NIVELACION Números Enteros, Potencias, Ecuaciones Primer Grado

(1)

Módulo

Nº 1

Plan de Nivelación

Matemática

2006

MÓDULO 1

M

at

e

m

át

i

c

a

123

4567

890123456789₀

Contenidos

(2)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

CEPECH Preuniversitario, Edición 2006 2

CEPECH Preuniversitario, Edición 2006 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006 3

2

Números Enteros

Los números enteros están formados por los números enteros positivos, el cero y los números enteros negativos.

... –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5...

Ejemplos: el –4 se lee “menos cuatro” o “negativo cuatro”, el +₂_{se lee “más dos” o bien “dos”.}

Observación:

Los números enteros positivos se pueden escribir sin el signo “+”. Ejemplo: +₄

se puede escribir 4.

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero, en la recta numérica, corresponde a la distancia entre

ese número y el cero. Éste se representa por el siguiente símbolo | _{|. Matemáticamente, el valor}

absoluto de un número x es x, si x es un número positivo o cero y(– x), si x es un número

negativo.

Ejemplos:

a) |–₃_{| =}₃ _{b) |}₃_{| =}₃ _{c) |}–₁₀₆_{| =}₁₀₆

d)|–₂_{| =}₂ _e)_|₂₅₄_{| =}₂₅₄_f)_|–₂₃_{| =}₂₃

Observación:

La noción de distancia se asocia al valor absoluto de un número.

Orden en los números enteros

El conjunto de los números enteros es ordenado, es decir, dados dos números enteros distintos, siempre uno de ellos es mayor que el otro.

Mayor que y menor que

1) Si un número x es mayor que un número y, se escribe x > y.

2) Si un número x es menor que un número y, se escribe x < y.

Ejemplos: Observa el orden de menor a mayor de números enteros en los siguientes ítemes

(3)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

2

Adición de números enteros

Regla para sumar números enteros

:

1) Si los sumandos tienen igual signo, se suman sus

valores absolutos y el resultado conserva el signo de los sumandos.

2) Si dos sumandos tienen diferentes signos, se restan

los valores absolutos y el resultado conserva el signo del sumando que tiene el mayor valor absoluto.

Ejemplos: Veriﬁca las siguientes adiciones

a) 4 + 6 = 10 d) 7 + –4 = 3 g) –12 + 3 = –9

b) 2 + 7 = 9 e) –2 + –5 = –7 h) –11 + 15 = 4

c) 3 + –8 = –5 f ) –5 + 5 = 0 i ) 7 + –4 = 3

En la adición de números enteros se cumplen las siguientes propiedades:

•

Existe un elemento neutro, que es el 0.

•

Conmutatividad.

a + 0 = a a + b = b + a

5 + 0 = 5 3 + 8 = 8+ 3

•

Asociatividad.

•

Existe un elemento inverso u opuesto.

(a + b) + c = a + (b + c) a + (–a) = 0 7 + (–7) = 0

(3 + 5) + 7 = 3+ (5 + 7) (–a) + a = 0 (–8) + 8 = 0

Sustracción de números enteros

Opuesto de un número entero:

Un signo negativo delante de un paréntesis signiﬁca el opuesto del valor que está en el interior del paréntesis.

– (a) = –a – (–a) =a

La sustracción de números enteros corresponde a la suma del opuesto, es decir, cada vez que haya una resta puedes resolverla como la suma del opuesto:

a – b = a + –b

a + b = c

sumandos suma

(4)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

4

Considerando que la resta equivale a la suma del opuesto, observa los siguientes ejemplos:

a) 12 – (–5) = 12 + 5 = 17

b) –4 – (10) = –4 + –10 = –14

c) 6 – (14) = 6 + (–14) = –8

Multiplicación de números enteros

En una multiplicación de números enteros, se pueden identiﬁcar los siguientes términos:

a · b = c

Factores Producto

Si los signos de los factores de una multiplicación de números enteros son diferentes, el signo del producto es negativo.

Si los signos de los factores de una multiplicación de números enteros son iguales, el signo del producto es positivo.

Observación:

Una multiplicación se puede escribir como una adición iterada.

Ejemplo: 4· x = x + x + x + x.

