REALIZAR OPERACIONES CON POTENCIAS

(1)

Nombre: Curso: Fecha:

2

POTENCIA

t Un número a, llamado base, elevado a un exponente natural n es igual al resultado de multiplicar a por sí mismo n veces:

a ? a ? a ? a ? a ? … ? a an

n: exponente (indica cuántas veces se multiplica la base). an

a: base t Se lee: «a elevado a n».

n veces

F

6 ? 6 ? 6 63 Se lee: «seis elevado a tres».

EJEMPLO

1 _Completa.

a) 29 ? 29 ? 29 ? 29 ? 29 «...» b) 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 «...»

c) 135 _«...»

d) «siete elevado a cuatro»

e) «nueve elevado a cinco»

MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS

t $PNPMBTQPUFODJBTTPONVMUJQMJDBDJPOFTBQMJDBOEPMBEFGJOJDJØOEFQPUFODJBUFOFNPTRVF 34_?₃3₃_?₃_?₃_?₃_?₃_?₃_?_{3 3}7

52_?₅4₅_?₅_?₅_?₅_?₅_?_{5 5}6 Exponente

t -BTQPUFODJBTIBOEFUFOFSMBmisma base para poder sumar los exponentes.

32_?₅4₃_?₃_?₅_?₅_?₅_?_{5 No se puede poner como una sola potencia.} t -BGØSNVMBHFOFSBMQBSBmultiplicar potencias de la misma base es:

an_?_am_anm

2 Realiza las siguientes operaciones.

a) 102_?₁₀5 _{d) 3}2_?₃6 _{g) 11}3_?₁₁3 b) 74_?₇2₇ _{e) 3}3_?₃3_?₃5 _I5_?₁₉7

c) 113_?₁₁2_?₁₁ _G _?₃5₃7 _{i) 2}2_? ₂5

2

REALIZAR OPERACIONES CON POTENCIAS

(2)

.BUFSJBMGPUPDPQJBCMFª4BOUJMMBOB&EVDBDJØO4-Nombre: Curso: Fecha: DIVISIÓN DE POTENCIAS t 1BSBEJWJEJSQPUFODJBTDPOJHVBMCBTFTFSFTUBOMPTFYQPOFOUFTan_{: a}m_an m_. t 5FOFODVFOUBRVFMBEJWJTJØOFOUSFQPUFODJBTEFEJTUJOUBCBTFOPTFQVFEFSFBMJ[BS ZEFCFRVFEBSJOEJDBEB 75_{: 7}2 ? ? ? ? ? ? ? 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 2 5 3 EJEMPLO

3 _{Calcula estas operaciones.}

a) 5 5: ? 5 5 _{5 5} 6 4 4 6 b) ? ? ? ? ? ? ? ? ? : 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 7 4

_?

c) 1153 _{d) 13}62 _{e) 7}32

4 Realiza las divisiones.

a) 354 _{c) 4}6 ₄3 _{e) 5}7 ₅2 b) 2₇5 _{d) 12}74 _{f) 6}25 t )BZPQFSBDJPOFTRVFDPNCJOBOMBNVMUJQMJDBDJØOZMBEJWJTJØO&OFTUPTDBTPTSFBMJ[BNPT MBTPQFSBDJPOFTQBTPBQBTP ? ? 3 3 3 3 3 3 ₃ 6 2 5 6 8 2 ? ? 5 5 5 5 5 5 ₅ 2 3 6 3 5 9 4 t 3FDVFSEBRVFTPMPQPEFNPTPQFSBSDPOQPUFODJBTEFMBNJTNBCBTF ? ? ? ? ? 7 7 7 7 5 7 7 5 _{7 5} 2 2 3 2 3 5 2 2 2

5 _{Completa las siguientes operaciones.}

a) (25_?₂4 3_?₂2₎ 2 2 b) (115_?₁₁2_?₁₁3 4_?₁₁₎ c) (1052₎_?₁₀5 _? F F 209

(3)

.BUFSJBMGPUPDPQJBCMFª4BOUJMMBOB&EVDBDJØO4-Nombre: Curso: Fecha:

