PROGRESIONES
UNIDAD I
I.1 SUCESIÓN Y SERIE
Una sucesión es una lista de números que siguen una regla determinada:
{ } {
a
n=
a
1,
a
2,
a
3,
⋅
⋅⋅
a
i,
⋅
⋅⋅
,
a
n}
Formalmente, las sucesiones se definen como un tipo especial de función de
n
cuyo dominio es el conjunto denúmeros naturales N:
{ }
a
n:
N
→
R
Ejemplos de sucesiones: 1){ } {
a
n=
5
,
10
,
15
,
20
,
25
,
⋅
⋅⋅
}
2){ } {
a
n=
0
.
20
,
0
.
25
,
0
.
30
,
0
.
35
,
0
.
40
,
⋅
⋅⋅
}
3){ } {
a
n=
1
,
2
,
4
,
8
,
16
,
⋅
⋅⋅
}
4){ } {
a
n=
3
,
−
3
,
3
,
−
3
,
3
,
⋅
⋅⋅
}
El término i-ésimo
a
i de una sucesión es el que va acompañado de la letra que indica el valor del númeroen determinado término. Por ejemplo, en la primera sucesión el primer término
( )
a
1 es 5, el segundotérmino
( )
a
2 es 10, el tercer término( )
a
3 , es 10. El término enésimo o general esa
n.Ejemplo. En la sucesión:
{ }
⋅⋅
⋅
=
,
2
5
,
2
,
2
3
,
1
,
2
1
na
, el término enésimo o general es:
=
2
n
a
n .Para conocer los términos de una sucesión, se sustituye el valor de n desde 1 hasta el valor que se desee.
Una sucesión es infinita cuando tiene un número infinito de términos.
Ejemplo:
{ } {
a
n=
1
,
6
,
11
,
16
,
21
,
⋅
⋅⋅
}
Una sucesión es finita cuando tiene un número determinado de términos.
Ejemplo:
{ } {
a
n=
3
,
7
,
11
,
15
,
19
,
23
,
27
,
31
}
Una sucesión que se aproxima cada vez más a un cierto número, se llama convergente.
Ejemplo:
{ }
⋅⋅
⋅
=
,
5
1
,
4
1
,
3
1
,
2
1
,
1
na
(se acerca a cero)Una sucesión que no tiene límite es divergente.
Una sucesión es creciente si cada término de la sucesión es mayor que el anterior.
Ejemplo:
{ } {
a
n=
3
,
6
,
9
,
12
,
15
,
18
,
⋅
⋅⋅
}
• Una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.
Ejemplo:
{ } {
a
n=
1
,
−
1
,
−
3
,
−
5
,
−
7
,
⋅
⋅⋅
}
Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente. Ejemplos:
Monótona creciente:
{ } {
a
n=
8
,
16
,
24
,
32
,
40
,
⋅
⋅⋅
}
Monótona decreciente:
{ }
=
{
25
,
325
,
425
,
525
,
625
,
⋅
⋅⋅
}
n
a
Una serie es la suma de los elementos de una sucesión. La suma puede ser finita o infinita. Los elementos de las series pueden ser números, letras o una combinación de ambas. Una serie puede representarse de dos formas:
• Enlistando los elementos con los signos entre los elementos.
• Usando la llamada notación sigma
( )
Σ
, que implica la sumatoria de todos los elementos, con sólo eltérmino general y el rango de la suma indicada. Ejemplo.
Las siguientes expresiones representan la misma serie:
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−
+
−
+
−
+
−
+
−
( )
∑
= +−
=
10 1 11
n n nn
s
Se define como serie infinita a la suma de los términos de la sucesión:
⋅⋅
⋅
+
+
⋅⋅
⋅
+
+
⋅⋅
⋅
+
+
+
=
=
∑
∞ = n i n n na
a
a
a
a
a
s
1 2 3 1en términos prácticos, se denota como
s
n=
∑
a
n .Una serie finita se define como: i
i n n n
a
a
a
a
a
s
=
∑
=
+
+
+
⋅
⋅⋅
+
=1 1 2 3 Ejemplos.1) Dada la sucesión infinita:
{ }
⋅⋅
⋅
=
,
32
1
,
16
1
,
8
1
,
4
1
,
2
1
na
⋅⋅
⋅
+
+
⋅⋅
⋅
+
+
+
+
+
=
=
∑
n n na
s
2
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
2) Dada la sucesión finita:
a
n=
{
−
15
,
−
10
,
−
5
,
0
,
5
,
10
,
15
,
20
}
( ) ( ) ( )
15
10
5
0
5
10
15
20
8 1+
+
+
+
+
−
+
−
+
−
=
=
∑
= n n na
s
I.2 PROGRESIÓNES ARITMÉTICAS
Progresión aritmética es toda sucesión en la cual cada término después del primero se obtiene
sumándole al término anterior una constante llamada razón o diferencia.
