Sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss.

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(1)

l planteamiento y resolución de sistemas de ecuaciones es un instrumento con el que se au-menta considerablemente la capacidad para resolver problemas. En esta unidad nos vamos a centrar en los sistemas lineales, es decir, en los que las ecuaciones son de primer grado. Los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas se han estudiado en los cursos anteriores, se resolvieron por los métodos de reducción, sustitución e igualación. En 1º de Bachillerato, se introduje-ron los sistemas lineales de cualquier número de ecuaciones con cualquier número de incógnitas, y se estudió el método de Gauss para su resolución. En esta unidad se profundizará sobre dichos concep-tos. Averiguaremos si un sistema es compatible (con solución) o incompatible (sin solución), si tiene infinitas soluciones (indeterminado) o solución única (determinado).

Una parte importante de la unidad se dedicará a discutir o analizar sistemas lineales dependientes de un parámetro; en realidad se trata del estudio de los infinitos sistemas de ecuaciones que se obtie-nen para cada valor del parámetro. Se averiguará para qué valor del parámetro son compatibles y para que valores son incompatibles; de los valores que resulten compatibles distinguiremos los casos de sistemas determinados e indeterminados. Así mismo hallaremos la solución o soluciones en los ca-sos compatibles.

Por último, plantearemos problemas cuya solución requerirá el planteamiento y resolución de un sistema de ecuaciones lineales.

En esta Unidad didáctica nos proponemos alcanzar los objetivos siguientes: 1. Reconocer un sistema de ecuaciones lineales y que significa su solución.

2. Clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones en compatibles determina-dos, compatibles indeterminados e incompatibles.

3. Manejar las transformaciones elementales que permiten convertir un sistema en otro equiva-lente.

4. Aplicar dichas transformaciones para convertir un sistema cualquiera en otro escalonado equi-valente.

5. Dominar el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

6. Discutir y en su caso resolver sistemas de ecuaciones lineales que dependan de un parámetro. 7. Resolver problemas que precisen el planteamiento y resolución de sistemas de ecuaciones

li-neales.

ÍNDICE DE CONTENIDOS

1. Ecuaciones lineales ... 2

2. Sistemas de ecuaciones lineales ... 3

3. Sistemas equivalentes. Transformaciones elementales... 4

4. Sistemas escalonados ... 5

5. Método de Gauss ... 7

6. Sistemas homogéneos ... 11

7. Sistemas de ecuaciones con parámetros ... 12

8. Problemas que se resuelven planteando sistemas de ecuaciones lineales ... 14

L

E

Sistemas de ecuaciones lineales.

Método de Gauss.

(2)

1.

Ecuaciones lineales

Las expresiones algebraicas siguientes son ecuaciones lineales:

5x+ =0;

Tienen la particularidad de que son polinomios de una o varias variables de grado 1

cir, las incógnitas no están elevadas a ninguna potencia, ni multiplicadas entre sí, ni bajo radicales, ni en el denominador,…..

No son ecuaciones lineales las si

Una ecuación lineal con n incógnitas forma:

donde a1, a2, a3, ….,an son los coeficientes de las incógnitas término independiente y también un número real

Una solución de la ecuación lineal a

ros reales s1, s2, s3, …, sn que, sustituidos por las incógnitas, verifican la igualdad, es de que a1s1+a2s2+a3s3+----+ansn=c.

Por ejemplo, dada la ecuación lineal 2x porque 2·2-1+3·(-1)=0. Esta solución se sue solución: (0, 0, 0) , (-1, 4, 2), ….

Sistemas

equivalentes

Transformaciones

as expresiones algebraicas siguientes son ecuaciones lineales:

=0; 4x-3y=7; 2x-y+3z=5; 5x-2y+3z-t=0

Tienen la particularidad de que son polinomios de una o varias variables de grado 1

cir, las incógnitas no están elevadas a ninguna potencia, ni multiplicadas entre sí, ni bajo radicales, ni en el denominador,…..

No son ecuaciones lineales las siguientes:

; x2-4x+3=0; y=x2-4; + =1

con n incógnitas x1, x2, x3, ….,xn es una expresión

a1x1+a2x2+a3x3+----+anxn=c

los coeficientes de las incógnitas y números reales y también un número real.

de la ecuación lineal a1x1+a2x2+a3x3+----+anxn=c está formada por n núm que, sustituidos por las incógnitas, verifican la igualdad, es de

=c.