Ejemplos: Observa los siguientes productos (multiplicaciones):

a) –5 · 20 = –100 b) 4 · 15 = 60 c) –7 · –12 = 84 d) 8 · –90 = –720

Propiedad distributiva

En los números enteros se cumple: a · (b + c) = a · b + a · c. Esta propiedad se llama propiedad

distributiva de la multiplicación respecto de la adición.

Observación

:

Esta propiedad también se cumple por la derecha, es decir, también se cumple que (a + b) · c = a · c + b · c

Ejemplos: Veriﬁca la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición

a) 2 · (12 + 8) = 2 · 20 = 40 c) 15 · (2 + –5) = 15 · –3 = –45

(5)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

4

División de números enteros

En una división de números enteros se pueden identiﬁcar los siguientes términos:

a : b = c

dividendo divisor cociente

La división es la operación inversa de la multiplicación, es decir, si a · b = c, entonces sabemos que c : a = b y que c : b = a. A partir de esta relación se puede deducir que las reglas de los signos en la división de números enteros es equivalente a la regla de los signos de la multiplicación.

Ejemplos: Observa las siguientes divisiones

a) –9 : 3 = –3

b) –30 : –5 = 6

c) 100 : 10 = 10

d) –1.000 : 100 = –10

e) 0 : –6 = 0

f ) 27 : –9 = –3

g) –15 : –1 = 15

h) 30 : –30 = –1

Prioridad de las operaciones

1º PARÉNTESIS

2º POTENCIAS

3º MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN ORDEN DE IZQUIERDA A DERECHA

4º ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN EN ORDEN DE IZQUIERDA A DERECHA

Ejemplos: Veriﬁca los siguientes ejercicios combinados

a) 6 + 24 · (–3) = 6 + (–72) = 6 – 72 = –66

b) –27 + 45 : 32_{= –}₂₇₊₄₅_:₉_{= –}₂₇₊₅_{= –}₂₂

c) –15 : (–2 + 7) = –15 : 5 = –3

d) (–10) · 10 – 8 : (–2) = –100 – (–4) = –100 + 4 = –96

(6)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

6

Ejercicios Propuestos

1. Ordena de menor a mayor los siguientes números enteros:

a) {–5, –10, –1, –3}

b) {–199, –200, –188, –201}

c) {1, –1, 0, 2}

d) {|–3|, –3, |–2|, –2}

•

Completa con >, < o =, según corresponda:

a) –3 –5

b) –10 10

c) 2 –1

d) 0 –1

•

Determina el número entero que le corresponde a:

a) |–10| =

b) |10| =

c) |–18| =

d) |20| =

e) |–2| =

f) |–3| + |3| =

g) |–3 + 3| =

h) |–200| + |100| =

2. Resuelve las siguientes adiciones:

a) –8 + 2 =

b) 6 + –3 =

c) –10 + –1 =

d) 20 + –40 =

e) –20 + –40 =

f) –20 + 40 =

g) –1 + 2 + –3 =

(7)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

6

3. Completa la siguiente tabla:

a b a + b a + –b

2 –3

–5 6

10 –20

–32 18

4. Determina el producto de:

a) –3 ∙ 5 =

b) 2 ∙ –10 =

c) –4 ∙ –3 =

d) –10 ∙ –3 =

e) 20 ∙ 4 =

f) –1 ∙ –1 ∙ –1 ∙ –1 =

g) –1 ∙ –1 ∙ –1 =

h) –3 ∙ 3 ∙ –3 =

•

Resuelve los siguientes cuocientes:

a) –100 : –10 =

b) 20 : –4 =

c) –81 : 27 =

d) –105 : 5 =

e) (15 + 5) : –5 =

f) (24 – 30) : –2 =

•

Calcula usando la prioridad de las operaciones:

a) 21 – 6 + 2 ∙ 5 =

b) (21 – 7) + 2 ∙ 4 =

c) (21 – 7 + 2) ∙ 5 =

d) 32 + –2 ∙ 6 : 3 =

e) (7 – 4 ∙ 2 – 2) : –3 =

(8)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

8

Potencias

Potencias de exponente entero positivo

ax_{= a · a · ... · a}

x veces

ax _{exponente de la potencia}

base de la potencia

Una potencia se puede escribir como una multiplicación iterada. Por ejemplo:

