G. SERRANO SOTELO
1.
Cu´
adricas en un hiperplano af´ın
Sea
E
un
R
-espacio vectorial de dimensi´on
n
+ 1.
Sean
E
∞=
�
e1, . . . , e
n�
un hiperplano vectorial de
E
y
e0
un vector de
E
que no
est´a en
E
∞,
e0
∈
/
E
∞.
Los vectores
{
e0, e1, . . . , e
n}
forman una base de
E
, y si representamos por (
x0, x1, . . . , x
n)sus funciones coordenadas, el
hiperplano af´ın
H
definido por
H
=
e0
+
E
∞tiene por ecuaci´on impl´ıcita
x0
= 1. En este sistema de coordenadas la ecuaci´on
impl´ıci-ta del
hiperplano del infinito
E
∞es
x0
= 0.
Definici´
on 1.1.
Una cu´adrica de
H
es una familia
C
=
{
λT
2}
(
λ
∈
R
), formada por
una m´etrica sim´etrica
T
2sobre
E
y todas sus proporcionales.
El
lugar geom´etrico definido por la cu´adrica
C
es la intersecci´on del hiperplano af´ın
H
con el conjunto de los vectores de
E
que son is´otropos para la m´etrica
T2
locus de
C
=
{
e
∈
E
:
T2
(
e, e
) = 0
} ∩
H
En coordenadas, el locus de
C
representa la ecuaci´on de una
hipersuperficie de grado
2
de
H
. En efecto, si
G
= (
g
ij) es la matriz de un representante
T2
de la cu´adrica
C
respecto de una base
{
e
0, e
1, . . . , e
n}
de
E
en la que la ecuaci´on de
H
es
x
0= 1, se
tiene
locus de
C
=
�
(1
, x1, . . . , x
n)∈
H
:
�
1
x1
. . .
x
n�
g00
g01
. . .
g0
ng10
g11
. . .
g1
n...
... ... ...
g
n0g
n1. . .
g
nn
1
x1
...
x
n
= 0
�
,
de donde resulta
g11x
21+
· · ·
+
g
nnx
2n+ 2(
g12x1x2
+
· · ·
+
g
n−1nx
n−1xn) + 2(g01x1
+
· · ·
+
g0
nx
n) +g00
= 0
.
Observaci´on
1.2.
La parte cuadr´atica,
g
11x
21+
· · ·
+
g
nnx
2n+2(
g
12x
1x
2+
· · ·
+
g
n−1nx
n−1x
n),
de esta ecuaci´on se corresponde con la matriz de la restricci´on de la m´etrica
T
2al
hiperplano del infinito
E
∞,
�
T2
|E∞�
=
g11
. . .
g1
n... ... ...
g
n1. . .
g
nn
1Ejemplo
1.3.
H
=
{
(1
, x, y
)
} ⊂
R
3,
C
=
{
λT2
}
,
G
=
−
1
3
−
1
3 2
1
2
1
2
locus de
C ≡
�
1
x y
�
−
1
3
−
1
3 2
1
2
1
2
x
1
y
= 0
Curva de grado dos del plano
xy
≡
x
2+ 2
y
2+ 2
xy
−
6
x
+ 4
y
+ 1 = 0
.
Ejemplo
1.4.
H
=
{
(1
, x, y, z
)
} ⊂
R
4,
C
=
{
λT2
}
,
G
=
0
−
1
1
0
−
1
2
3
0
1
3
−
1 2
0
0
2
1
locus de
C ≡
�
1
x y z
�
0
−
1
1
0
−
1
2
3
0
1
3
−
1 2
0
0
2
1
1
x
y
z
= 0
Superficie de grado dos del espacio
xyz
≡
2
x
2−
y
2+
z
2+ 6
xy
+ 4
yz
−
2
x
+ 2
y
= 0
.
Observaci´on
1.5.
Llamaremos
c´onicas
a las cu´adricas sobre un plano af´ın de de un
R
-espacio vectorial de dimensi´on 3.
Definici´
on 1.6.
Una
cu´adrica
C
=
{
λT2
}
es
irreducible o no degenerada
si lo es
cualquiera de sus m´etricas representantes.
Ejemplo
1.7.
