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INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS MONTERREY

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(1)

INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY

CAMPUS MONTERREY

PROGRAMA DE GRADUADOS EN MECATRÓNICA Y TECNOLOGÍAS DE INFORMACIÓN

CONTROL DE CAOS EN UN MODELO DE CAPA LÍMITE

TESIS

PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN AUTOMATIZACIÓN Y CONTROL

POR:

LUIS CARLOS GONZÁLEZ SÚA

MONTERREY, N.L. MAYO 2009

 

(2)

INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY DIVISIÓN DE MECATRÓNICA Y TECNOLOGÍAS DE INFORMACIÓN PROGRAMA DE GRADUADOS EN MECATRÓNICA Y TECNOLOGÍAS DE

INFORMACIÓN

Los miembros del comité de tesis recomendamos que la presente tesis del Ing. Luis Carlos González Súa sea aceptada como requisito parcial para obtener el grado académico de Maestro en Ciencias con Especialidad en Automatización.

Comité de Tesis:

_________________________________

Dr. Rogelio Soto Rodríguez Asesor

_________________________________

Dr. Ricardo A. Ramírez Mendoza Co-Asesor

_________________________________

Dr. Jesús Santana Blanco Sinodal

___________________________________

Dr. Joaquín Acevedo

Director de Investigación y Postgrado Escuela de Ingeniería

MAYO 2009

(3)

CONTROL DE CAOS EN UN MODELO DE CAPA LÍMITE

POR:

LUIS CARLOS GONZÁLEZ SÚA

TESIS

Presentada al Programa de Graduados en Mecatrónica y Tecnologías de Información Este trabajo es requisito parcial para obtener el grado de Maestro en Ciencias con

Especialidad en Automatización y Control

INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY

MAYO 2009  

(4)

i

 

       

A Dios, mi familia, amigos y amigas por estar a mi lado en esta parte de mi

vida.   

(5)

Agradecimientos

   

A mis padres y hermanos, gracias por su apoyo y su entrega incondicional.

Al Dr. Rogelio Soto por su guía y su conocimiento.

A mis sinodales por su colaboración.

A mis maestros por compartir sus conocimientos durante esta etapa de mi vida.

A Tehaní, porque sin tu compañía, inspiración y ayuda no hubiese terminado a tiempo esta tesis.

A Paulina por guiarme por el camino correcto.

A mi Triunvirato, de lejos pero siguen en mi corazón.

A mis amigos y amigas, Cristina, Adriana, Olga, Jane, LQ, Tavo, Ray, Manuel, Carlos, Roberto, Paul, Héctor, Marco, Ángelo y Pepenator, por su amistad y su apoyo, por darme ánimos cuando andaba caído.

A mis vecinos y vecinas, Cinthya, Wai Yee, Wai Yan, Daniel y Ares, por cuidarme y estar pendiente de mi.

Y a todos aquellos que estuvieron a mi lado que son muchos para mencionar sus nombres.

Gracias Totales.

   

(6)

iii

Resumen

 

 

El presente trabajo de tesis se ha desarrollado dentro de las cátedras de e-Robots y Autotrónica y el grupo de vehículos autónomos en el Centro de Computación Inteligente y Robótica (CCIR) del Tecnológico de Monterrey, Campus Monterrey. La investigación es el compendio de la modelación y control de la capa límite de una lámina plana, como un estudio preliminar de la estructura de las alas de un vehículo aéreo, con el objetivo de reducir la fricción del viento en vuelo estacionario. El efecto de la fricción del viento en las alas se puede modelar haciendo uso de la teoría de dinámica de fluidos, análogo al modelo de capa límite de una lámina plana en su estado turbulento o caótico. Se propone un controlador difuso capaz de manipular el modelo de capa límite de una lámina plana en su estado turbulento o caótico, con el objetivo de mantener el sistema en estado laminar o no caótico.

Se realizó una investigación profunda para ampliar la comprensión del comportamiento de los sistemas caóticos, y conocer la razón por la cual dichos sistemas son tan peculiares y tienen un comportamiento aparentemente errático o aleatorio. Debido a que la modelación de estos sistemas requiere de datos experimentales, fue necesario recurrir a un modelo caótico de capa límite ya establecido y publicado en una conferencia del American Institute of Aeronautics and Astronautics (AIAA).

Una vez analizado el modelo y comprobado que tenía comportamiento de tipo caótico, se optó por utilizar dicho modelo para la aplicación de un controlador difuso que lograra mantener el sistema en su estado laminar o no caótico.

Para el diseño del controlador, fue necesario definir una entrada para controlar el sistema, lo cual presentaba una contrariedad, ya que era necesario que fuese una variable físicamente manipulable; seguido de ello se analizó el comportamiento del sistema ante diferentes entradas para determinar que funciones de entradas y salidas deberían ser las adecuadas, así como la base de reglas del controlador para obtener un control apropiado del sistema y de esa forma alcanzar el objetivo propuesto.

Las simulaciones fueron realizadas mediante el software SIMULINK® de MATLAB®, mientras que el controlador difuso fue creado usando la herramienta Fuzzy Toolbox de MATLAB®. Asimismo, se realizaron diferentes pruebas del controlador para demostrar que su comportamiento era el esperado para diferentes cambios en el sistema, teniendo en cuenta las características propias de los sistemas caóticos y su comportamiento.

Los resultados de las simulaciones muestran la factibilidad del controlador propuesto para estabilizar el comportamiento caótico del sistema.

   

(7)

Contenido

Resumen ... iii

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN ... 1

1.1 Antecedentes ... 1

1.2 Justificación ... 2

1.3 Objetivo General ... 2

1.3.1 Objetivos Específicos ... 2

1.4 Alcance ... 3

1.5 Organización ... 3

CAPÍTULO 2 MARCO TEÓRICO ... 4

2.1 Capa Límite ... 4

2.1.1 Sistema Dinámico Simplificado ... 5

2.2 Sistemas Caóticos ... 7

2.2.1 Sistema de Lorenz ... 7

2.2.2 Atractores ... 12

2.3 Lógica y Control Difuso ... 12

2.3.1 Lógica Difusa ... 12

2.3.2 Control Difuso ... 17

CAPÍTULO 3 ANÁLISIS DEL MODELO ... 19

3.1 Simulación del modelo ... 19

3.2 Sensibilidad ante condiciones iniciales ... 20

3.3 Diagramas de Fase ... 22

3.4 Estado de Reposo del Sistema ... 25

CAPÍTULO 4 DISEÑO DEL CONTROLADOR ... 28

4.1. Formulación del Problema ... 29

4.2. Etapas de diseño del controlador ... 30

4.3 Análisis del sistema ante diferentes entradas ΔC ... 30

4.4 Diseño del Controlador... 43

4.4.1 Controlador Difuso Tipo PD ... 43

4.4.2 Controlador Difuso Proporcional P+ ... 46

4.5 Resultados ... 50

CAPÍTULO 5 CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO ... 54

(8)

v

5.1 Conclusiones ... 54

5.2 Trabajo Futuro ... 55

Bibliografía ... 56

APÉNDICE A SIMULACIONES DEL SISTEMA SIN CONTROL ... 57

APÉNDICE B SIMULACIONES DEL SISTEMA CON ENTRADA ΔC ... 67

APÉNDICE C SIMULACIONES DEL CONTROLADOR ... 77

(9)

