Análisis de esfuerzos electrodinámicos en una barra de cobre de sección rectangular para la subestación eléctrica de la planta de beneficio del proyecto Yacari, en condiciones de falla trifásica, a través del método de elementos finitos

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(1)UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN FACULTAD DE INGENIERÍA DE PRODUCCIÓN Y SERVICIOS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA. TESIS: ANÁLISIS DE ESFUERZOS ELECTRODINÁMICOS EN UNA BARRA DE COBRE DE SECCIÓN RECTANGULAR PARA LA SUBESTACIÓN ELÉCTRICA DE LA PLANTA DE BENEFICIO DEL PROYECTO YACARI, EN CONDICIONES DE FALLA TRIFÁSICA, A TRAVÉS DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS. Presentado por el Bachiller: DENIS VIDAL CHOQUEHUANCA RAMOS Para optar el Título Profesional de: INGENIERO ELECTRICISTA. AREQUIPA - PERÚ. 2017.

(2) PRESENTACIÓN. Sr. Decano de la Facultad de Ingeniería de Producción y Servicios: Mg. Javier Oviedo Cornejo, Sr. Director de la Escuela Profesional de Ingeniería Eléctrica: Ing. Moisés Tanca Villanueva, Señores Miembros del Jurado: Ing. Holger Meza Delgado, Ing. Alberto Butrón Fernández e Ing. Efraín Quispe Chauca, ante ustedes me presento y expongo que:. De conformidad con las disposiciones del Reglamento de Grados y Títulos de la Facultad de Ingeniería de Producción y Servicios, de la Escuela Profesional de Ingeniería Eléctrica, pongo a su disposición para su evaluación, la presente Tesis titulada “ANÁLISIS DE ESFUERZOS ELECTRODINÁMICOS EN UNA BARRA. DE. COBRE. DE. SECCIÓN. RECTANGULAR. PARA. LA. SUBESTACIÓN ELÉCTRICA DE LA PLANTA DE BENEFICIO DEL PROYECTO YACARI, EN CONDICIONES DE FALLA TRIFÁSICA, A TRAVÉS DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS.”, cuya aprobación me permitirá obtener el Título Profesional de Ingeniero Electricista.. La tesis en mención tiene como propósito proponer una metodología, basada en la teoría de los elementos finitos, al dimensionamiento adecuado de una barra de cobre a partir del análisis de esfuerzos electrodinámicos producidos por una falla trifásica. Quedo de usted. Denis Vidal Choquehuanca Ramos Bachiller en Ingeniería Eléctrica UNSA.

(3) Dedicatoria A:Dios. Por. haberme. permitido llegar hasta este punto y haberme dado salud para lograr mis objetivos, además de su infinita bondad y amor.y por haber puesto en mi camino a aquellas personas que han sido mi soporte y compañía durante todo el periodo de estudio..

(4) Agradecimiento. A todos los docentes de la Escuela Profesional de Ingeniería Eléctrica, que hicieron de mí una persona íntegra y con sólidos conocimientos en el campo de la energía eléctrica..

(5) Resumen. Los circuitos eléctricos generan campos electromagnéticos que son productos inherentes de la corriente eléctrica que circulan por ellos, y debido a ellos entre los conductores aparecen fuerzas magnéticas de atracción o repulsión, y que en condiciones de falla del circuito las corrientes que circulan por los conductores adquieren valores altos que producen esfuerzos de gran valor, que se denominan. esfuerzos. electrodinámicos que pueden producir daños a la barra de la subestación y en general a toda ella.. En tal sentido se propone una metodología. para el. dimensionamiento de. componentes electromecánicos de una subestación y en particular que es el caso de este estudio de una barra de cobre, a partir del análisis de esfuerzos electrodinámicos producidos por una falla trifásica. Haciendo uso de scripts para el análisis de esfuerzos electrodinámicos en una barra de cobre , basada en la teoría de los elementos finitos... Se realiza una comparación de las soluciones. de diseño mediante el método. convencional y soluciones obtenidas con los scripts realizados en matlab..

(6) Abstract. The electric circuits generate electromagnetic fields that are inherent products of the electric current that circulate through them, and because of them between the conductors appear magnetic forces of attraction or repulsion; That under conditions of circuit failure, the currents circulating through the conductors acquire high values that produce high value efforts, which are called electrodynamic stresses that can cause damage to the substation bar and in general to all of it.. In this sense, a methodology is proposed for the adequate dimensioning of electromechanical components of a substation and, in particular, this study of a copper bar, from the analysis of electrodynamic stresses produced by a three-phase fault. Making use of scripts for the analysis of electrodynamic efforts in a copper bar, based on the theory of finite elements.. A comparison of the design solutions is made using the conventional method and solutions obtained with the scripts made in Matlab..

(7) ANÁLISIS DE ESFUERZOS ELECTRODINÁMICOS EN UNA BARRA DE COBRE DE SECCIÓN RECTANGULAR PARA LA SUBESTACIÓN ELÉCTRICA DE LA PLANTA DE BENEFICIO DEL PROYECTO YACARI, EN CONDICIONES DE FALLA TRIFÁSICA, A TRAVÉS DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS.. CONTENIDO. I.. RESUMEN. II.. LISTA DE ILUSTRACIONES. III.. LISTA DE TABLAS. CAPITULO I. PROBLEMA Y SUS GENERALIDADES ..................................... 1. 1.1. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA .............................................................. 1. 1.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA .......................................................... 1. 1.3. OBJETIVO ..................................................................................................... 1. 1.4. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ......................................................................... 2. 1.5. HIPÓTESIS .................................................................................................... 2. 1.6. JUSTIFICACIÓN........................................................................................... 2. 1.7. DELIMITACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN .............................................. 3. 1.8. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN.............................................. 3. CAPITULO II 2.1. MARCO TEORICO ....................................................................... 4. Electricidad Y Magnetismo........................................................................... 4. 2.1.1. Campo Escalar ........................................................................................ 4. 2.1.2. Campo Vectorial ..................................................................................... 4. 2.1.3. Líneas De Fuerza .................................................................................... 6.

(8) 2.1.4. El Flujo Del Campo Eléctrico. La Ley De Gauss ................................... 7. 2.1.5. Movimiento De Una Partícula Cargada En Un Campo Eléctrico. ....... 15. 2.1.6. Potencial Eléctrico. ............................................................................... 18. 2.1.7. Diferencia De Potencial Y Potencial Eléctrico ..................................... 18. 2.1.8. Potencial Eléctrico Y Energía Potencial Debido A Cargas Puntuales .. 22. 2.1.9. Fuerza Magnética. ................................................................................. 27. 2.2. Análisis De Fallas Balanceadas.................................................................. 34. 2.3. Barras ........................................................................................................... 36. 2.3.1. Tipos De Barras .................................................................................... 36. 2.3.2. Cables.................................................................................................... 36. 2.3.3. Tubos .................................................................................................... 37. 2.3.4. Barras De Solera ................................................................................... 39. 2.3.5. Cobre ..................................................................................................... 40. 2.3.6. Aluminio ............................................................................................... 41. 2.3.7. Ampacidad ............................................................................................ 42. 2.3.8. Vibración Del Conductor ...................................................................... 43. 2.4. Cálculo De Barras ........................................................................................ 46. 2.4.1. Fuerza De Atracción Entre Conductores ............................................. 47. 2.4.2. Aplicaciones Prácticas De Los Esfuerzos Electrodinámicos. ............... 53. 2.5. Propiedades Elásticas De Los Sólidos ......................................................... 61. 2.5.1. Módulo De Young: Elasticidad En Longitud ....................................... 62. 2.5.2. Módulo De Corte: Elasticidad De Forma ............................................. 64. 2.6. Introducción Al Método De Los Elementos Finitos ................................... 65. 2.6.1. Introducción .......................................................................................... 65. 2.6.2. Aspectos Históricos .............................................................................. 66. 2.6.3. Esquema De Presentación ..................................................................... 67.

