DE ESTAS ESTRUCTURAS
Proyecto de grado Ingeniería Civil
Juan Guillermo Robayo Méndez
Asesora
Silvia Caro Spinel
Universidad de Los Andes
Facultad de ingeniería
Departamento de ingeniería civil y ambiental
Bogotá D.C.
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Tabla de contenido
1. Introducción ... 6
2. Objetivos... 7
2.1. Objetivo general ... 7
2.2. Objetivos específicos ... 7
3. Marco teórico ... 8
3.1. Campos aleatorios correlacionados ... 8
3.2. Distribución de vacíos en profundidad ... 11
3.3. Relación entre modulo inicial E0 y porcentaje de contenido de vacíos ... 11
3.4. Estudio de Burmister(1958) ... 12
4. Metodología de estudio ... 13
4.1. Rutinas en Python ... 13
4.2. Diagrama de la modelación del proyecto ... 14
5. Detalles del modelo ... 15
5.1. Geometría del proyecto ... 15
5.2. Carga mecánica ... 15
5.3. Propiedades mecánicas de los materiales ... 16
5.3.1. Capa asfáltica ... 16
5.3.2. Base granular equivalente ... 17
6. Resultados y análisis ... 18
6.1. Resultados generales ... 19
6.2. Resultados promedios ... 21
6.3. Dispersión máxima ... 26
6.4. Dispersión vs profundidad ... 27
6.4.1. Capa asfáltica ... 27
6.4.2. Base equivalente ... 28
6.5. Figuras normalizadas de los esfuerzos verticales en profundidad ... 29
7. Conclusiones ... 31
8. Bibliografía ... 32
9. Anexos ... 33
9.1. Anexo 1 ... 33
3
9.3. Anexo 3 ... 45
9.4. Anexo 4 ... 46
9.5. Anexo 5 ... 47
9.6. Anexo 6 ... 48
9.7. Anexo 7 ... 49
9.8. Anexo 8 ... 50
4
Lista de figuras
Figura 1 Campo aleatorio (a) no correlacionado, (b) correlacionado con Lx>Ly, y (c)
correlacionado con Ly>Lx ... 9
Figura 2 Ejemplo de campo aleatorio correlacionado usado en el proyecto ... 10
Figura 3 Relación entre porcentaje de contenido de vacíos y el modulo inicial𝑬𝟎 a 20 °C ... 11
Figura 4 Esfuerzos en la dirección vertical normalizados por la carga. Tomado de (Burmister, 1958) ... 12
Figura 5 Geometría del modelo característico ... 15
Figura 6 Modelo deformado con los esfuerzos en la dirección horizontal ... 18
Figura 7 Modelo deformado con los esfuerzos en la dirección vertical ... 18
Figura 8 Esfuerzos en la dirección horizontal para la ubicación [B] ... 19
Figura 9 Esfuerzos en la dirección vertical para la ubicación [B] ... 19
Figura 10Esfuerzos en la dirección horizontal para la ubicación [C] ... 20
Figura 11 Esfuerzos en la dirección vertical para la ubicación [C] ... 20
Figura 12 Esfuerzos promedio en la dirección horizontal para la ubicación [C] ... 21
Figura 13 Esfuerzos promedio en la dirección vertical para la ubicación [C] ... 22
Figura 14 Esfuerzos en la dirección horizontal en función del módulo de la base equivalente para Z=6.75cm ... 23
Figura 15 Esfuerzos en la dirección vertical en función del módulo de la base equivalente para Z=6.75cm ... 23
Figura 16 Esfuerzos en la dirección horizontal en función del módulo de la base equivalente para Z=10.25cm ... 24
Figura 17 Esfuerzos en la dirección vertical en función del módulo de la base equivalente para Z=10.25cm ... 25
Figura 18 Promedio de desviaciones del esfuerzo en la dirección horizontal ... 26
Figura 19 Promedio de desviaciones del esfuerzo en la dirección vertical ... 26
Figura 20 Desviación estándar entre diferentes realizaciones de los esfuerzos en la dirección horizontal... 27
Figura 21 Desviación estándar entre diferentes realizaciones de los esfuerzos en la dirección vertical ... 28
Figura 22 Desviación de los esfuerzos en la base equivalente ... 28
5
Lista de tablas
Tabla 1 Módulos escogidos para la base equivalente ... 13 Tabla 2 Convenciones de los puntos de extracción de resultados de la modelación numérica ... 13 Tabla 3 Parámetros de la serie de Prony ... 16 Tabla 4 Valores del estudio del esfuerzo vertical normalizado producido en la interfaz de las capas ... 30
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1.
Introducción
Los pavimentos son estructuras multicapas constituidas por uno o más materiales que se construyen sobre el terreno natural con el fin de servir para la circulación de vehículos o personas. Éstas son diseñadas para diferentes solicitaciones como tráfico vehicular, clima y seguridad vial entre otras. Los pavimentos pueden ser clasificados como flexibles o rígidos, dependiendo del material encargado de soportar la mayor parte de los esfuerzos. Este material presenta un alto módulo en comparación a los demás materiales que componen un pavimento y se ubica en la capa superior de la estructura. Por su parte, las otras capas del pavimento están compuestas habitualmente por materiales granulares o granulares estabilizadas que ayudan a disipar los esfuerzos generados por las cargas a las que es sometida la estructura.
Definidas las solicitaciones a las que estará sometido el pavimento, el siguiente paso a seguir en el diseño de un pavimento es caracterizar los materiales que compondrán las capas y definir su geometría, en este caso, los espesores para cada capa. Es en este paso donde, dependiendo de la cantidad de información que se posea acerca de los materiales, se escoge el método de diseño del pavimento. Cuando se conocen las propiedades mecánicas de todos los materiales de la estructura, es posible utilizar un método de diseño mecanicista, los cuales, en su mayoría, suponen que los materiales son elásticos, isotrópicos, y homogéneos. En otras palabras, los materiales presentan deformaciones recuperables, sus propiedades se mantienen constantes indiferentemente de la dirección en la que sean analizadas, y todos los puntos en el espacio de un material presentan los mismos valores en sus propiedades.
Contrastando las suposiciones presentadas, la estructura que se analizó en este proyecto de grado fue modelada mediante, primero, un software de elementos finitos que permitiera realizar análisis viscoelásticos y, segundo, por métodos numéricos con procesos estocásticos que consentirían incluir propiedades anisotrópicas y un grado de heterogeneidad en los materiales. Esta metodología de trabajo se ha empleado en diferentes estudios como los realizados por Caro et al.(2014), Caro y Castillo (2014) y, en menor medida, con el proyecto presentado por Lua y Sues (1996) y Luo et al (2012). Ahora, empleando la metodología recién expuesta, el proyecto que se presenta a continuación se enfoca en la capa de rodadura de la estructura y en el impacto que tienen las capas granulares y demás capas inferiores, que en este caso serán simuladas como una sola capa base equivalente, en la respuesta mecánica del pavimento.
El modelo presentará las mismas características geométricas y de cargas que fueron impuestas en los modelos usados por Caro y Castillo en sus trabajos, pero diferirá en las características de la base equivalente, específicamente en el módulo de Young. Esto se debe a que este es uno de los puntos de análisis del proyecto, junto a su relación con el módulo de la capa asfáltica como se mencionó anteriormente.
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2.
Objetivos
2.1.
Objetivo general
El objetivo general del proyecto es modelar computacionalmente la variabilidad de las propiedades mecánicas de un pavimento flexible y determinar cómo ellas afectan su desempeño mecánico. Cabe destacar que la variabilidad del material asfaltico será determinada mediante el porcentaje de contenido de vacíos, el cual se calcula a su vez mediante un método matemático.
2.2.
Objetivos específicos
Desarrollar un modelo de elementos finitos que use métodos estocásticos para evaluar el impacto del porcentaje de contenido de vacíos de la capa superficial de mezcla asfáltica en la respuesta mecánica de un pavimento.
