Tema 3: Electrostática en presencia de conductores. Parte 4/7 Condensadores y circuitos equivalentes

(1)

Antonio González Fernández

Tema 3: Electrostática en

presencia de conductores

Antonio González Fernández

Departamento de Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Parte 4/7

Condensadores y circuitos

equivalentes

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Las cargas de las superficies son de la misma magnitud y signo opuesto

Definición de condensador: dos

superficies en influencia total

Dos superficies están en influencia total (la 1 con la 2 y la 2 con la 1)

cuando todas las líneas de campo que salen de una van a parar a la otra

La carga en cada una es proporcional a la diferencia de

potencial entre ellas

Se dice entonces que las dos

superficies forman un condensador

Q₁ = −Q₂

Q₁ = C₁₁V₁+ C₁₂V₂ Q₁ = C₁₁V₁− C₁₁V₂

Q₁ = C₁₁(V₁− V₂) La carga neta de un condensador es

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Capacidad de un condensador:

definición y propiedades

Se define la capacidad de un condensador como 1 1 2 Q C V V   1 1 2 Q C V V   1 2 1 2 1 2 Q Q C V V V V      1 2 2 1 2 1 2 2 1 Q Q Q C V V V V V V       

Sólo es aplicable a dos

superficies en influencia total Es indiferente qué superficie llamamos 1 y cuál 2 En el denominador aparece la diferencia de potencial, V₁–V₂ (para un condensador NO es cierto que Q = CV) Se mide en faradios (F) Es siempre positiva

No hay que confundirla con la capacidad de un conductor

El elemento de circuito asociado a la capacidad C

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Procedimiento de cálculo de la

capacidad de un condensador

2 1 1 2 2 ₀     S1 V0 2 0 S    E   0 ·d 1 S Q 



 E S 1 Q Q C V V V    1) Se plantea la ecuación de Laplace 2) Se resuelve 3) Se halla el campo eléctrico 4) Se calcula la carga en la placa a potencial V₀ 5) El cociente da la capacidad

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Capacidad de un condensador esférico

0 11 12 4 ab C C C b a       Q1  C V V



1  2







0 4 50 mF T T R R h C h   

Para dos superficies esféricas concéntricas

Esta capacidad no nos dice nada de lo que ocurre en el exterior del conductor 2, sólo informa de las superficies enfrentadas

En el caso de la Tierra y la ionosfera a = R_T= 6400km b = R_T+h = 6500km

Si las dos superficies están muy próximas,

b = a + d, d << a





0 2 0 0 4 4 a a d C d a S d d     _ 

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Capacidad de un condensador coaxial:

planteamiento

Un condensador coaxial está formado por dos cilindros circulares

concéntricos, de longitud

h, mucho mayor que sus radios, a y b.

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a b _Z

Capacidad de un condensador coaxial:

solución del problema del potencial

1 d d 0 d d _   _    _  _

Hay que resolver 2 _{= 0} ₍_ρ ₌_a₎₌_V

0 (ρ = b) = 0

Si h >> a,b, E ≈ Eu_ρ  = (ρ)

Se desprecian los efectos de borde

La ecuación de

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Capacidad de un condensador coaxial:

cálculo de la capacidad

 

ln A B    

 

0 ln 0 ln V A B a A B b    









0 ln / ln / V b b a    



0



ln / V b a      E u





1 0 0 1 0 2 ·d ln / S hV Q b a   



E S 



0



2 ln / h C b a   La solución es de la forma Imponiendo las c.c. Potencial en a < ρ < b: Campo en a < ρ < b:

Carga en el cilindro interior:

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Capacidad de un condensador plano



z 0



V0



z a



0       z E  E u 0 1 z V a     _  _   1 0 0 1 0 _S ·d 1 SV Q a   



E S  0S C a  

 

z     d2₂ 0 dz   

Lo forman dos placas

conductoras de sección S y separadas una distancia a. Entre ellas se cumple la ec. de Laplace con las c.c.