(9) 2.6.4. Conceptos De Elasticidad ..................................................................... 67. 2.6.5. Esfuerzos Y Equilibrio.......................................................................... 68. 2.6.6. Condiciones De Frontera ...................................................................... 70. 2.6.7. Relaciones Deformaciones Unitaria-Desplazamiento .......................... 72. 2.6.8. Relaciones Esfuerzos Deformaciones ................................................... 74. 2.6.9. Modelamiento Bidimensional .............................................................. 75. 2.6.10. Elasticidad Bidimensional ................................................................. 76. 2.6.11. Ecuaciones De Equilibrio .................................................................. 77. 2.6.12. Relaciones Deformaciones-Desplazamientos ................................... 80. 2.6.13. Funciones De Interpolación .............................................................. 87. 2.6.14. Criterios De Convergencia ................................................................ 90. 2.6.15. Criterio 1 ........................................................................................... 91. 2.6.16. Criterio 2 ........................................................................................... 92. 2.6.17. Criterio 3 ........................................................................................... 93. 2.6.18. Ecuaciones Generales ........................................................................ 96. 2.6.19. Deformaciones Unitarias ................................................................... 98. 2.6.20. Estado De Tensiones. Ecuación Constitutiva.................................. 101. 2.6.21. Ecuación De Equilibrio De Un Elemento ....................................... 102. 2.7. Energía Potencial Y Equilibrio Método De Rayleigh Ritz ....................... 106. 2.7.2 Frontera. Ecuaciones Del Elemento Finito; Manejo De Las Condiciones De 111. 2.8. Circuito Equivalente De Un Transformador Real ...................................... 122. 2.9. Estructuras de Simetría Axial..................................................................... 128. CAPITULO III. MARCO METODOLOGICO .................................................. 130. 3.1. Funciones De Desplazamientos ................................................................. 130. 3.2. Matriz De Rigidez Del Elemento ............................................................... 138.

(10) 3.3. Càlculo De La Fuerza Eléctrica Sobre Los Nodos De Cada Elemento Finito 142. 3.4. Algoritmo Para La Matriz De Rigidez ...................................................... 145. 3.5. Algoritmo Para Ensamble De La Matriz De Rigidez ................................ 146. 3.6. Algoritmo Para La Matriz De Cálculo De Esfuerzos ............................... 147. 3.7. Implementación De Programa En Matlab .................................................. 148. 3.7.1. Matriz De Rigidez Del Elemento ........................................................ 148. 3.7.2. Programa Para Calcular La Matriz De Rigidez Del Elemento ........... 149. 3.7.3. Ensamble De La Matriz De Rigidez Total .......................................... 151. 3.7.4. Programa Que Devuelve La Matriz De Rigidez Ensamblada ........... 152. 3.7.5. Introducción De Las Condiciones. De Contorno Y Enfoque De. Penalización. ......................................................................................................... 155 3.7.6. Ingreso De Las Fuerzas Nodales Para El Elemento Finito ................. 155. 3.7.7. Càlculo De La Matriz De Vector Desplazamiento ............................ 157. 3.7.8. Construcción Del Vector Fuerza ......................................................... 157. 3.7.9. Càlculo De Desplazamientos Nodales Por Elemento ........................ 158. 3.7.10. Cálculo De Esfuerzos ...................................................................... 158. 3.7.11. Matriz De Cálculo De Esfuerzos ..................................................... 159. CAPITULO IV 4.1. CÀLCULOS JUSTIFICATIVOS. ...................................... 161. Presentación Del Caso De Diseño “Proyecto Yacari” ............................... 161. 4.1.1. Ubicación ............................................................................................ 161. 4.1.2. Proyecto .............................................................................................. 162. 4.1.3. Tablero De Distribución ..................................................................... 163. 4.1.4. Simulación Del Sistema Para El Cálculo De La Corriente De. Cortocircuito Trifásica, Con El Programa Etap ................................................... 164 4.2. Resultados De Análisis De Fallas .............................................................. 166. 4.3. Selección De Aislador ................................................................................ 168.

(11) 4.4. Cálculo De La Barra de baja tensión Con El Método Tradicional........... 169. 4.4.1 Máxima. Diseño De Barra de baja tensión. Por Corriente De Cortocircuito. 169. 4.4.2. Diseño De Barras ................................................................................ 169. 4.4.3. Càlculo ................................................................................................ 170. 4.5. Primer Diseño De La Barra de baja tensión Mediante El Método De. Elementos Finitos ..................................................................................................... 173 4.6. Desarrollo Y Solución Con El Método De Elemento Finito ..................... 176. 4.6.1. Esquema De Procedimiento ................................................................ 176. 4.6.2. Análisis por elementos finitos............................................................. 177. 4.7. Segundo Diseño De La Barra de baja tensión Mediante El Método De. Elementos Finitos Análisis Por Elementos Finitos .................................................. 198 4.7.1. Análisis por elementos finitos............................................................. 199. 4.8. Diseño De Barra baja tensión Por Capacidad De Corriente..................... 220. 4.9. Diseño de la barra de Media tensión .......................................................... 223. 4.9.1. Diseño por capacidad de corriente ...................................................... 223. 4.9.2. Diseño De Barra de Media tensión Por Corriente De Cortocircuito. Máxima con el método tradicional. ...................................................................... 224 4.9.3. Diseño De Barra de Media tensión Por Corriente De Cortocircuito. mediante el análisis de esfuerzos por elementos finitos. ..................................... 229 4.9.4. Diseño De Barra tubular de Media. tensión. Por Corriente De. Cortocircuito ......................................................................................................... 252 CAPITULO V. ANALISIS Y PRESENTACION DE RESULTADOS. ............. 278. CONCLUSIONES ................................................................................................... 281 LISTA DE SIMBOLOS........................................................................................... 283 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS .................................................................... 286 ANEXOS ................................................................................................................. 288.

(12) LISTA DE ILUSTRACIONES. Ilustración 1: Cargas Puntuales................................................................................................................... 5 Ilustración 2 : Líneas de Fuerza Magnética ................................................................................................. 6 Ilustración 3 : Superficie Gaussiana Esferica .............................................................................................. 9 Ilustración 4 : Superficie Gaussiana Arbitraria ......................................................................................... 11 Ilustración 5 : distribución volumétrica uniforme de carga ....................................................................... 13 Ilustración 6 : Flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica ............................................ 14 Ilustración 7 : Trayectoria de una partícula en campo eléctrico .............................................................. 16 Ilustración 8: Tubo de Rayos Catódicos .................................................................................................... 18 Ilustración 9 : Potencial Eléctrico ............................................................................................................. 19 Ilustración 10: Intensidad de Carga Eléctrica ........................................................................................... 26 Ilustración 11: experimento de existencia de campo Magnético ................................................................ 29 Ilustración 12: Campo Magnético de un Conductor .................................................................................. 30 Ilustración 13: Regla de la mano derecha ................................................................................................. 31 Ilustración 14 : relación de campo magnético y velocidad ........................................................................ 32 Ilustración 15: Torque en una Espira Rectangular .................................................................................... 33 Ilustración 16:Momento Magnetico ........................................................................................................... 34 Ilustración 17 :Máximo gradiente de tensión superficial de barras circulares ......................................... 43 Ilustración 18: Relación del factor k y R/x ................................................................................................. 46 Ilustración 19:Barras circulares ................................................................................................................ 48 Ilustración 20 :Ondas de corriente ............................................................................................................ 50 Ilustración 21 : Dirección de la Fuerza Magnética ................................................................... 51.