Obtener curvas de esfuerzo verticales similares a las que presentó Burmister(1958) para diferentes casos de módulos de la capa base, en los que se incluirá cierto grado de aleatoriedad mediante un proceso estocástico llamado “Campo Aleatorio”.
Analizar cómo la razón entre los módulos de las capas del pavimento afecta la disipación de los esfuerzos producidos por cargas sobre la estructura.
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3.
Marco teórico
Tradicionalmente, los ingenieros de pavimentos se han preocupado tradicionalmente por el impacto que la variabilidad en los materiales usados en la construcción de vías puede tener en el desempeño de la estructura. Por esta razón, intentando mantener en consideración la variabilidad, la mayoría de estudios se han centrado en desarrollar modelos micromecánicos de los pavimentos. Sin embargo, los modelos resultantes de estos estudios requerían una gran cantidad de recursos para su implementación, lo cual limita la completa caracterización a escala completa de las estructuras de pavimento.
Paralelamente, se encuentra la posibilidad de utilizar teoría probabilística para incluir la incertidumbre relacionada con la variabilidad de las propiedades de los materiales, las cuales ofrecen un amplio rango de herramientas para el desarrollo de modelos más realistas. Entre estas herramientas se encuentran los campos aleatorios correlacionados, los cuales pueden ser usados para capturar las características de la microestructura de materiales empleados en la construcción de carreteras. Por ende, para lograrlo es necesario usar esta herramienta en combinación con una modelación de elementos finitos.
En el campo de modelaciones realizadas mediante las herramientas mencionadas, se encuentran los documentos elaborados por Caro y Castillo (2014) en el ámbito de como influencia la variabilidad del porcentaje de contenido de vacíos en la respuesta termo-mecánica de pavimentos asfalticos. También se encuentra un trabajo previo de los mismos autores, en el que explican una metodología para modelar la incertidumbre de las propiedades de los materiales en pavimentos asfalticos y de la cual hace uso el presente trabajo(Caro, et al., 2014). Otro ejemplo está en el trabajo realizado por Luo et al. (2012), el cual trata acerca de un análisis de fiabilidad en una excavación mediante un campo aleatorio en 2-D.
Los trabajos anteriores muestran el potencial que existe en las herramientas mencionadas para mejorar la calidad de los modelos mecánicos existentes. Por ello, a continuación se explicaran con detalle las herramientas usadas en simulaciones anteriores y en el presente proyecto.
3.1.
Campos aleatorios correlacionados
Un campo aleatorio es la generalización de un proceso estocástico en el que cierta variable es asignada a un espacio después de considerar su correlación espacial y variabilidad(Fenton & Griffiths, 2008). En otras palabras, un campo aleatorio consiste en un vector de valores correlacionados, donde cada valor posee un par de coordenadas en el espacio de trabajo. La correlación indica que los valores más próximos geométricamente entre ellos dentro de determinada distancia presentan una menor dispersión. Esta distancia se designa como longitud de correlación, la cual se puede apreciar en la Figura 1, donde también se observan tres casos de campos aleatorios. En estas figuras los colores dentro de los cuadrados representan los diferentes valores que toma un parámetro de cualquiera de interés (e.g., la porosidad en un espécimen de suelo). El primer campo es no correlacionado, el segundo es un campo aleatorio con una longitud de correlación mayor en la
9 dirección horizontal respecto a la vertical y el tercero es un campo con una longitud de correlación mayor en la dirección vertical respecto a la horizontal.
Figura 1 Campo aleatorio (a) no correlacionado, (b) correlacionado con Lx>Ly, y (c) correlacionado con Ly>Lx
Uno de los métodos trabajados para la generación de campos aleatorios correlacionados es el propuesto por El-Kadi y Williams (2000), el cual tiene como principio la técnica de descomposición matricial. Para ello, el método requiere la longitud del campo en las direcciones en que será trabajado, en este caso en la dirección horizontal y vertical en el espacio cartesiano, el número de secciones en que va a ser divido el espacio de trabajo, las longitudes de correlación en las direcciones de trabajo del campo aleatorio, la desviación estándar de la variable a ser modelada mediante el método y, finalmente, un vector promedio de la variable a modelar. A continuación se muestra el procedimiento de generación de un campo utilizando este método.
1. Se divide el espacio de trabajo en n secciones del mismo tamaño numerando cada una de ellas.
2. Se calcula una matriz de distancias entre elementos. Para el caso anisotrópicos, se debe calcular una matriz para cada dirección del campo a generar.
3. Se escoge una función de autocorrelación entre cada conjunto de puntos dependiendo de las direcciones del campo. Para un campo 2-D anisotrópico y para el estudio realizado en este trabajo, la siguiente ecuación exponencial fue la utilizada:
𝜌𝑖,𝑗 = exp − 𝑑𝑖,𝑗
𝑥
𝐿𝑥
2
+ 𝑑𝑖,𝑗
𝑦
𝐿𝑦
2
(1)
En donde 𝑑𝑖,𝑗𝑥 y 𝑑𝑖,𝑗𝑦 son los componentes horizontal y vertical de la distancia entre los puntos i y j (asumiendo un campo con una configuración rectangular o similar) y 𝐿𝑥 y 𝐿𝑦
10 4. A continuación se calcula la matriz de covarianza, la cual contiene la dispersión de la variable a modelar mediante el campo aleatorio junto con la correlación espacial de cada elemento del campo. La matriz es definida como:
𝐴𝑖,𝑗 = 𝜎2∗ 𝜌
𝑖,𝑗 (2)
5. Se calcula la matriz 𝐶, la cual satisface la ecuación (3).Generalmente, para este procedimiento se usa la descomposición matricial de Cholesky, la cual permite descomponer cualquier matriz simétrica y positiva definida, en este caso A, en una matriz triangular superior 𝐶𝑇 y en otra triangular inferior 𝐶.
𝐴 = 𝐶 ∗ 𝐶𝑇 (3)
6. Se construye el vector 𝜀𝑛, el cual posee 𝑛2 valores con una distribución normal estándar.
7. Se calcula el vector 𝜇𝑛, el cual posee 𝑛 valores que contienen el valor medio de la variable
a modelar. Para el caso de estudio, este vector media varía con la profundidad como se explicará en la sección 3.2.
8. Finalmente el campo aleatorio correlacionado es calculado mediante la ecuación (4), del cual se espera que el promedio de desviaciones de varias realizaciones sea 𝜎 y presenten una tendencia media marcada por 𝜇𝑛. (El-Kadi & William, 2000)
𝐺 = 𝐶 ∗ 𝜀𝑛+ 𝜇𝑛 (4)
Un ejemplo de un campo aleatorio correlacionado similar al que es usado en el presente trabajo se puede observar en la Figura 2, en donde los colores claros corresponden a valores altos de porcentaje de contenido de vacíos.
11
3.2.
Distribución de vacíos en profundidad
Como lo demuestran los estudios de Melchers(2002) y Caro, et al.(2014), el proceso de compactación es supremamente determinante en la confiabilidad y exactitud del rendimiento mecánico de capas asfálticas dentro de estructuras de pavimentos. Así, este trabajo continúa con la distribución de vacíos que presenta el trabajo de Caro y Castillo(2014) en el que se considera que esta propiedad no es constante a lo largo de la profundidad de la estructura(Tashman, et al., 2001)(Kassem, 2008), sino que se observa que, luego de la compactación, el porcentaje de vacíos tiende a ser mayor en la superficie y disminuye hasta cierto punto con la profundidad.
Por ello, el presente trabajo usa técnicas similares a las usadas por Caro y Castillo(2014) para generar vectores con la distribución de vacíos que presenta una estructura asfáltica, las cuales son funciones polinomiales como las que se pueden observar en la ecuación (22). Las distribuciones generadas serán usadas en la creación de los campos aleatorios correlacionados para el parámetro del vector media𝜇𝑛.
