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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SEDE BARRANCABERMEJA PRECÁLCULO MÓDULO 1: SISTEMAS NUMÉRICOS. Nombre: Fecha:

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1

Material elaborado por Silvia Paola Solano Camargo PhD

a + b = c

SUMANDOS

SUMA

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER – SEDE BARRANCABERMEJA PRECÁLCULO

MÓDULO 1: SISTEMAS NUMÉRICOS

Nombre: ______________________________________ Fecha: ___________________________

1.1 NÚMEROS NATURALES

El proceso de sistematizar las actividades de contar y ordenar constituye uno de los aspectos que caracterizan a los seres humanos. Este proceso ha evolucionado con el hombre y se ha ido perfeccionando con el paso de los siglos, delineando una disciplina científica que identificamos como matemática. Los números constituyen la noción matemática primitiva. El primer sistema numérico que estudiaremos es el sistema de los números

naturales, se simboliza y definen por extensión como:

ℕ = {0,1,2,3,4,5, ⋯ , 𝑛, ⋯ } Con ellos se definieron dos operaciones de SUMA y PRODUCTO.

Definición de suma de números naturales (+)

Sean n y m números naturales, definimos: 1. 𝑛 + 0 = 0 + 𝑛 = 𝑛.

2. 𝑛 + (𝑚 + 1) = (𝑛 + 𝑚) + 1.

Los términos de una suma se denominan SUMANDOS y el resultado es la SUMA, es decir,

1. Propiedad Clausurativa. Si n y m son números naturales entonces n + m también es un natural.

2. Propiedad conmutativa. Si n y m son números naturales entonces n +m = m + n.

3. Propiedad asociativa. Si n, m, y k son números naturales entonces (n + m) + k = n + (m + k). 4. Propiedad uniforme. Si m = n, entonces para todo k, m + k = n + k.

5. Propiedad del elemento neutro: el número natural 0 se caracteriza por ser el único número con la propiedad de que 𝑎 + 0 = 𝑎 y 0 + 𝑎 = 𝑎, para cada número natural a. Por esto se dice que 0 es el elemento neutro de la suma de números reales (Algunos lo llaman el módulo de la suma y, a esta propiedad, propiedad modulativa de la suma)

Definición de la multiplicación

El caso en el cual todos los sumandos son iguales permite incorporar una nueva operación entre números naturales denominada la multiplicación o el producto, esta operación del producto entre números naturales cumplen las siguientes propiedades básicas:

1. Propiedad Clausurativa. Si n y m son números naturales entonces n × m también es un natural. 2. Propiedad conmutativa: n × m = m × n.

3. Propiedad asociativa: (n × m) × k = n × (m × k).

4. Propiedad uniforme: si m = n, entonces para todo k, m × k = n × k.

Los términos de una multiplicación se denominan FACTORES y el resultado es el PRODUCTO, es decir,

a

×

b = c

FACTORES

(2)

2

Material elaborado por Silvia Paola Solano Camargo PhD La multiplicación es distributiva sobre la suma. Es una propiedad que relaciona las operaciones de suma y

multiplicación, y que se simboliza así: 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐, cualesquiera sean los números naturales a, b y

c, donde, en el miembro de la derecha, las multiplicaciones preceden a la suma.

Nota: A veces se habla de “distributividad por la izquierda” en el caso de la propiedad anterior, y de “distributividad por la derecha” en el caso de (𝑚 + 𝑛)𝑡 = 𝑚𝑡 + 𝑛𝑡, que, evidentemente, también es cierta, como usted puede probar. Lo usual es referirse a cualquiera de las dos formas como propiedad distributiva.

Definición de número primo

Un número natural mayor que 1 se denomina primo si tiene exactamente dos divisores. Un número natural, mayor que 1, que no es primo se denomina compuesto

Un número primo sólo es divisible por él mismo y por la unidad.

Ejemplo 1.1

1. El número 10 no es primo porque es divisible por 1, 10 y 5.

2. El número 2 es primo porque sólo es divisible por él mismo y la unidad. Es el único número primo que es par.

3. Los números pares mayores que dos no son primos pues además de él mismo y la unidad, son divisibles por dos

4. No todos los números impares mayores que uno son primos. El 9 es impar y no es primo porque es divisible por 1, 9 y 3.

