{ }: en determinado término. Por ejemplo, en la primera sucesión el primer término ( ), es 10. El término enésimo o general es a

Texto completo

(1)

PROGRESIONES

UNIDAD I

I.1 SUCESIÓN Y SERIE

Una sucesión es una lista de números que siguen una regla determinada:

{ } {

a

n

=

a

1

,

a

2

,

a

3

,

⋅⋅

a

i

,

⋅⋅

,

a

n

}

Formalmente, las sucesiones se definen como un tipo especial de función de

n

cuyo dominio es el conjunto de

números naturales N:

{ }

a

n

:

N

R

Ejemplos de sucesiones: 1)

{ } {

a

n

=

5

,

10

,

15

,

20

,

25

,

⋅⋅

}

2)

{ } {

a

n

=

0

.

20

,

0

.

25

,

0

.

30

,

0

.

35

,

0

.

40

,

⋅⋅

}

3)

{ } {

a

n

=

1

,

2

,

4

,

8

,

16

,

⋅⋅

}

4)

{ } {

a

n

=

3

,

3

,

3

,

3

,

3

,

⋅⋅

}

El término i-ésimo

a

i de una sucesión es el que va acompañado de la letra que indica el valor del número

en determinado término. Por ejemplo, en la primera sucesión el primer término

( )

a

1 es 5, el segundo

término

( )

a

2 es 10, el tercer término

( )

a

3 , es 10. El término enésimo o general es

a

n.

Ejemplo. En la sucesión:

{ }

⋅⋅

=

,

2

5

,

2

,

2

3

,

1

,

2

1

n

a

, el término enésimo o general es:

=

2

n

a

n .

Para conocer los términos de una sucesión, se sustituye el valor de n desde 1 hasta el valor que se desee.

Una sucesión es infinita cuando tiene un número infinito de términos.

Ejemplo:

{ } {

a

n

=

1

,

6

,

11

,

16

,

21

,

⋅⋅

}

Una sucesión es finita cuando tiene un número determinado de términos.

Ejemplo:

{ } {

a

n

=

3

,

7

,

11

,

15

,

19

,

23

,

27

,

31

}

Una sucesión que se aproxima cada vez más a un cierto número, se llama convergente.

Ejemplo:

{ }

⋅⋅

=

,

5

1

,

4

1

,

3

1

,

2

1

,

1

n

a

(se acerca a cero)

Una sucesión que no tiene límite es divergente.

(2)

Una sucesión es creciente si cada término de la sucesión es mayor que el anterior.

Ejemplo:

{ } {

a

n

=

3

,

6

,

9

,

12

,

15

,

18

,

⋅⋅

}

Una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.

Ejemplo:

{ } {

a

n

=

1

,

1

,

3

,

5

,

7

,

⋅⋅

}

Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente. Ejemplos:

Monótona creciente:

{ } {

a

n

=

8

,

16

,

24

,

32

,

40

,

⋅⋅

}

Monótona decreciente:

{ }

=

{

25

,

3

25

,

4

25

,

5

25

,

6

25

,

⋅⋅

}

n

a

Una serie es la suma de los elementos de una sucesión. La suma puede ser finita o infinita. Los elementos de las series pueden ser números, letras o una combinación de ambas. Una serie puede representarse de dos formas:

• Enlistando los elementos con los signos entre los elementos.

• Usando la llamada notación sigma

( )

Σ

, que implica la sumatoria de todos los elementos, con sólo el

término general y el rango de la suma indicada. Ejemplo.

Las siguientes expresiones representan la misma serie:

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

+

+

+

+

( )

= +

=

10 1 1

1

n n n

n

s

Se define como serie infinita a la suma de los términos de la sucesión:

⋅⋅

+

+

⋅⋅

+

+

⋅⋅

+

+

+

=

=

∞ = n i n n n

a

a

a

a

a

a

s

1 2 3 1

en términos prácticos, se denota como

s

n

=

a

n .

Una serie finita se define como: i

i n n n

a

a

a

a

a

s

=

=

+

+

+

⋅⋅

+

=1 1 2 3 Ejemplos.