Lista de Tablas

Tabla 3-1 Descripción de variables del sistema ... 19 Tabla 4-1 Reglas del controlador difuso tipo PD ... 43 Tabla 4-2 Reglas del controlador difuso P+ ... 48

(10)

vii

Lista de Figuras

Figura 2-1 Concepto de Capa Límite [1] ... 4

Figura 2-2 Perfil de Capa Límite de una Lámina Plana ... 7

Figura 2-3 Variable X para CI (0.1, 0.1, 0.1) y CI (0.1, 0.1001, 0.1) ... 9

Figura 2-4 Variable Y para CI (0.1, 0.1, 0.1) y CI (0.1, 0.1001, 0.1) ... 9

Figura 2-5 Variable Z para CI (0.1, 0.1, 0.1) y CI (0.1, 0.1001, 0.1) ... 10

Figura 2-6 Diagrama de Fase X vs Z ... 10

Figura 2-7 Diagrama de Fase X vs Y ... 11

Figura 2-8 Diagrama de Fase Y vs Z ... 11

Figura 2-9 Operaciones entre conjuntos difusos ... 13

Figura 2-10 Funciones de Membresía más utilizadas ... 15

Figura 2-11 Diagrama de Bloques de un controlador difuso de Lazo Cerrado ... 17

Figura 3-1 Esquema utilizado en SIMULINK® ... 20

Figura 3-2 Comparatoria de X para observar sensibilidad ante condiciones iniciales ... 21

Figura 3-3 Comparatoria de Y para observar sensibilidad ante las condiciones iniciales ... 21

Figura 3-4 Comparatoria de Z para observar sensibilidad ante condiciones iniciales ... 22

Figura 3-5 Diagrama de Fase en 3 dimensiones ... 23

Figura 3-6 Diagrama de Fase X vs Y ... 23

Figura 3-7 Diagrama de Fase X vs Z ... 24

Figura 3-8 Diagrama de Fase Y vs Z ... 24

Figura 3-9 Diagrama de Fase de Sistema sin excitación ... 25

Figura 3-10 Salida X sin excitación ... 26

Figura 3-11 Salida Y sin excitación ... 26

Figura 3-12 Salida Z sin excitación ... 27

Figura 4-1 Esquema modificado para incluir Delta Compensatoria ... 29

Figura 4-2 Salida X del sistema Δ=0.5 y ΔC=-0.75 (lazo abierto) ... 31

Figura 4-3 Salida Y del sistema Δ=0.5 y ΔC=-0.75 (lazo abierto) ... 31

Figura 4-4 Salida Z del sistema Δ=0.5 y ΔC=-0.75 (lazo abierto) ... 32

Figura 4-5 Salida X del sistema Δ=0.5 y ΔC=-0.55 (lazo abierto) ... 33

Figura 4-6 Salida Y del sistema Δ=0.5 y ΔC=-0.55 (lazo abierto) ... 34

Figura 4-7 Salida Z del sistema Δ=0.5 y ΔC=-0.55 (lazo abierto) ... 34

Figura 4-8 Salida X del sistema Δ=0.5 y ΔC=-0.25 (lazo abierto) ... 35

Figura 4-9 Salida Y del sistema Δ=0.5 y ΔC=-0.25 (lazo abierto) ... 35

Figura 4-10 Salida Z del sistema Δ=0.5 y ΔC=-0.25 (lazo abierto) ... 36

Figura 4-11 Salida X del sistema Δ=0.5 y ΔC=0 (lazo abierto) ... 37

Figura 4-12 Salida Y del sistema Δ=0.5 y ΔC=0 (lazo abierto) ... 37

Figura 4-13 Salida Z del sistema Δ=0.5 y ΔC=0 (lazo abierto) ... 38

Figura 4-14 Salida X del sistema Δ=0.5 y ΔC=0.25 (lazo abierto) ... 38

Figura 4-15 Salida Y del sistema Δ=0.5 y ΔC=0.25 (lazo abierto) ... 39

Figura 4-16 Salida Z del sistema Δ=0.5 y ΔC=0.25 (lazo abierto) ... 39

Figura 4-17 Salida X del sistema Δ=0.5 y ΔC=0.55 (lazo abierto) ... 40

(11)

Figura 4-18 Salida Y del sistema Δ=0.5 y ΔC=0.55 (lazo abierto) ... 40

Figura 4-19 Salida Z del sistema Δ=0.5 y ΔC=0.55 (lazo abierto) ... 41

Figura 4-20 Salida X del sistema Δ=0.5 y ΔC=0.75 (lazo abierto) ... 41

Figura 4-21 Salida Y del sistema Δ=0.5 y ΔC=0.75 (lazo abierto) ... 42

Figura 4-22 Salida Z del sistema Δ=0.5 y ΔC=0.75 (lazo abierto) ... 42

Figura 4-23 Función de membresía entrada error, tomado de MATLAB®... 44

Figura 4-24 Función de membresía entrada derivada del error, tomado de MATLAB® ... 44

Figura 4-25 Función de membresía salida ΔC, tomado de MATLAB® ... 44

Figura 4-26 Esquema utilizado para simular el controlador en SIMULINK® ... 45

Figura 4-27 Salida Y con referencia -0.25 ... 45

Figura 4-28 Salida Z del sistema con Δ=0.3 ... 46

Figura 4-29 Salida Z del sistema con Δ=0.5 ... 47

Figura 4-30 Esquema utilizado en SIMULINK® para agregar Δ de la de la planta ... 47