(13) Ilustración 22 : Fuerzas en barras producto de campo magnético ............................................................ 52 Ilustración 23 :Barra larga sujeta a un extremo deformación por fuerza ................................................. 62 Ilustración 24 :Valores representativos para módulos elásticos ............................................................... 63 Ilustración 25 :Curva esfuerzo deformación .............................................................................................. 64 Ilustración 26 : Cuerpo tridimensional ...................................................................................................... 69 Ilustración 27: Equilibrio de un Volumen .................................................................................................. 71 Ilustración 28: volumen elemental en una Superficie ................................................................................ 72 Ilustración 29 : Superficie Elemental Deformada ...................................................................................... 73 Ilustración 30 : Esfuerzo Bidimensional .................................................................................................... 75 Ilustración 31: Deformaciones en el Plano Coordenado ........................................................................... 76 Ilustración 32: Ecuaciones de Equilibrio ................................................................................................... 77 Ilustración 33 : Discretizacion en elementos finitos .................................................................................. 83 Ilustración 34: Elasticidad Unidimensional ............................................................................................... 85 Ilustración 35: Elasticidad Bidimensional ................................................................................................. 86 Ilustración 36 : Elasticidd Tridimensional ................................................................................................. 86 Ilustración 37: Elemento Cascara .............................................................................................................. 87 Ilustración 38 : Deformaciones de un elemento Finito .............................................................................. 88 Ilustración 39: Funcion de Interpolacion................................................................................................... 90 Ilustración 40 :Movimientos de Solido Rigido ........................................................................................... 92 Ilustración 41: Criterios de Convergencia ................................................................................................. 93 Ilustración 42: Deformacion de un Elemento Finito .................................................................................. 97 Ilustración 43:Trabajo virtual queproducen las fuerzas .......................................................................... 103 Ilustración 44: Fuerzas Aplicadas Sobre los Nodos O Nudos ................................................................. 105 Ilustración 45 :El método de penalización donde se usa un resorte con una gran rigidez para condición de frontera Q1=a1 .......................................................................................................................... 119.

(14) Ilustración 46: Circuito equivalente de un Transformador real reducido al Primario ........................... 123 Ilustración 47: Circuito Equivalente Exacto de un transformador real reducido al primario. ............... 125 Ilustración 48: Circuito equivalente de un Transformador reducido al primario ................................... 127 Ilustración 49: Fuerzas Nodales en Elemento Bidimensional .................................................................. 130 Ilustración 50: Funciones de Interpolacion ............................................................................................. 135 Ilustración 51: Fuerzas Distribuidas ....................................................................................................... 142 Ilustración 52: Fuerzas distribuidas nodales ........................................................................................... 143 Ilustración 53: Ubicación del proyecto .................................................................................................... 161 Ilustración 54: Espacio disponible para ubicación del tablero de distribución. ..................................... 162 Ilustración 55: Dimensiones en milímetros de acuerdo al espacio de diseño en la Subestación ............. 163 Ilustración 56:Diagrama unifilar de la simulación del flujo de potencia en Etap 7.0 ............................ 165 Ilustración 57: Aisladores hexagonales de soporte .................................................................................. 168 Ilustración 58: Dimensionamiento de Barras .......................................................................................... 174 Ilustración 59 : Longitud de la Barra de Prueba ..................................................................................... 175 Ilustración 60: Corriente y campo magnético .......................................................................................... 176 Ilustración 61: División por elementos finitos de la Barra de 130 cm ..................................................... 178 Ilustración 62 : Fuerzas distribuidas ....................................................................................................... 198 Ilustración 63 : División en elementos finitos de la barra del segundo diseño de 100 cm ....................... 200 Ilustración 64: Reporte de flujo de potencia del circuito. ........................................................................ 221 Ilustración 65: Carga de pletinas de cobre, según DIN 43671 ................................................................ 222 Ilustración 66: Carga de pletinas de cobre, según DIN 43671 ................................................................ 224 Ilustración 67: División por elementos finitos de la Barra de 224 cm ..................................................... 230 Ilustración 67: División por elementos finitos de la Barra tubular de 224 cm ....................................... 255 Ilustración 68: Vista frontal de la Disposición de la barra ,transformador en la subestación ............... 277 Ilustración 69: Vista de Planta de la disposición de la barra y transformador en la subestación .......... 277.

(15) LISTA DE TABLAS Tabla 1 : Momentos de Inercia, Momentos de inercia de distintas secciones utilizadas en barras .. 54. Tabla 2 : Elementos de Esfuerzo de elementos A. 55. Tabla 3: Valores de la Constante K. 59. Tabla 4 :Datos sobre los materiales de algunos conductores. 60. Tabla 5: Parámetros de los Materiales. 175. Tabla 6: Conectividad de los nodos en los elementos Finitos. 178. Tabla 7:Conectividad de los nodos de la barra de 100 cm. 200. Tabla 8: Conectividad de los nodos en los elementos Finitos. 231. Tabla 8: Conectividad de los nodos en los elementos Finitos. 256. Tabla 9: Cuadro comparativo de soluciones del método convencional y el método del elemento finito para la Barra de baja tensión.. 278. Tabla 10: Cuadro comparativo de soluciones del método convencional y el método del elemento finito para la Barra de media tensión.. 279.

(16) CAPITULO I. 1.1. PROBLEMA Y SUS GENERALIDADES. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA. Las subestaciones eléctricas son parte fundamental en los sistemas de distribución eléctrica de todo proyecto eléctrico, las especificaciones de su diseño y operación están guiadas por las características eléctricas que presenta el proyecto, la carga diversa que es conectada a ella, esto es, la potencia, los niveles de voltaje y corriente que se van a manejar; por lo tanto, cuando ocurre una falla en el sistema eléctrico que excedan a los parámetros de operación normal, las barras de cobre colectoras de las instalaciones son sometidas a esfuerzos electrodinámicos y que en caso de una falla los esfuerzos son mayores.. 1.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA. ¿Cómo analizar los esfuerzos electrodinámicos en una barra de cobre en condiciones de falla utilizando el método de elementos finitos?. 1.3. OBJETIVO. Establecer una metodología de análisis de esfuerzos electrodinámicos para una barra de cobre en condiciones de falla a través del método de elementos finitos.. 1.

(17) 1.4. OBJETIVOS ESPECÍFICOS. . Modelar un algoritmo para la implementación de un programa para la solución. del sistema. . Comparar la solución convencional analítica propuesta por la bibliografía. consultada en relación al diseño de subestaciones con la solución mediante el método de elemento finito.. 1.5. HIPÓTESIS. Es posible realizar una metodología de análisis de esfuerzos electrodinámicos para una barra de cobre en condiciones de falla a través del método de elementos finitos. 1.6. JUSTIFICACIÓN. El diseño de barras colectoras son un componente importante en la subestación y. la continuidad de servicio también. depende de ellas; por lo que, es de vital. importancia realizar el dimensionamiento apropiado, teniendo en cuenta los esfuerzos electrodinámicos producidos por una falla trifásica. Lo que implica la selección apropiada del conductor en lo referente al material, tipo y forma del mismo a la selección de los aisladores .Y sus accesorios, y a la selección de las distancias entre los apoyos y entre fases. Es necesario poder tener un soporte de ayuda, la aplicación de la metodología propuesta y los scripts que se proponen para su solución.. 2.

(18) 1.7. DELIMITACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN. Descripción y análisis de esfuerzos electrodinámicos que se presentan para una barra de cobre en condiciones de falla a través del método de elementos finitos, no se considerara el estudio de mallado.. 1.8. . METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN. Tipo de investigación:. Esta investigación corresponde al de tipo descriptivo y analítico. . Diseño de la investigación:. Este diseño comprende: •. Revisión de los conceptos fundamentales de esfuerzos electrodinámicos. •. Revisión del método de elementos finitos. •. Desarrollo de algoritmo en Matlab. •. Revisión de fallas trifásicas. •. Establecer la metodología de análisis a través del método de elementos finitos. 3.