Se denotan por
PA
y entre cada término y el siguiente se escribe una coma.Ejemplos.
1)
PA
=
{
1
,
4
,
7
,
10
,
13
,
16
,
⋅
⋅⋅
}
es una progresión aritmética cuya razón es3
ya que4
−
1
=
3
,3
4
7
−
=
,10
−
7
=
3
, etc.2)
PA
=
{
9
,
5
,
1
,
−
3
,
−
7
,
−
11
,
⋅
⋅⋅
}
es una progresión aritmética cuya razón es−
4
ya que5
−
9
=
−
4
,4
5
1
−
=
−
,−
3
−
1
=
−
4
, etc.Una progresión aritmética es creciente cuando su razón es positiva. Ejemplo.
⋅⋅
⋅
=
3
5
3
4
3
3
3
2
3
1
,
,
,
,
PA
, es creciente porque su razón es3
1
.
Una progresión aritmética es decreciente cuando su razón es negativa. Ejemplo.
{
−
⋅
⋅⋅
}
=
25
,
20
,
15
,
10
,
5
,
0
,
5
PA
, es decreciente ya que su razón es−
5
.I.2.1 ELEMENTOS Y DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL TÉRMINO ENÉSIMO
Sea la siguiente progresión:
{
a
,
b
,
c
,
d
,
e
,
,
u
}
PA
=
L
en la que
u
es el término enésimo y cuya razón esr
.Por definición, en toda progresión aritmética, cada término es igual al anterior más la razón, por lo tanto:
r
a
b
=
+
(
a
r
)
r
a
r
r
b
c
=
+
=
+
+
=
+
2
(
a
r
)
r
a
r
r
c
d
=
+
=
+
2
+
=
+
3
(
a
r
)
r
a
r
r
d
e
=
+
=
+
3
+
=
+
4
, y así sucesivamente.Se puede apreciar que cada término es igual al primero de la progresión
a
más tantas veces la razóncomo términos le preceden. Con base a este razonamiento, ésta ley se cumple para todos los términos,
y, se tendrá que
u
será igual al primer términoa
más tantas veces como la razón como términos lepreceden. Al ser
u
el término enésimo, le precedenn
−
1
términos, por lo tanto:( )
n
r
a
u
=
+
−
1
Ejemplos.
Solución.
3
7
10
−
=
=
r
9
=
n
7
=
a
( )
9
1
3
7
24
31
7
+
−
=
+
=
=
∴
u
2) Hallar el doceavo término de
PA
=
{
11
,
6
,
1
,
L
}
Solución.
5
11
6
−
=
−
=
r
12
=
n
11
=
a
(
12
1
)( )
5
11
55
44
11
+
−
−
=
−
=
−
=
∴
u
3) Hallar el quinceavo término de
=
L
8
1
7
2
,
PA
Solución.56
9
56
16
7
7
2
8
1
−
=
−
=
−
=
r
15
=
n
7
2
=
a
(
)
28
55
56
110
56
126
16
56
126
7
2
56
9
1
15
7
2
−
=
−
=
−
−
=
−
=
−
−
+
=
∴
u
I.2.2 DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS PARA OBTENER CADA UNO DE LOS ELEMENTOS
De la fórmula
u
=
a
+
( )
n
−
1
r
, se despejana
,r
yn
. Esto es:Primer término:
a
=
u
−
(
n
−
1
)
r
Razón:1
−
−
=
n
a
u
r
Número de términos:=
−
+
1
r
a
u
n
ór
r
a
u
n
=
−
+
Ejemplos.1) El quinceavo término de una progresión aritmética es
20
y la razón7
2
. Hallar el primer término. Solución.
