Aplicaciones de la física a las finanzas

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(1)UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. Aplicaciones de la Fı́sica a las Finanzas. por Marı́a José Rodrı́guez Director: Marek Nowakowski. Facultad de Ciencias Departamento de Fı́sica. Mayo 2009.

(2) “Flying in the sky, feeling! Then only you, alone, the amazing view! The best thing ever done!”. Marı́a, Mayo 3 /2009 Aeropuerto Vanguardia.

(3) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. Abstract Facultad de Ciencias Departamento de Fı́sica por Marı́a José Rodrı́guez Director: Marek Nowakowski. The purpose of this study is to explore some of physical applications to finance. There will be a brief introduction to financial markets and financial terms, along with some probability and statistical definitions. It will be shown how to obtain the Black Scholes equation from a physical point of view. Also there will be shown how to construct an analogy between thermodynamics and economics. At the end there will be shown an application of statistical mechanics to finance..

(4) Agradecimientos Quiero agradecerle a Marek, mi asesor de proyecto de grado, por todo el apoyo y dedicación durante la realización de este trabajo. Vielen dank für alles Marek, ich bin sicher, dass ich die beste Wahl gemacht habe.. A mi papá por ayudarme a redactar mejor algunas ideas.. iii.

(5) Índice general Abstract. II. Acknowledgements. III. List of Figures. VI. 1. Introducción. 1. 2. Mercados Financieros 2.1. Mercado Eficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Riesgo y Rendimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Mercado de Derivados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 4 6 8. 3. Definiciones básicas de Probabilidad 3.1. Espacio de Probabilidad . . . . . . . . 3.2. Variable Aleatoria . . . . . . . . . . . . 3.3. Proceso Estocástico . . . . . . . . . . . 3.4. Valor esperado y Desviación Estándar .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 4. Movimiento Browniano, Caminata Aleatoria y Ecuación 4.1. Caminata Aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Ecuación de Difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Lema de Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Movimiento Browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Movimiento Browniano Geométrico . . . . . . . . . 5. Ecuación de Black Scholes 5.1. Itô y Stratonovich . . . . . . . . . . . . 5.2. Derivación de Black Scholes . . . . . . 5.2.1. Derivación de Black Scholes por 5.2.2. Derivación de Black Scholes por iv. . . . .. . . . .. de . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. Difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . el método de Itô . . . . . el método de Stratonovich. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. 12 12 13 14 15. . . . . .. 16 17 17 19 19 20. . . . .. 21 21 23 24 26.

(6) Índice general. v. 5.3. Solución de la Ecuación de Black Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6. Mecánica Estadı́stica 6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Resultados empı́ricos de los Mercados 6.3. Correlación en el tiempo . . . . . . . 6.4. Modelo de Ising . . . . . . . . . . . . 6.5. Variación de los Precios . . . . . . .. . . . . . . . Financieros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 30 30 30 32 33 34. 7. Analogı́as con la Termodinámica 36 7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7.2. Termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 7.3. Termodinámica y Economı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 8. Conclusiones. 43. A. Mercados Financieros A.1. Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. Árboles Binomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3. Opciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45 45 46 48. B. Probabilidad B.1. Distribuciones . . . B.1.1. Distribución B.1.2. Distribución B.1.3. Distribución. 49 49 49 50 51. . . . . . . . . . . . . Binomial . . . . . . Normal o Gaussiana de Levy . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. C. Movimiento Browniano 52 C.1. Ecuaciones Estocásticas Diferenciales, Ecuación de Langevin . . . . . . . . . . 52. Bibliografı́a. 54.

(7) Índice de figuras 1.1. Precio Opción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Random Walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2 3. 2.1. Riesgo Retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Riesgo Retorno2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Riesgo Retorno3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6 7 8. A.1. Precio Opción Futura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 A.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. vi.

(8) vii.

(9) Capı́tulo 1 Introducción La motivación para hacer un proyecto de grado en el que se traten simultáneamente dos temas diferentes, como lo son la Fı́sica y las Finanzas, es realizar un trabajo en el que se muestren algunas aplicaciones de la fı́sica en áreas distintas a las ciencias naturales. Un ejemplo lo constituyen, por ejemplo el Movimiento Browniano y la ecuación de Difusión, que se han elaborado en el marco de la fı́sica. Tanto uno como la otra pueden ser utilizados desde un punto de vista distinto al de la Fı́sica para obtener la Ecuación de Black Scholes muy conocida y usada en finanzas.. Algunas personas tienen un gran interés por las finanzas y por saber cómo es el comportamiento de los diferentes activos financieros transados en las diferentes bolsas del mundo. Como bien es sabido muchas personas ganan plata invirtiendo dinero en las bolsas, pero ¿realmente se puede saber si se va a tener una ganancia en el largo tiempo? ó ¿simplemente se está invirtiendo en algo parecido a un juego de azar?. Si se tuviera una idea de cómo es el comportamiento de los precios de los diferentes activos transados en una bolsa, podrı́a ser factible tener una mayor certeza acerca de como puede ser el precio en un futuro de éstos y ası́ poder invertir con un menor riesgo ó sabiendo cuál es riesgo al que se enfrenta el inversionista.. 1.

(10) Capı́tulo 1. Introducción. 2. En fı́sica, la mecánica estadı́stica describe sistemas complejos a partir de leyes de interacción, esta complejidad se debe a la cantidad de interacciones existentes entre las partı́culas de un sistema; entre más partı́culas tenga un sistema, más interacciones deben ser consideradas. Existen diferentes modelos en los cuales solo se incluyen algunas interacciones, ya que serı́a algo innecesario incluirlas todas, pues se tienen muy buenos resultados con las aproximaciones realizadas. Por ejemplo algunas de las aproximaciones se hace dependiendo de la distancia entre partı́culas.. En los mercados financieros la complejidad se debe a la cantidad de inversiones y transacciones realizadas a diario. Actualmente la mayorı́a de las transacciones realizadas en las grandes bolsas, como la Nueva York, las hacen programas de computadores, los cuales ya tienen algoritmos programados para detectar cambios y saber si se debe vender o comprar. La cantidad de inversiones realizadas cada segundo hace que los precios de los actios varı́en cada segundo1 , y es realmente esto lo que hace que los precios sean impredecibles.. Figura 1.1: Precio de la opción Dell el 12 de Febrero de 2009[1] 1. Cuando la oferta y/o la demanda varı́an tiene como consecuencia la variación del precio de las opciones..

(11) Capı́tulo 1. Introducción. 3. Al ver como varı́a el precio de una Opción2 en el tiempo, como se puede ver en la Figura 1.1, puede verse que el comportamiento de ésta es muy parecido a una caminata aleatoria, Figura 1.23 , en la sección Movimiento browniano - gráficas, o un proceso estocástico, razón por la cual se puede modelar con modelos fı́sicos de la mecánica estadı́stica, ya que la caminata aleatoria es bien conocida en esta área.. Figura 1.2: Caminata aleatoria; generado en Mathematica. 2. Una opción es un instrumento financiero. En el siguiente capı́tulo, Mercados Financieros, se explicará con más detalle que es. 3 El algoritmo fue tomado de [2].

(12) Capı́tulo 2 Mercados Financieros Un mercado financiero es un sistema que permite a los diferentes agentes económicos el intercambio de dinero por Valores (Securities) o Materias Primas (Commodities), es decir la compra y venta (comercio) de éstos. Existen diferentes mercados financieros, en nuestro caso nos interesaremos principalmente por el Mercado Eficiente y el Mercado de Derivados.. El precio de una acción o de un instrumento financiero tiene toda la información1 necesaria acerca de éste y solo ante nueva información los precios cambiarán su valor. En mercados eficientes, nueva información es impredecible, por lo que cambios en los precios también lo son2 .. 2.1.. Mercado Eficiente. En los mercados eficientes se manejan algunas hipótesis, la primera de ellas es que el precio de los activos financieros sigue el comportamiento de una caminata aleatoria (Random Walk), 1. Esta información se refiere a que tan pedido o vendido es, o si hay nuevos proyectos que puedan valorar lo más. 2 Vale la pena aclarar que en muchas ocasiones esto no se cumple, ya que algunos agentes pueden tener información privilegiada.. 4.