(19) CAPITULO II. 2.1. MARCO TEORICO. Electricidad Y Magnetismo. 2.1.1 Campo Escalar. Si a cada punto (x,y,z) de una región del espacio se le puede asociar un escalar Y(x,y,z), hemos definido un campo escalar Y. La función Y depende, pues, del punto ȓ( x , y , z ) y, por ello, se llama Función escalar de posición; o bien función de punto escalar. Por ejemplo, las temperaturas en cada punto interior o sobre la superficie de la tierra en un. cierto instante definen una función escalar. SI un campo escalar es. independiente del tiempo, se le llama permanente o estacionario [1].. 2.1.2 Campo Vectorial. Si a cada punto (x,y,z) de una región del espacio se le puede asociar un vector V (x ,y ,z ), hemos definido un campo vectorial V La función V depende, pues, del punto ȓ y, por ello, se llama función vectorial de posición, o bien función de punto vectorial. Por ejemplo, las velocidades en cada punto (x,y,z) en el interior de un fluido en movimiento, en un cierto instante, definen un campo vectorial. Si un campo vectorial es independiente del tiempo se llama permanente o estacionario [1].. 4.

(20) 2.1.2.1 Intensidad del campo eléctrico. La intensidad del campo eléctrico en un punto del espacio es la manifestación de que la materia está cargada y se define como la fuerza ejercida sobre una carga de prueba Qo positiva colocada en ese punto.. Ilustración 1: Cargas Puntuales. fuente: Serway .Fisica editorial Mc Hill,1996. La dirección y sentido de la intensidad del campo eléctrico es el mismo de la fuerza electrostática. De manera pues que matemáticamente, la intensidad del campo eléctrico se expresa como [1]:. ̅. 𝐹 𝐸̅ = Q. (2.1). Como la carga de prueba crea su propio campo eléctrico, entonces éste se adicionaría al campo eléctrico que se quiere medir producido por la carga Q; por tal motivo las condiciones de medida se alteran; para evitar esto, se toma la carga de prueba Qo lo más 5.

(21) pequeña posible para que el campo eléctrico producido por ella sea prácticamente insignificante y no altere la medida; en consecuencia, la intensidad del campo eléctrico se define de la siguiente manera:. 𝐹̅ 𝐸̅ = lim ( ) 𝑄→0 Q. (2.2). Aunque según se observó en el capítulo anterior en lo relativo a la cuantización de la carga eléctrica, existe un límite para la mínima carga que viene a ser la carga del electrón e [1].. 2.1.3 Líneas De Fuerza. Una línea de fuerza indica la dirección de la fuerza que se ejerce sobre una carga de prueba positiva introducida en el campo. Si se suelta la carga, ésta se mueve en la dirección de la línea de campo. El campo eléctrico se representa gráficamente por medio de líneas de fuerza. Ilustración 2 : Líneas de Fuerza Magnética. Fuente : Serway .Física editorial Mc Hill,1996.. 6.

(22) Las líneas de fuerza producidas por una carga puntual negativa se dirigen radialmente hacia dicha carga, ya que, una carga de prueba Q0 positiva colocada en un punto cercano tendería a acercarse a la carga que produce el campo eléctrico Líneas de fuerza producidas por dos cargas puntuales de diferente signo cercanas entre si [1].. 2.1.4 El Flujo Del Campo Eléctrico. La Ley De Gauss. Estos términos tienen un fuerte origen “hidráulico” sugiriendo que un fluido emana de las fuentes para ser consumido en los sumideros. Con la palabra flujo pasa exactamente lo mismo. Originariamente fue concebida para calcular, por ejemplo, la cantidad de agua que fluye por un río. En este caso el campo en cuestión es el de velocidades y la interpretación es simple y directa. Con el campo eléctrico la situación es más difícil porque no lo podemos ver y además es un concepto mucho más abstracto porque involucra la fuerza que actuaría sobre una hipotética carga de prueba puesta en un lugar. Igualmente conviene refrescar la memoria y recordar que el flujo ɸ de un campo vectorial 𝐹̅ a través de una superficie S está dado por:.      F  dS. (2.3). S. 7.

(23) El integrando es el producto escalar de dos magnitudes vectoriales y la superficie, S puede ser abierta o cerrada. En este último caso se conviene en considerar la dirección  de dS apuntando hacia fuera de la región cerrada y el flujo queda dado por el conocido teorema de Gauss-Ostrogradsky :.       F  dS   div F  dV S. V. (2.4). Donde V es el volumen limitado por S y div es el operador divergencia. Suficiente repaso; hagamos un ejercicio matemático: Computar el flujo del campo eléctrico generado por una carga puntual Q (positiva) a través de una superficie esférica de radio r, tal que el centro de dicha esfera coincida con la carga Q. Hacemos una vista 2-D del problema en la figura [2]. 8.

(24) Ilustración 3 : Superficie Gaussiana Esferica. fuente : http://materias.fi.uba.ar/6203/Download/Contribuciones/Electrostatica. Intencionalmente hemos elegido un problema simple. En efecto, por lo visto en el capítulo anterior, el campo eléctrico generado por una carga puntual es solo función de la distancia a la misma y vale (considerando que la carga está en el origen de coordenadas):.   E r  . 1. Q rˆ 4 0 r 2. ( 2.5). Dado que la superficie sobre la que integramos es una esfera de radio r, es conveniente expresar el elemento de área como:. 9.

(25)  dS  r 2 sin  d d eˆr .. (2.6). Notar que el elemento de área también apunta en la dirección radial (hacia fuera de la esfera). El flujo es entonces:. 2 . .  1.    4 0 0. 0. Q r2.  Q rˆ   r 2 sin   d d rˆ  0 . . . (2.7). el resultado es independiente del radio r de la esfera. No debemos detenernos aquí porque se trataría simplemente de un ejercicio matemático más de una larga lista. Conviene ver si logramos extraer algún significado. Volvamos a la analogía hidráulica: Pensemos en una ducha; las líneas de flujo de agua “nacen” en la ducha y caen. Rodeemos la ducha con una superficie real o imaginaria y computemos el flujo del agua a través de dicha superficie. Lo que obtenemos son la cantidad de litros por segundo que atraviesan la superficie. ¿Cuál es la fuente de dicho caudal? Para nuestro problema es la ducha (ya sabemos que el agua vino por dentro del caño desde la planta potabilizadora, pero no es relevante para nuestra discusión). Volviendo al campo eléctrico decimos  entonces que la carga Q es fuente del campo eléctrico E y que el flujo del mismo a través de una superficie esférica concéntrica es proporcional a la carga [2]. 10.

(26) Ilustración 4 : Superficie Gaussiana Arbitraria. Fuente: http://materias.fi.uba.ar/6203/Download/Contribuciones/Electrostatica. La solución estriba en considerar un volumen V limitado interiormente por nuestra esfera del problema anterior (Sint) y exteriormente por una superficie arbitraria Sext. Aplicamos el teorema de Gauss a este volumen, para ello debemos computar la divergencia del campo eléctrico generado por la carga Q. En coordenadas esféricas tenemos: E  1  2 1  sin  E   1 div E   2 r Er  0 r0 r sin    r sin    r r. . . (2.8). Los flujos son iguales a menos de los signos, pero esto es fácil de comprender (y cambiar) porque notamos que en nuestro ejemplo original la normal a la superficie esférica Sint tenía la dirección opuesta a la utilizada en este último cálculo. Si invertimos los signos para llevar todo a la misma convención llegamos a la conclusión 11.