(
)
20
4
16
7
2
1
15
20
−
−
=
−
=
=
a
2) Hallar la razón de la progresión
PA
=
{
−
1
,
L
,
−
4
}
, donde−
4
es el décimo término.3) Cuántos términos tiene la progresión
PA
=
{
4
,
6
,
L
,
30
}
Solución.2
4
6
−
=
=
r
14
2
28
2
2
4
30
−
+
=
=
=
n
términos.I.2.3 TÉRMINOS EQUIDISTANTES
Sea la progresión
PA
=
{
a
,
L
m
,
L
,
p
,
L
u
}
de razón r. Si entrea
ym
hayn
términos y entrep
yu
también hayn
términos, entoncesm
yp
son términos equidistantes de los extremos.Si hay
n
términos entrea
ym
, se tiene que:m
=
a
+
( )
n
+
1
r
_
( )
1
ya que al término
m
le preceden(
n
+
1
)
términos contando al términoa
.De la misma forma, si hay
n
términos entrep
yu
, se tiene que:u
=
p
+
( )
n
+
1
r
_
( )
2
.Restando (2) de (1), se tiene:
m
−
u
=
a
−
p
, o bienm
+
p
=
a
+
u
Esto demuestra que en toda progresión aritmética la suma de dos términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.
Cuando el número de términos de una PA es impar, el término medio equidista de los extremos y por tanto, el doble de este término es igual a la suma de los extremos.
I.2.4 SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Sea la progresión
PA
=
{
a
,
b
,
c
,
L
,
l
,
m
,
u
}
, que consta den
términos. SiS
es la suma de lostérminos se tiene que:
( )
1
_
u
m
l
c
b
a
S
=
+
+
+
L
+
+
+
o bien que:( )
2
_
a
b
c
l
m
u
S
=
+
+
+
L
+
+
+
Sumando (1) y (2) se tiene que:
(
a
u
) (
b
m
) ( )
c
l
( ) (
l
c
m
b
) (
u
a
)
S
=
+
+
+
+
+
+
L
+
+
+
+
+
+
2
Pero se sabe que todos los términos son iguales a
(
a
+
u
)
por ser términos equidistantes. Esto implicaque:
(
a
u
) (
a
u
) (
a
u
)
(
a
u
)
S
=
+
+
+
+
+
+
L
+
+
2
, pero como la progresión tienen
términos:(
a
u
)
n
S
=
+
2
despejando
S
se obtiene la suma de los términos de una progresión aritmética:(
)
2
n
u
a
S
=
+
Ejemplos.1) Hallar la suma de los 19 primeros términos de
PA
=
{
31
,
38
,
45
,
L
}
(
)
1
786
2
19
157
31
,
S
=
+
=
∴
2) Obtener la suma de los 14 primeros términos de
=
,
,
,
L
PA
2
1
5
2
10
3
Solución.10
1
10
3
4
10
3
5
2
=
−
=
−
=
r
(
)
10
16
10
13
10
3
10
1
1
14
10
3
=
+
=
−
+
=
u
10
133
20
266
2
14
10
16
10
3
=
=
+
=
∴
S
3) Encontrar la suma de los 60 primeros términos de
PA
=
{
11
,
1
,
−
9
,
L
}
Solución.
10
11
1
−
=
−
=
r
(
60
1
)( )
10
579
11
+
−
−
=
−
=
u
(
)
(
)
17
040
2
60
579
11
,
S
=
+
−
=
−
∴
I.2.5 MEDIOS ARITMÉTICOS E INTERPOLACIÓN
En una progresión aritmética se denominan medios aritméticos a los términos que se encuentran entre el primer y el último término.
Ejemplo.
En la
PA
=
{
−
15
,
−
10
,
−
5
,
0
,
5
,
10
,
15
,
20
}
, los términos−
10
,
−
5
,
0
,
5
,
10
y15
son mediosaritméticos.
Interpolar medios aritméticos entre dos números dados es formar una progresión aritmética cuyos
extremos sean los dos números dados. Ejemplos.
1) Interpolar 4 medios aritméticos entre
5
y12
.Solución.
