Programación e implementación de un programa de elementos finitos para simular el comportamiento elástico no lineal en estructuras de pavimentos

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(1)ICIV 200510 01. Programación e Implementación de un Programa de Elementos Finitos para Simular el Comportamiento Elástico no Lineal en Estructuras de Pavimentos. por. FERNANDO ACOST A URREA. T esis presentada a La Universidad de los Andes Como requisito parcial de grado Programa de Pregrado En Ingeniería Civil. Bogotá, Colombia, 2005. ©(Fernando Acosta), 2005.

(2) ICIV 200510 01 Declaro que soy el único autor de la presente tesis Autorizo a la Universidad de los Andes para que este tesis sea prestada a otras instituciones o personas para propósitos de investigación solamente.. Firma. T ambién autorizo a la Universidad de los Andes para que este documento sea fotocopiado en su totalidad o en parte por otras instituciones o personas con fines de investigación solamente.. Firma. ii.

(3) ICIV 200510 01. Página del lector La Universidad de los Andes requiere la firma de todas las personas que utilicen o fotocopien esta tesis. Favor firmar debajo dando nombre y dirección.. iii.

(4) ICIV 200510 01. Agradecimientos Dr. Bernardo Caicedo H., por su colaboración y asesoría durante el trabajo realizado. Ing. Tomas Solano, por su orientación, apoyo y recomendaciones en el proceso de programación e implementación del método. A todas las personas que de una u otra forma estuvieron vinculados y colaboraron con la realización de éste proyecto.. iv.

(5) ICIV 200510 01. RESUMEN Se utilizó como base un programa existente (TASINI) desarrollado en 1981 por Erol Seker, que mediante el método de los elementos finitos, simula el comportamiento ante cargas instantáneas de los suelos blandos, utilizando criterios de elasticidad no lineal, mediante un análisis incremental permite variar el módulo de elasticidad del material a medida que los esfuerzos a los que se ve sometido cambian. Debido a que el objetivo principal del presente proyecto era lograr que el nuevo programa sirviera de herramienta para el diseño racional de pavimentos, se debía incluir en el programa ecuaciones que adaptasen al mismo herramientas para simular de igual forma materiales granulares típicos de una estructura de pavimento, adicionalmente, era necesario incluir un análisis elástico lineal simple para poder simular capas de concreto hidráulico y carpetas de rodadura. Para facilitar la operación de la herramienta, se programó un preprocesador, llamado ENMALLADOR, el cual permite crear el archivo de entrada del programa para cualquier estructura. Finalmente el programa TASINI_ MODIFICADO, permite simular diferentes tipos de materiales, e incluye dentro de su análisis, criterios elásticos no lineales, tanto para arcillas como para arenas,. permitiendo así un análisis más detallado del. comportamiento de los pavimentos.. v.

(6) ICIV 200510 01. TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN.......................................................................................................................1 OBJETIVOS ...............................................................................................................................2 MARCO TEÓRICO ....................................................................................................................3 3.1. SUCCIÓN.....................................................................................................................3. 3.1.1. Determinación Analítica de la Succión.....................................................................3. 3.1.2. Función de Variación de los Radios de los Poros......................................................5. 3.1.3. Expresión Analítica de la Succión............................................................................5. 3.1.4. Influencia de la Compresibilidad del Medio Poroso sobre la Succión .........................7. 3.1.5. Estimación de los Coeficientes de Succión ψ 0 , ψ 1 y ψ 2 .......................................12. 3.2. SOLUBILIDAD DEL AIRE EN EL AGUA..................................................................13. 3.3. CARACT ERÍST ICAS MECÁNICAS DEL MEDIO POROSO.......................................14. 3.3.1. Características Efectivas en Arcillas.......................................................................14. 3.3.1.1. Módulo de Elasticidad (Arcillas)........................................................................14. 3.3.1.2. Coeficiente de Poisson (Arcillas) .......................................................................16. 3.3.2. Estimación de las Características Mecánicas...........................................................16. 3.3.2.1. Estimación del Módulo Edométrico....................................................................16. 3.3.2.2. Estimación del Coeficiente de Poisson................................................................17. 3.3.3. Características Efectivas en Arenas y Gravas..........................................................17. 3.3.4. Características T otales..........................................................................................18. 3.4. COEFICIENT ES DE PRESION INT ERST ICIAL DE SKEMPT ON...............................19. 3.5. PARÁMET RO χ DE BISHOP....................................................................................24. ELEMENTOS FINITOS Y SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUA CIONES ................................26 4.1. DEFORMACIONES INST ANT ANEAS.......................................................................26. 4.2. CÁLCULO DE LAS MAT RICES.................................................................................28. 4.2.1. Funciones de Desplazamiento................................................................................29. 4.2.2. Matriz de Elasticidad ............................................................................................30. 4.2.3. Matriz de Plasticidad.............................................................................................31. 4.3. SOLUCIÓN DEL SIST EMA DE ECUACIONES..........................................................33. 4.4. CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS...............................................................................33 vi.

(7) ICIV 200510 01 4.5. CRIT ERIO DE RUPT URA Y MÓDULO PLÁST ICO...................................................34. PROGRA MA TASINI MODIFICADO .......................................................................................37 ENMALLADOR ........................................................................................................................43 PRUEBAS Y SIMULACIONES ................................................................................................53 CONCLUSIONES ....................................................................................................................61 Anexo A Código Programa TASINI .........................................................................................62 Anexo B Código Programa TASINI MODIFICADO.................................................................84 Anexo C Código del Programa ENMALLA DOR....................................................................104 Anexo D Archivos de Entrada Programa ABAQUS ..............................................................111 BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................................116. vii.

(8) ICIV 200510 01. Lista de Figuras y Gráficos T itulo. Página. Figura 3.1. T ubo capilar. 4. Figura 3.2. Descomposición de los esfuerzos en el medio. 19. Figura 4.1. Elemento cuadrangular típico. 25. Figura 5.1. Organización y numeración de nodos y elementos. 42. Figura 5.2. Distribución de carga caso axisimétrico. 49. Figura 5.3. Ejemplo de numeración de nodos y elementos. 51. Figura 6.1. Problemas evaluados para deformación plana. 52. Figura 6.2. Resultados obtenidos para carga puntual (def. plana). 53. Figura 6.3. Resultados obtenidos para carga distribuida (def. plana). 54. Figura 6.4. Problema evaluado para simetría de revolución. 55. Figura 6.5. Resultados obtenidos para carga distribuida (axisimétrico). 56. Figura 6.6. Estructura a evaluar. 57. Gráfico 3.1. Succión expresada en pF para diferentes grados de saturación. 7. Gráfico 3.2. Valores de A en arcillas. 23. Gráfico 4.1. Modelo elástico perfectamente plástico. 31. Gráfico 4.2. Modelo de Mohr-Coulomb. 35. Gráfico 6.1. Desplazamientos de los nodos. 58. Gráfico 6.2. Esfuerzos en x. 59. Gráfico 6.3. Esfuerzos en y. 59. viii.

(9) ICIV 200510 01. Lista de Tablas. T itulo. Página. T abla 3.1. Valores típicos de ψ 0 y ψ 1. 6. T abla 3.2. Valores de Af para diferentes tipos de suelos. 22. T abla 6.1. Características de los materiales. 57. T abla 6.2. Geometría de los elementos por estratos. 58. ix.

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(11) ICIV 200510 01. INTRODUCCIÓN El método de los elementos finitos, tiene una gran variedad de aplicaciones, los programas comerciales permiten realizar un gran número de análisis diferentes basados en la teoría de la elasticidad. Sin embargo, en muchos casos el tipo de análisis que se desea no puede ser llevado a cabo, por lo cual el código del programa debe ser modificado para incluir en él una metodología de análisis deseada. El presente proyecto, busca implementar el método de los elementos finitos para analizar los materiales que componen una estructura de pavimento utilizando para cada caso la mejor formulación teórica posible, incluyendo tanto cambios en la rigidez del medio como dependencia del estado hidráulico del material, definido por el grado de saturación y la posible succión presente.. 1.

(12) ICIV 200510 01. OBJETIVOS. •. Se pretende modificar un programa de elementos finitos existente y lograr incorporar en éste criterios de comportamiento elástico no lineal de materiales particulados, para luego utilizar su potencial mediante simulaciones a estructuras de pavimentos.. 2.

(13) ICIV 200510 01. MARCO TEÓRICO 3.1 SUCCIÓN En la mayoría de los materiales granulares, los poros son suficientemente pequeños de tal forma que los efectos de tensión superficial se pueden desarrollar debido al menisco del agua de los poros. En materiales densos bien gradados, donde los poros son muy pequeños, el efecto acumulado de estas tensiones superficiales puede llevar a una presión de succión significativa. A medida que los poros se llenan más de agua, la oportunidad para que se desarrollen superficies de tensión decrece, y en consecuencia la succión se reduce. Desde el punto de vista mecánico, para que se maximice la succión existe un porcentaje de humedad óptimo el cual es menor a la humedad óptima de Proctor. El punto de contenido de humedad óptima para compactación es, en efecto, un punto de baja succión. Durante la compactación es deseable que las succión se mantenga baja de tal forma que las partículas no unan sus fuerzas para contrarrestar el esfuerzo de compactación.. Sin embargo después de que se. completa la compactación, y las partículas se han juntado tan cerca como es posible por medios mecánicos, es deseable que la succión se incremente para ayudar a que la posición de las partículas se mantenga.. 3.1.1. Determinación Analítica de la Succión. El ascenso capilar en un tubo representa una presión negativa, la fórmula de Jurin calcula la altura de ascenso capilar Hc.. 3.

(14) ICIV 200510 01. Hc =. 2T cos θ rγ w. (3.1). donde: r = Radio del menisco T = Tensión superficial. θ = Ángulo del menisco. Figura 3.1. Tubo Capillar. Por otra parte, la condición de equilibrio se puede escribir como:. ψ = U a − Uw =. 2T cosθ r. (3.2). y: U a −U w = γ w H c Considerando que. (3.3) 2T cosθ es una constante para un fluido dado. El valor para r. el agua alrededor es 0.15 x 10. -4. [m 2].. Se tendrá entonces: 0.15 ⋅10 −4 1.5 ⋅ 10 −4 ψ = γw [KN/m 2] = r r. (3.4). donde:. γ w = 9.81 ≅ 10 [KN/m 3] r = Radio del tubo capilar [m]. ψ = U a − U w Succión Matricial [KN/m 2]. 4.