Despreciando los efectos de borde (suponiendo campo perpendicular a las placas)

Potencial en

0 < z < a:

Carga en el plano a V₀:

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Circuitos equivalentes: modelan los

sistemas reales

En un sistema de conductores

diferentes porciones de la superficie de cada uno se

encuentran en influencia total con las de otros conductores

Podemos modelar el sistema como un conjunto de condensadores

correspondientes a estas

porciones conectadas por líneas de campo

Para ello, hay que seguir una serie de pasos.

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Construcción de circuitos equivalentes:

nodos del circuito

Analizaremos el sistema de cuatro conductores de la figura

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Construcción de circuitos equivalentes:

condensadores entre nodos del circuito

ik ik

C  C

Cuando dos conductores i y k

están apantallados por un

tercero, la capacidad es nula. A continuación se coloca un condensador C_ik conectando cada par de nodos, i y k

En ese caso, puede suprimirse el condensador correspondiente en el esquema (C₁₃ y C₁₄ en este caso)

La capacidad C_ik es

siempre positiva o nula La capacidad C_ik viene

dada por el coeficiente C_ik

cambiado de signo

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Estos condensadores

representan las líneas de campo que van de cada conductor al infinito

Construcción de circuitos equivalentes:

condensadores entre los nodos y tierra

ii ik k

C 



C

Hay que añadir un condensador

C_ii entre cada nodo y tierra

El valor de la autocapacidad

C_ii es la suma de una fila de la matriz de los C_ik

El valor de la autocapacidad

C_ii es la suma de una fila de la matriz de los C_ik

Esta cantidad es siempre positiva o nula

Cuando un conductor está

apantallado y no puede haber líneas entre él y el infinito,

C_ii=0 y puede suprimirse el condensador correspondiente (C₁₁ en este ejemplo)

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¿Por qué se definen de esa forma las

capacidades y autocapacidades?

11 11 12 13

C  C C C _

12 12

C  C

La razón es la expresión de la carga Invirtiendo las relaciones … 12 12 C  C 11 11 12 13 11 12 13 C C C C C C C           



C11 C12 C13



V C V1 12 2 C V13 3    _   _ 1 11 1 12 2 13 3 Q  C V C V  C V _









11 1 12 1 2 13 1 3 C V C V V C V V      _ …

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Relación entre las capacidades y los

coeficientes de capacidad

La relación inversa es ella misma La relación inversa es ella misma ik ik ii ik k C C C C   



La carga usando los C_ik es… La carga usando los C_ik es…

1 11 1 12 2 13 3

Q  C V C V C V _

…y usando los C_ik









1 11 1 12 1 2 Q C V C V V C V V       _ Se relacionan por Se relacionan por ik ik ii ik k C C C C   



Diagonales (i = k) No diagonales (i ≠ k) Coeficientes Capacidades 0 ii C  0 C  0 ik C  0 C 

Es importante no confundir los coeficientes de capacidad e

inducción, C_ik, del sistema de conductores, con las capacidades

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Construcción de circuitos equivalentes:

fuentes de tensión

Además de los condensadores hay que añadir fuentes de

tensión para indicar aquellos conductores cuyo voltaje esté fijado

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Para representar la carga de un conductor definimos un "generador de carga"

conectado al nodo correspondiente

Construcción de circuitos equivalentes:

fuentes de carga

En ocasiones los conductores no se encuentran conectados a un generador, sino que están aislados.

La carga de un conductor

aislado permanece constante (no puede ir a ningún sitio)

En el caso de carga nula, puede omitirse (Q =0 en el ejemplo)

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Construcción de circuitos equivalentes:

resumen de todos los pasos

Resumiendo los pasos…

1) Un nodo por cada conductor

4) Una fuente de tensión

conectada a cada nodo a tensión constante

5) Una "fuente de carga"

conectada a cada nodo a carga constante (no, si está descargado)

2) Un condensador por cada par de conductores, de capacidad C_ik. No, si C_ik es nula.