Las c´onicas de ecuaciones
(a)
x
2a
2+
y
2b
2−
1 = 0
,
(b)
x
2a
2−
y
2b
2−
1 = 0
,
(c)
y
2−
2
px
= 0
,
donde
a, b, p
∈
R
− {
0
}
son irreducibles pues las m´etricas representantes, de matrices
(a)
−
0
1
1
/a
0
20
0
0
0
1
/b
2
,
(b)
−
0
1
1
/a
0
20
0
0
0
−
1
/b
2
,
(c)
−
0
1
−
0
1
0
0
0
0
1
/p
,
son no singulares.
2.
Centros de una cu´
adrica
Sea
C
=
{
λT2
}
una cu´adrica sobre el hiperplano af´ın
H
de
E
.
Definici´
on 2.1.
Un vector
e0
∈
E
define un centro de la cu´adrica
C
si
e0
∈
/
E
∞y
T2
(
e0, e
) = 0 para todo
e
∈
E
∞.
Proposici´
on 2.2.
Si
C
=
{
λT2
}
es una cu´adrica irreducible y tiene centro ´este es
´
Demostraci´on.
Sea
e0
∈
E
un vector que define un centro de la cu´adrica
C
.
Como
T2
es una m´etrica irreducible el subespacio ortogonal al hiperplano del infinito,
E
∞⊥, es una recta, luego
e0
es un generador de ella pues es ortogonal a
E
∞, y como
e0
∈
/
E
∞esta recta
�
e0
�
corta a
H
en un ´
unico punto,
c
=
�
e0
� ∩
H
, que es el centro de
la cu´adrica.
�
Corolario 2.3.
Si
C
=
{
λT2
}
es una cu´adrica irreducible con centro existe una base
{
e0, e1, . . . , e
n}
de
E
en la que las coordenadas del centro son
c
=
�
1
,
Adj
g10
Adj
g00
, . . . ,
Adj
g
n0Adj
g00
�
,
donde
G
= (
g
ij)
es la matriz, respecto de esa base, de una m´etrica representante de
C
.
Demostraci´on.
Respecto de la base
{
e0, e1, . . . , e
n}
de
E
, en la que
e0
es el vector que
define el centro,
E
⊥∞
=
�
e0
�
, y
{
e1, . . . , e
n}
una base de
E
∞, la ecuaci´on impl´ıcita de
E
∞es
x0
= 0, luego su subespacio incidente est´a generado por la forma lineal
ω
de
coordenadas en la base dual
ω
= (1
,
0
, . . . ,
0).
Si
G
= (
g
ij) es la matriz de
T2
en esta base se tiene que
E
∞⊥=
�
G
−1ω
�
=
�
e0
�
con
e
0=
�
Adj
g00
|
G
|
,
Adj
g10
|
G
|
,
· · ·
,
Adj
g
n0|
G
|
)
,
luego el centro es
c
=
�
1
,
Adj
g
10|
G
∞|
,
· · ·
,
Adj
g
n0|
G
∞|
)
,
donde Adj
g00
=
|
G
∞|
es el detreminante de la restricci´on de
G
a
E
∞.
�
3.
Cu´
adricas afinmente equivalentes
Sea
E
un espacio vectorial real de dimensi´on
n
+ 1 y
H
un hiperplano af´ın de
E
de
subespacio director
E
∞.
Definici´
on 3.1.
Sea
C
=
{
λT2
}
una cu´adrica de
H
. Se llaman rango
r
e ´ındice
i
de la
cu´adrica a los de cualquiera de las m´etricas que la representan. Se llaman rango
r
∞e
´ındice
i
∞de la cu´adrica en el infinito a los de la restricci´on a
E
∞de cualquiera de las
m´etricas que la representan.
r
= rg(
T2
)
, i
= indice (
T2
) ;
r
∞= rg(
T2
|E∞)
, i
∞= indice (
T2
|E∞)
Definici´
on 3.2.
Dos cu´adricas
C
=
{
λT2
}
y
C
�=
{
µT
�2
}
de
H
son af´ınmente
equiva-lentes si existe un automorfismo
E
−
→
fE
que deja invariante el hiperplano H y tal que
el morfismo inducido
T2
(
E
)
−→
f∗T2
(
E
) transforma la familia
{
λT2
}
en la familia
{
µT
2�}
.
Teorema 3.3.
Si dos cu´adricas
C
=
{
λT2
}
y
C
�=
{
µT
�2
}
de
H
son af´ınmente
equiva-lentes, tienen iguales sus rangos, ´ındices, rangos en el infinito e ´ındices en el infinito,
r
=
r
�, i
=
i
�;
r
∞=
r
�∞, i
∞=
i
�∞.
Demostraci´on.