(13) Capı́tulo 2. Mercados Financieros. 5. por lo tanto el comportamiento de una variable que tenga esta caracterı́stica se puede describir como: St = St−1 + t ⇒ t ∼ N (0, σ). (2.1). donde St es el precio en el tiempo t y t es la incertidumbre del tiempo t que se distribuye Normal con media 0 y desviación σ.[3]. Por lo tanto se puede decir que el precio de las acciones es impredecible en el corto plazo, ya que la incertidumbre sigue una distribución normal (simétrica), es decir que puede aumentar o disminuir con la misma probabilidad. Esto no quiere decir que los precios se comporten de forma irracional, simplemente postula que los cambios de los precios son impredecibles, ya que solo reaccionan ante nueva información. La volatilidad del precio de una acción puede ser bastante alta según lo dicho anteriormente, pero cuando el periodo de inversión aumenta ésta disminuye, es decir que en el largo plazo se espera que los retornos de una inversión aumenten. En la teorı́a existen tres niveles de eficiencia de los mercados que se diferencian principalmente por la información que son capaces de relajar acerca de los precios; en la forma Débil los precios solo reflejan toda la información histórica disponible, en la forma Semifuerte los precios reflejan toda la información pública disponible (pasada y futura) y en la forma Fuerte los precios reflejan toda la información disponible (pública, privada, pasada y futura).[3]. En los mercados, cuando hay información que sugiera que una acción esta sub o sobre valorada, inmediatamente se generará movimientos en la oferta o la demanda que tenderán a sacar provecho de la situación, lo que producirá que el precio vuelva a su nivel de equilibrio o nivel de eficiencia..

(14) Capı́tulo 2. Mercados Financieros. 6. Empı́ricamente podemos decir que no hay evidencia suficiente para decir que el mercado de Capitales. 3. cumple con la forma Fuerte de la eficiencia de los mercados, pero si para decir. que se acerca a la forma Semifuerte; los precios son correctos y los problemas de asimetrı́a de información son temporales y el mercado los corregirá rápidamente.. 2.1.1.. Riesgo y Rendimiento. [3]El Riesgo en finanzas es fluctuación, variabilidad o Volatilidad, es decir la medida del Riesgo Total es la volatilidad del retorno de los activos. Pero el Riesgo Total no nos interesa, ya que en un mercado desarrollado existe la posibilidad de diversificación 4 , es decir que el riesgo que tiene cada activo por separado de alguna forma desaparece y solo nos interesa el Riesgo Sistemático, que es el riesgo de la posición total de la posición. Cuando se conforma un portafolio parte del riesgo total se reduce si la correlación entre los activos del portafolio es menor a 1, por lo que este riesgo resulta irrelevante. Solo el Riesgo Sistemático es relevante para determinar el riesgo esperado de un activo que forma parte de un portafolio.. Figura 2.1: Forma de un portafolio. 3 4. Mercado en que se presta y pide prestado a la tasa libre de riesgo Posibilidad de invertir en diferentes activos del mercado.

(15) Capı́tulo 2. Mercados Financieros. 7. Cuando la correlación de los activos de un portafolio no es perfectamente positiva o negativa el portafolio tiene la siguiente forma, Figura 2.1. La curva definida serı́a la frontera eficiente, por lo que cualquier inversionista estarı́a ubicado en esta frontera, la ubicación exacta sobre la curva depende de la aversión al riesgo. Introduciendo los dos siguientes nuevos elementos podemos volver a definir la frontera eficiente:. Activos libres de riesgo: el retorno (seguro) de estos activos es la tasa libre de riesgo. Mercado de Capitales: se puede prestar y tomar prestado a la tasa libre de riesgo.. El nuevo espacio Riesgo-Retorno cambiarı́a y la frontera eficiente serı́a una recta. En la figura 2.2 está representada por la lı́nea roja. Figura 2.2: Forma de un portafolio con un activo libre de riesgo y un mercado de capitales existente.. Por lo tanto podemos decir:. Todo inversionista busca maximizar el retorno minimizando el riesgo. Por lo tanto el inversionista tiende a obtener el portafolio más diversificado, es decir el Mercado..

(16) Capı́tulo 2. Mercados Financieros. 8. El BETA es la clave para determinar el retorno esperado de un activo, que deberá ser la compensación al riesgo sistemático de este activo frente al riesgo total del mercado.. Figura 2.3: Beta y retorno esperado.. Si se define rm como el riesgo del mercado se puede llegar a la siguiente ecuación SLM = rf + β(rm − rf ). (2.2). Como la SML establece y una relación lineal entre Riesgo Sistemático (β) y el retorno esperado podemos decir a partir de la la ecuación 2.2: E(Ri ) = rf + β(rm − rf ). (2.3). Esta ecuación 2.3 es conocida como el CAPM, Capital Asset Pricing Model.. 2.2.. Mercado de Derivados. Los mercados derivados, como bien lo dice su nombre son mercados financieros para derivados. Los derivados se pueden definir como instrumentos financieros (contratos) cuyo precio.

(17) Capı́tulo 2. Mercados Financieros. 9. depende del comportamiento (precio) de otro instrumento financiero (activo subyacente)[4]. Por lo general la gente que entra en estos mercados están interesados en disminuir el riesgo o son especuladores, es decir no quieren el bien como tal5 . Algunas personas prefieren protegerse mediante un contrato de un Futuro que comprar un seguro, ya que es más barato. Hay principalmente dos tipos de contratos en el mercado de Derivados; los Forwards y los Futuros[5].. Forwards: Es un contrato especı́fico entre dos partes, en la cual una de ellas se compromete a comprar o vender cierto activo en un tiempo determinado a un precio determinado. Futuros: Es un contrato estándar entre dos partes, en la cual una de ellas se compromete a comprar o vender cierto activo en un tiempo determinado a un precio determinado. Son transados en alguna Bolsa de Valores.. La diferencia entre los dos contratos radica principalmente que el mercado de Futuros es mucho más lı́quido que el de Forwards, ya que es un contrato estándar. Los contratos Forwards se usan principalmente cuando una de las partes está interesada en un bien especı́fico con ciertas caracterı́sticas. La liquidez de un mercado es muy importante, ya que este es uno de los factores que influye que el mercado sea manipulable o no.. Otro tipo de contratos que son muy usados son las Opciones. Son contratos en los que alguna de las partes tiene la opción de comprar o vender un activo subyacente a un precio determinado en un tiempo determinado. Existen Opciones Put y Call:. Put: Opción de vender un activo determinado a un precio y tiempo determinados6 . 5. Los contratos pueden tener cierre fı́sico o financiero. En un cierre financiero no existe la transacción del bien, simplemente se paga la diferencia entre el valor acordado y el valor real del momento en que finaliza el contrato. 6 Entre más baje el precio en mercado más se gana, ya que en tiempo de expiración vendo al precio del Put y compro al precio del mercado ganando la diferencia entre ambos precios..

(18) Capı́tulo 2. Mercados Financieros. 10. Call: Opción a comprar el activo subyacente por un valor y tiempo determinados.. Existe una ecuación que relaciona los valores del Put y Call (2.4): el Put-Call Parity[5] ST − Ke−rT = CallT − P utT. (2.4). donde S es el precio Spot en el tiempo T, K es el precio Strike, r es la tasa y T es el tiempo de expiración7 . Cuando esta ecuación no se cumple significa que hay posibilidad de arbitraje. El precio de una opción, P, se puede ver como una función de la siguientes variables: P = F (S, σ, r, T, K). (2.5). Los significados de estas variables están en el apéndice A: Mercados Financieros. En la realidad la incógnita en esta ecuación es la volatilidad, σ, ya que el resto de variables se pueden hallar en distintos sitios:. S → Del mercado r → Bonos del gobierno de los Estados Unidos T,K → Se determinan en el mercado P → Del mercado Cuando se tienen estos datos por lo general lo que se busca es la Valoración de una Opción, ya sea para un ejercicio particular o para ver cuanto puede estar costando una opción en el mercado. El principio que se usa en estos casos es el cálculo por medio de árboles binomiales. Teniendo el tiempo de expiración se pueden hacer árboles con varios pasos y de esta forma se puede llegar a un valor de la opción muy cercano8 . Cuando el tiempo entre cada paso tiende 7. Los significados de estos precios se pueden encontrar en el Apéndice de Mercados Financieros, al igual que el significado de una opción Americana y Europea. 8 La derivación y mejor explicación de estos árboles se encuentra en el Apéndice de Mercados Financieros.

(19) Capı́tulo 2. Mercados Financieros. 11. a cero se llegan a las ecuaciones de Black - Scholes9 .. Como se dijo en la sección anterior un mercado eficiente asume que el precio actual de un activo incluye toda la información del activo subyacente, por lo tanto es independiente de los precios pasados, pero en la realidad esto no se cumple, ya que las personas tienden a pensar que si un precio esta subiendo éste seguirá subiendo y viceversa, por lo que se genera una reacción en cadena momentánea. Esto tiene como consecuencia que las desviaciones estándares que caracterizan la normal aumenten, es decir que la volatilidad de los precios aumente.. 9. Estas ecuaciones serán explicadas en detalle más adelante en otro capı́tulo: Ecuación de Black Scholes.