Por ejemplo, dada la ecuación lineal 2x-y+3z=0, una de sus soluciones es: x=2, 1)=0. Esta solución se suele escribir en la forma (2, 1,

1, 4, 2), ….

SISTEMAS DE

ECUACIONES

LINEALES

Transformaciones

elementales

Sistemaas

escalonados

MÉTODO DE

GAUSS

Sistemas con

parámetros

Tienen la particularidad de que son polinomios de una o varias variables de grado 1. Es de-cir, las incógnitas no están elevadas a ninguna potencia, ni multiplicadas entre sí, ni bajo

es una expresión algebraica de la

números reales, siendo c el

=c está formada por n núme-que, sustituidos por las incógnitas, verifican la igualdad, es decir,

, una de sus soluciones es: x=2, y=1, z=-1 le escribir en la forma (2, 1, -1). También son

(3)

2.

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas es un sistema de ecuaciones lineales

de la forma: ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ …

donde los aij, ci son números reales.

• x1, x2, ……., xn son las incógnitas

• aij es el coeficiente de la incógnita xj en la ecuación i

• c1, c2, …….., cm son los términos independientes

Ejemplo de un sistema lineal de 4 ecuaciones y 3 incógnitas

4 5 1

2 3

3 2 5

5 2 0

Un solución del sistema es un conjunto de n números reales (s1, s2, ….., sn) que sustitui-dos por las incógnitas verifican todas las ecuaciones del sistema.

Dado el sistema:

2 2

2 3 4 3

2 2 9

Comprobamos que x=-1, y = 3 y z=2 es una solución del sistema siguiente. En efecto, sustituyendo dichos valores en el sistema:

1 3 2 2 2

2 1 3 3 4 2 3

2 1 3 2 2 9 se verifican todas las igualdades. En cambio x=0, y =0 y z=1 no es solución de dicho sistema:

0 0 2 1 2

2 0 3 0 4 1 3

2 0 0 2 1 9 puesto que no verifican todas las igualdades.

Resolver un sistema consiste en encontrar todas sus soluciones.

Clasificación de los sistemas lineales

Atendiendo al número de soluciones, los sistemas pueden ser:

Incompatibles, si no tienen solución

Compatibles, si tienen solución

o Determinado, si tiene una única solución

o Indeterminado, si tiene infinitas soluciones

Un sistema se dice homogéneo cuando todos los términos independientes son nulos.

(4)

3.

Sistemas equivalentes. Transformaciones elementales

Dos sistemas con las mismas incógnitas se dicen equivalentes si tienen las mismas solu-ciones.

Por ejemplo: 3 5

1 ,

3

2 0

4 9 son sistemas equivalentes porque ambos tienen la solución x=1, y=2.

Llamaremos Transformaciones elementales a las operaciones que podemos realizar con las ecuaciones de un sistema para obtener otro sistema equivalente.

Las transformaciones elementales no varían el conjunto de soluciones del sistema. Son las siguientes:

a) Intercambiar el orden de las ecuaciones o de las incógnitas.

: 2 3 2

: 2 4 0 ↔ ≈ 2 2 34 02 ↔ ≈ 2 2 43 02

b) Multiplicar o dividir los dos miembros de una ecuación por un número distinto

de cero.

2 3 5

3 6 9 →→ /31 ≈ 2 32 53

c) Suprimir una ecuación del sistema que sea combinación lineal de otras (esto es

suma de otras multiplicadas por números cualesquiera). 3

2 0

4 9 & 3 & ≈

3

2 0

d) Sustituir una ecuación por una combinación lineal de ella y de las otras, siempre

que el coeficiente de ésta sea distinto de cero.

(5)

Como caso particular, podemos sumar a una ecuación otra multiplicada por un

número.