3.3.
Relación entre modulo inicial E
0y porcentaje de contenido de vacíos
Frente a un estudio realizado por Masad, et al.(2009), sobre el módulo de relajación de una mezcla asfáltica con tres diferentes niveles de porcentaje de contenido de vacíos y un análisis de los datos mediante una serie de Prony realizado por Caro y Castillo(2014) se obtuvo la Figura 3, la cual muestra el valor de módulo inicial de la serie de Prony que representa dicho de relajación del material (es decir, su comportamiento viscoelástico lineal). Mediante una regresión exponencial de las tres parejas de datos finales se obtuvo la ecuación (5), la cual relaciona el modulo inicial 𝐸0 en
MPa con el porcentaje de contenido de vacíos. Adicionalmente, los parámetros completos de la serie de Prony que caracterizan el material se presentaran en una sección posterior del documento.
Figura 3 Relación entre porcentaje de contenido de vacíos y el modulo inicial𝑬𝟎 a 20 °C
12
3.4.
Estudio de Burmister(1958)
En 1958, Donald Burmister obtuvo una solución para el problema de la distribución de esfuerzos en la dirección vertical para una estructura bicapa. Para ello uso las siguientes suposiciones(Burmister, 1958):
1. Las propiedades de los materiales en cada capa son homogéneas.
2. Cada capa tiene un espesor de magnitud finita y el ancho de la estructura es infinito.
3. Cada capa es isotrópica, en otras palabras, las propiedades de los materiales son constantes en todas las direcciones.
4. Se desarrolla una fricción total entre la interfaz de las capas.
5. La distribución de esfuerzos en profundidad está caracterizada por dos propiedades de los materiales por cada capa. En este caso, se caracterizaron mediante el módulo de Young y el coeficiente de Poisson.
Usando ecuaciones de continuidad para las deformaciones de la estructura se obtuvo en dicho estudio la Figura4 , la cual fue normalizada entre la carga y su radio de contacto. Además, el autor dedujo la distribución de esfuerzos en profundidad para varias relaciones modulares, las cuales se definieron como el módulo de la capa asfáltica sobre el módulo de la base granular.
13
4.
Metodología de estudio
Con el fin de analizar el impacto de la variabilidad de las propiedades mecánicas de las capas de pavimentos flexibles se escogió variar el módulo de la base equivalente 8veces y para cada módulo realizar 75 simulaciones variando la distribución de vacíos en la capa asfáltica mediante un campo aleatorio correlacionado. Con ello se realizó un total de 600 simulaciones en las que fue necesario el uso de rutinas realizadas en Python para el manejo del software de elementos finitos Abaqus® y para el posterior análisis de datos. Los módulos escogidos para la base equivalente se pueden observar en la Tabla 1, para los cuales se tuvo en cuenta que ellos no podían ser mayores a 10000 MPa y menores a 50 MPa.
Tabla 1 Módulos escogidos para la base equivalente
E [MPA] 70 200 350 600 1000 1500 2000 5000
4.1.
Rutinas en Python
Buscando automatizar las simulaciones del proyecto, se diseñó una rutina grabando pasos en el software Abaqus® y a su vez modificándolos mediante Python para el desarrollo del modelo. En ella, los parámetros de entrada son las características geométricas del modelo, así como las propiedades mecánicas de los materiales. Esta rutina fue llamada Creador.py y se puede observar en el Anexo 1. En la rutina se inicializan todas las características geométricas, de carga y condiciones de borde, exceptuando que aún no se inicializan los materiales con sus módulos respectivos, sino que se les otorgaron valores momentáneos para posteriormente controlar estos parámetros a través de una rutina diferente.
En esta rutina también se crean los conjuntos de puntos a los cuales se les extraerá información a analizar que representan la respuesta mecánica del sistema calculada empleando Abaqus. Estos puntos fueron escogidos con base en la ubicación de las cargas. Estas simulan la acción de la mitad de un eje simple estándar y se describen en una sección posterior del documento. Las ubicaciones seleccionadas fueron en el centroide de una de las cargas, al borde de una de las cargas y entre las dos cargas. Ellas fueron escogidas por ser las ubicaciones características de los máximos esfuerzos en la dirección vertical en una estructura de pavimento. A partir de este momento, las ubicaciones seleccionadas serán nombradas con las convenciones que aparecen en la tabla y se pueden apreciar en la Figura 5 en forma de columnas de color rojo.
Tabla 2 Convenciones de los puntos de extracción de resultados de la modelación numérica
Ubicación Convención
Debajo del centroide la carga/llanta Centroide [C]
Al borde de una carga/llanta Borde [B]
14 Para realizar las simulaciones se creó una rutina llamada Extraeefuerzos.py, la cual cuenta como parámetros un vector con el conjunto de módulos de la base equivalente. Esta rutina es la encargada de correr el modelo n veces, en cada una de las cuales cambia el campo aleatorio mediante la función Campo() y, a su vez, convierte los valores de porcentaje de vacíos a modulo inicial mediante la función ConvierteAV(). Esta rutina, junto con las funciones enunciadas anteriormente, se pueden observar en el Anexo 2.
Los datos resultantes de cada ciclo de la rutina salen en formato txt conteniendo cuatro columnas, dónde la primera de ellas es la profundidad en diferentes puntos de la estructura, la segunda son los datos de los esfuerzos en el borde de la carga, la tercera son los esfuerzos presentados en el centro de las dos cargas y, finalmente, la última columna son los esfuerzos debajo del centroide de una de las cargas. Cabe anotar que por cada simulación salen dos archivos, uno para los esfuerzos en la dirección horizontal y otro para la dirección vertical. El Anexo 3 presenta un archivo típico de salida del proceso numérico.
4.2.
Diagrama de la modelación del proyecto
El estudio fue realizado siguiendo los pasos que se enumeran a continuación:
1. Se definió una geometría similar a los modelos utilizados por Caro y Castillo(2014) para contar con los análisis de sensibilidad de las herramientas como los campos aleatorios correlacionados y parámetros geométricos del modelo, como lo es el tamaño del enmallado usado para el análisis de elementos finitos.
2. Mediante la rutina Creador.py, anteriormente explicada, se crearon modelos bases para realizar posteriormente las simulaciones en diferentes equipos con el fin de disminuir los tiempos del proceso. Luego, se inicializa el modelo creado con un módulo para la base equivalente.
3. Se determinan las propiedades viscoelásticas de la capa asfáltica acorde al porcentaje de contenido de vacíos generado mediante el campo aleatorio correlacionado. En este paso se utilizó la relación entre contenido de vacíos y las propiedades mecánicas del asfalto presentada en la ecuación (5).
4. Se le otorgan las propiedades viscoelásticas a la capa asfáltica y se realiza la modelación mecánica de la respuesta del pavimento mediante Abaqus®.
5. Se extrae la respuesta mecánica de la estructura en forma de núcleos de los puntos anteriormente mencionados, representada por la magnitud de los esfuerzos en la dirección horizontal y vertical.
6. Los pasos 3,4 y 5 se repiten75 veces para cada uno de los módulos de la base equivalente presentados en la Tabla 1.
7. Finalmente los resultados obtenidos de las simulaciones mecánicas fueron usados para observa, identificar y cuantificar el impacto de la variabilidad de las propiedades mecánicas en las capas de un pavimento.
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5.
Detalles del modelo
5.1.