Teorema fundamental de la aritmética

Todo número compuesto se puede descomponer, de manera única, como producto de primos.

Ejemplo 1.2

Descomponer el número 60 en sus factores primos.

Para ello se acostumbra disponer al lado del número una raya vertical y al lado ir colocando los factores primos, como aparece a continuación:

60 2

30 2

15 3

5 5 1

En este caso, los divisores de 60 serán: 1, 60, 2, 4, 3, 5, 12, 6, 10, 20 y 30.

Definición de números primos relativos

Dos números naturales m y n se dicen primos relativos si el único divisor común de ellos es 1. Se suele escribir (m, n) = 1.

Ejemplo 1.3

1. Los números 8 y 5 son primos relativos, (8, 5) = 1; el único divisor común es 1.

2. Los números 6 y 9 no son primos relativos, pues 3 es divisor tanto del número 6, como del número 9.

Definición de máximo común divisor y mínimo común múltiplo

▪ Un divisor común a varios números naturales es un número que los divide a todos.

▪ El máximo común divisor de varios números naturales es mayor número que es divisor común a todos. El máximo común divisor de los números naturales s, p, t se denota como m. c. d (s, p, t). ▪ El mínimo común múltiplo de varios números naturales es el menor número que es divisible por

todos. El mínimo común múltiplo de los números naturales s, p, t se denota como m. c. m (s, pm, t).

Ejemplo 1.4

1. m. c. d (4, 2) = 2 y m. c. m (4, 2) = 4 pues 2 es común a ambos y no hay otro divisor común mayor. No hay número mayor que 4 que sea divisible por 4 y también por 2.

(3)

3

Material elaborado por Silvia Paola Solano Camargo PhD

2. m. c. d (10, 45) = 5 y m. c. m (10, 45) = 90 pues 5 es común a ambos y no hay otro divisor común mayor. 90 es el menor número que se deja dividir por 10 y por 45.

3. m. c. d (13, 7) = 1 y m. c. m (13, 7) = 13 × 7 = 91 pues como son números primos, entonces no tienen otro divisor común diferente al uno.

Para no confundirnos, existe un procedimiento sencillo que nos permite calcular el m.c.m. y el m.c.m.

Ejemplo 1.5

Hallar el m.c.m. y el m.c.m. de los números 360 y 756. Primero los descomponemos en sus factores primos:

360 2 756 2 180 2 378 2 90 2 189 3 45 3 63 3 15 3 21 3 5 5 7 7 1 1 De esta forma: 360 = 23 × 32 × 5 y 756 = 22 × 33 × 7

Para calcular el m.c.d tomamos los factores comunes con su menor exponente y para calcular el m.c.m. tomamos los factores comunes con su mayor exponente y los no comunes. De esta manera:

m. c. d (360, 756) = 22 × 32 = 36

m. c. m (360, 756) = 23 × 33 × 5 × 7 = 5760 Actividad 1.1

1. Complete la siguiente tabla escribiendo Sí, al que es múltiplo (M) o un divisor (D) de los números indicados, o No cuando no lo sea. Por ejemplo: La celda marcada No indica que 8 no es múltiplo de 6. M(6) D(24) M(8) D(16) D(1) D(0) M(120) 8 No Sí Sí Sí 12 0 24 64 1 112 480

2. Descomponga los siguientes números en sus factores primos:

a) 12 b) 60 c) 42 d) 36 e) 256 f ) 100

g) 13 h) 1440 i ) 2500 j ) 444 k) 5000 l ) 96

3. En cada uno de los siguientes casos encuentre el Mínimo Común Múltiplo (mcm) del par números dados: a) 24; 32 b) 43; 17 c) 10; 100 d) 1; 12 e) 60; 8 f) 36; 42 g) 25x32x5; 22x3x52 h) 2x72; 32x53

Definición del orden de un conjunto

Definir un orden en un conjunto es establecer una relación de tal forma que dados dos distintos cualesquiera de sus elementos podamos determinar “cuál es el mayor”, o lo que es lo mismo, “cuál es el menor”. Para establecer un orden en los naturales que nos permita extenderlo a otros sistemas numéricos podemos recurrir a una representación geométrica. Para ello tomamos un segmento como unidad y a partir de él vamos localizando los demás números naturales, como se muestra en la siguiente gráfica:

(4)

4

Material elaborado por Silvia Paola Solano Camargo Ph.D.