Como
C
y
C
�son af´ınmente equivalentes existe un automorfismo
f
de
E
tal que
f
∗(
T2
) =
µT
�2
para alg´
un
µ
∈
R
. Adem´as, como
f
deja invariante
H
,
f
restringe
a un automorfismo
E
∞−
→
fE
∞cuyo morfismo inducido
T2
(
E
∞)
−→
f∗T2
(
E
∞) transforma
la m´etrica
T2
|E∞en la m´etrica
µT
2�|E∞. Puesto que el rango y el ´ındice de una m´etrica
Demostraremos que el rec´ıproco de este teorema tambi´en es cierto. Para ello
obten-dremos primero las ecuaciones reducidas afines de las cu´adricas.
4.
Ecuaciones reducidas afines de las cu´
adricas
4.1.
Ecuaciones reducidas de las cu´
adricas con centro.
Sea
e
0∈
H
un centro de la cu´adrica
C
=
{
λT
2}
y
{
e
1, . . . , e
n}
una base reducida
para la m´etrica
T2
|E∞. En la base
{
e0, e1, . . . , e
n}
de
E
la matriz de la m´etrica
T2
es
T
2(
e
0, e
0) 0
. . .
. . .
. . .
0
0
..
.
1
. ..
1
..
.
−
1
. ..
−
1
..
.
0
0
. ..
0
Se presentan pues dos posibilidades,
(1)
Si
T2
(
e0, e0
) = 0, el centro
e0
es un vector is´otropo para la m´etrica
T2
, esto es
un punto del locus de la cu´adrica.
En este caso la matriz es
0
1
. ..
1
−
1
. ..
−
1
0
. ..
0
,
y se deduce que el rango e ´ındice de la cu´adrica coinciden con el rango e ´ındice de la
cu´adrica en el infinito
r
=
r
∞,
i
=
i
∞La ecuaci´on reducida af´ın de la cu´adrica es
x
21+
· · ·
+
x
2p−
x
2p+1− · · · −
x
2p+q= 0
,
donde los n´
umeros
p
y
q
son respectivamente el n´
umero de ra´ıces positivas y el n´
umero
de ra´ıces negativas de la ecuaci´on secular de la restricci´on de la m´etrica al hiperplano
del infinito
E
∞e
i
∞= m´ın(
p, q
) y
r
∞=
n
−
(
p
+
q
).
(2)
Si
T2
(
e0, e0
) =
α
�
= 0, tomando como representante inicial de la cu´adrica la
m´etrica
−
1
α
, la matriz de esta m´etrica en la base
{
e0, e1, . . . , e
n}
de
E
es
−
1
1
. ..
1
−
1
. ..
−
1
0
. ..
0
,
de la que se deducen las relaciones entre los rangos e ´ındices de la cu´adrica y los de
su restricci´on al infinito, que dan los dos casos siguientes
r
=
r
∞+ 1
,
i
=
i
∞,
si
p
≤
q
r
=
r
∞+ 1
,
i
=
i
∞+ 1
,
si
p > q
Los n´
umeros
p
y
q
son respectivamente el n´
umero de ra´ıces positivas y el n´
umero de
ra´ıces negativas de la ecuaci´on secular de la restricci´on de la m´etrica al hiperplano del
infinito
E
∞.
En ambos casos, la ecuaci´on reducida af´ın de la cu´adrica es
x
21+
· · ·
+
x
2p−
x
2p+1− · · · −
x
2p+q= 1
4.2.
Ecuaciones reducidas de las cu´
adricas sin centro.
En este caso, de la definici´on de centro se sigue que
E
∞⊥⊆
E
∞, luego Rad
T2
|E∞=
E
∞∩
E
⊥∞
=
E
∞⊥y como Rad
T
2⊆
E
∞⊥resulta
dim Rad
T2
|E∞= dim
E
∞⊥= dim
E
−
dim
E
∞+ dim(Rad
T2
∩
E
∞) = 1 + dim Rad
T2
As´ı pues existen vectores
e1
y
v
tales que,
e1
∈
Rad
T2
|E∞, e1
∈
/
Rad
T2
y
v
∈
E
−
E
∞, T2
(
v, e1
) =
β
�
= 0
La matriz de la restricci´on de la m´etrica
T2
al plano
�
v, e1
�
,
T2
|�v,e1�=
�
α β
β
0
�
, es
no singular y de ´ındice uno. Por tanto,
�
v, e1
�
define un plano hiperb´olico y es posible
seleccionar otra base
{
e0, e1
}
de este plano en la que la matriz de la restricci´on es
�
0
−
1
−
1
0
�
.