(20) Capı́tulo 3 Definiciones básicas de Probabilidad. 3.1.. Espacio de Probabilidad. En la teorı́a de la probabilidad los experimentos que se realizan son aleatorios, por lo tanto su resultado no puede predecirse con exactitud. El resultado ω de un experimento de estos, está dado por la cantidad de veces que ocurrió un evento y al conjunto de la cantidad de resultados posibles, el espacio muestral, se le llama Ω. Un evento A es un conjunto de resultados, es decir es un subconjunto de Ω. El propósito de la teorı́a de probabilidad es asignar a cada evento A asociado a un experimento aleatorio, cuyo espacio muestral es Ω, un número P(A). Si P satisface los siguientes axiomas para el caso es discreto, es decir el conjunto Ω es finito, recibe el nombre de probabilidad y P(A) es la probabilidad del evento A. [6] P(A) ≥ 0 → No negatividad P(Ω) = 1 → Normalización Si A1 , A2 , ..., An es una secuencia de eventos mutuamente excluyentes entonces: P (∪ni=1 Ai ) = 12. n X i=1. P (Ai ).

(21) Capı́tulo 3. Definiciones básicas de Probabilidad. 13. En el caso que el conjunto Ω no sea finito la probabilidad de cada resultado particular será cero, pero esto no implica que la variable aleatoria continua no pueda tomar un valor particular. Se dice que x es una variable aleatoria continua si existe una función no negativa fx que satisface: fx ≥ 0 ∀ x R∞. −∞. fx dx = 1 R. Si B ⊂ Ωx → P(x B) =. 3.2.. B. fx dx. Variable Aleatoria. Sea E un experimento y Ω el espacio muestral asociado a éste, si existe una función X que asigne a cada uno de los elementos ω que pertenecen a Ω un valor real X(ω), entonces X(ω) se denomina variable aleatoria. Como se dijo en la sección anterior una variable aleatoria puede ser de dos tipos: discreta o continua.. Si X es una variable aleatoria discreta cuyo recorrido es Ωx con cada elemento x Ωx asociamos un número real P(X=x) llamado probabilidad de P(ω=x). A la función Px : < → [0,1] la denominamos función de probabilidad y debe cumplir con lo siguiente: Px (x) ≥ 0 P. xΩx. Px (x) =1. Si B ⊂ Ωx → P( B) =. P. xB. Px (x). Si fx describe la función de probabilidad se puede hablar de la Función acumulada, en el caso continuo esta se define como F (x) =. Z. x. −∞. f (x)dx.

(22) Capı́tulo 3. Definiciones básicas de Probabilidad. 14. Lo que permite definir la probabilidad de un evento E = {a ≤ X ≤ b} a partir de la siguiente fórmula P (A) =. Z. b. f (x)dx. (3.1). a. 3.3.. Proceso Estocástico. Un proceso estocástico representa un sistema en que una variable aleatoria depende del tiempo, es decir X = X(t). Por lo general el tiempo se considera perteneciente al intervalo [0,∞), en este caso se considerarı́a un proceso de tiempo continuo, pero también es factible considerar procesos en el que el tiempo es discreto es decir T = {0, 1, 2, ...}. Por lo tanto un proceso estocástico depende de dos variables; para un tiempo t, la variable XT es una función la variable aleatoria ω, Xt = Xt (ω).. Existen diferentes tipos de procesos estocásticos, entre los más usados en las finanzas y la fı́sica se encuentran:. Proceso Estacionario: Proceso en el cual la función de distribución permanece constante en el tiempo. Proceso Homogéneo: En éste las variables aleatorias son independientes e idénticamente distribuidas. Proceso de Markov: Proceso discreto en el cual solo depende del estado inmediatamente anterior. Proceso de Bernoulli: Proceso discreto que se rige por una distribución binomial1 . 1. En el apéndice B se puede ver como en una distribución binomial y en que casos en útil usarla..

(23) Capı́tulo 3. Definiciones básicas de Probabilidad. 3.4.. 15. Valor esperado y Desviación Estándar. El valor esperado2 , E(x) de una variable aleatoria3 , x se define como: X. E(x) =. xpx. xΩx. Para el caso discreto, y para el caso continuo se define como: E(x) =. Z. xpx dx. Ωx. La varianza, V(x) de una variable aleatoria, x se define como: V (x) = E(x2 ) − E(x)2 y la desviación estándar, σ es: σ = (V (x))1/2. 2. En fı́sica el valor esperado se denota como <x>. El valor esperado también puede ser de una función, en este caso se reemplaza la variable aleatoria por la función. 3.

(24) Capı́tulo 4 Movimiento Browniano, Caminata Aleatoria y Ecuación de Difusión Robert Brown descubrió que una partı́cula de polen sumergida en lı́quido experimenta un movimiento perpetuo e irregular (1827). Este movimiento se debe a las colisiones continuas de las moléculas del lı́quido con la partı́cula de polen. Se puede asumir que la fuerza que actúa sobre el polen está compuesta de dos partes; la primera es debida a la fricción que hace el fluido, y la segunda es una fuerza fluctuante. Esta fuerza aleatoria representa los contantes choques de las moléculas del fluido que rodean la partı́cula de polen. Este movimiento que describe la partı́cula de polen es conocido como movimiento Browniano. [7]. Cuando se tiene un movimiento Browniano en una dimensión se puede pensar como el lı́mite de la caminata aleatoria después de hacer infinitos pasos. Esta formulación fue hecha por Bachelier en 1900 y también demostró la relación existente entre el movimiento Browniano y la ecuación de difusión. La construcción matemática rigurosa fue realizada por Wiener en 1923, por lo que el movimiento Browniano también es conocido como proceso de Wiener.[6]. 16.

(25) Capı́tulo 4. Movimiento Browniano, Caminata Aleatoria y Ecuación de Difusión. 4.1.. 17. Caminata Aleatoria. [5]La caminata aleatoria es conocida por muchos como la caminata del borracho en la cual una persona borracha intenta caminar sobre una lı́nea recta y en cada intervalo del tiempo ∆t hace un paso de longitud l o para la izquierda o derecha con igual probabilidad. Un modelo de la caminata aleatoria, es un camino de movimientos seguidos en el tiempo que cumple con lo siguiente. Existe un punto de partida. La distancia entre un punto y el siguiente es constante durante la caminata. La dirección del movimiento (izquierda o derecha)1 entre dos punto es aleatoria. La distancia en lı́nea recta entre el punto de partida y la caminata de N pasos es aproximadamente igual a N 1/2 .. Por lo tanto después de un tiempo t = N∆t, donde N es el número de pasos dados, la posición X(t) representa un proceso estocástico, ya que la probabilidad P(X(t) = x) de que el borracho se encuentre en una posición x = nl, donde n es un entero, para el tiempo t describe una distribución binomial.. 4.2.. Ecuación de Difusión. [8]La ecuación de difusión describe variaciones en la densidad de un material que se difunde, y se usa para describir procesos que tienen un comportamiento de difusión. 1. En el caso de las finanzas serı́a arriba o abajo, ya que se estrı́a hablando de las fluctuaciones de los precios..

(26) Capı́tulo 4. Movimiento Browniano, Caminata Aleatoria y Ecuación de Difusión. 18. Por definición, si (at )t≥0 y (bt )t≥0 son procesos no anticipados2 , un proceso estocástico (Xt )t≥0 que cumple con la ecuación dXt = at dt + bt dW se llama un proceso de difusión.. Por ejemplo, at = 0, bt = 1 ⇒ Xt es un Movimiento Browniano. at = µ, bt = σ ⇒ Xt es un Proceso de Wiener. at = µSt , bt = σSt ⇒ Xt se un movimiento Browniano Geométrico. [9]Para el caso de las finanzas se puede hacer la siguiente analogı́a: se asume que se tienen precios discretos { S1 , S2 , ..., Sn−1 , Sn , Sn+1 , ...}, y que en cierto tiempo t en el futuro los precios existirán con las probabilidades { p1 , p2 , ..., pn−1 , pn , pn+1 , ...}, por lo tanto es válido preguntarse por la evolución de las probabilidades en el tiempo; especı́ficamente, ¿Cuál es la probabilidad pn ’ de tener Sn en un tiempo ∆t después de t? Si se asume que el cambio del precio Sn → Sn±1 que tiene que realizarse en el intervalo ∆t, se encuentra que la probabilidad pn ’ = (pn−1 + pn+1 )/2, porque al precio Sn puede llegarse desde Sn−1 ó desde Sn+1 con probabilidad pn+1 /2 ó pn−1 /2. El cambio en la probabilidad de un precio Sn durante un tiempo ∆t es ∆pn = p0n − pn =. 1 ∂ 2 p(S, t) pn+1 − 2pn + pn−1 → (∆S)2 2 2 ∂S 2. (4.1). si se toma la continuidad en el lı́mite de los precios y el tiempo. Por otra parte, en el mismo lı́mite ∆pn →. ∂p(S, t) ∆t ∂t. (4.2). Por lo tantos se tiene D. ∂ 2p ∂p − =0 2 ∂S ∂t. (4.3). Se puede ver que la función p(S,t) satisface la ecuación de difusión. 2. Un proceso estocástico no anticipado es un proceso para el cual esta definido un movimiento de Wiener en todo momento del proceso estocástico no anticipado..