0 1 2 3 4 …

Definición del orden en los números naturales

De acuerdo con la representación anterior podemos definir, de una manera intuitiva, el orden entre los naturales: dados dos números naturales m y n, decimos que m es menor que n, y lo denotamos como m < n, si en la representación gráfica, m se encuentra a la izquierda de n. Mas concretamente, tenemos la siguiente cadena:

0 < 1 < 2 < 3 < 4 …

Para dos números naturales m y n, la expresión m ≤ n, significa que m < n ó m = n. Si m ≤ n, entonces también se acostumbra a escribir n ≥ m.

Una propiedad básica que se deriva de la definición de número natural y de la definición de orden es la siguiente: Sean los números naturales m y n. Si m < n, entonces existe un número natural s tal que m + s = n.

Definición de resta entre números naturales

Sean los números naturales m y n. Si m < n, y s ∈ N, es tal que m + s = n, entonces decimos que n – m = s. Al número n se le denomina minuendo y al número m sustraendo y el número s se denomina la diferencia.

Ejemplo 1.6

1. 19 – 7 = 12, puesto que 19 = 12 +7

2. 7 – 19 no tiene sentido en los naturales porque no existe ningún número natural que sumado con 19 de cómo resultado 12.

Hasta ahora hemos establecido que las operaciones de suma y producto siempre son posibles en ℕ. No ocurre ello con la resta, la cual sólo está definida cuando el minuendo es mayor que el sustraendo. La generalización de la resta, a dos cualesquiera números naturales, obliga a extender el sistema numérico de los números naturales a los números enteros.

¿Cuál era la necesidad de extender el sistema de los números naturales? El requerimiento proviene de la exigencia de modelar matemáticamente de algunos fenómenos, como la temperatura, y de la matemática misma específicamente por la necesidad de resolver ecuaciones de la forma 𝑥 + 5 = 3, cuya solución no existe en los números naturales.

En todos estos casos, surge la necesidad de representar la diferencia 𝑛 − 𝑚 para dos números naturales cualesquiera.

Definición del opuesto

Sean los números naturales m y n, tales que 𝑚 < 𝑛 y t tal que 𝑚 + 𝑡 = 𝑛, lo cual significa que 𝑛 − 𝑚 = 𝑡. Definimos 𝑚 − 𝑛 como el opuesto de t y lo designamos como −t.

Ejemplo 1.7

1. Dado que 8 − 2 = 6, entonces 2 − 8 = −6; la expresión −6 es el opuesto de opuesto de 6. 2. Como 𝑛 + 0 = 𝑛, entonces, 𝑛 − 𝑛 = 0.

3. Como 0 + 𝑛 = 𝑛, entonces 𝑛 − 0 = 𝑛.

La expresión 𝑛 − 𝑛 = 0, se puede representar como 𝑛 + (−𝑛) = 0, de lo cual se sigue que la suma de cualquier número natural con su opuesto es cero; esto es: 𝑛 + (−𝑛) = 0

Dado que 0 + 0 = 0, tenemos que – 0 = 0, lo cual quiere decir que el número cero es igual a su opuesto. Además como 𝑛 + (−𝑛) = 0 y aceptamos la propiedad conmutativa tendremos que (−𝑛) + 𝑛 = 0 . Por lo tanto, el opuesto –n es n, esto es: – ( – 𝑛) = 𝑛, en otras palabras, el opuesto de un número negativo, es siempre un número positivo.

(5)

5

Material elaborado por Silvia Paola Solano Camargo Ph.D.

De acuerdo con lo que hemos establecido, cada opuesto de un número natural genera a su vez un nuevo número. Esto nos permite ampliar nuestro universo numérico, de los números naturales a los números enteros. Y se puede entender que restar es sumar el opuesto.