a5_{= a · a · a · a · a}

Ejemplos: Observa cada multiplicación

a) 7 · 7 · 7 · 2 · 2 = 73_·₂2

b) 5 · 4 · 4 · 4 · 5 = 43_·₅2

c) –3 · –3 · –3 = (–3)3

d) –10 · –10 = (–10)2

e) 8 · 8 · 8 · 8 = 84

Propiedades

1. Para multiplicar potencias de igual base, se puede utilizar la siguiente propiedad:

ax_{· a}y_{= a}x + y

Ejemplos: Veriﬁca cada producto escrito en forma de potencia

a) 73_·₇2₌₇_·₇_·₇_·₇_·₇₌₇5

b) 134_·₁₃2₌₁₃_·₁₃_·₁₃_·₁₃_·₁₃_·₁₃₌₁₃6

c) 52_·₅6₌₅_·₅_·₅_·₅_·₅_·₅_·₅_·₅₌₅8

d) (–3)3_{· (–}₃₎5_{= (–}₃₎8

e) (–11)5_{· (–}₁₁₎5_{= (–}₁₁₎10

(9)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

8

2. Para simpliﬁcar la potencia de una potencia, se puede utilizar la siguiente propiedad:

(ax₎y_{= a}x_· y

Ejemplos: Observa la aplicación de la propiedad

a) (54₎5₌₅20

b) (32₎4₌₃8

c) (102₎3₌₁₀6

d) (45₎4₌₄20

3. Para multiplicar potencias de distinta base e igual exponente, se puede utilizar la siguiente

propiedad:

ax _·_bx_{= (a}_·_b)x

Ejemplos: Veriﬁca cada producto entre las potencias señaladas

a) (–₇₎2_{· (}–₂₎2₌₁₄2

b) 215_·₃15₌₆15

c) 44_·₆4₌₂₄4

d) 37_·₁₁7₌₃₃7

e) (–₈₎3_{· (}–₁₎3₌₈3

f) 2010_·₅10₌₁₀₀10

4. Para dividir potencias de igual base se puede utilizar la siguiente propiedad:

ax_:_ay_{= a}x– y_{, con a ≠}₀

Ejemplos: Veriﬁca usando la propiedad

a) 173

172 = 17

3 –2_{= 17}1

b) 35

32 = 3 3

c) 56

53 = 5 3

d) 118

(10)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

10

5. Para dividir potencias de igual exponente, se puede utilizar la siguiente propiedad:

a_bxx =

( )

a_b

x

o ax_{: b}x_{= (a : b)}x_,_{con b ≠}₀

a) 122

32 = (12 : 3) 2₌₄2

b) 155

55 = 3 5

c) 363

93 = 4 3

d) 1004

104 = 10 4

6. En toda potencia se cumple:

a–x₌ 1

ax , con a ≠ 0

a) 1

76 = 7–6

b) 1

9 = 9–1

c) 1

100 = 10–2

d) 1

16 = 2–4

e) 9–4₌ 1

94

f) 1

343 = 7–3

7. Una potencia de exponente cero es siempre igual a 1.

a0₌₁_, _{a ≠}₀

a) 50₌₁

b) 20_·₃0₌₆0₌₁

c) 90_:₃0₌₃0₌₁

(11)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

10

Ejercicios Propuestos

1. Escribe cada expresión en notación exponencial.

a) 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 =

b) 10 ∙ 10 ∙ 10 =

c) (–2) ∙ (–2) ∙ (–2) ∙ (–2) ∙ (–2) =

d) x ∙ x ∙ x =

2. Calcula el valor numérico de las siguientes potencias.

a) 33₌

b) (–5)2₌

c) –52₌

d) (–7)4₌

e) –(–7)4₌

f) –(–7)3₌

3. Escribe cada número como una potencia, cuya base sea un número primo (usa tu

calculadora).

a) 64 =

b) 81 =

c) 625 =

d) 343 =

•

Escribe como producto de números primos los siguientes números, utilizando potencias

(usa tu calculadora).

a) 18 =

b) 27 =

c) 72 =

d) 242 =

e) 1.000 =

(12)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

12

4. Completa las siguientes igualdades:

a) 54_∙₅3₌₅

b) 42_∙ 2₌₄4

c) (32₎5₌₃

d) (–2)3_{∙ (–}₂₎3_{= (–}₂₎

e) (73_{) =}₇12

f)

(

1

2

)

3

∙

(

)

3 = 1

•

Expresa cada número como potencias de exponente negativo.

a) 1

8 =

b) 0,1 =

c) 1

25 =

d) 2

3 =

e) 1 1

4 =

f) 0,001 =

•

Expresa las siguientes potencias con exponente positivo

a) 10–3₌

b) 5–4 ₌

c) 16–1₌

d) 2–4 ₌

e)

(

2₃

)

–1 =

f)

(

1

2

)

–2

(13)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

12

Ecuaciones de Primer Grado

Ecuación e Identidad

Una igualdad con un término desconocido puede ser una ecuación o una identidad.