1) Dada la sucesión infinita:

{ }

⋅⋅

=

,

32

1

,

16

1

,

8

1

,

4

1

,

2

1

n

a

⋅⋅

+

+

⋅⋅

+

+

+

+

+

=

=

n n n

a

s

2

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

1

2) Dada la sucesión finita:

a

n

=

{

15

,

10

,

5

,

0

,

5

,

10

,

15

,

20

}

( ) ( ) ( )

15

10

5

0

5

10

15

20

8 1

+

+

+

+

+

+

+

=

=

= n n n

a

s

(3)

I.2 PROGRESIÓNES ARITMÉTICAS

Progresión aritmética es toda sucesión en la cual cada término después del primero se obtiene

sumándole al término anterior una constante llamada razón o diferencia.

Se denotan por

PA

y entre cada término y el siguiente se escribe una coma.

Ejemplos.

1)

PA

=

{

1

,

4

,

7

,

10

,

13

,

16

,

⋅⋅

}

es una progresión aritmética cuya razón es

3

ya que

4

1

=

3

,

3

4

7

=

,

10

7

=

3

, etc.

2)

PA

=

{

9

,

5

,

1

,

3

,

7

,

11

,

⋅⋅

}

es una progresión aritmética cuya razón es

4

ya que

5

9

=

4

,

4

5

1

=

,

3

1

=

4

, etc.

Una progresión aritmética es creciente cuando su razón es positiva. Ejemplo.

⋅⋅

=

3

5

3

4

3

3

3

2

3

1

,

,

,

,

PA

, es creciente porque su razón es

3

1

.

Una progresión aritmética es decreciente cuando su razón es negativa. Ejemplo.

{

⋅⋅

}

=

25

,

20

,

15

,

10

,

5

,

0

,

5

PA

, es decreciente ya que su razón es

5

.

I.2.1 ELEMENTOS Y DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL TÉRMINO ENÉSIMO

Sea la siguiente progresión:

{

a

,

b

,

c

,

d

,

e

,

,

u

}

PA

=

L

en la que

u

es el término enésimo y cuya razón es

r

.

Por definición, en toda progresión aritmética, cada término es igual al anterior más la razón, por lo tanto:

r

a

b

=

+

(

a

r

)

r

a

r

r

b

c

=

+

=

+

+

=

+

2

(

a

r

)

r

a

r

r

c

d

=

+

=

+

2

+

=

+

3

(

a

r

)

r

a

r

r

d

e

=

+

=

+

3

+

=

+

4

, y así sucesivamente.

Se puede apreciar que cada término es igual al primero de la progresión

a

más tantas veces la razón

como términos le preceden. Con base a este razonamiento, ésta ley se cumple para todos los términos,

y, se tendrá que

u

será igual al primer término

a

más tantas veces como la razón como términos le

preceden. Al ser

u

el término enésimo, le preceden

n

1

términos, por lo tanto:

( )

n

r

a

u

=

+

1

Ejemplos.

(4)

Solución.

3

7

10

=

=

r

9

=

n

7

=

a

( )

9

1

3

7

24

31

7

+

=

+

=

=

u

2) Hallar el doceavo término de

PA

=

{

11

,

6

,

1

,

L

}

Solución.

5

11

6

=

=

r

12

=

n

11

=

a

(

12

1

)( )

5

11

55

44

11

+

=

=

=

u

3) Hallar el quinceavo término de

=

L

8

1

7

2

,

PA

Solución.

56

9

56

16

7

7

2

8

1

=

=

=

r

15

=

n

7

2

=

a

(

)

28

55

56

110

56

126

16

56

126

7

2

56

9

1

15

7

2

=

=

=

=

+

=

u

I.2.2 DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS PARA OBTENER CADA UNO DE LOS ELEMENTOS

De la fórmula

u

=

a

+

( )

n

1

r

, se despejan

a

,

r

y

n

. Esto es:

Primer término:

a

=

u

(

n

1

)

r

Razón:

1

=

n

a

u

r

Número de términos:

=

+

1

r

a

u

n

ó

r

r

a

u

n

=

+

Ejemplos.

1) El quinceavo término de una progresión aritmética es

20

y la razón

7

2

. Hallar el primer término. Solución.

(

)

20

4

16

7

2

1

15

20

=

=

=

a

2) Hallar la razón de la progresión

PA

=

{

1

,

L

,

4

}

, donde

4

es el décimo término.

(5)

3) Cuántos términos tiene la progresión

PA

=

{

4

,

6

,

L

,

30

}

Solución.

2

4

6

=

=

r

14

2

28

2

2

4

30

+

=

=

=

n

términos.