(27) Capı́tulo 4. Movimiento Browniano, Caminata Aleatoria y Ecuación de Difusión. 4.2.1.. 19. Lema de Itô. [8]Si se tiene un proceso de difusión dXt = at dt + bt dW y una función F = F (t, Xt ), entonces para funciones que tienen dependencia explı́cita en el tiempo:. dF (t, Xt ) =. 4.3.. ! ∂F ∂F 1 2 ∂2F ∂F (t, Xt )+a(t, Xt ) (t, Xt )+ b (t, Xt ) (t, Xt ) dt+b(t, Xt ) (t, Xt )dWt 2 ∂t ∂X 2 ∂X ∂X (4.4). Movimiento Browniano. [6]El movimiento Browniano es un proceso estocástico que resulta de llevar la caminata aleatoria al lı́mite continuo, es decir ∆t → 0, l → 0, N,n → ∞ de tal forma que t = N∆t y x = nl permanezcan infinitos. Pero hay que tener cuidado con estos lı́mites para asegurarse que la probabilidad p(x,t) se obtenga, por lo tanto se tiene que tomar ∆t → 0 y l → 0 de. tal forma que l2 = σ∆t, donde σ es una constante. En este caso la probabilidad está dada por la distribución Normal o Gaussiana3 . Una distribución normal con media µ y desviación σ se denota N(µ, σ 2 ) y su función de probabilidad es: fx (x) ∼ N (µ, σ 2 ) Un movimiento Browniano estándar o un proceso de Wiener { W(t), t ≥ 0} es un proceso estocástico con las siguientes propiedades:. W(0) = 0. Los incrementos W(t) - W(s) son estacionarios e independientes. Para t > s, W(t) - W(s) tiene una distribución N(0,t-s). Las trayectorias son continuas 3. Ver apéndice B en el cual se explica como es esta distribución..

(28) Capı́tulo 4. Movimiento Browniano, Caminata Aleatoria y Ecuación de Difusión. 20. La condición de estacionalidad implica que la función de probabilidad de W (t) − W (s), para t > s, depende únicamente de la diferencia de tiempo t − s. La segunda y tercera condición implican que W (t) ∼ N (0, t) para t ≥ 0.. 4.3.1.. Movimiento Browniano Geométrico. [4]Un proceso de gran importancia en las finanzas es el movimiento Browniano geométrico, el cual está definido por la solución de la siguiente ecuación diferencial estocástica, dSt = µSt dt + σSt dW. (4.5). donde µ es la media y σ es la desviación.. La solución de este movimiento se puede llegar de la siguiente forma. Como aplicación del lema de Itô se puede considerar el logaritmo del movimiento geométrico Browniano, es decir: Y (t, St ) = log St . Por lo tanto,. Es decir: dY =. . 0+. 1 µS S. +. ∂Y ∂t. = 0,. ∂Y ∂S. . 1 S2. 1 2 2 σ S 2. −. = S1 ,. . ∂2Y ∂S 2. dt +. = − S12 .. σS S1 dW. =. . µ−. 1 2 σ 2. . dt + σdW . . Por lo tanto Yt = log St es un proceso de Wiener con valor esperado, E = Y0 + 1 2 2 2 y varianza, σ = σ (t − t0 ), por lo que Yt = Yt0 + µ − 2 σ (t − t0 ) + σWt . Esto nos lleva a St = St0 exp. . µ−. 1 2 σ 2. . µ− 21 σ 2. (t−t0 ). . + σWt , con eYt0 = St0 .. El movimiento Browniano geométrico es el modelo básico para la dinámica de precios en la ecuación de Black-Scholes..

(29) Capı́tulo 5 Ecuación de Black Scholes La ecuación de Black Scholes permite calcular el precio de una opción, Put o Call, pero las ecuaciones tienen algunas restricciones. Las opciones tienen que ser europeas1 , al igual que tampoco se pueden generar dividendos y la volatilidad tiene que ser siempre la misma durante el tiempo del contrato.. Primero miraremos dos interpretaciones diferentes de ecuaciones diferenciales estocásticas para interpretar la ecuación de Black-Scholes; Itô y Stratonovich[10].. 5.1.. Itô y Stratonovich. Empezando con la ecuación multiplicativa de Langevin .. X = f (X) + g(X)ξ(t). (5.1). donde f y g son funciones dadas y ξ es una Gaussiana con ruido blanco, es decir es un proceso gaussiano estacionario con media cero y correlación delta. La ecuación anterior, 5.1, puede 1. El significado de una opción europea se encuentra en el apéndice A, Mercados Financieros.. 21.

(30) Capı́tulo 5. Ecuación de Black Scholes. 22. escribirse como un proceso de Wiener como dX = f (X)dt + g(X)dW (t). (5.2). donde dW (t) = ξ(t)dt. Por la gran variabilidad del ruido blanco no se puede decir que valor puede tomar X en cada paso de tiempo, ası́ sea un paso infinitesimal, dt. De acuerdo a Itô el valor de X es el anterior al comenzar el paso de tiempo, es decir, X = X(t), mientras que Stratonovich usa un valor para X en la mitad del paso; X = X(t + dt/2) = X(t) + dX(t)/2.. El diferencial de cualquier proceso aleatorio X(t) se define por dX(t) ≡ X(t + dt) − X(t). (5.3). Por otro lado el diferencial, dX(t), de un proceso aleatorio es igual al valor medio si su varianza es por lo menos del orden de dt2 : < [dX(t)− < dX(t) >]2 >= O(dt2 ). El lı́mite del valor esperado cuadrado se puede usar para demostrar que | dW (t) |2 = dt. Por lo tanto la ecuación 5.2 queda. | dX |2 =| g(X) |2 dt + O(dt2 ). (5.4). Ahora el diferencial del producto de dos procesos aleatorio s es d(XY ) = [(X + dX)(Y + dY )] − XY. (5.5). Por lo tanto el diferencial desde el punto de vista de Stratonovich es d(XY ) = XS dY + YS dX. (5.6).

(31) Capı́tulo 5. Ecuación de Black Scholes. 23. donde XS (t) = X(t + dt/2) = X(t) + dX(t)/2, de forma similar para YS (t). Desde el punto de vista de Itô el diferencial del producto es d(XY ) = XI dY + YI dX + dXdY. (5.7). donde XI ≡ X(t) y de forma similar YI . Por lo tanto cualquier ecuación diferencial estocástica multiplicativa tiene diferentes expresiones para las funciones f (X) y g(X) dependiendo de la interpretación escogida. En el marco de Stratonovich la ecuación 5.2 puede escribirse como dX = f (S) (XS )dt + g (S) (XS )dW (t). (5.8). dX = f (I) (XI )dt + g (I) (XI )dW (t). (5.9). En el marco de Itô es. De las ecuaciones anteriores y la definición de de XS (t) se puede obtener la relación entre fS y fI. ∂g (S) (X) 1 , f I (X) = f (S) (X) − g (S) (X) 2 ∂X. g (I) (X) = g (S) (X). (5.10). Si h(X, t) es una función arbitraria de X y de t, en el marco de Itô el diferencial de h(X, t) es. " # ∂h(X, t) ∂h(X, t) 1 2 ∂ 2 h(X, t) dh = dX + + g (X, t) dt ∂X ∂t 2 ∂X 2. (5.11). Mientras que en el marco de Stratonovich se tiene la siguiente expresión dh =. 5.2.. ∂h(XS , t) ∂h(XS , t) dX + dt ∂XS ∂t. (5.12). Derivación de Black Scholes. La derivación de esta ecuación depende principalmente en como se conforma el portafolio inicialmente. En este caso el portafolio está compuesto de una cantidad de shares, ∆, uno.

(32) Capı́tulo 5. Ecuación de Black Scholes. 24. número de opciones calls, Ψ y una cantidad de securities libres de riesgo (bonos), Φ. Especı́ficamente en este caso nos pertenece el valor de ΨC opciones call, y debemos ∆X + ΦB. El valor del portafolio, P es P = ΨC − ∆X − ΦB. (5.13). donde X es el precio Stock, C es el precio call (lo que se tiene que determinar) y B es el precio de los bonos. El precio de los bonos no varı́a aleatoriamente, este se determina por la tasa libre de riesgo, es decir. 2. dB = rBdt. (5.14). De acuerdo a Merton se asume que el portafolio debe ser construido de tal forma que este no tenga inversión, es decir P = 0 para cualquier tiempo t, por lo tanto la ecuación 5.13 queda C = δn X + φn B. (5.15). donde δn ≡ ∆Ψ y φn ≡ ΦΨ son el número de shares por call y el número de bonos por call. Desde la ecuación 5.15, que representa el portafolio, es el punto de partida para la derivación de la ecuación desde el punto vista para Itô o para Stratonovich.. 5.2.1.. Derivación de Black Scholes por el método de Itô. Primero se obtiene el diferencial del precio de la opción call C dC = δdX + φdB + Xdδn + Bdφn + O(dt3/2 ). (5.16). Se asume que las variaciones en la riqueza solo se deben a las ganancias del capital, es decir que el número de shares cambia debido a la compra o venta de bonos, es decir Xdδn = −Bdφn 2. el cambio del valor del bono el tiempo es igual a la tasa libre de riesgo r por el valor del bono B. (5.17).

