DIVISIBILIDAD

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DIVISIBILIDAD

Múltiplos

Un número a es múltiplo de otro b cuando es el resultado de multiplicarlo por otro número c. a = b · c

Propiedades de los múltiplos de un número

1.

Todo número a, distinto de 0, es múltiplo de sí mismo y de la unidad.

2.

El cero es múltiplo de todos los números.

3.

Todo número, distinto de cero, tiene infinitos múltiplos.

4.

Si a es múltiplo de b, al dividir a entre b la división es exacta.

5.

La suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.

6.

La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.

7.

Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero.

8.

Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo.

Divisores

Un número b es un divisor de otro a cuando lo divide exactamente.A los divisores también se les llama factores.

Propiedades de los divisores de un número

1.

Todo número, distinto de 0, es divisor de sí mismo.

2.

El 1 es divisor de todos los números.

3.

Todo divisor de un número distinto de cero es menor o igual a él, por tanto el número de divisores es finito.

4.

Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y de su diferencia.

5.

Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo del primero.

6.

Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primero lo es del tercero.

Descomposición en factores primos (factorizar)

Para descomponer un número en factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un uno como cociente.

Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes.

2 520 = 2

3

_{· 3}

2

_{· 5 · 7}

Número de divisores de un número

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Divisibilidad

Un número b es divisible por otro a cuando la división es exacta.

Criterios de divisibilidad

Criterio de divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2,

si termina en cero o cifra par.

si la suma de sus dígitos nos da

múltiplo de 3.

si termina en cero o cinco.

Criterio de divisibilidad por 7: Un número es divisible por 7

cuando la diferencia entre el número

sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7

.

343 34 - 2 · 3 = 28, es múltiplo de 7

si la diferencia entre la suma de las

cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 ó múltiplo de 11

.

4224 (4 + 2) - (2 + 4) = 0

Otros criterios de divisibilidad

Criterio de divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4, si

sus dos últimas cifras son ceros o

múltiplo de 4.

Criterio de divisibilidad por 6: Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3. Criterio de divisibilidad por 8: Un número es divisible por 8,

si sus tres últimas cifras son ceros o

múltiplo de 8.

si la suma de sus dígitos nos da

múltiplo de 9.

si la cifra de las unidades es 0.

Criterio de divisibilidad por 25: Un número es divisible por 25, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25.

Criterio de divisibilidad por 125: Un número es divisible por 125, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 125.

Números primos

Un número primo sólo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.

Nota

: El número 1 sólo tiene un divisor, por eso no lo consideramos primo.

Criba de Eratóstenes

La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado.

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Luego tomamos el primer número después del 2 que no fue eliminado (el 3) y eliminamos de la lista sus múltiplos, y así sucesivamente.

El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es menor que el número final de la lista. Los números que permanecen en la lista son los primos.

Ejercicio: Calcula por este algoritmo los números primos menores que 40.

Números compuestos

Un número compuesto es el que posee más de dos divisores. Es decir, se puede dividir por sí mismo, por la unidad y por otros números.

Los números compuestos se pueden expresar como productos de potencias de números primos, a dicha expresión se le llama descomposición de un número en factores primos.

Máximo común divisor

El máximo común divisor (m.c.d. o mcd) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente.

Cálculo del máximo común divisor

1. Se descomponen los números en factores primos. 2. Se toman los factores comunes con menor exponente.

Ejemplo: Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60.

72 = 23 _{· 3}2 108 = 22 _{· 3}3 60 = 22 _{· 3 ·}

m. c. d. (72, 108, 60) = 22 _{· 3 = 12}

12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.

Nota: Si un número es divisor de otro, entonces éste es el m. c. d. El número 12 es divisor de 36. m. c. d. (12, 36) = 12

El algoritmo de Euclides

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1. Se divide el número mayor entre el menor. 2. Si:

a) La división es exacta, el divisor es el m.c.d.

b) La división no es exacta, dividimos el divisor entre el resto obtenido y se continúa de esta forma hasta obtener una división exacta, siendo el último divisor el m.c.d.

Ejemplo:

m. c. d. (72, 16) = 8

Mínimo común múltiplo

Es el menor de todos múltiplos comunes a varios números, excluido el cero.

Cálculo del mínimo común múltiplo

1. Se descomponen los números en factores primos

2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.

Ejemplo: Hallar el m. c. m. de: 72, 108 y 60. 72 = 23 _{· 3}2

108 = 22 _{· 3}3 60 = 22 _{· 3 · 5}

m. c. m. (72, 108, 60) = 23 _{· 3}3_{· 5 = 1 080}

1 080 es el menor múltiplo común a: 72, 108 y 60

1 080 es el menor número que divide a: 72, 108 y 60.

Nota: Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de ambos.

El número 36 es múltiplo de 12. m. c. m. (12, 36) = 36

Relación entre el m. c. d. y m. c. m.

m. c. d. (a, b) · m. c. m. (a, b) = a · b

m. c. d. (12, 16) = 4 m. c. m. (12, 16) = 48

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE DIVISIBILIDAD

1ºCalcular todos los múltiplos de 17 comprendidos entre 800 y 860.

2ºDe los siguientes números: 179, 311, 848, 3566, 7287. Indicar cuáles son primos y cuáles compuestos.

3º Calcular, mediante una tabla, todos los números primos comprendidos entre 400 y 450.

