Simulación de cargas móviles sobre estructuras mediante un mallado móvil de elementos finitos

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(1)

w w w . e l s e v i e r . e s / r i m n i

Revista

Internacional

de

Métodos

Numéricos

para

Cálculo

y

Diseño

en

Ingeniería

Simulación

de

cargas

móviles

sobre

estructuras

mediante

un

mallado

móvil

de

elementos

finitos

M.

Such

a

,

J.R.

Jimenez-Octavio

b,∗

,

A.

Carnicero

b

y

C.

Sanchez-Rebollo

c

aESA-ESTEC,Keplerlaan1,2200AGNoordwijk.TheNetherlands

bEscuelaSuperiordeIngenieríaICAI,UniversidadPontificiaComillas,AlbertoAguilera23,28015Madrid,Spain

cInstitutodeInvestigaciónTecnológica,UniversidadPontificiaComillas,SantaCruzdeMarcenado26,28015Madrid,Spain

i n f o r m a c i ó n

d e l

a r t í c u l o

Historiadelartículo:

Recibidoel12demarzode2014 Aceptadoel19dejuniode2014 On-lineel29denoviembrede2014

Palabrasclave: Dinámicadeestructuras Cargamóvil

Análisisnolineal Mallamóvil

r

e

s

u

m

e

n

Enesteartículosepresentaunametodologíaparaanalizarlarespuestadinámicadeestructurassometidas acargasmóviles.Paraellosehadesarrolladounalgoritmodemalladoadaptativodeelementosfinitos quesemuevedeformasolidariaalacargamóvilqueactúasobrelaestructura.Elalgoritmodemallado móvilsehavalidadoconlasoluciónanalíticadeunacargamóvilquerecorreunavigasimplemente apoyada.

©2014CIMNE(UniversitatPolitècnicadeCatalunya).PublicadoporElsevierEspaña,S.L.U.Todoslos derechosreservados.

Simulation

of

moving

loads

on

structures

using

a

moving

finite

element

mesh

Keywords:

Dynamicofstructures Movingload Non-linearanalysis Movingmesh

a

b

s

t

r

a

c

t

Thispaperpresentsamethodologytoanalyzethedynamicbehaviorofstructuresundermovingloads. Afiniteelementmovingmeshalgorithmhasbeendevelopedinordertointegrallymoveapartofthe meshfollowingamovingload.Thisalgorithmhasbeenvalidatedwiththeanalyticalsolutionofamoving loadappliedonasimplysupportedbeam.

©2014CIMNE(UniversitatPolitècnicadeCatalunya).PublishedbyElsevierEspaña,S.L.U.Allrights reserved.

1. Introducción

Lasimulacióndecargasdinámicasmóvilessuscitagran

inte-rés en diversas aplicaciones ingenieriles como por ejemplo el

estudiodelainteraccióndinámicacatenaria-pantógrafo,el

com-portamientodeviaductosalpasodevehículos,lasmáquinasde

mecanizadoporaltavelocidad,etc.Focalizandolaatenciónenla

analogíadelfenómeno teóricode cargasmóviles enla

interac-ciónvehículo-plataformadestacaOlsson[1],trabajoenelqueel

autorsugierelareduccióndelmodelodeuntrensobreunviaducto

aun modelomasa-muelledesplazándosea velocidadconstante

Autorparacorrespondencia.

Correoelectrónico:jesus.jimenez@upcomillas.es(J.R.Jimenez-Octavio).

sobreunaviga,desarrollandolaformulaciónteóricadesumodeloy

analizandolasensibilidaddelosdiferentesparámetrosdelmodelo

masa-muelledeltrenencomparaciónconunmodelodefuerzas

móviles.Enlamismalínea,enVisweswara[2]sepresentaun

estu-diodelarespuestadinámicadeunmodelodefuerzasmóvilessobre

vigassimplementeapoyadas.Entreotrostrabajosdestacan:Katz

etal.[3]sobrelainestabilidadproducidaporunasecuenciade

car-gasmóviles,AkinandMofid[4]presentandounmétodonumérico

paraestudiarlarespuestadeunacargamóvilsobreunavigabajo

diferentescondicionesdecontornoy,másrecientemente,Bruno

etal.[5]estudiaelefectodecargasmóvilessobrelargosvanosde

puentessuspendidos.

