Diseño óptimo de topología de elementos estructurales con ANSYS

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Diseño óptimo de topología de elementos estructurales con ANSYS

Titulación: Ingeniería Industrial Intensificación: Estructuras y

Construcciones Industriales Alumno/a: D. Diego Javier Martínez

Vigueras

Director/a/s: Dr. Pascual Martí Montrull D. Jesús Martínez Frutos

Cartagena, 23 de Septiembre de 2013

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AGRADECIMIENTOS

En primer lugar, me gustaría mostrar mi agradecimiento a mis directores de proyecto;

Dr. Pascual Martí, por permitirme realizar este proyecto, enseñarme la importancia de realizar las cosas adecuadamente y con esmero, introducirme en la no siempre fácil transición del mundo universitario al mundo real y por todas las facilidades que he tenido durante el tiempo que he estado en el Departamento; y a D. Jesús Martínez Frutos, por sus consejos y rápidas soluciones cada vez que encontraba problemas en el uso del programa ANSYS. Además, quisiera hacer extensivo este agradecimiento a todo el personal del Dpto. de Estructuras y Construcción, por el amable trato que he recibido durante todo este tiempo, y especialmente a Darío, con quien he disfrutado, esos duros días al inicio de la semana que son los lunes, charlando acerca de lo ocurrido en la jornada futbolística y por sus ánimos en cada visita que le hacía a su mesa.

Por supuesto, agradecer a mi familia, y en especial, a mis padres; soy quien soy gracias a ellos y me han enseñado la importancia fundamental de ser fiel a los principios de uno mismo siempre y en todo momento. Además, mis abuelos, quienes no podrán leer en persona esta hoja, pero sé que lo verán desde arriba y especialmente a ellos les dedico este proyecto.

No puedo olvidarme tampoco de agradecer a mis amigos, que siempre me mostraron su apoyo y confianza en que llevaría a buen puerto lo que emprendiera. Es difícil citarlos a todos aquí, por lo que podría englobarlos a todos en el grupo que otrora se conociera como “los/as de la Coca Cola”. También he de citar a los playeros, sobre todo a mis dos compañeros inseparables en “la oficina”.

Finalmente, quiero agradecer a todos aquellos que han hecho que mi carrera universitaria, que se ve culminada con este proyecto, haya sido más llevadera y plagada de grandes momentos. A mis “compañeros de piso”, Manu, Antonio y Camilo, a mis compañeros de “seleçao”, Alberto, Dani, Alfonso (pocos los reconocerán por estos nombres, pero evoca a uno de esos grandes momentos pasados en las „comidas seleçao‟) y demás compañeros. A los integrantes del “Grupo 6”, Berna, Pablo y Chus, por esos gratos ratos que hemos disfrutado mientras trabajábamos duro, y a todos aquellos que, además de permitirme disfrutar de su amistad, me han ayudado académicamente y me han facilitado en muchas ocasiones el lograr aprobados en innumerable cantidad de asignaturas como “Fher”, “So”, “Coly” o Carmen. Si me dejó a alguien en el tintero, espero que sepa disculparme.

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i

Índice

CAPÍTULO 1. OBJETIVO Y CONTENIDO DEL PROYECTO... 1

1.1 INTRODUCCIÓN ... 1

1.2 OBJETIVOS ... 1

1.3 ESTRUCTURA DEL PROYECTO ... 2

1.4 MEDIOS UTILIZADOS ... 2

CAPÍTULO 2. EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS... 3

2.2 ASPECTOS GENERALES DEL MÉTODO ... 3

2.2.1 Formulación de las características de un elemento finito ... 4

2.2.1.1 Funciones de desplazamiento ... 4

2.2.1.2 Deformaciones en los elementos ... 6

2.2.1.3 Tensiones en los elementos ... 7

2.2.1.4 Fuerzas nodales y matriz de rigidez del elemento ... 8

2.2.1.5 Ensamblaje ... 11

2.2 EL PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS ANSYS ... 14

2.3.1 Fundamentos del programa ... 14

2.3.2 Organización del programa ... 15

2.3.3 Análisis con ANSYS ... 16

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ii ÍNDICE

2.3.3.1 Preproceso ... 16

2.3.3.2 Ensamblaje y solución ... 19

2.3.3.3 Postproceso ... 19

CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN DE TOPOLOGÍA EN EL PROGRAMA ANSYS……….….. 21

3.2 OPTIMIZACIÓN EN ANSYS ... 21

3.2.1 Conjuntos de diseño posibles y no factíbles ... 22

3.2.2 El conjunto de diseño óptimo ... 23

3.2.3 Los métodos de optimización y las herramientas de diseño ... 23

3.3 MÉTODO DE APROXIMACIÓN POR SUBPROBLEMAS... 25

3.3.1 Función de las aproximaciones... 26

3.3.2 Minimizando la aproximación del subproblema ... 27

3.3.3 Convergencia ... 28

3.4 MÉTODO DE OPTIMIZACIÓN DE PRIMER ORDEN ... 29

3.4.1 La función objetivo sin restricciones ... 29

3.4.2 La dirección de búsqueda ... 30

3.4.3 Convergencia ... 32

3.5 OPTIMIZACIÓN DE TOPOLOGÍA ... 32

3.5.1 Formulación del problema general de optimización ... 32

3.5.2 Máxima rigidez del diseño (sujeto a restricciones de volumen) ... 33

3.5.3 El diseño de volumen mínimo (sujeto a restricciones de rigidez) ... 33

3.5.4 Los cálculos del elemento... 34

3.5.5 El sistema de optimización por objetivos ... 35

3.6 OPTIMIZACIÓN DE TOPOLOGÍA EN ANSYS ... 38

3.6.1 Introducción ... 38

3.6.2 Introducción a la optimización de topología ... 38

3.6.3 Proceso de la optimización de topología ... 39

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ÍNDICE iii

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE PANDEO EN EL

PROGRAMA ANSYS……….…….. 47

4.2 TIPOS DE ANÁLISIS DE PANDEO ... 47

4.2.1 Análisis de pandeo no lineal ... 47

4.2.2 Análisis de pandeo con autovalores ... 48

4.3 SUPOSICIONES Y RESTRICCIONES ... 48

4.3.1 Puntos a recordar ... 49

4.4 DESCRICIÓN DEL ANÁLISIS ... 49

4.4.1 Extracción de autovalores y vector propio ... 50

4.5 REALIZACIÓN DE UN ANÁLISIS DE PANDEO NO LINEAL ... 60

4.5.1 Aplicación de incrementos de carga ... 61

4.5.2 Tiempo de paso automático ... 61

4.5.3 Solución no convergente ... 61

4.5.4 Consejos y sugerencias para la realización de un análisis no lineal de pandeo ... 61

4.5.5 Realización de un post-análisis de pandeo ... 62

4.6 PROCEDIMIENTO PARA UN ANÁLISIS DE AUTOVALORES ... 63

4.6.1 Construcción del modelo ... 63

4.6.2 Obtener la solución estática ... 63

4.6.3 Obtener la solución de autovalores ... 64

4.6.4 Revisión de los resultados ... 66

4.7 EJEMPLO DE ANÁLISIS DE PANDEO (COMANDOS O MÉTODO BATCH) ... 67

CAPÍTULO 5. DISEÑO ÓPTIMO TOPOLÓGICO DE ELEMENTOS SIMPLES……..………..……….…….. 69

(6)