(33) Capı́tulo 5. Ecuación de Black Scholes. 25. Por lo tanto la ecuación 5.16 queda dC = δdX + φdB. (5.18). A partir de las ecuaciones 5.14 y 5.15 se llega φdB = r(C − δX)dt + O(dt3/2 ), por lo tanto dC = δdX + r(C − δX)dt + O(dt3/2 ). (5.19). Por otro lado, como C es función de X y de t, el diferencial de C puede evaluarse a partir del Lema de Itô, dC =. ! ∂C 1 2 2 ∂ 2 C ∂C + σ X dt + dX 2 ∂t 2 ∂X ∂X. (5.20). Sustituyendo la ecuación 5.19 en la 5.20 ! " # ∂C 1 2 2 ∂ 2C ∂C dX = − r(C − δX) + σ X dt δ− ∂X ∂t 2 ∂X 2. (5.21). Esta ecuación, es una ecuación estocástica debido a la variación X, es decir que la parte izquierda de la ecuación 5.21 es la parte estocástica y la derecha es la determinista. Como la ∂C idea es hacer un portafolio libre de riesgo solo debe existir la parte determinista: δ − ∂X = 0.. Esto se convierte en la estrategia del inversionista3 ; el número de shares por call, delta hedging δ=. ∂C(x, t) ∂x. (5.22). Por lo tanto se tiene ∂C 1 2 2 ∂ 2 C ∂C = rC − rx + σ X ∂t ∂x 2 ∂X 2 La ecuación 5.23 es la ecuación de Black Scholes. 3. una de las forma de protegerse contra el riesgo. (5.23).

(34) Capı́tulo 5. Ecuación de Black Scholes. 5.2.2.. 26. Derivación de Black Scholes por el método de Stratonovich. Para hacer la derivación de la ecuación de Blach Scholes por el método de Stratonovich partiremos de la ecuación 5.19 derivada en la sección anterior. Esta ecuación la escribiremos de la siguiente forma dC = δ(X, t)dX(t) + r[C(X, t) − δ(X, t)X]dt + O(dt3/2 ). (5.24). El δ se debe expresar en la interpretación de Stratonovich, por lo tanto si X = XS − dX/2 entonces δ(X, t) = δ(XS − dX/2, t), es decir δ(X, t) = δ(XS , t) −. 1 ∂δ(XS , t) dX + O(dX 2 ) 2 ∂Xs. (5.25). de forma análoga C(X, t) = C(XS , t) + O(dX). Por lo tanto de la ecuaciones 5.24 y 5.25 se tiene ". # 1 2 2 ∂δ(XS , t) dC = δ(Xs , t)dX + rC(XS , t) − rXS δ(XS , t) − σ XS dt + O(dt3/2 ) 2 ∂XS. (5.26). Por otro lado de la ecuación 5.12 el diferencial de C es dC =. ∂C(XS , t) ∂C(XS , t) dt + dX ∂t ∂XS. (5.27). De estas dos ecuaciones se puede obtener ". # " ∂C(XS , t) ∂C(XS , t) δ(Xs , t) − − dX = ∂XS ∂t # 1 2 2 ∂δ(XS , t) rC(XS , t) + rXS δ(XS , t) + σ XS dt 2 ∂XS. (5.28). Por el mismo argumento presentado en la sección anterior la ecuación anterior es no estocástica si δ(Xs , t) −. ∂C(XS ,t) ∂XS. = 0, es decir que. ∂C(XS , t) 1 ∂δ(XS , t) = rC(XS , t) − rXS δ(XS , t) − σ 2 XS2 ∂t 2 ∂XS. (5.29).

(35) Capı́tulo 5. Ecuación de Black Scholes. 27. Como vemos esta ecuación 5.29 es la ecuación de Black Scholes, que es la misma ecuación 5.23.. 5.3.. Solución de la Ecuación de Black Scholes. [9]Viendo la ecuación 5.29 o 5.23, que es la misma ecuación del artı́culo de Black-Scholes, ésta se resuelve de la misma forma que la ecuación de difusión para una dimensión con condiciones de frontera especiales. Ahora C(S, t) = F (S, t).. Sustituyendo F (S, t) por: F (S, t) = e−r y(u, v) 2ρ S u = ln + ρ[T − t] σ2 K 2 2 σ2 v = ρ (T − t), ρ = r − σ2 2. (5.30). (5.31). Por lo que las derivadas ∂F/∂S, ∂ 2 F/∂S 2 y ∂F/∂t se expresan con ∂y/∂u, ∂y/∂v y y(u, v) satisface la ecuación de Difusión en una dimensión: ∂y(u, v) ∂ 2 y(u, v) = ∂v ∂u2. (5.32). Las condiciones de frontera de la ecuación de Balck-Scholes, para una Opción Call, son   0 if u < 0 y(u, 0) = 2  K(euσ /2ρ − 1) if u ≥ 0. La ecuación de difusión se resuelve por la transformada de Fourier en la variable espacial y(u, v) =. Z. ∞. −∞. dqeiqu y(q, v). (5.33).

(36) Capı́tulo 5. Ecuación de Black Scholes. 28. por lo que la ecuación 5.32 queda y(q, v) = y(q, 0)exp(−q 2 ). (5.34). y(q, 0) está dada por la condición de frontera, pero esto no se tiene que hacer explı́citamente. El truco es transformar la solución 5.34 a las variables u con una integral de convolución: 1 y(u, v) = 2π. Z. 1/2 x2 π f (x) = exp − v 4v. ∞. −∞. dwy(w, 0)f (u − w). con. (5.35). y haciendo la siguiente sustitución, z = (w − u)/(2v)1/2 , se tiene K y(u, v) = (2π)1/2. Z. ∞. dze. −z 2 /2. −u/(2v)1/2. 2n o σ 1/2 −1 (2v) z + u exp 2ρ. (5.36). Para tener la solución completa hay que completar el cuadrado del exponente y sustituir todas las cantidades. Por lo tanto la ecuación de Black-Scholes para una Opción Call europea4 es C(S, t) ≡ F (S, t) = SN (d1 ) − Ke−r(T −t) N (d2 ). (5.37). Y la solución equivalente pata una Opción Put Europea es P (S, t) = Ke−r(T −t) N (d2 ) − SN (d1 ). (5.38). donde N(d) es la distribución de la Normal acumulada 1 N (d) = (2π)1/2. Z. ∞. dxe−x. 2 /2. (5.39). −d. y los términos d1 y d2 están dados por 4. Por todas las suposiciones que se hicieron en la construcción de la ecuación tiene que ser una Opción europea.

(37) Capı́tulo 5. Ecuación de Black Scholes. 29. 2. ln S + (r + σ2 (T − t) d1 = K σ(T − t)1/2. (5.40). 2. ln S + (r − σ2 (T − t) d2 = K σ(T − t)1/2. (5.41).

(38) Capı́tulo 6 Mecánica Estadı́stica. 6.1.. Introducción. [11] Uno de los tópicos más estudiados en la finanzas son las fluctuaciones de los precios y de las acciones, al igual que el comercio debido a la cantidad de datos existentes. En este capı́tulo se estudiará las variaciones de los precios de la acciones (precio Stock); G(t) = ln S(t + 1) − ln S(t). (6.1). donde S es el precio de la acción. Si la función de distribución P (G) se distribuye exponencialmente con exponente −(α + 1) con un α ≈ 1,5 para g pequeñas g : (0,5 < g < 3) y para α ≈ 3 para g grandes g : (3 < g), donde g es la variación del precio para un comerciante individual.. 6.2.. Resultados empı́ricos de los Mercados Financieros. El número de comerciantes en un intervalo ∆t en el tiempo t se denotará como N∆t (t) = N0 + δN∆t (t), donde N0 es el valor promedio de N∆t sobre un tiempo largo. El número de 30.

