Modelo y herramienta de cálculo para el análisis de riesgo en taludes utilizando simulaciones de Monte Carlo

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taludes  utilizando  simulaciones  de  Monte  Carlo  

Roberto  J.  Camargo  R.  1  

Universidad  de  los  Andes,  Bogotá,  Colombia    

Resumen  

El  análisis  de  riesgo  en  la  estabilidad  de  taludes  es  un  desafío  para  el  campo  de  la  ingería   civil   debido   a   las   implicaciones   en   la   seguridad   humana   y   la   calidad   de   vida.   En   este   artículo  se  presenta  un  modelo  y  una  herramienta  formulados  para  determinar  el  riesgo   asociado   a   un   talud.   El   objetivo   es   proporcionar   tanto   un   modelo   teórico   como   una   herramienta  operativa  de  aplicación  simple  que  permita  asociar  un  riesgo  aproximado  a   un   sistema   específico.   Para   el   desarrollo   de   este   modelo   se   estudió   y   se   encontró   una   manera   aproximada   de   modelar   la   variabilidad   presente   en   los   parámetros   del   suelo.   Este   proceso   incluye   el   ajuste   de   cada   parámetro   a   una   distribución   de   probabilidad   Log-­‐Normal.  A  partir  de  esto  se  puede  realizar  un  análisis  de  equilibrio  límite,  en  este   caso,  el  de  falla  circular  ideado  por  Bishop,  para  cada  grupo  de  datos.  Al  realizar  estas   simulaciones   de   Monte   Carlo,   se   puede   determinar   la   probabilidad   de   falla   para   cada   sistema.   Después   de   realizar   el   análisis   de   sensibilidad   pertinente   se   compararon   los   resultados  con  los  obtenidos  por  Escobar  y  Valencia  (2012).  Se  encontró  una  diferencia   del  9%  entre  los  dos  modelos  de  cálculo.  Esta  herramienta  desarrollada  realizar  análisis   simples   respecto   a   riesgo   en   taludes   y   de   esta   manera   registrar   amenazas   de   manera   oportuna.  

 

1.  Introducción  

En   los   últimos   años   se   han   logrado   avances   importantes   en   cuanto   a   la   variabilidad   inherente   presente   en   los   suelos.   La   principal   causa   de   este   fenómeno  es    el  proceso  de  deposición  en  suelos  (Lacasse  &  Nadim,  1996).  Por   esta   razón,   los   métodos   tradicionales   de   análisis   de   estabilidad   de   taludes,   los   cuales  dan  un  resultado  determinístico,  deben  ser  modificados,  para    que  dichos   modelos  puedan  tener  una  mejor  capacidad  predictiva.  Es  claro  que  los  efectos   de   estas   variaciones   son   importantes   (Wang,   Cao,   &   Au,   2010),   por   lo   que   es   necesario  tenerlas  en  cuenta  dentro  de  un  marco  probabilístico,  en  el  cual,  esta  

                                                                                                               