REALIZAR OPERACIONES CON POTENCIAS

2

POTENCIA DE UNA POTENCIA

t 4JFMFWBNPTVOBQPUFODJBBPUSBQPUFODJBFMSFTVMUBEPFTVOBQPUFODJBDPOMBNJTNBCBTFZDVZP FYQPOFOUFFTFMQSPEVDUPEFMPTFYQPOFOUFT (an₎p_an ? p (72₎3₍₇_?₇₎3₍₇_?₇₎_?₍₇_?₇₎_?₍₇_?_{7) 7}_?₇_?₇_?₇_?₇_?_{7 7}6 (54₎2₍₅_?₅_?₅_?₅₎2₍₅_?₅_?₅_?₅₎_?₍₅_?₅_?₅_?_{5) 5}_?₅_?₅_?₅_?₅_?₅_?₅_?_{5 5}8 EJEMPLO

6 _{Completa las siguientes operaciones.}

B 3₎4₇ _F2_{) 4}8 C 3_{) 3}15 _{f) (2}5₎2₂ D 2_{) 6}12 _{g) (5}3₎4₅ E 3₎15 _{h) (10}2₎3₁₀ t )BZPQFSBDJPOFTDPNCJOBEBTRVFQSFTFOUBOMBTUSFTPQFSBDJPOFTFTUVEJBEBTIBTUBFMNPNFOUP t "OUFTEFDPNFO[BSTVFTUVEJPWFBNPTMBTSFHMBTQBSBPQFSBS an_?_am_anm _am_:_an_amn _(an₎m_an?m

multiplicación división potencia de una potencia

(25_?₂4_{) : (2}2₎3 ? ( )2 2 2 2 2 ₂ 2 3 5 4 6 9 3 EJEMPLO

7 Realiza las operaciones. B 52₎3₁ ₂3_{( )}3 C 73₎_?₍₅62₎ _? D 3₎4 2_?₁₀3₎ E 2₎3_?₍₄5₎2 F 52₎_?₍₆3₎4 f) (72_?₍₇3₎2

(4)

ESO.BUFSJBMGPUPDPQJBCMFª4BOUJMMBOB&EVDBDJØO4-Nombre: Curso: Fecha:

POTENCIA DE UNA FRACCIÓN

t 1BSBFMFWBSVOBGSBDDJØOBVOBQPUFODJBTFFMFWBOFMOVNFSBEPSZFMEFOPNJOBEPSBEJDIBQPUFODJB b a b a n n n F P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 3 2 243 32 5 5 5 F P EJEMPLO 8 Opera. a) 5 2 7 F P d) 7 3 3 F P b) 10 6 3 F P e) 5 1 4 F P c) 3 4 5 F P f) 3 2 6 F P

9 Completa el ejercicio y resuélvelo:

4 3 4 3 2 F P t 7FBNPTFMOÞNFSPEFCMPRVFTFOMPTRVFRVFEBEJWJEJEBMBPQFSBDJØO &OFTUFDBTPUFOFNPTEPTCMPRVFTTFQBSBEPTQPSFMTJHOP 4 3 2 F P ₄3 A B t 3FBMJ[BNPTMBTPQFSBDJPOFTEFDBEBCMPRVF A: 4 3 2 F P B: ₄3 &OFTUFCMPRVFOPQPEFNPTPQFSBS 4 3 t 5FOFNPTRVFSFTPMWFSMBSFTUBQFSPQBSBFMMPOFDFTJUBNPTFMEFOPNJOBEPSDPNÞO &MEFOPNJOBEPSDPNÞOFT —— —— —— —— t "IPSBTÓQPEFNPTSFTUBSSPMVDJØO F 211

(5)

REALIZAR OPERACIONES CON POTENCIAS

2

POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO

t "MFGFDUVBSVOBEJWJTJØOEFQPUFODJBTFMSFTVMUBEPQVFEFTFSVOBQPUFODJBEFFYQPOFOUFOFHBUJWP ? ? ? ? ? ? ? : 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1 7 1 7 3 5 5 3 2 2 t &TEFDJSVOOÞNFSPFOUFSPFMFWBEPBVOBQPUFODJBOFHBUJWBFTVOBGSBDDJØO ? ? ? 3 3 1 3 3 3 3 1 81 1 4 4 t &OHFOFSBMMBTQPUFODJBTEFFYQPOFOUFOFHBUJWPTFEFGJOFODPNPa n _a1n t -BTQPUFODJBTEFFYQPOFOUFOFHBUJWPDVNQMFOMBTNJTNBTQSPQJFEBEFTRVFMBTQPUFODJBT EFFYQPOFOUFOBUVSBM

