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UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

Departamento de Matem´

aticas

MATEM ´

ATICAS

CAP´

ITULO 1

CURSO PREPARATORIO

DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

CURSO 2010–2011

Elaborado por

(2)
(3)

´

Indice general

1. ´Algebra Lineal 1

1.1. Sistemas lineales y m´etodos de resoluci´on . . . 1

1.2. Vectores y matrices . . . 2

1.3. Teorema de Rouch´e-Frobenius . . . 3

1.4. Determinantes . . . 4

1.5. Operaciones con matrices . . . 5

1.6. Resoluci´on de sistemas lineales . . . 7

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(5)

Cap´ıtulo 1

´

Algebra Lineal

1.1.

Sistemas lineales y m´

etodos de resoluci´

on

M´etodos de resoluci´on de sistemas lineales:

1. M´etodo de sustituci´on: despejamos una inc´ognita en una ecuaci´on y sustituimos en las dem´as.

2. M´etodo de eliminaci´on de Gauss: eliminamos inc´ognitas de las ecuaciones obteniendo un sistema inmediato de resolver.

3. M´etodo de Cramer: utiliza un cociente de determinantes.

Notaci´on matricial:

Dado el sistema lineal

 

a11x+a12y+a13z =b1,

a21x+a22y+a23z =b2,

a31x+a32y+a33z =b3,

La MATRIZ DEL SISTEMA (matriz de los coeficientes del sistema), A, y la MATRIZ AMPLIADA,A|B, son respectivamente:

A=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33 

, A|B = 

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

b1

b2

b3 

.

M´etodo de eliminaci´on de Gauss:

Consiste en reducir un sistema a otro equivalente mediante operaciones elementales, hacien-do ceros en la matriz ampliada. Las operaciones elementales son multiplicar una ecuaci´on por una constante, cambiar de orden las ecuaciones y sumar un m´ultiplo de una ecuaci´on

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2 CAP´ITULO 1. ´ALGEBRA LINEAL

a otra. El paso intermedio es conseguir un sistema con una MATRIZ ESCALONADA, es decir, que tenga ceros debajo de la diagonal.

Un sistema decimos que es COMPATIBLE si tiene soluci´on. Decimos que es INCOMPATI-BLE si no tiene ninguna.

Decimos que un sistema es COMPATIBLE DETERMINADO si tiene soluci´on ´unica y de-cimos que es COMPATIBLE INDETERMINADO si tiene m´as de una.

1.2.

Vectores y matrices

Un VECTOR es una fila ordenada de n´umeros: ~a = (a1, a2, . . . , an) donde ai ∈ R, i =

1,2, . . . , n. Cada n´umero es una COMPONENTE del vector. En una matriz, tanto sus filas como sus columnas son vectores, que llamamos VECTORES FILA y VECTORES COLUMNA respectivamente.

La SUMA de dos vectores se hace componente a componente. S´olo se pueden sumar vectores con el mismo n´umero de componentes, por ejemplo:

(a1, a2) + (b1, b2) = (a1+b1, a2+b2).

El PRODUCTO de un vector por un n´umero se hace multiplicando cada componente por el n´umero, por ejemplo:

λ(a1, a2, a3) = (λa1, λa2, λa3), λ∈R.

PROPIEDADES

Si~a,~b, ~c son vectores y λ, µson n´umeros reales: 1. ~a+~b =~b+~a. (Conmutativa)

2. (~a+~b) +~c=~a+ (~b+~c).(Asociativa) 3. ~0 +~a=~a+~0 =~a. (Existe elemento neutro)

4. ~a+ (−~a) = (−~a) +~a =~0. (Existe elemento opuesto) 5. λ(~a+~b) =λ~a+λ~b.(Distributiva 1)

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1.3. TEOREMA DE ROUCH ´E-FROBENIUS 3

Una COMBINACI ´ON LINEAL de un conjunto de vectores {a~1, . . . , ~ak} es una expresi´on:

λ1a~1+· · ·+λka~k,

donde λ1, . . . , λk ∈ R. El resultado es otro vector. Al resolver por el m´etodo de Gauss un

sistema hacemos combinaciones lineales de los vectores fila de la matriz ampliada.

Un conjunto de vectores es LINEALMENTE INDEPENDIENTE si toda combinaci´on li-neal suya igualada a cero tiene necesariamente todos los coeficientes cero. Diremos que es LINEALMENTE DEPENDIENTE si existe alguna combinaci´on lineal igualada a cero que no tiene todos los coeficientes nulos.

Es decir: es linealmente dependiente si alguno de los vectores se puede poner como com-binaci´on lineal de los otros. Es linealmente independiente si ning´un vector es combinaci´on lineal de los dem´as.

El RANGO de un conjunto de vectores es el n´umero m´aximo de vectores linealmente inde-pendientes que tiene. Tambi´en es la dimensi´on del espacio que generan sus combinaciones lineales.

Un conjunto de vectores B es una BASE de un espacio vectorialV si B ⊂V y cumple: 1. B es linealmente independiente.

2. Todos los vectores de V son combinaci´on lineal de los vectores deB.

La BASE CAN ´ONICA es la formada por los vectores con todas sus componentes cero salvo una, que es un 1. EnR3 es {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}.

El RANGO DE UNA MATRIZ es el rango del conjunto de sus vectores fila o sus vectores columna, que es el mismo.

La TRASPUESTA de una matrizA es la matriz que tiene por filas los vectores columna de

A. Se denota AT. Una matriz y su traspuesta tienen, por tanto, el mismo rango.

1.3.