Ejemplo:

1) La ecuación x – 4 = 18 es verdadera sólo si x es 22. Decimos entonces que 22 es la

solución de la ecuación, ya que 22 – 4 = 18.

2) La identidad x + 8 = 2 + 6 + x, es verdadera ya que posee en ambos costados de la igualdad

las mismas expresiones literales y numéricas.

Una identidad es una igualdad verdadera para cualquier valor del término desconocido.

Una ecuación es de primer grado si el término desconocido o incógnita tiene como

exponente a la unidad “1”, es decir: x = x1_{. Llamaremos}_solución_{de la ecuación al valor que}

hace verdadera la igualdad.

Lenguaje algebraico

El lenguaje algebraico es una gran ayuda para generalizar situaciones y para plantear ecuaciones que facilitan la resolución de problemas.

Observación

:

Si los enunciados o problemas tienen dos o más incógnitas, es indispensable expresar una en términos de la otra antes de escribir la ecuación.

Ejemplos: Para cada una de las siguientes expresiones algebraicas observa su enunciado verbal

a) Un número disminuido en 5 x – 5

b) Tres menos que un número x – 3

c) El sucesor de un número x + 1

d) El antecesor de un número x – 1

e) La quinta parte de un número 1

5 x

f) Un número aumentado en 1₅ x + 1₅

(14)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

14

Ecuaciones equivalentes

Las ecuaciones que se plantean para resolver distintos problemas pueden ser distintas, pero a veces dentro de un mismo problema pueden llegar a entregar el mismo resultado. La observación anterior nos permite establecer la existencia de ecuaciones equivalentes dentro del contexto de un mismo problema. Gracias a esto los problemas que se resuelven a través de dichas ecuaciones, no poseen una única forma de ser resueltos.

Por ejemplo: la ecuación 4x – 9 = 11 es equivalente a 4x – 11 = 9, ya que una se desprende de

la otra, es decir:

4x – 9 = 11 / + 9

4x= 11 + 9 / – 11

4x – 11 = 9

Ecuaciones y problemas de planteo

Para resolver problemas, sigue este esquema:

1) Identiﬁca la incógnita o término desconocido y asígnale una letra.

2) Plantea la ecuación y luego resuélvela.

3) Veriﬁca si la solución obtenida tiene sentido en el contexto del problema. Escribe la respuesta

completa.

Ejemplos:

1) Un carro del metro viaja con 52 pasajeros. Al llegar a una estación se bajan x pasajeros y

se suben 6. En la próxima parada se bajan 12 pasajeros, quedando en el carro 28 pasajeros.

Encuentra el valor de x.

Una de las ecuaciones que resuelven este problema es:

52 – x + 6 – 12 = 28

(52 + 6 + –12) + –x = 28

46 + –x = 28 / + (–46)

(–46 + 46) + –x = –46 + 28

0 + –x = –18 / · (–1)

x = 18

(15)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

14

2) La sexta parte de un curso va a visitar una fábrica de zapatos. Si fueron 8 alumnos, ¿cuántos

alumnos tiene el curso?

Una de las ecuaciones que permite resolver este problema se expresa por:

Sea “x” el números de alumnos, entonces

x₆ = 8

x₆ = 8 / · 6

6 · x

6 = 8· 6

1 · x = 48

x = 48

(16)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

16

Ejercicios Propuestos

1. Sustituye n por los valores indicados y luego determina si cada igualdad es verdadera.

a) 3n – 18 = –15 n = –1

b) 6 + 2n = 26 n = 10

c) 10 = 4 – 2n n = –3

d) 4n – 7 = 2n + 1 n = 4

e) 4(8 – 3n) = 20 n = –1

•

Resuelve las ecuaciones. Veriﬁca que las soluciones estén en el siguiente conjunto:

