Sesi´ on 1: La teor´ıa del consumidor

(1)

La restricci´on presupestaria Preferencias y utilidad La elecci´on del consumidor La demanda individual y la demanda del mercado

Sesi´ on 1: La teor´ıa del consumidor

Marc Vorsatz

Primavera 2012

(2)

1 La restricci´on presupestaria

2 Preferencias y utilidad

3 La elecci´on del consumidor

4 La demanda individual y la demanda del mercado

(3)

El conjunto presupuestario y la recta de balance Variaciones de la renta y de los precios La intervenci´on del Estado Restricciones no lineales

El conjunto presupuestario y la recta de balance -1-

El an´alisis de la toma de decisiones del consumidor comienza con la despripci´on de las oportunidades: las combinaciones de bienes que se puede comprar.

Sea M > 0 la renta monetaria del consumidor. xi ≥ 0 es el consumo del bien i = 1, 2, . . . , n. x = (x₁, x₂, ..., x_n) ∈ Rⁿ+es un vector de consumo. pi > 0 es el precio del bien i = 1, 2, . . . , n. p = (p1, p2, ..., pn) ∈ Rⁿ++ es el vector de precios.

(4)

El conjunto presupuestario y la recta de balance -1-

Sea M > 0 la renta monetaria del consumidor.

xi ≥ 0 es el consumo del bien i = 1, 2, . . . , n. x = (x₁, x₂, ..., x_n) ∈ Rⁿ+es un vector de consumo. pi > 0 es el precio del bien i = 1, 2, . . . , n. p = (p1, p2, ..., pn) ∈ Rⁿ++ es el vector de precios.

(5)

El conjunto presupuestario y la recta de balance -1-

xi ≥ 0 es el consumo del bien i = 1, 2, . . . , n.

x = (x₁, x₂, ..., x_n) ∈ Rⁿ+es un vector de consumo. pi > 0 es el precio del bien i = 1, 2, . . . , n. p = (p1, p2, ..., pn) ∈ Rⁿ++ es el vector de precios.

(6)

El conjunto presupuestario y la recta de balance -1-

x = (x₁, x₂, ..., x_n) ∈ Rⁿ+es un vector de consumo.

pi > 0 es el precio del bien i = 1, 2, . . . , n. p = (p1, p2, ..., pn) ∈ Rⁿ++ es el vector de precios.

(7)

El conjunto presupuestario y la recta de balance -1-

pi > 0 es el precio del bien i = 1, 2, . . . , n.

p = (p1, p2, ..., pn) ∈ Rⁿ++ es el vector de precios.

(8)

El conjunto presupuestario y la recta de balance -1-

pi > 0 es el precio del bien i = 1, 2, . . . , n.

(9)

El conjunto presupuestario y la recta de balance -2-

Definici´on

El conjunto presupuestario est´a formado por todos los vectores de consumo que el consumidor puede adquirir dados los precios de los bienes y su renta monetaria.

B(p, M) ≡ (

x ∈ Rⁿ+:

n

X

i =1

pixi≤ M )

.

Definici´on

La recta de balance es el conjunto de todos los vectores de consumo que el individuo puede adquirir gast´andose exactamente toda su renta.

(10)

El conjunto presupuestario y la recta de balance -2-

Definici´on

B(p, M) ≡ (

x ∈ Rⁿ+:

n

X

i =1

pixi≤ M )

.

Definici´on

(11)

El conjunto presupuestario y la recta de balance -2-

Definici´on

B(p, M) ≡ (

x ∈ Rⁿ+:

n

X

i =1

pixi≤ M )

.

Definici´on

(12)

El conjunto presupuestario y la recta de balance -3-

p₁· x₁+ p₂· x₂= M.

Entonces,

x2= M p2

−p1

p2

x1.

(13)

El conjunto presupuestario y la recta de balance -3-

p₁· x₁+ p₂· x₂= M.

Entonces,

x2= M p2

−p1

p2

x1.

(14)

Variaciones de la renta y de los precios -1-

(15)

Variaciones de la renta y de los precios -1-

(16)

La intervenci´ on del Estado -1-

Hay dos tipos de impuestos que afectan a la recta de balance y al conjunto presupuestario:

⇒ impuestos sobre la renta monetaria y impuestos sobre los precios.