(39) Capı́tulo 6. Mecánica Estadı́stica. 31. comerciantes está correlacionado con el tiempo de la siguiente forma, según estudios empı́ricos hδN∆t /(t + T )δN∆t (t)i ∝ T −γ. (6.2). donde el valor de γ es aproximadamente γ ≈ 0,3. Otra cantidad medida en el mercado es la cuota de volumen, ésta cantidad para n comerciantes se puede definir como Qn =. n X. qi. (6.3). i=1. donde qi es la cuota de volumen en la i-ésima transacción. Se ha encontrado que qi se correlaciona semanalmente y la distribución P (Qn ) de Qn es una distribución estable de Levy1 con la siguiente función caracterı́stica2 φ(k) = e−m|k|. α. (6.4). con un α ≈ 1,45. Las variaciones del precio de las acciones, Ω∆t (t), está relacionada con el desequilibrio de la cuota de volumen del vendedor y el comprador. Esto está definido por. Ω∆t (t) =. N∆t X. ai qi. (6.5). i=1. donde ai = ±1 es el signo para el vendedor (+1) y para el comprador (-1). La función de Ω → G varı́a dependiendo de la escala de tiempo en el intervalo ∆t. Pero la función Φ → G es estable, donde Φ∆t (t) =. N∆t X. ai. (6.6). i=1. y es aproximadamente hG∆t i ∝ tanh(AΦ∆t ). (6.7). donde A es una constante. La función de distribución P (Ω) tiene un pico alrededor del punto Ω = O y si se toman comerciantes con una pequeña distribución de la cuota de volumen, 1 2. La distribución de Levy se puede ver en el apéndice de Probabilidad La función caracterı́stica, en probabilidad, de una variable aleatoria define la distribución de probabilidad..

(40) Capı́tulo 6. Mecánica Estadı́stica. 32. como Σ = h| qi ai − hqi ai i |i. (6.8). Cuando Σ excede el valor crı́tico Σc , el pico de P (Ω) se separa en dos picos Ω = ± | Σ − Σc |. (6.9). Como qi es un proceso independiente e idénticamente distribuido, se espera que el comportamiento sea heredado a δN∆t (t).. 6.3.. Correlación en el tiempo. La existencia de correlación 6.2 implica la existencia de la interacción entre δN∆t (t) y δN∆t (t+ 1). Esta interacción es mediada por Φ∆t (t) → G∆t (t). Como qi es un proceso de Levy estable 6.4. se tiene Σ ∝ N∆t (t)−1/α. (6.10). Φ∆t (t) ∝ ± | N∆t (t) − Nc |. (6.11). y. De las ecuaciones 6.7 y 6.11 | hGi |= 0 | hGi |∝ δN∆t − n0 | hGi |= const(6= 0). (δN∆t << n0 ) (n0 < δN∆t < n1 ). (6.12). (n1 << δN∆t ). Para h| G |i, a excepción para el rango n0 < δN∆t < n1 , la función se comporta como una función de dos niveles para δN∆t . Si se asume una relación causal G∆t (t) → δN∆t (t + 1), la.

(41) Capı́tulo 6. Mecánica Estadı́stica. 33. distribución de probabilidad de δN∆t (t + 1) es. 6.4.. Pt+1 (δN∆t ) = p0 (δN∆t ). (δN∆t (t) < n0 ). Pt+1 (δN∆t ) = p1 (δN∆t ). (n1 < δN∆t (t)). (6.13). Modelo de Ising. Se introducirá una nueva variable n 0 + n1 2. x = ln(δN∆t ) − ln. !. (6.14). y asumimos simetrı́a entre p0 y p1 de 6.13 como p0 (−x) = p1 (x) ≡ p(x). (6.15). Si δN∆t es representado por los estados de dos niveles como | −i para x < 0 y | +i para x > 0. La amplitud de transición de los estados es +β. P++ = P−− ≡ e. =. P+− = P+− ≡ e−β =. Z. ∞. Z 00. dxp(x) dxp(x). (6.16). −∞. donde β representa la fuerza de correlación de las series de tiempo. Si β = 0 no existe correlación entre δN∆t . Esto da a lugar al modelo de Ising3 con spin variable si =| ±i en una red unidimensional y con un Hamiltoniano H=. X. si sj. (6.17). (i,j). 3. El modelo de Ising, los spines toman en valor de +1 o -1. Los espines interactúan por parejas. Los espines están ubicados sobre una red y solo se consideran interacciones con sus vecinos[12]..

(42) Capı́tulo 6. Mecánica Estadı́stica. 34. Cuando β < βc el sistema está en una fase desordenada y las transacciones ocurren al azar. Si β > βc el sistema está en una fase ordenada y los spines se encuentran alienados en una dirección. En este último caso el valor promedio de N∆t es de transición y el vacı́o de la teorı́a es inestable.Si β = βc es un punto crı́tico, aparece una longitud infinita de correlación de los spines (número de comerciantes δ) En el modelo de Ising la función de correlación de magnetización está dada por hst+δt st i = δt−(d−2+λ). (6.18). donde λ = 14 . Respecto a lo observado de la correlación de δN∆t . La dimensión del mercado en el modelo de Ising es d = 2.05. Una dimensión corresponde al tiempo y la otra emerge de la estructura de la red y las interacciones de las acciones. A partir de la ecuación 6.7 se puede hacer una analogı́a al campo medio hM i ∝. 6.5.. e+M − e−M e+M + e−M. (6.19). Variación de los Precios. De la ecuación 6.2, la variación de la suma de δN∆t se comporta asintóticamente como 2 hδN∆txT i. T X =h δN∆t (i)2 i ∝ α0 T + α1 T 2−γ. (6.20). i=1. donde γ ≈ 0,3 y a0 y a1 son constante de orden 1. Alrededor de T ≈ 1, se puede aproximar a 2 hδN∆txT i ∝ T 1,35. (6.21). 2 1/2 i para hGi pequeños. Para hGi grandes, De la ecuación 6.13, hGi es proporcional a hδN∆t. 2 1/2 el tamaño de la fluctuación individual no depende de hδN∆t i y se comporta como una.

(43) Capı́tulo 6. Mecánica Estadı́stica. 35. distribución normal debido al Teorema del Lı́mite Central. Como resultado se tiene 2 1/2 hG2 i1/2 ≈ hδN∆t i ≈ T 1,35/2. (hGi < 1). 2 1/4 hG2 i1/2 ≈ hδN∆t i ≈ T 1,35/4. (1 < hGi). (6.22). El comportamiento de la función hG2 i1/2 es de difusión y es consecuente con la distribución G y se observa que la cola de la distribución G es 2. P (G) ≈ G−( 1,35 +1) ≈ G−(1,48+1) 4. P (G) ≈ G−( 1,35 +1) ≈ G−(2,96+1). (hGi < 1) (1 < hGi). (6.23).

(44) Capı́tulo 7 Analogı́as con la Termodinámica La idea de hacer una analogı́a entre la termodinámica y la economı́a es tener un marco teórico en cual se pueda determinar la dependencia de la función de utilidad con los parámetros que especifican un sistema económico.. 7.1.. Introducción. [13] En este capı́tulo se mostrará las analogı́as existentes entre la Termodinámica y la economı́a. Para hacer este análisis se asumirá que el sistema económico está en equilibrio. Este caso asumiremos que el sistema económico es un individuo, el cual tiene una función de utilidad 1 U . Para poder hacer la analogı́a se asume que U toma valores reales.. Primero vamos a considerar una cantidad económica medible llamada riqueza2 R, R = λM + pN 1. (7.1). La función de utilidad depende la cantidad de bienes que compra y vende un individuo Riqueza se puede definir como los bienes y obligaciones que tiene una persona en un momento determinado que tiene un valor económico. 2. 36.

(45) Capı́tulo 7. Analogı́as con la Termodinámica. 37. donde λ y M representan el valor y la cantidad de la plata y p y N son vectores que representan precios y número de bienes3 . La riqueza, R, debe conservarse en cualquier transacción realizada, al igual que la energı́a, E, por lo que esta será una posible analogı́a, viendo desde el punto de maximizar la analogı́a serı́a −E y R. Si se ve desde el punto de vista de las variables termodinámicas extensivas la analogı́a mas apropiada con la energı́a serı́a la función de utilidad.. El valor, la plata y de los bienes de un individuo está sumado en el valor de U , el cual por lo general excede R. Ésta diferencia es conocida como superávit (excedente) al cual llamaremos Ψ. Ψ=U −R. (7.2). La energı́a libre de Helmholtz para una sistema de N partı́culas idénticas se define como F = −P V + µN. (7.3). donde P es la presión, V es el Volumen y µ es el potencial quı́mico. Al ver esta ecuación, 7.3, y compararla con la ecuación 7.1 se puede pensar en una analogı́a entre −P V y λM . El precio p serı́a análogo al potencial quı́mico µ. La energı́a E esta relacionada con F por medio de la entropı́a, S y la temperatura T de la siguiente forma, TS = E − F. (7.4). Comparando las ecuaciones 7.2 y 7.4 podemos hacer una analogı́a entre Ψ y T S. En la siguiente tabla podemos ver la analogı́as hechas. Analogı́as Termodinámica -F Economı́a 3. R. -E. TS µ. N. u. Ψ. N. p. λ y M también pueden ser vectores si se tiene más de un tipo de moneda..