2 3 1

2 ∓ 2 2 → 2 ≈ 25 38 14

4. Sistemas escalonados

Observa los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) 52 105 154 3 6 b) 2 4 4 24 2 5

La resolución de los dos sistemas se realiza de una forma muy sencilla. a) E3: z=-6/3=-2

E2: 2y+5·(-2)=4 → 2y=14 → y=14/2 = 7 E1: 3x-5·7-10·(-2)=-15 → 3x=0 → x=0

El proceso para llegar a la solución x=0, y=7, z=-2 ha sido muy sencillo por la forma

escalonada del sistema: cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.

b) Aunque su aspecto es menos claro, este otro sistema también es escalonado E2: y=24/4=6

E1: 6-2z=-4 → -2z=-4-6=-10 → z=(-10)/(-2)=5 E3: x-2·6+5=-5 → x=-5+12-5=12-10=2

Solución: x=2, y=6, z=5

También es escalonado el siguiente sistema. Al tener más incógnitas que ecuaciones, pasa-mos una de las incógnitas al segundo miembro y las demás se calculan en función de ella.

) 2 12 →) 2 21 → : 1 2 1 2 2 3 3

: 2

Como x e y están puestas en función de z, tomando z como parámetro, z

λ

, la solución queda: x=-3+3

λλλλ

, y=2-

λλλλ

, z=

λλλλ

∀∀∀∀

λλλλ ∈ R.

Para cada valor que demos a

λλλλ

, obtendremos los correspondientes valores de x e y. Por ejemplo: para

λ

=0, se obtiene x=-3 , y=2, z=0

para

λ

=1, se obtiene x=0 , y=1, z=1 para

λ

=-2, se obtiene x=-9, y=4, z=-2

Es un sistema con infinitas soluciones. Es un sistema compatible indeterminado.

(6)

Son sistemas de la forma:

& & … . . & & ⋯ . .

&& & ⋯ . . & & … … … . -. / . 0

Estos sistemas son de fácil resolución calculando las distintas incógnitas a partir de la última ecuación y sustituyendo de abajo hacia arriba.

Cómo transformar un sistema en otro escalonado

Ejemplos

1. Transformar el sistema siguiente en un sistema equivalente escalonado, clasificarlo y en su caso resolverlo:

2 1

2 3 4 4

5 3 16

Solución

En primer lugar se debe anular el coeficiente de x en las dos últimas ecuaciones, para lo cual, se realizan las siguientes transformaciones:

• Sustituir la segunda ecuación, por la que resulta de sumar a esa segunda ecuación la primera multiplicada por -2. Se indicará → 2 .

2 2 4 2

2 3 4 4

8 6

• Sustituir la tercera ecuación, por la que resulta de sumar a esa tercera ecuación, la primera multiplicad por -5. Se indicará && 5 .

5 5 10 5

5 3 16 4 13 21

Con lo que queda el sistema equivalente siguiente: 28 16

4 13 21

En segundo lugar debemos anular el coeficiente y de la tercera ecuación; para lo que se realiza la siguiente transformación:

• Sustituir la tercera ecuación, por la que resulta de sumar a esa tercera ecuación la segunda multiplicada por 4. Se indicará && 4 .

4 32 24

4 13 21

45 45

Con ello tenemos el siguiente sistema escalonado equivalente al dado: 28 16

45 45

Es un sistema compatible determinado, cuya solución se obtiene despejando de abajo arriba: z=1; -y + 8=6 → y=2; x-2-2=-1 → x=3.

(7)

2. Dado el sistema 2 32 2 8 5

4 6 , transformarlo en otro escalonado y, en su caso, resolverlo.

Solución

Utilizaremos el coeficiente de x de la primera ecuación para anular los coeficientes de x en la segunda y la tercera ecuación.

• Sustituimos la segunda ecuación por la que se obtiene de restar a la 2ª ecuación la primera multiplicada por 2.

• Después, a la tercera ecuación le restaremos la primera multiplicada por 4.

→ 2

&→ & 4

2 5

4 18

7 3 26

Con el fin de eliminar la incógnita y de la tercera ecuación, se utiliza la segunda ecua-ción, de tal manera que

• Se sustituye la tercera ecuación, por el resultado restar a la tercera ecuación la se-gunda multiplicada por 7.

&→ & 7

2 5

4 18

25 100

Una vez que se ha obtenido el sistema escalonado, que es compatible determinado, se resuelve como hemos indicado anteriormente y se obtiene la solución: x=3, y=-2, z=4.

5. MÉTODO DE GAUSS

El procedimiento visto en el apartado anterior para transformar un sistema de ecuaciones lineales en otro escalonado se llama método de Gauss.