Geometría del proyecto
Para mantener una homogeneidad en los trabajos realizados con la metodología presentada, el modelo implementado tendrá la misma geometría que se puede observar en trabajos como los de Caro et al.(2014) y Caro y Castillo (2014). La geometría planteada para el proyecto se puede observar en la Figura 5, en donde la estructura fue definida como un sistema bicapa compuesto por una carpeta asfáltica y una base equivalente que representa la existencia de todas las demás capas del pavimento. Se escogió usar una base equivalente para simplificar el modelo y permitir una implementación de mayor rapidez con respecto a poseer varias capas granulares en el sistema. También se debió a que los modelos iníciales realizados por Burmister(1958) tenían la misma configuración de capas que la presentada en este proyecto.
Figura 5 Geometría del modelo característico
Como se observa en la Figura 5, la capa asfáltica fue divida en 2800 secciones, cada una de 0.5 cm por 0.5 cm. Estas secciones fueron usadas para la generación del campo aleatorio del porcentaje de contenido de vacíos e igualmente corresponden al tamaño del enmallado usado para el modelo. Cabe aclarar que las dimensiones de las secciones se deben a un previo análisis de sensibilidad del impacto de diferentes tamaños respecto a los resultados mecánicos del modelo, siendo este el análisis realizado por Caro et al.(2014). Finalmente, el modelo fue restringido en las direcciones horizontal y vertical para la frontera inferior, mientras que las laterales solo fueron restringidas en la dirección horizontal.
5.2.
Carga mecánica
Como se ilustra en la Figura 5, la mitad de un eje estándar de 82KN con ruedas duales fue aplicado en la estructura, el cual simuló dos ruedas con un radio de contacto de 10 cm cada una y separadas 30 cm de centro a centro de cada llanta, con una presión de inflado de 640 kPa (i.e., medio eje
16 estándar de diseño). El esquema de carga fue seleccionado arbitrariamente, consistiendo en un ciclo de carga con una duración de 0.5 s. Este esquema de carga representa una frecuencia de aplicación de carga igual a 2Hz.
5.3.
Propiedades mecánicas de los materiales
5.3.1.
Capa asfáltica
Siguiendo la metodología usada en trabajos como Caro, et al.(2014), se supuso que la respuesta de la capa asfáltica sería linear viscoelástica con propiedades mecánicas variando en el espacio en función del porcentaje de contenido de vacíos. Para ello, las propiedades lineares viscoelásticas del material se caracterizaron mediante el módulo de relajación en una serie de Prony como se presenta en la siguiente ecuación:
𝐸 𝑡 = 𝐸0− 𝐸𝑖∗ 1 − 𝑒𝑥𝑝 −𝑡 𝜏𝑖
𝑛
𝑖=1
(6)
Donde 𝐸0 es el módulo inicial, el cual se calcula mediante la ecuación (5) teniendo la distribución
de porcentaje de contenido de vacíos ya calculada, mientras que 𝐸𝑖 y 𝜏𝑖 son parámetros de la serie
de Prony que se pueden observar en la Tabla 3. Cabe resaltar que los valores de la serie de Prony mostrados se encuentran normalizados con respecto al módulo inicial para su uso en el software Abaqus®.
Tabla 3Parámetros de la serie de Prony
𝝉𝒊 [𝒔] 𝑬𝒊/𝑬𝟎
154.635417 0.12011086
11.4190845 0.12113981
1.72053233 0.12360742
0.18159185 0.18107264
0.01849787 0.16785535
0.00192161 0.16831739
0.0001914 0.11764651
Frente a los parámetros de entrada del campo aleatorio correlacionado, se escogió utilizar una longitud de correlación mayor en la dirección horizontal puesto que los procesos de compactación que producen las distribuciones de vacíos son más homogéneos en la dirección horizontal frente a la dirección vertical(Caro & Castillo, 2014). Es por ello que las longitudes escogidas fueron de 3,5 cm para la dirección vertical y 20 cm para la dirección horizontal.
Para generar la distribución de vacíos se consideró la forma en que es controlada la calidad de compactación en las construcciones. En ellas, la calidad es controlada generalmente con la desviación estándar del promedio del porcentaje de contenido de vacíos obtenido de diferentes núcleos en campo. Según este criterio, la variabilidad del porcentaje de contenido de vacíos en el campo aleatorio fue caracterizada mediante la desviación estándar del campo aleatorio
17 correlacionado y esta a su vez, fue determinada usando el coeficiente de variación obtenido de núcleos in situ.
Basado en la información de Caro y Castillo(2014), donde usan coeficientes de variación de 5% y de 15% para representar una deficiente o alta calidad en los procesos de compactación, se escogió utilizar un coeficiente de variación de 10% para considerar un proceso de compactación medio. Este coeficiente de variación, que representa la razón entre la desviación estándar y la media, fue calibrado por Caro y Castillo(2014) probando diferentes valores de entrada para determinar cuál valor de desviación estándar correspondía a una salida equivalente a 10% CV obtenido de núcleos.
Así, se encontró que el valor correspondiente a la desviación estándar es de 1,4%, el cual cambia ligeramente en el momento en que se suma la curva con la tendencia del porcentaje de contenido de vacíos en profundidad debido a que ella no presenta un valor de desviación estándar igual a cero. La curva de tendencia para el campo aleatorio fue supuesta como un vector que decrece en valor en función de la profundidad como se mencionó en la sección 3.2, suponiendo un valor objetivo de porcentaje de contenido de vacíos del 7%. Este valor es un caso común cuando se construyen pavimentos asfalticos en Estados Unidos y otros lugares del mundo (Caro, et al., 2014).
Finalmente, para la relación de Poisson, se supuso un valor constante de 0.35 debido a que la temperatura y la frecuencia de carga permanecerían constantes en el modelo.
5.3.2.
Base granular equivalente
Para simplificar el modelo y su respuesta mecánica, la base granular equivalente fue supuesta linear elástica con una relación de Poisson igual a 0.35 y un módulo elástico que varía desde 70 MPa hasta llegar a los 5000 MPa. A diferencia de los módulos de la capa asfáltica, los de la capa equivalente son un conjunto de valores discretos que no están en función del porcentaje de contenido de vacíos.
18
6.
Resultados y análisis
Abaqus® en cada simulación produce un archivo con extensión “.odb”, que contiene toda la
información relacionada con la simulación y con las variables que se le ordenó reportar. Para este proyecto, el archivo fue modificado y como se mencionó anteriormente, solo se extrajeron los datos del esfuerzo en la dirección horizontal y vertical en archivos de texto. Un apoyo visual de una de las simulaciones es presentado en la Figura 6 y en la Figura 7, donde se observa el modelo deformado para un módulo de 350 MPa en la base equivalente junto con sus esfuerzos en la dirección horizontal y vertical.
Figura 6 Modelo deformado con los esfuerzos en la dirección horizontal
Los esfuerzos en las figuras son presentados en MPa, teniendo en cuenta que Abaqus® es un software que no considera dimensiones sino que presupone que la información de entrada es consistente entre sí. La convención de Abaqus® para los esfuerzos es positivo para tensión y negativo para compresión y se refiere a los esfuerzos horizontales como S11 mientras que a los esfuerzos verticales como S22. Finalmente, las dos figuras presentadas tienen un factor de escala para la deformación de 2.06 × 102.
19
6.1.
Resultados generales
A continuación se presentan los resultados de las simulaciones para los esfuerzos en la dirección horizontal y vertical en las ubicaciones [B] y [C]. La ubicación [E] fue omitida puesto que presenta los menores valores de esfuerzo y la forma de los bulbos de esfuerzo que presenta es similar a la ubicación [B].Cabe aclarar que en el Anexo 4 y en el Anexo 5 se encuentran los resultados para la ubicación [E].Para todas las figuras, los datos comienzan en 0.25 cm de la superficie del pavimento debido a la forma de Abaqus® de exportar los esfuerzos como los centroides de los elementos del enmallado. En estas figuras, los esfuerzos positivos representan compresión mientras que los esfuerzos negativos representan tensión.