Son escasoslos estudios esencialmenteanalíticos de la

res-puesta de un sistema elástico nolineal a una cargamóvil; no

obstante, destacan el estudio clásico de Yen y Sing [6] y más

http://dx.doi.org/10.1016/j.rimni.2014.06.003

(2)

actualmenteeldeMetrikine[7].Sinembargo,aunquelosmétodos

analíticosproporcionansolucionesexactas,sualcanceseve

limi-tadoageometríassimplesalejadasdelosproblemasasociadosa

lasaplicacionesprácticas,locualleshaceperdercompetitividad

frente a métodos numéricos. Esto, unido a los avances en las

posibilidadesdecomputación,hacequelosmétodosnuméricosse

hayanconvertidoenunadelasherramientasmásempleadasenel

análisisdelosproblemasdecargasmóviles.En[1,8]sepresentan

losfundamentosdeunmétodobasadoendescomposiciónmodal

paraelestudiodecargasmóvilesenlainteraccióndinámicaentre

vehículoyraíl.EmpleandoladescomposicióndeHelmholtzyla

transformada rápidade Fourier, en [9] seinvestiga la

transmi-sióndelasvibracionesdebidasaunacargaarmónicayen[10]se

empleantantoelementosfinitoscomodecontornoparaproblemas

bidimensionalesconcargasdinámicas.

Entrelos trabajos másrelevantes en este campo durante la

últimadécada,cabecitarelmétodonuméricodeelementosmóviles

propuestoenKohetal.[11]queabordaelproblemadela

interac-ciónvehículo-raílmodelandoelraílcomounavigadiscretizadaen

elementosquefluyenconelvehículo.Posteriormenteen[12]se

extiendeelconceptodeelementosmóvilesaelementos

bidimen-sionales.Tambiénsonrese ˜nableslaspublicacionessobreelcálculo

deestructurasconcoordenadasmóviles:enNguyenyDuhamel

[13]seaplicaelprocedimientoaunacargaaxialmóvilsobreuna

barrainfinitayen[14]acargasarmónicassobreunavigainfinita.

Estetipodesistemasexcitadosporunacargamóvilpuedenentrar

enresonanciaadeterminadasvelocidades,locualesbienconocido;

verporejemploFryba[15]oalgunostrabajosrecientes

relaciona-dosconelcontroldelarespuestadelaestructura,comoeselde

QianyTang[16].

Cuandolafidelidadconelfenómenofísicomodeladoyla

pre-cisiónenloscálculossonfactoresclave,lacalidaddelmalladoes

importanteenlamedidaquedeterminaelerrordesimulación;ver

porejemploBabuˇskayAziz[17].Hayqueconsiderar2aspectos,

porunapartequeelnúmerodeelementosesrelevanteporel

ele-vadocostecomputacionalasociadoaelevadasdensidadesdemalla,

yporotraparte,queeltama ˜nodeloselementosinfluyeenla

defi-nicióndelpasodetiempoaemplearparagarantizarlaestabilidad

dinámica.

Elproblemadeencontrarunamallaóptimadeelementosfinitos

paracálculo estructuralhasidoestudiadopornumerosos

auto-resdurantelasúltimasdécadasconsiderandodistintosenfoques,

incluyendométodosbasadosenlaminimizacióndeenergíacomo

elpropuestoporFellipaen[18],uotrosbasadosenmeras

consi-deracionesgeométricascomosugiereChengen[19].Asimismo,la

literaturacientíficatambiénpresentadiferentestécnicasde

rema-lladobasadastanto enlasestrategiasderefinado-h[19],donde

nuevosnodossona ˜nadidoslocalmente,comoderefinado-r

des-critoenZhuyZienkiewicz[20],dondeunnúmerofijodenodos

esredistribuidoen el dominio.También otrostipos de

estrate-giasadaptativashansidodesarrolladasenestecampo,e.g.lasde

refinado-pquepermitenlamodificacióndelordendelos

elemen-tosfinitosobteniendomayorprecisiónenlosresultados,comola

quepresentaBabuˇskaen[21].