{–140, –100, –1, 0, 16, 18, 19, 49, 104, 140}

a) c + 4 = 53

b) 3j = 48

c) 4s = –₄₀₀

d) –10y = 1.400

e) 144 = 8c

f) –2s = 0

g) 61 = x – 43

h) 12 + x = 31

2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 4x – 3 = 3x + 1

b) 12x + 17 = 14x + 1

c) 3x = 4 + 2 (x – 3)

d) 5 – x = 8 – 4x

e) 10x – 32 = 3 – (x + 2)

(17)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

16

•

Resuelve los siguientes problemas, planteando previamente la ecuación correspondiente:

a) La suma de 63 y 5 veces un número es 68. ¿Cuál es el número?

b) Si restas 54 al producto de seis y un número, obtienes –12. ¿Cuál es el número?

c) Manuel dice a su hermana: “Si le quitas 10 cm a mi estatura, ésta sería igual al doble de tu

estatura disminuida en 60 cm”. ¿Cuál es la estatura de cada uno, considerando que sus

estaturas suman 2,5 m?

Actividades Propuestas

Números Enteros

1. Escribe el número entero que corresponde a las siguientes frases:

a) 10 °C bajo cero.

b) Ahorro de $ 2.000.

c) 3 pisos bajo el nivel del suelo.

d) Debo $ 15.000.

e) En un curso faltaron 3 alumnos.

2. Completa las siguientes oraciones:

a) El opuesto de –10 es

b) El valor absoluto de –8 es

c) El número entero que es 3 unidades menor que –1 es

d) El número entero que es 20 unidades mayor que –2 es

3. Expresa el número entero que le corresponde a:

a) – (–4) =

b) – (5 + 3) =

c) – (–5 + 2) =

d) – (–14 + 10) =

e) – (52 + –60) =

(18)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

18

4. Completa la siguiente tabla:

a b – (a + b) – (a – b)

–4 –1

–6 5

2 –7

–3 8

5. Resuelve los siguientes problemas:

a) La suma de tres números enteros es igual a –2. Dos sumandos son números opuestos

entre sí. ¿Cuál es el valor del otro sumando?

b) ¿Cuál es el número entero que está a la misma distancia en la recta numérica de –3 y 5?

c) ¿Cuál es el número entero que está a la misma distancia en la recta numérica de –50 y 10?

6. Completa el siguiente cuadrado mágico, de modo que el producto de los números de las

horizontales, verticales y diagonales sea 1.000.

– 5 – 8

10

7. Si a = –2, b = 1 y c = –1, determina el valor numérico de las siguientes expresiones

algebraicas:

a) a + b + c =

b) a – b + c =

c) a – b – c =

d) –(a) + –(b) = e) –a ∙ (a + b – c) = f) – (a + b) =

g) a ∙ b ∙ c =

(19)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

18

8. Resuelve:

a) El producto de dos números enteros es 480. Si uno de sus factores es –48, ¿cuál es el

otro factor?

b) El opuesto de la suma de –10 y un número es 2. ¿Cuál es el número?

c) La temperatura baja 2 °C cada hora. ¿Cuántos grados habrá bajado en 6 horas?

d) A las 4:00 a.m. la temperatura en cierta ciudad es –10 °C. Si después de cada hora

transcurrida la temperatura sube 2 °C, ¿cuál es la temperatura a las 8:00 a.m.?

9. Busca los grupos de números que estén ubicados en forma vertical, horizontal o diagonal,

cuyo producto sea –100 y enciérralos con una línea.

–5 6 –2 4 10 9

2 –2 10 –10 1 –2

–5 4 5 –5 –5 3

–2 5 –2 –5 2 20

10. Resuelve los siguientes ejercicios combinados:

a) 9 – 6 ∙ 7 – 5

b) 56 : (14 : –2)

c) (56 : –14) : 2

d) (12 + –8) : (–6 + 5)

e) –25 + 12 ∙ –₄

(20)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

20

Potencias

11. Determina el valor de a en cada caso:

a) 7a₌ ₄₉

b) 3a₌ ₂₇

c) 13₌ _a

d) a2₌ ₁₀₀

e) a2₌ ₂₅

f) 16a₌ ₂₅₆

g) 11a₌ ₁₂₁

h) 2a₌ ₈

i) 2a₌ ₂₅₆

j) 5a₌ ₁

12. Calcula el valor de cada expresión si n = 3.

a) 4n2₌

b) (4n)2₌

c) n5₌

d) 5n2₌

e) 3n3₌

f) (8n)3₌

•

Evalúa cada expresión según el valor de la variable

a) 5x_{, si x =}₂

b) 4m_{, si m =}₄

c) 12x_{, si x =}₁

(21)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

20

13. Una persona resolvió los siguientes ejercicios. Si están buenos, escríbeles un al lado. Pero,

si están malos, una x y al lado la respuesta correcta.