Figura8 Esfuerzos en la dirección horizontal para la ubicación [B]
20
Figura10Esfuerzos en la dirección horizontal para la ubicación [C]
Figura11Esfuerzos en la dirección vertical para la ubicación [C]
En las figuras se puede apreciar una franja azul entre las profundidades de 6 cm y 8 cm, la cual se ubicó en esta posición debido a que es en esta zona donde se presentan los mayores esfuerzos en la dirección horizontal, se puede apreciar la mayor dispersión de los datos, y se encuentra el cambio de capas en la estructura. Por último, se aclara que los datos fueron recortados hasta 16.5 cm para los esfuerzos en la dirección horizontal y hasta 31.5 cm en la dirección vertical, esto con el propósito de observar con más detalle las zonas con más cambio. Las figuras sin el recorte de datos se pueden observar desde el anexo 6 hasta el anexo 8.
Mediante la Figura8 y la Figura10, se identifica que a partir de un módulo de 1000 MPa en la base equivalente, la capa asfáltica solo presenta esfuerzos a compresión. Para determinar la afirmación
21 anterior, se tuvo en cuenta que el módulo promedio de la capa asfáltica mediante la ecuación (5) y con un promedio de porcentaje de contenido de vacíos igual a 7% fue aproximadamente igual a 3700MPa. Por ende, para una relación de 𝐸1/𝐸0 ≥ 3.7, siendo 𝐸1 el módulo de la capa superior y
𝐸2 el módulo de la capa inferior, se puede afirmar que la estructura solo presenta esfuerzos a compresión manteniendo las condiciones de carga y clima constantes. Esta afirmación se corroboró mediante un análisis estadístico realizado en la siguiente sección.
En general, como se puede observar y se comentó con anterioridad, la mayor dispersión ocurre en la interfaz de las capas de la estructura. También se aprecia que la dispersión de los datos parece disminuir conforme el módulo de la base equivalente aumenta y, asimismo, cuando la profundidad crece, teniendo en cuenta esta última después de la interfaz de las dos capas. Este tipo de análisis será realizado de forma cuantitativa en las secciones posteriores mediante los resultados promedios de las simulaciones para cada uno de los módulos de la base equivalente.
6.2.
Resultados promedios
Como se observa en las figuras anteriores, el caso más crítico se presentó en la ubicación [C] debido a las condiciones de carga. Por ello, las figuras presentadas a continuación solo muestran el caso más crítico descrito anteriormente. En ellas se puede apreciar el valor promedio obtenido de las 75 realizaciones diferentes para cada uno de los módulos de la base equivalente.
22
Figura13Esfuerzos promedio en la dirección vertical para la ubicación [C]
Observando las figuras anteriores, se decidió seleccionar dos zonas para comparar los esfuerzos entre los módulos. La primera zona seleccionada fue la interfaz entre las dos capas puesto que es en esta zona donde se presenta uno de los parámetros de control de diseño de los pavimentos 𝜀𝑡, junto
con el máximo esfuerzo en la dirección horizontal. En esta zona se encontró que los datos de esfuerzo en la dirección horizontal siguen un ajuste como el que se presenta en la Figura 14, para el cual se presenta un 𝑅2≅ 0.999999 en los tres casos. Luego de obtener los coeficientes de los ajustes, se calculó mediante la ecuación (8) el módulo mínimo para el cual se puede asegurar que la capa asfáltica trabaja a compresión completamente. Con una confiabilidad del 95,4%, se encontró que el módulo de la base equivalente debe ser mayor a 730.8 MPa o la relación modular de la estructura 𝐸1/𝐸0mayor a 5.065.
𝜎𝑥 𝑀𝑃𝑎 = 3.84349 ∗ 𝑥
50.68651 + 𝐸 𝑀𝑃𝑎 − 3.53324 (7)
𝜎𝑥 𝑀𝑃𝑎 = 4.48505 ∗ 𝑥
54.57073 + 𝐸 𝑀𝑃𝑎 − 4.17341 (8)
𝜎𝑥 𝑀𝑃𝑎 = 3.23762 ∗ 𝑥
23
Figura 14 Esfuerzos en la dirección horizontal en función del módulo de la base equivalente para Z=6.75cm
Para los esfuerzos promedio en la dirección vertical se encontró que los datos siguen una tendencia similar, como se observa en la Figura 15. Por ello, se usó el mismo ajuste que en los esfuerzos en la dirección horizontal pero con una pequeña modificación, con la cual se presenta un 𝑅2 ≅ 0.999999 en los tres casos.Se encontró que la relación entre los módulos de la base equivalente y los esfuerzos en la dirección vertical de Z=6.75cm pueden ser caracterizados mediante las ecuaciones(10), (11) y(12).
24
𝜎𝑧 𝑀𝑃𝑎 =
1.12995𝐸 − 01 ∗ 𝐸 𝑀𝑃𝑎 6.22151𝐸 + 02 + 𝐸 𝑀𝑃𝑎
1.12995𝐸−01
− 1.5756𝐸 − 01 (10)
𝜎𝑧 𝑀𝑃𝑎 =
1.30319𝐸 − 01 ∗ 𝐸 𝑀𝑃𝑎 4.69046𝐸 + 02 + 𝐸 𝑀𝑃𝑎
1.30319𝐸−01
− 1.64083𝐸 − 01 (11)
𝜎𝑧 𝑀𝑃𝑎 =
9.80334𝐸 − 02 ∗ 𝐸 𝑀𝑃𝑎 8.61716𝐸 + 02 + 𝐸 𝑀𝑃𝑎
9.80334 𝐸−02
− 1.49788𝐸 − 01 (12)
La segunda zona seleccionada se tomó en la base equivalente 3 cm después de la capa asfáltica, con el objetivo de analizar el comportamiento después del cambio de capa. En ésta se encontró que los esfuerzos en la dirección horizontal presentaban una tendencia similar a una función gamma con algunos ajustes de carácter necesario. Se halló una simplificación a la función gamma propuesta por Wood(1967), la cual mediante, a través de una modificación realizada, se ajustó con un 𝑅2≅
0.999999. Dicha modificación consistió en agregar tres parámetros que se pueden apreciar en la Figura 16en forma de letras griegas, los cuales desplazan y escalan la función gamma incompleta sugerida por Wood(1967). Además, se encontró que la relación entre los módulos de la base equivalente y los esfuerzos en la dirección horizontal para una profundidad de Z=10.25cm pueden ser caracterizados mediante las ecuaciones (13), (14) y (15).
25
𝜎𝑥 𝑀𝑃𝑎 = 1.28086 ∗ −0.02234 ∗ 𝐸 𝑀𝑃𝑎 100
0.3577
∗ 𝑒𝑥𝑝−0.085∗𝐸 𝑀𝑃𝑎 100 + 0.086 (13)
𝜎𝑥 𝑀𝑃𝑎 = −0.0167 ∗ 1.7847 ∗ 𝐸 𝑀𝑃𝑎 100
0.30525
∗ 𝑒𝑥𝑝−0.0733 ∗𝐸 𝑀𝑃𝑎 100 + 0.084 (14)
𝜎𝑥 𝑀𝑃𝑎 = 0.6152 ∗ −0.0449 ∗
𝐸 𝑀𝑃𝑎 100
0.4121
∗ 𝑒𝑥𝑝−0.0971∗𝐸 𝑀𝑃𝑎 100 + 0.0889 (15)
Para los esfuerzos promedio en la dirección vertical se encontró que éstos crecían conforme aumentaba el módulo, similar a la tendencia observada en la Figura 15. Por ello, se usó el mismo tipo de regresión, como se aprecia en la Figura 17 y se observó que la relación entre los módulos de la base equivalente y los esfuerzos en la dirección vertical de Z=10.25cm pueden ser caracterizados mediante las ecuaciones (16), (17) y (18).