(46) Capı́tulo 7. Analogı́as con la Termodinámica. 7.2.. 38. Termodinámica. Para un sistema con el número de partı́culas fijas el cambio de energı́a es dE = δQ + δW. (7.5). En equilibrio δQ = T dS y δW = −P dV , por lo tanto la conservación de la energı́a, ecuación 7.5 queda dE = T dS − P dV. (7.6). En el caso que se pudiera dar un cambio de partı́culas en el sistema el cambio de energı́a queda dE = T dS − P dV + µdN. (7.7). La energı́a se puede escribir como función de las variables extensivas; la entropı́a S, volumen V y el número de partı́culas N : E = E(S, V, N ). Por lo tanto la ecuación 7.7 queda, dE =. ∂E ∂E ∂E dS − dV + dN ∂S ∂V ∂N. (7.8). Por lo que se tienen las siguientes relaciones. T ≡. ∂E ∂S. !. V,N. P ≡. ∂E ∂V. !. ∂E ∂N. µ≡. S,N. !. S,V. De las cuales se puede ver las relaciones de Maxwell a partir de las segundas derivadas cruzadas de la energı́a. ∂P − ∂S. !. V,N. =. ∂T ∂V. !. S,N. ∂µ ∂S. !. V,N. =. ∂T ∂N. !. S,V. −. ∂P ∂N. !. S,V. =. ∂µ ∂V. !. S,N. Como la energı́a es un parámetro extensivo cumple que E(αS, αV, αN ) = αE(S, V, N ), para un α > 0. Diferenciando la parte izquierda se llega a T S − P V + µN y diferenciando la parte.

(47) Capı́tulo 7. Analogı́as con la Termodinámica. 39. derecha se tiene E(S, V, N ), por lo que se tiene la siguiente relación E(S, V, N ) = T S − P V + µN. 7.3.. (7.9). Termodinámica y Economı́a. Como se vio en la sección 7.1 se tiene la relación Ψ = T S y U = T S + R = T S + λM + pN . Comparando esta última ecuación con la ecuación 7.9 puede decirse que la utilidad es una función U = U (S, M, N ). (7.10). por lo que la ecuación económica equivalente a la ecuación 7.7 es dU = T dS + λdM + pdN donde T ≡. ∂U ∂S. !. λ≡. M,N. ∂U ∂M. !. (7.11). p≡. S,N. ∂U ∂N. !. (7.12). S,M. Vale la pena hacer la distinción entre dos tipos posibles de medir la utilidad. La primera es el valor de cambio, por lo general se identifica con el precio p. De las relaciones 7.12 se tiene que este valor es la utilidad marginal por bien con S y M fijas. Otra medición es el valor en uso que se identifica con la utilidad marginal por bien para otras variables fijas. Por simplicidad se fija M , la segunda variable no se puede decir explı́citamente cual es, por lo que se denota con x. Por lo tanto la ecuación 7.11 queda ∂U ∂N. !. x,M. =T. ∂S ∂N. !. +p. (7.13). x,M. Uno de los grandes logros en la economı́a en el siglo XIX fue el siguiente enunciado: Un consumidor comprará bienes con la condición que la rata del valor de cualquier bien en uso tenga precio p. Esto significa que para un mercado en el cual los bienes son fijos la función U.

(48) Capı́tulo 7. Analogı́as con la Termodinámica. 40. se maximiza para cada bien. Por lo tanto si se tienen dos bienes se tiene la siguiente condición 0 = p1 dN1 + p2 dN2. (7.14). La maximización de la utilidad requiere 0=. ∂U ∂U dN1 + dN2 ∂N1 ∂N2. Combinando las dos últimas ecuaciones se tiene. 1 ∂U p ∂N. (7.15). = const para cada bien. Con la ecuación. 7.13 y 7.15 se puede llegar a 1 ∂U p ∂N. !. x,M. T = p. ∂S ∂N. !. + 1 = const. (7.16). x,M. Si m!representa el valor en uso, es decir la utilidad marginal por bien a M y x fija: m ≡ ∂U ∂N. x,M. La razón m/p puede generalizarse para incluir el valor de la moneda, esto permite el estudio del ahorro. Definiendo mλ ≡. ∂U ∂M. !. (7.17). x,N. por lo tanto la razón del valor en uso al valor de cambio para la moneda, mλ /λ toma el mismo valor que m/p para los bienes. Si usamos U = T S + R = T S + λM + pN para relacionar R y , la analogı́a al estado asociado a F se tiene dR = −SdT + λdM + pdN. (7.18). donde S≡−. ∂R ∂T. λ≡−. ∂R ∂M. p≡−. ∂R ∂N. (7.19). Otro relación en la economı́a dice que cuando un consumidor interactúa con el mercado, el precio lo determina el mercado. Este resultado se puede obtener asumiendo que en el.

(49) Capı́tulo 7. Analogı́as con la Termodinámica. 41. equilibrio, la riqueza total del consumidor y la del mercado está siendo maximizada a una temperatura y plata fija. Si consideramos el mercado como un reservorio r, la ecuación 7.18 puede escribirse como dRr = −Sr dTr − λr dMr + pr dNr. (7.20). que está sujeto a las condiciones dT = dTR = 0, conservación de la plata (dM + dMR = 0) y conservación de los bienes (dN + dNR = 0). Sumando las ecuaciones 7.18 y 7.20 se tiene dW + dWr = (λ − λr )dM + (p − pr )dNr. (7.21). La parte derecha de la ecuación 7.21 es cero para variaciones arbitrarias de dM y dN sólo si el valor de la plata del consumidor es el mismo que el valor de la plata del mercado: λ = λr y lo mismo que para los bienes (p = pr ). De la ecuación 7.1 se tiene dW = λdM + pdN M dλN dp. Para que esta ecuación sea consistente con la ecuación 7.18 se necesita 0 = SdT + M dλ + N dp. (7.22). La ecuación 7.22 es análoga la relación de Gibbs-Duhem. La relación de Gibbs - Duhem puede obtenerse de la ecuación 7.9 al diferenciarla, de la cual se obtiene 0 = SdT − V dP + N dµ. Esto implica que un decrecimiento en el precio de la plata o los bienes está acompañado por un incremento en la temperatura económica. Es de esperarse que si todos los precios y los valores de las monedas aumentan por un factor común; el sistema no cambia realmente.. La ecuación 7.22 tiene una importante aplicación escribiendo el superávit como Ψ = T S dΨ = T dS + SdT = T dS − M dλ − N dP. (7.23). El término T dS se puede interpretar como el cambio económico del valor del tiempo de ocio. A este término se le llama superávit de Veblenian. El término −N dP es el cambio del superávit de los bienes del consumidor, al que se le llama Smithian superávit. Por último el término −M dλ se puede interpretar como el superávit de la moneda, a este superávit.

(50) Capı́tulo 7. Analogı́as con la Termodinámica. 42. también se le llama Smithian superávit. Las Relaciones de Maxwell son consecuencia inmediata que el orden de las segundas derivadas de U = U (S, M, N ) no importa. ∂p ∂S. !. M,N. =. ∂T ∂N. !. S,M. ∂λ ∂S. !. M,N. =. ∂T ∂M. !. S,N. ∂p ∂N. !. S,M. =. ∂λ ∂M. !. (7.24). S,N. En economı́a estas relaciones se conocen como Condiciones de Slutsky. Éstas garantizan que las integrales sobre dU en el espacio de S, N y M sean independientes..

(51) Capı́tulo 8 Conclusiones El objetivo principal de este proyecto de grado era hacer una comparación entre algunos conceptos de la fı́sica con algunos conceptos de la finanzas y la economı́a. Se hizo una revisión de los conceptos relevantes para el estudio en el ámbito de la economı́a y las finanzas; se explicó la utilidad de algunas ecuaciones como la de Black Scholes y algunos conceptos como el de la caminata aleatoria aplicado al movimiento de los precios. También se hizo una revisión de algunos conceptos fı́sicos como el movimiento browniano, la caminata aleatoria y la ecuación de difusión, ésta última se abordó desde un punto de vista económico, de igual forma se llegó al mismo resultado que se obtiene desde la fı́sica.. La ecuación de Black Scholes se derivó desde dos punto de vista diferentes, pero ambos enfocados desde la fı́sica. La solución a esta ecuación se obtuvo usando procedimientos que son principalmente usados y conocidos en la fı́sica.. Por último se usó el modelo de Ising con un enfoque diferente al de una red de spines; en este caso se observó como puede ser aplicado a la variación de precios haciendo algunas analogı́a y definiciones.. 43.

(52) Capı́tulo 8. Conclusiones. 44. También se hizo una analogı́a entre la economı́a y la termodinámica para ver como las mismas ecuaciones en la termodinámica, como las relaciones de Maxwell, pueden ser interpretadas desde otro punto de vista. Como vemos, el conocimiento de la fı́sica puede ser aplicado en otros ámbitos muy distintos al de las ciencias naturales para obtener resultados iguales o muy similares a los obtenidos desde otras ramas del conocimiento, como es el caso de las finanzas y la economı́a..