iv ÍNDICE

5.2 VIGAS EN VOLADIZO ASIMÉTRICAS SOMETIDAS A CARGAS

PUNTUALES (PLANO) ... 69

5.2.1 Introducción 69 5.2.2 Vigas en voladizo asimétricas ... 70

5.3 VIGAS EN VOLADIZO ASIMÉTRICAS SOMETIDAS A CARGAS PUNTUALES (ESPACIAL) ... 77

5.3.2 Vigas en voladizo asimétricas sometidas a cargas puntuales ... 78

5.4 COMPARATIVA DE LOS RESULTADOS ... 87

CAPÍTULO 6. DISEÑO ÓPTIMO TOPOLÓGICO DE CONJUNTOS DE ELEMENTOS SIMPLES………...……….……... 92

6.2 VIGAS EN VOLADIZO ASIMÉTRICAS SOMETIDAS A CARGAS PUNTUALES ... 93

6.2.2 Vigas en voladizo asimétricas ... 94

6.3 VIGAS EN VOLADIZO ASIMÉTRICAS SOMETIDAS A CARGAS PUNTUALES CON PLACAS TRANSVERSALES ... 105

6.3.2 Vigas en voladizo asimétricas con placas transversales ... 106

6.4 COMPARATIVA DE LOS RESULTADOS DE 6.2-6.3 ... 117

6.5 VIGAS EN VOLADIZO ASIMÉTRICAS CON PANELES ... 123

6.5.2 Vigas en voladizo asimétricas con paneles superiores ... 124

6.6 COMPARATIVA DE LOS RESULTADOS DE 6.3-6.5 ... 136

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ÍNDICE v

CAPÍTULO 7. DISEÑO ÓPTIMO TOPOLÓGICO DE ESTRUCTURA

GLOBAL……...………...……….……. 142

7.2 BLOQUES MACIZOS EN VOLADIZO ASIMÉTRICOS CON PANELES ... 143

7.2.2 Bloques macizos en voladizo asimétricos con paneles ... 144

CAPÍTULO 8. CONCLUSIONES……....……….…….. 158

8.1 RESUMEN DE LOS TRABAJOS REALIZADOS ... 158

8.2 CONCLUSIONES ... 158

REFERENCIAS……...……….…….. 161

ANEJOS

ANEJO I MACROS DEL PROGRAMA ANSYS PARA LA OPTIMIZACIÓN DE TOPOLOGÍA DE ELEMENTOS SIMPLES ... 163

ANEJO II MACROS DEL PROGRAMA ANSYS PARA LA OPTIMIZACIÓN DE TOPOLOGÍA DE CONJUNTOS DE ELEMENTOS ... 179

ANEJO III MACRO DEL PROGRAMA ANSYS PARA LA OPTIMIZACIÓN DE TOPOLOGÍA DE ESTRUCTURA GLOBAL ... 250

ANEJO IV MACROS DEL PROGRAMA ANSYS PARA EL POSTPROCESADO DE LA SOLUCIÓN ... 270

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1

1 Objetivos y contenido del proyecto

1.1 INTRODUCCIÓN

En el presente proyecto se ha realizado la optimización de topología de diferentes elementos estructurales, por el método de los elementos finitos.

Para el análisis y la optimización se ha utilizado como herramienta el programa de elementos finitos ANSYS.

El objetivo global del proyecto es el desarrollo, implementación y validación de modelos para el diseño óptimo de topología de elementos estructurales. A lo largo del proyecto se aumenta la complejidad de los modelos para alcanzar comportamientos más realistas de los mismos. Se inicia con los primeros modelos que se componen únicamente por elementos simples. Los siguientes modelos se forman por la combinación y adición de varios elementos simples, hasta llegar a un modelo final en el que se intentan alcanzar los objetivos del proyecto con un elemento estructural global.

1.2 OBJETIVOS

Los objetivos parciales cubiertos en este proyecto son:

 Revisión bibliográfica acerca del análisis lineal y estabilidad inicial.

 Revisión bibliográfica de la optimización de topología de elementos estructurales.

 Estudio de manuales de ANSYS.

 Definición de los problemas de optimización de topología de elementos estructurales.

 Desarrollo e implementación, en el programa de Elementos Finitos ANSYS, de modelos numéricos para el diseño óptimo de topología de elementos estructurales.

 Obtención de desplazamientos y tensiones sobre los elementos estructurales optimizados.

 Análisis lineal de pandeo sobre los elementos estructurales optimizados.

 Análisis de resultados y conclusiones sobre las distintas topologías obtenidas.

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2 OBJETIVOS Y CONTENIDO DEL PROYECTO

1.3 ESTRUCTURA DEL PROYECTO El proyecto consta de los siguientes capítulos:

 Capítulo 1. Se describen los objetivos y el contenido del proyecto.

 Capítulo 2. Se describe el método de los elementos finitos.

 Capítulo 3. Se describe con carácter general la optimización en ANSYS, centrándose en la optimización de topología.

 Capítulo 4. Se describe con carácter general el análisis de pandeo en ANSYS, centrándose en el análisis de pandeo lineal.

 Capítulo 5. Se realiza la optimización de topología para dos problemas con elementos estructurales simples.

 Capítulo 6. Se realiza la optimización de topología para tres problemas formados por conjuntos de elementos simples.

 Capítulo 7. Se realiza la optimización de topología para un problema constituido por una estructura global completa.

 Capítulo 8. Se exponen las conclusiones y observaciones extraídas a lo largo del proyecto.

1.4 MEDIOS UTILIZADOS

El proyecto se ha realizado en el laboratorio de I+D del Grupo de Investigación de Optimización Estructural, del Departamento de Estructuras y Construcción, ubicado en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Industrial (ETSII) de la Universidad Politécnica de Cartagena.

Para la realización del proyecto ha sido necesaria la utilización del siguiente equipo y software:

 Características técnicas:

Procesador Intel®Core^TM2 Duo CPU E8500.

3,16 GHz, 4 Gb de Memoria RAM.

 Sistema operativo:

Windows 7 Professional.

 Software:

Microsoft Office Professional Plus 2010.

ANSYS (versión 13.0).

 Impresoras:

TOSHIBA e-STUDIO3511-4511 PCL5c.

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3

2 El método de los elementos finitos

2.1 INTRODUCCIÓN

La creciente complejidad de los sistemas que han de ser analizados, junto con el aumento de la sofisticación y potencia de cálculo de los sistemas informáticos digitales, ha impuesto el desarrollo de nuevos métodos de análisis, en particular el Método de los Elementos Finitos.