Si se quiere interpolar 4 medios aritméticos, entonces la progresión consta de 6 términos, y su razón es:
5
7
1
6
5
12
1
−
=
−
=
−
−
=
n
a
u
r
Por lo tanto, el segundo término es:
5
32
5
7
5
+
=
el tercer término es:
5
39
5
7
5
32
=
+
el cuarto término es:
el quinto término es:
5
53
5
7
5
46
=
+
por lo que la progresión buscada es:
=
12
3
53
5
46
5
39
5
32
5
,
,
,
,
,
PA
2) Interpolar 5 medios aritméticos entre
4
3
y8
1
. Solución.Si se quiere interpolar 4 medios aritméticos, entonces la progresión consta de 6 términos, y su razón es:
48
5
6
8
6
1
1
7
4
3
8
1
−
=
−
=
−
−
=
r
Por lo tanto, el segundo término es:
48
31
48
5
4
3
=
−
+
el tercer término es:
48
26
48
5
48
31
=
−
+
el cuarto término es:
48
21
48
5
48
26
=
−
+
el quinto término es:
48
16
48
5
48
21
=
−
+
el sexto término es:
48
11
48
5
48
16
=
−
+
por lo que la progresión buscada es:
=
8
1
48
11
48
16
48
21
48
26
48
31
4
3
,
,
,
,
,
,
PA
I.2.6 PROBLEMAS RELATIVOS A LAS PROGRESIONES ARITMÉTICAS
1) Se compran 50 artículos. Por el primero se pagó 800 pesos, y por cada uno de los demás 300 pesos más que por el anterior. Hallar el importe de la compra.
Solución.
50
=
n
800
=
a
300
=
r
(
n
1
)
r
800
(
50
1
)( )
300
15
,
500
a
u
=
+
−
=
+
−
=
(
) (
)
407
500
2
50
500
15
800
2
$
,
,
n
u
a
S
=
+
=
+
=
∴
( )
n
1
r
3
,
000
( )(
5
1
300
)
$
4
,
200
u
a
=
−
−
=
−
−
−
=
3) Una deuda puede ser pagada en 32 semanas pagando $5,000 la primera semana, $8,000 la segunda semana, $11,000 la tercera semana, y así sucesivamente. Hallar el importe de la deuda.
Solución.
32
=
n
000
5,
a
=
000
3
000
5
000
8
,
,
,
r
=
−
=
(
n
1
)
r
5
,
000
(
32
1
)(
3
,
000
)
98
,
000
a
u
=
+
−
=
+
−
=
(
) (
)
1
648
000
2
32
000
98
000
5
2
$
'
,
,
,
n
u
a
S
=
+
=
+
=
∴
4) En una carrera un hombre avanza 6 metros en el primer segundo, y en cada segundo posterior avanza 25 cm. más que el anterior. ¿Cuánto avanzó en el octavo segundo y que distancia habrá recorrido en 8 segundos? Solución.
6
=
a
25
0.
r
=
8
=
n
(
n
1
)
r
6
( )( )
8
1
0
.
25
7
.
75
a
u
=
+
−
=
+
−
=
en el octavo segundo(
) (
)
55
2
8
75
7
6
2
=
+
=
+
=
∴
S
a
u
n
.
metros.5) El quinto término de una progresión aritmética es 31 y el noveno 59. Hallar el doceavo término. Solución.
( )
1
31
4
r
_
a
+
=
( )
2
59
8
r
_
a
+
=
restando (2) a (1):7
4
28
28
4
=
−
−
=
⇒
−
=
−
r
r
de (1):a
=
31
−
4
r
=
31
−
4
( )
7
=
3
por lo tanto, el doceavo término es:
u
=
a
+
( )
n
−
1
r
=
3
+
(
12
−
1
)( )
7
=
80
6) En una progresión aritmética de 12 términos el primer y último término suman 53.5. ¿Cuál es la suma del tercer y décimo término?
Solución.
Por ser términos equidistantes su suma también es
53.
5
7) ¿Cuál es el sexto término de una progresión aritmética de 11 términos, si su primer término es -2 y el último -52? Solución.
11
=
n
2
−
=
a
52
−
=
u
( )
5
10
50
1
11
2
52
1
=
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
=
n
a
u
r
8) ¿Cuántos términos hay que tomar de la progresión
PA
=
{
13
,
21
,
29
,
37
,
L
}
para que su suma sea 490? Solución.13
=
a
8
13
21
−
=
=
r
490
=
S
(
)
2
n
u
a
S
=
+
perou
=
a
+
( )
n
−
1
r
, así que:(
)
[
]
2
1
r
n
n
a
a
S
=
+
+
−
sustituyendo valores:(
)
[
]
980
26
8
8
8
18
980
0
2
8
1
13
13
490
=
+
+
n
−
n
⇒
=
n
+
n
2−
n
⇒
n
2+
n
−
=
resolviendo la ecuación de segundo grado por la fórmula general:
( )(
)
( )
16
178
18
16
360
31
324
18
8
2
980
8
4
18
18
2−
±
=
+
±
−
=
−
−
±
−
=
,
n
10
16
160
16
178
18
1=
=
+
−
=
n
25
12
16
196
16
178
18
2.