Elijiendo ahora una base reducida
{
e2, . . . , e
n}
para la m´etrica restricci´on
T2
|�e0,e1�⊥
0
−
1
. . .
. . .
. . .
0
−
1
..
.
0
1
. ..
1
..
.
−
1
. ..
−
1
..
.
0
0
. ..
0
.
Esto permite obtener la siguiente relaci´on entre los rangos e ´ındices de la cu´adrica y
los de su restricci´on al infinito
r
=
r
∞+ 2
,
i
=
i
∞+ 1
En este caso, la ecuaci´on reducida af´ın de la cu´adrica es
x
22
+
· · ·
+
x
2p−
x
2p+1− · · · −
x
2p+q−
2
x
1= 0
,
donde los n´
umeros
p
y
q
son respectivamente el n´
umero de ra´ıces positivas y el
n´
umero de ra´ıces negativas de la ecuaci´on secular de la restricci´on de la m´etrica al
hiperplano del infinito
E
∞.
5.
Clasificaci´
on af´ın
De las ecuaciones reducidas afines del apartado anterior se sigue que si dos cu´adricas
tienen iguales sus rangos, ´ındices, rangos en el infinito e ´ındices en el infinito son
af´ınmente equivalentes. Combinando este resultado con el teorema
??
obtenemos el
teorema de clasificaci´on.
Teorema 5.1.
La condici´on necesaria y suficiente para que dos cu´adricas
C
=
{
λT2
}
y
C
�=
{
µT
�2
}
de
H
sean af´ınmente equivalentes es que tengan iguales sus rangos, ´ındices,
rangos en el infinito e ´ındices en el infinito,
r
=
r
�, i
=
i
�;
r
∞=
r
�∞, i
∞=
i
�∞.
Utilizando este teorema obtenemos los siguientes cuadros de clasificaci´on af´ın de
c´onicas y cu´adricas.
5.1.
Clasificaci´
on af´ın de c´
onicas en
H
⊂
R
3.
r
3 (
Irreducibles
)
2
1
0
r
∞i
∞\
i
1
0
1
0
0
0
Par de rectas
1
Hip´erbola
reales
x
2−
y
2= 1
no paralelas
x
2−
y
2= 0
2
Par de rectas
Elipse
Elipse
imaginarias
0
real
imaginaria
no paralelas
x
2+
y
2= 1
x
2+
y
2=
−
1
x
2+
y
2= 0
Par de rectas Par de rectas
Par´
abola
reales
imaginarias
Recta real
1
0
y
2= 2
x
paralelas
paralelas
doble
x
2= 1
x
2=
−
1
x
2= 0
Recta real
Conjunto
Plano
0
0
x
= 0
vac´ıo
af´ın
Ejemplo
5.2
.
Clasificar af´ınmente las c´
onicas siguientes
(
a
)
x
2−
2
xy
+
y
2+ 4
x
−
6
y
+ 1 = 0
(
b
)
x
2+ 4
xy
+ 4
y
2−
2
x
−
4
y
−
3 = 0
(
a
) Escribamos la matriz
G
de la m´etrica
T
2y la matriz
G
∞de su restricci´
on al infinito
G
=
1
2
2
1
−
−
3
1
−
3
−
1
1
;
G
∞=
�
1
−
1
−
1
1
�
Calculemos el n´
umero de ra´ıces nulas
r
0, el n´
umero de ra´ıces positivas
r
+y el n´
umero
de ra´ıces negativas
r
−de la ecuaci´
on secular de la m´etrica
T
2y de la m´etrica
T
2|E∞•
p
(
x
) =
|
xI
−
G
|
=
x
3−
3
x
2−
11
x
+ 1
, r
0
(
p
(
x
)) = 0
, r
+(
p
(
x
)) = 2
, r
−(
p
(
x
)) = 1
•
p
∞(
x
) =
|
xI
−
G
∞|
=
x
2−
2
x ,
r
0(
p
∞(
x
)) = 1
, r
+(
p
∞(
x
)) = 1
, r
−(
p
∞(
x
)) = 0
Luego los rangos y los ´ındices de
T
2y de su restricci´
on al infinito son
r
= 3
, i
= 1 ;
r
∞= 1
, i
∞= 0
Por tanto, es una c´
onica irreducible sin centro de matriz reducida
−
0
1
−
0
1 0
0
0
0
1
y
ecuaci´
on reducida af´ın
y
2−
2
x
= 0, esto es, una
Par´
abola
.