1.2 NÚMEROS ENTEROS

Definición del conjunto de los números enteros

Definimos el conjunto de los números enteros como la unión de los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se denota por el símbolo ℤ. De acuerdo con la definición anterior, el conjunto de los números enteros corresponde al conjunto:

=

,

3

,

2

,

1

,

0

,

1

,

2

,

3

,

Se suele dividir a ℤ en los siguientes conjuntos disjuntos:

=

− +

Negativos

Enteros

Z

cero

Positivos

Enteros

Z

0

De tal forma que ℤ = ℤ+∪ ℤ∪ {0}, y por lo tanto: ℤ+⊂ ℤ 𝑦 ℤ⊂ ℤ

Definición de la suma en los números enteros

Sean n y m números naturales, definamos 𝑛 + (−𝑚) 𝑦 (−𝑛) + (−𝑚) de la siguiente manera: 1. El resultado de la operación 𝑛 + (−𝑚) = (−𝑚) + 𝑛 se define como:

a. Si 𝑚 ≤ 𝑛, 𝑛 + (−𝑚) = 𝑠, donde 𝑠 + 𝑚 = 𝑛. b. Si 𝑛 < 𝑚, 𝑛 + (−𝑚) = −𝑠, donde 𝑠 + 𝑛 = 𝑚.

2. El resultado de la operación (−𝑛) + (−𝑚) = −𝑛 − 𝑚 = −𝑚 − 𝑛 se define como −(𝑛 + 𝑚).

Ejemplo 1.8

1. 8 + (−5) = 3, puesto que 3 + 5 = 8.

2. (−200) + 27 = −173, puesto que 173 + 27 = 200. 3. 1033 + (−1600) = −567, puesto que 567 + 1033 = 1600.

4. (−283) + (−256) = −283 − 256 = −256 − 283 = −(283 +2 56) = −539.

El producto entre números enteros sigue los mismos delineamientos del producto entre números naturales, sólo debemos tener cuidado con el producto entre números de diferente signo y con el producto entre números negativos.

Propiedad del elemento opuesto o del inverso aditivo. Es una propiedad ligada a la propiedad del 0 como

elemento neutro de la suma. Establece que para cada número entero a existe un único número entero, denotado -a y llamado el opuesto de a (o el inverso aditivo de a) cuya suma con a es 0, es decir, 𝑎 + (−𝑎) = −𝑎 + 𝑎 = 0, para cada número entero a

Por ejemplo, 6 + (−6) = 0, −(−3) + (−3) = 0. Importante: Esta propiedad es muy utilizada en la solución de ecuaciones, como veremos posteriormente.

Teorema 1.1. Sea a número entero, entonces a.0 = 0.a = 0. Teorema 1.2. Sean m y n números naturales, entonces:

1. (−1)𝑛 = −𝑛.

2. (−𝑛)(𝑚) = −(𝑛. 𝑚) = −𝑛. 𝑚. 3. (−𝑛)(−𝑚) = 𝑛. 𝑚

Los resultados anteriores corresponden a las reglas de los signos para los números enteros: 1. Más por más da más: (+) ∙ (+) = (+)

2. Más por menos da menos: (+) ∙ (−) = (−) 3. Menos por menos da más: (−) ∙ (−) = (+)

(6)

6

Material elaborado por Silvia Paola Solano Camargo Ph.D.

1.

a

c c

b

a

b

=

16 2 8 2 8 24 3 8   = = 3 8 2 3 = a c a b+ +c b.

4. Menos por más da menos: (−) ∙ (+) = (−)

Tres aspectos fundamentales e interrelacionados, muestran la necesidad de extender el sistema de los números enteros:

1. La existencia de ecuaciones que no se satisface para ningún entero; como el caso de la ecuación 4𝑥 = 9.

2. La extensión de la división para cualquier par de números enteros. 3. El problema de la medición de magnitudes.

1.3 NÚMEROS RACIONALES

Definición de números racionales

A partir del conjunto ℤ

=

,

3

,

2

,

1

,

0

,

1

,

2

,

3

,

, de los números enteros, se define el conjunto de los números racionales

ℚ = {𝑝

𝑞: 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ, 𝑞 ≠ 0} A p se le denomina numerador y a q denominador.