n
=
−
−
=
−
=
−
(esta raíz que se descarta porquen
no puede ser negativo)por lo tanto, el último término es:
u
=
a
+
( )
n
−
1
r
=
13
+
(
10
−
1
)( )
8
=
85
I.3 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Antiguamente había quienes estaban interesados en sucesiones de números figurados cuyos elementos consistían en números que podían asociarse con figuras geométricas formadas por puntos. Aunque muchas sucesiones sólo interesan desde el punto de de vista de pasatiempo, hay otras de gran interés. Como ejemplificación de esto es el número de antepasados que tiene o tuvo una persona en cada generación que le precede, ya que tiene o tuvo dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos, etc.
Otro ejemplo puede ser el truco de los espejos en el que se fotografía la imagen de alguien reflejado en un espejo mientras que sostiene otro espejo orientado hacia el primero, de manera que su imagen se refleja una y otra vez, una infinidad de veces. Si los espejos se colocan en forma adecuada, las primeras imágenes reflejadas son cada vez más pequeñas teniendo cada una, después de la primera, la mitad de
altura que la anterior. Así, si la altura de la primera imagen es
h
, entonces las alturas de las imágenessucesivas forma la sucesión:
L
L
,
h
,
,
h
,
h
,
h
,
h
n 12
8
4
2
−Cada término, excepto el primero, de la sucesión puede obtenerse multiplicando el término anterior por
2
1
.
Progresión geométrica es toda sucesión de términos en la cual cada término después del primero se
obtiene multiplicando al término anterior una constante llamada razón.
Se denotan mediante
PG
y entre cada término y el siguiente se escribe una coma.Ejemplos.
1)
PG
=
{
5
,
10
,
20
,
40
,
80
,
160
,
⋅
⋅⋅
}
es una progresión geométrica cuya razón es2
ya que2
5
10
=
,2
10
20
=
,2
20
40
=
, etc. 2)
⋅⋅
⋅
=
,
,
,
,
,
,
,
PG
3
1
1
3
9
27
81
243
es una progresión geométrica cuya razón es3
1
ya que3
1
243
81
=
,3
1
81
27
=
,3
1
27
9
=
, etc.Una progresión geométrica es creciente cuando su razón, en valor absoluto, es mayor que uno. Ejemplo.
{
⋅
⋅⋅
}
=
,
,
,
,
PG
1
5
25
125
, es creciente porque su razón es5
.Una progresión geométrica es decreciente cuando su razón, en valor absoluto, es menor que uno. Ejemplo.
⋅⋅
⋅
=
,
,
,
,
,
,
PG
4
1
2
1
1
2
4
8
, es decreciente ya que su razón es2
1
.
I.3.1 ELEMENTOS Y DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL TÉRMINO ENÉSIMO
Sea la siguiente progresión:
{
a
,
b
,
c
,
d
,
e
,
,
u
}
PG
=
L
en la que
u
es el término enésimo y cuya razón esr
.Por definición, en toda progresión geométrica, cada término es igual al anterior multiplicado por la razón, por lo tanto:
r
a
b
=
⋅
2r
a
r
r
a
r
b
c
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
3 2r
a
r
r
a
r
c
d
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
4 3r
a
r
r
a
r
d
e
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
, y así sucesivamente.Se puede apreciar que un término cualquiera es igual al primero de la progresión multiplicado por la razón elevada a una potencia igual al número de términos que le preceden.
Como
u
es el término enésimo y le precedenn
−
1
términos, se tiene que:Ejemplos.
1) Hallar el séptimo término de
PG
=
{
3
,
6
,
12
,
L
}
Solución.
2
3
6
=
=
r
3
=
a
7
=
n
( ) ( )
2
3
2
3
( )
64
192
3
71=
6=
=
=
∴
u
−2) Hallar el noveno término de
PG
=
{
8
,
4
,
2
,
L
}
Solución.