a) 13_∙₃1₌₃4

b) 15_∙₂1₌₂

c)

(

3

4

)

2

∙

(

3

4

)

3

=

(

3

4

)

5

d) (–4)10_{∙ (–}₄₎2_{= (–}₄₎20

e) 23_∙₃3₌₆3

f) (–5)5_{∙ (–}₁₎2₌₅7

g) (103₎5₌₁₀8

h) (102₎7₌₁₀14

14. x = 23_;_{y =}₂5_;_{z =}₃5_{, evalúa y expresa el resultado de la forma más simple usando las}

propiedades de las potencias.

a) x ∙ y =

b) (y ∙ z)2₌

c) 2 ∙ x ∙ y =

d) (9 ∙ z )2₌

e) 1

2 x =

f) y : x =

g) (y : x)4₌

(22)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

22

15. Determina el valor numérico de:

a)

(

1

2 ∙ 4 5

)

–1

=

b) (2–1_∙₄–1₎–1₌

c) 37_∙₃–9₌

d)

(

1 1

2

)

–2

∙

(

2

3

)

–2

=

e) 32_{∙ (}₃3₊₃₎0₌

f)

(

1

2

)

–1

∙ (–12)–2₌

Ecuaciones de Primer Grado

16. Escribe una expresión algebraica para cada una de las siguientes oraciones:

a) 6 más que n.

b) 6 aumentado en n.

c) n disminuido en 6.

d) 6 disminuido en n.

e) La diferencia entre n y 6.

f) El producto entre 6 y n.

g) La sexta parte de n.

h) 6 veces n.

i) El cociente entre n y 6.

(23)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

22

17. Resuelve las ecuaciones. Veriﬁca que las soluciones estén en el siguiente conjunto:

{–42, –25, –18, 25, 41, 44, 59, 61, 75, 138}

a) x – 31 = 28

b) a + 4 = –₂₁

c) 43 = m + 18

d) 21 = s – 40

e) 115 = u – 23

f) 42 + t = 0

g) 16 = 34 + v

h) 100 – 2 = 23 + w

i) x + 2 ∙ 3 = 50

j) 0 = z – 41

18. Resuelve las ecuaciones y veriﬁca que las soluciones estén en el conjunto:

{–65, –30, –28, –7, 1, 3, 8, 10, 12, 15, 28, 72, 75}

a) 3t + 5 = 29

b) 6n – 19 = –1

c) 9y + 10 = 19

d) 8 – 2t = 64

e) m

3 + 21 = 3

f) 18 = 4k – 42

g) 5s – 60 = 0

h) 100 + 2t = 40

i) 14 + a

5 = 1

(24)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

24

19. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x + 2x = 39

b) 3x – x = –₇₄

c) 10t – 16t = 12

d) 4a – 3 = 1

e) 12s – 6s = 0

f) 4m + 2m+ 8 = 26

g) 6 + 3a – a = 40

h) 3 – 8z + 5z = 0

i) 50 = 30y – 5y

j) 31 = 1 – 8v + 2v

•

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 5a = 2a + 6

b) 5 + x – 4x = –₁₀

c) 2x = 80 – 8x

d) 30 = 8 – 2y

e) 0 = n – 15 – 4n

f) 4a + 5 = 6a + 7

g) 2a – 11a = –₂₇

h) 2 (a – 6) = 3a

i) 7 (2 + y) = 5y

j) 5 (c – 2) = 5c – 10

k) 8m = 2m + 30

l) 12y = 34 – 5y

m) 5b – 9 = 2b + 12

n) 4 (x – 6) = 7x

ñ) z = 24 – 3z

o) 7 (x – 2) – 6 = 2x + 8 + x

p) 4x = 3x + 5

(25)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

24

20. Escribe una expresión algebraica para cada una de las siguientes situaciones:

a) Dos números suman 20 y uno de ellos es x, entonces el otro es...