(15) ICIV 200510 01. La ecuación (3.4), muestra que la succión puede ser calculada si la función de distribución de los radios de los poros es conocida.. 3.1.2. Función de Variación de los Radios de los Poros. La función de variación tiene en general el mismo comportamiento de la curva granulométrica del material. Esta función, de tipo exponencial, se conoce como función porométrica.. Los estudios de Sridharam, (1971) y Rieke III, (1974). condujeron a un método experimental que permitía determinar la variación de los radios de los poros. Dicha variación es función de la relación entre el volumen de agua y el volumen de aire. Séker, (1981) propone la expresión siguiente: ψ1. r = rmax10. ⎛ 1− Sr ⎞ −ψ 0 ⎜ ⎟ ⎝ Sr ⎠. (3.5). Donde ψ 0 y ψ 1 son características del medio poroso que dependen de la estructura y la variación de los poros así como la absorción.. 3.1.3. Expresión Analítica de la Succión. Las investigaciones previas permitieron establecer una relación entre la succión y el grado de saturación. Se puede citar en particular a Leverett, (1974) que introdujo por primera vez una función sin dimensión conocida bajo el nombre de función de Leverett. Los efectos de la absorción (agua vinculada) y la geometría de los poros son demasiado complejos para que se pueda establecer un modelo matemático simple. Introduciendo la función (3.5) en la ecuación (3.1), se obtiene: ⎛ 1 −Sr ⎞ ⎟ Sr ⎠. 2T cosθ ψ 0 ⎜⎝ Hc = 10 γ w ⋅ rmax. ψ1. (3.6). 5.

(16) ICIV 200510 01. Como la succión puede alcanzar valores muy elevados, Shofield, (1935) introdujo el concepto de pF que es el log10 de la presión negativa, expresada en centímetros de altura de agua: pF = log 10 H c = log La expresión, log. ψ1. 2T cos θ ⎛ 1 − Sr ⎞ +ψ 0 ⎜ ⎟ γ w ⋅ rmax ⎝ Sr ⎠. 2T cosθ γ w ⋅ rmax. (3.7). es despreciable. Lo que significa que el radio más. grande posible de los poros está cerca de 0.15 cm. Es decir, para 1 cm. de succión, rmax será igual a 0.15 cm. aproximadamente. Por lo tanto la expresión para pF, queda: ψ1. ⎛ 1 − Sr ⎞ pF = ψ 0 ⎜ ⎟ ⎝ Sr ⎠. (3.8). Experimentalmente, se han encontrado valores para ψ 0 y ψ 1 , dependiendo del tipo de suelo, la tabla 3.1 muestra valores típicos para diversos tipos de suelo. Las funciones se evalúan en el gráfico 3.1. Tabla 3.1 Valores Típicos de ψ 0 y ψ 1. ψ0. ψ1. 1. 1.623. 0.060. SM. Narasimhan (1978). 2. 1.660. 0.166. SM. Vachaud. 3. 3.100. 0.180. ML. Verbrugge (1974). 4. 4.449. 0.240. CL. Essais. No. Suelo. Autores. (1974). 6.

(17) pF (cm). ICIV 200510 01 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0. 1 2 3 4. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4. 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0. Grado de Satu ración. Gráfico 3.1. Succión expresada en pF, para diferentes grados de saturación.. La curva de la succión pF en función del grado de saturación está representada por una función analítica cuyos coeficientes ψ 0 y ψ 1 traducen las propiedades del suelo. Como se acaba de ver, la succión es una función del radio de los poros. Pues, entre más pequeñas son las partículas (como en la arcilla), mayores serán las fuerzas capilares. La curva de succión en función del grado de saturación es diferente dependiendo de si el material esta siendo humedecido o drenado. Se produce un fenómeno de histéresis. La succión es más fuerte en drenaje que en humectación, para un grado de saturación dado.. 3.1.4. Influencia de la Compresibilidad del Medio Poroso sobre la Succión. Los ingenieros del petróleo y los agrónomos han estudiado en numerosas ocasiones el fenómeno de succión. Considerando que el medio es indeformable. Por el contrario, desde el punto de vista de la ingeniería civil, el medio se somete a esfuerzos y a deformaciones que conducen a que se deba considerar el cambio del volumen de los poros.. 7.

(18) ICIV 200510 01. Cuando el medio poroso es comprimido bajo el efecto de fuerzas externas, el volumen de los poros disminuye, por lo cual el radio de los tubos capilares también disminuye pasando de un valor r0 a r1 . La ecuación (3.1) queda: H c1 r1 = H c0 r0 =. 2T cos θ. (3.9). γw. La ecuación anterior escrita en forma logarítmica: ⎛ ⎛r ⎞ r ⎞ log H c1 = log⎜⎜ H c0 0 ⎟⎟ = log H c0 + log⎜⎜ 0 ⎟⎟ r1 ⎠ ⎝ ⎝ r1 ⎠. (3.10). r0 en función de las características del medio ψ 0 y ψ 1 . La r1. Al calcular la relación ecuación (3.5) queda:. ψ1. ⎛ 1− Sr ⎞ −ψ 0 0 ⎜ ⎟ ⎝ Sr ⎠. ⎛ 1− Sr ⎞ ∆ψ 0 ⎜ ⎟ rmax0 r0 rmax0 10 ⎝ Sr ⎠ = ⋅ 10 ψ ⎛ 1− Sr ⎞ 1 r1 r −ψ 01 ⎜ ⎟ max 1 rmax110 ⎝ Sr ⎠. ψ1. (3.11). donde: ∆ψ 0 = ψ 0 0 − ψ 0 1. (3.12). En forma logarítmica: log. ⎛ rmzx r0 = log ⎜ 0 ⎜ rmax r1 ⎝ 1. ψ ⎞ Sr 1 ⎟ − ∆ψ 0 ⎛⎜ 1 − ⎞⎟ ⎟ ⎝ Sr ⎠ ⎠. (3.13). Se tienen las condiciones a los límites siguientes: 1.. Sr = 100%. 2.. Sr = 50%. rmax0 rmax1. =b. r0 = a = b10− ∆ψ 0 r1 8.

(19) ICIV 200510 01. 3.. r0 =1 r1. Sr < Srmi n. Los dos parámetros a y b corresponden a las relaciones de los radios de los tubos capilares máximos y medios.. Ahora, se determinan estos dos parámetros en. función de los otros tamaños conocidos. El cambio de volumen total de los vacíos es: ∆V 0 − ∆V1 = ∆ (∆V ). (3.14a). O bien:. η L0π r02 − ηL1π r12 = ∆ (∆V ). (3.14b). donde: L = longitud de los tubos. η = número de tubos ⎛ L1 r12 ⎞⎟ ⎜ η L0π r 1 − = ∆(∆V ) ⎜ L0 r 2 ⎟ 0 ⎝ ⎠. (3.14c). η L0π r02 = n0 ∆VT. (3.14d). 2 0. 0. ∆ (∆ V ) = (n1 − n0 )∆V T0. (3.14e). con: ∆VT0 = volumen total n0 , n1 = porosidad inicial y final Al introducir la expresión (3.14d) en la ecuación (3.14c) se obtiene: r0 r1. =. L1 n0 =a L 0 n1. (3.15a). Por otra parte, la condición 3. a los límites da:. 1 = b10. ⎛ 1− Srmin ⎞ − ∆ψ 0 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ Srmin ⎠. ψ1. (3.15b). 9.

(20) ICIV 200510 01. b = 10. ⎛ 1 −Srmin ∆ ψ 0 ⎜⎜ ⎝ Srmin. ⎞ ⎟⎟ ⎠. ψ1. (3.15c). La condición 2. entrega:. b = a10 ∆ψ 0. (3.15d). Al reemplazar a en b por su valor, se obtiene:. 10. ⎛ 1−Srmin ∆ψ 0 ⎜⎜ ⎝ Srmin. ψ1. ⎞ ⎟⎟ ⎠. L1 n0 ∆ψ0 10 L0 n1. =. (3.16a). De donde: L1 n0 L0 n1. log ∆ψ 0 =. Dónde log. (3.16b). ψ1. ⎛ 1 − Srmin ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ Srmin ⎠. −1. L1 n0 es una función de la porosidad. Se puede calcular de la L0 n1. siguiente forma: Se tiene: L1 = L0 − ∆L. (3.17a). n1 = n0 − ∆n. (3.17b). De donde: L1 n0 (L0 − ∆L)(n1 + ∆n ) L0 n1 − ∆Ln1 + ∆ L ⋅ ∆ n = = L 0 n1 L0 n1 L0 n1. (3.18a). Al despreciar ∆L ⋅ ∆n , se obtiene: L1 n0 ∆L =1 − L 0 n1 L0. (3.18b). Se puede también escribir: 10.

(21) ICIV 200510 01. ∆L ∆e ≅ L0 1 + e 0 donde:. (3.19). e = relación de vacíos. Debido a que: log. L1 n0 1 ⎛ ∆e ⎞ ⎟⎟ = 2.3 ln ⎜⎜1 − L0 n1 2 ⎝ 1 + e0 ⎠. (3.20). Por otra parte, se tiene: 2. 1 ⎛ ∆e ⎞ ∆e ⎛ ∆e ⎞ ⎟ + ⋅⋅ ⋅ ⎟⎟ = − ln⎜⎜ 1 − + ⎜⎜ 1 + e0 2 ⎝ 1 + e0 ⎟⎠ ⎝ 1 + e0 ⎠. (3.21a). ψ2. ⎛ ∆e ⎞ ⎛ ∆e ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ≅ − ⎜⎜ ln⎜⎜ 1 − ⎝ 1 + e0 ⎠ ⎝ 1 + e0 ⎠. (3.21b). Finalmente, se obtiene: ψ2. L n ⎛ ∆e ⎞ ⎟⎟ log 1 0 = −⎜⎜ L 0 n1 ⎝ 1 + e0 ⎠. (3.22). Donde ψ 2 es una constante que caracteriza la compresibilidad del suelo. La ecuación (3.15b), pasa a ser:. ∆ψ 0 =. ⎛ ∆e ⎞ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎝ 1 + e0 ⎠ ⎛ 1 − Srmin ⎜⎜ ⎝ Srmin. ⎞ ⎟⎟ ⎠. ψ2. (3.23). ψ1. −1. ⎛ rmzx Al reemplazar log⎜ 0 ⎜ rmax ⎝ 1. ⎞ ⎟ en la ecuación (3.13) se tiene: ⎟ ⎠. ⎡⎛ 1 − Sr ⎞ ψ1 ⎛ 1 − Sr ⎞ ψ1 ⎤ ⎛ r0 ⎞ min ⎜ ⎟ ⎟ −⎜ log⎜ ⎟ = ∆ψ 0 ⎢⎜⎜ ⎟ ⎥ ⎝ Sr ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ Srmin ⎟⎠ ⎝ r1 ⎠. (3.24a). Reemplazando el valor de ∆ψ 0 :. 11.