Dado que para cualquier número entero m, se cumple que, tenemos que todo número entero es un número racional. Esto establece las siguientes relaciones:

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ

De acuerdo con lo anterior, si tomamos un número natural cualquiera, por ejemplo, el 2; este número es entero y, por lo tanto, es un número racional, puesto que

2 =2 1= 4 2= 6 3= ⋯ = 2𝑛 𝑛 = ⋯ ,donde 𝑛 ∈ ℤ +

Operaciones con fracciones

1. Igualdad de fracciones. 𝑎 𝑏= 𝑐 𝑑si y sólo si 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 Por lo anterior, si 𝑥+6 12 = 5

4 entonces 4(𝑥 + 6) = 12(5) o sea que 4𝑥 + 24 = 60 y 4𝑥 = 60 − 24, lo que implica que 4𝑥 = 36 por lo tanto 𝑥 = 9.

Recuerde también las operaciones básicas con fracciones (numéricas o algebraicas) cuando 𝑐 ≠ 0. Es la propiedad que se utiliza al simplificar fracciones, como

𝑎𝑐 𝑏𝑐=

𝑎

𝑏 cuando se quiere convertir una La propiedad anterior se utiliza en el sentido

fracción en otra equivalente, pero cuyo denominador es múltiplo del anterior. Por ejemplo, para expresar 2/5 en una fracción en “quinceavos” debemos multiplicar el denominador por 3. Entonces, también el numerador debe multiplicarse por 3. Veamos:

2 5= ? 15 Vemos que 2 5= ?

5×3 entonces se debe multiplicar el numerador también por 3, así 2 5= 2×3 5×3= 6 15 ATENCIÓN: La propiedad 𝑎𝑐 𝑏𝑐= 𝑎

𝑏 si 𝑐 ≠ 0, establece que se pueden “cancelar” en el numerador y denominador factores comunes diferentes de 0. Pero es un error grave y desafortunadamente común, eliminar en el numerador y denominador sumandos comunes.

salvo cuando 𝑐 = 0 o cuando 𝑎 = 𝑏. Estudie este caso: El hecho es que

4+2 1+2=

6

3, pero si usted cancela el sumando 2, obtendrá: 4+2 1+2=

4

1= 4, lo cual es incorrecto. 2. Suma y resta de fracciones homogéneas.

(7)

7

Material elaborado por Silvia Paola Solano Camargo Ph.D.

𝑎 𝑏± 𝑐 𝑏= 𝑎 ± 𝑐 𝑏

3. Suma y resta de fracciones heterogéneas. Primero se convierten en fracciones equivalentes, multiplicando por el factor adecuado para obtener un denominador común. Usualmente se elige el el mínimo común múltiplo de los denominadores o el producto de ellos.

𝑎 𝑏± 𝑐 𝑑= 𝑎𝑑 𝑏𝑑± 𝑐𝑏 𝑑𝑏, entonces, 𝑎 𝑏± 𝑐 𝑑= 𝑎𝑑 ± 𝑏𝑐 𝑏𝑑

4. Multiplicación de fracciones. Se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí de la siguiente manera: 𝑎 𝑏× 𝑐 𝑑= 𝑎𝑐 𝑏𝑑 Antes de continuar, debemos tener en cuenta la siguiente convención:

−𝑝 𝑞 = 𝑝 −𝑞= − 𝑝 𝑞, donde 𝑝, 𝑞 ∈ ℕ

Definición de inverso multiplicativo

Para todo 𝑥 ∈ ℚ, 𝑥 ≠ 0, existe 𝑦 ∈ ℚ, tal que 𝑥. 𝑦 = 1. El elemento y se denomina inverso multiplicativo de

x, que se designa como 1

𝑥, 𝑜, 𝑥 −1

De esta forma, para todo 𝑥 ∈ ℚ, 𝑥 ≠ 0, tenemos que 𝑥. 𝑥–1= 1. Observemos los siguientes aspectos:

a. Si 𝑥 ∈ ℚ, 𝑥 ≠ 0, entonces 𝑥 =𝑝

𝑞 , donde p, q ∈ Z, ambos diferentes de cero. En este caso 𝑥 −1=1 𝑥= 1 𝑝 𝑞 =𝑞 𝑝, de lo cual tenemos 𝑝 𝑞× 𝑞 𝑝= 1 b. Si 𝑥 ∈ ℚ, 𝑥 ≠ 0, entonces ((𝑥)–1)–1 = 𝑥. c. Si 𝑚 ∈ ℤ, 𝑚 ≠ 0, entonces 𝑚−1= 1 𝑚, 𝑦, ( 1 𝑚) −1 = 1 𝑚−1= 1 1 𝑚 = 𝑚 Ejemplo 1.9 i. 2−1=1 2, ya que 2 × 1 2= 2 ii. (3 4) −1 =4 3, ya que 3 4× 4 3= 1 iii. (−5 7) −1 = −7 5, ya que (− 5 7) × (− 7 5) = 1 iv. 5. División de Fracciones. Dados dos números racionales 𝑝