Figura 4-31 Función de Membresía de Δ, tomado de MATLAB® ... 48

Figura 4-32 Funciones de Membresía de ΔC, tomado de MATLAB® ... 49

Figura 4-33 Superficie de Control del controlador P+, tomado de MATLAB® ... 49

Figura 4-34 Salida Y controlada, sistema con Δ=0.25 ... 50

Figura 4-35 Variable Manipuladora con Δ=0.25 ... 51

Figura 4-36 Salida Y controlada, sistema con Δ=0.55 ... 51

Figura 4-37 Variable Manipuladora con Δ=0.55 ... 52

Figura 4-38 Salida Y controlada, sistema con Δ=0.75 ... 52

Figura 4-39 Variable Manipuladora con Δ=0.75 ... 53

Figura A-1 Diagrama de Fase en 3D para Delta=0.2 ... 57

Figura A-2 Salida X del sistema Δ=0.2 ... 58

Figura A-3 Salida Y del sistema Δ=0.2 ... 58

Figura A-4 Salida Z del sistema Δ=0.2 ... 59

Figura A-5 Diagrama de Fase en 3D para Δ=0.4 ... 60

Figura A-6 Salida X del sistema con Δ=0.4 ... 60

Figura A-7 Salida Y del sistema con Δ=0.4 ... 61

Figura A-8 Salida Z del sistema con Δ=0.4 ... 61

Figura A-9 Diagrama de Fase en 3D para Δ=0.6 ... 62

Figura A-10 Salida X del sistema con Δ=0.6 ... 63

Figura A-11 Salida Y del sistema con Δ=0.6 ... 63

Figura A-12 Salida Z del sistema con Δ=0.6 ... 64

Figura A-13 Diagrama de Fase en 3D para Δ=0.8 ... 65

Figura A-14 Salida X del sistema con Δ=0.8 ... 65

Figura A-15 Salida Y del sistema con Δ=0.8 ... 66

Figura A-16 Salida Z del sistema con Δ=0.8 ... 66

Figura B-1 Salida Y del sistema Δ =0.2 y ΔC =-0.75 ... 68

Figura B-2 Salida Y del sistema Δ =0.2 y ΔC =-0.55 ... 68

Figura B-3 Salida Y del sistema Δ =0.2 y ΔC =-0.25 ... 69

Figura B-4 Salida Y del sistema Δ=0.2 y ΔC =0 ... 70

Figura B-5 Salida Y del sistema Δ=0.2 y ΔC=0.25 ... 71

(12)

ix

Figura B-6 Salida Y del sistema Δ=0.2 y ΔC=0.55 ... 71

Figura B-7 Salida Y del sistema Δ=0.2 y ΔC=0.75 ... 72

Figura B-8 Salida Y del sistema Δ=0.7 y ΔC=-0.75 ... 73

Figura B-9 Salida Y del sistema Δ=0.7 y ΔC=-0.55 ... 73

Figura B-10 Salida Y del sistema Δ=0.7 y ΔC=-0.25 ... 74

Figura B-11 Salida Y del sistema Δ=0.7 y ΔC=0 ... 75

Figura B-12 Salida Y del sistema Δ=0.7 y ΔC=0.25 ... 75

Figura B-13 Salida Y del sistema Δ=0.7 y ΔC=0.55 ... 76

Figura B-14 Salida Y del sistema Δ=0.7 y ΔC=0.75 ... 76

Figura C-1 Salida controlada del sistema con Δ=0.25 y CI(0.001, -0.201, 1) ... 78

Figura C-2 Variable Manipuladora Δ=0.25 CI(0.001, -0.201, 1) ... 78

Figura C-3 Salida controlada del sistema con Δ=0.55 y CI(0.001, -0.201, 1) ... 79

Figura C-4 Variable Manipuladora Δ=0.55 CI(0.001, -0.201, 1) ... 79

Figura C-5 Salida controlada del sistema con Δ=0.75 y CI(0.001, -0.201, 1) ... 80

Figura C-6 Variable Manipuladora Δ=0.75 CI(0.001, -0.201, 1) ... 80

Figura C-7 Salida controlada del sistema con Δ=0.25 y CI(0.001, -0.3, 1) ... 81

Figura C-8 Variable Manipuladora Δ=0.25 CI(0.001, -0.3, 1) ... 81

Figura C-9 Salida controlada del sistema con Δ=0.55 y CI(0.001, -0.3, 1) ... 82

Figura C-10 Variable Manipuladora Δ=0.55 CI(0.001, -0.3, 1) ... 82

Figura C-11 Salida controlada del sistema con Δ=0.75 y CI(0.001, -0.3, 1) ... 83

Figura C-12 Variable Manipuladora Δ=0.75 CI(0.001, -0.3, 1) ... 83

 

(13)

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN

 

1.1 Antecedentes

Las cátedras de e-Robots y Autotrónica y el grupo de vehículos autónomos del CCIR, tiene entre sus objetivos encontrar métodos y sistemas eficientes, que mejoren la capacidad de control y desempeño de Vehículos Aéreos No Tripulados (VANT); para ello, se han planteado el uso de diferentes tipos de controladores que mejoren su estabilidad y maniobrabilidad; sin embargo, muy pocos se han dedicado a hacer que el vuelo sea más eficiente encontrando métodos para reducir la fricción o mejorar el desempeño de la aeronave.

Uno de los principales problemas de eficiencia en el vuelo es la fricción de la aeronave con respecto al aire, ya que parte de la energía empleada para moverse, se pierde en el calentamiento del fuselaje debido al roce del aire; de esta manera, al reducir la fricción se mejora la eficiencia del vuelo. Un modelo matemático planteado por Prandtl [1], puede definir el comportamiento del viento con respecto a la superficie en contacto en una pequeña zona conocida como capa límite, la cual, dependiendo de las condiciones que definen su comportamiento, puede ser laminar (baja fricción) o turbulenta (alta fricción).

Actualmente, los perfiles alares estandarizados por la National Advisory Committee for Aeronautics (NACA), tienden a mantienen el aire en esta zona de forma turbulenta, ya que hay mayor adherencia del aire con respecto al ala, ayudando a mantener una mejor estabilidad y evitando entradas en pérdida durante despegues y aterrizajes; sin embargo, se sacrifica la eficiencia del aeronave durante los vuelos de crucero.

Debido a que no existía una forma de modelar el comportamiento de la capa límite en su estado turbulento, no había forma de analizar como alterar el comportamiento de la misma para llevarla a un estado laminar, sin embargo, gracias a los sistemas caóticos, se ha demostrado que ahora es posible modelar el comportamiento de la capa límite bajo esas condiciones de forma muy acertada, y de esa forma analizar su conducta para encontrar métodos de control adecuados.