2
1
8
4
=
=
r
8
=
a
9
=
n
32
1
256
1
8
2
1
8
2
1
8
8 1 9=
=
=
=
∴
u
−3) Hallar el quinto término de
−
−
=
,
,
,
L
PG
4
15
2
3
5
3
Solución.5
3
−
=
a
5
=
n
2
5
6
15
5
3
2
3
−
=
−
=
−
=
r
16
375
80
1875
16
625
5
3
2
5
5
3
2
5
5
3
5 1 4=
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
∴
u
−Cuando la razón es negativa los términos de la progresión geométrica son alternadamente positivos y
negativos. Si
n
−
1
es par, el resultado tendrá signo positivo y sin
−
1
es impar, tendrá signo negativo.I.3.2 DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS PARA OBTENER CADA UNO DE LOS ELEMENTOS
De la fórmula
u
=
a
⋅
r
n−1, se despejana
,r
yn
. Esto es:Primer término:
=
n−1r
u
a
Razón:=
n−1a
u
r
Para obtener el número de términos, se toma el logaritmo de cada uno de los miembros:
(
−
1
)
⇒
=
−
1
=
n
r
Log
a
u
Log
r
Log
n
a
u
Log
Por lo que el número de términos está dado por:
=
+
1
r
Log
a
u
Log
n
Ejemplos.1) La razón de una progresión geométrica es
3
2
y el noveno término es187
2
64
,
. Hallar el primer término.Solución.
3
2
=
r
9
=
n
187
2
64
,
u
=
4
3
561
6
256
187
2
64
3
2
187
2
64
3
2
187
2
64
8 1 9 1=
=
=
=
=
− −,
,
,
,
r
u
a
n2) Hallar la razón de
PG
=
{
−
5
,
L
,
640
}
de ocho términos.Solución.
5
−
=
a
640
=
u
8
=
n
2
128
5
640
7 1 8 1=
−
=
−
−
=
=
n− −a
u
r
3) Cuántos términos tiene la progresión
PG
=
{
3
,
9
,
L
,
19
,
683
}
Solución.
3
=
a
3
3
9
=
=
r
683
19,
u
=
9
1
8
1
3
3
683
19
1
=
+
=
+
=
+
=
Log
,
Log
r
Log
a
u
Log
n
I.3.3 TÉRMINOS EQUIDISTANTES
Sea la progresión
PG
=
{
a
,
L
m
,
L
,
p
,
L
u
}
de razón r. Si entrea
ym
hayn
términos y entrep
ySi hay
n
términos entrea
ym
, se tiene que:m
=
a
⋅
r
n+1_
( )
1
ya que al término
m
le preceden(
n
+
1
)
términos contando al términoa
.De la misma forma, si hay
n
términos entrep
yu
, se tiene que: 1( )
2
_
r
p
u
=
⋅
n+. Dividiendo (1) por (2), se tiene:
p
a
u
m
=
, o bienm
⋅
p
=
a
⋅
u
Esto demuestra que en toda progresión geométrica el producto de dos términos equidistantes es igual al producto de los extremos.
Cuando el número de términos de una PG es impar, el término medio equidista de los extremos y por tanto, el cuadrado de este término es igual al producto de los extremos.
I.3.4 SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Sea la progresión
PG
=
{
a
,
b
,
c
,
L
,
l
,
m
,
u
}
, que consta den
términos. SiS
es la suma de lostérminos se tiene que:
( )
1
_
u
m
l
c
b
a
S
=
+
+
+
L
+
+
+
Ahora, multiplicando esta expresión por la razón se tiene:
( )
2
_
r
u
r
m
r
l
r
c
r
b
r
a
r
S
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
L
+
⋅
+
⋅
+
⋅
Restando (1) de (2) se tiene que:
a
r
u
S
r
S
⋅
−
=
⋅
−
ya que
b
=
a
⋅
r
,
c
=
b
⋅
r
,
L
,
u
=
m
⋅
r
, etc., y al restar se anulan.Factorizando
S
:( )
r
u
r
a
S
−
1
=
⋅
−
despejando
S
se obtiene la suma de los términos de una progresión geométrica:1
−
−
⋅
=
r
a
r
u
S
Ejemplos.1) Hallar la suma de los 6 primeros términos de
PG
=
{
4
,
−
8
,
16
,
L
}
Solución.
2
4
8
=
=
r
( )
2
4
( )
2
4
(
32
)
128
4
61 5 1=
−
=
−
=
−
=
−
⋅
=
n− −r
a
u
(
)( )
84
3
4
256
1
2
4
2
128
−
=
−
−
=
−
−
−
−
−
=
∴
S
2) Obtener la suma de los 7 primeros términos de
729
12
3
1
12
3
1
12
6 1 7 1
=
=
=
⋅
=
− − nr
a
u
991
17
243
372
4
3
2
187
2
232
26
3
2
2187
244
26
12
3
2
12
187
2
12
1
3
1
12
3
1
729
12
.