Notación matricial de un sistema de ecuaciones

Dicho procedimiento puede mejorarse sí, prescindiendo de las incógnitas, nos limitamos a utilizar los números (coeficientes y términos independientes). Veamos como resulta el ejem-plo anterior: 21 22 3 12 4 1 13 5 8 64 → 2 &→ & 4 ≈2 1 2 1 0 1 4 0 7 33 5 18 264 &→ & 7 ≈ 2 1 2 1 0 1 4 0 0 253 5 18 1004 Estas cajas numéricas se llaman matrices y se estudiarán en profundidad en la próxima unidad. Diremos que es la matriz ampliada asociada al sistema. Con ellas se simplifica el procedimiento de transformaciones sucesivas. Cada matriz corresponde a un sistema equivalente al anterior. El último es escalonado y se resuelve fácilmente.

El método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales consiste en:

•••• Reducir el sistema, a otro equivalente en forma escalonada.

•••• Clasificar el sistema escalonado según el número de soluciones.

(8)

Ejemplos

3. Clasificar y resolver el sistema siguiente:

2 5

1

3 2 1

Solución

La matriz asociada al sistema es 2 21 11 11 1 3 23

5 1

14, a la cuál aplicamos las transformacio-nes elementales siguientes:

2 21 11 11 1 3 23 5 1 14 ↔ ≈ 2 1 1 1 2 1 1 1 3 23 1 5 14 → 2 &→ & ≈ 2 1 1 1 0 3 3 0 2 33 1 3 24 → /3 ≈ ≈ 2 1 1 1 0 1 1 0 2 33 1 1 24 &→ & 2 ≈ 2 1 1 1 0 1 1 0 0 53 1 1 04

El sistema escalonado equivalente al dado es 11

5 0

La tercera ecuación tiene solución única y permite resolver el sistema fácilmente. Es un sistema compatible determinado, y despejando de abajo arriba, se tiene:

z=0/5=0 ; y=1+z=1+0=1 ; x =1+y-z=1+1-0=2. La solución es: (x, y ,z) =(2, 1, 0)

4. Discutir y resolver en su caso el sistema siguiente:

3 4 2 6 3 2 2 10 Solución 212 11 31 3 1 23 4 3 104 → 2 &→ & 3 ≈ 2 1 1 3 0 1 7 0 1 73 4 2 24 &→ & ≈ 2 1 1 3 0 1 7 0 0 03 4 2 04 El sistema equivalente al dado es 37 42

0 0

La tercera ecuación se verifica para cualquier valor de z, por lo que tiene infinitas solu-ciones, que serán las infinitas las soluciones del sistema; se trata de un sistema

compa-tible indeterminado.

El sistema que resulta es: 3 4

7 2

Se toma z=

λ

como parámetro, y se sustituye en la segunda ecuación, y=-2+7z=-2+7

λ

. Llevamos ahora los valores anteriores a la primera ecuación, x=4+y-3z=4+(-2+7

λ

)-3

λ

= =2+4

λ

.

La solución es: (x, y ,z) = (2+λλλλ, -2+7λλλλ, λλλλ) , ∀∀∀∀λλλλ∈ R.

(9)

Solución 224 1 32 6 1 1 13 6 9 34 ↔ & ↔ & ≈ 2 1 1 1 2 1 3 4 2 63 3 6 94 → 2 &→ & 4 ≈ 2 1 1 1 0 1 1 0 2 23 3 0 34 &→ & 2 ≈ ≈ 210 1 11 1 0 0 03 3 0 34.

El sistema equivalente al dado es 30

0 3

La tercera ecuación 0z = -3 no tiene solución, cualquier número multiplicado por cero da cero. Se trata de un sistema incompatible.

Clasificación del sistema escalonado.

Observamos en los sistemas escalonados obtenidos en los ejemplos anteriores que existen ecuaciones de la forma 0x+0y+0z=c (0z=c).

Si c0, la ecuación es absurda: no tiene solución y por tanto el sistema no tiene

ninguna solución, el sistema es incompatible.