(22) ICIV 200510 01. ⎡ ⎛ 1 − Sr ⎞ ψ1 ⎛ 1 − Sr ⎞ ψ1 ⎤ min ⎟ −⎜ ⎟ ⎥ ψ 2 ⎢⎜ ⎜ Sr ⎠ ⎥ ⎛ r0 ⎞ ⎛ ∆e ⎞ ⎢ ⎝ Srmin ⎟⎠ ⎝ ⎟⎟ log⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ψ ⎢ ⎥ ⎝ r1 ⎠ ⎝ 1 + e 0 ⎠ ⎢ ⎛ 1 − Srmin ⎞ 1 ⎥ ⎜⎜ ⎟⎟ − 1 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝ Srmin ⎠. (3.24b). Finalmente, la expresión de la succión queda:. ψ = γ w10 pF. (3.25). ⎡ ⎛ 1 − Sr ⎞ ψ1 ⎛ 1 − Sr ⎞ ψ1 ⎤ min ⎟ −⎜ ⎟ ⎥ ψ 2 ⎢⎜ ψ1 ⎜ Sr ⎠ ⎥ ⎛ ∆e ⎞ ⎢ ⎝ Srmin ⎟⎠ ⎛ 1 − Sr ⎞ ⎝ ⎟⎟ pF = ψ 0 ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ψ ⎢ ⎥ 1 + e ⎝ Sr ⎠ ⎛ 1 − Srmin ⎞ 1 0 ⎠ ⎝ ⎢ ⎥ ⎜⎜ ⎟⎟ − 1 ⎢⎣ ⎥⎦ Sr ⎝ ⎠ min. (3.26). Estimación de los Coeficientes de Succión ψ 0 , ψ 1 y ψ 2. 3.1.5. Mediante ensayos con olla a presión se ha logrado encontrar un método de estimación basado en una correlación con los límites de Atterberg que da valores mínimos para ψ 0 , ψ 1. y ψ 2 . La figura 3.7 pone de manifiesto que hay una. relación entre los límites de consistencia, la cuesta media de la curva pF - Sr y el punto pFc, si admitimos que Wsat es igual a Wl Séker (1981), con valores obtenidos de la literatura y diferentes pruebas, estableció la siguientes correlación: pFc = 3.75. Ip wL. (3.27). Donde: Ip = wL - w p wL = límite líquido w p = límite plástico Siendo m , la pendiente de la curva que describe la variación de la succión pF en función del grado de saturación Sr. 12.

(23) ICIV 200510 01. Para Ip < 25 m = 10 −3 Ip 2 (2.5 − 0.233Ip ) + 0.298Ip. (3.28a). Para Ip > 25 m = 6.26 − 0.046 Ip. (3.28b). Finalmente:. ψ0 =. 2 pFc + m 2. (3.29a). ψ1 =. m 2(2 pFc + m). (3.29b). Conociendo los dos coeficientes ψ 0 y ψ 1 , se puede calcular la curva de succión, puesto que se conoce la expresión de la succión (3.8) Se admite para ψ 2. ψ 2 = 2ψ 1. (3.29c). Es necesario sin embargo tener en cuenta que esta correlación se basa en un número limitado de medidas. Para el caso de las arenas, donde no se pueden medir los límites de Atterberg, se recomienda utilizar los valores de la tabla 3.1, y calcular el ψ 2 , mediante la correlación anterior, (3.29c).. 3.2 SOLUBILIDAD DEL AIRE EN EL AGUA Si se admite que no existe reacción química entre el aire y el agua y que la temperatura es constante, la ley de Henry calcula la masa de aire m a disuelta por unidad de volumen de agua. ma = Hρ a. (3.30) 13.

(24) ICIV 200510 01. O bien, la masa total disuelta: M a = ma Vw = Hρ aV w. (3.31). Donde: H = coeficiente de Henry. ρ a = densidad del aire [Kg/m 3] Vw = volumen del agua [m 3] M a = masa total disuelta [Kg] La solubilidad se mide en volumen de aire disuelto por unidad de volumen de agua, bajo una presión de una atmósfera y a la temperatura de 0ºC. Debido a que el coeficiente de Henry varía con la temperatura, se puede tomar un valor promedio de temperatura constante entre 18º y 20ºC, lo que corresponde a un valor de H = 0.02.. 3.3 CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS DEL MEDIO POROSO. Los parámetros necesarios para la descripción del comportamiento de un medio poroso son el módulo de elasticidad y el coeficiente de Poisson. Un suelo es un medio poroso compuesto de tres fases. Su comportamiento global es pues el reflejo de la interacción entres dichas fases.. 3.3.1. Características Efectivas en Arcillas. 3.3.1.1. Módulo de Elasticidad (Arcillas). Las características mecánicas pueden ser determinadas mediante pruebas edométricas. El módulo edométrico de JANBU (1963) se define del siguiente modo:. 14.

(25) ICIV 200510 01. E ed =. dσ ' dσ ' 1 = = de dε Cf 1+ e. (3.32). Donde: e. = relación de vacíos.. C f = coeficiente de compresibilidad volumétrica. La curva característica de un ensayo de compresión edométrica, infiere:. σ ' > σ 'c. e = ec − C c log. σ' σ 'c. (3.33). σ <σ. σ' e = ec + C c log ' σc. (3.34). '. '. c. Donde: Cc = índice de compresión ec = relación de vacíos para el esfuerzo de consolidación σ ' c El módulo tangente Eed puede escribirse: E ed = 2.3σ '. 1+ e Cc. (3.35). Al introducir el valor de e obtenido mediante (3.33) se obtiene E ed. 2.3σ ' = Cc. ⎛ σ' ⎞ ⎜⎜1 + e c − Cc log ' ⎟⎟ σc⎠ ⎝. (3.36). El módulo de Janbú es: E ed. ⎛σ' ⎞ = m0 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ Pa ⎠. m1. (3.37). Donde: Pa = presión atmosférica m 0 y m 1 son constantes Igualando las ecuaciones 3.35 en 3.37, para los valores σ ' = σ ' c = Pa y σ ' = 10σ ' c , las constantes m 0 y m 1 pasan a ser: 15.

(26) ICIV 200510 01. ⎛ 1 + ec m0 = 2.3⎜⎜ ⎝ Cc. ⎞ ⎟⎟ ⋅ Pa ⎠. (3.38). ⎛ 2.3 ⎞ ⎟⎟ m1 = 1 + log ⎜⎜ 1 − ⎝ m0 ⎠. (3.39). Para los cálculos, se considera el módulo de elasticidad para un esfuerzo medio. Según la teoría de la elasticidad el módulo de elasticidad será: E=. (1 +υ )(1 − 2υ ) 1− υ. (3.40). Eed. 3.3.1.2 Coeficiente de Poisson (Arcillas) Para los cálculos en arcillas, se admite que el coeficiente de Poisson υ es una constante. Su variación no tiene gran influencia sobre los resultados del cálculo. El coeficiente de Poisson puede ser determinado mediante un ensayo triaxial clásico, o bien empíricamente mediante la fórmula de Jaky (1962), la cual es muy simple. k. 0. =. υ 1− υ. = 1 − sen ϕ. '. (3.41). De donde:. υ=. 1 − senϕ ' 2 − senϕ '. (3.42). Para:. ϕ ' =30º 3.3.2 3.3.2.1. υ =0.330 Estimación de las Características Mecánicas Estimación del Módulo Edométrico. Se puede considerar el módulo edométrico a partir de los límites de Atterberg. Terzagui y Peck (1969) para suelos arcillosos, proponen: C c = 0.007(wL − 10). (3.43) 16.

(27) ICIV 200510 01. Para e0 = ec =. γs w = 2.7 wL se obtienen así los constantes m 0 y m 1. γw L. w ⎞ ⎛ 2.3⎜ 1 + 2.7 L ⎟ 100 ⎠ ⎝ m0 = Pa 0.007(wL − 10). (3.44). ⎛ 2.3 ⎞ ⎟⎟ m1 = 1 + log ⎜⎜ 1 − ⎝ m0 ⎠ 3.3.2.2. (3.45). Estimación del Coeficiente de Poisson. La estimación puede hacerse a partir de ϕ ' .. Numerosos autores indicaron. correlaciones entre Ip y ϕ ' . Una correlación aproximada puede ser: senϕ ' =. 20 30 + Ip. (3.46). Así pues, conociendo ϕ ' , con ayuda de la fórmula de Jaky, se calcula del coeficiente de Poisson υ :. υ=. 10 + Ip 40 + 2Ip. 3.3.3. (3.47). Características Efectivas en Arenas y Gravas. Para el caso de materiales granulares, se utiliza un modelo desarrolado a finales de la década de los 70, donde se utilizaron ensayos de triaxiales cíclicos con presiones de confinamiento variables. Estos ensayos permitieron experimentar con ciclos de carga. siguiendo diferentes rutas de esfuerzo los cuales simulan mejor el. comportamiento in situ del material. Los ensayos de presión de cámara variable, demostraron que el comportamiento resiliente de los materiales granulares depende no sólo del esfuerzo promedio p, sino también, de la ruta de esfuerzos y la relación de esfuerzos q/p y que la hipótesis de una relación de Poisson constante no es adecuada para estos materiales. 17.