,
,
,
,
,
S
=
≈
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
∴
3) Encontrar la suma de los 8 primeros términos de
−
=
,
,
,
L
PG
2
1
1
2
Solución.2
1
−
=
r
64
1
128
2
2
1
2
2
1
2
7 1 8 1
=
−
=
−
−
=
−
=
⋅
=
− − nr
a
u
328125
1
64
85
2
3
128
255
2
3
128
256
1
2
3
2
128
1
1
2
1
2
2
1
64
1
.
S
=
=
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
=
∴
I.3.5 MEDIOS GEOMÉTRICOS E INTERPOLACIÓN
En una progresión geométrica se denominan medios geométricos a los términos que se encuentran entre el primer y el último término.
Ejemplo.
En la
PG
=
{
1
,
4
,
16
,
64
,
256
,
1024
}
, los términos4
,
16
,
64
y256
son medios geométricos.Interpolar medios geométricos entre dos números dados es formar una progresión geométrica cuyos
extremos sean los dos números dados. Ejemplos.
1) Interpolar 4 medios geométricos entre
−
7
y−
224
.Solución.
Si se quiere interpolar 4 medios geométricos, entonces la progresión consta de 6 términos, y su razón es:
2
32
7
224
5 1 6 1=
=
−
−
=
=
n− −a
u
r
Por lo tanto, el segundo término es:
( )
−
7
2
=
−
14
el tercer término es:
( )
−
14
2
=
−
28
el cuarto término es:
(
−
28
)
2
=
−
56
el quinto término es:
( )
−
56
2
=
−
112
2) Interpolar 7 medios geométricos entre
8
y32
1
. Solución.
Si se quiere interpolar 7 medios geométricos, entonces la progresión consta de 9 términos, y su razón es:
2
1
256
1
8
32
1
8 1 9 1=
=
=
=
n− −a
u
r
Por lo tanto, el segundo término es:
4
2
1
8
=
el tercer término es:
2
2
1
4
=
el cuarto término es:
1
2
1
2
=
el quinto término es:
2
1
2
1
1
=
el sexto término es:
4
1
2
1
2
1
=
el séptimo término es:
8
1
2
1
4
1
=
el octavo término es:
16
1
2
1
8
1
=
por lo que la progresión buscada es:
=
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
1
2
4
8
,
,
,
,
,
,
,
,
PG
I.3.6 SUMA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DECRECIENTE INFINITA
Si de la fórmula
1
−
−
⋅
=
r
a
r
u
S
, se sustituyeu
por su valoru
=
a
⋅
r
n−1, se tiene que:1
1
1−
−
⋅
=
−
−
⋅
⋅
=
−r
a
r
a
r
a
r
r
a
S
n no bien, si se cambian los signos a los dos términos de la fracción se tiene:
r
r
a
a
S
n−
⋅
−
=
1
En una progresión geométrica decreciente la razón es una fracción propia (menor que uno), y si esta razón se eleva a una potencia, cuanto mayor sea el exponente, menor es la potencia de la fracción. Por
tanto, entre más grande sea el exponente, menor será
r
n y tambiéna
⋅
r
n. Siendon
lo suficientementegrande,
a
⋅
r
n tiende a cero. Esto es:por lo que cuando el número de términos de la progresión geométrica tiende a infinito, el valor de la suma es:
r
a
S
−
=
1
Ejemplos.Hallar la suma de las siguientes progresiones geométricas infinitas:
I.3.7 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DECRECIENTE
Sea un cuadrado ABCD que tiene cuatro centímetros de lado. Si se construyen una serie de cuadrados, de manera que los puntos medios de los lados del primero sean los vértices del segundo, los puntos medios de los lados de éste, sean los vértices del tercero, y así sucesivamente, se obtiene una figura como la siguiente:
El cuadrado ABCD es
16 cm
2. El cuadrado EFGH es la mitad del cuadrado ABCD, por lo tanto el área delos triángulos HAE, EBF, FCG y GDH es la otra mitad del cuadrado ABCD. Por tanto, el área de los
triángulos del primer cuadrado interior es igual a
8 cm
2.En forma semejante se obtienen las áreas de los demás triángulos. Haciendo la suma de todos ellos, se tiene:
Área de los triángulos del primer cuadrado interior es
8 cm
2Área de los triángulos del segundo cuadrado interior es
4 cm
2Área de los triángulos del tercer cuadrado interior es
2 cm
2Área de los triángulos del cuarto cuadrado interior es
1 cm
2Área de los triángulos del quinto cuadrado interior es
0
.