𝑞, 𝑦 , 𝑟

𝑠 se puede definir la operación 𝑝 𝑞÷ 𝑟 𝑠 de la siguiente manera: 𝑝 𝑞÷ 𝑟 𝑠= 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 =𝑝 𝑞× ( 𝑟 𝑠) −1 =𝑝 𝑞× 𝑠 𝑟 Es decir, “dividir es multiplicar por el inverso multiplicativo"

Ejemplo 1.10

Actividad 1.2

1. Resolver las siguientes operaciones:

21 4 25 5 5 5 5 2 10 2 15 3 10; 5 4 5 7 9 4; 7 3=15 porque  =  9 porque    + = = 3 5 7 3 8 5 61; 3 5 15; 3 5 3 7 21 8 7 56 56 8 7 56 8 7 8 5 40  +  + = =  =  =  =

(8)

8

Material elaborado por Silvia Paola Solano Camargo Ph.D.

a.

8

1

4

2

2

5

b.

19

3

4

10

+

2

(

8

+

5

)

+

6

(

9

+

18

)

c.

(

)

(

)

+

+

+

+

5

85

3

5

10

4

27

81

3

2

5

20

d.

8

19

15

4

1

4

7

+

e.

14

1

7

4

3

5

+

f.

5

4

+

2

(

3

8

)

+

3

(

2

+

9

)

g.

(

)

(

)

+

+

+

+

35

25

3

2

10

4

9

18

3

1

10

h.

100

20

15

4

7

8

3

7

5

21

 +

i.

8

7

3

4

1

2

5

+

j.

6

8

2

1

4

3

3

8

+

k.

10

3

7

4

8

+

6

(

4

+

10

)

+

6

(

5

+

11

)

1.4 NÚMEROS IRRACIONALES

Definición de números irracionales

El conjunto de los números irracionales corresponde al conjunto de números cuya representación decimal no es periódica ni finita. En otras palabras, al conjunto de los números que no corresponden a los números racionales se denomina el conjunto de los números irracionales y se simboliza como

I = {x:x ∉ Q}. Algunos ejemplos de números irracionales son:

718281828

,

2

141592654

,

3

414213562

,

1

2

e

1.5 NÚMEROS REALES Definición de los números reales

La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales se denomina el conjunto de los números reales y se simboliza mediante el símbolo ℝ:

ℝ = ℚ ∪ I

Después de este recorrido por el conjunto de los números reales se puede concluir entonces que

R

Q

Z

(9)

9

Material elaborado por Silvia Paola Solano Camargo Ph.D.

Todo principio evidente en matemáticas se dice que es un AXIOMA. El conjunto de los ℝ tiene los siguientes axiomas de cuerpo: 1.

(

a

+

b

)

R

;

(

a

b

)

R

;

(Propiedad Clausurativa) 2.

=

+

=

+

a

b

b

a

a

b

b

a

(Propiedad Conmutativa) 3.

(

)

(

) (

)

(

)

=

(

) (

=

)

+

+

=

+

+

=

+

+

b

c

a

c

b

a

c

b

a

b

c

a

c

b

a

c

b

a

(Propiedad Asociativa) 4.

a

(

b

+

c

) (

=

a

b

) (

+

a

c

)

(Propiedad Distributiva)

5.

a

+

0

=

0

+

a

=

a

, el cero es el módulo de la suma (Propiedad Modulativa) 6.

a

1

=

1

a

=

a

, el uno es el módulo del producto (Propiedad Modulativa)

7. Si

x 

R

, existe uno y sólo un

y 

R

tal que

x

+

y

=

y

+

x

=

0

,

(

y

=

x

)

, entonces

x

es el INVERSO ADITIVO de

x

.