I.2.3 TÉRMINOS EQUIDISTANTES

Sea la progresión

PA

=

{

a

,

L

m

,

L

,

p

,

L

u

}

de razón r. Si entre

a

y

m

hay

n

términos y entre

p

y

u

también hay

n

términos, entonces

m

y

p

son términos equidistantes de los extremos.

Si hay

n

términos entre

a

y

m

, se tiene que:

m

=

a

+

( )

n

+

1

r

_

( )

1

ya que al término

m

le preceden

(

n

+

1

)

términos contando al término

a

.

De la misma forma, si hay

n

términos entre

p

y

u

, se tiene que:

u

=

p

+

( )

n

+

1

r

_

( )

2

.

Restando (2) de (1), se tiene:

m

u

=

a

p

, o bien

m

+

p

=

a

+

u

Esto demuestra que en toda progresión aritmética la suma de dos términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.

Cuando el número de términos de una PA es impar, el término medio equidista de los extremos y por tanto, el doble de este término es igual a la suma de los extremos.

I.2.4 SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Sea la progresión

PA

=

{

a

,

b

,

c

,

L

,

l

,

m

,

u

}

, que consta de

n

términos. Si

S

es la suma de los

términos se tiene que:

( )

1

_

u

m

l

c

b

a

S

=

+

+

+

L

+

+

+

o bien que:

( )

2

_

a

b

c

l

m

u

S

=

+

+

+

L

+

+

+

Sumando (1) y (2) se tiene que:

(

a

u

) (

b

m

) ( )

c

l

( ) (

l

c

m

b

) (

u

a

)

S

=

+

+

+

+

+

+

L

+

+

+

+

+

+

2

Pero se sabe que todos los términos son iguales a

(

a

+

u

)

por ser términos equidistantes. Esto implica

que:

(

a

u

) (

a

u

) (

a

u

)

(

a

u

)

S

=

+

+

+

+

+

+

L

+

+

2

, pero como la progresión tiene

n

términos:

(

a

u

)

n

S

=

+

2

despejando

S

se obtiene la suma de los términos de una progresión aritmética:

(

)

2

n

u

a

S

=

+

Ejemplos.

1) Hallar la suma de los 19 primeros términos de

PA

=

{

31

,

38

,

45

,

L

}

(6)

(

)

1

786

2

19

157

31

,

S

=

+

=

2) Obtener la suma de los 14 primeros términos de

=

,

,

,

L

PA

2

1

5

2

10

3

Solución.

10

1

10

3

4

10

3

5

2

=

=

=

r

(

)

10

16

10

13

10

3

10

1

1

14

10

3

=

+

=

+

=

u

10

133

20

266

2

14

10

16

10

3

=

=

+

=

S

3) Encontrar la suma de los 60 primeros términos de

PA

=

{

11

,

1

,

9

,

L

}

Solución.

10

11

1

=

=

r

(

60

1

)( )

10

579

11

+

=

=

u

(

)

(

)

17

040

2

60

579

11

,

S

=

+

=

I.2.5 MEDIOS ARITMÉTICOS E INTERPOLACIÓN

En una progresión aritmética se denominan medios aritméticos a los términos que se encuentran entre el primer y el último término.

Ejemplo.

En la

PA

=

{

15

,

10

,

5

,

0

,

5

,

10

,

15

,

20

}

, los términos

10

,

5

,

0

,

5

,

10

y

15

son medios

aritméticos.

Interpolar medios aritméticos entre dos números dados es formar una progresión aritmética cuyos

extremos sean los dos números dados. Ejemplos.

1) Interpolar 4 medios aritméticos entre

5

y

12

.

Solución.

Si se quiere interpolar 4 medios aritméticos, entonces la progresión consta de 6 términos, y su razón es:

5

7

1

6

5

12

1

=

=

=

n

a

u

r

Por lo tanto, el segundo término es:

5

32

5

7

5

+

=

el tercer término es:

5

39

5

7

5

32

=

+

el cuarto término es:

(7)

el quinto término es:

5

53

5

7

5

46

=

+

por lo que la progresión buscada es:

=

12

3

53

5

46

5

39

5

32

5

,

,

,

,

,

PA

2) Interpolar 5 medios aritméticos entre

4

3

y

8

1

. Solución.

