PREUNIVERSITARIO BELÉN UC MATEMÁTICAS
GUIA 14: Geometría
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.
Definición: dos triángulos son congruentes sí y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices, de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes.
Si , entonces se cumple Para los lados:
- - Para los ángulos: -
- -
Postulados de congruencia:
- Ángulo-Lado-Ángulo (ALA): dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente un lado y dos ángulos adyacentes a ese lado iguales.
- Lado-Ángulo-Lado (LAL): dos triángulos son congruentes cuando dos lados y el ángulo comprendido entre esos lados son respectivamente iguales.
- Lado-Lado-Lado (LLL): dostriángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.
- Lado-Lado-Ángulo (LLA): Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de esos lados respectivamente iguales. Mucho ojo en que tan solo se puede eplicar este criterio si el ángulo conocido es el opuesto al lado mayor.
-ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO
- Altura: es la perpendicular que va desde el vértice al lado opuesto o a la prolongación del lado. Lo último quiere decir que la altura no necesariamente va a estar dentro del triángulo.
El punto donde se intersectan las alturas se llama otrocentro (H) El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si éste es acutángulo, coincide con el vértice del ángulo recto si es rectángulo, y se halla fuera del triángulo si es obtusángulo.
Recuerda: que la altura sea perpendicular con el lado opuesto significa que el segmento (altura) forma un ángulo de 90º con el lado (que también es un segmento) o la prolongación de ese lado.
- Bisectriz: es el trazo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes (de igual medida). El punto donde se intersectan las bisectrices se llama INCENTRO (I) que tiene
la propiedad del ser el centro de la circunferencia mas grande que se puede hacer dentro del triangulo
Observación: el punto de intersección de las
- Transversal de Gravedad: es el trazo que une el vértice con el punto medio del lado opuesto. El punto donde se intersectan las transversales de gravedad se llama
CENTRO DE GRAVEDAD (G), y como su nombre lo dice, es el punto donde se equilibra el triangulo.
- Simetral: es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del triángulo.
El punto donde se intersectan simetrales se llama CIRCUNCENTRO (O), y tiene la propiedad de ser el centro del menor circulo en el que “cabe” el triangulo (el menor centro circunscrito).
Observación: el punto de intersección de las simetrales Equidistan de los vértices de un triángulo.
- Mediana: es el segmento de recta que une los puntos medios de los lados del triángulo. Las medianas no tienen punto de intersección.
Al trazar las medianas en cualquier triángulo, se forman 4 triángulos congruentes.
OBSERVACIONES:
- En todo triángulo isósceles (dos lados iguales) coinciden los elementos secundarios correspondientes al lado distinto.
- En todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes a cualquier lado.
Además, el ORTOCENTRO, INCENTRO, CIRCUNCENTRO, CENTRO DE GRAVEDAD son el mismo punto.
EJERCICIOS.
1.-Los triángulos PQR y TNM de la figura, son escaleno. Si
, entonces, ¿cuál de las siguientes proposiciones es
B) C) D) E)
2.-En la figura , con D , , y
¿cuál es la medida del ? A) 40°
B) 60° C) 80° D) 90°
E) No se puede determinar.
3.-En el triángulo ABC de la figura, es isósceles de base y , luego, es(son) congruentes (s) los siguientes pares de triángulos
I) con
II) con
III) con
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II, III
4.-En el triángulo MNT de la figura, MP= 8 cm, QN= 12 cm y PQ es
mediana. Entonces es: A) 2 cm
B) 4 cm C) 6 cm D) 8 cm E) 10 cm
5.-En el triángulo PQR de la figura, y es mediana ¿cuánto mide ? A) 35°
B) 45° C) 50° D) 55° E) 60°
6.-El el triángulo DEF de la figura, es isósceles de base . R es el punto medio de y ¿cuánto mide el ángulo REF?
A) 25° B) 30° C) 40° D) 50° E) 80°
7.- El triángulo ABC de la figura es equilátero, E es el punto medio de y es bisectriz del ángulo ABC ¿cuánto es el suplemento de ?
8.- En el triángulo ABC de la figura, D, E y F son puntos medios de los lados. Entonces, el triángulo FEC es congruente al triángulo FDE en su orden
A) FDE B) EFD C) FED D) EDF E) DEF
9.- En la figura , si ,
, , entonces es falso que: A) El lado mayor del triángulo MNT es TM
B) El ángulo NTM mide 60° C) El triángulo MNT es escaleno D)
E)
10.- Si en el triángulo DEF de la figura, es mediana, entonces el ángulo NMD mide: A) 40°
B) 100° C) 120° D) 130° E) 140°
11.-En el triángulo ABC de la figura, es bisectriz del ángulo ABC. Si el ángulo CAB=70° y el ángulo ACB=50°, entonces ¿cuánto mide x?
A) 30° B) 50° C) 60° D) 70° E) 100°
12.- El triángulo ABC es rectángulo en C y es una transversal de gravedad. Si el ángulo CAD=50°, entonces el ángulo DCB mide:
A) 20° B) 25° C) 30° D) 40° E) 5°
13.- En el triángulo ABC, es transversal de gravedad y , entonces la medida del ángulo ADB es. A) 110°
14.- En la figura, los puntos A, B y D son colineales, , y el ángulo CBE mide 20°, ¿cuánto mide el ángulo BED?
A) 20° B) 36° C) 64° D) 108° E) 116°
15.- El triángulo ABC es isósceles de base AB. En los lados AC y BC se marcan los puntos D y E respectivamente tales que CD=DE=EA=AB ¿cuánto mide el ángulo x? A) 20°
B) 21° C) 22° D) 22.5° E) (180/7)°
16.- En la figura, el valor de se puede determinar si: (1) El segmento AD es bisectriz.
(2) D es punto medio. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas.
D) Cada una por sí sola.
E) Se requiere información adicional.
17.- . El triángulo DEC es equilátero si: (1) El ángulo DAC mide 30°
(2) El ángulo ADC mide 120° A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas.
D) Cada una por sí sola.
E) Se requiere información adicional.