Figura 17 Esfuerzos en la dirección vertical en función del módulo de la base equivalente para Z=10.25cm
𝜎𝑧 𝑀𝑃𝑎 = 5.5478𝐸 − 02 ∗ 𝐸 𝑀𝑃𝑎 2.2298𝐸 + 03 + 𝐸 𝑀𝑃𝑎
5.5478𝐸−02
26
𝜎𝑧 𝑀𝑃𝑎 =
5.7240𝐸 − 02 ∗ 𝐸 𝑀𝑃𝑎 2.3212𝐸 + 03 + 𝐸 𝑀𝑃𝑎
5.7240𝐸−02
− 3.03196𝐸 − 01 (17)
𝜎𝑧 𝑀𝑃𝑎 =
5.3775𝐸 − 02 ∗ 𝐸 𝑀𝑃𝑎 2.13421𝐸 + 03 + 𝐸 𝑀𝑃𝑎
5.3775𝐸−02
− 2.99201𝐸 − 01 (18)
Finalmente, se analizaron más profundidades de la base equivalente y se concluyó que la tendencia mostrada en la profundidad de Z=10.25cm es constante conforme se aumenta la profundidad. Esto se evidencia en la Figura 15 y en la Figura 17. También se observó que la dispersión se redujo en las dos figuras mencionadas anteriormente, por lo que se decidió analizar este comportamiento.
6.3.
Dispersión máxima
Debido a que para todos los módulos las desviaciones estándar entre las diferentes realizaciones realizadas para cada valor de módulo seguían la misma tendencia en las dos direcciones, se decidió trabajar con el promedio de las desviaciones estándar de los módulos en función de la profundidad. Es decir que se promediaron las desviaciones estándar de una misma profundidad para todos los módulos de la base equivalente. La máxima dispersión se ubica en la interfaz de las dos capas, siendo observable en la Figura 18 y en la Figura 19.
Figura 18 Promedio de desviaciones del esfuerzo en la dirección horizontal
27 Para el caso de los esfuerzos en la dirección vertical, se ubica a 6.75 cm y presenta una magnitud de
1.05𝐸 − 02. Respecto a los esfuerzos en la dirección horizontal, se observa que la dispersión es máxima en los bordes de la capa asfáltica. En la superficie presenta un valor de 5.62𝐸 − 02 y en 6.75 cm de la superficie una magnitud de 5.18𝐸 − 02.
6.4.
Dispersión vs profundidad
Como se evidencia en lasFigura 18 y Figura 19, los datos tienen dos tendencias diferentes en una de las capas de la estructura. Por ello, el análisis a continuación fue realizado por separado para la capa asfáltica y para la base equivalente. Para simplificar los ajustes realizados a los datos, se decidió invertir los ejes posicionando el promedio de las desviaciones estándar de los esfuerzos en el eje vertical
6.4.1.
Capa asfáltica
Como se puede apreciar en la Figura 20, las desviaciones estándar de los esfuerzos en la dirección horizontal entre diferentes realizaciones tienden a disminuir en la mitad de la capa asfáltica y aumentan conforme se aproxima a la interfaz de las dos capas. Por ello se decidió usar una regresión de tipo polinomial para ajustar los datos, con la cual se obtuvo un 𝑅2≅ 0.999. La ecuación (19)presenta los coeficientes resultantes del ajuste realizado a los datos.
Figura 20 Desviación estándar entre diferentes realizaciones de los esfuerzos en la dirección horizontal
𝐷𝑒𝑠𝑣 𝑑𝑒 𝜎𝑥 = −7.053𝐸 − 05 ∗ 𝑧4+ 1.301𝐸 − 03 ∗ 𝑧3− 4.898𝐸 − 03 ∗ 𝑧2
− 5.087𝐸 − 03 ∗ 𝑧 + 5.692𝐸 − 02 // 𝑧[𝑐𝑚] (19)
Para el caso de la desviación de los esfuerzos en la dirección vertical, se observó que los datos aumentan, pero antes de llegar a la interfaz de las capas disminuye. Por ello se decidió usar una regresión de tipo polinomial para ajustar los datos, con la cual se obtuvo un 𝑅2≅ 0.999. La ecuación (20) presenta los coeficientes que resultaron del ajuste realizado a los datos.
28
Figura 21 Desviación estándar entre diferentes realizaciones de los esfuerzos en la dirección vertical
𝐷𝑒𝑠𝑣 𝑑𝑒 𝜎𝑧= −3.452𝐸 − 05 ∗ 𝑧4+ 4.576𝐸 − 04 ∗ 𝑧3− 2.148𝐸 − 03 ∗ 𝑧2
− 5.243𝐸 − 03 ∗ 𝑧 + 2.619𝐸 − 02 // 𝑧[𝑐𝑚] (20)
6.4.2.
Base equivalente
Como se observa en la Figura 18 y en la Figura 19, en la base equivalente el promedio de las desviaciones de los esfuerzos poseen la misma tendencia. Es por ello que se decidió juntar las desviaciones de los dos esfuerzos en una sola figura. Para los esfuerzos en la dirección horizontal se usó la misma regresión que fue utilizada para ajustar los esfuerzos en la dirección horizontal en función del módulo de la base equivalente, mientras que para los esfuerzos en la dirección vertical se utilizó un ajuste exponencial.
29
𝐷𝑒𝑠𝑣 𝑑𝑒 𝜎𝑥 𝑀𝑃𝑎 = 5.5297𝐸 − 04 ∗−6.48289 + 𝑍 𝑐𝑚 𝑥 − 1.12379𝐸 − 05 ∗ 𝑥 (21)
𝐷𝑒𝑠𝑣 𝑑𝑒 𝜎𝑧 𝑀𝑃𝑎 = 5.72798𝐸 − 02 ∗ 𝑍[𝑐𝑚] 1.09677 − 4.274104 (22)
6.5.
Figuras normalizadas de los esfuerzos verticales en profundidad
Luego de realizar el análisis a la desviación de los esfuerzos verticales, se decidió que las figuras a comparar con las realizadas por Burmister(1958) tendrían una confiabilidad del 95,4%. Entonces, se escogió usar los valores promedios de las diferentes realizaciones de cada módulo de la base equivalente más dos veces su desviación en profundidad. Derivada de este proceso surgió la Figura23, la cual fue normalizada con una carga igual a 0.64 𝑀𝑃𝑎 y un radio de contacto de 10 𝑐𝑚. Como se había mencionado, el módulo de la capa asfáltica fue aproximado a 3700 𝑀𝑃𝑎.
Figura23 Esfuerzos verticales en profundidad normalizados a la carga y a su radio de contacto
Puesto que los esfuerzos fueron normalizados, los valores presentados a continuación se observan como porcentajes de la carga inicial que se aplicó sobre la estructura. Este porcentaje indica la proporción en que se presenta la presión de contacto en las diferentes profundidades de la
30 estructura. Como se puede apreciar, el esfuerzo vertical es inversamente proporcional a la relación modular y a la profundidad.
En el documento de Burmister(1958), se encuentra que para una relación modular igual a 1 el esfuerzo vertical en la interfaz de las capas es igual a 65% de la presión de contacto, mientras que para el presente estudio se obtuvieron los valores presentados en la Tabla 4, los cuales difieren en gran medida de los resultados de Burmister.
Tabla 4 Valores del estudio del esfuerzo vertical normalizado producido en la interfaz de las capas
Relación Modular 𝑬𝟏/𝑬𝟐 𝝈 /𝒒 + 𝟐 ∗ 𝝈 𝒛 𝝈 /𝒒 + 𝝈𝒛 𝝈 /𝒒𝒛
0.74 97.4699% 96.6253% 95.7808%
1.85 94.7338% 94.1180% 93.5022%
Es importante tener en cuenta que el trabajo realizado considera que la capa asfáltica es heterogénea en las propiedades del material, mientras que las suposiciones tomadas por Burmister son opuestas, un material isotrópico y homogéneo. También, se debe considerar que el análisis realizado por Burmister(1958) tenía como suposición que los materiales eran elásticos mientras que el presente trabajo considera la capa asfáltica como viscoelástica.