(53) Apéndice A Mercados Financieros. A.1.. Variables. Las variables usadas en finanzas tienen los siguientes significados. Spot Price: Es el precio presente, el precio real. Este se denota con S Strike Price: Es el precio al que se acuerda vender o comprar en un contrato, este se denota con K. T: Es el tiempo, por lo general es el tiempo de expiración de un contrato. Cuando este se usa como subı́ndice, por lo general en el Spot Price, denota el Spot Price en ese momento. r: Es la tasa de descuento. Cuando esta tasa tiene el subı́ndice f, rf se hace referencia a la tasa libre de riesgo. La tasa libre de riesgo es el mı́nimo rendimiento que tiene un activo, es decir el valor que gana ese activo por permanecer en el tiempo. σ: Es la volatilidad, es decir que tanto puede variar el precio en cierto tiempo.. 45.

(54) Apéndice A. Mercados Financieros. 46. Precios Futuros Cuando no hay arbitraje y la tasa es continua, el precio futuro se puede calcular de la siguiente forma: F = SerT. A.2.. Árboles Binomiales. Teniendo el valor del activo subyacente o la acción, S, el valor en el tiempo de ésta se puede calcular de la siguiente forma: donde u y d son factores de escalamiento que se calculan de. Figura A.1: Precio de una opción en el futuro. la siguiente forma. u = eσT. 1/2. d = 1/u = e−σT. 1/2. y p es la probabilidad de un árbol binomial y para este caso se define como p=. erT − d u−d. Para entender como se calcula el precio de la opción se hará el siguiente ejemplo. Ejemplo Teniendo los siguientes datos calcular el valor de la opción con un árbol a dos (2) pasos. T= 1año, σ = 20 %, r=10 %, S = 20 y K= 18. Si la opción es Call.

(55) Apéndice A. Mercados Financieros. 47. Para este caso tenemos los siguientes valores. (El tiempo para calcular los factores de escalamiento es el periodo del paso, en ese caso 0.5 años). u = 1,15 d = 0,86 p = 0,65. Figura A.2: Precio de la acción en dos pasos. Ejemplo. Teniendo los valores de la acción en el tiempo T (1 año) el valor de la opción, f, es f = ST −K. Como el precio de una opción no puede ser negativo, en estos casos es 0 (cero). El precio de la opción f21 es: f21 = e−rT (p ∗ f31 + (1 − p) ∗ f32 ) = 5, 92. De esta misma forma se calculan los otros precios de las opciones del árbol para obtener que f = 4, 06. Por lo tanto el precio de la opción Call de este activo en T= 0 es $4,06.. Si la opción fuera Put, la única diferencia es que f31 = K − S31 , como ya se dijo antes si este valor es negativo el valor es 0 (cero). Teniendo estos valores se procede de la misma forma..

(56) Apéndice A. Mercados Financieros. A.3.. 48. Opciones. A parte de las diferentes opciones que se explicaron en el capı́tulo de Mercados Financieros, estas opciones pueden ser de dos clases, Americanas o Europeas. La principal diferencia entre estas opciones es que la americana se puede ejercer antes de la fecha de maduración, a diferencia de la europea que solo se puede ejercer en la fecha de expiración del contrato. [4]. Al hacer un cálculo como el que se hizo en la sección anterior en varios ejemplos podemos ver que es mejor ejercer una opción antes de que llegue al tiempo de maduración. En algunos casos esto se debe a que se gira un dividendo..

(57) Apéndice B Probabilidad En probabilidad existen diferentes clases de distribuciones que se usan según el caso en estudio. Algunas tienen ciertas propiedades que hace que sean más convenientes que otras para un determinado experimento o para una determinada variable aleatoria.. B.1.. Distribuciones. B.1.1.. Distribución Binomial. La distribución binomial se usa en el caso que un experimento se haga repetidamente y cumpla con las siguientes caracterı́sticas; el número de ensayos es fijo (n), el parámetro p (probabilidad de éxito) es el mismo para cada ensayo y todos los ensayos son independientes.[14]. Una variable aleatoria X tiene una distribución binomial y se conoce como una variable binomial si y sólo si su distribución de probabilidad está dada por: n x p (1 − p)n−x b(x; n, p) = x 49. para x = 0,1,2,...,n.

(58) Apéndice B. Probabilidad. 50. La media y la varianza de la distribución binomial son σ 2 = np(1 − p). µ = nθ. B.1.2.. Distribución Normal o Gaussiana. En el siglo XIX se investigó por primera vez esta distribución, cuando lo cientı́ficos se dieron cuenta de la regularidad de los errores en las mediaciones. Encontraron que las distribuciones que observaban se podı́an aproximar a curvas continuas, las que llamaron curvas normales de errores. Moivre, Laplace y Gauss estudiaron por primera vez las propiedades de estas curvas.[14]. Una variable aleatoria X tiene una distribución normal y se conoce como una variable aleatoria normal si y sólo si su densidad de probabilidad está dada por −1 1 n(x; µ, σ) = √ e 2 σ 2π. . x−µ σ. 2. para −∞ < x < ∞. donde σ > 0.. Para esta distribución el parámetro µ es el valor esperado E(X) y el parámetro σ es la raı́z cuadrada de la varianza V (X), donde X es una variable aleatoria que tiene la distribución normal con estos dos parámetros.. Como la distribución Normal juega un papel básico en la estadı́stica y su densidad no se puede integrar directamente, se han tabulado sus áreas para el caso especial donde µ = 0 y σ = 1.. La distribución normal con µ = 0 y σ = 1 se conoce como la distribución normal estándar..

(59) Apéndice B. Probabilidad. B.1.3.. 51. Distribución de Levy. Un proceso de Levy, es un proceso estocástico real que empieza en el origen y es continuo.. La distribución de de Levy es una distribución estable y tiene una función de densidad de probabilidad analı́tica, para el dominio x ≥ 0; f (x, c) =. donde c es un parámetro de escala. [15]. c 2π. !1/2. e−c/2x x3/2.

(60) Apéndice C Movimiento Browniano. C.1.. Ecuaciones Estocásticas Diferenciales, Ecuación de Langevin. En fı́sica algunas ecuaciones estocásticas, como la de Langevin, son conocidas. Esta ecuación describe el movimiento browniano de una partı́cula sumergida en un lı́quido. Como se mencionó al inicio del capı́tulo 4, las fuerzas que actúan son dos; la primera fuerza (fricción), si u es la velocidad de la partı́cula la fuerza es −γ 0~u, donde γ 0 es la fricción constante que está dada por 6πaη, donde a es el radio de la partı́cula y η es la viscosidad del medio. La segunda fuerza (aleatoria) puede representarse como A0 (t).. La ecuación de la Langevin es a ecuación de movimiento para esta partı́cula Browniana. m. d~u = −γ 0~u + A0 (t) dt. o de otra forma d~u = −ζ~u + A(t) dt 52. (C.1).

(61) Apéndice C. Movimiento Browniano donde ζ = γ 0 /m y A(t) = A0 (t)/m.. 53.

(62) Bibliografı́a [1] Option. Yahoo Finance. Gráfica: Opción dell. URL http://finance.yahoo.com/q/op? s=dell. [2] M.A. Rodrı́guez Meza.. Un paseo por la mecánica estadistica usando mathemati-. ca. URL http://www.astro.inin.mx/mar/teaching/MecanicaEstadistica_I_2005/ SlideShow_MecanicaEstadistica_I.pdf. [3] Julio Villareal. Notas de clase. Finanzas, segundo semestre 2007. Universidad de los Andes. [4] Marc Eichmann. Apuntes de clase. Mercados Derivados segundo semestre 2008. Universidad de los Andes. [5] J. C. Hull. Fundamentals of Futures and option markets. Pearson, Prentice Hall, 2008. [6] G. L. Vasconcelos. A guide walk doen wall street: An introduction to econophysics. Review of Scientific Intruments, 34(9):1039–1065, September 2004. [7] Donald A. McQuarrie. Statistical Mechanics. University Science Book, 2000. [8] Dr. Jörn Rank. Stochatische prozesse und blach-scholes gleichung. dfine, Econophysics, Oktober 2002. [9] Johannes Voilt. The Statistical Mechanics of Financial Markets. Springer, 2005. [10] M. Montero J. Perelló, J. M. Porrà and J. Masoliver. Black-scholes option princing within ito and statonovich conventions. arXiv, 2008. 54.

(63) Bibliografı́a. 55. [11] Takeshi Inagaki. Critical isingmodel andfinancial market. arXiv, February 2004. [12] Gabiel Tellez. Apuntes de clase. Mecanica Estadistica segundo semestre 2008. Universidad de los Andes. [13] Wayne M. Saslow. An economic analogy to thermodynamics. 1239 American Association of Physics Teachers, 67(12):1247–1239, December 1999. [14] Maryless Miller John E. Freund, Irwin Miller. Estadı́stica Matemática con aplicaciones. Pearson, Prentice Hall, 6th edition edition, 2000. [15] Wikipedia. distribution.. Levy distribution.. URL http://en.wikipedia.org/wiki/Levy_.

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