Si se quiere interpolar 4 medios aritméticos, entonces la progresión consta de 6 términos, y su razón es:

48

5

6

8

6

1

1

7

4

3

8

1

=

=

=

r

Por lo tanto, el segundo término es:

48

31

48

5

4

3

=

+

el tercer término es:

48

26

48

5

48

31

=

+

el cuarto término es:

48

21

48

5

48

26

=

+

el quinto término es:

48

16

48

5

48

21

=

+

el sexto término es:

48

11

48

5

48

16

=

+

por lo que la progresión buscada es:

=

8

1

48

11

48

16

48

21

48

26

48

31

4

3

,

,

,

,

,

,

PA

I.2.6 PROBLEMAS RELATIVOS A LAS PROGRESIONES ARITMÉTICAS

1) Se compran 50 artículos. Por el primero se pagó 800 pesos, y por cada uno de los demás 300 pesos más que por el anterior. Hallar el importe de la compra.

Solución.

50

=

n

800

=

a

300

=

r

(

n

1

)

r

800

(

50

1

)( )

300

15

,

500

a

u

=

+

=

+

=

(

) (

)

407

500

2

50

500

15

800

2

$

,

,

n

u

a

S

=

+

=

+

=

(8)

( )

n

1

r

3

,

000

( )(

5

1

300

)

$

4

,

200

u

a

=

=

=

3) Una deuda puede ser pagada en 32 semanas pagando $5,000 la primera semana, $8,000 la segunda semana, $11,000 la tercera semana, y así sucesivamente. Hallar el importe de la deuda.

Solución.

32

=

n

000

5,

a

=

000

3

000

5

000

8

,

,

,

r

=

=

(

n

1

)

r

5

,

000

(

32

1

)(

3

,

000

)

98

,

000

a

u

=

+

=

+

=

(

) (

)

1

648

000

2

32

000

98

000

5

2

$

'

,

,

,

n

u

a

S

=

+

=

+

=

4) En una carrera un hombre avanza 6 metros en el primer segundo, y en cada segundo posterior avanza 25 cm. más que el anterior. ¿Cuánto avanzó en el octavo segundo y que distancia habrá recorrido en 8 segundos? Solución.

6

=

a

25

0.

r

=

8

=

n

(

n

1

)

r

6

( )( )

8

1

0

.

25

7

.

75

a

u

=

+

=

+

=

en el octavo segundo

(

) (

)

55

2

8

75

7

6

2

=

+

=

+

=

S

a

u

n

.

metros.

5) El quinto término de una progresión aritmética es 31 y el noveno 59. Hallar el doceavo término. Solución.

( )

1

31

4

r

_

a

+

=

( )

2

59

8

r

_

a

+

=

restando (2) a (1):

7

4

28

28

4

=

=

=

r

r

de (1):

a

=

31

4

r

=

31

4

( )

7

=

3

por lo tanto, el doceavo término es:

u

=

a

+

( )

n

1

r

=

3

+

(

12

1

)( )

7

=

80

6) En una progresión aritmética de 12 términos el primer y último término suman 53.5. ¿Cuál es la suma del tercer y décimo término?

Solución.

Por ser términos equidistantes su suma también es

53.

5

7) ¿Cuál es el sexto término de una progresión aritmética de 11 términos, si su primer término es -2 y el último -52? Solución.

11

=

n

2

=

a

52

=

u

( )

5

10

50

1

11

2

52

1

=

=

=

=

n

a

u

r

(9)

8) ¿Cuántos términos hay que tomar de la progresión

PA

=

{

13

,

21

,

29

,

37

,

L

}

para que su suma sea 490? Solución.

13

=

a

8

13

21

=

=

r

490

=

S

(

)

2

n

u

a

S

=

+

pero

u

=

a

+

( )

n

1

r

, así que:

(

)

[

]

2

1

r

n

n

a

a

S

=

+

+

sustituyendo valores:

(

)

[

]

980

26

8

8

8

18

980

0

2

8

1

13

13

490

=

+

+

n

n

=

n

+

n

2

n

n

2

+

n

=

resolviendo la ecuación de segundo grado por la fórmula general:

( )(

)

( )

16

178

18

16

360

31

324

18

8

2

980

8

4

18

18

2

±

=

+

±

=

±

=

,

n

10

16

160

16

178

18

1

=

=

+

=

n

25

12

16

196

16

178

18

2

.

n

=

=

=

(esta raíz que se descarta porque

n

no puede ser negativo)

por lo tanto, el último término es:

u

=

a

+

( )

n

1

r

=

13

+

(

10

1

)( )

8

=

85

I.3 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Antiguamente había quienes estaban interesados en sucesiones de números figurados cuyos elementos consistían en números que podían asociarse con figuras geométricas formadas por puntos. Aunque muchas sucesiones sólo interesan desde el punto de de vista de pasatiempo, hay otras de gran interés. Como ejemplificación de esto es el número de antepasados que tiene o tuvo una persona en cada generación que le precede, ya que tiene o tuvo dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos, etc.