Este método es el que se ha utilizado en este proyecto fin de carrera, haciendo uso del programa ANSYS. A continuación se va a describir este método y su utilización en el programa ANSYS.

2.2 ASPECTOS GENERALES DEL MÉTODO

Este método ha sido ampliamente usado en la discretización de cualquier tipo de estructuras.

Una de sus ventajas más importantes consiste en que las aproximaciones de tipo físico realizadas en el proceso de discretización siguen una metodología unitaria y sistemática. El continuo analizado es sustituido por un número finito de subdominios interconectados entre sí en un número finito de puntos denominados nodos. El comportamiento del continuo original está gobernado por las leyes de la Mecánica del Medio Continuo. En el Método de los Elementos Finitos las funciones solución no se definen en todo el continuo, sino que sus valores numéricos se calculan únicamente en los nodos. La función solución se obtiene en cualquier otro punto del continuo utilizando unas funciones de interpolación adecuadas. Un elemento finito es un subdominio en el cual se definen las funciones de interpolación. La exactitud de la solución depende del número de elementos empleados en la discretización del continuo, así como del tipo de funciones de interpolación utilizadas.

De esta manera, para analizar el comportamiento de una estructura continua mediante el método de los elementos finitos debemos proceder de la siguiente manera:

1. El continuo se divide, mediante líneas o superficies imaginarias, en un número de elementos finitos.

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4 EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

2. Se toman como incógnitas los desplazamientos de los nodos de la malla, como ocurre en el análisis de estructuras discretas.

3. Se elige un conjunto de funciones que definan de manera única el campo de desplazamientos dentro de cada elemento finito en función de los desplazamientos nodales de dicho elemento.

4. Estas funciones de desplazamientos definirán de manera única el estado de deformación dentro del elemento en función de los desplazamientos nodales. Estas deformaciones, junto con las deformaciones iniciales y las propiedades constitutivas del material, definirán el estado de tensiones en todo el elemento y, por consiguiente, en sus contornos.

5. Se determina un sistema de fuerzas concentradas en los nodos que equilibre las tensiones en el contorno y cualesquiera cargas repartidas, obteniéndose la relación entre fuerzas y desplazamientos de la forma

siendo: qe el vector de fuerzas que actúan en los nodos ; Ke la matriz de rigidez ; ae el vector de desplazamientos nodales ; fe el vector de fuerzas nodales necesarias para equilibrar las fuerzas másicas, las tensiones iniciales, las deformaciones iniciales y las tensiones aplicadas en el contorno del elemento.

6. Con las rigideces de cada elemento se ensambla la matriz de rigidez global de la estructura. Se aplican las condiciones de contorno y se establece el sistema de ecuaciones global de la estructura, de donde se obtienen los desplazamientos globales.

Finalmente se calculan las tensiones en cada elemento a partir de los desplazamientos.

A continuación, se incluye la formulación de las características de un elemento finito, para el caso más básico. Las características particulares de los elementos utilizados se describen en el capítulo correspondiente al modelo de elementos finitos.

2.2.1 Formulación de las características de un elemento finito 2.2.1.1 Funciones de desplazamiento

Un elemento triangular típico (Fig. 2.1) se caracteriza por sus nodos i, j, m y por su contorno formado por líneas rectas.

Los desplazamientos de un nodo i tienen dos componentes

y para los tres nodos del triángulo se tienen seis componentes agrupadas en un vector

Los desplazamientos de cualquier punto interior al elemento se pueden definir en función de estos seis valores. Esta función se obtiene fácilmente mediante dos polinomios de primer grado (planos) de la forma

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EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS 5

DEyC Diseño óptimo de topología de elementos estructurales con ANSYS ETSII-UPCT

(2-1)

Figura 2.1. Elemento triangular de un medio continuo.

Las seis constantes ⁱse calculan resolviendo los dos sistemas de tres ecuaciones y tres incógnitas que se obtienen al sustituir las coordenadas de los tres nodos del triángulo e igualar las expresiones resultantes a los desplazamientos correspondientes a estos nodos. Así pues, para el desplazamiento u

Resolviendo y sustituyendo en la Ec. (2-1) se obtiene la función de desplazamiento u de cualquier punto interior del elemento

(2-2)

Igualmente, sustituyendo en la Ec. (2-2) se obtiene la función de desplazamiento v

(2-3) Así, los desplazamientos u de cualquier punto del elemento son aproximadamente iguales a un vector columna û definido por la expresión

(2-4) en donde:

N es una matriz de funciones de forma;

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a^e son los desplazamientos nodales, e I es la matriz unidad.

La Ec. (2-4) en forma desarrollada es

(2-5)

Mediante las Ecs. (2-2) y (2-3), y a partir de la Ec. (2-5) se deducen las funciones de interpolación

(2-6)

La función de desplazamientos elegida garantiza automáticamente la continuidad de desplazamientos entre elementos adyacentes, debido a que los desplazamientos varían linealmente a lo largo de cualquiera de los lados del triángulo y, al ser los mismos desplazamientos en los nodos para dos elementos contiguos, existirá el mismo desplazamiento a lo largo de todo el contorno de separación.

2.2.1.2 Deformaciones en los elementos

Las deformaciones en cualquier punto de un elemento se definen, en función de los desplazamientos, mediante la expresión

(2-8) siendo S un operador lineal. Sustituyendo u de la Ec. (2.4), las deformaciones pueden aproximarse en la forma.

(2-8) En el caso de tensión plana se tiene

(2-8)

Las matrices B correspondientes a los nodos del elemento triangular, en función de las funciones de forma, se expresan de la siguiente forma

(14)

Las deformaciones en un punto del elemento son

y, debido a que B es una matriz independiente de la posición del punto del elemento, las deformaciones son constantes en todo el elemento.

2.2.1.3 Tensiones en los elementos

Admitiendo la hipótesis de material elástico lineal, la relación entre tensiones y deformaciones es de la forma

(2-9) siendo:

0 las deformaciones iniciales a las que puede estar sujeto un elemento.

0 las tensiones residuales iniciales.

D una matriz de constantes elásticas.

(15)

En el caso de tensión plana, la relación anterior es de la forma

(2-9)

y la matriz D se obtiene a partir de las relaciones entre tensiones y deformaciones para un medio isótropo

Despejando las tensiones e identificando con la Ec. (2-9) se obtiene

(2-10)

en donde E es el módulo de elasticidad longitudinal y el coeficiente de Poisson.