(28) ICIV 200510 01. El modelo, propuesto finalmente, se basa en la teoría de la elasticidad, siendo las expresiones para el módulo de elasticidad y el coeficiente de Poisson las siguientes: 9Ga ( p / pa ). 1 −n. E=. υ=. (. 3 + (Ga / K a ) 1 − β (q / p ). ). 2. (. (3.48). 3 / 2 − (Ga / K a ) 1 − β (q / p ). (. 3 + (Ga / K a ) 1 − β (q / p ). 2. 2. ). ). (3.49). Donde: Ka, G a, n = parámetros del modelo pa = presión de referencia o presión atmosférica. β = (1 − n) p=. Ka 6Ga. σ1 + σ 2 + σ 3 3. (3.50) = esfuerzo promedio. q = σ 1 − σ 3 = esfuerzo desviador Valores típicos para los parámetros podrían ser: Ka = 93.5 MPa, Ga = 129.8 MPa, n= 0.42. 3.3.4. Características Totales. Se pueden establecer relaciones entre las características efectivas y totales. Para un medio isotrópico, se tiene: Eu =. E 1 − AB(1 − 2υ ). (3.51). 1 ⎡ (1 − B )(1 − 2υ ) ⎤ υu = ⎢1 − 2 1 − AB(1 − 2υ )⎥ ⎣. ⎦. (3.52). Donde A y B son los coeficientes de Skempton.. 18.

(29) ICIV 200510 01. 3.4. COEFICIENTES DE PRESION INTERSTICIAL DE SKEMPTON. Estos coeficientes fueron propuestos por Skempton (1954) y discutidos por Henkel (1960), Henke y Wade (1966) . Con los coeficientes de presión de poros se examina el incremento de presión neutra en relación con el incremento de la presión total de una masa de suelo, tanto en σ 3 como en σ 1. Para su análisis es conveniente considerar el incremento de presión total como si estuviese constituido por dos componentes: un esfuerzo isotrópico (Etapa 1º) y un esfuerzo uniaxial (Etapa 2º), como muestra la figura 3.2.. Figura 3.2. Descomposición de los esfuerzos en el medio Skempton,. propuso para determinar el incremento de la presión de poros la. siguiente expresión: ∆U 1 = B [∆σ 3 + A(∆ σ 1 − ∆σ 3 )]. (3.53). Al descomponer el efecto de los esfuerzos en dos partes, queda: El esfuerzo isotrópico (1ra Etapa) produce: ∆U 3 = B ∆σ 3. (3.54). El esfuerzo desviador (2da Etapa) produce:. ∆ U 1 − 3 = AB (∆ σ 1 − ∆ σ 3 ). (3.55). 19.

(30) ICIV 200510 01. Determinación Analítica de los Coeficientes A y B 1ra Etapa: El coeficiente B se define como la relación que existe entre el aumento de presión neutra ∆U 3. y el aumento del esfuerzo isotrópico de. confinamiento ∆σ 3 .. B=. ∆U 3 ∆σ 3. (3.56). El coeficiente A , se define por la expresión:. A = AB =. ∆U1−3 ∆σ1 − ∆σ 3. (3.57). Al aplicar ∆σ 3 el esfuerzo efectivo comunicado a la estructura de suelo es:. ∆σ 3 = ∆σ 3 − ∆U 3. (3.58). Si Ce representa la compresibilidad de la estructura de suelo, es decir, la deformación volumétrica unitaria por unidad de presión actuante, el decremento de volumen de la estructura de suelo puede expresarse como:. ∆Vm = CeVm (∆σ 3 − ∆U 3 ). (3.59). Donde: Vm = volumen de la masa de suelo. Por otra parte, si Cf es la compresibilidad del fluido aire-agua y n es la porosidad del suelo, el decremento de volumen del suelo está dado por:. ∆Vm = C f nVm ∆U 3. (3.60). Si la masa de suelo se debe comprimir lo que se comprima el fluido que ocupa sus vacíos, igualando se obtiene:. C e (∆σ 3 − ∆U 3 ) = C f n∆U 3 B=. ∆U 3 = ∆σ 3. 1. C 1+n e Cf. (3.61) (3.62). En suelos totalmente saturados, Cf es mucho menor que Ce, pues el agua es prácticamente incompresible, por lo que B debe resultar igual a 1. Por el contrario 20.

(31) ICIV 200510 01. en un suelo completamente seco, Cf es mucho mayor que Ce, pues el aire es mucho más compresible que la estructura del suelo, por lo que B debe resultar muy cercano a cero. En suelos parcialmente saturados, B varía entre cero y uno, dependiendo del grado de saturación. En esta etapa los incrementos de esfuerzos efectivos debido al. 2da Etapa :. esfuerzo desviador son:. ∆σ 3 = (∆σ1 − ∆σ 3 ) − ∆U 1−3. (3.63). ∆σ 3 = 0 − ∆U1−3. (3.64). Si se supone que el suelo se comporta según la Teoría de la Elasticidad, el cambio de volumen de la estructura de suelo será:. (. ). ∆Vm = CeVm. 1 ∆σ 1 − 2∆σ 3 3. ∆Vm = CeVm. 1 [(∆σ1 − ∆σ 3 ) − 3∆U1−3 ] 3. (3.65a) (3.65b). Por otra parte si se analiza el cambio de volumen del fluido aire-agua, como se vio anteriormente será:. ∆Vm = C f nVm ∆U 1−3. (3.65c). Igualando:. ∆U1−3 =. 1 3. 1. C 1+n e Cf. (∆σ1 − ∆σ 3 ). (3.66a). Es decir: 1 3. ∆U1−3 = B(∆σ1 − ∆σ 3 ). (3.66b). 21.

(32) ICIV 200510 01. Al no corresponder la Teoría de la Elasticidad al comportamiento de los suelos, se sustituye el valor 1/3 por un coeficiente A, pudiéndose escribir:. ∆U1−3 = AB(∆σ1 − ∆σ 3 ). (3.67). El incremento total de presión neutra será:. ∆U 1 = ∆U 3 + ∆U1−3 = B∆σ 3 + AB(∆σ1 − ∆σ 3 ). (3.68a). ∆U 1 = B[∆σ 3 + A(∆σ1 − ∆σ 3 )]. (3.68b). El valor de A en el momento de la falla al corte se denomina Af. Para un suelo dado, el coeficiente A varía principalmente con la historia de las presiones actuantes en el suelo (suelos normalmente consolidados) y del porcentaje de presión aplicada respecto a la falla. En el gráfico 3.2 se pueden observar los valores del coeficiente A para arcillas normalmente y preconsolidadas. Además se puede observar que el valor de Af depende principalmente de la relación de preconsolidación OCR (definido como la relación que existe entre la máxima presión de consolidación que ha sido sujeto el suelo y la presión de consolidación inmediatamente antes de realizar el ensayo de corte) . Se puede observar que la arcilla normalmente consolidada es contractiva adquiriendo un valor de Af positivo, y que la arcilla preconsolidada es contractiva y luego dilatante adoptando un Af negativo. Bishop encontró para una arcilla determinada una. curva. que. puede. relacionar Af con. la relación de. preconsolidación OCR. En la Tabla1 se muestra los intervalos de valores obtenidos en distintas muestra de suelo.. 22.

(33) ICIV 200510 01 Tabla 3.2, Valores de Af para diferentes tipos de suelos. Tipo de Suelo. Af. Arcilla altamente sensitiva. 1.2 a 2.5. Arcilla normalmente consolidada. 0.7 a 1.3. Arcilla ligeramente preconsolidada. 0.3 a 0.7. Arcilla altamente consolidada. -0.5 a 0. Arena fina muy suelta. 2a3. Arena fina intermedia. 0a1. Arena fina densa. -0.3 a 0. Es decir que cuanto más suelto o mayor relación de vacíos tiene el suelo, más alto es Af. En cambio cuanto más denso o menor relación de vacíos, menor es Af, pues en el momento de la falla puede haber dilatancia.. 23.

(34) ICIV 200510 01. Gráfico. 3.2 Valores de A en arcillas. 3.5 PARÁMETRO χ DE BISHOP El parámetro χ de Bishop, se define como la parte del esfuerzo intersticial recogido por el agua. Se le conoce también bajo el nombre de coeficiente de Bishop. Si se supone que una parte de la superficie de un elemento de medio poroso χ dS está ocupada por el agua y la otra parte (1- χ )dS por el aire. Si se designa la superficie del agua por Sw = χ dS, y la del aire por Sa = (1- χ )dS, el parámetro χ puede expresarse del siguiente modo:. χ=. Sw Sw = ST Sw + Sa. (3.69). Se puede escribir:. ⎡ Sr ⎤ 2 S w = π r = π ⎢ ∫ rdSr ⎥ ⎢⎣Srmin ⎥⎦. 2. (3.70). 24.

(35) ICIV 200510 01. ⎤ ⎡1 Sa = π r = π ⎢ ∫ rdSr ⎥ ⎦ ⎣Sr. 2. 2. (3.71). La función de r es: ψ1. r = rmax10. ⎛ 1− Sr ⎞ −ψ 0 ⎜ ⎟ ⎝ Sr ⎠. Sin embargo, se propone utilizar una expresión más simple que pueda ser integrada analíticamente como la siguiente:. r ≅ c0 (Sr − Srmin )c. (3.72). 1. Donde c0 y c1 son constantes con la condición límite: Sr = 100%. r = rmax. Al sustituir r en la expresión (3.66), se obtiene:. χ=. ⎡ Sr c (Sr − Sr ) c1 dSr ⎤ min ⎢⎣ ∫Srmin 0 ⎥⎦ 2. 2. ⎡ Sr c ( Sr − Sr )c1 dSr ⎤ + ⎡ 1 c ( Sr − Sr )c1 dSr ⎤ min 0 min ⎥⎦ ⎥⎦ ⎢⎣∫Srmin 0 ⎣⎢ ∫Sr. 2. (3.73a). De donde:. ⎛ Sr − Srmin χ = ⎜⎜ ⎝ 1 − Srmin. ⎞ ⎟⎟ ⎠. 2( c1 +1 ). (3.73b). En el caso general Srmin = χ1 y 2 (c1+1) = χ 2 , por lo tanto se tiene:. ⎛ Sr − χ1 ⎞ ⎟⎟ χ = ⎜⎜ − 1 χ 1 ⎠ ⎝. χ2. (3.73c). dónde χ1 y χ 2 son características que dependen del medio poroso. Así pues, se encuentra el parámetro χ en función del grado de saturación.. 25.