Otro ejemplo puede ser el truco de los espejos en el que se fotografía la imagen de alguien reflejado en un espejo mientras que sostiene otro espejo orientado hacia el primero, de manera que su imagen se refleja una y otra vez, una infinidad de veces. Si los espejos se colocan en forma adecuada, las primeras imágenes reflejadas son cada vez más pequeñas teniendo cada una, después de la primera, la mitad de

altura que la anterior. Así, si la altura de la primera imagen es

h

, entonces las alturas de las imágenes

sucesivas forma la sucesión:

L

L

,

h

,

,

h

,

h

,

h

,

h

n 1

2

8

4

2

Cada término, excepto el primero, de la sucesión puede obtenerse multiplicando el término anterior por

2

1

.

(10)

Progresión geométrica es toda sucesión de términos en la cual cada término después del primero se

obtiene multiplicando al término anterior una constante llamada razón.

Se denotan mediante

PG

y entre cada término y el siguiente se escribe una coma.

Ejemplos.

1)

PG

=

{

5

,

10

,

20

,

40

,

80

,

160

,

⋅⋅

}

es una progresión geométrica cuya razón es

2

ya que

2

5

10

=

,

2

10

20

=

,

2

20

40

=

, etc. 2)

⋅⋅

=

,

,

,

,

,

,

,

PG

3

1

1

3

9

27

81

243

es una progresión geométrica cuya razón es

3

1

ya que

3

1

243

81

=

,

3

1

81

27

=

,

3

1

27

9

=

, etc.

Una progresión geométrica es creciente cuando su razón, en valor absoluto, es mayor que uno. Ejemplo.

{

⋅⋅

}

=

,

,

,

,

PG

1

5

25

125

, es creciente porque su razón es

5

.

Una progresión geométrica es decreciente cuando su razón, en valor absoluto, es menor que uno. Ejemplo.

⋅⋅

=

,

,

,

,

,

,

PG

4

1

2

1

1

2

4

8

, es decreciente ya que su razón es

2

1

.

I.3.1 ELEMENTOS Y DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL TÉRMINO ENÉSIMO

Sea la siguiente progresión:

{

a

,

b

,

c

,

d

,

e

,

,

u

}

PG

=

L

en la que

u

es el término enésimo y cuya razón es

r

.

Por definición, en toda progresión geométrica, cada término es igual al anterior multiplicado por la razón, por lo tanto:

r

a

b

=

2

r

a

r

r

a

r

b

c

=

=

=

3 2

r

a

r

r

a

r

c

d

=

=

=

4 3

r

a

r

r

a

r

d

e

=

=

=

, y así sucesivamente.

Se puede apreciar que un término cualquiera es igual al primero de la progresión multiplicado por la razón elevada a una potencia igual al número de términos que le preceden.

Como

u

es el término enésimo y le preceden

n

1

términos, se tiene que:

(11)

Ejemplos.

1) Hallar el séptimo término de

PG

=

{

3

,

6

,

12

,

L

}

Solución.

2

3

6

=

=

r

3

=

a

7

=

n

( ) ( )

2

3

2

3

( )

64

192

3

71

=

6

=

=

=

u

2) Hallar el noveno término de

PG

=

{

8

,

4

,

2

,

L

}

Solución.

2

1

8

4

=

=

r

8

=

a

9

=

n

32

1

256

1

8

2

1

8

2

1

8

8 1 9

=

=

=

=

u

3) Hallar el quinto término de

=

,

,

,

L

PG

4

15

2

3

5

3

Solución.

5

3

=

a

5

=

n

2

5

6

15

5

3

2

3

=

=

=

r

16

375

80

1875

16

625

5

3

2

5

5

3

2

5

5

3

5 1 4

=

=

=

=

=

u

Cuando la razón es negativa los términos de la progresión geométrica son alternadamente positivos y

negativos. Si

n

1

es par, el resultado tendrá signo positivo y si

n

1

es impar, tendrá signo negativo.

