Bárbara Cánovas Conesa

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Texto completo

(1)

Campo Eléctrico

C

Caarrggaaeellééccttrriiccaa

La carga eléctrica es un exceso (carga -) o defecto (carga +) de electrones que posee un cuerpo respecto al estado neutro. Es una propiedad de la materia que es causa de la interacción electromagnética.

Un culombio es la cantidad de carga que atraviesa una sección de un conductor en un segundo cuando la intensidad de la corriente es de un amperio.

P

Prrooppiieeddaaddeess

1º. La carga eléctrica está cuantificada y su unidad más elemental es la carga del electrón: qe = 1.6·10-191C = 6.25·1028 electrones.

2º. Las cargas son acumulativas.

3º. Existen dos tipos de carga: positiva y negativa.

4º. Se conserva en cualquier proceso que tenga lugar en un sistema aislado. 5º. La carga de un electrón es igual a la carga de un protón, cambiada de signo.

Se denomina conductores a los cuerpos que dejan pasar fácilmente la electricidad a través de ellos y aislantes o dieléctricos a los que no la dejan pasar.

L

LeeyyddeeCCoouulloommbb

“La fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas eléctricas es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”

Es válida para cargas puntuales o puntiformes (su tamaño es mucho menor que la distancia entre ellas):

𝐹⃗ = ± 𝑘 𝑞1 𝑞2 𝑅2 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟

Siendo el signo positivo si la fuerza es repulsiva y negativo si es atractiva. K es una constante que depende del medio, siendo su valor en el vacío de 9·109 C2·N·m-2:

𝑘 = 1

4 𝜋 𝜀

Y  la constante dieléctrica o permitividad del medio, en el vacío 𝜀0 = 8.9·10-12 C2·N·m2 y en el aire 𝜀′= 1:

𝜀 = 𝜀0· 𝜀′  Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.  Fuerza central (conservativa).

 Depende del medio, a diferencia de la interacción gravitatoria.

P PrriinncciippiiooddeeSSuuppeerrppoossiicciióónnaapplliiccaaddooaaFFuueerrzzaassEEllééccttrriiccaass 𝐹⃗𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐹⃗1 4 + 𝐹⃗2 4 + 𝐹⃗3 4 𝐹⃗𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑘 (𝑞𝑅1 𝑞4 1 42 𝑢⃗⃗1 4 + 𝑞2 𝑞4 𝑅2 42 𝑢⃗⃗2 4 + 𝑞3 𝑞4 𝑅3 42 𝑢⃗⃗3 4) + + + + q2 q3 q4 q1 F3 4 F2 4 F1 4

(2)

C

CoommppaarraacciióónneennttrreellaaLLeeyyddeeNNeewwttoonnyyllaaddeeCCoouulloommbb

A

Annaallooggííaass DDiiffeerreenncciiaass

 Su expresión matemática es análoga.

 Fuerzas proporcionales a la magnitud física que interacciona: la masa en las fuerzas gravitatorias, la carga en las eléctricas

 Las fuerzas son inversamente

proporcionales al cuadrado de la distancia  Son fuerzas centrales (actúan en la dirección

de la recta que une las masas o las cargas)

Fuerza Gravitatoria Fuerza Eléctrica

𝐹𝑔 = − 𝐺 · 𝑚1𝑅 𝑚2 2 𝐹𝑒 = ± 𝑘 · 𝑞1𝑅 𝑞22

 Asociada a la masa

 Es de atracción (sólo hay un tipo de masa)

 G no depende del medio  G es muy pequeño

 Asociada a la carga  Puede ser de atracción o

de repulsión

 K depende del medio en el que están las cargas  El valor de G es muy pequeño frente a K: la interacción

gravitatoria es mucho más débil que la eléctrica

C

Caammppooeellééccttrriiccoo

Región del espacio cuyas propiedades se ven alteradas por la presencia de una carga.

EEffeeccttooddeellccaammppoossoobbrreeuunnaappaarrttííccuullaatteessttiiggoo::

FFuueerrzzaaque actúa sobre la partícula situada en un punto, desde un punto de vista dinámico.

EEnneerrggííaaPPootteenncciiaall de la partícula, asociada a su posición relativa en el campo, dentro de un enfoque

energético de la interacción.

MMaaggnniittuuddeessqquueeddeeffiinneenneellccaammppoo::

IInntteennssiiddaadddel campo en cada punto, lo define desde un punto de vista dinámico.