Los sistemas caóticos aunque son una rama de las matemáticas relativamente nueva, su estudio ha llamado la atención de muchos investigadores. Se ha demostrado que este tipo de sistemas dinámicos, pueden modelar el comportamiento de ciertos fenómenos naturales que anteriormente se consideraban estocásticos y predecir su comportamiento era más un arte o adivinación que una ciencia. Uno de los modelos caóticos más populares es el

(14)

2 Sistema de Lorenz, el cual es una representación matemática del comportamiento meteorológico que puede ser reproducido de manera satisfactoria en un invernadero y de esa forma controlar las variables físicas del ambiente. En [7] se demuestra que es posible manipular el comportamiento del Sistema de Lorenz mediante el uso de un controlador difuso, el sistema se comporta de acuerdo a lo esperado dentro de ciertos parámetros, sin embargo el control no es capaz de funcionar correctamente para ciertos valores de referencia.

1.2 Justificación

Los perfiles alares actuales buscan que el flujo sobre la superficie sea caótico, debido a que el aire se adhiere mejor a la superficie del ala, de esta forma provee una mejor sustentación en aproximaciones y despegues. Sin embargo, en vuelo de crucero, el flujo caótico representa un problema, esto se debe a que se genera fricción y la fricción generada se traduce en pérdidas por calentamiento innecesario del fuselaje y en un mayor consumo de combustible.

El propósito del presente trabajo de investigación es manipular el comportamiento del flujo en vuelo de crucero para ser convertido de flujo caótico turbulento a flujo laminar;

de esta forma, reducir la fricción sobre la superficie, y consecuentemente reducir el consumo de combustible. Esto se traduce, en menor cantidad de contaminantes emitidos a la atmósfera, reducción de costos de vuelo y aumento en la autonomía de las aeronaves.

1.3 Objetivo General

Modelar el comportamiento de un modelo caótico de capa límite de una lámina plana y diseñar un controlador difuso para futuras aplicaciones en vehículos aéreos autónomos no tripulados.

1.3.1 Objetivos Específicos

• Modelar el comportamiento caótico del modelo de capa límite de una lámina plana.

• Determinar la variable que mejor controle el sistema.

(15)

• Diseñar el controlador difuso para el modelo de capa límite de una lámina plana.

1.4 Alcance

El alcance de este trabajo de tesis, es el de demostrar que es posible modelar un sistema caótico de capa límite de una lámina plana y controlar mediante el uso de lógica difusa su comportamiento para reducir o eliminar su estado caótico y verificar mediante simulaciones computacionales su desempeño.

1.5 Organización

El contenido de este trabajo de tesis está dividido en 5 capítulos organizados de la siguiente manera:

En este primer capítulo es la introducción al trabajo de tesis, se plantean los Antecedentes, Justificación, Objetivos General y Específicos, Alcance y Organización del trabajo.

En el capítulo 2, se da una breve descripción del contexto del tema mediante el marco teórico, el cual incluye una breve reseña de capa límite, sistemas caóticos y lógica difusa, para establecer las bases de conocimiento del contenido y hacer más fácil su comprensión.

En el tercer capítulo, se realiza un análisis del modelo escogido, se hacen diagramas de fase para observar su comportamiento, se observan las variables de salida ante diferentes valores de condiciones iniciales y variaciones de las constantes del modelo seleccionado, para ampliar el conocimiento de la conducta del sistema.

En el capítulo 4, el modelo se modifica para agregarle una entrada de control que permita manipular el sistema, seguido de una serie de pruebas para observar su comportamiento ante diferentes valores de entrada; de esta forma, definir las funciones de entrada y salida del controlador, y a su vez especificar las reglas del mismo. Finalizando con los resultados de las simulaciones realizadas al controlador y su análisis.

Para finalizar, el quinto capítulo, presenta las conclusiones a las que se llegó durante el desarrollo del trabajo y las recomendaciones de trabajos futuros para continuar con la investigación y sus posibles aplicaciones.   

(16)

4

CAPÍTULO 2 MARCO TEÓRICO

El capítulo se encuentra dividido en 3 partes: Teoría de Capa Límite, Sistemas Caóticos y finalmente Lógica y Control Difuso, donde cada una de estas secciones trae una breve introducción al tema, orientado a ofrecer un mejor entendimiento de las áreas de conocimiento exploradas durante el desarrollo de esta tesis. Se asume que el lector cuenta con conocimientos previos sobre cálculo, matemáticas, física, ecuaciones diferenciales, mecánica de fluidos, teoría de control, sistemas no lineales y diagramas de fase.

2.1 Capa Límite

El concepto de capa límite implica que un flujo con número de Reynolds elevado, puede ser dividido en dos grandes regiones desiguales. En la zona más grande se puede despreciar el efecto de la fricción o viscosidad del fluido y la segunda región cercana a la superficie se podría considerar como la capa límite en donde la viscosidad debe ser tomada en cuenta [11].

Figura 2-1 Concepto de Capa Límite [1]

(17)

El comportamiento de la capa límite está definido en base a la velocidad de corriente u y a la velocidad vertical v, las cuales relacionadas en la función de flujo ¥ como se muestra en (2-1) [8].

u v = —

~dy (2-1)

La función de corriente de la capa límite se puede definir como una ecuación diferencial parcial. Sin embargo para fines de simulación es necesario hacer una simplificación de dicha función, aplicando Descomposición Propia Ortogonal, se obtiene una expresión reducida en función de x, y y t como se observa en (2-2).

2 / 7 T \ 2 /TC \

^ ( x , y, t) = X sin(ox) s i n¿ (ny) Y sm¿ [ — y] + - Z eos I — y) (2-2)

Las variables de fase X, Y y Z, son funciones desconocidas, pero son representativas de la velocidad vertical, la velocidad del flujo de capa límite y la velocidad de flujo libre respectivamente y determinan la dependencia en el tiempo de ^(x, y, t). Reemplazando (2-1) en (2-2) se obtiene (2-3).

u(x, y, t) = — —— (x, y, t) = Z sin ( - y ) + Y sin(7ry) — nX s i n ( a x ) sin(27ry)

a * 2

v ( x ' y ^ = fc(x'y't) = a f o s c a * ) s i n ^ y )

Con las funciones definidas de u y v es necesario llegar a un modelo simplificado para las simulaciones, como el que se plantea en la siguiente sección.

2.1.1 Sistema Dinámico Simplificado

En base a las ecuaciones obtenidas anteriormente, es posible precisar un modelo simplificado del sistema, el cual está definido por las variables X, Y, Z.

(18)

dX dt dY _

dt ~

= -naX2 + aXY + -XZ 4 - 2 a ( 3 j r2 + a2) X2 - rY

dZ r

(2-4)

dt

Donde o y r están definidas por (2-5)

n2a a = 47T

2 + a2 r = n

Ye

(2-5)

Sin embargo, para evitar que el sistema regrese a su estado de reposo, es necesario agregar una variable para forzar el sistema, definida como A donde Z=l-Acosa>t. Para el sistema obtenido se reemplaza Z por Z*, definida como Z*=wt. El sistema obtenido se observa en (2-6) [8]. A es el valor de la amplitud de la oscilación de la velocidad de flujo libre, es una constante del sistema que puede ser modificada para observar distintos estados del modelo y w , determina la frecuencia a la que oscila la velocidad.