(36) ICIV 200510 01. ELEMENTOS FINITOS Y SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES El método de los elementos finitos permite introducir la condición de anisotropía y de no linealidad del medio en cada elemento, y a su vez, tener en cuenta una geometría compleja. Las ecuaciones que describen el comportamiento de un medio poroso no saturado son ecuaciones de derivadas parciales con coeficientes no lineales. Una solución única puede encontrarse teniendo en cuenta las condiciones iniciales y de frontera. Se puede suponer que el medio está en equilibrio estático a un momento dado t1. Eso significa que todos los coeficientes pueden tratarse como funciones fijas de las coordenadas del espacio. Si se conocen los valores iniciales, las ecuaciones pueden solucionarse paso a paso de forma incremental. El programa TASINI permite calcular las deformaciones instantáneas, los esfuerzos totales y las presiones de poros. 4.1 DEFORMACIONES INSTANTANEAS La deformación instantánea se produce inmediatamente después de la aplicación de la carga al tiempo t = 0. En ese momento, no hay flujo de agua o aire. Sólo el aire se comprime y se disuelve en el agua. Si se admite que las tres fases del medio se combinan en una sola; desde el punto de vista mecánico, el medio es monofásico. A partir de las características mecánicas de las tres fases, se pueden calcular las características mecánicas globales del medio. Sin embargo, es necesario tener en cuenta que la carga crea un incremento en la presión poros. Para el caso del suelo saturado las condiciones iniciales y de frontera, no cambian durante el cálculo, debido a que no se presenta compresión del aire. Sin embargo, en el caso de un suelo no saturado el medio puede llegar a alcanzar la saturación en algunas zonas de tal forma que no se conocerían las condiciones de frontera entre zonas saturadas y no saturadas. Por ésta razón, 26.

(37) ICIV 200510 01. se adopta un método de cálculo incremental.. En cada incremento, las. características varían linealmente. Eso significa que se admiten las dos hipótesis siguientes: - El medio obedece la ley de Hooke (Eu, υu ) - La presión de poros se calcula por la ley de Skempton Es necesario precisar que las características no drenadas se calculan a partir de las características drenadas y coeficientes de Skempton A y B, como se ve en el capítulo 3. Los desplazamientos son calculados de la siguiente manera:. [K ]{∆δ }+ {∆F } = 0. (4.1). Donde:. [K ] = ∫ [B]T [Du ][B]dV. = matriz de rigidez del medio. V. [B ] = [Du ] =. matriz de elasticidad. {∆δ } =. vector de desplazamientos en los nodos. {∆F} =. vector de fuerzas externas en los nodos. matriz dependiente de las funciones base. Por otra parte, en cada elemento, se tiene: Incremento de deformaciones:. {∆ε} = [B]{∆δ }. (4.2). Incremento de esfuerzos:. {∆σ } = [Du ][B]{∆δ }. (4.3). Solucionando la ecuación (4-1), se obtienen los desplazamientos nodales. Se calcula a continuación el incremento de los esfuerzos (4-3), así como la presión de poros en cada elemento con ayuda de la ley de Skempton.. 27.

(38) ICIV 200510 01. Los dos casos posibles, desde el punto de vista mecánico, tratados en este trabajo son:. -. Problema de deformación plana:. 1.. isotrópico. 2.. anisotrópico. -. Problema de simetría de revolución:. 1.. isotrópico. 2.. anisotrópico. 4.2 CÁLCULO DE LAS MATRICES El sub-programa MATRIX calcula la matriz [ B ] de elementos, la matriz de elasticidad [ D ] y la matriz de rigidez [ K ]. Una vez las matrices de rigidez de cada elemento se han establecido, éste programa forma la matriz de rigidez general [ K ] de toda la estructura. Se eligió un tipo de elemento cuadrilátero, subdividido en dos elementos triangulares (Fig. 4.1). 28.

(39) ICIV 200510 01. Figura 4.1, Elemento cuadrangular típico. 4.2.1 Funciones de Desplazamiento Las funciones base de desplazamiento son: - Horizontalmente: δx = u = α1 + α 2 x + α3 y. (4.4). δy = v = α 4 + α 5 x + α 6 y. (4.5). - Verticalmente:. De donde se calcula la matriz [ B ] para los dos casos (deformación plana y simetría de revolución). Deformación Plana:. [B]∆. ⎡y2 − y3 1 ⎢ = 0 2∆ ⎢ ⎢⎣ x3 − x 2. 0. y 3 − y1. 0. y1 − y 2. x3 − x2. 0. x1 − x3. 0. y 2 − y3. x1 − x3. y3 − y1. x 2 − x1. ⎤ ⎥ x 2 − x1 ⎥ y1 − y2 ⎥⎦ 0. Simetría de Revolución:. ⎡ y2 − y3 ⎢ 0 ⎢ − r y ⎢ 2 3 r3 y2 1 ⎢ [B]r = ⎢ r y2 − y3 2∆ ⎢ y ⎢ (r3 − r2 ) ⎢ r ⎢⎣ r3 − r2. 0. r3 − r2 0 0 0. y2 − y3. y3 − y1. 0. 0. r1 − r3. − r1 y3 + r3 y1 r y3 − y1 y (r − r ) r 1 3 r1 − r3. 0 0 0. y3 − y1. y1 − y2 0. r1 y2 − r2 y1 r y1 − y2 y (r − r ) r 2 1 r2r1. ⎤ r2 − r1 ⎥⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ y1 − y3 ⎥⎦ 0. Donde:. ⎡1 r1 ⎢ 2∆ = det 1 r2 ⎢ ⎣⎢1 r3. y1 ⎤ y2 ⎥⎥ y3 ⎦⎥. 29.

(40) ICIV 200510 01. 4.2.2 Matriz de Elasticidad El medio puede ser isotrópico o anisótropo, las matrices de elasticidad se indican a continuación, para el caso de deformación plana, axisimetría y anisotropía. Deformación Plana:. ⎡ ⎢ 1 ⎢ [D] = E(1 − υ ) ⎢ υ (1 + υ )(1 − 2υ ) ⎢1 − υ ⎢ 0 ⎢ ⎣. υ 1−υ 1 0. ⎤ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 1 − 2υ ⎥ 2(1 − υ ) ⎥⎦ 0. Simetría de Revolución:. υ ⎡ 1 ⎢ 1 −υ ⎢ υ ⎢ 1 E(1 − υ ) ⎢1 − υ [D] = υ (1 + υ )(1 − 2υ ) ⎢ υ ⎢ 1 − υ 1 −υ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎣. υ 1 −υ υ 1 −υ 1 0. ⎤ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ 1 − 2υ ⎥ ⎥ 2(1 − υ )⎦ 0. Donde:. E(1 − υ ) =E ; (1 + υ )(1 − 2υ ) ed. υ 1−υ. = k0. Anisotropía:. [D] =. Ey. (1 + υ x )(1 −υ x − 2nυ y 2 ). ⎡ 1 −υ x 2 nυ y (1 + υ x ) nυ y (1 −υ x ) ⎢ 2 n υ x + nυ y 2 ⎢nυ y (1 + υ x ) n 1 − nυ y ⎢ 1 − 2υ 0 ⎢nυ y (1 − υ x ) 2(1 − υ ) ⎢ 0 0 0 ⎢⎣. (. ) (. 0 0. ). 0. (. m(1 +υ x ) 1 − υ x − 2nυ y 2. Donde: 30. ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥. ).

(41) ICIV 200510 01. n=. 4.2.3. Ex ; Ey. m=. Gy Ey. Matriz de Plasticidad. Si, durante el proceso de carga, un elemento se plastifica, se recalcula una matriz de tipo elasto-plástica. Gracias al método de cálculo paso a paso, la carga puede ser aplicada por incrementos sucesivos. La matriz de elasticidad se recalcula en cada paso, teniendo en cuenta la no linealidad del medio. De tal forma, es posible introducir, cuando un elemento es plástico, una matriz élasto-plástica. Suponiendo un comportamiento elástico-perfectamente plástico como en el gráfico 4.1.. Gráfico 4.1, Modelo elástico perfectamente plástico. En plasticidad, se tiene:. ∆ε = ∆ε p + ∆ε e. (4.6). Donde:. ∆ε = incremento de deformación 31.

(42) ICIV 200510 01. Los esfuerzos son:. {∆σ } = [D ep ]{∆ε }. (4.7). Donde:. [Dep]. = matriz de elasto-plasticidad del medio. Según la teoría de la plasticidad, se tiene en el cálculo incremental:. ⎡ ∂F ⎤ ⎢⎣ ∂σ ⎥⎦ {∆σ } = 0 T. ∆ε p = λ. (4.8). ∂F ∂σ. (4.9). Donde la matriz de elasto-plasticidad es:. [Dep ] = [D e ]− [D p ]. (4.10). p Utilizando el criterio de Mohr-Coulomb, se obtiene la matriz [ D ] siguiente para las. deformaciones:. ⎡ H12 [D p ] = H 4 ⎢⎢H 1H 2 ⎢ H1H 3 ⎣. H1H 2 H22 H2H3. H 1H 3 ⎤ ⎥ H 2 H3 ⎥ H 32 ⎥⎦. (4.11). Donde:. E. H1 =. 2(1 − 2υ )(1 + υ ). H2 =. E. 2(1 − 2υ )(1 + υ ). senϕ +. E 2(1 + υ ). senϕ −. E 2(1 + υ ). σx −σ y. (σ x − σ y ). 2. + 4τ xy. σx −σy. 2. (σ x − σ y )2 + 4τ xy2. (4.12a). (4.12b). 32.

(43) ICIV 200510 01. H3 = H4 =. E 2(1 +υ ). 2τ xy. (σ x − σ y ). 2. + 4τ xy. 2. 1. E Esenϕ + 2(1 + υ ) 2(1 − 2υ )(1 + υ ). (4.12c). (4.12d). 4.3 SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES El sub-programa RESO soluciona el sistema de ecuaciones mediante el método de Khaletsky, el cual es un método directo para resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales. Las ecuaciones a resolver en forma matricial son:. [K ]{δ } = {F}. (4.13). Donde:. [K ] = matriz de rigidez de la estructura {F} = fuerzas nodales externas {δ } = desplazamientos desconocidos de los nodos 4.4 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS El sub-programa SIGMA calcula los esfuerzos totales, los esfuerzos efectivos y las presiones de poros en cada elemento. La ecuación (4.3) da:. {∆σ } = [Du ][B]{∆δ }. (4.14). Una vez los esfuerzos totales son conocidos, se puede calcular la presión de poros, con ayuda de la ley de Skempton Se tiene:. ∆U = B[∆σ 3 + A(∆σ1 − ∆σ 3 )]. 33.