(27) que el flujo computado a través de la superficie esférica es igual al que obtendríamos sobre cualquier otra superficie cerrada que encerrara a la carga Q. El resultado de la ecuación es entonces válido para cualquier superficie. Además, en virtud del principio de superposición, podemos extender este resultado a un conjunto de varias cargas encerradas dentro de una superficie, obteniendo:.   Q    E  dS  enc. 0. S. (2.9). Donde Qenc denota la totalidad de la carga encerrada dentro de la superficie S. La ecuación anterior se denomina, con poca originalidad, ley de Gauss de la electrostática. Si bien la derivación fue hecha a partir de considerar una o más cargas puntuales, es fácil ver que la misma también aplica a una distribución continua puesto que cualquier objeto cargado puede ser descompuesto en elementos de carga dq para los cuales aplicamos la misma deducción. Un último comentario matemático: el caso más general de un objeto cargado corresponde a una distribución volumétrica (3D). En esta condición la ecuación del flujo de la ley de gauss se transforma en:.   Q    E  dS  enc  S. 0.   dV V. 0. (2.10). Si recurrimos una vez más al teorema del flujo encontramos que:   div E  . 0. (2.11). 12.

(28) Volvamos a la ley de Gauss porque varias veces la utilizaremos para estudiar distintos aspectos del campo eléctrico. Ahora, para aliviar las tensiones de tanta matemática vamos a mostrar cómo con un poco de buen razonamiento previo (más algo de suerte) y la ayuda de la ley de gauss podemos determinar el valor del campo eléctrico sin necesidad de recorrer el difícil camino de las ecuaciones. El núcleo de la idea se encuentra en que algunas distribuciones de carga son lo suficientemente sencillas como para que podamos inferir la dirección de las líneas de campo por simples razonamientos. Si esta oración sonó complicada vamos a un primer ejemplo basado en la distribución de carga esférica de radio a y densidad uniforme ᵖ0, la que miraremos de costado [2].. Ilustración 5 : distribución volumétrica uniforme de carga. fuente : http://materias.fi.uba.ar/6203/Download/Contribuciones/Electrostatica. La clave del análisis reside en ubicarnos en el punto rojo, sobre el que deseamos computar el campo eléctrico, y notar que el objeto cargado puede ser dividido en contribuciones elementales de las que mostramos solo dos, denominadas A y B. Estos elementos están simétricamente posicionados respecto del punto de observación. Las contribuciones de campo que generan   E A y EB. 13.

(29)  Dan por resultante ET que se encuentra dirigida en la dirección radial. Como el proceso se puede repetir, encontrando otros elementos distribuidos simétricamente sobre toda la esfera, concluimos que el campo en el punto de observación apunta en la dirección radial. Nótese que el resultado habría sido el mismo para cualquier otro punto de observación que estuviera a la misma distancia r puesto que la distribución de carga es simétrica. Este resultado ya lo habíamos encontrado antes, pero ahora lo conseguimos “desarmando” el objeto cargado y analizando las contribuciones elementales. En párrafos anteriores demostramos que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada independientemente de la forma de la superficie en cuestión. Tenemos libertad de elegir la superficie más conveniente y nos decidimos por una esférica que pase por el punto de observación [2]. Ilustración 6 : Flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica. fuente : http://materias.fi.uba.ar/6203/Download/Contribuciones/Electrostatica. Apliquemos ahora la ley de Gauss recordando que el campo apunta en la dirección radial al igual que el elemento de área [2].   Q    E  dS   E r  rˆ   dS rˆ    E dS  S. S. S. 0. (2.12) 14.

(30) Ahora necesitamos de una idea importante: Al recorrer el dominio de integración, la distancia r permanece constante y con ello el módulo del campo eléctrico, por lo que podemos escribir:.    E dS  E  dS  ES  S. S. Q. 0. (2.13). Ahora que conocemos la dirección de las líneas de campo debemos encontrar una superficie tal que al recorrerla el módulo del campo permanezca constante. La respuesta aparece pronto; en la medida en que nos mantengamos a una distancia constante del alambre el valor de campo que esperamos es constante. Tomamos entonces como superficie de integración un cilindro de radio r y largo L, concéntrico con el alambre. Por claridad hemos omitido la tapa frontal del cilindro para poder observar el alambre y las líneas de campo, pero es importante destacar que ambas tapas deben entrar en el análisis porque necesitamos una superficie cerrada [2].. 2.1.5 Movimiento De Una Partícula Cargada En Un Campo Eléctrico.. Cuando una partícula con carga q y masa m se coloca en un campo eléctrico E , la fuerza eléctrica ejercida sobre la carga es q E , 2.1.5.1 Movimiento perpendicular a la dirección del campo.. Cuando una partícula cargada llega con velocidad vo a una zona en que exista un campo eléctrico uniforme E, normal a vo , se observa que sigue una trayectoria curvilínea hasta que sale de la influencia del campo, a partir de cuyo instante sigue de nuevo una trayectoria recta [3] 15.

(31) Ilustración 7 : Trayectoria de una partícula en campo eléctrico. fuente :Serway. FÍSICA , 1996. Esto es debido a que las fuerzas que actúan sobre la partícula son el peso (mg) y la fuerza electrostática (qE), pudiendo despreciarse, en general, la primera respecto de esta, con lo que la ecuación fundamental de la dinámica permite escribir [3]. F = qE = ma. (2.14). se deduce que. max  0. y. may  qE. (2.15). Integrando. v x  v o  cte.. (2.16). 16.

(32) vy . . a y dt =. qE t m. (2.17). Integrando se obtienen las componentes de la trayectoria. x = vot. y=. (2.18). 1 qE 2 1 qVa  Vb  2 t  t 2 m 2 ml. (2.19). Eliminando el tiempo se obtiene la ecuación de la trayectoria. y=. 1 q Va  Vb  2 x 2 mlv 2o. (2.20). que es una parábola, y en donde se ve que la desviación es proporcional a la diferencia de potencial existente entre las placas, y como en este caso la partícula cargada es negativa se desviará hacia el potencial mayor.. Un ejemplo de aplicación del movimiento de cargas en campos eléctricos uniformes es el tubo de rayos catódicos utilizado en televisores o pantallas de ordenadores. Un cañón electrónico proporciona un haz de electrones que incide sobre la pantalla activando sustancias fosforescentes que dan lugar a puntos brillantes [3]. 17.

(33) Ilustración 8: Tubo de Rayos Catódicos. fuente : http://fisicayquimicaastura3eso.blogspot.pe/p/ud4.html. El haz de electrones al pasar a través de dos pares de placas deflectoras entre las que existen campos eléctricos uniformes los desvía adelante o atrás y a derecha o izquierda barriendo de este modo toda la pantalla. En las pantallas en color son tres haces dependiendo el color del punto de la intensidad relativa de cada haz [3].. 2.1.6 Potencial Eléctrico.. El concepto de la energía potencial fue introducido en relación con algunas fuerzas conservativas como la fuerza gravitacional y la fuerza elástica ejercidas por un resorte al usar la ley de la conservación de energía [3].. 2.1.7 Diferencia De Potencial Y Potencial Eléctrico. 2.1.7.1 Cambio de Energía Potencial:. 18.

(34) La cantidad U/qo recibe el nombre de potencial eléctrico o simplemente el potencial, V. El potencial eléctrico en cualquier punto en un campo eléctrico es: V=U/qo. (2.21). El potencial eléctrico es una cantidad escalar. Diferencia de Potencial: La diferencia de potencial, ∆V=Vb –Va , entre los puntos A y B, se define como el cambio de la energía potencial dividida entre la carga de prueba qo [3]. Ilustración 9 : Potencial Eléctrico. Linea de Campo. qo +. dS. camino qoE. fuente :Serway. FÍSICA , 1996. ∆V = ∆ U/qo = - ∫ E ds. (2.22). La diferencia de potencial ∆V es igual al trabajo por carga unitaria que un agente externo debe efectuar para mover una carga de prueba de A a B sin cambio en la energía cinética de la carga de prueba [3].. 19.