Eneste artículose proponeun modelode elementosfinitos

conunamallagruesaparatodoelcontinuosobrelaquese

super-poneunamalla móvilfina.Elpropósitodeesta mallamóviles

refinardinámicamentelaestructuradecontactoentornoalpunto

deaplicacióndelacargamóvil.Laprincipalaportacióndeeste

artí-culoesprecisamenteeldesarrollodeunametodologíaparasimular

elcontactoentreuncontinuounidimensionalsobreelqueactúa

uncontactomóvil.Dehecho,alolargodelartículoseemplean

indistintamentelosconceptoscargamóvilocontactomóvil.

Den-trodeestametodología,laconsecucióndeuncontactonodo-nodo

deformapermanenteconelmovimientodeunamallamóvil

soli-dariaalacargaesbeneficiosoenlasimulacióndeestructurasque

presentannolinealidadgeométrica,comopuedenserlas

estruc-turasdecables.Lasventajasqueaportaestametodologíageneral

son:(i)quecontempladeformanaturallasprincipalesno

linea-lidadespresentesenelproblemadelcontacto,(ii)proporcionaun

niveldeprecisiónmuynotabley,sobretodo,(iii)permiteobtener

solucionesentiemposdesimulaciónmuyrazonables.

Elpresente artículoestá estructurado de lasiguiente forma.

Enprimerlugarsepresentaenlasección2lapropuestade

dis-cretización dinámica enfocada al tratamiento de problemasde

carga móvil sobre estructuras. Para ello se define el entorno

deldominiolocaldelamallamóvil,semuestraelacoplamientode

la malla móvil con la malla global del continuo completo y

seacabarealizandolavalidacióndelametodologíapropuestaen

lasección3mediantelacomparacióndelosresultadosobtenidos

con los correspondientes a la solución analítica del problema

deuna cargamóvildesplazándose sobreuna vigasimplemente

apoyada.Finalmente,enlasección4sepresentanlasprincipales

conclusionesquesepuedenextraerdelmétodopropuesto.

2. Discretizacióndinámicaparaproblemasdecargamóvil

Elanálisisdelarespuestadinámicadeunaestructurasobrela

queactúaunacargamóvilpuederequerirunagrancapacidadde

cálculoencasodequeestapresente,ademásdelasno

linealida-desasociadasalainteracciónentrelapropiacargayelpuntode

contacto,nolinealidadesmaterialesygeométricas,verMollerand

Rubinstein[22],asícomolaaparicióndeondasysusefectossobrela

estructura.Paramejorarelmodeladodelfenómenotantodesdeel

puntodevistadelaprecisióncomodelasactuacionesdelmétodo

numéricosehadesarrolladounatécnicaderemalladomóvilque

representaunanovedadenelmodeladodeestetipodesistemas.

Estatécnicaderemalladomóvilconservaelnúmerodegradosde

libertaddelproblemaaligualqueelremalladoderefinado-r,sin

embargo,elconceptoesesencialmentediferentealamayoríade

otrosremallados,yaqueencadainstantedelasimulación

diná-micaelmétodoaquípropuestoaumentaladensidaddeelementos

delmalladoenlazonadelcontacto.Elcontinuosobreelqueactúala

cargamóvilymásconcretamentelazonadecontactoentrelacarga

ylaestructuraeselentornodondeseconcentralamallamóvil,lo

cualpermiteconcentrarlamayorpartedelesfuerzo

computacio-nalenelsubdominiodelmodeloconmayorpredominanciadeno

linealidadpermitiendoobtenerlaprecisióndeseadaylimitando

elcostecomputacional.Hayquedestacar2aspectos

complemen-tarioseigualmenterelevantesenlaimplementacióndelamalla

móvil:enprimerlugarlaconfiguraciónydistribucióndenodosen

elsubdominiodemallamóvily,ensegundolugar,suensamblado

yseguimientodelcontactosobreelmalladogruesooriginal.