1. Impuesto relativo sobre la renta φ: p1x1+ p2x2= M (1 − φ). 2. Impuesto fijo sobre la renta T : p₁x₁+ p₂x₂= M − T .

3. Impuesto sobre la cantidad consumida t: (p1+ t) x1+ p2x2= M. 4. Impuesto sobre el valor τ : (1 + τ ) p1x1+ p2x2= M.

(17)

La intervenci´ on del Estado -1-

1. Impuesto relativo sobre la renta φ: p1x1+ p2x2= M (1 − φ).

2. Impuesto fijo sobre la renta T : p₁x₁+ p₂x₂= M − T .

(18)

La intervenci´ on del Estado -1-

(19)

La intervenci´ on del Estado -1-

3. Impuesto sobre la cantidad consumida t: (p1+ t) x1+ p2x2= M.

4. Impuesto sobre el valor τ : (1 + τ ) p1x1+ p2x2= M.

(20)

La intervenci´ on del Estado -1-

3. Impuesto sobre la cantidad consumida t: (p1+ t) x1+ p2x2= M.

4. Impuesto sobre el valor τ : (1 + τ ) p1x1+ p2x2= M.

(21)

Restricciones no lineales -1-

Ejercicio

Supongamos que hay dos bienes en la econom´ıa: tiempo libre (el bien 1) y un bien de consumo (el bien 2 con precio p2= 1). El individuo gana s por cada una de las primeras ocho horas trabajadas. Para cada hora trabajada adicionalmente, el individuo gana s⁰> s. Al mismo tiempo, el individuo paga un impuesto porcentual sobre la renta φ por cada unidad ganado por encima de W . Si el individuo se gasta toda su renta

monetaria en el bien de consumo, ¿Cu´al es el conjunto presupuestario?

(22)

Las preferencias del consumidor Las curvas de indiferencia Ejemplos de funciones de utilidad La relaci´on marginal de sustituci´on

Las preferencias del consumidor -1-

Para estudiar la elecci´on del consumidor consideramos primero un marco totalmente abstracto y general.

Sea X el conjunto de todas las alternativas. x , y , z ∈ X son alternativas que pertenecen a X . Sea % la preferencia d´ebil sobre X .

⇒ x % y significa que x es al menos tan buena como y.

Imponemos dos requisitos m´ınimos de racionalidad sobre la relaci´on %.

Completa: para todo x , y ∈ X , x % y o y % x.

Transitiva: para todo x , w , z ∈ X , si x % w y w % z ⇒ x % z.

(23)

Las preferencias del consumidor -1-

Sea X el conjunto de todas las alternativas.

x , y , z ∈ X son alternativas que pertenecen a X . Sea % la preferencia d´ebil sobre X .

(24)

Las preferencias del consumidor -1-

x , y , z ∈ X son alternativas que pertenecen a X .

Sea % la preferencia d´ebil sobre X .

(25)

Las preferencias del consumidor -1-

(26)

Las preferencias del consumidor -1-

(27)

Las preferencias del consumidor -1-

(28)

Las preferencias del consumidor -1-

(29)

Las preferencias del consumidor -2-

Definici´on

La relaci´on de preferencias % es racional si es completa y transitiva.

Sea la preferencia estricta inducida por X :

⇒ x z si y s´olo si x % z y z 6% x.

Sea ∼ la relaci´on de indiferencias inducida por X :

⇒ x ∼ si y s´olo si x % z y z % x.

(30)

Las preferencias del consumidor -2-

Definici´on

(31)

Las preferencias del consumidor -2-

Definici´on

(32)

Las preferencias del consumidor -2-

Definici´on

(33)

Las preferencias del consumidor -3-

Normalmente representamos preferencias con la ayuda de una funci´on de utilidad (nos permite hacer comparaciones cardinales y no s´olo ordinales).

Definici´on

Una funci´on de utilidad u : X → R representa la relaci´on de preferencias

% sobre X si para todo x, y ∈ X , x % y ⇔ u(x) ≥ u(y ).

La siguiente proposici´on demuestra el papel importante de las preferencias racionales.

Proposici´on

Se puede representar una relación de preferencias % a través de una función de utilidad si y sólo si % es racional.

(34)

Las preferencias del consumidor -3-

Definici´on

Proposici´on

(35)

Las preferencias del consumidor -3-

Definici´on

Proposici´on

(36)

Las curvas de indiferencia -1-

Volvemos al marco cuando X = Rⁿ+. Se puede representar las preferencias gr´aficamente a trav´es de las curvas de indiferencias.

Definici´on

La curva de indiferencia de nivel U⁰es el conjunto de todos los vectores de consumo que reportan la utilidad u⁰ al consumidor.

U⁰= {x ∈ Rⁿ+: u(x ) = u⁰}.

Las curvas de indiferencias son decrecientes. Se prefieren curvas m´as alejadas del origin. Las curvas de indiferencias no pueden cortarse.

(37)

Las curvas de indiferencia -1-

Definici´on

U⁰= {x ∈ Rⁿ+: u(x ) = u⁰}.

(38)

Las curvas de indiferencia -1-

Definici´on

U⁰= {x ∈ Rⁿ+: u(x ) = u⁰}.