En el caso de deformación plana, la tensión zno es nula, y las relaciones entre tensiones y deformaciones son

de donde se obtiene la matriz de elasticidad en deformación plana

(2-11)

(16)

2.2.1.4 Fuerzas nodales y matriz de rigidez del elemento

Sean q^e las fuerzas que actúan en los nodos del elemento, siendo éstas estáticamente equivalentes a las tensiones en el contorno y a las fuerzas distribuidas que actúan sobre el elemento. Cada una de las fuerzas q_i^e que actúa sobre los nodos debe tener el mismo número de componentes que el desplazamiento en el nodo. Las fuerzas distribuidas b son por definición las que actúan por unidad de volumen en dirección correspondiente a las de los desplazamientos u en ese punto.

Para un problema de elasticidad bidimensional, se tiene

Para establecer la equivalencia entre las fuerzas nodales y las tensiones actuantes en el contorno y fuerzas distribuidas, el procedimiento más sencillo es aplicar el método de los trabajos virtuales, que consiste en imponer un desplazamiento arbitrario (virtual) a los nodos e igualar el trabajo exterior realizado por las fuerzas nodales al efectuado interiormente por las tensiones y fuerzas distribuidas durante dicho desplazamiento.

Sea un desplazamiento virtual de los nodos. De acuerdo con las Ecs. (2-5) y (2-8), los desplazamientos y deformaciones virtuales en un punto del elemento son

El trabajo efectuado por las fuerzas nodales es igual a la suma de los productos de las componentes de cada una de las fuerzas por sus correspondientes desplazamientos, es decir

De la misma forma, el trabajo interno por unidad de volumen efectuado por las tensiones y fuerzas distribuidas es

y sustituyendo las expresiones de δε y δu teniendo en cuenta que (AB)^T= B^TA^T, se tiene

Igualando el trabajo externo con el trabajo interno total obtenido al integrar sobre el volumen del elemento, se obtiene

Puesto que esta relación es válida para cualquier desplazamiento virtual, se debe cumplir

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Esta expresión es válida para cualquier relación entre tensiones y deformaciones. Si la relación es lineal, como en el caso de la Ec. 2.9, se puede escribir

(2-13) siendo K e la matriz de rigidez del elemento i, j, m

y

En la última ecuación, los tres términos representan las fuerzas debidas a las fuerzas másicas, las deformaciones iniciales y las tensiones iniciales.

La expresión de las matrices de rigidez se puede poner como

siendo t el espesor del elemento, y extendiéndose la integral sobre la superficie del triángulo.

Si el espesor del elemento se supone constante, hipótesis que tiende a ser tanto más cierta a medida que disminuye el tamaño de los elementos, entonces, como ninguna de las matrices contiene a x o y, se tiene

donde ∆es el área del triángulo.

El término f e de la Ec. (2-13) corresponde a las fuerzas másicas, que en el caso de tensión o deformación plana se definen como

o bien de la Ec. (2-5)

Si las fuerzas másicas bx y by son constantes y si se encuentra el origen de coordenadas local en el centro de gravedad del elemento, se pueden resolver fácilmente estas integrales, ya que

y mediante las Ecs. (2-7) se obtiene

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Esto significa que el sistema de fuerzas que actúa en las direcciones x e y debidas a las fuerzas másicas se distribuye entre los nodos en tres partes iguales.

Si sobre los elementos del contorno hay aplicadas fuerzas por unidad de superficie (t), será necesario añadir un término adicional al vector de fuerzas de los elementos cargados.

Considerando el trabajo virtual que produce, este término es

2.2.1.5 Ensamblaje

Una vez satisfechas las condiciones de equilibrio dentro de cada elemento se deben establecer las condiciones de equilibrio en los nodos de la estructura. Las ecuaciones que resultan contendrán los desplazamientos como incógnitas y una vez calculadas éstas el problema está resuelto.

Considérese la estructura sometida a un sistema de fuerzas externas r aplicadas en los nodos

Si se establece el equilibrio en un nudo cualquiera i, cada componente de ritiene que ser igual a la suma de las componentes de las fuerzas que aportan los elementos que concurren en dichos nudos

(2-14) en donde qi1 es la fuerza que el elemento 1 aporta al nudo i, qi2 la fuerza que aporta el elemento 2, etc.

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Figura 3.2. Elementos del continuo.

Figura 2.2. Elementos del continuo.

Sustituyendo la Ec. (2-13) para cada elemento en la Ec. (2-14) se tiene

Reuniendo todas estas ecuaciones se obtiene

(2-15) en donde K es la matriz de rigidez completa de la estructura, cuyas submatrices son

f es el vector de cargas sobre la estructura, siendo los subvectores

r es la matriz de fuerzas externas aplicadas en los nodos de la malla

a es la matriz de desplazamientos de todos los nodos de la estructura.

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La ecuación matricial (2-15) da lugar al siguiente sistema de ecuaciones de equilibrio

(2-16)

En el primer miembro están las fuerzas exteriores conocidas que actúan sobre los nodos de la malla de elementos finitos, así como las reacciones desconocidas que actúan sobre los grados de libertad restringidos. En el segundo miembro se tiene la matriz de rigidez completa de la estructura y el vector que contiene los desplazamientos desconocidos (correspondientes a los nodos libres de la malla) y los desplazamientos conocidos (que corresponden a los grados de libertad restringidos).

La matriz de rigidez completa de la Ec. (2-16) es singular y no puede invertirse, debido a que la estructura sin las ligaduras externas es inestable y hay infinitas soluciones al sistema de ecuaciones (2-16).

El sistema de ecuaciones (2-16) puede reordenarse y quedar de la siguiente forma

siendo:

rL las fuerzas exteriores aplicadas en los nodos de la malla, (conocidas).

rR las reacciones en los grados de libertad restringidos, (desconocidas).

aL los desplazamientos libres de los nodos de la malla, (desconocidos).

aR los desplazamientos restringidos de los nodos de la malla, (conocidos).

De la primera ecuación del sistema (3.17) se obtiene

y despejando los desplazamientos de los nodos libres

(2-18) en donde el segundo miembro es conocido y se pueden obtener los desplazamientos de los nodos de la malla.

Una vez resuelto el sistema de ecuaciones (2-18) se conoce el vector de desplazamientos de todos los nodos de la malla, (a), y consecuentemente el vector de desplazamientos de un elemento finito (a^e).

Sustituyendo el vector de desplazamientos en la Ec. (2-5) se obtienen los desplazamientos en cualquier punto del elemento

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Sustituyendo el vector de desplazamientos en la Ec. (2.8) se obtienen las deformaciones en cualquier punto del elemento

Sustituyendo el vector de desplazamientos en la Ec. (2-9) se obtienen las tensiones en cualquier punto del elemento

Si se utiliza la matriz de elasticidad correspondiente al problema de deformación plana, de la ecuación anterior se obtiene el vector de tensiones (en el plano) y la tensión z se obtiene en la forma

2.3 EL PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS ANSYS

ANSYS es un software de "Uso general" que contiene capacidades y funciones para diversas utilidades, resuelve numerosos tipos de análisis y tiene múltiples aplicaciones en el campo de la ingeniería. El programa esta basado en el análisis por el Método de los Elementos Finitos, ha sido desarrollado por la empresa SWANSON ANALYSIS SISTEMS, INC., la cual presentó la primera edición comercial de ANSYS en 1971. Desde entonces ha evolucionado hasta presentar su versión más actual, aprovechando los avances en el mundo de la informática.