Si c=0 (0x+0y+0z=0), la ecuación es trivial: cualquier terna de números reales satisfacen la ecuación. Por eso, las soluciones de un sistema que contenga una ecua-ción trivial son las soluciones comunes del resto de las ecuaciones, y las ecuaciones triviales pueden suprimirse sin que varíe el conjunto solución. El sistema es

compa-tible, pudiendo ser:

o compatible determinado (solución única), si el número de ecuaciones no

triviales es igual al número de incógnitas.

o compatible indeterminado (infinitas soluciones), si el número de

ecuacio-nes es menor que el número de incógnitas. El número de parámetros del que depende la solución es igual al número de incógnitas menos el de ecuaciones. Lo expuesto anteriormente es válido para sistemas de cualquier número de incógnitas.

Resolución de sistemas escalonados compatibles.

Resolveremos estos sistemas mediante sustitución hacia arriba como hemos visto en los ejemplos anteriores.

Ejemplos

6. Discutir y resolver en su caso los sistemas siguientes:

(10)

Solución

Trabajaremos con la matriz asociada a cada sistema hasta conseguir una matriz escalo-nada equivalente. a) 2 12 43 32 1 2 43 1 1 24 → 2 &→ & ≈2 1 4 3 0 11 8 0 6 73 1 3 14 &→ 11 & 6 ≈2 1 2 1 0 11 8 0 0 293 1 3 294 Este es el sistema equivalente al dado: 114 38 13

29 29

Es un sistema compatible determinado.

Despejando: z=29/29=1; -11y-8·1=3 → -11y=11 → y =-1; x+4·(-1)+3·1=-1 → x-1=-1

→ x=0. La solución es (x, y, z) = (0, -1, 1) b) 22 11 0 03 4 1 63 5 4 104 ↔ 2 1 0 3 2 1 0 4 1 63 4 5 104 → 2 &→ & 4 ≈ 2 1 0 3 0 1 6 0 1 63 4 3 24 &→ & ≈ 21 00 1 36 0 0 03 4 3 14 ⇒ 3 4 1 6 3 0 1 ⇒ Sistema incompatible. c) 2 11 23 31 2 1 43 4 2 64 → &→ & 2 ≈2 1 2 3 0 5 2 0 5 23 4 2 24 &→ & ≈2 1 2 3 0 5 2 0 0 03 4 2 04 ⇒ 2 3 4 5 2 2

0 0 ⇒ Sistema compatible indeterminado El sistema es equivalente a: 2 3 4 5 2 2 . Si z=k; y= 6 7 8 ; x+2· 6 7 8 +3k=4 → x= 4-3k- 4 495 = :6 876;<;7 8 = =6 7 8 La solución es: (x, y, z) = >?@ ??AB

,

D DAB

, 9

E ∀∀∀∀k∈∈∈∈

RRRR

(11)

≈ G 1 1 0 0 0 1 1 2 0 0 1 1 0 0 0 1 H 7 11 3 10 I ⇒ 7 5 11 5 3 5 10

⇒ Sistema compatible determinado

z=3-t=3-10=-7 ; y=11-z-2t=11+7-20=-2 ; x=7-y=7-(-2)=9 La solución es: (x, y, z, t) = (9, -2, -7, 10). f) G 1 2 3 2 1 4 3 3 5 1 1 1 H 3 7 8 2 I &→→ & 23 ;→ ; ≈ G 1 2 3 0 3 2 0 3 4 0 3 4 H 3 1 1 1 I &→ & ;→ ; ≈ G 1 2 3 0 3 2 0 0 2 0 0 2 H 3 1 2 2 I ;→ ; & ≈ G 1 2 3 0 3 2 0 0 2 0 0 0 H 3 1 2 0 I ⇒ 23 32 31

2 2 ⇒ Sistema compatible

determi-nado.

z=-2/2=-1; 3y+2·(-1)=1 → 3y=3 → y=1; x-2·1-3·(-1)=3 → x=3+2-3=2 La solución es: (x, y, z) = (2, 1, -1)

g) > 1 1 1 1

1 2 1 3J10E → ≈ >10 11 1 12 4J10E ⇒ 2 455 10 ⇒ ⇒

⇒⇒

Sistema compatible indeterminado, depende de dos parámetros.

En la segunda ecuación se puede despejar y en función de z y t que se toman como parámetros.