(35) 2.1.7.2 Definición de un Volts:. Puesto que la diferencia de potencial es una medida de la energía por unidad de carga, la unidad del SI del potencial es joules por coulomb, definido igual a una unidad llamada el volt (V): 1V = 1J / 1C. (2.23). Es decir, 1J de trabajo debe efectuarse para llevar una carga de 1C a través de una diferencia de potencial de 1V [3]. 2.1.7.3 El Electrón volt:. Se define como la energía que un electrón o protón gana o pierde al moverse a través de una diferencia de potencial de 1V [3].. 1eV = 1.60 X 10E-19 J. (2.24). 2.1.7.4 Diferencia De Potencial En Un Campo Eléctrico Uniforme. El trabajo hecho al llevar la carga de prueba de un punto A a un punto B es el mismo a lo largo de toda la trayectoria. Esto confirma que un campo eléctrico uniforme y estático es conservativo. Vb - Va = ∆ V = -∫ E ds = -Ed. (2.25). 20.

(36) El signo menos es el resultado del hecho de que el punto B está a un potencial menor que el punto A; es decir Vb < Va . Las líneas de campo eléctrico siempre apuntan en la dirección de potencial eléctrico decreciente.. Una carga de prueba q se mueve de A a B. ∆U = qo ∆ V = -qo Ed. (2.26). A partir de este resultado, vemos que si qo es positiva, ∆U es negativa. Esto significa que un campo eléctrico realiza trabajo sobre una carga positiva cuando esta se mueve en la dirección del campo eléctrico. Conforme la partícula cargada gana energía cinética, el campo pierde una cantidad igual de energía potencial.. Si la carga de prueba qo es negativa, entonces ∆U es positiva y la situación se invierte. Una carga negativa gana energía potencial eléctrica cuando se mueve en la dirección del campo eléctrico.. Todos los puntos en un plano perpendicular a un campo eléctrico uniforme están al mismo potencial [3]. 2.1.7.5 Superficie Equipotencial:. Este nombre se da a cualquier superficie compuesta de una distribución contínua de puntos que tienen el mismo potencial eléctrico. Puesto que ∆U = qo ∆V, no se realiza trabajo al mover una carga de prueba entre los puntos cualesquiera en una superficie equipotencial [3].. 21.

(37) 2.1.8 Potencial Eléctrico Y Energía Potencial Debido A Cargas Puntuales. Para determinar el potencial eléctrico en un punto del campo localizado a una distancia r de la carga, empezamos con la definición general para la diferencia de potencial:. Vb - Va = - ∫ E ds. (2.27). La cantidad E ds puede expresarse como E ds = ( Ke q/r) r ds. (2.28). Potencial Eléctrico de una carga puntual:. El potencial eléctrico debido a una carga puntual a cualquier distancia r de la carga es V = Ke q/r. (2.29). Las superficies equipotenciales sobre las cuales V permanece constante, para una carga puntual aislada se compone de una familia de esferas concéntricas con la carga.. El potencial eléctrico de varias cargas puntuales:. El potencial eléctrico de dos. o más cargas puntuales se obtiene aplicando el principio de superposición. Para un grupo de cargas, podemos escribir el potencial total en P en la forma:. 22.

(38) V = Ke ∑i qi /ri. (2.30). El trabajo es igual a la energía potencial U del sistema de dos partículas cuando éstas están separadas por una distancia r, podemos expresar la energía potencial como. U = q2 V1 = Ke q1 q2 /r12. (2.31). Si en el sistema hay más de dos partículas cargadas la energía potencial total puede obtenerse calculando U para cada par de cargas y sumando los términos algebraicamente [3]. U = Ke ( q1 q2 /r12 + q1 q3 /r13 + q2 q3 /r23 ). (2.32). 2.1.8.1 Obtención De E A Partir Del Potencial Eléctrico. Podemos expresar la diferencia de potencial dV entre dos puntos separados una distancia ds como:. dV = -E ds. (2.33). Si la distribución de carga tiene simetría esférica, donde la densidad de carga depende solo de la distancia radial r, entonces el campo eléctrico es radial. En este caso, E ds = E dr, por lo que podemos expresar dV en forma dV = -E dr. Por lo tanto,. 23.

(39) Er = -dV/dr. (2.34). Cuando una carga de prueba es desplazada por un vector ds ubicada dentro de cualquier superficie equipotencial, entonces, por definición, dV = –E ds = 0. Esto muestra que las superficies equipotenciales deben ser siempre perpendiculares a las líneas de campo eléctrico En general, el potencial eléctrico es una función de las tres coordenadas. Si V(r) está dada en términos de coordenadas rectangulares, las componentes del campo eléctrico Ex, Ey, Ez pueden encontrarse fácilmente en V(x,y,z):. Ex = -∂V/∂x. Ey = -∂V/∂y Ez = –∂V/∂z. (2.35). En estas expresiones las derivadas se denominan derivadas parciales. En la operación dV/dx, tomamos una derivada respecto de x mientras y , z se mantienen constante [3].. 2.1.8.2 Potencial Eléctrico Debido A Distribuciones De Carga Continuas. El potencial dV en algún punto P debido al elemento de carga dq es. dV = Ke dq/r. (2.36). Donde r es la distancia del elemento de carga al punto P. Podemos expresar V como: 24.

(40) V = Ke ∫ dq/r. (2.37). Si la distribución de carga es altamente simétrica, evaluamos primero E en cualquier punto usando la ley de Gauss y después sustituimos el valor obtenido en la ecuación ∆V = - ∫ E ds , para determinar la diferencia de potencial entre los puntos cualesquiera. Después elegir V = 0 en cualquier punto conveniente [3].. 2.1.8.3 Potencial de un conductor cargado. Cada punto sobre la superficie de un conductor cargado en equilibrio está al mismo potencial. La diferencia de potencial entre A y B es necesariamente 0:. Va - Vb = - ∫E ds = 0. (2.38). Este resultado se aplica a dos puntos cualesquiera sobre la superficie. Por tanto, V es constante en todos los puntos sobre la superficie de un conductor cargado en equilibrio. No se requiere trabajo para mover una carga de prueba del interior de un conductor cargado a su superficie. El potencial no es cero en el interior del conductor aun cuando el campo eléctrico sea cero [3].. 25.

(41) 2.1.8.4 Densidad de corriente. ( J ).- Es un vector cuyo modulo representa la rapidez del transporte de carga a través de la unidad de área normal a la corriente, cuya dirección está dada por el de la velocidad de los portadores de carga positivos. 𝐼. 𝐽 = 𝐴 = 𝑛 𝑞 ̅̅̅ 𝑣𝑑 =. 𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 2. (2.39). Relación entre J y la velocidad de los portadores de carga Si se define la carga neta. contenida en un volumen V como Q = n q. V donde n es el número de portadores móviles por unidad de volumen y q la magnitud de carga de cada portador [3].. Ilustración 10: Intensidad de Carga Eléctrica. Y X. Z. La figura muestra el volumen V = x A y los portadores de carga eléctrica. fuente :Serway. FÍSICA , 1996. Remplazando en:. 26.

(42) 𝐼=. △𝑄 △𝑡. =. 𝑛 𝑞△𝑥.𝐴 △𝑡. = 𝑛 𝑞 ̅̅̅ 𝑣𝑑 𝐴 = 𝑛 𝑞𝑣𝑑 𝐴. (2.40). Siendo v la velocidad promedio de las cargas. 𝐽=. 𝐼 𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟 = 𝑛 𝑞 ̅̅̅ 𝑣𝑑 = 𝐴 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜2. Si los portadores de carga son + , v es + , J es positivo Si los portadores de carga son - , v es - , J es positivo. La corriente para un movimiento de portadores de carga positivas y portadores de carga negativas es:. I = n (+q) (+vd) A + n (-q) (-vd) A. (2.41). La dirección de la corriente es el del vector densidad de corriente J, que es la dirección del flujo de cargas positivas [3].. 2.1.9 Fuerza Magnética.. El campo magnético origina fuerzas magnéticas son fuerzas de acción a distancia, es decir, se producen sin que exista contacto físico entre los dos imanes. Esta circunstancia, que excitó la imaginación de los filósofos antiguos por su difícil explicación, contribuyó más adelante al desarrollo del concepto de campo de fuerzas. Experiencias con imanes y dinamómetros permiten sostener que la intensidad de la fuerza magnética de interacción entre imanes disminuye con el cuadrado de la distancia [3]. 27.