Se he definido el programa ANSYS como un código de propósito general de Elementos Finitos de "Uso general", lo que significa la inclusión de diversas capacidades generales, (preprocesador, solución, postprocesador, gráficos y utilidades), dando lugar a un programa fácil de usar. En otras palabras, no es simplemente un programa especializado para resolver problemas, ANSYS puede satisfacer los problemas de diseño y análisis requeridos en una industria o en cualquier otro grupo de la ingeniería.

"Uso general" tiene otro significado en cuanto a resolver diversos tipos de problemas, incluyendo: estructurales, térmicos, eléctricos, magnéticos, de fluidos, lineales o no lineales, a partir de un mismo formato de entrada. También se pueden unir los efectos de estas disciplinas para resolver, por ejemplo, problemas térmico-tensionales, electro-magnéticos, acústicos o piezoeléctricos.

2.3.1 Fundamentos del programa

La respuesta analítica de un sistema físico a una acción, es difícil de encontrar, ya que supone resolver el sistema de ecuaciones diferenciales que representan el fenómeno, y eso es prácticamente imposible para la mayoría de los casos. El Método de los Elementos Finitos ofrece una manera apropiada de obtener soluciones aproximadas a casi todos los problemas de ingeniería.

El programa ANSYS transforma un sistema real (con infinitas incógnitas), en un modelo de elementos finitos. El modelo es una idealización matemática del sistema real, los nodos, elementos y condiciones de contorno se usan en la descripción del modelo.

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El término elemento finito resume el concepto básico del método; la transformación de un sistema físico, con un número infinito de incógnitas (la respuesta en cada punto del sistema), a uno que tienen un número finito de incógnitas relacionadas unas con otras por elementos con un tamaño finito.

El programa es utilizado en una gran cantidad de campos de la ingeniería, incluyendo el aeroespacial, el del automóvil, el biomecánico, el de productos de consumo, el de productos electrónicos, el de la ingeniería nuclear, mecánica y energía, etc. Puede ser utilizado para analizar el choque de un vehículo, para estudiar el campo magnético en un reproductor de imagen de resonancia magnética, o en el proceso de solidificación de una pieza de fundición de una máquina.

Si se usa el programa ANSYS, u otro paquete CAD para construir el modelo, se puede utilizar ANSYS más adelante en el proceso para verificar el diseño final antes de hacer el prototipo. ANSYS puede ayudar a reducir de manera significativa la totalidad del tiempo empleado en desarrollar el producto, reduciéndose el número de ciclos de prototipo-chequeo- evaluación. Incluso, en algunos casos no es deseable o práctico hacer un prototipo, como por ejemplo en aplicaciones de biomedicina, incluyendo implantes de cadera, lentes intraoculares o aplicaciones aeroespaciales, es entonces cuando el programa ANSYS cumple un papel fundamental.

2.3.2 Organización del programa

Al trabajar con ANSYS se debe tener en cuenta la organización del programa. ANSYS presenta dos niveles fundamentales:

 Nivel Inicial (Begin Level).

 Nivel de Procesador (Processor Level).

Cuando se inicia ANSYS se está en el nivel inicial, desde este nivel se accede a los distintos procesadores, o a utilizar algunas de las diferentes utilidades del programa.

El procesador es una colección de comandos relacionados para ejecutar una función general. Los comandos son utilizados para introducir datos y controlar el programa, existen más de 800 comandos, normalmente asociados a un procesador, no es necesario memorizarlos ya que se puede acceder a la documentación de los mismos directamente durante el desarrollo del análisis.

Además de la estructura del programa ANSYS, se debe tener en cuenta la organización de los datos. Estos incluyen:

 Datos de entrada, información como: las dimensiones de un modelo, las propiedades de materiales, las cargas aplicadas, etc.

 Los resultados o datos de salida, valores que ANSYS, calcula tales como desplazamientos y tensiones en un análisis estructural.

Estos dos tipos de datos se almacenan de manera ordenada en la Base de Datos de ANSYS. No importa en que parte del programa se encuentre, se puede acceder a los datos de entrada o salida desde cualquier nivel, ya que se trabaja con una única Base de Datos. Esto permite listar, mostrar, modificar, o borrar cualquier dato específico de una manera rápida y fácil.

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2.3.3 Análisis con ANSYS

El programa ANSYS es capaz de ejecutar una gran variedad de análisis por elementos finitos, desde un simple análisis lineal-estático hasta un complejo análisis no lineal-dinámico y transitorio. Cualquiera que sea el tipo de análisis, existen unos pasos comunes a seguir.

El procedimiento para un análisis con ANSYS está dividido en tres pasos distintos:

 Preproceso.

 Solución y ensamblaje.

 Postproceso.

Para la realización de este apartado, se ha tomado como referencia la información obtenida en el curso de promoción educativa realizado por el Servicio de Apoyo a la Investigación Tecnológica (SAIT): El Método de los Elementos Finitos. Aplicaciones con ANSYS (Cartagena, 2001).

2.3.3.1 Preproceso

2.3.3.1.1 Definición de la geometría

La geometría del modelo se puede definir de dos formas: mediante puntos, líneas, superficies y volúmenes (puntos para definir líneas, líneas para definir superficies, y superficies para construir volúmenes), ó mediante una definición directa de superficies y volúmenes. Cuando se opta por la generación automática de mallas, pueden aparecer errores de conexión entre elementos, pudiéndose dar los siguientes casos:

 Conexión de nodos que están dentro de un radio predefinido.

 Generación de bordes comunes definidos por curvas de diferente orden.

También cabe la posibilidad de haber aproximado una curva real por otra de orden más bajo apareciendo así pendientes discontinuas en la unión, constituyendo un falso concentrador de tensiones. Se pueden utilizar curvas spline en las cuales las pendientes en los extremos que se conectan se hacen iguales.

Por otro lado, el error puede aparecer después de mallar, debido a que las funciones de forma de los elementos pueden estar definidas por elementos de bajo orden, sin continuidad de la pendiente.

En los casos en que exista intersección de sólidos y superficies, si éstos son muy diferentes, aparecen concentradores de tensión a lo largo de la línea de intersección.

2.3.3.1.2 Elección de los tipos de elementos

El tipo de elemento a utilizar debe ser el apropiado para resolver cada problema: térmico, estructural, etc. En el caso estructural, la elección de los elementos depende de la forma en que la estructura transmite la carga. Los tipos de comportamiento son:

 Membrana. El elemento resiste cargas en su plano y no tiene rigidez normal a su plano.

 Placa. El elemento resiste cargas normales a su plano.

 Lámina. Combina los dos casos anteriores.