Si z=

λ

, t=

µ

→ -y=2z-4t → y=-2z+4t=-2

λ

+4

µ

; x= 1-y+z-t=1-(-2

λ

+4

µ

)+

λ

-

µ

=1+3

λ

-5

µ

La solución del sistema es: (x, y, z, t)=(

1+3

λλλλ

-5

µµµµ

, -2

λλλλ

+4

µµµµ

,

λλλλ

,

µµµµ

)

∀λλλλ

,

µµµµ

RRRR

ACTIVIDADES

1. Estudiar y resolver en su caso cada uno de los siguientes sistemas:

a) 2 3 2 0 3 3 b) 2 1 2 3 2 2 3 c) 3 1 3 2 3 2 4

2. Discutir y resolver, si es posible, cada uno de los sistemas siguientes:

a) 3 2 41 3 7 5 b) 2 3 3 3 6 9 9 c) 0 2 3 6 3 6 10 4 3 3 4 7 2 d) 5 64 5 3

6. Sistemas homogéneos

Recuerda que un sistema es homogéneo si todos los términos independientes son cero. La expresión de un sistema homogéneo de m ecuaciones y n incógnitas es:

⋯ 0

⋯ 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

(12)

Los sistemas homogéneos son compatibles, pues al menos tienen como solución: , , … … , = (0, 0, ……., 0) , llamada solución trivial.

Por lo tanto, después de aplicar Gauss para obtener el sistema escalonado equivalente y eliminar las ecuaciones triviales (es decir, una vez eliminada las de la forma 0z=0 si las hubiera), un sistema homogéneo puede ser:

Un sistema compatible determinado, si el número de ecuaciones no triviales es

igual al número de incógnitas, el sistema tiene solución única, por lo tanto la trivial (0, 0, ……., 0).

Un sistema compatible indeterminado, si el número de ecuaciones es menor que

el número de incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones.

Ejemplo

7. Discutir y resolver el sistema homogéneo siguiente: 3 23 42 00

2 5 6 0

Solución

A partir de la matriz asociada al sistema y aplicando transformaciones elementales, se obtiene la matriz escalonada equivalente

2 1 33 2 24 2 5 63 0 0 04 → 3 &→ & 2 ≈2 1 3 2 0 11 10 0 11 103 0 0 04 &→ & ≈2 1 3 2 0 11 10 0 0 03 0 0 04 El sistema equivalente al dado es: 113 102 00

0 0 .

Como el número de ecuaciones no triviales es 2, menor que el número de incógnitas, el

sistema es compatible indeterminado.

11y-10z=0 → y = :K ; -x+3y-2z=0 → x=3y-2z=3· :K -3z = &:K6&&K = 6&K

Para evitar que las soluciones se expresen como fracciones, hacemos que z=11

λ

→ y=10

λ

→ x=-3

λ

.

La solución del sistema es: (x, y, z) = (-3λλλλ, 10λλλλ, 11λλλλ),

∀λλλλ∈

RRRR

....

ACTIVIDADES

3. Discutir y resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homogéneos:

a) 2 3 0 2 0 5 3 2 0 b) 0 3 2 2 0 5 4 3 0 c) 6 4 3 35 0 3 2 4 5 0 2 5 0

7. Sistemas de ecuaciones con parámetros

(13)

Por ejemplo, el sistema: 2 9 2 20

3 2

Discutir el sistema significa estudiar la compatibilidad o no para cada uno de los sistemas

que se obtienen para cada valor del parámetro.

En algunos casos puede aparecer más de un parámetro.

Ejemplo

8. Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro k y resolverlo cuando sea posible. 9 2 2 2 0 3 2 Solución 2 12 91 12 1 0 33 2 0 24 ↔ & ≈ 2 1 0 3 2 1 2 1 9 13 2 0 24 → 2 &→ & ≈ 2 1 0 3 0 1 4 0 9 43 2 4 44 &→ & 9 ≈ 2 10 01 34 0 0 4 493 2 4 4 494

El sistema equivalente al dado es: 34 24

4 49 4 49

• Si en la tercera ecuación el coeficiente de z fuera cero, esto es, 4-4k=0 → k=1, nos queda 0z=0 y el sistema es compatible indeterminado.