La Figura 2-2 es una representación gráfica del perfil de capa límite de una lámina plana, se muestra como el viento llega a velocidad de flujo libre y cuando entra en contacto su velocidad varía de 0 al 99% de la velocidad con la que llega. Se debe tener en cuenta que el número de Reynolds es dependiente de la velocidad, por lo tanto, si la velocidad varía el número de Reynolds varía, sin embargo, para este modelo en particular, las variaciones son tan sutiles que se considera el número de Reynolds como constante para todos los casos.

dX

A = naX2 + aXY + -X(1- AcosZ*)

dt 4

d Ydt -2a(3n2 + a2)X2 - rY (2-6)

dZ'

~dt = O)

6

(19)

Figura 2-2 Perfil de Capa Límite de una Lámina Plana

2.2 Sistemas Caóticos

“Donde el caos comienza, la ciencia clásica se detiene” [6]. La definición que el diccionario le da a caos es, un estado de colección o de mezcla confusa [4], sin embargo, no existe una definición precisa de caos [7], [10], pero se podría definir a los sistemas caóticos, como sistemas determinísticos asintóticamente estables con alta sensibilidad a las condiciones iniciales. Estos sistemas aparentemente tienen un comportamiento aleatorio, ya que ante cambios de milésimas en las condiciones iniciales el comportamiento del sistema varía dramáticamente, lo cual hace parecer que el sistema es no determinístico cuando realmente si lo es.

2.2.1 Sistema de Lorenz

Los sistemas caóticos son un tema relativamente nuevo pero que han llamado la atención de los investigadores, esto se debe a que su comportamiento puede ser usado para modelar ciertos fenómenos naturales que no habían sido identificados anteriormente. Uno de los ejemplos más comunes de sistemas caóticos es el sistema de Lorenz, que es un modelo que no se ha comprobado, sí existen otros modelos caóticos que representan un fenómeno natural real [4].

(20)

Una versión simplificada del sistema de Lorenz se observa en (2-7).

x = a(y — x)

y' = px — y — xz (2-7)

z ' = —jSz + xy

El sistema consta de 3 variables X, Y y Z, las cuales representan la razón de rotación de los anillos, el gradiente de temperatura del sistema y la desviación de la temperatura respectivamente. Con respecto a las constantes, a representa el número de Prandtl que determina la viscosidad o conductividad térmica del ambiente, p es el número de Rayleigh el cual está asociado con la transferencia de calor del medio y /3 es la razón entre longitud y altura del sistema [2].

En la Figura 2-3, se puede observar la comparativa entre dos sistemas de Lorenz con ligeras variaciones en sus condiciones iniciales, se puede observar que ambas gráficas comienzan de forma similar y su comportamiento se mantiene así por determinado tiempo, después los sistemas se comportan de forma totalmente distinta, como si fuesen regidos por ecuaciones diferentes. A su vez, la Figura 2-4 y Figura 2-5 muestran las variables Y y Z respectivamente. Para comprobar la estabilidad asintótica del sistema, la Figura 2-6, Figura 2-7 y Figura 2-8 muestran los diagramas de fase del sistema.

8

(21)

Figura 2-3 Variable X para CI (0.1, 0.1, 0.1) y CI (0.1, 0.1001, 0.1)

Figura 2-4 Variable Y para CI (0.1, 0.1, 0.1) y CI (0.1, 0.1001, 0.1)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-15 -10 -5 0 5 10 15

Tiempo

Amplitud

Comparativa de X

CI(0.1,0.1,0.1) CI(0.1,0.1001,0.1)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-15 -10 -5 0 5 10 15 20

Comparativa de Y

Tiempo

Amplitud

CI(0.1,0.1,0.1) CI(0.1,0.1001,0.1)

(22)

10

Figura 2-5 Variable Z para CI (0.1, 0.1, 0.1) y CI (0.1, 0.1001, 0.1)

Figura 2-6 Diagrama de Fase X vs Z

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Comparativa de Z

Tiempo

Amplitud

CI(0.1,0.1,0.1) CI(0.1,0.1001,0.1)

-15 -10 -5 0 5 10 15

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Diagrama de Fase X vs Z

(23)

Figura 2-7 Diagrama de Fase X vs Y

Figura 2-8 Diagrama de Fase Y vs Z

-15 -10 -5 0 5 10 15

-15 -10 -5 0 5 10 15 20

Diagrama de Fase X vs Y

-15 -10 -5 0 5 10 15 20

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Diagrama de Fase Y vs Z

(24)

12 En los diagramas de fase es posible apreciar la estabilidad asintótica del sistema, se puede observar cómo el sistema tiende a permanecer alrededor de dos puntos también conocidos como atractores extraños.

2.2.2 Atractores

Sólo visibles en los diagramas de fase, los atractores son puntos o áreas a los cuales la trayectoria del sistema tiende a establecer una órbita alrededor de éstos [6]. Están presentes en los diagramas de fase de cualquier sistema caótico, y es muy común que se presente más de un atractor.

2.3 Lógica y Control Difuso

2.3.1 Lógica Difusa

Entre las tecnologías más populares de Inteligencia Artificial (AI, por sus siglas en inglés) se encuentra la lógica difusa [9], la cual está siendo ampliamente usada en electrodomésticos y productos de consumo masivo y ha generado billones de dólares en ventas solamente en Japón desde 1987 [9]. Desarrollada por Lofti A. Zadeh [3], [7], [9]

[12], es básicamente una lógica multivariable que permite que los valores intermedios puedan ser definidos entre evaluaciones convencionales [7]; es muy similar al razonamiento humano en donde un valor de estatura se puede clasificar como ser alto, y ese valor varía entre varios números exactos de estatura (ej. 1.75m, 1.80m).

Conjuntos Difusos

Un conjunto difuso se puede definir como una clase de objetos con continuos grados de membresía [13]. Son conjuntos que tienen límites suavizados a diferencia de los conjuntos clásicos o booleanos, los cuales tienen límites definidos [12]. Como los límites de un conjunto difuso no son definidos, no es posible determinar la cantidad exacta de elementos que lo componen. Para poder determinar qué tanto pertenece a un conjunto, los valores de pertenencia o de membresía que definen a los elementos varían entre 0 y 1, donde los que tienen valores de membresía cercanos a 0 significa que es poco probable que

(25)

pertenezca al conjunto, y los que tienen valores de membresía cercanos a 1 significa que es muy probable que pertenezca al conjunto [13].