8. Si

x

 R

0

, existe uno y sólo un

z 

R

tal que

 =

=

=

x

z

x

z

z

x

1

,

1

, entonces

x

1

es el INVERSO MULTIPLICATIVO de

x

0

✓ NOTA: El inverso multiplicativo tiene el mismo signo.

POTENCIACIÓN, RADICACIÓN Y LOGARITMACIÓN

Definición de Potencias para números reales

Sea 𝑥 ∈ ℝ y 𝑛 ∈ ℤ+, se define: 1. 𝑥0= 1, para x ≠ 0. 2. 𝑥𝑛= 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ⋯ 𝑥 n veces 3. 𝑥−𝑛 = (𝑥𝑛)−1, es decir 𝑥−𝑛 es el inverso de 𝑥𝑛. Propiedades de la potenciación 1.

a

m

a

n

=

a

m+n

=

a

n+m

=

a

n

a

m 2. n m n m

a

a

a

=

− 3. n n

a

a

=

1

4.

( )

a

n m

=

a

nm

=

a

mn

=

( )

a

m n 5.

a

o

 a

1

,

0

6.

(

a

b

)

n

=

a

n

b

n 7.

=

, 

0

b

b

a

b

a

n n n

Definición de raíz n-ésima

Sean los números naturales m y n, tales que n > 1, decimos que la raíz n-ésima de m es t, si tn = m, en este

caso se denota como:

√𝑚

𝑛

(10)

10

Material elaborado por Silvia Paola Solano Camargo Ph.D.

Cuando n = 2, simplemente se coloca √𝑚

Propiedades de la radicación 1. n n m m

a

a

=

2.

a

b

=

ab

3.

b

a

b

a =

Definición de logaritmo

Sean los números naturales m, n y t, tales que mn = t, entonces decimos que n es el logaritmo en base m de t;

se denota como:

logmt = n

Por razones de operatividad, m > 1 y 𝑡 ≠ 0.

Propiedades de los logaritmos

1.

log

a

x

y

=

log

a

x

+

log

a

y

2.

x

y

y

x

a a a

log

log

log

=

3.

x

n

a

x

n a

log

log

=

4.

log

a

a

=

1

5.

log

a

1

=

0

Actividad 1.3

1. Teniendo en cuenta que la potenciación, la radicación y la logaritmación son operaciones relacionadas (inversas) complete la siguiente tabla:

POTENCIACIÓN RADICACIÓN LOGARITMACIÓN

𝟐𝟑= 𝟖 √𝟖 𝟑 = 𝟐 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟖 = 𝟑 𝟏𝟎𝟒= √𝟔𝟒 𝟔 = 𝐥𝐨𝐠𝟓𝟏𝟐𝟓 = 𝒆𝒙= 𝒚 𝐥𝐨𝐠𝟗𝒙 = 𝒚 2. Diga cuál de las siguientes expresiones no es una propiedad de la potenciación.

a. 𝑎𝑚𝑎𝑛= 𝑎𝑚+𝑛 b. 𝑎 𝑚 𝑎𝑛 = 𝑎 𝑚−𝑛 c. (𝑎𝑚)𝑛= 𝑎𝑚∙𝑛 d. (𝑎𝑏)𝑛= 𝑎𝑛𝑏𝑛 e. (𝑎 𝑏) 𝑛 =𝑎𝑛 𝑏𝑛 f. 𝑎−𝑚= 1 𝑎𝑚 g. (𝑎 𝑏) −𝑚 = (𝑏 𝑎) 𝑚 h. 𝑎 −𝑚 𝑏−𝑛 = 𝑏𝑛 𝑎𝑚 i. 𝑎𝑚𝑎𝑛= 𝑎𝑚⋅𝑛

3. Diga cuál de las siguientes expresiones no es una propiedad dela radicación. a. 𝑛√𝑎𝑏= √𝑎𝑛 𝑛√𝑏 b. 𝒏√𝒂𝒃= √𝒂 𝒏 √𝒃 𝒏 c. 𝒏√𝒂𝒏= 𝒂𝒏 d. 𝒏√𝒂𝒏 = 𝒂, si 𝑛 es impar

(11)