31
7.
Conclusiones
En el presente trabajo, primero, se analizó una estructura típica en la que se variaron las propiedades mecánicas de la capa asfáltica y de la base equivalente. Durante dicho análisis se supuso que la capa superficial asfáltica no era homogénea puesto que la distribución espacial de los vacíos cambiaba en el espacio. Para generar dichas variaciones, se empleó la metodología estocástica de campos aleatorios. Después, se confrontaron las variaciones realizadas a las propiedades mecánicas de los materiales frente a su desempeño mecánico para una carga y temperatura constante. En este ámbito, se analizaron los valores promedios de los esfuerzos de la estructura frente al módulo de la base equivalente, las desviaciones de los esfuerzos frente a la profundidad y al módulo de la base equivalente, y la ubicación y magnitud de la máxima desviación de los esfuerzos en la estructura. Finalmente, se compararon los resultados de las simulaciones realizadas con los datos y estudios elaborados por Burmister(1958).A continuación se presentan las principales conclusiones obtenidas posteriores a la realización de un completo análisis de los resultados proporcionados por las simulaciones realizadas:
Se encontró, con una confiabilidad del 95.4%, que la capa asfáltica trabaja completamente a compresión a partir de un módulo de la base equivalente de 730.8 MPa. En otras palabras, la relación modular de la estructura 𝐸1/𝐸0 debe ser mayor a 5.065. Se debe tener en cuenta
que en el presente trabajo se mantuvo constante la carga y no se consideraron efectos derivados de cambios de temperatura.
Se evidenció que la relación entre los esfuerzos y el módulo de la base equivalente no es linear, por el contrario está definida por funciones con comportamientos asintóticos como las ecuaciones (7) y (10). Los ajustes realizados mostraron que los esfuerzos en la estructura presentan una asíntota horizontal, de tal forma que a partir de cierto valor del módulo de la base equivalente, el esfuerzo de la estructura no se altera considerablemente.
Un comportamiento asintótico se presentó en las desviaciones estándar de los esfuerzos en la base equivalente, los cuales tendían a un valor constante conforme aumentaba la profundidad de la base equivalente.
En general, la zona con mayor dispersión de los esfuerzos en la estructura fue la interfaz de las capas en donde se presentaron desviaciones de los esfuerzos del orden de 10−2 𝑀𝑃𝑎.
Se observó que la desviación de los esfuerzos no presentaba la misma tendencia en toda la estructura. En general, se halló una tendencia similar en los esfuerzos horizontales y verticales en la base equivalente, mientras que en la capa asfáltica se observaron dos tendencias diferentes para los esfuerzos en cada dirección.
Para el caso de los esfuerzos horizontales en la capa asfáltica, se evidenció que las desviaciones estándar de éstos disminuían conforme se avanzaba a la mitad de la capa asfáltica y crecían nuevamente al acercarse a la interfaz de las capas.
Por último, se observó el efecto que produce el cambio de las características de las propiedades mecánicas sobre el desempeño mecánico de un material. Este se denotó en el contraste de los valores calculados por Burmister frente a los arrojados por el presente trabajo.
32
8.
Bibliografía
ABAQUS, 2007. ABAQUS user's manual version 6.7. Rhode Island: Pawtucket, RI: Hibbit, Karlsson & Sorenson, Inc.
Burmister, D., 1958. Evaluation of Pavement Systems of the WASHO Road Testing Layered System Methods.
Caro, S. & Castillo, D., 2014. Effects of voids variability on the thermo-mechanical response of asphalt mixtures. International Journal of Pavement Engineering, 15(2), pp. 110-121.
Caro, S., Castillo, D. & Sánchez-Silva, M., 2014. Methodology for Modeling the Uncertainty of Material Properties in Asphalt Pavements. Journal of Materials in Civil Engineering, 26(3), pp. 440-448.
El-Kadi, A. I. & William, S. A., 2000. Generating two-dimensional fields of autocorrelated, normally distributed parameters by the matrix decomposition technique. Groundwater, 38(4), pp. 530-532.
Fenton, G. & Griffiths, D., 2008. Risk assessment in geotechnical engineering.
Kassem, E., 2008. Compactation effects on uniformity, moisture diffusion and mechanical properties of asphalt pavements, Thesis (PhD), s.l.: Texas A&M University.
Kim, H., 2005. Spatial variability in soils: stiffness and strength, Thesis (Phd), Georgia: Georgia Institute of Technology.
Lua, Y. J. & R.H. Sues, 1996. Probabilistic finite-element analysis of airfield pavements.
Transportation Research Record, Volumen 1540.
Luo, Z., Y. , C., S., A. & H., J., 2012. Reliability analysis of basal-heave in a braced excavation in 2-D random field. Computers and Geotechnics, Volumen 39, pp. 27-37.
Masad, E., Kassem, E. & Chowdhury, A., 2009. Application of imaging technology to improve the laboratory and field compaction of HMA, Austin: Texas Transportation Institute .
Melchers, R., 2002. Structural Reliability: Analysis and Prediction. s.l.:John Wiley & Sons, Chinchester.
Tashman, L., Masad, E., Peterson, B. & Saleh, H., 2001. Internal structure analysis of asphalt mixes to improve the simulation of Superpave gyratory compactation to field conditions. Journal of the Association of Asphalt Paving Technologists, Issue 70, pp. 605-645.
33
9.
Anexos
9.1.
Anexo 1
# -*- coding: mbcs -*-
# Do not delete the following import
from abaqus import*
from abaqusConstants import*
import __main__
import numpy as np
import section
import regionToolset
import displayGroupMdbToolset as dgm
import part
import material
import assembly
import step
import interaction
import load
import mesh
import job
ruta="C:\\"
tabladeprony= np.loadtxt(ruta+"paramprony.txt") lx=100.0
ly=57.0 lyc=7.0
dx=0.5
dy= dx
divx= int(lx/dx) divy=int( lyc/dy) nx= divx
ny=divy
tetax=20.0
tetay=3.5
sig=1.4
cliCommand("""session.journalOptions.setValues(replayGeometry=CO ORDINATE)""")
s =mdb.models['Model-1'].ConstrainedSketch(name='__profile__',
sheetSize=200.0)
MOD =mdb.models['Model-1']
g, v, d, c = s.geometry, s.vertices, s.dimensions, s.constraints
s.setPrimaryObject(option=STANDALONE)
s.rectangle(point1=(0.0,0.0), point2=(lx, ly))
p =MOD.Part(name='Part-1', dimensionality=TWO_D_PLANAR,
type=DEFORMABLE_BODY)
p =MOD.parts['Part-1'] p.BaseShell(sketch=s)
s.unsetPrimaryObject()
p =MOD.parts['Part-1']
session.viewports['Viewport: 1'].setValues(displayedObject=p)
del MOD.sketches['__profile__']
"""
crea una particion en la parte """
lx1 = lx/2. ly1 = ly/2.