Es posible realizar operaciones entre diferentes conjuntos; por ejemplo, se tienen los conjuntos difusos fA(x) y /B(X). Si se desea hallar todos los elementos del universo que no están contenidos porfA(x), se obtiene el complemento o iVOT como se muestra en (2-8).

/ » = i - M * ) ( 2"8 )

También se puede definir si los elementos de un conjunto están contenidos por otro conjunto, si los elementos de fs(x) están contenidos por fA(x), el resultado sería como se muestra en (2-9).

ÍA ( * ) c fB ( x ) = fA (x) á fB ( * ) (2-9)

Otro tipo de operación, que es común en los conjuntos convencionales, es la unión u OR, en donde el resultado de la unión entre fA(x) y fs(x) es como se muestra en (2-10).

ÍA ( * ) U fB O ) = m a x [ & ( * ) , fB {%)] (2-10)

A su vez, también existe la intersección o AND entre conjuntos difusos, en (2-11) se muestra el resultado de la intersección entre fA(x) y/B(X).

ÍAÍX) n fB{x) = mm[fA(x),fB(x)] (2-n)

(26)

nciones de Membresía

Para poder definir cuál es el valor de membresía de un elemento con respecto a un yunto se utilizan las Funciones de Membresía, las cuales matemáticamente definen el or de cada elemento mediante ecuaciones matemáticas, existen varios tipos de funciones membresía, las más utilizadas son las siguientes:

Función de Membresía Triangular, se define mediante 3 parámetros a, b y c, donde b<c y son los puntos de cada una de las esquinas, las ecuaciones que delimitan la ición de membresía triangular se muestran en (2-12).

trimf(x; a, b,c) = {

r 0,

x — a b — a' c — x c — b'

0,

x < a ^ a < x < b b < x < c x > c

(2-12)

Función de Membresía Trapezoidal, a diferencia de la triangular, esta requiere de parámetro adicional d, tal que a<b<c<d al igual que la triangular indican los puntos de la esquina. La forma en cómo se delimita la función trapezoidal se muestra en (2-13).

trapmf(x; a, b, c, d)

f 0, x < a }

X — a

a < x <b b — a' a < x <b

< 1, b < X < C y

d — X

c < x < d d — c' c < x < d

< 0, d < x J

(2-13)

Función de Membresía Gaussiana, este tipo de función está definida por los

•ámetros m y a que representan el centro y el ancho de la función respectivamente, iere de las anteriores ya que puede ser definida mediante una sola ecuación que abarca [o el rango de la función de membresía como se muestra en (2-14).

gaussmf(x; m, o) = exp (2-14)

Función de Membresía de Campana, está definida por los parámetros a, b, y c, ide b es normalmente positivo para que la campana apunte hacia arriba y define la forma la campana; para valores pequeños, la campana tiende a hacerse puntiaguda, y para lores grandes, la campana tiende a hacerse cuadrada, a define el ancho de la campana y c

14

(27)

define el centro. Esta función difiere un tanto de la Gaussiana, ya que también varía su ancho y se define como se muestra en (2-15) [7].

bellmf(x; a, b, c) =

1 + x - c a

2b (2-15)

Todas estas funciones de membresía definen gráficamente qué elementos pertenecen al conjunto y qué valor de membresía tienen, tal como se observa en la Figura 2-10.

Cuantificadores Difusos

Los cuantificadores son modificadores de los conjuntos difusos; se utilizan para crear nuevos conjuntos basándose de un conjunto original. Los cuantificadores más utilizados son "Muy" y "Más o menos" [7] y matemáticamente se representan como se observa en (2-16).

jrmas o menos _ I

(28)

Reglas Difusas SÍ-ENTONCES

Las reglas difusas son reglas que para una acción o antecedente hay una reacción o consecuencia [3], [7], [12]; para ello se aplica el SI ENTONCES, ya que para determinada z'ésima regla, SI existe cierta combinación de conjuntos de entrada i, ENTONCES la salida i correspondiente debe ser un conjunto determinado.

Inferencia Basada en Reglas Difusas

La inferencia o razonamiento, es el proceso mediante el cual para un valor real de entrada, se obtiene un valor difuso o real de salida. El proceso de inferencia consta de 3 pasos para obtener un valor difuso o de un paso adicional si se desea un valor real [3], [7], [12].

Fuzificación, en este paso los valores reales se convierten en valores difusos. De acuerdo a las funciones de membresía de los conjuntos de entrada, se determina el valor de pertenencia de la entrada real y de esa forma se convierte en un conjunto difuso, en caso de tener más de una entrada, se realizan las operaciones correspondientes de acuerdo al tipo de condición SÍ de la regla.

Inferencia, en base a los conjuntos difusos a los cuales pertenece el valor de la entrada, se determina qué reglas se activan para esos conjuntos, el valor de membresía del resultado de las reglas activadas depende del valor de membresía de los conjuntos de entrada que las activan.

Combinación, los conjuntos obtenidos de la Inferencia se combinan para obtener un solo conjunto difuso de salida, los cuales se combinan mediante superposición, basado en la operación de conjuntos Unión u OR.

Defuzificación, como paso adicional, el conjunto resultante de la combinación es convertido a un valor real mediante un método matemático, ya sea el de Máximos o Altura, Centro de Área o Media de Máximos. En el método de Máximos o Altura, el valor de salida es el valor de membresía más alto del conjunto de salida resultante. El Centro de Área o también conocido como Centro de Gravedad, se calcula el valor de salida de acuerdo a la ecuación (2-17). La Media de Máximos calcula el valor de salida hallando la media de los máximos valores de membresía como se muestra en la ecuación (2-18).

„ _ £ f = i / ¿ ¿ ( * )

16

(29)

I

(2-18)

t=l

2.3.2 Control Difuso

El control difuso utiliza la lógica difusa para controlar un proceso; como se observa en la Figura 2-11, el diagrama de bloques de un controlador difuso de lazo cerrado, recibe la señal retroalimentada del sistema y la somete al proceso de inferencia y defuzificación para obtener una señal de control de acuerdo a las necesidades del sistema.

r(t)

^ e ( , )» CONTROLADOR DIFUSO

U(t) ^

PROCESO y(t) k

-J

k

CONTROLADOR

DIFUSO PROCESO

Figura 2-11 Diagrama de Bloques de un controlador difuso de Lazo Cerrado

El controlador puede ser de tipo proporcional o proporcional derivativo, dependiendo de las entradas que maneje. Es de tipo proporcional, si sólo maneja la señal de error como entrada, y es de tipo proporcional derivativo si toma tanto la señal de error como el cambio del error o derivada del error como entradas.