2.1. Definicióndelsubdominiodemallamóvil

Partiendodelahipótesissegúnlacualelnúmerode

elemen-tospermaneceinvariable,esprecisoespecificarenquépartesdel

dominioseconcentranmásnodosyenquéotrassetomanesos

nodosduranteelprocesodecálculotalcomoseapuntaenHuerta

etal.[23].Paraello,sedefineelsubdominioderefinamiento-r,,

enelcualelnúmerodeloselementosseráconstante,comoel

inter-valo=[xt−xri,xt+xrs],dondextrepresentaelpuntodecontacto

entrelaestructuraylacargamóvil,asícomoxriyxrsloslímites

inferiorysuperiordelintervaloderefinamiento,fueradelcualla

longitud,l,deloselementosesconstante.Ladistribuciónnodalde

dichosubdominio,considerandoasílamallafinadeforma

inde-pendiente,sehabasadoenelindicadorderedistribucióndefinido

enPijaudier-Cabotetal.[24],según

Rili=Constante,

li

R(x)dx=Constante

i:

n

i=1

(3)

dondesereflejalarelaciónconstanteentreelindicadorde

redistri-bucióndelaposicióndelosnodosentornoalpuntomóvil,denotado

porR,ylalongitudlparacadaelementoi,aumentandoelvalordel

indicadorderedistribuciónallídondeseprecisenelementosmás

peque ˜nosyviceversa.

Laredistribuciónnodaldebeserindependientedelsistemade

coordenadasespaciales,elcualpermanecefijoduranteelproceso

desimulación,comoseindicaenHuertayLiu[25],[26]y[24].Por

tanto,laecuación(1)seescribeenformadiferencialcomo

R(x)

x

=0, (2)

dondeelsistemadecoordenadasdenotalareferenciarespectoa

lacualsellevaacabolaredistribuciónnodal.

Considerandoqueelsistemasedesplazadeformasolidaria

alacargamóvil,yreferenciandoladistribucióndenodosalorigen

decoordenadas móviles,elindicadorderedistribuciónRpuede

definirsecomolainversadeltama ˜nodeseadoparacadaelemento,

según

R= 1

s

,n,i,c

,

(3)

deestaforma la separacións

,n,i,c

entre los nodosde la

mallafinavienedeterminadaporelpropiointervalo,la

locali-zaciónhorizontalidelosnnodosdistribuidosenlamallafinadel

subdominioderefinamientoyporelparámetrodeconcentración

nodalc.

Enestetrabajosehaoptadoporunadistribuciónexponencial

delos nodos, que permiteconcentrar másnodosen las

proxi-midadesde la zona de contacto y menos en los extremos del

subdominioderemallado.Elalgoritmoimplementadopartedela

hipótesisdequeexisteigualnúmerodenodosaunoyotroladodel

puntodecontacto,locualnoimplicaunadistribuciónsimétricaya

queloslímitesinferior,ri,ysuperior,rs,delintervalonoson

necesariamentesimétricos.Sinembargoelalgoritmosíconlleva

unnúmeroimpardenodosenelsubdominioderemalladopara

conseguiruncontacto nodo-nodo,es decir,siempre existiráun

nodo siguiendo el contacto móvil, distribuyéndose ns nodos a

ambosladosdelcontactodeformaque:

ns=

(n−1)/2 sines impar

n/2−1 sines par

Ladistribuciónnodalexponencialimplementadadefinela

loca-lizaciónkdelosnodos,respectodelsistemamóvil,según

k=

exp

1/c

−exp

1/c

exp

A(ri)

∀k∈

ri,0

: k≤ns∈N,

exp

1/c

exp

A(rs)

−exp

1/c

∀k∈

0,rs

: k≤ns∈N, (4)

dondeA()es

A()= k

cln

+exp

1/c

−1

cns .

Finalmente es posible definir la función s

,n,i,c

del

tama ˜nodeloselementosdelamallamóvilcomounasimple

dife-renciaentrelosnodosquecomponenelelementoque ocupala

posicióni,esdecireltama ˜nodelmismo,s,quedadefinidocomo

s

,n,i,c

=ki+−ki−, (5)

siendo ki− y ki+ las localizaciones horizontales de los nodos

izquierdoyderechoquedefinenelelementoi,respectivamente.