I.3.2 DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS PARA OBTENER CADA UNO DE LOS ELEMENTOS

De la fórmula

u

=

a

r

n−1, se despejan

a

,

r

y

n

. Esto es:

Primer término:

=

n1

r

u

a

Razón:

=

n−1

a

u

r

Para obtener el número de términos, se toma el logaritmo de cada uno de los miembros:

(12)

(

1

)

=

1

=

n

r

Log

a

u

Log

r

Log

n

a

u

Log

Por lo que el número de términos está dado por:

=

+

1

r

Log

a

u

Log

n

Ejemplos.

1) La razón de una progresión geométrica es

3

2

y el noveno término es

187

2

64

,

. Hallar el primer término.

Solución.

3

2

=

r

9

=

n

187

2

64

,

u

=

4

3

561

6

256

187

2

64

3

2

187

2

64

3

2

187

2

64

8 1 9 1

=

=

=

=

=

,

,

,

,

r

u

a

n

2) Hallar la razón de

PG

=

{

5

,

L

,

640

}

de ocho términos.

Solución.

5

=

a

640

=

u

8

=

n

2

128

5

640

7 1 8 1

=

=

=

=

n− −

a

u

r

3) Cuántos términos tiene la progresión

PG

=

{

3

,

9

,

L

,

19

,

683

}

Solución.

3

=

a

3

3

9

=

=

r

683

19,

u

=

9

1

8

1

3

3

683

19

1

=

+

=

+

=

+

=

Log

,

Log

r

Log

a

u

Log

n

I.3.3 TÉRMINOS EQUIDISTANTES

Sea la progresión

PG

=

{

a

,

L

m

,

L

,

p

,

L

u

}

de razón r. Si entre

a

y

m

hay

n

términos y entre

p

y

(13)

Si hay

n

términos entre

a

y

m

, se tiene que:

m

=

a

r

n+1

_

( )

1

ya que al término

m

le preceden

(

n

+

1

)

términos contando al término

a

.

De la misma forma, si hay

n

términos entre

p

y

u

, se tiene que: 1

( )

2

_

r

p

u

=

n+

. Dividiendo (1) por (2), se tiene:

p

a

u

m

=

, o bien

m

p

=

a

u

Esto demuestra que en toda progresión geométrica el producto de dos términos equidistantes es igual al producto de los extremos.

Cuando el número de términos de una PG es impar, el término medio equidista de los extremos y por tanto, el cuadrado de este término es igual al producto de los extremos.

I.3.4 SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Sea la progresión

PG

=

{

a

,

b

,

c

,

L

,

l

,

m

,

u

}

, que consta de

n

términos. Si

S

es la suma de los

términos se tiene que:

( )

1

_

u

m

l

c

b

a

S

=

+

+

+

L

+

+

+

Ahora, multiplicando esta expresión por la razón se tiene:

( )

2

_

r

u

r

m

r

l

r

c

r

b

r

a

r

S

=

+

+

+

L

+

+

+

Restando (1) de (2) se tiene que:

a

r

u

S

r

S

=

ya que

b

=

a

r

,

c

=

b

r

,

L

,

u

=

m

r

, etc., y al restar se anulan.

Factorizando

S

:

( )

r

u

r

a

S

1

=

despejando

S

se obtiene la suma de los términos de una progresión geométrica:

1

=

r

a

r

u

S

Ejemplos.

1) Hallar la suma de los 6 primeros términos de

PG

=

{

4

,

8

,

16

,

L

}

Solución.

2

4

8

=

=

r

( )

2

4

( )

2

4

(

32

)

128

4

61 5 1

=

=

=

=

=

n− −

r

a

u

(

)( )

84

3

4

256

1

2

4

2

128

=

=

=

S

2) Obtener la suma de los 7 primeros términos de

(14)

729

12

3

1

12

3

1

12

6 1 7 1

=

=

=

=

− − n

r

a

u

991

17

243

372

4

3

2

187

2

232

26

3

2

2187

244

26

12

3

2

12

187

2

12

1

3

1

12

3

1

729

12

.

,

,

,

,

,

S

=

=

=

=

=

3) Encontrar la suma de los 8 primeros términos de

=

,

,

,

L

PG

2

1

1

2

Solución.