PPootteenncciiaalldel campo en cada punto, dentro de un enfoque energético de la interacción. D

DeessddeeuunnppuunnttooddeevviissttaaDDiinnáámmiiccoo

I

Inntteennssiiddaaddddeeccaammppooeennuunnppuunnttoo

Fuerza a la que estaría sometida la unidad de carga (+) colocada en dicho punto. Definida en cada punto del campo:

𝐸⃗⃗ = 𝐹⃗ 𝑞 = 𝑘 · 𝑄 𝑞𝑅2 𝑞 → 𝐸⃗⃗ = 𝑘 · 𝑄 𝑅2 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑟 𝑁 𝐶)

El campo eléctrico definido en función de la intensidad es un campo vectorial: su sentido de coincide con el sentido del movimiento que adquiriría una carga (+) colocada en dicho punto:

P PrriinncciippiiooddeeSSuuppeerrppoossiicciióónn 𝐸⃗⃗𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐸⃗⃗1 + 𝐸⃗⃗2 + ⋯ + 𝐸⃗⃗𝑛 = ∑ 𝐸⃗⃗𝑖 = 𝑘 (∑ 𝑞𝑖 𝑟𝑖2 ) D DeennssiiddaaddddeeCCaarrggaa V Voolluummééttrriiccaa SSuuppeerrffiicciiaall LLiinneeaall 𝜌 = 𝑄 𝑉 𝜎 = 𝑄 𝑆 𝜆 = 𝑄 ℓ

(3)

Campo Eléctrico L

Líínneeaassddeeffuueerrzzaa

Son líneas imaginarias y son la trayectoria que seguiría la unidad de carga positiva dejada en libertad dentro del campo eléctrico.

Las líneas de fuerza salen de las cargas positivas (fuentes) y entran en las cargas negativas (sumideros). Si no existen alguna de ellas las líneas de campo empiezan o terminan en el infinito.

 El número de líneas que entran o salen de una carga puntual es proporcional al valor de la carga.

 En cada punto del campo, el número de líneas por unidad de superficie perpendicular a ellas es proporcional a la intensidad de campo.

 Dos líneas de fuerza nunca pueden cortarse.

En un campo uniforme, suponemos líneas paralelas: 𝐸𝑎 = 𝐸𝑏

El campo eléctrico es el número de líneas de fuerza que atraviesan la unidad de superficie colocada perpendicularmente a

dichas líneas.

D

DeessddeeuunnppuunnttooddeevviissttaaEEnneerrggééttiiccoo La interacción descrita por la ley de Coulomb es conservativa.

T

TrraabbaajjooyyEEnneerrggííaaPPootteenncciiaall

El trabajo realizado por una fuerza eléctrica para para llevar un cuerpo desde la posición 1 a la posición 2 es:

𝑊 = − ∆𝐸𝑃 = 𝐸𝑃1 − 𝐸𝑃2 = 𝑘 𝑞1 𝑞2(𝑅1 1 −

1 𝑅2) La fuerza eléctrica es una fuerza conservativa, por lo que:

 El trabajo eléctrico sólo depende de las posiciones inicial y final y no de la trayectoria seguida.

 Cuando el camino que sigue el cuerpo entre ambos puntos es un camino cerrado o un ciclo, el trabajo eléctrico es nulo.

Si el trabajo es positivo lo realiza el campo eléctrico, si el trabajo tiene signo negativo significa que lo realiza un agente externo.

Para hallar la energía potencial en un punto se le da al otro punto 𝐸𝑃= 0. Este valor nulo se toma en el ∞:

𝑅2 = ∞ →

1

𝑅2 = 0 → 𝐸𝑃1 = 𝑘

𝑞1 𝑞2

𝑅1

Por lo tanto, la energía potencial en un punto es el trabajo que se realiza para llevar 𝑞2 desde 𝑟1 al ∞, o viceversa. C CaarrggaassddeeDDiissttiinnttooSSiiggnnoo CCaarrggaassddeeIIgguuaallSSiiggnnoo SSiisstteemmaaddeemmáássddee22ppaarrttííccuullaass 𝐸𝑝 = − 𝑘 · 𝑄 𝑞 𝑅 𝐸𝑝= + 𝑘 · 𝑄 𝑞 𝑅 𝐸 𝑝 𝑠𝑖𝑠𝑡. = 𝐸𝑝 1 2 + 𝐸𝑝 1 3 + 𝐸𝑝 2 3 𝑊 = + 𝐸𝑝 𝑊 = − 𝐸𝑝 P PootteenncciiaallddeellCCaammppooEEllééccttrriiccoo

El potencial de campo en un punto es la energía potencial que corresponde a la unidad de carga positiva colocada en ese punto: 𝑉(𝑟) = 𝐸𝑝(𝑟) 𝑞′ = 𝑘 𝑞 𝑟 (1𝑉 = 1𝐽 1𝐶)

El campo definido en función del potencial es un campo escalar.