b) La diferencia de edades de dos hermanos es 5 años. Si el mayor tiene n años, entonces

el otro tendrá...

c) Si Juan pesa p kilogramos y excede en 3 kg el peso de Pedro, entonces Pedro tendrá...

d) Si Alejandra y Sofía juntas tienen 28 CD y Alejandra tiene x, entonces Sofía tendrá...

e) Si el menor de dos números pares consecutivos es x, entonces el mayor será...

f) La mochila de Raúl pesa la mitad de la de Cristóbal. Si la de Cristóbal pesa s, la de Raúl

pesará...

g) El envase grande de un aceite contiene el triple de aceite de lo que contiene el envase chico. Si el grande contiene l litros, el chico contendrá...

•

Resuelve los siguientes problemas, planteando previamente la ecuación correspondiente:

a) Un día 6 de mayo, Daniel le dijo a una amiga: “Te daré una pista para que sepas cuándo

es mi cumpleaños: si sumas 8 al producto de tres y el número de días que faltan para mi

(26)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

Solucionario

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

Solucionario

26

b) Carolina tiene 68 láminas pegadas en su álbum, y algunas repetidas. Si con el triple de

láminas repetidas que tiene y 22 láminas más, completa las 177 láminas del álbum, ¿cuántas

láminas repetidas tiene Carolina?

c) Mauricio fabrica llaveros a un costo de $ 930. Éstos se componen de una argolla metálica

y dos ﬁguras de madera. Si la argolla metálica cuesta la mitad de lo que cuesta una ﬁgura de madera, calcula el precio de la argolla.

d) Ignacio estudió Ciencias Sociales durante una hora. Organizó su tiempo de la siguiente

manera: 1º leyó la materia, 2º imaginó las costumbres y preocupaciones del hombre de

esa época y 3º volvió a leer la materia e hizo un resumen. En la última etapa demoró

20 minutos más que en la primera, y en la primera demoró el doble que en la segunda.

¿Cuánto demoró Ignacio en cada una de las etapas de su estudio?

e) En un consultorio, un pediatra y un oftalmólogo atendieron, en total, 24 pacientes en

una tarde. Si el oftalmólogo hubiese atendido a dos personas más y el pediatra a dos personas menos, el oftalmólogo habría atendido el doble de pacientes que el pediatra. ¿Cuántos pacientes atendió cada uno?

f) Luis, por motivos económicos, no quería salir a cenar con 5 de sus amigos. Éstos al saberlo

le dijeron: “Paga lo que puedas y nosotros nos dividimos el resto en partes iguales”. La

cuenta salió $ 22.800. ¿Cuánto dinero pagó cada uno de sus amigos, si Luis sólo pudo pagar