2.2. Acoplamientodelamallamóvilconlamallaglobal

Acontinuaciónyunavezquesehadescritoladistribucióndela

mallafinamóvilenelsubdominioderemallado,esnecesariodefinir

Figura1. Acoplamientoentremallalocalyglobalparavariosinstantesdetiempo enlosquelacargamóvilsetraslada.

suacoplamientoconlamallagruesafijapresenteentodoel

con-tinuo.Desdeunpuntodevistaalgorítmicoesprecisohacernotar

queencadapasodetiemposellevaacabounnuevoremallado.

Elhechodequeelprocesoderemalladonoseademasiado

cos-tosocomputacionalmenteencomparaciónconunposiblemallado

finodelsistemacompletopermiteplantearlaejecucióndeeste

procedimientopasoapasosinincurrirentiemposdecálculo

ina-ceptables.Noobstante,losargumentosnosonsolodetiempode

ejecuciónsinotambiéndeprecisióndecálculo.Enestesentidoson

2losaspectosquepuedenresultarclavesenlasimulaciónyque

justificanelremalladomóvil: eltama ˜nodeloselementosenla

zonadecontactoyladinámicarelativaaeste.Respectoaltama ˜no

deloselementos,laposiblenolinealidaddelcontinuorequiere

unadiscretizaciónespacialmuyfinaenlaregióndecontacto,no

siendotannecesariaenlasregionesadyacentes.Sibienesto

jus-tificaladefinicióndelsubdominioderemallado,noesmotivo

suficienteparaquesetengaqueremallarencadainstante,yaque

podríaemplearseunremalladoútilparaciertospasosdetiempo.

Sinembargoelsegundoaspecto,ladinámicadelcontacto,sí

jus-tificaencasosdenolinealidadgeométricacomolasestructuras

decableselprocedimientotalycomosepresentaenestetrabajo.

Además,ladinámicapropiadeestetipodeestructurasessensible

aefectosdealtafrecuencia,resultandodeterminanteenla

obten-cióndeunadeterminadaprecisióntantolaconvenienteelección

delintegradortemporalcomodelmétododecontacto.

Elensambladodelamallacompletasellevaacaboa2

nive-les.Porunaparteseredefinenlasnuevasconectividadesentrelos

nodosdelamallaprimitivaylanuevaposicióndelamallafina

creandolos pertinente elementosnuevos.Yporotra parte,y a

efectosdeconvergenciaenelcálculo,seestimanlascondiciones

inicialesparalosnodosdelamallafinaencadapasodetiempo

delasimulacióndinámica.Enlafigura1semuestra

esquemática-mente:unamallafinaencontraposiciónaunamallagruesa,ambas

enlapartesuperiordelafigurayquerepresentaríanunmallado

clásico;yacontinuación,enlaparteinferior,sepresentael

segui-mientodeunacargamóvilporunamallafinaquesesuperponea

unamallagruesadurante6instantesdetiempo.Encadainstante

sedefinennosololoscorrespondientesnuevoselementosque

apa-recenentrelamallafinaylagruesasinotambiénlascondiciones

inicialesdecadanododelanuevamallafina.

Para la definición de las funciones de forma además delas

condicionesesencialesynaturalesdeloselementosmóvilesse

con-sideraránúnicamentelosnodosdelamallaprimitivaadyacentesal

nododelamallafinacuyosdesplazamientossedeseanestimar.Así,

paraunaestructurade,porejemplo,elementostipovigaBernouilli

comolosdescritosenreferenciasclásicasdelmétododeelementos

finitosZienkiewiczyTaylor[27],seempleanlosconocidos

polino-miosdeinterpolacióncúbicaconcontinuidadC1deHermitepara

losdesplazamientosendireccióntransversalaladirectrizdel

ele-mentoylosgiros,ydeinterpolaciónlinealparalosdesplazamientos

(4)

C0.Tantoparaelinstanteinicialcomoparaelrestodepasosde

tiempodelasimulacióndinámica,lasposiciones,˚(xi),

velocida-des, ˙˚(xi),yaceleraciones, ¨˚(xi),delosnodosdelamallafina,

xi,seobtienenapartirdelainterpolacióndeloscorrespondientes

valoresdelosnodosdelamallagruesa,según

˚(xi)=, ˚˙(xi)=˙, ˚¨(xi)=¨, (6)

donde˚=

u1,w1,1,u2,w2,2

teselvectordelosgrados

de libertadasociados al desplazamiento en dirección axial u,

transversalwyelgiro enlosnodos1y2delelementode

lamallagruesaenelquesesitúaelcorrespondientenododela

mallafina,xi,yNlamatrizdelasfuncionesdeforma

Nt=

1−x/l 0 0

0 1−3

x/l

2+2

x/l

3 6x/l2+6x2/l3

0 x

1−2x/l+

x/l

2

1−4x/l+2

x/l

2

x/l 0 0

0

x/l

2

3−2x/l

6x

1−x/l

/l2

0 x2

x/l1

/l x

3x/l2

/l

. (7)