2

1

=

r

64

1

128

2

2

1

2

2

1

2

7 1 8 1

=

=

=

=

=

− − n

r

a

u

328125

1

64

85

2

3

128

255

2

3

128

256

1

2

3

2

128

1

1

2

1

2

2

1

64

1

.

S

=

=

=

=

=

=

I.3.5 MEDIOS GEOMÉTRICOS E INTERPOLACIÓN

En una progresión geométrica se denominan medios geométricos a los términos que se encuentran entre el primer y el último término.

Ejemplo.

En la

PG

=

{

1

,

4

,

16

,

64

,

256

,

1024

}

, los términos

4

,

16

,

64

y

256

son medios geométricos.

Interpolar medios geométricos entre dos números dados es formar una progresión geométrica cuyos

extremos sean los dos números dados. Ejemplos.

1) Interpolar 4 medios geométricos entre

7

y

224

.

Solución.

Si se quiere interpolar 4 medios geométricos, entonces la progresión consta de 6 términos, y su razón es:

2

32

7

224

5 1 6 1

=

=

=

=

n− −

a

u

r

Por lo tanto, el segundo término es:

( )

7

2

=

14

el tercer término es:

( )

14

2

=

28

el cuarto término es:

(

28

)

2

=

56

el quinto término es:

( )

56

2

=

112

(15)

2) Interpolar 7 medios geométricos entre

8

y

32

1

. Solución.

Si se quiere interpolar 7 medios geométricos, entonces la progresión consta de 9 términos, y su razón es:

2

1

256

1

8

32

1

8 1 9 1

=

=

=

=

n− −

a

u

r

Por lo tanto, el segundo término es:

4

2

1

8

=

el tercer término es:

2

2

1

4

=

el cuarto término es:

1

2

1

2

=

el quinto término es:

2

1

2

1

1

=

el sexto término es:

4

1

2

1

2

1

=

el séptimo término es:

8

1

2

1

4

1

=

el octavo término es:

16

1

2

1

8

1

=

por lo que la progresión buscada es:

=

32

1

16

1

8

1

4

1

2

1

1

2

4

8

,

,

,

,

,

,

,

,

PG

I.3.6 SUMA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DECRECIENTE INFINITA

Si de la fórmula

1

=

r

a

r

u

S

, se sustituye

u

por su valor

u

=

a

r

n−1, se tiene que:

1

1

1

=

=

r

a

r

a

r

a

r

r

a

S

n n

o bien, si se cambian los signos a los dos términos de la fracción se tiene:

r

r

a

a

S

n

=

1

En una progresión geométrica decreciente la razón es una fracción propia (menor que uno), y si esta razón se eleva a una potencia, cuanto mayor sea el exponente, menor es la potencia de la fracción. Por

tanto, entre más grande sea el exponente, menor será

r

n y también

a

r

n. Siendo

n

lo suficientemente

grande,

a

r

n tiende a cero. Esto es:

(16)

por lo que cuando el número de términos de la progresión geométrica tiende a infinito, el valor de la suma es:

r

a

S

=

1

Ejemplos.

Hallar la suma de las siguientes progresiones geométricas infinitas:

(17)

I.3.7 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DECRECIENTE

Sea un cuadrado ABCD que tiene cuatro centímetros de lado. Si se construyen una serie de cuadrados, de manera que los puntos medios de los lados del primero sean los vértices del segundo, los puntos medios de los lados de éste, sean los vértices del tercero, y así sucesivamente, se obtiene una figura como la siguiente:

El cuadrado ABCD es

16 cm

2. El cuadrado EFGH es la mitad del cuadrado ABCD, por lo tanto el área de

los triángulos HAE, EBF, FCG y GDH es la otra mitad del cuadrado ABCD. Por tanto, el área de los

triángulos del primer cuadrado interior es igual a

8 cm

2.

En forma semejante se obtienen las áreas de los demás triángulos. Haciendo la suma de todos ellos, se tiene:

Área de los triángulos del primer cuadrado interior es

8 cm

2

Área de los triángulos del segundo cuadrado interior es

4 cm

2

Área de los triángulos del tercer cuadrado interior es

2 cm

2

Área de los triángulos del cuarto cuadrado interior es

1 cm

2

Área de los triángulos del quinto cuadrado interior es

0

.

5

cm

2

Área de los triángulos del sexto cuadrado interior es

0

.