(
b
)
G
=
−
−
3
1
−
1
1
−
2
2
−
2
2
4
;
G
∞=
�
1 2
2 4
�
•
p
(
x
) =
|
xI
−
G
|
=
x
3−
2
x
2−
20
x , r
0(
p
(
x
)) = 1
, r
+(
p
(
x
)) = 1
, r
−(
p
(
x
)) = 1
•
p
∞(
x
) =
|
xI
−
G
∞|
=
x
2−
5
x ,
r
0(
p
∞(
x
)) = 1
, r
+(
p
∞(
x
)) = 1
, r
−(
p
∞(
x
)) = 0
Los rangos y los ´ındices de la m´etrica
T
2y de su restricci´
on al infinito son
r
= 2
, i
= 1 ;
r
∞= 1
, i
∞= 0
Es una c´
onica degenerada con centro, de matriz reducida
−
0
1 0 0
1 0
0
0 0
y ecuaci´
on
reducida af´ın
x
2−
1 = 0, que representa una
Par de rectas reales y paralelas
.
Ejemplo
5.3
.
Calcular el centro, los ejes principales y la ecuaci´
on reducida m´etrica de la curva
de grado dos del plano real de ecuaci´
on
3
x
2+ 3
y
2−
2
xy
+ 2
x
−
4
y
+ 1 = 0
Soluci´
on.
Sea
G
la matriz de una m´etrica
T
2representante de la c´
onica en
H
⊂
R
3y
G
∞su restricci´
on
al infinito.
G
=
1
1
1
3
−
−
2
1
−
2
−
1
3
;
G
∞=
�
3
−
1
−
1
3
�
|
xI
−
G
|
=
x
3−
7
x
2+ 9
x
+ 3 ;
|
xI
−
G
∞|
= (
x
−
2)(
x
−
4)
Se tiene
r
= 3
i
= 1
r
∞= 2
i
∞= 0
C´
onica irreducible con centro:
x
2+
y
2= 1 (
Elipse real
)
(
a
) Centro de la elipse=
�
−
1
8
,
5
8
)
Por el Corolario
??
,
c
=
�
1
,
Adj
g
10|
G
∞|
,
Adj
g
20|
G
∞|
) = (1
,
−
1
8
,
5
8
)
(
b
) Calculemos una base ortonormal de diagonalizaci´
on para
G
∞.
ker(
G
∞−
2
I
) =
�
(0
,
1
,
1)
�
;
ker(
G
∞−
4
I
) =
�
(0
,
1
,
−
1)
�
{
u
1=
1
√
2
(0
,
1
,
1)
, u
2=
1
√
2
(0
,
1
,
−
1)
}
es la base buscada.
(
c
) En la base
{
c, u
1, u
2}
la matriz de
T
2es
T
2(
0
c, c
) 0 0
2 0
0
0 4
,
con
T
2(
c, c
) =
−
3
8
Luego la ecuaci´
on reducida m´etrica de la elipse es
¯
x
23
/
16
+
¯
y
23
/
32
= 1
,
donde ¯
x
y ¯
y
son las coordenadas asociadas a la base
{
u
1, u
2}
.
(
d
) Ecuaciones de la transformaci´
on af´ın efectuada para pasar del sistema de referencia
inicial en
H
, en el que las coordenadas son
{
x, y
}
, al sistema de referencia de origen
Si
B
representa la matriz del cambio de base realizado en
E
∞, esto es
B
=
1
√
2
�
1
1
1
−
1
�
, componiendo el automorfismo de cambio de base con la traslaci´
on
de vector
c
se obtienen las ecuaciones
�
x
y
�
=
B
�
¯
x
¯
y
�
+
�
−
1
/
5
5
/
8
�
=
⇒
¯
x
=
√
1
2
(
x
+
y
−
4 8)
¯
y
=
√
1
2
(
x
−
y
+
6 8)
(
e
) Los ejes principales de la elipse son las rectas
c
+
�
u
1�
,
c
+
�
u
2�
de ecuaciones respectivas
¯
y
= 0
⇒
x
−
y
+
6
8
= 0 ;
x
¯
= 0
⇒
x
+
y
−
4
8
= 0
(
f
) Las medidas sobre los semiejes,
a
y
b
, la excentricidad y los focos
F
y
F
�de la elipse,
respecto del sistema de referencia inicial, son
a
=
�
3
16
;
b
=
�
3
32
c
=
�
a
2−
b
2=
�
3
32
=
⇒
Excentricidad
=
c
a
=
√
2
2
¯
F
= (
�
3
32
,
0) =
⇒
F
= (
√
3
−
1
8
,
√
3 + 5
8
)
¯
F
�= (
−
�
3
32
,
0) =
⇒
F
�= (
−
√
3
−
1
8
,
−
√
3 + 5
8
)
Ejemplo
5.4
.