Así,paracadapasodetiempolosvectoresglobalesde

despla-zamientos,velocidadesyaceleraciones(ecuación6)seconstruyen

apartirdelainterpolacióndelospolinomiosdeHermite

(ecua-ción 7), H(xini,s

,n,i,c

), y los parámetros de la malla

móvil.

Unavezqueseestablecelamallagruesaseconstruyenlas

matri-cesglobalesdemasa,amortiguamientoyrigideztangente,asícomo

lasfuerzasinternasyexternas.Elalgoritmodereensambladose

caracterizapor3 aspectos.En primer lugar lamalla fina

intro-duceunaumentodelasdimensionesdelasmatricesglobales.En

segundolugareselresponsabledea ˜nadirlasnuevascontribuciones

alascorrespondientesmatricesyvectoresglobalesdelsistemaa

partirdelasnuevasinterconectividadescreadasenlaconstrucción

delosnuevoselementos.Entercerlugar,elalgoritmode

reensam-bladomodificaencadapaso detiempolascontribucionesalas

matricesyvectoresglobalescorrespondientesalosnuevos

elemen-tosensumovimiento.Finalmente,enelprocesodereensamblado,

lasdistintasdiscretizacionesoriginalesyelmismointegrador

tem-poralresultanopacosparalaformacióndelasmatricesyvectores

globales.

2.3. Implementacióndelalgoritmoenunmétododeelementos

finitos

Laformulaciónclásicadeunaestructuraflexiblenolinealpor

mediodeelementosfinitospuedeescribirsedelaforma

M·u¨+q

u˙,u

=f (8)

dondeMeslamatrizdemasa,f yqlosvectoresdefuerzas

exter-nasyfuerzasinternasy ¨uy ˙urepresentanlosvectoresaceleración

yvelocidadnodales.Comoesbiensabido,laresolucióndeeste

pro-blemanolinealimplica,ademásdelanecesidaddeunalgoritmo

deintegracióntemporal,elcálculodelamatrizderigideztangente,

definidaestacomoladerivadadelasfuerzasinternasconrespectoa

losdesplazamientos,Kt=

q/

u,ydelamatrizdeamortiguamiento

tangenteCt=

q/

u˙.

Enlatabla1seexplicitanlospasosnecesariosparala

implemen-tacióndelametodologíapropuestaenunmétododeelementos

finitosnolinealyconunalgoritmodeintegracióntipoˇ-Newmark.

Estealgoritmoquerigeelprocesoderemalladomóvilcomprendeel

cálculodeequilibrioinicialdelsistemaconunadiscretización

ini-cial,partiendodeunamallagruesaequidistribuidadeelementos

delongitudlsobrelapartedelaestructuradondeactúalacargao

Tabla1

Algoritmoderemalladoadaptativo

Discretizaciónespacial:xini

Discretizacióntemporal:t|tn+1=tn+t

Cálculodelaconfiguracióndeequilibrioinicial forn=0−→númerodepasosdetiempo

tn+1=tn+t

Remalladomóvilenelcontacto Reensambladode:Kt,M,Ct,q0

n+1yf 0 n+1 Prediccióninicial

Evaluacióndelresiduo:Newton-Raphson end

contactomóvil,estandolaestructuraflexibleúnicamentesometida asupropiopeso.Estoimplicaelcálculodelasposicionesnodales

u0,fuerzasinternasq0yfuerzasexternasf0y,paraelinstante

ini-cial,asícomolaestimacióndelasvelocidades, ˙u0,yaceleraciones, ¨

u0,nodalesdelmalladoprimitivosegúnrequierelaecuación gene-raldeequilibrio.Posteriormente,setrataelprocesodinámicodel movimientodelcontactoentrelacargaylaestructura.Paraello, seprocedealremalladomediantelasuperposicióndinámicadela mallamóvilsobrelamallagruesainicialylaintegracióntemporal delfenómenodeinteracciónentrelacargaocontactomóvilyla estructura.