25

cm

2

Área de los triángulos del séptimo cuadrado interior es

0

.

125

cm

2

Área de los triángulos del octavo cuadrado interior es

0

.

0625

cm

2

Área de los triángulos del noveno cuadrado interior es

0

.

03125

cm

2

Área de los triángulos del décimo cuadrado interior es

0

.

015625

cm

2

La suma de las áreas de los triángulos de los primeros diez cuadrados interiores es

15

.

984375

cm

2

(18)

De este ejemplo, se observa que lo números

,

,

,

,

,

L

2

1

1

2

4

8

forman una progresión geométrica

decreciente, de razón

2

1

. El valor de cada término disminuye, y un término se acerca más a cero cuanto mayor sea el número de los términos que le preceden.

La suma de los términos es constantemente inferior a 16, resultado que pudo obtenerse mediante la

fórmula:

16

2

1

8

2

1

1

8

=

=

=

S

I.3.8 PROBLEMAS RELATIVOS A LAS PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

1) Una persona ganó $20 el lunes y cada día ganó el doble de lo que ganó el anterior. ¿Cuánto ganó el sábado y cuánto de lunes a sábado?

Solución.

20

=

a

2

=

r

6

=

n

( )

2

20

( )

2

20

( )

32

640

20

6 1 5 1

$

r

a

u

=

n

=

=

=

=

ganó el sábado

( )

1

260

1

2

200

2

640

1

$

,

r

a

r

u

S

=

=

=

ganó de lunes a sábado

2) Un apostador jugó durante 8 días y cada día ganó

3

1

de lo que ganó el día anterior. Si el octavo día ganó $10. ¿Cuánto ganó el primer día?

Solución.

8

=

n

3

1

=

r

10

=

u

870

21

187

2

1

10

3

1

10

3

1

10

7 1 8 1

$

,

,

r

u

a

n

=

=

=

=

=

3) El cuarto término de una progresión geométrica es

4

1

y el séptimo

32

1

(19)

sustituyendo (3) en (2):

2

1

8

1

32

4

32

1

4

32

1

4

1

3 3 3 6 3

=

=

r

=

r

=

=

r

r

r

sustituyendo en (3):

2

4

8

8

4

1

8

1

4

1

2

1

4

1

3

=

=

=

=

=

a

16

1

32

1

2

2

1

2

2

1

2

5 1 6 1

=

=

=

=

=

− − n

r

a

u

(sexto término)

4) Un hombre que ahorra cada año los

3

2

de lo que ahorró el año anterior, ahorró el quinto año $16,000. ¿Cuánto ha ahorrado en los 5 años?

Solución.

3

2

=

r

000

16,

u

=

5

=

n

000

81

81

16

000

16

3

2

000

1

3

2

000

16

4 1 5 1

,

,

,

,

r

u

a

n

=

=

=

=

=

000

211

1

3

2

81

3

2

400

16

1

$

,

,

r

a

r

u

S

=

=

=

ahorró en los cinco años

5) La población de una ciudad ha aumentado en progresión geométrica de 59,049 personas que eran de 2001 a 100,000 en 2007. ¿Cuál es la razón de crecimiento por año?

Solución.

049

59,

a

=

6

=

n

000

100,

u

=

1111

1

6935

1

049

59

000

100

049

59

000

100

5 5 1 6 1

.

.

,

,

,

,

a

u

r

=

n

=

=

=

− − por año, es decir, creció el 11.11% anual.

6) Para construir un desarrollo turístico, se compra un terreno de 2,000 hectáreas a pagar en 15 años de este modo: $100 el primer año, $300 el segundo, $900 el tercero, y así sucesivamente. ¿Cuál es el importe del terreno?

(20)

( )

717

445

300

1

3

100

3

900

296

478

1

$

'

,

,

'

r

a

r

u

S

=

=

=

7) Una persona ha invertido en cada año

3

1

de los que invirtió el año anterior. Si el primer año invirtió $24,300, ¿cuánto ha invertido en 6 años?

Solución.

300

24,

a

=

3

1

=

r

6

=

n

100

243

1

300

24

3

1

300

24

3

1

300

24

5 1 6 1

=

=

=

=

=

− −

,

,

,

r

a

u

n

400

36

1

3

1

300

24

3

1

100

1

$

,

,

r

a

r

u

S

=

=

=

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