3) Un condensador C_ii entre cada conductor y tierra. No, si C_ii=0

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Construcción de circuitos equivalentes:

aplicación al caso de una esfera

11 11 4 0

C C  C   R

En el caso de una sola esfera conductora a potencial V₀, el circuito equivalente se

reduce a:

Un nodo, que representa a la esfera Un condensador situado entre la esfera y tierra (el infinito), de capacidad

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Dos esferas concéntricas de radios

a y b (a<b), la interior a tensión V₁

y la exterior cargada con Q₂, son equivalentes a:

Construcción de circuitos equivalentes:

aplicación a un caso de dos esferas

0 12 12 4 ab C C b a      2 0 0 22 22 12 0 4 4 4 b ab C C C b b a b a           Dos nodos

Un condensador entre las dos esferas

Un condensador entre el nodo 2 y tierra

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Antonio González Fernández 0 9.092 9.093 0.000 0.000 9.093 15.960 1.568 1.758 0.000 1.563 3.702 1.330 0.000 1.759 1.337 4.069 C    _ _ _          _ _    C

Construcción de circuitos equivalentes:

aplicación a un sistema de 4 conductores

11 12 0 13 14 22 0 23 0 24 0 33 0 34 0 44 0 0 9.09 0 0 3.54 1.55 1.75 0.80 1.33 0.98 C C C C C C C C C C C C C C C C C        Conocida la matriz de coeficientes de capacidad:

obtenemos las capacidades y autocapacidades

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Circuitos equivalentes en un problema

concreto (

3.6 ): planteamiento

Tenemos un conductor esférico, de radio R, con dos huecos de radio

R/2. En cada hueco hay una esfera de radio R/4. Una está a V₀, la otra a tierra. La esfera exterior está

aislada y descargada, ¿cuánto valen las cargas y potenciales de cada conductor?

El circuito equivalente contiene tres condensadores y una fuente de tensión V₀

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Circuitos equivalentes en un problema

concreto (

3.6 ): solución

    0    12 23 0 4 / 2 / 4 2 / 2 / 4 R R C C R R R       4 C   R             1 11 1 12 1 2 13 1 3 2 22 2 12 2 1 23 2 3 3 33 3 13 3 1 23 3 2 Q C V C V V C V V Q C V C V V C V V Q C V C V V C V V                        1 12 1 2 2 22 2 12 2 1 23 2 3 3 23 3 2 Q C V V Q C V C V V C V V Q C V V                1 0 1 2 2 0 2 1 3 3 0 3 2 2 2 4 2 Q R V V Q R V V V Q R V V                 1 0 0 2 0 2 0 3 0 2 2 0 2 4 2 Q R V V R V V Q R V          0 0 0 0 0 2 1 3 3 4 2 2 V RV RV V  Q   Q   

Las capacidades valen

La autocapacidad es la de una esfera

La relación entre cargas y potenciales queda

Sustituyendo los datos

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Ejemplo de condensadores de placas

planas (problema 3.9)

Cinco placas cuadradas de lado L, conductoras, se encuentran en la disposición indicada en la figura. La distancia entre cada par de placas paralelas es a (a << L). Las dos placas exteriores se encuentran

permanentemente a tierra, de forma que funcionan como referencia de potencial.

En todo momento, la segunda placa se encuentra puesta a potencial V₀ mientras que la cuarta almacena una carga Q₀. La placa central se

encuentra aislada y descargada.

(a) Considerando el sistema de 3 conductores formado por las tres placas intermedias, halle la matriz de coeficientes de capacidad.

(b) Halle la carga almacenada en cada una de las cinco placas cuadradas, así como la tensión de cada una.

(c) Calcule la energía electrostática del sistema.

(d) Calcule el valor del campo eléctrico en cada uno de los condensadores que se forman.

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