5
cm
2Área de los triángulos del sexto cuadrado interior es
0
.
25
cm
2Área de los triángulos del séptimo cuadrado interior es
0
.
125
cm
2Área de los triángulos del octavo cuadrado interior es
0
.
0625
cm
2Área de los triángulos del noveno cuadrado interior es
0
.
03125
cm
2Área de los triángulos del décimo cuadrado interior es
0
.
015625
cm
2La suma de las áreas de los triángulos de los primeros diez cuadrados interiores es
15
.
984375
cm
2De este ejemplo, se observa que lo números
,
,
,
,
,
L
2
1
1
2
4
8
forman una progresión geométricadecreciente, de razón
2
1
. El valor de cada término disminuye, y un término se acerca más a cero cuanto mayor sea el número de los términos que le preceden.
La suma de los términos es constantemente inferior a 16, resultado que pudo obtenerse mediante la
fórmula:
16
2
1
8
2
1
1
8
=
=
−
=
S
I.3.8 PROBLEMAS RELATIVOS A LAS PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
1) Una persona ganó $20 el lunes y cada día ganó el doble de lo que ganó el anterior. ¿Cuánto ganó el sábado y cuánto de lunes a sábado?
Solución.
20
=
a
2
=
r
6
=
n
( )
2
20
( )
2
20
( )
32
640
20
6 1 5 1$
r
a
u
=
⋅
n−=
−=
=
=
ganó el sábado( )
1
260
1
2
200
2
640
1
$
,
r
a
r
u
S
=
−
−
=
−
−
⋅
=
∴
ganó de lunes a sábado2) Un apostador jugó durante 8 días y cada día ganó
3
1
de lo que ganó el día anterior. Si el octavo día ganó $10. ¿Cuánto ganó el primer día?
Solución.
8
=
n
3
1
=
r
10
=
u
870
21
187
2
1
10
3
1
10
3
1
10
7 1 8 1$
,
,
r
u
a
n=
=
=
=
=
− −3) El cuarto término de una progresión geométrica es
4
1
y el séptimo
32
1
sustituyendo (3) en (2):
2
1
8
1
32
4
32
1
4
32
1
4
1
3 3 3 6 3⋅
=
⇒
=
⇒
r
=
⇒
r
=
=
r
r
r
sustituyendo en (3):2
4
8
8
4
1
8
1
4
1
2
1
4
1
3=
=
=
=
=
a
16
1
32
1
2
2
1
2
2
1
2
5 1 6 1
=
=
=
=
⋅
=
− − nr
a
u
(sexto término)4) Un hombre que ahorra cada año los
3
2
de lo que ahorró el año anterior, ahorró el quinto año $16,000. ¿Cuánto ha ahorrado en los 5 años?
Solución.
3
2
=
r
000
16,
u
=
5
=
n
000
81
81
16
000
16
3
2
000
1
3
2
000
16
4 1 5 1,
,
,
,
r
u
a
n=
=
=
=
=
− −000
211
1
3
2
81
3
2
400
16
1
$
,
,
r
a
r
u
S
=
−
−
=
−
−
⋅
=
∴
ahorró en los cinco años5) La población de una ciudad ha aumentado en progresión geométrica de 59,049 personas que eran de 2001 a 100,000 en 2007. ¿Cuál es la razón de crecimiento por año?
Solución.
049
59,
a
=
6
=
n
000
100,
u
=
1111
1
6935
1
049
59
000
100
049
59
000
100
5 5 1 6 1.
.
,
,
,
,
a
u
r
=
n=
=
=
≈
∴
− − por año, es decir, creció el 11.11% anual.6) Para construir un desarrollo turístico, se compra un terreno de 2,000 hectáreas a pagar en 15 años de este modo: $100 el primer año, $300 el segundo, $900 el tercero, y así sucesivamente. ¿Cuál es el importe del terreno?
( )
717
445
300
1
3
100
3
900
296
478
1
$
'
,
,
'
r
a
r
u
S
=
−
−
=
−
−
⋅
=
∴
7) Una persona ha invertido en cada año
3
1
de los que invirtió el año anterior. Si el primer año invirtió $24,300, ¿cuánto ha invertido en 6 años?
Solución.