10 Opera con exponentes negativos. B 2_{? 3}2 ? 52 1 52 25 3 3 C 2_?7_?3₅2_? 1 _?₅3 5 52? 3 D 3_{? 2}4 ₆3_? 1 ₍_{2 3}_? ₎3_? 1 2 33? 3 E 3_{? 7}2_{? 7}4 _? _? 1 F 3_{? 2}3_{? 8 4}3_? _{? 8 (2 ?}3_? _{? 2}3

11 Expresa en forma de potencia de la base indicada en cada caso.

F F 4 2 ? 2 F F 8 2 ? 2 ? 2 23 F F 2 ? 3

Operación Base Resultado

7_? ₃

43 ₂

3

32 ₂

34 ₇

(6)

NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

t -BFYQSFTJØOEFVOOÞNFSPFOnotación científicaDPOTJTUFFOSFQSFTFOUBSMPDPNPVOOÞNFSP FOUFSPPVOOÞNFSPEFDJNBMDPOVOBTPMBDJGSBFOUFSBEJTUJOUBEFDFSPNVMUJQMJDBEPQPSVOBQPUFODJB EF QPTJUJWBPOFHBUJWB 102_{10 ? 10}₁₀₀_{1 ? 10}2 ? ? , 10 10 1 10 10 10 1 0 001 3 3 1 ? 103 t -MBNBNPTorden de magnitudEFVOOÞNFSPFYQSFTBEPFOOPUBDJØODJFOUÓGJDBBMFYQPOFOUF EFMBQPUFODJBEF

Expresa en notación científica el número 3 220 000.

%FTQMB[BNPTMBDPNBTFJTMVHBSFTBMBJ[RVJFSEBZNVMUJQMJDBNPTQPS6 /05"$*»/%&$*."- NOTACIÓN CIENTÍFICA

3 220 000 ? 106

/Á.&30%&$*."- 105&/$*"%& Determina el orden de magnitud del número anterior.

&MPSEFOEFNBHOJUVEFTZBRVFFMFYQPOFOUFEFMBQPUFODJBEFFT

F F

EJEMPLO

1 _{Realiza las operaciones.}

a) 10 3 b) 10 4 c) 105 d) 104 1 _{0 0}_{, ...} e) 106 G 3

2 Escribe en forma decimal estos números expresados en notación científica.

B ?10 4_?_{10 000}

C ?102_? 1

3 _{Escribe, con todas sus cifras, estos números escritos en notación científica.}

B ?106 C ?108 D ?103 E ?10 4 F ?1012 213 %¶""%¶"&/&-"6-" MATEMÁTICAS 3.° ESO

(7)

EXPRESAR NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

2

4 ¿Cuál de estos números es mayor?

7,1 ? 103 _4,2_?₁₀2 _1,2_?₁₀4

0,0071 0, 0,

El mayor número es:

5 Los siguientes números no están correctamente escritos en notación científica. Escríbelos de la forma adecuada.

Número Expresión correcta

12,3 ? 1015 0,6 ? 109 325 ? 10 3 0,002 ? 102 6 012 ? 10 4 1,3 ? 10 3

6 Expresa en notación científica.

a) Mil trescientos cuarenta billones. b) Doscientas cincuenta milésimas. c) Treinta y siete.

d) Cuarenta y tres billones. e) Seiscientos ochenta mil. f) Tres billonésimas.

7 Indica el orden de magnitud de cada uno de estos números.

a) 1,3 ? 10 3 b) 6 ? 104 c) 3,2 ?₁₀7 d) 8 ?₁₀5 e) 2,6 ?₁₀4 f) 1,9 ?₁₀2 F F F

(8)

SUMAR Y RESTAR EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

Para sumar (o restar) números en notación científica se reducen al mismo orden de magnitud y, luego, se suman (o restan) los números decimales y se mantiene la misma potencia de 10.