Teorema de Rouch´

e-Frobenius

TEOREMA DE ROUCH´E-FROBENIUS

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4 CAP´ITULO 1. ´ALGEBRA LINEAL

Observaciones:

1. Si no tienen el mismo rango, el sistema es incompatible.

2. Si los rangos son iguales y coinciden con el n´umero de inc´ognitas, el sistema es com-patible determinado.

3. Si los rangos son iguales pero inferiores al n´umero de inc´ognitas, el sistema es com-patible indeterminado.

Los sistemas con t´ermino independiente exactamente igual a cero se llaman HOMOG ´ENEOS:

 

a11x+a12y+a13z = 0,

a21x+a22y+a23z = 0,

a31x+a32y+a33z = 0.

Estos sistemas son siempre compatibles, porque una soluci´on trivial es la id´enticamente cero.

1.4.

Determinantes

El DETERMINANTE de una matriz cuadrada 2x2, A, se denota por|A| y se calcula:

|A|=

a1 b1

a2 b2

=a1b2 −a2b1.

El DETERMINANTE de una matriz cuadrada 3x3, |A|, se calcula:

|A|=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=a11

a22 a23

a32 a33

−a12

a21 a23

a31 a33

+a13

a21 a22

a31 a32

,

donde los determinantes 2x2 que aparecen se llaman COFACTORES de a11, a12 y a13

res-pectivamente y se obtienen eliminando de la matriz A la fila y la columna en que est´a el coeficiente al que corresponden. Se denotan por:

A11 =

a22 a23

a32 a33

, A12=

a21 a23

a31 a33

, A13=

a21 a22

a31 a32

.

Este determinante lo hemos desarrollado por la primera fila. Podemos desarrollarlo por cualquier fila o columna, teniendo en cuenta que los signos que hay que asignar a cada coeficiente son alternados, con el esquema siguiente:

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1.5. OPERACIONES CON MATRICES 5

Regla de Sarrus:

Un determinante 3x3 se calcula siguiendo el esquema de hacer los productos de coeficientes siguiendo las diagonales y con los signos asignados seg´un las direcciones: Sur-Este positivo, Sur-Oeste negativo, es decir:

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23−a13a22a31−a23a32a11−a33a21a12.

PROPIEDADES DEL DETERMINANTE

1. |A|=|AT|.

2. Es lineal:

a1 tb1 +c1 d1

a2 tb2 +c2 d2

a3 tb3 +c3 d3 =t

a1 b1 d1

a2 b2 d2

a3 b3 d3 +

a1 c1 d1

a2 c2 d2

a3 c3 d3 .

3. Si dos columnas son iguales, |A|= 0.

4. No cambia si a una columna le sumamos un m´ultiplo de otra.

5. Si se intercambian dos columnas, cambia de signo.

6. Los vectores columna son linealmente independientes si y s´olo si el determinante es distinto de cero.

Entonces, podemos utilizar determinantes para estudiar la independencia lineal de vectores y calcular el rango de matrices.

1.5.

Operaciones con matrices

Decimos que una matriz tiene DIMENSIONESmxnsi tienemfilas yncolumnas. La SUMA de dos matrices de las mismas dimensiones se hace sumando coeficiente a coeficiente, por ejemplo:

1 0 2 2 −2 1

+

0 1 1

−1 −1 2

=

1 1 3 1 −3 3

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6 CAP´ITULO 1. ´ALGEBRA LINEAL

La MULTIPLICACI ´ON de una matriz por un n´umero se hace multiplicando cada coeficiente por el n´umero, por ejemplo:

2

1 0 2 2 −2 1

=

2 0 4 4 −4 2

.

El PRODUCTO de dos matrices,A·B, s´olo se puede realizar cuando el n´umero de columnas de A es igual al n´umero de filas de B. Si A es mxn y B es nxk, entonces el producto es una matriz C de dimensiones mxk. En C, el coeficiente ci,j es la suma del producto de los

coeficientes de la fila i de A por los coeficientes de la columna j de B, cada uno por su correspondiente. Por ejemplo:

1 0 2 2 −2 1

  1 0 −1  =

1·1−1·2 1·2−1·1

= −1 1 .

Un sistema de ecuaciones lineales se escribe como producto de matrices de la forma:

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33     x y z  =   b1 b2 b3  .

Llamamos MATRIZ IDENTIDAD, I, a la matriz cuadrada que tiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto de los coeficientes. En dimensi´on 3x3 es:

I =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

.

Sus vectores columna (y sus vectores fila) forman la base can´onica del espacio de tres dimensiones.

Para una matriz cuadrada, A, la matriz que al multiplicarla por ella nos da la identidad se llama MATRIZ INVERSA de A, y se denota porA−1. Entonces:

A·A−1 =A−1 ·A =I.

TEOREMA

Una matriz tiene inversa si y s´olo si su determinante es distinto de cero.

M´etodo de Gauss:

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1.6. RESOLUCI ´ON DE SISTEMAS LINEALES 7

M´etodo de los cofactores:

La inversa de una matriz A es:

A−1 = 1

|A|

A11 −A12 A13

−A21 A22 −A23

A31 −A32 A33 

T

,

donde los Aij son los cofactores de los coeficientes aij, es decir los determinantes obtenidos

al eliminar la fila y la columna donde est´a el aij. El esquema de signos es el mismo que en

los determinantes.

1.6.

Resoluci´

on de sistemas lineales

TEOREMA: REGLA DE CRAMER

SiA es una matriz invertible, entonces el sistema de ecuaciones:

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33     x y z  =   b1 b2 b3  

es compatible determinado y sus soluciones se calculan por las f´ormulas:

x= 1

|A|

b1 a12 a13

b2 a22 a23

b3 a32 a33

; y = 1

|A|

a11 b1 a13

a21 b2 a23

a31 b3 a33

; z = 1

|A|

a11 a12 b1

a21 a22 b2

a31 a32 b3 .

Figure

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