(4)

-P

PootteenncciiaalleennuunnppuunnttooddeebbiiddooaauunnSSiisstteemmaaddeeCCaarrggaassPPuunnttuuaalleess

Mide el trabajo necesario para ensamblar el sistema en estas posiciones, acercando las cargas desde el infinito (energía reticular): 𝑉𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∑ 𝑉𝑖 𝑛 𝑖 = 1 = 𝑘 · (𝑞1 𝑅1 + 𝑞2 𝑅2 + ⋯ + 𝑞𝑛 𝑅𝑛) → 𝐸𝑝 = 𝑞 ′ 𝑉 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 D DiiffeerreenncciiaaddeePPootteenncciiaall

Es el trabajo que debe realizarse contra el campo para desplazar la unidad de carga desde A hasta B, suponiendo que su energía cinética permanece cte:

𝑉𝐵− 𝑉𝐴= − ∫ 𝐸⃗⃗ 𝑑𝑟⃗ 𝐵 𝐴 → ∆𝑉 = 𝐸𝑃𝐴 − 𝐸𝑃𝐵 𝑞2 → ∆𝑉 = 𝑘𝑞1( 1 𝑅1 − 1 𝑅2) Para hallar el potencial en un punto se le da al otro punto V = 0. Este valor nulo se toma en el ∞: 𝑅2 = ∞ → 1 𝑅2 = 0 → 𝑉1 = 𝑘 𝑞1 𝑅1

Por lo tanto, el potencial en un punto es el trabajo que se realiza para llevar la unidad de carga (+) al infinito:

𝑊 = 𝑞2 (𝑉1 − 𝑉2) 𝐸⃗⃗ = − 𝑑𝑉

𝑑𝑟· 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗𝑟

Cuando la carga se desplaza por una superficie equipotencial (todos sus puntos tienen el mimo potencial), el campo eléctrico no realiza trabajo.

D

DiiffeerreenncciiaaddeePPootteenncciiaalleennuunnCCaammppooEEllééccttrriiccooUUnniiffoorrmmee

𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = − 𝐸 𝑑 𝐸𝑃(𝐵) − 𝐸𝑃(𝐴) = − 𝑄′ 𝐸 𝑑

R

ReellaacciióónneennttrreeIInntteennssiiddaaddyyPPootteenncciiaall

Podemos conocer el valor de un campo eléctrico uniforme derivando la expresión del potencial con respecto a la cual varía y anteponiendo el signo (-):

𝐸𝑥 = − 𝑑𝑉 𝑑𝑥 → 𝐸⃗⃗ = − 𝑑𝑉 𝑑𝑥 · 𝑖⃗ M MoovviimmiieennttooddeePPaarrttííccuullaassCCaarrggaaddaasseennuunnCCaammppooEEllééccttrriiccooUUnniiffoorrmmee E EnnllaaDDiirreecccciióónnddeellCCaammppoo EEnnDDiirreecccciióónnPPeerrppeennddiiccuullaarr 𝐹𝑦 = 𝑄 𝐸 = 𝑚 𝑎𝑦 𝑎𝑦 = 𝑄 𝐸 𝑚 𝑊 = 𝑞 𝐸 𝑑 → 𝑊 = ∆𝐸𝐶 → 𝐸𝐶 − 𝐸𝐶 0 = 𝑞 𝐸 𝑑 1 2𝑚 𝑣2 − 1 2𝑚 𝑣02 = 𝑞 𝐸 𝑑 𝑣 = √𝑣02 + 2 𝑞 𝐸 𝑑 𝑚

Movimiento: Dirección de la trayectoria (parábola):

𝑥 = 𝑣𝑜 𝑡 → 𝑡 = 𝑥 𝑣𝑜 𝑦 = 1 2 𝑄 𝐸 𝑚 ( 𝑥 𝑣𝑜) 2 𝑦 = 1 2 𝑎𝑦 𝑡2 𝑦 = 𝑄 𝐸 2 𝑚 𝑣𝑜2 𝑥 2

 Si la carga es (-), su velocidad irá disminuyendo hasta invertir su movimiento.

 A igualdad de velocidad inicial y carga, alcanzan mayor velocidad las partículas más ligeras.

 Las partículas que sufren mayor desviación son las más ligeras v0 E Q V 0 i E = Ej x y + + + + - - - -+ +

-A

Potencial más bajo Potencial más altoB

E

F

(5)

Campo Eléctrico C

CáállccuullooddeellccaammppooeellééccttrriiccoommeeddiiaanntteeeellTTeeoorreemmaaddeeGGaauussss F

Flluujjooddeellccaammppooeellééccttrriiccoo

Es una medida del número de líneas de fuerza que atraviesan una superficie dada.