Si z=

λ

; -y-4

λ

=-4 → y=4-4λ; -x-3

λ

=-2 → x=2-3λ. La solución es (x, y, z) = (2-3

λλλλ

, 4-4

λλλλ

,

λλλλ

) ,

∀λλλλ

∊∊∊∊

RRRR

Para el resto de los valores de k, es decir k≠1 → 4-4k 1, el sistema es compatible →→ y como el número de ecuaciones es igual al de incógnitas, determinado. La solución será: z= ;6;7

;6;7 =1; -y-4·1=-4 → y=0; -x-3·1=-2 → x=-1. La solución es: (x, y, z) = (-1, 0, 1)

ACTIVIDADES

4. Discutir y resolver según los valores de m

2 1

2 3

3 2 M 1

5. Analizar, según los valores del parámetro a, la existencia de soluciones del siguiente sis-tema:

2 2 3

2 4 5

(14)

6. Estudia el siguiente sistema en función del parámetro k. Resuélvelo siempre que sea po-sible. Halla la solución en el caso particular de k=3.

2 3

2 3 5

3 9 7

7. Para a un número real cualquiera, se tiene el sistema: 2 10 a) Discútase dicho sistema en función del parámetro a.

b) Encuéntrense todas las soluciones para a=1.

8. Discute y resuelve el sistema en función del parámetro k 0

9 0

9 0

9. Dado el sistema de ecuaciones lineales: M M 11

M 1

a) Discutir el sistema según los valores del parámetro m. b) Resolver, si es posible, el sistema para m=1.

c) Resolver, si es posible, el sistema para m=0.

8. Problemas que se resuelven planteando sistemas de ecuaciones

lineales.

El lenguaje algebraico es una potente herramienta para resolver problemas; en este aparta-do trataremos la resolución de problemas que precisan de los sistemas de ecuaciones linea-les.

Para su resolución es aconsejable seguir los pasos siguientes:

• Lectura comprensiva del enunciado.

• Elegir las incógnitas adecuadamente. Una de las cuestiones que deben quedar clara de la lectura son los valores desconocidos que hay que calcular, dichos valores serán las incógnitas del problema.

• Plantear el sistema de ecuaciones a partir de los datos conocidos y de las incógnitas

• Resolver el sistema.

• Comprobar las soluciones. La comprobación no solo se refiere al sistema planteado, sino también al enunciado del problema.

Ejemplos

8. En una mesa de una cafetería tomaron 2 cafés, 1 refresco y 2 tés, costando la consumi-ción 10,6 €. En otra mesa pagaron 16,8€ por 3 cafés, 3 refrescos y 1 té. Por otra parte dos amigos tomaron 1 café y 1 refresco en la barra, donde el precio es un 10% más ba-rato, y pagaron 4,50€. ¿Cuánto cuesta cada bebida?

Solución

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Planteamos el siguiente sistema de ecuaciones: 2 2 10,6 3 3 16,8 0,9 0,9 4,5 ≈ 2 2 10,6 3 3 16,8 9 9 45 ≈ 2 2 10,6 3 3 16,8 5 Resolvemos el sistema, aplicando el método de Gauss

21 1 02 1 2 3 3 13 5 10,6 16,84 → 2 &→ & 3 ≈ 2 1 1 0 0 1 2 0 0 13 5 0,6 1,84 ⇒ 5 2 0,6 1,8 Y sustituyendo de abajo arriba queda: z=1,8 , y=3 , x=2

El precio del café es 2 €, el del refresco 3 € y el del té 1,8 € en la mesa.

9. En una confitería envasan bombones en cajas de 250 g, de 500 g y de 1 kg. Cierto día envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño que de tamaño mediano.

Si el precio del kilogramo de bombones son 40 € y el importe total de los bombones en-vasados asciende a 1250 €, ¿cuántas cajas se han envasado de cada tipo?

Solución

Sean x las cajas de 250 g, y las de 500 g y z las de 1 kg envasadas ese día.

Si 1250 € es el importe total de los bombones y 40 € es el precio del kilo de bombones, 1250/40=31,25 son los kilos de bombones envasados ese día.

Teniendo en cuenta las condiciones del enunciado, planteamos el sistema de ecuaciones siguiente: 60 5 0,250 0,500 31,25 ≈ 60 5 25 50 100 3125 ≈ 60 5 2 4 125 211 1 11 0 1 2 43 60 5 1254 → &→ & ≈ 2 1 1 1 0 2 1 0 1 33 60 55 654 &↔ 2 1 1 1 0 1 3 0 2 13 60 65 554 &→ & 2 ≈ 21 1 10 1 3 0 0 53 60 65 754⇒ 60 3 65 5 75 ⇒ z=75/5=15; y+45=65 → y=20; x+20+15=60 → x=25

Se han envasado 25 cajas de 250 g, 20 de 500 g y 15 de 1kg.