3. Validacióndelmodelopropuesto

A continuaciónse presentauna comparación delos

resulta-dosanalíticosdelclásico problemade larespuesta deuna viga

cuandoesrecorridaporunacargaavelocidadconstante,

v

,taly comoseilustraenlafigura2conlosresultadosobtenidosparala

mismasituaciónempleandolametodologíapropuestaeneste

artí-culo.Despreciandolosfenómenosdeamortiguamientointerno,la

ecuacióndeldesplazamientotransversal,uz(x,t),deunavigade

longitudLconpropiedadesuniformespara0≤x≤Ly0≤t≤L/

v

cuandounacargamóvil,F,sedesplazasobreésta,puedeexpresarse

según

m

2

uz

t2 +EI

4

uz

x4 =ı(x−vt)F, (9)

dondemeslamasaporunidaddelongitud,EIeslarigidezaflexión

delavigayıeslafuncióndeltadeDirac.Porotrapartehande

considerarselascondicionesdecontorno

uz|x=0 =0 uz|x=L=0,

2

uz

x2

x=0

=0

2

uz

x2

x=L =0,

asícomolascondicionesiniciales

uz|t=0=0

uz

t

t=0 =0.

m, EI

x z

x(t) = vt F

(5)

Tabla2

Característicasmecánicasdelavigaempleadaenlavalidación

Propiedad Valor Unidades

MódulodeYoung 2,0×1011 N/m2

Momentodeinercia 1,0×10−5 m4 Masaporunidaddelongitud 390 kg/m

Tabla3

Valoresde yvenfunciónde˛empleadosenlavalidación

Parámetro ˛=0,25 ˛=0,5 ˛=0,75

[s] 1,78 0,89 0,59

v[m/s] 5,61 11,25 16,86

3.1. Soluciónanalítica

Lasolución analíticade este problema es conocida y puede

encontrarse,porejemplo,enFryba[15].Así,definiendoelcociente

ˇn=ωn/ωnsiendo

ω2

n=n

44EI

mL4 , (10)

yωn=n

v

/L,esposibleescribirlasoluciónalproblemacomo

uz(x,t)=

96 4ust(L/2)

n=1

ϒn(x,t) si ˛=/n,

96 4ust(L/2)

ϒ˛(x,t)+

n=1

n=/˛

ϒn(x,t)

si ˛=n,

(11)

dondeust(L/2)eseldesplazamientoestáticodelpuntomediodel

vanocuandounafuerzaFactúaendichopunto,esdecir,ust

L/2

=

FL3/(48EI),siendoϒ

n(x,t)yϒ˛(x,t)funcionesqueseexpresan

según

ϒn= 1

n2(n2˛2)

sin

nt

−˛nsin

n2t

˛

sin

nxL

,

(12)

ϒ˛= 21˛4

sin

˛t

−˛tcos

˛t sin

˛x

L

, (13)

donde eseltiempoquetardalacargaenrecorrerlaviga, =L/

v

,

y˛unparámetroadimensionaldefinidosegún

˛=nˇn=ω

v

1L

(14)

3.2. Comparacióndelmétodopropuestoconlasoluciónanalítica

Decara a compararla soluciónanalítica(11)conel modelo

propuestosehadiscretizadounavigade10mdelongitudcon

úni-camente2elementos,sobrelaquesehasuperpuestounamalla

móvilde24elementosdistribuidosenundominiode6mde

longi-tud,uníndicedeconcentraciónnodalc=3,estandolamallamóvil

centradaen el puntode contacto dondeactúa una fuerzaF de

800N.Lascaracterísticasmecánicasdelavigaanalizadaserecogen

enlatabla2.