(27)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

Solucionario

M

atemática

2006

Matemática

2006

Nivelación

Solucionario

26

1. a) {–10, –5, –3, –1}

b) {–201, –200, –199, –188}

c) {–1, 0, 1, 2}

d) { –3, –2 |–2|, |–3|}

•

a) >

b) < c) > d) >

•

a) 10

b) 10

c) 18

d) 20

e) 2

f) 6

g) 0

h) 300

2. a) –6

b) 3

c) –11

d) –20

e) –60

f) 20

g) –2

h) 20

3. a b a + b a + –b

2 –3 –1 5

–₅ ₆ ₁ –₁₁

10 –20 –10 30

–₃₂ ₁₈ –₁₄ –₅₀

4. a) –15

b) –20

c) 12

d) 30

e) 80

f) 1

g) –1

h) 27

•

a) 10

b) –5

c) –3

d) –21

e) –4

f) 3

•

a) 25

b) 22

c) 80

d) 28

e) 1

f) –8

Solucionario

(28)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Solucionario

M

atemática

2006

Matemática

2006

Solucionario

28

Potencias

1. a) 54

b) 103

c) (–2)5

d) x3

2. a) 27

b) 25

c) –25

d) 2401

e) –2401

f) 343

3. a) 26

b) 34

c) 54

d) 73

•

a) 2 ∙ 32

b) 33

c) 23_∙₃2

d) 2 ∙ 112

e) 23_∙₅3

f) 24_∙₅4

4. a) 7

b) 4

c) 10

d) 6

e) 4

f) 2

•

a) 2–3

b) 10–1

c) 5–2

d) 2 · 3–1

e) 5 · 2–2

f) 10–3

•

a) 1

103

b) 1

54

c) ₁₆1

d) 1

24

e) 3

2

f) 4

1. a) Falsa

(29)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Solucionario

M

atemática

2006

Matemática

2006

Solucionario

28

•

a) c = 49

b) j = 16

c) s = –100

d) y = –140

e) c = 18

f) s = 0

g) x = 104

h) x = 19

2. a) x = 4

b) x = 8

c) x = –2

d) x = 1

e) x = 3

f) x = –10

•

a) 63 + 5x = 68, con x =1

b) 6x – 54 = –12, con x = 7

c) x – 10 = 2(250 – x) – 60, x = 150,

Manuel mide 1,5 m y su hermana

1 m.

Actividades Propuestas

1. a) –10

b) 2.000

c) –3

d) –15.000

e) –3

2. a) 10

b) 8

c) –4

d) 18

3. a) 4

b) –8

c) 3

d) 4

e) 8

f) –15

4. _a _b _–(_{a + b}_{) –(}_a_–_b₎

–4 –1 5 3

–6 5 1 11

2 –7 5 –9

(30)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Solucionario

M

atemática

2006

Matemática

2006

Solucionario

30

5. a) –2

b) 1

c) –20

6. _–₅ _–₈

10

–50

4 –12,5–20

–2

25

7. a) –2

b) –4

c) –2

d) 1

e) 0

f) 1

g) 2

h) –2

8. a) –10

b) 8

c) 12ºC

d) –2ºC

9. Revisión de Profesor o Profesora

10. a) –38

b) –8

c) –2

d) –4

e) –73

f) –15

Potencias

11. a) 2

b) 3

c) 1

d) 10

e) 5

f) 2

g) 2

h) 3

i) 8

j) 0

12. a) 36

b) 144

c) 243

d) 45

e) 81

f) 13.824

•

a) 25

b) 256

c) 12

d) 1

13. a) r ; 3

b) a

c) a

d) r ; 412

e) a

f) r ; (–5)5

g) r ; 1015

(31)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Solucionario

M

atemática

2006

Matemática

2006

Solucionario

30

14. a) 28

b) 610

c) 29

d) 314

e) 22

f) 22

g) 28

h) 37

15. a) 5

2

b) 8

c) 1₉

d) 1

e) 9

f) 1

72

16. a) n + 6

b) 6 + n

c) n – 6

d) 6 – n

e) n – 6

f) 6n

g) 1

6 n

h) 6n

i) n

6

j) 6 ∙ 2n

17. a) x = 59

b) a = –25

c) m = 25

d) s = 61

e) u = 138

f) t = –42

g) v = –18

h) w = 75

i) x = 44

j) z = 41

18. a) t = 8

b) n = 3

c) y = 1

d) t = –28

e) m = –54

f) k = 15

g) s = 12

h) t = –30

i) a = –65

j) a = 7

19. a) x = 13

b) x = –37

c) t = –2

d) a = 1

e) s = 0

f) m = 3

g) a = 17

h) z = 1

i) y = 2

(32)

M

atemática

2006

Matemática

2006

Solucionario

CEPECH Preuniversitario, Edición 2006 MT

•

a) 2

b) 5

c) 8

d) –11

e) –5

f) –1

g) 3

h) –12

i) –7

j)

k) 5

l) 2

m) 7

n) –8

ñ) 6

o) 7

p) 5

q) –1

20. a) 20 – x

b) n – 5

c) p – 3

d) 28 – x

e) x + 2

f) s

2

g) l

3

•

a) 8 + 3x = 38, con x = 10, Daniel está de

cumpleaños el 16 de mayo.

b) 3x+ 22 + 68 = 177. Carolina tiene 29

láminas repetidas.

c) x + 2(2x)= 930. La argolla cuesta $ 186.

d) 2x + x + 2x + 20 = 60

1º: 16 minutos

2º: 8 minutos

3º: 36 minutos

e) x + 2 = 2(24– x– 2), el Oftalmólogo

atendió 14 pacientes y el pediatra a

10.

f) 1.800 + 5x = 22.800. Cada uno pagó

$ 4.200.