completamente saturado de petróleo (u0 =0), y que desde uno de sus extremos (x=−1) se inyecta agua, mientras

que en el otro extremo (x=1) ambas fases pueden salir libremente. Además, el medio poroso está constituido por dos capas homogéneas separadas por la interface ubicada en

0 =

x . Los parámetros y funciones utilizados para todas las simulaciones reportadas en

este artículo son: 1 2 1=φ = φ

,

u u 2 1 1 ) ( 1 = + π

,

u u 2 1 2 ) ( 2 = + π

,

2 2 , 1 , (u) w (u) u w =μ = μ

,

2 2 , 1 , (u) o (u) (1 u) o =μ = − μ

,

) 1 ( 2 1 ) ( ) ( 2 2 1 − + = = u u u u f u f

,

32 )) 1 2 ( tan 2 1 2 2 3 ( 4 1 ) ( ) ( 3 2 1 2 1 ϕ π ϕ u = u = uuu+ − u− +

,

1 = = g q

,

u0 =0.

En la Figura 1 se observan las curvas de saturación de la fase agua sobre el

estrato homogéneo Ω

1

=]-1,0[ entre los instantes: t=0.000167 y t=0.758562.

(7)

Figura 1. Evolución de la saturación-agua en Ω

1

=]-1,0[.

En efecto, la Figura 2 muestra la evolución de la saturación de la fase agua

sobre el estrato homogéneo Ω

2

=]0,1[ desde el instante t=0.760000 hasta el

instante t=2.000000. Note que poco antes del instante t=0.76 el petróleo

comienza a ser evacuado desde el dominio Ω

2

. La Figura 2 deja en

evidencia que la saturación de la fase agua se estabiliza en torno a u=0.8 en

t=2 aproximadamente.

(8)

En la Figura 3 se observa la evolución de la saturación de la fase agua sobre

el lado izquierdo de la interface desde el instante t=0.72 hasta el instante

t=0.77. Se observa en la Figura 3 que el petróleo comienza a ser evacuado

desde el lado izquierdo de la interface a partir del instante t=0.73, y se vacía

completamente de petróleo poco antes de t=0.76. Específicamente, en

t=0.758562 según la Figura 1. Note que el llenado de agua de este punto

ocurre relativamente rápido.

Figura 3. Evolución de la saturación-agua en la interface x=0.

(9)

Figura 4. Evolución de la saturación-agua en la interface x=0.

Para mayor completitud en la Figura 5 se muestran las curvas de saturación

de la fase agua entre los instantes t=0.000167 y t=1.000000. Para mejor

comprensión de la figura se muestra completa sólo la curva de saturación

para t=1.

(10)

5. CONCLUSIONES.

En este trabajo se ha considerado el problema de simular computacionalmente el fenómeno “oil-trapping”, el cual surge cuando el petróleo debe ser evacuado por inyección de agua, a través de un medio poroso heterogéneo formado por capas con diferentes propiedades hidrodinámicas. Específicamente, se simuló el caso en que el petróleo debe fluir, o pasar, a una capa menos permeable, en una dimensión espacial. El modelo matemático y el respectivo esquema numérico utilizados fueron propuestos y estudiados en sus aspectos teóricos en la tesis doctoral de C. Cancès del año 2008 (ver [1]). A partir de esta referencia se desarrolló una completa implementación computacional, siendo esta nuestra principal contribución. La continuación de esta investigación, actualmente en curso, considera el desarrollo de código computacional para el caso en que el dominio espacial es de dos dimensiones, el mallado es estructurado y no-estructurados, y con “hardware” secuencial y paralelo.

Agradecimientos

E.Cariaga, y los coautores, agradecen el soporte financiero dado por Conicyt a través del proyecto Fondecyt de Iniciación Nro. 11100358.

REFERENCIAS

[1] J.Bear, Dynamics of Fluids in Porous Media, Dover, New York, 1988.

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