origenx=lx1 origeny= ly1
p =MOD.parts['Part-1']
f, e1, d2 = p.faces, p.edges, p.datums
t =p.MakeSketchTransform(sketchPlane=f.findAt(coordinates=(lx, lyc,
0.0), normal=(0.0,0.0, lx)), sketchPlaneSide=SIDE1,
origin=(origenx,
origeny,0.0))
s =MOD.ConstrainedSketch(name='__profile__', sheetSize=6.16,
gridSpacing=0.15, transform=t)
g, v, d, c = s.geometry, s.vertices, s.dimensions, s.constraints s.setPrimaryObject(option=SUPERIMPOSE)
p =MOD.parts['Part-1']
p.projectReferencesOntoSketch(sketch=s, filter=COPLANAR_EDGES) s.rectangle(point1=(-origenx, origeny), point2=(-origenx+dx, origeny-dy))
"""
copia la particion """
s.linearPattern(geomList=(g.findAt((-origenx, origeny-dy)), g.findAt((-origenx+dx, origeny-dy)), g.findAt((-origenx+dx,
origeny)),
g.findAt((-origenx, origeny))), vertexList=(),
number1=nx, spacing1=dx, angle1=0.0, number2=ny, spacing2=dy,
34
p =MOD.parts['Part-1'] f = p.faces
pickedFaces= f.findAt(((lx, lyc,0.0),)) e, d1 = p.edges, p.datums
p.PartitionFaceBySketch(faces=pickedFaces, sketch=s)
s.unsetPrimaryObject()
del MOD.sketches['__profile__']
"""
crea los materiales y secciones """
#materiales viscoelasticos
for i in xrange(nx*ny):
MOD.Material(name='Material-'+str(i))
MOD.materials['Material-'+str(i)].Elastic(moduli=INSTANTANEOUS,
table=(3000,0.35),))
MOD.materials['Material-'+str(i)].Viscoelastic(domain=TIME, time=PRONY, table=tabladeprony)
MOD.HomogeneousSolidSection(name='Section-'+str(i), material='Material-'+str(i), thickness=None)
#material granular
MOD.Material(name='Material-'+str(nx*ny)) MOD.materials[
'Material-'+str(nx*ny)].Elastic(table=((360.0,0.35),))
MOD.HomogeneousSolidSection(name='Section-'+str(nx*ny), material='Material-'+str(nx*ny), thickness=None)
#asigna las secciones viscoelasticas y crea el vector de coordenadas
coordexbor= dx/2. coordeybor= ly-dy/2.
contador=0
vectorcoor=[]
while coordeybor > ly-lyc:
while coordexbor <lx:
p =MOD.parts['Part-1'] f = p.faces
faces= f.findAt(((coordexbor, coordeybor,0.0),)) region= p.Set(faces=faces, name='Set-'+str(contador)) p =MOD.parts['Part-1']
p.SectionAssignment(region=region,
sectionName='Section-'+str(contador), offset=0.0, offsetType=MIDDLE_SURFACE, offsetField='',
thicknessAssignment=FROM_SECTION)
lista=coordexbor,coordeybor,0.0 vectorcoor.append(lista,)
coordexbor+=dx
contador+=1
coordexbor= dx/2.
coordeybor-=dy
lista= lx/2.,(ly-lyc)/2.,0.0 vectorcoor.append(lista,) MTCD=np.array(vectorcoor)
#asigna el material granular
p =MOD.parts['Part-1'] f = p.faces
faces= f.findAt(((lx/2.,(ly-lyc)/2.,0.0),))
region= p.Set(faces=faces, name='Set-'+str(contador)) p =MOD.parts['Part-1']
p.SectionAssignment(region=region, sectionName= 'Section-'+str(contador),
offset=0.0, offsetType=MIDDLE_SURFACE, offsetField='',
thicknessAssignment=FROM_SECTION)
#crea particiones en la capa granular columnas para datos a extraer
lx2=0.0
ly2 =0.0
origenx2 =lx2
origeny2= ly2
conjdecolum= np.array((35.0,45.0,50.0))
for i in conjdecolum: cdllx=dx/2.+i
cdlly=ly-lyc+dy/2. arra=dx/2.
p =MOD.parts['Part-1']
f, e, d = p.faces, p.edges, p.datums t
=p.MakeSketchTransform(sketchPlane=f.findAt(coordinates=(lx,
ly-lyc,0.0), normal=(0.0,0.0,1.0)),
sketchPlaneSide=SIDE1,
origin=(origenx2, origeny2,0.0))
s =MOD.ConstrainedSketch(name='__profile__', sheetSize=2.17,
gridSpacing=0.05, transform=t)
g, v, d1, c = s.geometry, s.vertices, s.dimensions,
s.constraints
s.setPrimaryObject(option=SUPERIMPOSE) p =MOD.parts['Part-1']
35
p.projectReferencesOntoSketch(sketch=s, filter=COPLANAR_EDGES) session.viewports['Viewport: 1'].view.fitView()
s.linearPattern(geomList=(g.findAt((cdllx, cdlly-arra)), g.findAt((cdllx, cdlly+arra)), g.findAt((cdllx-arra, cdlly)), g.findAt((cdllx+arra,cdlly))), vertexList=(), number1=1,
spacing1=0.1, angle1=0.0,
number2=1+int((round(ly/dy)-round(lyc/dy))), spacing2=dy,
angle2=270.0)
p =MOD.parts['Part-1'] f = p.faces
pickedFaces= f.findAt(((lx, ly-lyc-dy,0.0),)) e1, d2 = p.edges, p.datums
p.PartitionFaceBySketch(faces=pickedFaces, sketch=s)
s.unsetPrimaryObject()
del MOD.sketches['__profile__']
"""crea los sets para extraer los datos"""
nombres =[]
nombres.append("debajoasf") nombres.append("bordeasf") nombres.append("centroasf")
#crea los sets dentro de la capa asfaltica for k,j in zip(conjdecolum,nombres): p =MOD.parts['Part-1']
f = p.faces
faces=[]
for i in xrange(round(lyc/dy)+2):
faces.append(f.findAt(((dx/2.+k,ly-dy/2.-dy*i,0.0),))) p.Set(faces=faces, name=j)
nombres2 =[]
nombres2.append("debajogran") nombres2.append("bordegran") nombres2.append("centrogran")
#crea los sets dentro de la capa granular for k,j in zip(conjdecolum,nombres2): nuevoinicio= ly-lyc-dy/2.
faces=[]
for nin in xrange(int(round((ly-lyc)/(dy*3)))): longeny=nuevoinicio-dy*nin*3
if longeny > dy*2:
faces.append(f.findAt(((dx/2.+k,longeny,0.0),)))
else:
break
p.Set(faces=faces, name=j)
nombrestotales= nombres + nombres2
"""crea el assembly dependiente"""
a = MOD.rootAssembly
a.DatumCsysByDefault(CARTESIAN) p =MOD.parts['Part-1']
a.Instance(name='Part-1-1', part=p, dependent=ON)
"""creación del paso viscoelastico"""
tol=0.01;
incIni=0.01;
incMin=1e-6;
incMax=0.5;
nMaxInc=1000000;
nombrepaso='Aplicacion_de_carga'
MOD.ViscoStep(name=nombrepaso, previous='Initial',
timePeriod=0.5,
maxNumInc=nMaxInc, initialInc=incIni, minInc=incMin, maxInc=incMax,
cetol=tol)
for var1,var2 in zip(range(2,8),nombrestotales):
#crea los archivos field con los sets
regionDef=MOD.rootAssembly.instances['Part-1-1'].sets[var2] MOD.FieldOutputRequest(name='F-Output-'+str(var1),
createStepName='Aplicacion_de_carga', variables=('S',),
frequency=LAST_INCREMENT, region=regionDef,
sectionPoints=DEFAULT, rebar=EXCLUDE)
""" crea el enmallado""" for i in xrange(MTCD.shape[0]): p =MOD.parts['Part-1'] e = p.edges
if i==MTCD.shape[0]-1:
picED= e.findAt(((MTCD[i,0]-lx/2.,MTCD[i,1],0.0),), ((MTCD[i,0]+lx/2.,MTCD[i,1],0.0),),
((MTCD[i,0],MTCD[i,1]+(ly-lyc)/2.,0.0),), ((MTCD[i,0],MTCD[i,1]-(ly-lyc)/2.,0.0),))
p.seedEdgeBySize(edges=picED, size=dx, constraint=FINER)
else:
picED= e.findAt(((MTCD[i,0]-dx/2.,MTCD[i,1],0.0),), ((MTCD[i,0]+dx/2.,MTCD[i,1],0.0),),