(24)

 Sólidos. Análisis de elementos tridimensionales.

 Axilsimétricos. Para cuerpos de revolución.

Por razones de precisión y coste computacional, es conveniente utilizar siempre el elemento más sencillo dentro de los que puedan dar un adecuado resultado.

2.3.3.1.3 Características del material

La propiedad más importante es la relación entre la tensión y la deformación (Módulo de Young o módulo de elasticidad longitudinal).

Para materiales isótropos (las propiedades no dependen de la dirección), y homogéneos (propiedades constantes en todo el material), sólo es necesario dar un valor para cada propiedad del material dentro del elemento. En elasticidad tridimensional, para definir la relación tensión-deformación son necesarias dos magnitudes independientes (módulo de elasticidad longitudinal y coeficiente de Poisson).

Para materiales isótropos y no homogéneos (p. ej: debido a cambios de temperatura), hay que especificar las propiedades del material en varios puntos del elemento o dar una tabla de propiedades para que el programa obtenga el valor necesario mediante interpolación. Los materiales no isótropos son de naturaleza fibrosa (plásticos reforzados), así otros de comportamiento más complejo se idealizan como tales (hormigón armado, placas reforzadas, etc.).

Para el análisis dinámico es necesario introducir la densidad del material, el Módulo de Young y el coeficiente de Poisson. Para el análisis térmico son necesarios los coeficientes de dilatación térmica.

2.3.3.1.4 Generación de la malla Definición

Se distinguen las siguientes modalidades:

 Mallado libre. En operaciones de mallado libre no se requieren restricciones especiales en el modelo sólido. En el mallado libre los elementos de superficie utilizados pueden presentar formas diversas o bien definirse una única configuración (triangular o tetraédrica), pudiendo especificar la forma deseada.

 Mallado mapeado. Mallado en el que se especifica que el programa implementa elementos de área tetraédrica, así como los elementos de volumen hexaédricos (ladrillos) con el fin de generar un mallado mapeado. El mallado mapeado requiere que el área o volumen sea regular.

 Mallado adaptativo. A partir de un mallado primario o inicial, el propio programa varía la malla automáticamente con el fin de conseguir un error determinado en un número de iteraciones máximas.

Tratamiento de la malla

La densidad de la malla depende principalmente del tipo de elemento utilizado, y de la distribución de tensiones esperada en la estructura. Es fundamental elegir una densidad de malla adecuada para resolver el problema, ya que si es demasiado basta, no se consigue una solución correcta, y si es demasiado fina el coste del análisis es desproporcionado. Para

(25)

definir una buena malla es necesario tener alguna idea de la distribución de tensiones, en general es suficiente con conocer las zonas con gradientes de tensiones altos, adoptando mallas finas en las zonas de cambio rápido de tensiones, y mallas más groseras en las áreas en las que las tensiones varían lentamente o son casi constantes.

Por otro lado, el usuario debe conocer la respuesta del elemento y las aproximaciones utilizadas en su formulación. Los elementos lineales requieren mallas más finas que los parabólicos, y estos más que los cúbicos.

Si se cumple la compatibilidad de desplazamientos a través de toda la estructura, se garantiza la convergencia monótona hacia la solución, a medida que se refina la malla. Si no hay continuidad no se puede asegurar esta convergencia, y los resultados pueden oscilar alrededor de la solución final, a medida que se refina la malla o pueden converger a una solución errónea.

Los cambios rápidos de tensión ocurren en cualquier tipo de discontinuidad: en la geometría, en la carga, en las propiedades del material, etc.

En problemas de elasticidad, las ecuaciones son tales que cualquier forma de discontinuidad sólo produce una perturbación local del campo de las tensiones, y el efecto de la discontinuidad decae con la distancia, produciendo una concentración local de tensiones (Principio de Sain-Venant). En cada caso existe una longitud de decaimiento, que es la que define los cambios en la densidad de la malla, siendo necesario utilizar "mallas graduadas" a lo largo de la longitud de decaimiento. Si el objetivo del análisis no es encontrar la magnitud de la concentración de tensiones en una zona, sino en una zona suficientemente alejada, puede emplearse una malla más basta en la zona de la discontinuidad, y la tensión obtenida en la zona de interés sigue siendo segura (si se ponen las condiciones de contorno y las leyes de transmisión de carga en la zona de interés).

Para generar la malla completa de una estructura, puede optarse por dos formas:

 Malla de densidad uniforme sobre toda la estructura, con el tamaño del elemento definido por la zona más exigente.

 Malla de densidad variable:

 Variando los tamaños de los elementos y manteniendo el mismo número de elementos en los lados opuestos.

 Variando el número de elementos a lo largo de los lados opuestos.

 Con refinamiento automático de la malla.

Es casi imposible verificar una malla sin disponer de facilidades gráficas. Los requerimientos gráficos mínimos son:

 Pantalla con resolución de 1024 x 1024 pixels.

 Posibilidad de ver la numeración de nodos y elementos.

 Posibilidad de seleccionar partes de la estructura para su visualización.

 Posibilidad de cambiar los puntos de vista y de mira.

 Posibilidad de escalado selectivo en cualquier dirección.

 Posibilidad de vistas explotadas.

 Control de operaciones por cursor o por teclado.

 Posibilidad de ocultar líneas.

(26)

 Indicadores de nodos cercanos pero no conectados.

 Dibujo de formas reales (frente a modelos alámbricos).

 Representación de ejes principales en vigas, placas, láminas, etc., ensamblaje de la matriz de rigidez y vectores de cargas.

2.3.3.2 Ensamblaje y solución Ensamblaje

En cada fase de la aplicación del MEF (Métodos de los Elementos Finitos) hay que realizar una serie de comprobaciones con el objetivo de asegurar una realización correcta del mismo, destacando:

 Antes del análisis. Se realiza durante la generación de la malla y el proceso de formación de la matriz de rigidez y vectores de cargas.

 Durante el análisis. Son las comprobaciones de la consistencia de los datos y del condicionamiento del sistema de ecuaciones.

 Errores fatales. No se puede continuar, finaliza la ejecución.

 Avisos. Indican inconsistencias. Se puede continuar.

 Después del análisis. Para investigar los resultados y para intentar confirmar que la solución obtenida es correcta. En general se suele comprobar el orden de magnitud de los resultados obtenidos.

Los problemas que pueden aparecer a la hora de la generación y ensamblaje de elementos son debido principalmente a:

 Una excesiva distorsión de elementos;

 Conexión incorrecta entre elementos, ó

 Una mezcla incorrecta de los tipos de elementos.

Solución

El sistema de ecuaciones final que resulta es de la forma A x = b

el cual se puede resolver mediante los siguientes métodos:

 Métodos iterativos. Gauss-Seidel. De gran facilidad de programación, pero con una convergencia impredecible para las ecuaciones del MEF.

 Métodos directos.

 Eliminación de Gauss.