Como todo sistema difuso, el controlador difuso también debe tener sus reglas. Las reglas de control definen el comportamiento del sistema, y cómo seleccionará el tipo de acción que será enviada al proceso. Para el diseño de estas reglas es necesario haber definido previamente las funciones de membresía de entradas y salidas.

Las funciones de membresía varían de acuerdo a la cantidad de señales que se decida admitir o que se necesiten crear; además, los tipos de funciones de membresía que se van a utilizar dependen del tipo de planta o de acción de control que se desea efectuar. Los rangos de las entradas dependen de los valores máximos y mínimos que puedan alcanzar, las salidas dependen de los valores que el actuador pueda alcanzar o que se consideren necesarios para una correcta acción de control.

(30)

18 Una vez definidas las funciones de membresía, se crean las reglas de control, para cada conjunto de entradas debe haber una salida o un conjunto de salidas. No se debe dejar ninguna entrada sin su respectiva salida, ya que esto podría conllevar a que el controlador no ejerza ningún tipo de acción de control ante una entrada que no está comprendida por las reglas.

Vale la pena mencionar que los controladores difusos tienen la capacidad de controlar un sistema caótico como los mencionados en la sección 2.3; esto se debe a su robustez como controladores y a su capacidad para manipular sistemas no lineales. Un ejemplo de un controlador difuso controlando un sistema caótico como el de Lorenz se puede encontrar en [7].

   

(31)

CAPÍTULO 3 ANÁLISIS DEL MODELO

 

En el capítulo anterior se dio una breve introducción a la Teoría de Capa Límite, Sistemas Caóticos, y Lógica y Control Difuso. En este capítulo, inicialmente se tomará un modelo de capa límite y se someterá a diferentes situaciones para analizar su comportamiento tanto en su estado laminar como en su estado turbulento o caótico.

Para la correcta modelación de un sistema caótico es necesario contar con valores experimentales del proceso a modelar; debido a la naturaleza del proceso, el cual es de tipo aerodinámico, para conseguir resultados confiables, es necesario contar con un túnel de viento para realizar pruebas de Velocimetría de Imágenes de Partículas, con las cuales se puede obtener información suficiente para obtener un modelo del comportamiento caótico de la capa límite de un perfil alar de estándar NACA.

Aunque, debido a que no es posible realizar las pruebas requeridas, fue necesario utilizar un modelo de capa límite existente, pero no se encontró un modelo de perfil alar de estándar NACA, por lo cual, se escogió uno equivalente el cual representa el comportamiento de forma similar al modelo deseado.

3.1 Simulación del modelo

El modelo empleado es una representación matemática del comportamiento de la capa límite de una lamina plana, a diferencia del perfil NACA, el comportamiento en este caso es más constante a lo largo de la superficie, ya que no hay variaciones de ningún tipo.

La ecuación del modelo se muestra en (2-6) y se reescribe en (3-1), la explicación de cada variable se encuentra en la Tabla 4-2. Para observar el comportamiento del sistema se utilizó el software SIMULINK® de MATLAB®, se realizó el esquema que se muestra en la Figura 3-1.

Tabla 3-1 Descripción de variables del sistema

Variable Descripción X Variable representativa de la velocidad vertical

Y Variable representativa de la velocidad del flujo de la capa límite Z Variable representativa de la velocidad de flujo libre

σ, α, r Constantes del sistema

Δ Amplitud de la variación de la velocidad de flujo libre ω Frecuencia de Oscilación de la velocidad de flujo libre

(32)

^ = naX2 + aXY + -X(l — A eos Z*)

Clt 4

^= -2a(3n2 + a2)X2 - rY

—— =dZ* dt Cl)

(3-1)

Pl-a

S i s m a

1 305 í 305 w Zp -> Z" C-císhi

Xp

Figura 3-1 Esquema utilizado en S1MULINK®

3.2 Sensibilidad ante condiciones iniciales

Para empezar, es necesario conocer si el sistema es sensible a las condiciones iniciales; para ello se definieron los siguientes parámetros del sistema: a—0.4, Re=16000, u=0.01 y A=0.65, el comportamiento obtenido se muestra en Figura 3-3. El valor de A fue modificado en un rango de 0.2 a 0.8, para observar su comportamiento, los resultados obtenidos se muestran en el Apéndice A.

Como se puede observar en la Figura 3-2 y Figura 3-3, el sistema es sensible ante cambios en las condiciones iniciales, se tienen dos modelos con CI (0.001,-0.2, 1) y CI (0.001,-0.201, 1) y se puede observar que en su comienzo su comportamiento es similar, pero cerca del tiempo 6000 los sistemas empiezan a diferenciarse hasta que sus comportamientos son totalmente diferentes, como si fuesen 2 sistemas regidos por ecuaciones distintas. En la Figura 3-4 no se observa sensibilidad en las condiciones iniciales, pero es de esperarse, ya que esta variable representa el flujo libre, el cual no presenta caoticidad bajo ninguna circunstancia. No obstante, se puede observar que la mitad del valor de su amplitud es el valor de A. Vale la pena mencionar que las salidas X, Y y Z son variables representativas, es decir, representan el comportamiento de la variable pero no su valor real, por ello no están definidas por un valor métrico y no tienen unidades.

20

(33)

Figura 3-2 Comparatoria de X para observar sensibilidad ante condiciones iniciales

Figura 3-3 Comparatoria de Y para observar sensibilidad ante las condiciones iniciales

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104 0

0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

Comparatoria de X

Tiempo

Amplitud

CI(0.001,-0.2,1) CI(0.001,-0.201,1)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104 -0.4

-0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05

Comparatoria de Y

Tiempo

Amplitud

CI(0.001,-0.2,1) CI(0.001,-0.201,1)

(34)

22

Figura 3-4 Comparatoria de Z para observar sensibilidad ante condiciones iniciales

3.3 Diagramas de Fase

Asimismo, es necesario comprobar la presencia de atractores en el diagrama de fase;

para ello se realizó un diagrama de fase en 3 dimensiones y también un diagrama de fase para los planos XY, XZ y YZ como se observa en la Figura 3-5, Figura 3-6, Figura 3-7 y Figura 3-8 respectivamente. Es posible detectar la presencia de atractores ya que se observa la generación de ciertas orbitas alrededor de (0.003, -0.25, 1).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104 0.2

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Tiempo

Amplitud

Comparatoria de Z

CI(0.001,-0.2,1) CI(0.001,-0.201,1)

(35)