(39)

Las curvas de indiferencia -1-

Definici´on

U⁰= {x ∈ Rⁿ+: u(x ) = u⁰}.

Las curvas de indiferencias son decrecientes.

Se prefieren curvas m´as alejadas del origin. Las curvas de indiferencias no pueden cortarse.

(40)

Las curvas de indiferencia -1-

Definici´on

U⁰= {x ∈ Rⁿ+: u(x ) = u⁰}.

Las curvas de indiferencias no pueden cortarse.

(41)

Las curvas de indiferencia -1-

Definici´on

U⁰= {x ∈ Rⁿ+: u(x ) = u⁰}.

Se prefieren curvas m´as alejadas del origin.

Las curvas de indiferencias no pueden cortarse.

(42)

Ejemplos de funciones de utilidad -1-

Sustitutivos perfectos

Definici´on

Dos bienes son sustitutivos perfectos si el consumidor est´a dispuesto a sustituir uno por otro a una tasa constante.

u(x₁, x₂) = x₁+ α x₂, donde α > 0.

(43)

Ejemplos de funciones de utilidad -1-

Sustitutivos perfectos

Definici´on

Dos bienes son sustitutivos perfectos si el consumidor est´a dispuesto a sustituir uno por otro a una tasa constante.

u(x₁, x₂) = x₁+ α x₂, donde α > 0.

(44)

Ejemplos de funciones de utilidad -2-

Complementarios perfectos

Definici´on

Los complementarios perfectos son bienes que siempre se consumen juntos en proporciones fijas.

u(x₁, x₂) = m´ın{x₁, β x₂}, donde β > 0.

(45)

Ejemplos de funciones de utilidad -2-

Complementarios perfectos

Definici´on

Los complementarios perfectos son bienes que siempre se consumen juntos en proporciones fijas.

u(x1, x2) = m´ın{x1, β x2}, donde β > 0.

(46)

Ejemplos de funciones de utilidad -3-

Ya hemos visto algunas clases de preferencias que se pueden representar con gr´aficos sencillos. A continuaci´on, nos concentramos en las llamadas preferencias regulares.

Monoton´ıa. Para todos x , y ∈ Rⁿ+, si yi ≥ xi para todos los bienes i y yj > xj para al menos un bien j , entonces y x .

Convexidad (estricta). Para todos x , y , z ∈ Rⁿ+, en caso que y % x y z % x, entonces α y + (1 − α)z x para todo α ∈ [0, 1].

(47)

Ejemplos de funciones de utilidad -3-

(48)

Ejemplos de funciones de utilidad -3-

(49)

Ejemplos de funciones de utilidad -4-

Preferencias regulares

Definici´on

Un consumidor tiene preferencias regulares, si las preferencias son mon´otonas y convexas.

u(x1, x2) = x₁^α· x₂^1−α, donde α > 0.

(50)

Ejemplos de funciones de utilidad -4-

Preferencias regulares

Definici´on

Un consumidor tiene preferencias regulares, si las preferencias son mon´otonas y convexas.

u(x1, x2) = x₁^α· x₂^1−α, donde α > 0.

(51)

La relaci´ on marginal de sustituci´ on -1-

Va a ser ´util referirse a la pendiente de las curvas de indiferencia en un determinado punto.

Si quitamos ∆x1 del consumo del bien 1, ¿cu´al tiene que ser el aumento del consumo del bien 2, ∆x2, tal que el individuo es indiferente entre el antiguo y el nuevo vector de consumo?

Definici´on

La relación marginal de sustitución (RMS) mide la tasa a la que el consumidor está dispuesto a sustituir un bien por el otro.

RMS = − ∆x2

∆x1

_u=u₀

.

(52)

La relaci´ on marginal de sustituci´ on -1-

Si quitamos ∆x₁ del consumo del bien 1, ¿cu´al tiene que ser el aumento del consumo del bien 2, ∆x2, tal que el individuo es indiferente entre el antiguo y el nuevo vector de consumo?

Definici´on

RMS = − ∆x2

∆x1

_u=u₀

.

(53)

La relaci´ on marginal de sustituci´ on -1-

Definici´on

RMS = − ∆x2

∆x1

_u=u₀

.

(54)

La relaci´ on marginal de sustituci´ on -1-

Definici´on

∆x2

(55)

La relaci´ on marginal de sustituci´ on -1-

Definici´on

RMS = − ∆x2

∆x1

_u=u₀

.

(56)

La relaci´ on marginal de sustituci´ on -2-

Cuando ∆x1→ 0, la RMS se aproxima al valor absoluto de la pendiente de la curva de indiferencia.

Demostramos que la RMS est´a relacionada con la utilidad marginal, el incremento en la utilidad si el consumo aumenta marginalmente.