(43) 2.1.9.1 Experimento De Oersted. A pesar de que ya en el siglo VI a. De C. se conocía un cierto número de fenómenos magnéticos, el magnetismo como disciplina no comienza a desarrollarse hasta más de veinte siglos. Gilbert (1544-1603), Ampére (1775-1836), Oersted (1777-1851), Faraday (1791-1867), investigaron sobre las características de los fenómenos magnéticos. Los fenómenos magnéticos habían permanecido durante mucho tiempo en la historia de la ciencia como independientes de los eléctricos. Pero el avance de la electricidad por un lado y del magnetismo por otro, preparó la unión de ambas partes de la física en una sola, el electromagnetismo, que reúne las relaciones mutuas existentes entre los campos magnéticos y las corrientes eléctricas. James Clark fue el científico que cerró ese sistema de relaciones al elaborar su teoría electromagnética. Antes de 1820 no se sospechaba que pudiera existir alguna relación entre los fenómenos magnéticos y eléctricos. El magnetismo y la electricidad se consideraban dos ramas diferentes de la física. A principios del siglo XIX HANS CHRISTIAN OERSTED fue quien por primera vez observó un hecho experimental que cambiaría radicalmente este punto de vista. Al hacer pasar una corriente por el circuito que se muestra en la figura observo que la aguja magnética se desviaba, tendiendo a orientarse perpendicularmente al alambre AB. Descubriendo así la existencia de una relación entre la electricidad y el magnetismo: Una corriente eléctrica produce efectos magnéticos.Para llevar a cabo el experimento vamos disponer de una brújula. Inicialmente,. 28.

(44) Ilustración 11: experimento de existencia de campo Magnético. B. A Fuente: recuperado de http://slideplayer.es/. sobre la aguja sólo actúa el campo magnético terrestre de forma que ésta se orienta en la dirección Norte-Sur. Con la aguja en equilibrio, colocamos un tramo de conductor recto paralelo a la aguja. Un amperímetro conectado en serie con el conductor nos indicará cuando circula corriente por el mismo. En esta situación, si hacemos circular una corriente por el conductor, del orden de 2 amperios, observamos que la aguja se desvía de su posición de equilibrio, oscilando en torno a las direcciones paralela y perpendicular al conductor. Al eliminar la corriente, la aguja vuelve a oscilar en torno a la dirección paralela al conductor (Norte-Sur) hasta que se detiene. Seguidamente se invierte el sentido de la corriente, observándose que ahora la aguja se desvía en sentido contrario. Podemos concluir que cuando circula corriente por el conductor sobre la aguja magnética actúan dos fuerzas, la fuerza debida al campo magnético terrestre y la fuerza originada por el campo magnético que el conductor crea en su entorno magnético que el conductor crea en su entorno. La publicación de este trabajo causó inmediatamente sensación, dando lugar a muchas interrogantes y estimulando un gran número de investigaciones. A partir de esta experiencia pudo revelarse la verdadera naturaleza del magnetismo, cuyo origen debe situarse en el movimiento de cargas eléctricas [2]. 29.

(45) Ilustración 12: Campo Magnético de un Conductor. fuente : recuperado de http://e-ducativa.catedu.es/. Tomando como punto de partida el experimento de Oersted, el científico francés Andre-Marie Ampere en 1826 logró formular este importante descubrimiento en términos matemáticos sólidos. Ampere propuso formalmente que una corriente eléctrica produce un campo magnético, e incluso postuló que las sustancias como la magnetita poseen minúsculos circuitos cerrados de corrientes que les dan propiedades magnéticas. La ecuación matemática que describe la relación entre la corriente eléctrica y el campo magnético es conocida como la ley de Ampere [2]. 2.1.9.2 Fuerza Magnética Sobre Una Carga Eléctrica. El campo magnético B en un punto del espacio ejerce una fuerza F sobre una partícula cargada q que se mueve con una velocidad v [3]. Observaciones experimentales permiten afirmar:. 30.

(46) Ilustración 13: Regla de la mano derecha. fuente :Serway. FÍSICA , 1996. La fuerza magnética es proporcional a la carga q y a su rapidez v (Fαq v). Si la velocidad v de la partícula forma un ángulo θ con las líneas de B, se encuentra que: F α senθ. La fuerza también depende de B, la proporcionalidad se convierte en una igualdad, en donde B es la constante de proporcionalidad.. F = q v B senθ. (2.42). en su forma vectorial se expresa como: F=q(vxB). (2.43). La fuerza siempre es perpendicular a v y nunca puede cambiar la magnitud ni hacer trabajo sobre la partícula. La dirección de la fuerza se determina por la regla. 31.

(47) Ilustración 14 : relación de campo magnético y velocidad. fuente :Serway. FÍSICA , 1996. de la mano derecha. Si la carga es negativa la fuerza tendrá sentido contrario Fuerza magnética que actúa sobre un conductor que Transporta. Una Corriente eléctrica [3].. 2.1.9.3 Momento Dipolar Magnético De Una Espira. Consideremos una espira circular de área A, por la que circula una corriente. como. la que se muestra en la figura. Definimos como momento magnético m de la espira al vector: 𝑚 = 𝐼𝐴 𝑛:. A m2. (2.44). Donde n es el vector unitario normal al plano de la espira cuyo sentido se determina por la regla de la mano derecha [3].. 2.1.9.4 Regla de la mano derecha. Curve los dedos de la mano derecha en el sentido de la corriente, el pulgar extendido 32.

(48) da el sentido del vector n normal y del momento magnético m. Si la espira consta de N vueltas, el momento magnético se expresa como [3]:. 𝑚 = 𝑁 𝐼𝐴 𝑛. (2.45). 2.1.9.5 Torque Sobre Una Espira Con Corriente Eléctrica. La espira con corriente colocada en el interior del campo magnético uniforme experimentará una rotación debido a un torque Ʈ creado sobre la espira. Las fuerzas F1 y F2 forman un par, por lo tanto producen un torque respecto a cualquier punto, por ejemplo el punto 0. La magnitud del torque respecto del eje es: 𝜏 = 𝐹𝑎 = 𝐼𝑏 𝐵𝑎 = 𝐼𝑎𝑏 𝐵. Ilustración 15: Torque en una Espira Rectangular. fuente :Serway. FÍSICA , 1996. .En donde: A = área de la espira = ab. 𝜏 =𝐼𝐴𝐵. (2.46). Para una espira, donde su vector m forma un ángulo𝜃 con el B 33.

(49) 𝜏 = 𝐼 𝐴 𝐵 𝑆𝑒𝑛 𝜃. (2.47). De la figura observamos que F1 y F2 producen un torque resultante respecto del punto 0, que se expresa por [3]: 𝜏𝑜 = 𝑁 𝑚 𝑥 𝐵. (2.48). N: Número de espiras m: momento magnético. Ilustración 16:Momento Magnetico. S B 0. S. N fuente :Serway. FÍSICA , 1996. 2.2. Análisis De Fallas Balanceadas. El estudio de las fallas balanceadas forma una parte importante del análisis de sistemas de potencia. El problema consiste en determinar los voltajes de barra y las corrientes de línea durante varios tipos de fallas. Las fallas en los sistemas de potencia se dividen en fallas balanceadas trifásicas y fallas desbalanceadas. Entre las fallas desbalanceadas existen diferentes tipos como: falla monofásica línea-tierra, falla línealínea, falla doble línea-tierra. La información obtenida del estudio de fallas se usa para la calibración apropiada de relés y coordinación. La información de la falla balanceada trifásica se usa para seleccionar y calibrar los relés de fase, mientras que la falla línea34.