 Factorización:

Gauss A = L U

Choleski A = L L Método frontal

2.3.3.3 Postproceso

El módulo de postproceso de un programa de elementos finitos permite la lectura de los resultados obtenidos tras realizar el análisis, lectura que puede hacerse de manera gráfica o listada.

(27)

Los resultados básicos son los desplazamientos en nodos, y mediante interpolación, en el resto del dominio. Mediante derivación se obtienen deformaciones y tensiones, y multiplicando rigideces por desplazamientos se obtienen reacciones y fuerzas en los nodos.

En general suelen ser resultados buenos, incluso con mallas bastas, aunque la solución dada por el MEF siempre es más rígida que la real.

Los resultados en tensiones presentan mayor error que en desplazamientos, y son utilizados en el diseño a resistencia y para diferentes casos de carga, simples y combinaciones; pueden leerse en sistemas de coordenadas globales o locales. A menudo los mayores errores se dan en el contorno y los menores en los nodos interiores (puntos de Gauss).

(28)

21

3 Optimización de topología en el programa ANSYS

INTRODUCCIÓN 3.1

En este capítulo se tratará el módulo de optimización de ANSYS, con sus herramientas y métodos.

A continuación se desarrolla la teoría de la optimización de topología y se describen los comandos de ANSYS que hacen posible la optimización de topología de los elementos estructurales del presente proyecto.

OPTIMIZACIÓN EN ANSYS 3.2

El módulo de optimización (/OPT) es una parte esencial del programa ANSYS que puede ser empleada para determinar el diseño óptimo. Este diseño óptimo es el mejor diseño en algún sentido predefinido. Entre muchos ejemplos, el diseño óptimo para una estructura puede ser uno con peso mínimo o frecuencia máxima; en la transferencia de calor, la temperatura mínima ; en el diseño de un motor magnético, el pico máximo del momento de torsión. En muchas otras situaciones la minimización de una sola función puede no ser la única meta y la atención debe ser dirigida a satisfacer las limitaciones predefinidas colocadas en el diseño (por ejemplo, límites de tensión, geometría, desplazamiento, flujo de calor, etc.).

Para obtener un diseño óptimo, las rutinas de optimización de ANSYS emplean tres tipos de variables que caracterizan el proceso del diseño: las variables de diseño ,las variables de estado y la función objetivo. Estas variables son representadas por parámetros escalares en ANSYS mediante el Idioma Paramétrico del Diseño (APDL). El uso del APDL es una paso esencial en el proceso de optimización.

Las variables independientes en un proceso de optimización son las variables de diseño.

El vector de variables de diseño es indicado por



x x x_n



x ₁, ₂,, (3-1)

Las variables del diseño están sujetas a n restricciones con límites superior e inferior, esto es,

1, 2, ,

i i i

x  x x i n (3-2)

(29)

22 OPTIMIZACIÓN DE TOPOLOGÍA EN EL PROGRAMA ANSYS

donde n es el número de variables de diseño.

Las restricciones de las variables de diseño a menudo son llamadas restricciones laterales y definen lo que se llama comúnmente el espacio posible del diseño.

La formulación matemática del problema de optimización es Encontrar el vector de variables de diseño x que

minimice la función objetivo ) ( x f

f  (3-3)

sujeto a las restricciones

) 1,2,3,...

( g )

(x i m₁

g_i  _i  (3-4)

) , 3 , 2 , 1 ( ) (

h_i h_i x i m₂ (3-5)

) 1,2,3, (

)

(x w i m₃

w

w_i  _i  _i   (3-6)

donde:

f es la función objetivo,

gi, hi, wi son las variables de estado conteniendo el diseño, con la barra inferior y con la barra superior representando los limites inferior y superior, respectivamente, (entrada MIN, MAX, comando OPVAR), y

m₁, m₂, m₃ son los números de restricciones.

Las variables de estado pueden estar referidas también a variables dependientes que varían con el vector x de variables de diseño.

Las Ecs. (3.3) a (3.6) representan un problema de minimización cuyo objetivo es la reducción de la función objetivo f bajo las limitaciones impuestas por las Ecs. (3.2), (3.4), (3.5) y (3.6).

3.2.1 Conjuntos de Diseño Factibles y no Factibles

Las configuraciones que satisfacen todas las limitaciones se conocen como diseños factibles.

Las configuraciones con una o más restricciones que no se cumplen se llaman no factibles. Al definir el espacio posible de diseño, se añade una tolerancia a cada límite de la variable de estado.

Así, si x* es un conjunto de diseño definido como

* * * *

1 2 3

* ( , , , , )_n

x  x x x x (3-7)

el diseño es factible solo si se cumple

) (

g ) ( g

g_i^*  _i x^*  _i _i im₁ (3-8)

























 ^* ^ ₂

-

h_i _i h_i h_i x i  m (3-9)





























 w ^ w x^ w i m_

w_i _i _i _i( ) _i _i  (3-10)

donde:

α¡, β_¡, y γ_¡ son las tolerancias (introducidas como TOLER en el comando OPVAR) y

) , , 3 , 2 , 1

* (

n i

x x

x_i  _i  _i   (3-11)

(no se añade ninguna tolerancia a las limitaciones de las variables de diseño).

Las Ecs. (3.8) a (3.11) son las declaraciones que definen un conjunto factible de diseño en las rutinas de optimización de ANSYS.

(30)

OPTIMIZACIÓN DE TOPOLOGÍA EN EL PROGRAMA ANSYS 23

3.2.2 El Conjunto del Diseño Óptimo

Como los conjuntos de diseño son generados por métodos o herramientas (discutido a continuación) y si una función objetivo está definida, el conjunto óptimo de diseño se calcula y su número se almacena. El conjunto óptimo se determina bajo una de las condiciones siguientes.

1. Si existen uno o más conjuntos posibles el conjunto de diseño óptimo es el factible con la función objetivo de valor más bajo. Es decir, es el conjunto que cumple con las metas matemáticas expresadas en las Ecs. (3.3) a (3.6).

2. Si todos los conjuntos del diseño son no factibles, el mejor conjunto del diseño es el que más se aproxime ese diseño factible, independientemente del valor de su función objetivo.

3.2.3 Los Métodos de optimización y las herramientas de Diseño

El procedimiento de optimización de ANSYS ofrece varios métodos y herramientas que de varias maneras procuran dirigir el problema matemático señalado anteriormente. Los métodos de optimización de ANSYS realizan una minimización de la función objetivo de la Ec. (3.3).

Se mostrará que ellos transforman el problema con restricciones en uno sin restricciones, que es el que finalmente se minimiza. Las herramientas de diseño, por otro lado, no realizan directamente la minimización. El uso de las herramientas ofrece formas alternativas para entender el espacio de diseño y la respuesta de las variables dependientes. Los métodos y las herramientas se discuten en las secciones siguientes.