Realiza las siguientes operaciones.

3,5 ? 103_5,2_?₁₀3_(3,5_5,2)_?₁₀3_8,7_?₁₀3

Si los exponentes de las potencias son iguales, se suman los números decimales y se deja la misma potencia de base 10.

3,5 ? 104 5,2 ? 103 3,5 ? 10 4_0,52_?₁₀4

Si los exponentes de las potencias son diferentes, se reduce al mayor.

(3,5 0,52) ? 104_4,02_?₁₀4

Luego se suman los números decimales y se deja la misma potencia de base 10.

F

F EJEMPLO

ACTIVIDADES

1 _{Completa estas sumas y restas.} a) 17 000 3,2 ? 10 3₂₃₂_?₁₀2

17 ? 10 3_3,2_?₁₀3 _?₁₀3₍ ₎_?₁₀3

b) 0,00035 5,7 ? 104_7,2_?₁₀3₌

? 10 ? 10 ? 10 ( ) ? 10

Han de tener el mismo exponente. c) 1,9 ? 105_3,2_?₁₀7

d) 6 ? 104_4,5_?₁₀2

2 _{Realiza las operaciones en notación científica.}

a) 37,3 ? 106 _8,4_?₁₀5 _{c) 1,15}_?₁₀4 ₃_?₁₀5

b) 9,32 ? 103 _5,6_?₁₀2 _{d) 3,6}_?₁₀12 ₂_?₁₀12

F I F

215 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

(9)

REALIZAR MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES EN NOTACIÓN

CIENTÍFICA

2

MULTIPLICAR EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

Para multiplicar números en notación científica se multiplican los números decimales y las potencias de 10. Es decir, se obtiene un número cuya parte decimal es igual al producto de los números decimales, y cuya potencia de 10 tiene un exponente que es igual a la suma de los exponentes de cada una de ellas.

1 _{Completa siguiendo el modelo anterior.}

a) 13 500 000 ? (3,5 ? 105) F

Pasamos a notación científica (1,35 ? 10 ) ? (3,5 ? 10

5₎ F Operamos (1,35 ? 3,5) ? 10 ? 10 5 F b) (4,5 ? 105₎_?_0,032 _F _(4,5_?₁₀5₎_?_(3,2_?_{10 )} F F

Pasamos a notación científica

c) 0,00013 ? 0,002 F

F

2 _{Efectúa en notación científica.}

a) (34 ? 10 3₎_?_(25,2_?₁₀2₎ b) (8,06 ? 109₎_?_(0,65_?₁₀7₎ c) (37,3 ? 102₎_?_(0,01_?₁₀2₎ d) (0,00000009) ? (1,5 ? 106₎ e) (33,57) ? (4,3 ? 104₎ f) (3 ? 105₎_?_(2,5_?₁₀11₎ 3 457 ? (4,3 ? 104₎ _F

Pasamos a notación científica (3,457 ? 10

3₎_?_(4,3_?₁₀4₎ F

Multiplicamos los números y las potencias de 10 (3,457 ? 4,3) ? 10 3_?₁₀4 F

Escribimos el resultado 14,8651 ? 10

7

F

Pasamos a notación científica 1,48651 ? 10

8

EJEMPLO

(10)

DIVIDIR EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

Para dividir números en notación científica se dividen los números decimales y las potencias de 10. Es decir, el número decimal es igual a la división de los números decimales y la potencia de 10 tiene un exponente que es igual a la resta de los exponentes de cada una de ellas.

14 000 000 : (3,2 ? 1012₎ _F

Pasamos a notación científica (1,4 ? 10

7_{) : (3,2}_?₁₀12₎

F

Dividimos las partes enteras o decimales y las potencias de 10

? ? ? ( , ) ( , ) , , 3 2 10 1 4 10 3 2 1 4 10 10 12 7 12 7 F Calculamos el resultado 0,4375 ? 105 F

Pasamos a notación decimal 4,375 ? 10

6

EJEMPLO

3 Completa la siguiente operación.

13 500 000 : (4,3 ? 105₎ _F

Pasamos a notación científica (1,35 ? ) : ( )