(50) tierra se usa para los relés de tierra. Los estudios de falla también se usan para obtener el rango de los accionamientos de protección. La magnitud de las corrientes de falla depende de la impedancia interna de los generadores más la impedancia del circuito en estudio. Como se sabe, la reactancia del generador en corto circuito no es constante; para estudios de falla el comportamiento del generador puede dividirse en tres periodos: el periodo subtransitorio, que dura sólo los primeros ciclos, el periodo transitorio que es relativamente más largo, y finalmente el periodo estacionario [4].. Falla Trifásica Balanceada. Este tipo de falla se define como el corto circuito simultáneo de las tres fases. Ocurre infrecuentemente, pero es el tipo de falla más severo que se encuentra. Como se asume la red balanceada, la falla trifásica se resuelve en una base por fase. Las otras dos fases llevan corrientes idénticas excepto por el cambio de fase. La reactancia del generador síncrono en condiciones de corto circuito es una cantidad que varia con el tiempo. La reactancia subtransitoria X’’d para los primeros ciclos de la corriente de corto circuito, la reactancia Xd’ para los siguientes (30) ciclos y la reactancia síncrona Xd. Ya que la duración de la corriente del corto circuito depende del tiempo en el que opera el sistema de protección, no es fácil decidir que reactancia usar. Generalmente se usa la reactancia subtransitoria para determinar la capacidad de interrupción de los disyuntores. En estudios de falla requeridos para la calibración y coordinación de relés se usa la reactancia transitoria. En estudios típicos de estabilidad transitoria se usa la reactancia transitoria. Una falla representa un cambio de la estructura de la red equivalente con aquélla causada por el aumento de una impedancia en el punto de falla. Si la impedancia de falla es cero se denomina como falla sólida o falla limpia. El circuito de falla puede resolverse convenientemente por el método de Thevenin [4]. 35.

(51) 2.3. Barras. El elemento principal de que se componen las barras colectoras es el conductor eléctrico que llamaremos barra. Cada juego de barras consta de tantos conductores como fases o polos se componga el circuito tanto para corriente alterna como para directa [5].. 2.3.1 Tipos De Barras. Los tipos normalmente usados son los siguientes:. a) Cables b) Tubos c) Soleras. 2.3.2 Cables. El cable es un conductor formado por un haz de alambres trenzados en forma helicoidal. Es el. tipo de barra más comúnmente usado. También se han usado. conductores de un solo alambre, en subestaciones de pequeña capacidad; las principales ventajas del uso de cable son las siguientes: a) Es el más económico de los tres tipos. b) Se logran tener claros más grandes. 36.

(52) Sus desventajas son: a) Se tienen mayores pérdidas por efecto corona. b) También se tienen mayores pérdidas por efecto piel. Los materiales más usados para cables son el cobre y el aluminio reforzado con acero (ACSR). Este último tiene alta resistencia mecánica, buena conductividad eléctrica y bajo peso. Dependiendo de la capacidad de energía y para reducir las pérdidas por efecto corona se usan conjuntos de 2, 3 y 4 cables unidos por separadores especiales [5].. 2.3.3 Tubos. Las barras colectoras tubulares se usan principalmente para llevar grandes cantidades de corriente, especialmente en subestaciones de bajo perfil como las instaladas en zonas urbanas. El uso del tubo en subestaciones compactas resulta más económico que el uso de otro tipo de barra. En subestaciones con tensiones muy altas, reduce el área necesaria para su instalación además de que requiere estructuras más ligeras. Los materiales más usados para tubos son el cobre y el aluminio, las principales ventajas del uso de tubo son las Siguientes: a) Tiene igual resistencia a la deformación en todos los planos. b) Reduce el número de soportes necesarios debido a su rigidez. c) Facilidad en la unión entre dos tramos de tubo. d) Reduce las pérdidas por efecto corona. e) Reduce las pérdidas por efecto piel. 37.

(53) f) Tiene capacidades de conducción de corriente relativamente grandes por unidad de área. Las desventajas del uso del tubo son las siguientes: a) Alto costo del tubo en comparación con los otros tipos de barras. b) Requiere un gran número de juntas de unión debido a las longitudes relativamente cortas con que se fabrican los tramos de tubo. La selección del tamaño y peso de los tubos se realiza sobre la base de la capacidad de conducción de corriente y de su deflexión. Generalmente el factor determinante en el diseño de barras tubulares es la deflexión. En la mayoría de los casos se usan diámetros mayores que los necesarios para la conducción de corriente, obteniendo en esta forma mayor rigidez y un aumento en la longitud de los claros y por lo tanto una reducción en el número de soportes, disminuyendo además las pérdidas por efecto corona. Ventajas del tubo de aluminio sobre el de cobre. a) Mayor capacidad de corriente en igualdad de peso. b) A igual conductividad el costo del tubo de aluminio es menor que el de cobre. c) Requiere estructuras más ligeras. Desventajas del tubo de aluminio sobre el de cobre: a) Mayor volumen del tubo en igualdad de conductividad. b) Los conectores son más caros y requieren una construcción especial para evitar el efecto galvánico al conectarse a elementos de cobre. [6]. 38.

(54) 2.3.4 Barras De Solera. La forma más comúnmente usada para llevar grandes cantidades de corriente (especialmente en interiores), es la solera de cobre o de aluminio, las principales ventajas del uso de soleras son las siguientes: a) Es relativamente más económica que el tubo. b) Es superior eléctricamente para conducción de corriente directa. c) Tiene excelente ventilación debido a la mayor superficie de radiación en comparación con su sección transversal, especialmente en posición vertical. Las principales desventajas son las siguientes: a) Baja resistencia mecánica al pandeo debido a los esfuerzos de corto circuito. b) Mayores pérdidas por efecto piel y de proximidad cuando se conduce corriente alterna. c) Requiere de un número mayor de aisladores soporte. La posición vertical de las soleras es la forma más eficiente para conducción de corrientes tanto alterna como directa debido a su mejor ventilación, ya sea que se use una sola o un grupo de soleras separadas entre sí cierto espacio para dejar circular el aire y mejorar la ventilación. Cuando varias soleras se agrupan en forma laminar, la eficiencia de conducción de corriente por unidad de sección transversal, es menor que cuando se usa una sola solera. Al conducir corriente directa en grupos de soleras, y debido al poco espacio que hay entre ellas, su conducción de calor disminuye lo que hace que las soleras del centro se calienten más, bajando la eficiencia de conducción de corriente. En corriente alterna, debido al efecto piel que origina mayor densidad de corriente en la periferia del conductor, ocasiona que en un conductor formado por más de seis 39.

(55) soleras, la capacidad de conducción de corriente del grupo ya no aumente en la misma proporción que al aumentar el número de soleras [5]. 2.3.5 Cobre. La mayoría de los conductores eléctricos están hechos de cobre, sus principales ventajas son las siguientes: a) Es el metal que tiene la conductividad eléctrica más alta después de la plata. Esta última se usa poco por su alto costo. b) Tiene gran facilidad para ser estañado, plateado o cadminizado y puede ser soldado usando equipo especial de soldadura para cobre. c) Es muy dúctil por lo que fácilmente puede ser convertido a cable, tubo o rolado en forma de solera u otra forma. d) Tiene buena resistencia mecánica, aumentando cuando se usa en combinación con otros metales para formar aleaciones. [5] e) No se oxida fácilmente por lo que soporta la corrosión ordinaria. f) Tiene buena conductividad térmica. Para conductores de cobre desnudos, la temperatura máxima de operación se fija por el valor al cual el metal empieza a aumentar su velocidad de oxidación y por lo tanto ésta no deberá llegar a 80°C, la cual comprende la suma de la temperatura del conductor más la temperatura ambiente de 40°C. Debido a lo anterior, el nivel máximo de temperatura recomendado es de 30°C sobre la temperatura de 40°C [5].. 40.