Figura 3-5 Diagrama de Fase en 3 dimensiones

Figura 3-6 Diagrama de Fase X vs Y

0

0.002 0.004

0.006 0.008

0.01 0.012

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Diagrama de Fase en 3D

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

-0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05

Diagrama de Fase X vs Y

(36)

24

Figura 3-7 Diagrama de Fase X vs Z

Figura 3-8 Diagrama de Fase Y vs Z

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Diagrama de Fase X vs Z

-0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Diagrama de Fase Y vs Z

(37)

3.4 Estado de Reposo del Sistema

Como se mencionó en la sección 2.1.1, al sistema se le agrega una variable de forzamiento para mantener excitado al sistema, de esa forma se evita que alcance un estado de reposo; sin embargo para conocer mejor el sistema, es necesario conocer el estado de reposo al cual tiende el modelo, el diagrama de fase se observa en la Figura 3-9 las salidas del modelo en X, Y y Z se observan en la Figura 3-10 y Figura 3-11 y Figura 3-12.

 

Figura 3‐9 Diagrama de Fase de Sistema sin excitación

1

1.5 2

2.5 3

3.5

x 10-3 -0.23

-0.22 -0.21 -0.2 -0.19 -0.18

0 0.5 1 1.5 2

Z

Diagrama de Fase en 3D para Reposo

Y X

(38)

26

Figura 3-10 Salida X sin excitación

Figura 3-11 Salida Y sin excitación

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

1 1.5 2 2.5 3

3.5x 10-3 Salida X sin excitación

Tiempo

Amplitud

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

-0.23 -0.225 -0.22 -0.215 -0.21 -0.205 -0.2 -0.195 -0.19 -0.185 -0.18

Salida Y sin excitación

Tiempo

Amplitud

(39)

 

Figura 3‐12 Salida Z sin excitación 

En el diagrama de fase se puede observar que el sistema tiene como punto de equilibrio las coordenadas (2.4, -0.22, 1); las salidas X y Y alcanzan ese valor de equilibrio después del tiempo 3000, la salida Z no tienen ninguna variación, ya que el sistema se excita al oscilar la velocidad de flujo libre que es la que representa dicha variable.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Tiempo

Amplitud

Salida Z del sistema para reposo CI(0.001,-0.2,1)

(40)

DISEÑO DEL CONTROLADOR

En el capítulo 3, se realizó el análisis del modelo a utilizar creando una base de conocimiento sobre el comportamiento del sistema ante diferentes condiciones. En base a los resultados obtenidos, en este capítulo se procede a proponer una forma de controlar el sistema, agregando una entrada manipuladora sin alterar la estructura del modelo.

Para poder añadir una entrada manipuladora al sistema, fue necesario realizar una modificación al modelo propuesto del capítulo 3 [8]. Se agrega la manipulación a una de las variables del sistema tomando el ejemplo del sistema de Lorenz controlado en [7]. Para ello, fue necesario modificar el modelo agregando una variable llamada Delta Compensatoria (Ac) como se muestra en (4-1), la cual compensa el efecto de A en el sistema. Para simular el comportamiento se realizaron modificaciones el esquema de SEVIULINK® agregando la Ac como se observa en la Figura 4-1.

El porqué de añadir Ac, se debe a que la A del sistema causa las variaciones y hace que el sistema entre a un estado caótico, se propone Ac, para contrarrestar el efecto natural de A y así controlar el sistema.

^ = naX2 + aXY + - (A + Ac) * eosZ*)

Yt = -2a(3n2 + a2)X2 - rY (4-1) dz'

~dt

28

(41)

Figura 4-1 Esquema modificado para incluir Delta Compensatoria

En base a los resultados obtenidos anteriormente, se procedió a realizar pruebas del sistema con la ΔC en rangos de -0.8 a 0.8 para observar el comportamiento del sistema ante diferentes Δ del sistema, los resultados obtenidos pueden ser consultados en el Apéndice B.

Para el análisis de los resultados, en esta sección, se mostrarán algunos de los obtenidos durante las pruebas para indicar que factores fueron decisivos para el diseño del controlador.

4.1. Formulación del Problema

Como problema principal se tiene la reducción de fricción de la aeronave con el aire, para ello se debe tener en cuenta el estado en que se encuentra el medio; debido a que el fluido presenta mayor fricción en su estado turbulento que en su estado laminar, se plantea mantener al sistema en su estado laminar o no caótico, es por ello que el controlador debe compensar el comportamiento caótico del sistema.

(42)

30

4.2. Etapas de diseño del controlador

Para el diseño de controladores difusos, es necesario generar una base de conocimiento sobre el comportamiento del sistema ante diferentes valores de una entrada manipuladora previamente definida. Inicialmente, se deben realizar diferentes pruebas del sistema en lazo abierto para comprender el comportamiento del sistema.

En las siguientes secciones se describe detalladamente cada etapa del proceso de diseño del controlador, las cuales son:

Análisis del sistema ante diferentes entradas ΔC: el sistema se debe someter a diferentes valores de entradas en lazo abierto para entender su comportamiento ante cada entrada a la cual se somete, de esa forma entender mejor que valores de salida funcionan para determinadas condiciones de entrada.

Diseño del controlador Difuso: De acuerdo al conocimiento adquirido durante la etapa de análisis del modelo, se procede a encontrar el mejor controlador posible, se comienza con una opción de tipo de controlador y se experimenta con diferentes funciones de membresía de entradas y salidas, a su vez, se crean las reglas de control y se comprueba mediante simulaciones si el desempeño es el esperado.

Simulaciones y Resultados: Es la etapa final del proceso, se simula el comportamiento del controlador con la planta y se observa si se alcanzaron los objetivos propuestos, si no, se regresa a la etapa anterior, se realizan las modificaciones correspondientes y se simula de nuevo hasta lograr los objetivos propuestos o el mejor resultado posible.

4.3 Análisis del sistema ante diferentes entradas Δ

C

Como se mencionó anteriormente, el sistema modificado fue sometido a entradas ΔC

con valores entre -0.75 y 0.75, se analizaron los resultados obtenidos, de acuerdo al comportamiento del modelo en sus primeros instantes, para determinar qué tipo de acción tendría y en qué forma utilizarla en el controlador.

A continuación se muestra las salidas del sistema con Δ=0.5 siendo sometida a - 0.75, -0.55, -0.25, 0, 0.25, 0.55 y 0.75 valores de ΔC, como se muestran en la Figura 4-2 a la Figura 4-22. Se muestran los resultados de todas las salidas para un mejor análisis; el sistema se deja correr libremente y en el instante 5000 se activa la entrada correspondiente.

Referencias

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