F Pasamos a fracción ?10 ?10 F ? 105 F

4 Realiza las operaciones en notación científica. a) (0,75 ? 107_{) : (0,3}_?₁₀3₎ b) (13 650 000 000) : (6,5 ? 1015₎ c) (14 310 ? 10 3_{) : (5,4}_?₁₀5₎ d) (9 ? 106_{) : (3}_?₁₀4₎ e) (20 100 ? 10 3_{) : (6,7}_?₁₀5₎ f) (6 ? 10 4_{) : (3}_?₁₀2₎ g) (15 320) : (20 ? 10 4₎ h) (6 ? 107_{) : (1,2}_?₁₀5₎ 217

(11)

RECONOCER DIFERENTES TIPOS DE NÚMEROS REALES

Y REALIZAR APROXIMACIONES DE NÚMEROS REALES

2

Los números irracionales son los que no se pueden expresar como una fracción. Su forma decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas.

El conjunto de los números reales es el conjunto de números formado por los números racionales y los irracionales.

Para truncar un número decimal hasta un cierto orden, hay que eliminar las cifras decimales del número siguientes a la cifra que indica ese orden.

Para redondear hasta un cierto orden hay que truncar el número, y si la cifra siguiente al orden es mayor o igual que 5, se aumenta una unidad la última cifra decimal. Si es menor que 5, se deja como está.

ACTIVIDADES

1 Clasifica los siguientes números en irracionales o racionales.

a) 3 8, d) p g) 0,010010001… b) 1,234567891011… e) 7 2 _{h )} 3 c) 9 1036, … f) 0,18 i ) 1,313311333111…

2 Trunca y redondea los números de la actividad anterior a las centésimas.

3 _{Indica si es verdadero o falso.}

a) El número p es un número racional cuyo valor es 3,14.

b) El número p es un número irracional que al truncarlo a las décimas es 3,1. c) Los números periódicos son irracionales pues tiene infinitas cifras decimales.

d) Si truncamos 0 3, a las décimas, obtenemos el mismo resultado que si lo redondeamos a las décimas. e) Al redondear el número 8 159, a las milésimas obtenemos 8,160 y si lo truncamos 8,150

(12)

Un intervalo de extremos a y b está formado por todos los números comprendidos entre a y b.

El intervalo se representa en la recta numérica marcando todo el segmento que hay entre los dos números que son extremos.

a b

Un intervalo puede contener a los dos extremos, a uno o a ninguno.

t 4JMPTEPTFYUSFNPTQFSUFOFDFOBMJOUFSWBMPTFEJDFRVFFTDFSSBEPZTFFTDSJCF<a, b]. t 4JMPTFYUSFNPTEFMJOUFSWBMPOPQFSUFOFDFOBÏMTFEJDFRVFFTBCJFSUPZTFFTDSJCF a, b). t 4JFMFYUSFNPNFOPSQFSUFOFDFBMJOUFSWBMPZFMNBZPSOPTFEJDFRVFFTDFSSBEPQPSMBJ[RVJFSEBZBCJFSUPQPSMBEFSFDIBZ TFFTDSJCF<a, b). t 4JFMFYUSFNPNFOPSOPQFSUFOFDFBMJOUFSWBMPZFMNBZPSTÓTFEJDFRVFFTBCJFSUPQPSMBJ[RVJFSEBZDFSSBEPQPSMB EFSFDIBZTFFTDSJCF a, b]. &OMBSFQSFTFOUBDJØOHSÈGJDBFMFYUSFNPBCJFSUPTFSFQSFTFOUBSÈDPOVOQVOUPIVFDPZFMDFSSBEPDPOVOQVOUP a a, b] b ACTIVIDADES

1 Representa en la recta numérica los intervalos (1, 4) y (2,5; 8) e indica tres números que pertenezcan a cada uno de los intervalos.

2 Indica a cuáles de los siguientes intervalos pertenece el 0.

<o> o> <o 3 _{Escribe intervalos con las siguientes condiciones.}

B &MOPQFSUFOFDFQFSPQFSUFOFDFOUPEPTMPTOÞNFSPTNBZPSFTRVFIBTUB

C 1FSUFOFDFOUPEPTMPTOÞNFSPTRVFIBZFOUSFZJODMVJEPTFTUPT

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3.° ESO