(44) ICIV 200510 01. Los coeficientes A y B son calculados por el sub-programa NONLIN, luego se calculan las presiones intersticiales u a y uw. La presión del aire ua no puede ser superior a uamax, en tal caso tomaría el valor siguiente:. u a max =. 1 − Sr0 + HSr0. HSr0. u a0. (4.15). Donde: Sr 0 = grado de saturación inicial H = coeficiente de Henry Si ua es igual a uamax, el volumen del aire desaparece instantáneamente, pues se produce un asentamiento importante y súbito. Este fenómeno se conoce como hundimiento (colapso). El medio se vuelve saturado. En determinados suelos, este fenómeno se produce al atrofiarse las conexiones que existen en la estructura de los granos. 4.5 CRITERIO DE RUPTURA Y MÓDULO PLÁSTICO El sub-programma RUPTUR, evalúa la presencia de la ruptura. El criterio de falla utilizado es el criterio de Mohr-Coulomb. Para un elemento sujeto a un estado de esfuerzos cualquiera, la ruptura se produce si uno de los tres círculos de Mohr corta la envolvente de esfuerzos gráfico 4.1.. 34.

(45) ICIV 200510 01. Gráfico 4.2, Modelo de Mohr-Coulomb. La ley de Mohr-Coulomb es un criterio bidimensional, es decir, que es esfuerzo intermedio σ 2 no desempeña ningún papel. Ésta ley se escribe, en función de los esfuerzos efectivos:. F=. (σ 'y − σ x' )2 + 4τ xy' 2 − (σ 'x + σ 'y )senϕ − 2 ⋅ c ⋅ cos ϕ = 0. (4.16a). En esfuerzos principales queda:. F = (σ1' − σ 3' ) − (σ 1' + σ 3' )senϕ − 2 ⋅ c ⋅ cos ϕ = 0. (4.16b). Donde c es la cohesión y ϕ el ángulo de fricción interna. En el caso de un suelo sobreconsolidado, los dos parámetros c y ϕ cambian en función de la relación de vacíos e .. 35.

(46) ICIV 200510 01. El modelo de Mohr-Coulomb permite tener en cuenta las dos condiciones de consolidación: normalmente consolidados y sobreconsolidado. Se calcula para cada elemento y se memoriza su estado de consolidación en cada paso.. 36.

(47) ICIV 200510 01. PROGRAM A TASINI MODIFICADO El programa TASINI, en un principio permitía únicamente simular suelos de tipo arcilloso, calculando en éstos desplazamientos y esfuerzos ante diferentes tipos de cargas. Mediante la modificación realizada, permite simular tres tipos de estratos: Elástico: Corresponde a materiales, en los cuales sólo se tiene en cuenta un módulo de elasticidad y un coeficiente de Poisson constantes. Este tipo de estrato debe ser utilizado en carpetas de rodadura, capas de cemento hidráulico, o bien estratos que contengan una matriz de ligante asfáltico cuyo comportamiento pueda ser simulado de mejor forma mediante elasticidad lineal. Granular: Utilizando los criterios de elasticidad no lineal, descritos en el capítulo 3, éste tipo de estrato simula el comportamiento elástico no lineal del suelo, permitiendo variar el módulo de elasticidad y el coeficiente de Poisson, para las distintas condiciones de carga. Arcilloso: El análisis de este tipo de estratos es el que contenía originalmente el programa TASINI, donde el módulo de elasticidad es variable y el coeficiente de Poisson se mantiene constante. Subrutinas del Programa El programa TASINI, contiene cinco diferentes sub-programas o sub-rutinas, las cuales permiten llevar a cabo los cálculos; MATRIX, crea la matriz de rigidez global de la estructura a partir de matrices de cada elemento, RESO, soluciona el sistema calculando los desplazamientos para cada nodo, SIGMA calcula los esfuerzos y las presiones de poros, RUPTUR, comprueba que el material se mantenga elástico y de alcanzar la plasticidad lo indica, y finalmente NONLIN, la cual ha sido la más trabajada, debido a que es en ésta subrutina donde se calculan y varían los módulos de elasticidad y coeficientes de Poisson de cada elemento, entregando las nuevas características mecánicas que presenta el material en cada paso de carga. Los organigramas de las tres subrutinas más importantes y del programa. 37.

(48) ICIV 200510 01. NONLIN Esfuerzo Plano Tipo. 1. σ=. Simetría Axial. 2. σ x + σ y +υ (σ x + σ y ). σ=. σ x + σ x + σθ 3. 3. C e = f ( Sr , ua ,ψ ). Tipo. Granular. Arcilla. ⎛σ ⎞ ⎟ E ed = m0 ⎜⎜ ⎟ ⎝ Pa ⎠. 9Ga ( p / p a ) E= 2 3 + (Ga / K a ) 1 − β ( q / p ) 1− n. (. (. 3 / 2 − (Ga / K a ) 1 − β ( q / p ) υ= 2 3 + (Ga / K a ) 1 − β (q / p ). (. 2. ). ). E=. (1 + υ )(1 − 2υ ) E 1− υ. 1. B=. m1. 1+ n. ed. Cf =. Ce Cf. 3(1 − 2υ ) E. ). χ2. ⎛ Sr − χ1 ⎞ ⎟⎟ χ = ⎜⎜ ⎝ 1 − χ1 ⎠. pF = pF0 + ∆pF. ψ = γ w10 pF 38.

(49) ICIV 200510 01. MATRIX. Inicialización de Matrices. Cierre en los elementos NONLIN Cálculo de las. Cálculo de la matriz. Características. de elasticidad [D]. 1. NTYP. 2. Deformación Plana. Isotrópico. Simetría de Revolución. 1. Ex / Ey. ≠1. ETA. 1. Anisotrópico. Plástico. Elástico e. Calculo de [D]. 0. p. Calculo de [D]. [D]ep Cálculo de [B] Cálculo de matrices de rigidez [K] y ensamblaje 39. Retorno.

(50) ICIV 200510 01. SIGMA {∆σ }= [Du ][B]{∆δ } NONLIN. Eu ,υu , B, χ ,ψ. ∆U1 = B[∆σ3 + A(∆σ1 − ∆σ3 )]. εv =. σ oct ku. Ut 2 = Ut 1 + ∆U ∆n = ε v (1 − n ). {σt 2} = {σ t1}+ {∆σ} RUPTUR. nt 2 = nt1 + ∆n. {σ '}= {σ }− {U } u a = f ( Sr, H , u a0, n) u amax = f ( Sr, H , ua 0). u w = u a −ψ. No. u a ≥ u amax. Srt2 = Srt1. Sí. nt1 nt 2. ua = 0 uw = p Sr = 100%. Retorno 40.

(51) ICIV 200510 01. TASINI. Condiciones. Lectura de Nodos. de Frontera. Condiciones de Carga. Iteración 1. Incremento de carga ∆F. 1. MATRIX Creación de Matrices [Du], [B], [K]. 5. NONLIN Cálculo de las características. 2. RESO Solución de Ecuaciones [K]{∆δ}={∆F}. 3. SIGMA. Deformaciones. Esfuerzos Totales. {∆ε}=[B]{δ}. Presiones Intersticiales. {∆σ}=[Du] [B]{∆δ}. ∆U=B[∆σ 3 +A(∆ σ1 - ∆ σ3)]. 4. RUPTUR Impresión de Resultados. Verificación a la falla. 41.

(52) ICIV 200510 01. ENMALLADOR El programa ENMALLADOR escribe el archivo de entrada para el programa TASINI MODIFIC ADO, la malla que entrega el programa numera los nodos y elementos según la figura 5.1, donde i corresponde al número de elementos en los que se divide el espacio horizontalmente, i =. X. dx ,. j al número de elementos en los que se. divide el espacio en dirección vertical, j = Y dy . La numeración de los nodos se debe conocer con anterioridad para poder ubicar las cargas adecuadamente en los nodos donde se desee.. Figura 5.1, Organización y Numeración de nodos y elementos. 43.

(53) ICIV 200510 01. Manejo del programa Enmallador El programa, pregunta paso a paso, la geometría y las características físicas de los materiales del problema. Todas las dimensiones se deben dar en cm, las 2 3 cargas en Kg, los esfuerzos en Kg/cm , y el peso específico en Kg/cm .. Inicialmente se deben introducir las dimensiones y características generales del problema:. DIMENSION EN X_: Corresponde a la dimensión total del suelo en la dirección x. DIMENSION EN Y_: Corresponde a la dimensión total del suelo en la dirección y. NUMERO DE ITER ACIONES_: Es el número de pasos de carga que se desea simular. NUMERO DE NODOS CON CARGA_: Es el número de nodos a los cuales se les va a aplicar carga. 44.

(54) ICIV 200510 01. TIPO DE PROBLEMA<1->DEF. PL AN A,2->AXISIMETRICO<_: Se debe escoger una de las dos opciones de solución, el número 1 corresponde a una solución de deformación plana, el 2 corresponde a una solución axisimétrica o geometría de revolución. NUMERO DE ESTRATOS_: Corresponde al número de estratos o capas de diferentes materiales que conforman el suelo. Para suelos blandos se deben conocer las siguientes características:. 45.

(55) ICIV 200510 01. PROFUNDIDAD DEL ESTRATO_: Es la profundidad hasta la cual llega el estrato de suelo, medida desde la superficie. ANCHO DY_: Corresponde a ancho del elemento para el enmallado en el estrato. TIPO DE SUELO:1->BL ANDO,2->GRANULAR,3->LINEAL ELASTICO 1 para suelos arcillosos o suelos blandos, 2 para arenas y gravas o suelos granulares, 3 para carpetas de rodadura o capas que tengan un comportamiento elástico-lineal. PESO ESPECÍFICO_: Corresponde a la densidad del material en el estrato. MODULO DE EL ASTICID AD EDOMETRICO_: Módulo de elasticidad del material obtenido a través de una prueba edométrica. COEFICIENTE DE POISSON_: El coeficiente de Poisson del material del estrato. POROSIDAD_: Porosidad del material. CONSTANTE m0 PAR A H ALLAR EL MODULO EDOMETRICO_: Constante. m0 del material, correspondiente a la fórmula (3.37). CONSTANTE m1 PAR A H ALLAR EL MODULO EDOMETRICO_: Constante. m1 del material, correspondiente a la fórmula (3.37). COEFICIENTE A DE SKEMPTON_: Coeficiente de Skempton A, correspondiente a la fórmula (3.53). 46.