∆u = ∂u

∂x1

∆x₁+ ∂u

∂x2

∆x₂= 0 ⇔ ∂u

∂x1

∂u

∂x2

= −∆x₂

∆x1

= RMS .

(57)

La relaci´ on marginal de sustituci´ on -2-

Cuando ∆x1→ 0, la RMS se aproxima al valor absoluto de la pendiente de la curva de indiferencia.

Demostramos que la RMS est´a relacionada con la utilidad marginal, el incremento en la utilidad si el consumo aumenta marginalmente.

∆u = ∂u

∂x1

∆x₁+ ∂u

∂x2

∆x₂= 0 ⇔ ∂u

∂x1

∂u

∂x2

= −∆x₂

∆x1

= RMS .

(58)

La elecci´on ´optima

La elecci´on para diferentes tipos de preferencias El problema de maximizaci´on restringida

La elecci´ on ´ optima: An´ alisis gr´ afico -1-

Condici´on 1. El punto ´optimo tiene que estar en la recta de balance: p1x1+ p2x2= M.

Condici´on 2. En el punto ´optimo la recta de balance es tangente a la curva de indiferencia:

p1

p2

= −∆x2

∆x1

= ∂u

∂x1

∂u

∂x2

.

(59)

La elecci´ on ´ optima: An´ alisis gr´ afico -1-

Condici´on 1. El punto ´optimo tiene que estar en la recta de balance:

p1x1+ p2x2= M.

Condici´on 2. En el punto ´optimo la recta de balance es tangente a la curva de indiferencia:

p1

p = −∆x2

∆x = ∂u

∂x

∂u

∂x .

(60)

La elecci´ on para diferentes tipos de preferencias -1-

Preferencias regulares Ejemplo

Sea u(x₁, x₂) = x₁^αx₂^1−α, con α ∈ (0, 1). Hallar las demandas ´optimas.

De la condici´on 2, p₁

p2

= α x₁^α−1x₂^1−α

(1 − α) x₁^αx₂^−α = α 1 − α

x₂ x1

⇔ x₁^∗= α 1 − α

p₂ p1

x₂.

Sustituyendo esta ecuaci´on en la recta de balance, p1

α 1 − α

p₂ p1

x2+ p2x2= M ⇔ x₂^∗(p, M) = 1 − α p2

M.

Sustituyendo esta condici´on en la ecuaci´on anterior, x₁^∗(p, M) = α

1 − α p2

p1

1 − α p2

M = α p1

M.

(61)

La elecci´ on para diferentes tipos de preferencias -1-

p2

= α x₁^α−1x₂^1−α (1 − α) x₁^αx₂^−α =

α 1 − α

x₂ x1

⇔ x₁^∗= α 1 − α

p₂ p1

x₂.

α 1 − α

p₂ p1

x2+ p2x2= M ⇔ x₂^∗(p, M) = 1 − α p2

M.

1 − α p2

p1

1 − α p2

M = α p1

M.

(62)

La elecci´ on para diferentes tipos de preferencias -1-

p2

= α x₁^α−1x₂^1−α

(1 − α) x₁^αx₂^−α = α 1 − α

x₂ x1

⇔ x₁^∗= α 1 − α

p₂ p1

x₂.

α 1 − α

p₂ p1

x2+ p2x2= M ⇔ x₂^∗(p, M) = 1 − α p2

M.

1 − α p2

p1

1 − α p2

M = α p1

M.

(63)

La elecci´ on para diferentes tipos de preferencias -1-

p2

= α x₁^α−1x₂^1−α

(1 − α) x₁^αx₂^−α = α 1 − α

x₂ x1

⇔ x₁^∗= α 1 − α

p₂ p1

x2.

α 1 − α

p₂ p1

x2+ p2x2= M ⇔ x₂^∗(p, M) = 1 − α p2

M.

1 − α p2

p1

1 − α p2

M = α p1

M.

(64)

La elecci´ on para diferentes tipos de preferencias -1-

p2

= α x₁^α−1x₂^1−α

(1 − α) x₁^αx₂^−α = α 1 − α

x₂ x1

⇔ x₁^∗= α 1 − α

p₂ p1

x2.

α 1 − α

p2

p1

x2+ p2x2= M

⇔ x₂^∗(p, M) = 1 − α p2

M.

1 − α p2

p1

1 − α p2

M = α p1

M.

(65)

La elecci´ on para diferentes tipos de preferencias -1-

p2

= α x₁^α−1x₂^1−α

(1 − α) x₁^αx₂^−α = α 1 − α

x₂ x1

⇔ x₁^∗= α 1 − α

p₂ p1

x2.

α 1 − α

p2

p1

x2+ p2x2= M ⇔ x₂^∗(p, M) =1 − α p2

M.

1 − α p2

p1

1 − α p2

M = α p1

M.