4º Descomponer en factores

a) 1216 b) 2360 c) 3432

5º Factorizar 342 y calcular su número de divisores.

6º Descomponer en factores

a) 12250 b) 23500 c) 32520

7º Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:

a) 1428 y 376 b) 2148 y 156 c) 3600 y 1 000

8º Calcular por el algoritmo de Euclides, el m.c.d. de:

a) 172 y 16 b) 2656 y 848 c) 31278 y 842

9º Escribe todos los divisores de:

a) 50 b) 81 c) 36

10º Escribe cinco números diferentes de dos cifras, que sean divisibles:

a) Entre 2 y 3 b) Entre 2 y 5 c) Entre 2 y 9 d) Entre 3 y 5

11º Pon ejemplos de tres parejas de números primos entre sí.

12º José y María van a casa de su abuelo, el primero cada 12 días y la segunda cada 16 días. ¿Cada cuántos días coincidirán?

13º ¿Cuáles son los números comprendidos entre 200 y 400 que son divisibles por 4 y 5?

14º ¿Cuáles son los números inferiores a 100 divisibles a la vez por 2, 3 y 4?

15º Cinco timbres tocan simultáneamente y volverán a tocar cada 6, 7, 8, 9 y 10 segundos, respectivamente. Si coinciden a las 11 de la mañana. ¿A qué hora volverán a coincidir?

16º Una caja de naranjas contiene entre 70 y 100 unidades: Si las contamos de cuatro en cuatro o de siete en siete no sobra ninguna. ¿Cuántas naranjas hay?

17º Completa los huecos con la palabra múltiplo o divisor:

a) 25 es ………… de 5 b) 60 es ………… de 120 c)16 es ……… de 8 d) 11 es ……… de 33 e) 100 es ……… de 25 f) 7 es ………… de 63 g) 333 es ….. de 4 h) 343 es ….. de 7

18º Verdadero o falso. Razona la respuesta: a) El cero es divisor de todos los números b) El 1 es divisor de todos los números c) El 37 es un número compuesto

d) Los divisores de un número distinto de cero son menores o iguales que él e) 189 es un múltiplo de 21

f) 21 no es divisor de 189 g) El 1 es un número primo h) 8498 es múltiplo de 7

i) Todo número tiene al menos dos divisores 1 y el mismo

19º Responde a las siguientes cuestiones:

(6)

2 9 13 5 1 18 7 27 0 30 19 23

Encierra en un círculo los números primos

Encierra en un triángulo los números compuestos

¿Hay algún número que haya quedado sin encerrar? ¿Cuál y por qué?

20º Halla mentalmente el máximo común divisor (mcd) de:

a) 4 y 6

b) 6 y 9 c) 15 y 5d) 12 y 18 e) 21 y 49f) 15 y 26

21º ¿Cuáles de los siguientes pares de números son primos entre sí (es decir, su mcd es 1)?

a) 30 y 45 b) 33 y 21 c) 30 y 49 d) 36 y 35

22º Halla des componiéndolos en factores primos, el mcd y el mcm de los siguientes números: a) 405 y 540

b) 289 y 340 c) 225 y 275 d) 676 y 390

e) 121 y 330 f) 810 y 270 g) 256 y 144 h) 1040 y 780

i) 240, 324 y 250 j) 576, 720 y 672 k) 5600, 1600 y 700

23º Un cometa aparece cada 32 años, otro cada 36 años y un tercero cada 24 años. Si han coincidido los tres este año, ¿cuánto tiempo ha de transcurrir para que vuelvan a coincidir?

24º Tenemos tres cuerdas de 576 cm, 720 cm y 960 cm. ¿Cómo las dividiremos en trozos de la misma longitud lo más largos posible?

25º Un coche debe cambiar de aceite cada 5000 km, de filtro cada 10000 km y de manguitos cada 16.000 km. ¿Cuántos kilómetros debe hacer para que los tres cambios se puedan realizar simultáneamente?

26º Un floricultor tiene 120 rosas, 500 claveles y 600 margaritas. Quiere guardarlas en cestas de flores iguales y todas ellas con la misma cantidad de flores. ¿Cuántas flores ha de tener cada cesta? ¿Cuántas cestas necesita?

27º Una empresa tiene dos factorías. En la factoría A se gastan mensualmente 884760 € en pagar a los trabajadores y en la B, 79992 €. Sabiendo que todos los trabajadores ganan lo mismo y que su sueldo mensual supera los 1200 €, di cuál es su sueldo y cuántos trabajadores hay en cada factoría.

28º Se han plantado árboles igualmente espaciados en el contorno de un campo triangular cuyos lados miden 144 m, 180 m y 240 m. Sabiendo que hay un árbol en cada vértice y que la distancia entre dos árboles consecutivos es mayor que 10 m, calcula el número de árboles plantados.

29º Las dimensiones de una caja de galletas son 20 cm x 15 cm x 24 cm. Queremos apilar la menor cantidad posible de ellas, en la misma posición, de modo que el conjunto total forme un cubo. ¿Cuál será la arista del cubo? ¿Cuántas cajas lo forman?

30º Un hombre tiene un campo triangular cuyos lados miden 96 m, 84 m y 104 m. Desea cercarlo con cañizos iguales de la mayor longitud posible. ¿Cuántos cañizos debe utilizar?

31º Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes.

32º Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Barcelona. ¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona?

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34º En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueda envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.

35º El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho. Calcula el lado y el número de la baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas.

36º Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.