(56) ICIV 200510 01. COEFICIENTE DE ANISOTROPIA_: Denota la anisotropía del material, 1 corresponde a un material isotrópico, el coeficiente se puede calcular como. Ex. Ey. ANGULO DE FRICCIÓN_: Angulo de fricción del material. COHESIÓN_: Cohesión del material. CONSTANTE DE SUCCIÓN PH0_: Corresponde a la constante ψ 0 , para calcular la succión, en la fórmula (3.26). CONSTANTE DE SUCCIÓN PH1_: Corresponde a la constante ψ 1 , para calcular la succión, en la fórmula (3.26). CONSTANTE DE SUCCIÓN PH2_: Corresponde a la constante ψ 2 , para calcular la succión, en la fórmula (3.26). GRADO DE SATURACION_: Grado de saturación del material, entre 0 y 1, donde 1 es saturado. CONSTANTE X1 PAR A EL COEFICIENTE DE BISHOP_: Corresponde a la constante χ1 , para calcular el coeficiente de Bishop en la fórmula (3.73c). CONSTANTE X1 PAR A EL COEFICIENTE DE BISHOP_: Corresponde a la constante χ 2 , para calcular el coeficiente de Bishop en la fórmula (3.73c).. 47.

(57) ICIV 200510 01. Para suelos granulares, se deben conocer las siguientes características:. CONSTANTE GA_: Corresponde a la constante Ga de la fórmula (3.48), para calcular el módulo de elasticidad y coeficiente de Poisson del material granular. CONSTANTE KA_: Corresponde a la constante K a de la fórmula (3.48), para calcular el módulo de elasticidad y coeficiente de Poisson del material granular. CONSTANTE N_: Corresponde a la constante n de la fórmula (3.48), para calcular el módulo de elasticidad y coeficiente de Poisson del material granular. 48.

(58) ICIV 200510 01. ESFUERZO DE CONSOLIDACIÓN_: Corresponde al esfuerzo de consolidación inicial σ c del material del estrato. Si el material se comporta con elasticidad lineal, se deben conocer las siguientes características:. Una vez se han definido las dimensiones de los estratos, y sus materiales, se procede a introducir las cargas aplicadas al problema:. 49.

(59) ICIV 200510 01. NODO: Corresponde al nodo para al cual se le aplicará la carga. El número que corresponde al nodo se debe conocer previamente, guiándose mediante la figura 5.1. CARGA EN X:. CARGA EN Y: Los signos que representan la dirección de las. cargas son concurrentes con los ejes de la figura 5.1. En el caso axisimétrico, se debe aplicar una carga distribuida triangular. Debido a que el eje de simetría se encuentra en el eje de las ordenadas, para x = 0, la fuerza aplicada debe ser calculada mediante la siguiente fórmula:. Fy =. (∆x)2 4. σ. Fy = ∆x(2πρ)σ. ρ =0 ρ >0. Figura 5.2, Distribución de carga, caso axisimétrico. Donde:. σ = esfuerzo que se desea aplicar ρ = radio o distancia desde el eje de rotación hasta el nodo cargado. 50.

(60) ICIV 200510 01. Finalmente, para cada incremento de carga, se define el factor que multiplica la carga total.. Este incremento se acumula en cada iteración, por lo tanto para el caso de la figura anterior, para la iteración 5, se estará simulando el 100% de la carga aplicada. Las condiciones de frontera del problema y la numeración de los nodos y elementos quedan por defecto como se puede ver en el siguiente ejemplo gráfico:. 51.

(61) ICIV 200510 01. Figura 5.3. Ejemplo de numeración de nodos y elementos Se restringe el movimiento en la dirección x para los bordes verticales, x e y, para el borde horizontal inferior. Finalmente el enmallador escribe el archivo de entrada del programa MALLA.DAT.. 52.

(62) ICIV 200510 01. PRUEBAS Y SIMULACIONES. Para revisar el programa, se realizaron comparaciones de los resultados entregados por el programa contra ABAQUS, para problemas sencillos de elasticidad lineal, en todos los casos se utilizó un E = 350 Kg/cm 2, υ = 0.3; en caso de deformación plana, tanto para una carga puntual como para una carga distribuida. A su vez se comprueba el caso axisimétrico. Los resultados obtenidos se presentan a continuación. Deformación Plana : En deformación plana se trabajaron dos tipos de problemas, carga puntual y carga distribuida, como lo expone la figura siguiente:. Figura 6.1. Prob lemas evaluados para deformación plana. 53.

(63) ICIV 200510 01. En el caso de la carga puntual se encontraron los siguientes resultados de desplazamiento:. Figura 6.2. Resultados ob tenidos para la carga puntual, Negro-Estado original, Rojo-TASINI, Azul-ABAQUS.. Puede verse claramente como, se presentan diferencias considerables entre los programas, principalmente en los nodos cercanos al punto de aplicación de la carga. Estas diferencias se presentan debido a la singularidad que causa la carga puntual, en su punto de aplicación, sin embargo para el resto de los nodos se puede concluir que los resultados son similares y aceptables. 54.

(64) ICIV 200510 01. En el caso de la carga distribuida se encontraron los siguientes resultados de desplazamiento:. Figura 6.3. Resultados ob tenidos para la carga distribuida, Negro-Estado original, Rojo-TASINI, Azul-ABAQUS.. Para este caso, el comportamiento de los programas es más similar. La carga se encuentra distribuida por lo tanto, la singularidad de igual forma se distribuye evitando así diferencias drásticas en los resultados obtenidos.. 55.

(65) ICIV 200510 01. Simetría de Revolución: Para el caso axisimétrico, se trabajó una carga distribuida como la del siguiente gráfico:. Figura 6.4. Prob lema evaluado para simetría de revolución. 56.

(66) ICIV 200510 01. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:. Figura 6.5. Resultados ob tenidos para la carga distribuida, Negro-Estado original, Rojo-TASINI. En el caso de simetría de revolución, aunque el esfuerzo aplicado es muy similar, los desplazamientos encontrados son menores, y se concentran de una mejor manera en la zona de aplicación de la carga.. 57.

(67) ICIV 200510 01. Se pretende comprobar el funcionamiento de la siguiente estructura descrita por la figura 6.6 y la tabla 6.1.. Concreto hidráulico. H1 = 26 cm. Base asfáltica. H2 = 5 cm. Suelo Cemento. H3 = 20 cm. Material Granular. H4 = 30 cm H5 = infinito. Subrasante. Figura 6.6. Estructura a evaluar. Tabla 6.1, Características de los materiales E (MPa). υ. 30000. 0.25. Base as fáltica. 4000. 0.30. Suelo – cemento. 2000. 0.25. Material Granul ar. Variable. Variable. Subrasante. Variable. 0.35. Mate rial Concreto hidráulico (MR = 50). El problema se trabaja en deformación plana, el esfuerzo aplicado será de 93 2 2 Kg/cm , en un área total de 140 cm , lo cual corresponde a una carga total de 13000. Kg. Las características del material granular y subrasante, se toman a partir de valores típicos anteriormente mencionados. Se toma un dimensión total en x de 200 cm, y una dimensión total en y de 131 cm.. 58.

(68) ICIV 200510 01. La geometría de los elementos por estrato se presenta en la siguiente tabla: Tabla 6.2, Geometría de los elementos por estrato.. ∆x (cm). ∆y (cm). Concreto hidráulico (MR = 50). 10. 2. Base as fáltica. 10. 1. Suelo – cemento. 10. 2. Material Granul ar. 10. 3. Subrasante. 10. 5. Mate rial. Los resultados obtenidos se presentan a continuación: 140 120 100 80 60 40 20 0 0. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 140. 160. 180. 200. Gráfico 6.1 Desplazamientos de los nodos. Para una mejor visualización de los resultados, los desplazamientos están aumentados en una escala de 1:10. Puede verse como los nodos superiores que corresponden a los materiales más rígidos, mantienen la distancia entre ellos, mientras que los nodos del estrato arcilloso son lo que más se desplazan causando que toda la estructura baje. 59.

(69) ICIV 200510 01. Gráfico 6.2 Esfuerzos en x. Gráfico 6.3 Esfuerzos en y. Los esfuerzos más altos son recibidos por las capas superiores, siendo éstas más rígidas, no se deforman igual que las capas inferiores, las cuales aunque son sometidas a menores esfuerzos, sufren mayores deformaciones. En las fronteras laterales se presentan unos concentradores de esfuerzo los cuales no deben ser tomados en cuenta ya que son causados por las restricciones de no desplazamiento en al dirección x.. 60.

(70) ICIV 200510 01. CONCLUSIONES. •. Se ha logrado desarrollar una herramienta de cálculo de gran utilidad en el diseño de pavimentos, incluyendo en ésta criterios que los programas comerciales de elementos finitos no contienen.. •. Aún cuando el programa logra incluir muchas características típicas de un suelo no saturado, se limita a modelos matemáticos, lo cual es una simple aproximación que busca simular la realidad sin ser necesariamente la mejor. Por lo tanto el programa podrá igualmente ser modificado en un futuro para incluir nuevas metodologías de cálculo.. •. La aplicación real y detallada de este tipo de análisis se ve limitada por los datos de entrada del problema. Debido a que se requiere de una gran cantidad de datos, es necesario por lo tanto, acudir a muchos experimentos para medir las propiedades en cada material que demanda el programa. Aunque dentro del marco teórico del proyecto se incluyen algunos valores típicos de las propiedades de los materiales, e incluso algunas fórmulas empíricas que aproximan los valores reales, el mejor análisis se alcanza al utilizar propiedades medidas en el laboratorio a partir de muestras del material a utilizar.. •. El programa presenta un post-proceso muy débil, todos los resultados son entregados en un archivo de texto, a partir de cual se hace tedioso analizar los resultados. Una mejora importante se debe llevar a cabo en un futuro es trabajar en un post-procesador que mediante una interfase gráfica permita analizar los resultados obtenidos de una mejor manera. 61.