Toda superficie puede

representarse mediante un vector 𝑆⃗, perpendicular a ella, con módulo su área:

El número de líneas que atraviesan una superficie depende de la orientación relativa de la superficie respecto al campo. Si el campo es perpendicular a la superficie (𝐸⃗⃗ ∥ 𝑆⃗) el flujo es máximo y si son paralelos (𝐸⃗⃗ ⊥ 𝑆⃗) es nulo. Estos resultados coinciden con la definición de producto escalar:

𝜙 = 𝐸⃗⃗ · 𝑆⃗ (𝑁 𝑚

2

𝐶 )

Esta explicación es valida si el campo eléctrico es uniforme. Si no es así, hay que dividir la superficie en elementos diferenciales 𝒹𝑆⃗ con carácter infinitesimal de forma que el campo eléctrico se pueda considerar constante. Se define así, un flujo elemental:

𝒹𝜙 = 𝐸⃗⃗ · 𝒹𝑆⃗

Siendo el flujo total a través de toda la superficie:

𝜙 = ∫ 𝒹𝜙⃗⃗

𝑆 = ∫ 𝐸⃗⃗ · 𝒹𝑆⃗ T

TeeoorreemmaaddeeGGaauussss

Relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada con la carga contenida en su interior:

En el caso de una esfera de radio R en cuyo centro existe una carga (+) Q, las líneas de fuerza son radiales y por tanto los vectores 𝐸⃗⃗ y 𝒹𝑆⃗ tendrán la misma dirección y sentido en cada punto de la esfera:

𝜙 = ∮ 𝐸⃗⃗ · 𝒹𝑆⃗ = ∮ 𝐸 · 𝒹𝑆 = 𝐸 ∮ 𝒹𝑆 = 1 4𝜋𝜀0· 𝑄 𝑅2· 4𝜋𝑅2 → 𝜙 = 𝑄 𝜀0

El resultado es independiente del radio, es decir, es el mismo sea cual sea el tamaño de la esfera:

El número de líneas que atraviesan la esfera es el mismo que el que atraviesa la superficie irregular: “El flujo del campo

eléctrico a través de una superficie cerrada es independiente de la forma de la superficie e igual a la carga neta contenida dividida por la permitividad del medio”

𝜙 = ∮ 𝐸⃗⃗ · 𝒹𝑆⃗ = 𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎𝜀 S E S E S E+ r Q dS E + S1 S2 S3

(6)

C Caammppooccrreeaaddooeenneelleexxtteerriioorrddeeuunnaaeessffeerraauunniiffoorrmmeemmeenntteeccaarrggaaddaa 𝜙 = 𝐸 ∮ 𝑑𝑆 = 𝐸 · 4𝜋𝑅2 Aplicando Gauss: 𝜙 = 𝑄 𝜀0→ 𝐸 · 4𝜋𝑅 2 = 𝑄 𝜀0 → 𝐸 = 1 4𝜋𝜀0𝑅2 · 𝑄 𝑅2 Es el mismo que el que se obtendría si toda la carga de la esfera estuviese concentrada en su centro y se comportara como una carga puntual.

C Caammppoooorriiggiinnaaddooppoorruunnaappllaaccaauunniiffoorrmmeemmeenntteeccaarrggaaddaa 𝜎 = 𝑄 𝑆 → 𝑄 = 𝜎 𝑆 = 𝜎 ℓ2 𝜙 = 𝐸 𝑆1 + 𝐸 𝑆2 = 2 𝐸 𝑆 = 2 𝐸 ℓ2 Aplicando Gauss: 𝜙 = 𝑄 𝜀0 = 𝜎 ℓ2 𝜀0 Igualando: 2 𝐸 ℓ2 = 𝜎 ℓ2 𝜀0 → 𝐸 = 𝜎 2 𝜀0

Es independiente de la distancia a la placa y sólo depende de la densidad superficial de carga y del medio. Por tanto, el campo debido a una placa plana uniformemente cargada es constante.

P

Prrootteecccciióónnffrreenntteeaaccaammppoosseexxtteerrnnooss

Es posible aislarnos de un campo eléctrico si nos encerramos en el interior de una superficie conductora (efecto de Jaula de Faraday): todo exceso de carga en un conductor aislado en equilibrio electrostático se reparte por su superficie, esto es debido a que la carga neta en el interior de un conductor en equilibrio electrostático es nula:

𝐸𝑛𝑒𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 𝐸𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 − 𝐸𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 0 P + dS E + + + + + +++ r

l

Figure

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