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Material elaborado por Silvia Paola Solano Camargo Ph.D.

e. 𝒏√𝒂𝒏

= |𝒂|, si 𝑛 es par f. 𝒏√𝒂= 𝒂𝟏⁄𝒏

g. ( √𝒂𝒏 )𝒎= 𝒂𝒎⁄𝒏

h. 𝒏√ √𝒂𝒎 = √𝒂𝒏𝒎

4. Diga cuál de las siguientes expresiones no es una propiedad de la logaritmación.

a. log𝑎1 = 0

b. log𝑎𝑎 = 1

c. log𝑎𝐴 + log𝑎𝐵 = log𝑎(𝐴 + 𝐵)

d. 𝑎log𝑎𝑥= 𝑥

e. log𝑎(𝐴𝐵) = log𝑎𝐴 + log𝑎𝐵

f. log𝑎( 𝐴

𝐵) = log𝑎𝐴 − log𝑎𝐵

g. log𝑎(𝐴)𝐶 = 𝐶 log𝑎𝐴 h. log𝑎𝑎𝑥 = 𝑥

5. Efectúe las siguientes operaciones y exprese la respuesta en la forma más simple posible.

a.

√7−5 2 − √3+4 4

b.

4−2+2−3 3 − 5−2+2−2 9

c.

3√2 +1 2√2 − √8

d.

√813 + 7 √33

e.

3 √94 − √86 − 2√2

f.

1+√𝑥1 + 1 1−√𝑥

g.

10 √44 − 5 √86

h.

√5√9 + √√729 + 5√3√33

i.

5 𝑎+𝑏−√𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2

j.

𝑥−𝑦𝑥+𝑦√𝑥+𝑦𝑥−𝑦

k.

2 √81 3 −12 6

l.

(√14 + √13) (√14 − √13)

m.

(√𝑥 − √𝑦)5

6. Simplifique la expresión y elimine cualquier exponente negativo.

a.

𝑏4(1 3𝑏 2) (12𝑏−8)

b.

(6𝑦3) 4 2𝑦5

c.

(𝑥2𝑦3) 4 (𝑥𝑦4)−3 𝑥2𝑦

d.

(𝑥𝑦2𝑧3) 4 (𝑥3𝑦2𝑧)3

e.

(𝑞−1𝑟𝑠−2 𝑟−5𝑠𝑞−8) −1

f.

(9𝑠𝑡) 3 2 ⁄ (27𝑠3𝑡−4)3⁄2

g.

(3𝑎−2 4𝑏−1 3⁄) −1

h.

(2𝑥4𝑦−4 5)3(8𝑦2)2⁄3

i.

3√√64𝑥6

j.

5√𝑎6𝑏7

7. Use las leyes de los logaritmos para reescribir la expresión dada en una forma sin logaritmo de un producto, cociente o potencia.

a. log5√𝑥2+ 1 3 b. log (𝑥3𝑦4 𝑧6 ) c. ln (𝑥√𝑦𝑧) d. log √(𝑥2 𝑥2+4 +1)(𝑥3−7)2 e. ln ( 𝑧4√𝑥 √𝑦2+6𝑦+17 3 ) 8. Racionalice el denominador: a. 2 3√2𝑥 b. √3𝑦𝑥 c. √2𝑥13𝑦5 d. 1 √𝑥2 5 e. √3 20 f. 1 √𝑥4 3 g. 3 √𝑥2+2𝑥+1 3 h. 6 √𝑥6𝑦5 7 i. 1 √𝑥+√𝑦 j. 2 3+√5 k. 𝑦 √3+√𝑦 l. 9 𝑥−3√𝑥 m. 1 2 √𝑥3 −1

(12)

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Material elaborado por Silvia Paola Solano Camargo Ph.D.

n. 3 √3 3 − √43 o. √1+𝑎 2−√1−𝑎2 √1+𝑎2+√1−𝑎2 9. Racionalizar el numerador: a. √(𝑥+ℎ)+1−√1+𝑥 ℎ b. √3+ √𝑥 3 −2 𝑥−1 c. √(𝑥+ℎ)2−1 3 − √𝑥3 2−1 ℎ d. √10+ √𝑥 3 −3 𝑥+1

Referencias

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