Calcular el v´ertice, los ejes principales, la ecuaci´
on reducida m´etrica, el foco y
la directriz de la par´
abola del ejemplo
??
x
2−
2
xy
+
y
2+ 4
x
−
6
y
+ 1 = 0
Soluci´
on.
Sean
G
y
G
∞como en el ejemplo anterior.
G
=
1
2
2
1
−
−
3
1
−
3
−
1
1
;
G
∞=
�
1
−
1
−
1
1
�
Tenemos que encontrar una base
{
e, v
1, v
2}
en la que la matriz de
T
2es de la forma
α
0
α
0
0
0
0
0
β
con
α , β
�
= 0. El vector
e
define el v´ertice de la par´
abola y
{
v
1, v
2}
es una base
ortonormal de diagonalizaci´
on para
G
∞.
(
a
) Calculemos
v
1y
v
2.
|
xI
−
G
∞|
=
x
(
x
−
2)
⇒
Forma diagonal
�
0 0
0 2
�
⇒
β
= 2
ker
G
∞≡
x
−
y
= 0
⇒
v
1=
1
√
2
(0
,
1
,
1)
ker(
G
∞−
2
I
)
≡
x
+
y
= 0
⇒
v
2=
1
√
2
(0
,
1
,
−
1)
(
b
) V´ertice de la par´
abola
V
= (
−
31
8
,
−
11
8
)
El vector
e
que define el v´ertice est´
a en
H
, luego sus coordenadas son de a forma
Calculemos
x
e
y
resolviendo el sistema determinado por la primera y tercera
condiciones
T
2(
e, e
) = 0
⇒
x
2−
2
xy
+
y
2+ 4
x
−
6
y
+ 1 = 0
T
2(
e, v
2) = 0
⇒
5 + 2
x
−
2
y
= 0
�
x
=
−
31
8
,
y
=
−
11
8
=
⇒
e
= (1
,
−
31
8
,
−
11
8
)
(
c
) En la base
{
e, v
1, v
2}
la matriz de
T
2es
T
2(
e, v
0
1)
T
2(
e, v
0
1) 0
0
0
0
2
,
con
T
2(
e, v
1) =
−
1
√
2
,
luego la ecuaci´
on reducida m´etrica de la par´
abola es ¯
y
2=
√
1
2
x ,
¯
donde ¯
x
y ¯
y
son las
coordenadas asociadas a la base
{
v
1, v
2}
.
(
d
) Ecuaciones de la transformaci´
on af´ın efectuada para pasar del sistema de referencia
inicial en
H
, en el que las coordenadas son
{
x, y
}
, al sistema de referencia de origen
e
y ejes las rectas
e
+
�
v
1�
,
e
+
�
v
2�
, respecto del que las coordenadas son
{
x,
¯
y
¯
}
.
Si
B
representa la matriz del cambio de base realizado en
E
∞, esto es
B
=
1
√
2
�
1
1
1
−
1
�
, componiendo el automorfismo de cambio de base con la traslaci´
on
de vector
e
se obtienen las ecuaciones
�
x
y
�
=
B
�
¯
x
¯
y
�
+
�
−
31
/
5
−
11
/
8
�
=
⇒
¯
x
=
√
1
2
(
x
+
y
+
21 4)
¯
y
=
√
1
2
(
x
−
y
+
10 4)
(
e
) Los ejes principales de la par´
abola son las rectas
e
+
�
v
1�
,
e
+
�
v
2�
de ecuaciones
respectivas
Eje de simetr´ıa ¯
y
= 0
⇒
x
−
y
+
10
4
= 0 ;
x
¯
= 0
⇒
x
+
y
+
21
4
= 0
(
f
) Calculemos por ´
ultimo el foco
F
y la directriz
d
de la par´
abola, respecto de las
coordenadas iniciales
x
e
y
.
Comparando la ecuaci´
on reducida m´etrica ¯
y
2=
√
1
2
x
¯
con ¯
y
2