10. En un examen de 10 preguntas un estudiante contesta unas bien, otras mal y otras las deja en blanco; responde el doble de preguntas bien que mal. Se sabe que las que están bien suman 2 puntos y las que están mal restan 1 punto. No sabemos cuánto puntúan las que están en blanco aunque sí que es un número entero.

Si el estudiante en cuestión consiguió 7 puntos, ¿cuál es la puntuación asignada a cada pregunta en blanco?, ¿cuántas preguntas contesto de cada forma?

Solución

(16)

Planteamos el sistema 10 2 2 9 7 ≈ 10 2 0

2 9 7 que deberá ser compa-tible determinado y resolveremos por Gauss

211 1 12 0 2 1 93 10 0 74 → &→ & 2 ≈2 1 1 1 0 3 1 0 3 9 23 10 10 134 &→ & 2 1 1 1 0 3 1 0 0 9 13 10 10 34 10 3 10 9 1 3 ⇒ z= 6& 76

por lo que para ser compatible determinado k=-2, ya que es el único valor que permite valores enteros y positivos para las incógnitas.

La solución del sistema es x=6 , y=3 , z=1.

La puntuación de la pregunta en blanco es -2.

El estudiante ha respondido 6 preguntas bien, 3 mal y 1 la ha dejado en blanco.

ACTIVIDADES

10. En un examen de Matemáticas que constaba de tres problemas, un alumno obtuvo una calificación de 7,2. La puntuación del primer problema fue un 40% más que la del gundo, y la del tercero fue el doble de la suma de las puntuaciones del primero y el se-gundo. ¿Cuál fue la puntuación de cada problema?

11. Una tienda ha vendido 600 ejemplares de un videojuego por un total de 19152 €. La última versión del videojuego ha salido a la venta por un importe de 36 €. Además de la última versión ha vendido, con un descuento del 30% y del 40%, otras dos versiones an-teriores del videojuego. El número de ejemplares vendidos de las dos versiones anterio-res ha sido la mitad del de la última versión.

¿Cuántos ejemplares vendió de cada versión?

12. La edad, en años, de Juan es el doble que la suma de las edades de sus dos hijos: Pedro y Luis. A su vez, Pedro es 3 años mayor que Luis. Si, dentro de 10 años, la edad del pa-dre sobrepasa en 11 años a la suma de las edades de los hijos:

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) Determinar la edad de cada uno de ellos.

13. Con las 12 monedas que tengo en el bolsillo (de 50 céntimos, de 20 céntimos y de 10 céntimos de euro) puedo comprar un pastel cuyo precio es 2,80 €. Si una moneda de 50 céntimos lo fuera de 20, entonces el número de las de 2º céntimos y el número de las de 10 céntimos coincidiría. ¿Cuántas monedas tengo de cada clase?

14. Las tres cifras de un número suman 18. Si a este número se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras el resultado es 594; la cifra de las decenas es media aritmética entre las otras dos. Halla dicho número.

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Conocidos los gustos de los estudiantes, se sabe que entre helados de chocolate y de na-ta se han de comprar el 20% más que de vainilla.

a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuántos helados de cada

sa-bor se compran a la semana.

b) Resuelve, mediante el método de Gauss, el sistema planteado en el apartado ante-rior.

16. Halla los coeficientes a, b, c del polinomio x3+ax2+bx+c para que sea divisible por x-2, tenga por resto -8 al dividirlo por x-1, y por resto -8 al dividirlo por x+1.

17. El testamento de un padre de tres hijos contiene las siguientes disposiciones: “La parte de mi hijo mayor será media aritmética de la parte de los otros dos más 3000 dólares; la parte de mi segundo hijo será exactamente la media de la parte de los otros; la parte del más joven será la media de los otros dos menos 3000 dólares”. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

18. Una empresa tiene delegaciones en tres ciudades, A, B y C. El número total de emplea-dos es 31. Para que el número de empleaemplea-dos en B fuese igual al de A, tendrían que tras-ladarse 3 de A a B. Además, sabemos que el número de los de A excede en uno a la su-ma de los destinados en las otras dos ciudades. ¿Cuántos empleados hay en cada ciu-dad?

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Referencias

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