Dadoque˛esunavelocidadadimensional,lavariacióndeeste

parámetrosuponeenrealidadunanálisisdesensibilidaddela

velo-cidaddelacarga.Latabla3recogelosvaloresde y

v

obtenidos

directamente,conocidaslasexpresiones(10),(14)yque =L/

v

,

paralosvaloresde˛de0,25,0,5y0,75.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 x 10−3

x 10−3

x 10−3

τ [s]

uz (L/2,t)/u st uz (L/2,t)/u st uz (L/2,t)/u st

(a) Desplazamientos para α = 0.25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06

τ [s]

Error [%]

(b) Error para α = 0.25

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2

τ [s]

(c) Desplazamientos para α = 0.50

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 −0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

τ [s]

Error [%]

(d) Error para α = 0.50

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

−16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2

τ [s]

MEF−MM A MEF−MM A MEF−MM A

(e) Desplazamientos para α = 0.75

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

−0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

τ [s]

Error [%]

(f) Error para α = 0.75

Figura3.Comparacióndedesplazamientosyerroresabsolutosentreelmodelode elementosfinitosconmallamóvil(MEF-MM)ylasoluciónanalítica(A).

Tabla4

Valoresestadísticosdelerrorenfunciónde˛

˛=0,25 ˛=0,5 ˛=0,75

Máximadiferenciapordefecto[%] 0,082 0,083 0,071 Máximadiferenciaporexceso[%] 0,043 0,091 0,089

Enlafigura3semuestralarelaciónentreeldesplazamiento

dinámicoenelcentrodelavigauz(L/2,t)obtenidomediantela

solu-ciónanalíticadeducidaen(11)yelmodelopropuestobasadoenla

mallamóvil,conrespectoaldesplazamientoestáticoenelcentro

delavigaust.Enlasfiguras3(a),3(c)y3(e)semuestranlos

resul-tadosparavelocidadesadimensionales˛=0,25,˛=0,5y˛=0,75,

respectivamente.Lasgráficasprecedentesevidenciangran

seme-janzaentrelosresultadosobtenidosanalíticaynuméricamente,lo

cualesrefrendadoporlosvaloresdelerrorabsolutoquesemuestra

enlafigura3(b,d,f)comofuncióndeltiempoyparadistintos

valo-resdelparámetro˛.Enlatabla4semuestranlosvaloresmáximos

delerrorparacadacasoysepuedeobservarquesoninferioresal

0,1%.

4. Conclusiones

Enesteartículosehapresentadounametodologíaparael

análi-sisdelarespuestadinámicadeuncontinuounidimensionalbajola

accióndeunacargapuntualmóvil.Lametodologíaestábasadaenel

acoplamientodeunamallamóvilsituadaentornoalpuntode

(6)

quelamallamóvilpresentaunaelevadadensidaddeelementosen

tornoalpuntodecontacto,elrestodelcontinuopresentaunamalla

conunamenordensidaddeelementos.

Lasprincipales diferenciasque presentalametodología

pro-puestaconrespectoaotrosenfoquesson:(i)elmovimientodela

malla,creandoydestruyendolosnodoscorrespondientesencada

paso detiempoalrededor delacargamóvil; (ii)larelación del

contactoconlalamallamóvil,consiguiendouncontactonodoa

nodoentodoinstante,y(iii)laintegracióndelametodologíaen

unesquemasuficientementeflexiblecomoparaabordarla

simula-cióndinámicadeestructurasflexibles,porejemploestructurasde

cables.

La metodología propuesta se ha validado con respecto la

solución analíticade una carga móvilactuando sobre una viga

bi-apoyada, cuyosresultados presentan errores conrespecto la

soluciónanalíticainferioresal0,1%.Enestetrabajonoseha

cuanti-ficadolareduccióndelcostecomputacionaldelmétodopropuesto

frenteaotrosmodelosdeelementosfinitosclásicos,yaquela

vali-daciónexigiríaabordaraplicacionesmáscomplejasyqueescapan

alalcancedeesteartículo.

Agradecimientos

Losresultadosaquípresentadoshansidoobtenidosenel

des-arrollo de diversos proyectos financiados parcialmente por el

ColegioNacionaldeIngenierosdelICAI,Cosemel Ingenieríayel

MinisteriodeCienciayTecnologíaatravésdelosproyectosdePlan

NacionalTRAN2009-13912-C02-02/TRENyTRA2012-37940.

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