3.2.3.1 Análisis con la herramienta del lazo simple

Esta es una herramienta sencilla y muy directa para entender el espacio del diseño. No es necesario, pero puede ser útil, calcular los valores de las variables de estado o de la función objetivo.

Las variables de diseño están todas definidas explícitamente por el usuario. Un lazo simple equivale a una análisis completo del elemento (FEA) (es decir, una o más entradas en /PREP7, /SOLUTIÓN, /POST1, y /POST26 analiza) (escogido con el comando OPTYPE,RUN).

Al principio de cada iteración, el usuario define los valores de las variables de diseño x = x^* son las variables de diseño definidas por el usuario (3-12) y ejecuta un lazo simple o iteración. Si se han definido variables de estado o función objetivo, se obtendrán los valores de g¡*, h¡*, w¡* y f*.

3.2.3.2 La herramienta aleatoria

Esta herramienta de diseño llenará el vector de variables de diseño con valores aleatorios engendrados en cada iteración (se selecciona con el comando OPTYPE, RAND).

x = x^* = vector generado aleatoriamente (3-13) en este caso f*, g¡*, h¡* y w¡* (si están definidas) tomarán los valores correspondientes a x*.

La función objetivo y las variables de estado no necesitan estar definidas, pero puede ser útil definirlas si se piensa realizar la optimización a continuación

.

Cada iteración de diseño aleatoria es equivalente a un lazo completo de análisis. Las iteraciones aleatorias continúan hasta que se satisfaga alguna de las condiciones siguientes

nr = Nr (3-14)

nf = Nf, Si Nf ≥ 1 (3-15)

(31)

24 OPTIMIZACIÓN DE TOPOLOGÍA EN EL PROGRAMA ANSYS

donde:

nr es el número de iteraciones aleatorias realizadas por cada ejecución.

n_f es el número total de conjuntos posibles de diseño (inclusive conjuntos posibles de ejecuciones previas).

N_r es el número máximo de iteraciones (entrada NITR, comando OPRAND).

Nf es el número deseado de conjuntos posibles de diseño (entrada NFEAS, comando OPRAND).

3.2.3.3 La herramienta de barrido

La herramienta de barrido se utiliza para escanear el espacio global de diseño definido por el usuario, definido por el conjunto de diseño (se selecciona con el comando OPTYPE, SWEEP). Durante la ejecución, se realiza un barrido en la dirección de cada variable de diseño al tener todas las otras variables del diseño fijadas y sus valores de referencia. Las variables de estado y la función objetivo son calculadas y almacenanadas para el despliegue subsiguiente en cada barrido el punto de la evaluación. La ejecución de un barrido producirá el cálculo de n_s conjuntos de diseño

nS = nNS (3-16)

donde:

n es el número de variables de diseño

N_S es el número de evaluaciones a realizar para hacia cada variable del diseño (entrada NSPS, comando OPSWEEP).

Por ejemplo, se considera una porción de un barrido que se realiza para la variable de diseño k. Por simplicidad, sean los conjuntos de diseño resultantes los números m + 1, m + 2 , etc., donde m son todos los conjuntos que existieron antes de esta parte del barrido. Las variables de diseño de un diseño dado m +i deberían expresarse como

) , , 3 , 2 , 1 ( )

1

( ⁽ ⁾

) ( ) (

s k

k r

i

m x i x e i N

x ^       (3-17)

donde:

x^(r) son las variables del diseño de la referencia con x_ken la componente kth y

valores fijos en todos los otros componentes. r se refiere al diseño de la referencia el número fijo (entrada Dset en el comando OPSWEEP), y

e^(k) es un vector con 1 en su componente de kth y 0 para todas las otros

componentes. El incremento del barrido para la variable de diseño k es

 



1



 



s k k

k N

x

x x (3-18)

3.2.3.4 La herramienta factorial

Esta es una herramienta estadística que se puede utilizar para probar todos los puntos extremos en el espacio de diseño (se selecciona utilizando el comando OPTYPE, GRAD).

Los métodos factoriales también se conocen como diseño de experimentos, debido a que esta tecnología proviene de la tecnología asociada con la interpretación de resultados experimentales.

El usuario especifica una evaluación factorial del espacio de diseño, completa o fraccional, (utilizando el comando OPFACT). Una evaluación factorial completa de n variables de diseño creará los nf, conjuntos de diseño de donde

nf =2ⁿ (3-19)

(32)

OPTIMIZACIÓN DE TOPOLOGÍA EN EL PROGRAMA ANSYS 25

cada componente del vector de variables de diseño tomará los valores extremos, esto es

xi = xio xi (3-20)

Así en una evaluación factorial completa, cada combinación de valores extremos de las variables de diseño es considerada en el espacio n-dimensional del diseño. El número de conjuntos generados de diseño asociados con una evaluación factorial fraccional se expresa como

) 2,4,8, (

/

2  

 M M

n_f ⁿ (3-21)

Así, una evaluación factorial fraccional ½ (M = 2) proporcionará la mitad del número de conjuntos de diseño que una evaluación completa.

Los resultados de un instrumento factorial consisten en la salida impresa (comando OPRFA) y los despliegues de la gráfica de barras (comando OPLFA),mostrando los efectos principales, interacciones de 2 variables (n > 1), interacciones de 3 variables (n > 2). Estos efectos y las interacciones se calculan para las variables de estado y la función objetivo.

3.2.3.5 La herramienta gradiente

La herramienta gradiente calcula las derivadas de las variables del estado y la función objetivo con respecto a las variables del diseño (se selecciona mediante el comando OPTYPE,FACT). Un conjunto del diseño de la referencia se define como el punto de la evaluación para el declive (entrada Dset, en el comando OPGRAD). Enfocando en la función objetivo, por ejemplo, permitió que el estado de la referencia sea denotado como

f_r(x) = f (x^(r)) (3-22)

El gradiente de la función objetivo se expresa como

1 2

, ...

r r r

r

n

f f f

f x x x

   

      (3-23)

con respecto a cada variable del diseño, la derivada se aproxima mediante diferencias finitas hacia delante

( ) - ( )

r i r

r

i i

f x x e f x

f

x x

 

 

  (3-24)

donde:

e es el vector con 1 en su componente de ith y 0 para todas las otras componentes

) 100( ⁱ ⁱ

i D x x

x   

 , y

D es la diferencia hacía delante (en tanto por ciento) el tamaño del paso (entrada DELTA, comando OPGRAD).

Para cada variable de estado se realizan cálculos semejantes.

MÉTODO DE APROXIMACIÓN POR SUBPROBLEMAS 3.3

Este método de optimización se puede describir como un método de orden cero avanzado, en el que se requieren sólo los valores de las variables dependientes (función objetivo y variables de estado) y no sus derivadas (se selecciona con el comando OPTYPE, SUBP). Las variables dependientes son reemplazadas con aproximaciones por medio de mínimos cuadrados, y el problema restringido se convierte en un problema sin restricciones utilizando funciones de