(71) ICIV 200510 01. Anexo A Código Programa TASINI RUTINA TASINI C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C. ****************************************************************** * * * * * PROGRAMA TASINI * * * * * ****************************************************************** * * * PROGRAMA DE CALCULO DE DEFORMACIONES EN UN MEDIO NO SATURADO * * * * POROSO POR EL METODO DE ELEMENTOS FINITOS * * * * * * AUTOR : EROL SEKER * * VESION: 2005 * * * ****************************************************************** * * * NELEM = NUMERO DE ELEMENTOS * * * * NPOINT = NUMERO DE NODOS * ****************************************************************** PARAMETER (IE=1602,IPO=1685,JPO=3370). C C DIMENSION DE COMMON C C IE=NELEM+2 C IPO=NPOINT+4 C JPO=2*IPO C ****************************************************************** C COMMON/LIST1/NELEM,NPOINT,ITMAX,ICHAR,NTYP COMMON/LIST2/X(IPO),Y(IPO),NE(IPO,4),NP(IE,4),ASK(IE) COMMON/LIST4/PH0(IE),PH1(IE),PH2(IE),SR0(IE),AKP1(IE) 1 ,AKP2(IE),OCR(IE),SIGC(IE),DEMOD COMMON/LIST3/ED(IE),BNU(IE),AN0(IE),AN(IE),AED(IE),BED(IE) COMMON/LIST5/SIGX(IE),SIGY(IE),SIGXY(IE),SIGTX(IE),SIGTY(IE), 1 SIGTXY(IE),UA0(IE),UA1(IE),UW(IE),P(IE),P1(IE) COMMON/LIST6/FOR(JPO),ICLX(IPO),ICLY(IPO),DEPX(IPO),DEPY(IPO) 1 ,BD1(IE,4,6),BD2(IE,4,6),EK(JPO,JPO) COMMON/LIST7/EXEY(IE),EPSV(IE),FU(IE),FORT(IE),ETA(IE),FI(IE), 1 CO(IE) C =================================================================. 62.

(72) ICIV 200510 01 C DIMENSION FX(IPO),FY(IPO),DEPTX(IPO),DEPTY(IPO) C C C C C C C. ================================================================= ASPECTOS GENERALES ================================================================= I - ASPECTOS GEOMETRICOS. IP=5 IW=6 OPEN(IW,FILE='DATOS_MALLA.TXT') WRITE(IW,260) OPEN(IP,FILE='MALLA.DAT') READ(IP,101)NELEM,NPOINT,ITMAX,ICHAR,NTYP WRITE(IW,257) 257 FORMAT(/,10X,18('*'),/,10X,'ASPECTOS GENERALES',/,10X,18('*')) WRITE(IW,250) 250 FORMAT(/,8X,'NELEM NPOINT ITMAX ICHAR NTYP',/) WRITE(IW,201)NELEM,NPOINT,ITMAX,ICHAR,NTYP 101 FORMAT(10I5) 201 FORMAT(5X,10I10) DEMOD=0.000 IF(ITMAX.LT.0) DEMOD=1.000 ITMAX=ABS(ITMAX) WRITE(IW,251) 251 FORMAT(/,13X,'NO X Y ICLX ICLY',/) DO 1 I=1,NPOINT C READ(IP,102)N,X(N),Y(N),NE(N,1),NE(N,2),NE(N,3),NE(N,4), C 1 ICLX(N),ICLY(N) READ(IP,102)N,X(N),Y(N),ICLX(N),ICLY(N) C WRITE(IW,202)N,X(N),Y(N),NE(N,1),NE(N,2),NE(N,3), C 1 NE(N,4),ICLX(N),ICLY(N) WRITE(IW,202)N,X(N),Y(N),ICLX(N),ICLY(N) 102 FORMAT(I10,2F10.3,8I5) 202 FORMAT(5X,I10,2F10.3,15I5) 1 CONTINUE WRITE(IW,252) WRITE(IW,253) WRITE(IW,254) 252 FORMAT(/,8X,'NO-EL I1 I2 I3 I4') 253 FORMAT(8X,'E-EDO NU N AED BED A EX:EY PHI C') 254 FORMAT(8X,'PH0 PH1 PH2 SR0 AKP1 AKP2',//) DO 2 I=1,NELEM READ(IP,101)N,NP(N,1),NP(N,2),NP(N,3),NP(N,4) WRITE(IW,201)N,NP(N,1),NP(N,2),NP(N,3),NP(N,4) C C ASPECTOS MECANICOS C C READ(IP,103)ED(N),BNU(N),AN(N),AED(N),BED(N),ASK(N),EXEY(N), 1 FI(N),CO(N) WRITE(IW,203)ED(N),BNU(N),AN(N),AED(N),BED(N),ASK(N),EXEY(N). 63.

(73) ICIV 200510 01 1 ,FI(N),CO(N) 103 FORMAT(7F10.3,2F5.2) 203 FORMAT(5X,10F10.3) AN0(N)=AN(N) C C C C C C. C C. ================================================================= CALCULO DEL ESFUERZO DE PRECONSOLIDACION ================================================================= SIGC1=ED(N)/AED(N) SIGC(N)=SIGC1**(1./BED(N)) ASPECTOS HIDRAULICOS. READ(IP,103)PH0(N),PH1(N),PH2(N),SR0(N),AKP1(N),AKP2(N) WRITE(IW,203)PH0(N),PH1(N),PH2(N),SR0(N),AKP1(N),AKP2(N) 2 CONTINUE C ================================================================= C MEMORIZANDO ELEMENTOS VECINOS C ================================================================= C DO 6 I=1,NPOINT N1=0 N2=0 N3=0 N4=0 DO 7 J=1,NELEM I1=NP(J,1) I2=NP(J,2) I3=NP(J,3) I4=NP(J,4) IF(I.EQ.I1) N1=J IF(I.EQ.I3) N2=J IF(I.EQ.I4) N3=J IF(I.EQ.I2) N4=J NE(I,1)=N1 NE(I,2)=N2 NE(I,3)=N3 NE(I,4)=N4 7 CONTINUE WRITE(IW,201)I,NE(I,1),NE(I,2),NE(I,3),NE(I,4) 6 CONTINUE C C FUERZAS C IF(ICHAR.EQ.0) GOTO 700 WRITE(IW,255) 255 FORMAT(/,9X,'PUNTO No. FUERZA EN X FUERZA EN Y',/) DO 3 I=1,ICHAR READ(IP,102)N,FX(N),FY(N) WRITE(IW,202)N,FX(N),FY(N) 3 CONTINUE WRITE(IW,256). 64.

(74) ICIV 200510 01 256. FORMAT(/,9X,'FACTOR DE MULTIPLICACION DE CARGA',/) IBAS=0 DO 5 INCR=1,2 IF (INCR.EQ.2) IBAS=10 READ(IP,103)(FORT(IBAS+ITM),ITM=1,ITMAX) WRITE(IW,203)(FORT(IBAS+ITM),ITM=1,ITMAX) 5 CONTINUE WRITE(IW,258) 258 FORMAT(/,10X,8('*'),/,10X,'RESULTADOS',/,10X,8('*'),/) 700 CONTINUE 600 CONTINUE IT=1 100 CONTINUE C C ================================================================= C CALCULO POR ETAPAS DE DIQUES DE TIERRA C C ================================================================= C C CALL DIGUE(IT,NPOINT,NELEM,GAMA) C ================================================================= C DO 4 I=1,NPOINT DFX=FX(I)*FORT(IT) DFY=FY(I)*FORT(10+IT) C ATENCION 10+ITMAX =,< IE C ================================================================= K=2*I-1 K1=K+1 FOR(K)=DFX FOR(K1)=DFY 4 CONTINUE C C ================================================================= C CALCULO POR INCREMENTALES C C CALL MATRIX(IT) C CALL RESO C CALL SIGMA C ================================================================= C C IMPRESION DE RESULTADOS C WRITE(IW,204)IT 204 FORMAT(5X,//,' ITER NO :=',I5) WRITE(IW,205) 205 FORMAT(5X,///,' NO X-DEP Y-DEP 1 PRESION FUERZA-X FUERZA-Y',//) DO 90 I=1,NPOINT N1=NE(I,1). 65.

(75) ICIV 200510 01 N2=NE(I,2) N3=NE(I,3) N4=NE(I,4) C1=1.00 IF(N1.EQ.0) C1=0.00 C2=1.00 IF(N2.EQ.0) C2=0.00 C3=1.00 IF(N3.EQ.0) C3=0.00 C4=1.00 IF(N4.EQ.0) C4=0.00 CP=C1+C2+C3+C4 CP=1.00/CP NL1=NELEM+1 IF(N1.EQ.0) N1=NL1 IF(N2.EQ.0) N2=NL1 IF(N3.EQ.0) N3=NL1 IF(N4.EQ.0) N4=NL1 N=CP*(P1(N1)+P1(N2)+P1(N3)+P1(N4)) DEPTX(I)=DEPTX(I)+DEPX(I) DEPTY(I)=DEPTY(I)+DEPY(I) WRITE(IW,206)I,DEPTX(I),DEPTY(I),PN,FOR(2*I-1),FOR(2*I) 206 FORMAT(5X,I5,5X,E10.4,5X,E10.4,5X,E10.4,5X,E10.3,5X,E10.3) 90 CONTINUE WRITE(IW,207) 207 FORMAT(//,5X,' NO-EL SIGTX SIGTY SIGTXY SIGT 1 TXZ UA UW P SR E ETA' 2 ,//) DO 51 I=1,NELEM EN=AN(I)/(1.-AN(I)) IF(ETA(I).EQ.1.00) GOTO 301 WRITE(IW,208)I,SIGTX(I),SIGTY(I),SIGTXY(I),SIGXY(I), 1 UA1(I),UW(I),P1(I),SR0(I),EN 208 FORMAT(5X,I10,9F10.3,5X,'ELASTICO') GOTO 302 301 CONTINUE WRITE(IW,209)I,SIGTX(I),SIGTY(I),SIGTXY(I),SIGXY(I), 1 UA1(I),UW(I),P1(I),SR0(I),EN 209 FORMAT(5X,I10,9F10.3,15X,'PLASTICO') 302 CONTINUE 51 CONTINUE IT=IT+1 IF(IT.LE.ITMAX) GOTO 100 C PARA DIBUJAR LAS DEFORMACIONES WRITE(IW,111) 111 FORMAT(/,13X,'NO X Y DEPTX DEPTY',/) DO 900 I=1,NPOINT WRITE(IW,105)I,X(I),Y(I),DEPTX(I),DEPTY(I) 105 FORMAT(I10,2F10.4,2E15.4) 900 CONTINUE C DO 901 I=1,NELEM C WRITE(IW,101)I,NP(I,1),NP(I,2),NP(I,3),NP(I,4). 66.