1  Trabajo presentado como proyecto de grado para optar al título de Ingeniero Civil. rj.camargo561@uniandes.edu.co

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incertidumbre   sea   considerada   de   una   manera   más   sistemática   (Chowdhury   &   Rao,   2010).   Actualmente,   esta   variabilidad   se   estima   por   medio   de   juicios   personales,   basados   en   la   experiencia,   lo   cual   lleva   a   tomar   decisiones   conservadoras   (Schweiger,   Thurner,   &   Pottler,   2001).   Estos   juicios   subjetivos   han  generado  la  necesidad  de  realizar  análisis  probabilístico  de  taludes,  ya  que   se   tienen   incertidumbres   grandes   al   momento   de   modelar   los   parámetros   del   suelo  (Rubio,  Hall,  &  Anderson,  2004).  Es  posible  que  en  Colombia  el  fenómeno   observado  por  Schweiger,  Thurner  y  Pottler  (2001)  se  agudice  más  que  en  otras   partes   del   mundo   debido   a   la   falta   de   herramientas   y   tecnología   en   campo   disponible   para   este   tipo   de   análisis.   Aunque   existen   diferentes   métodos   que   incluyen   estas   variaciones   en   los   análisis   de   estabilidad   (Método   del   Segundo   Momento   de   Primer   Orden,   Método   de   Confiabilidad   de   Primer   Orden)   El   método  de  la  Simulación  de  Monte  Carlo  utilizando  métodos  de  equilibrio  límite   (El-­‐Ramly,  Morgenstern,  &  Cruden,  2002)  es  de  los  más  poderosos,  debido  a  su   simplicidad  conceptual  y  a  su  robustez  (Wang,  Cao,  &  Au,  2010).  Es  importante   mencionar   que   el   análisis   probabilístico   se   basa   en   el   supuesto   de   que   cada   parámetro     del   suelo   se   puede   modelar   por   medio   de   una   distribución   de   probabilidad  (Jin,  Um,  Woo,  &  Woo,  2012).  Varios  autores  concuerdan  en  afirmar     que   las   variaciones   presentes   en   las   propiedades   del   suelo   se   pueden   tener   en   cuenta   al   realizar   un   análisis   probabilístico   de   los   problemas   (Johari   &   Javadi,   2012);  (Hidalgo  &  Assis,  2011);  (Leynaud  &  Sultan,  2010)  y  (Cruz,  2012).  

 

Aunque   otros   autores   han   hecho   avances   significativos   en   la   producción   de   herramientas  que  permitan  un  cálculo  rápido  de  la  estabilidad  de  taludes  (Paz,   Taboada,  Rivas,  Giráldez,  &  Araújo,  2011),  aún  no  se  ha  encontrado  registro  de   una  herramienta  sencilla  que  logre  una  noción  aproximada  al  riesgo  asociado  a   un   talud   determinado.   Se   encuentra,   entonces,   que   existe   una   necesidad   en   proporcionar   un   modelo   y   una   herramienta   simple   que   facilite   el   cálculo   del   riesgo  asociado  a  una  ladera.  Para  la  construcción  de  esta  herramienta,  se  utilizó   la   “Simulación   de   Monte   Carlo”,   ya   que   en   los   estudios   realizados   por     Cruz,   (2012)  y  Wang,  Cao  y  Au  (2010),  se  ha  demostrado  que  los  resultados  de  dicho   método   representan   el   comportamiento   mecánico   del   suelo.   Es   evidente   entonces,  la  importancia  de  una  herramienta  de  este  tipo  en  el  país,  debido  a  las  

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características   montañosas   de   Colombia   y   por   el   hecho   de   que   hay   un   número   importante  de  construcciones  que  se  encuentran  cerca  o  en  zonas  propensas  a   deslizamientos   (Córdoba,   Moreno,   Ramírez,   &   Rentería,   2007)   .   Si   se   tiene   en   cuenta   que   aproximadamente   el   90%   de   los   daños   ocasionados   por   deslizamientos  pueden  ser  evitados  con  una  correcta  identificación  del  problema   (Mostajo,  2009)  resulta  que  la  necesidad  de  una  herramienta  que  permita  esta   identificación  es  una  prioridad  de  primer  orden.  

Para   lograr   esta   herramienta   es   necesario   modelar   tanto   la   variabilidad   en   los   parámetros  del  suelo  como  el  mecanismo  de  falla  del  terreno.    

 

2.  Procedimiento  para  elaboración  del  modelo  

A  continuación  se  presenta  un  diagrama  de  flujo  con  el  proceso  utilizado  para  el   desarrollo  del  modelo  2.  

  Gráfica  1.  Diagrama  de  flujo  para  el  modelo  

 

3.  Modelación  de  los  parámetros  del  suelo  

En  este  punto,  para  determinar  el  valor  de  los  parámetros  del  suelo,  es  necesario   realizar,   inicialmente,   un   análisis   estadístico.   Se   debe   encontrar   la   media   muestral  y  la  varianza  de  los  datos.  Con  la  formula  especificada  a  continuación:  

𝜇= 1

𝑛 𝑥!

!

!!!

     (1)  

Sin   embargo,   debido   a   la   falta   de   recursos,   o   de   tecnología   en   las   partes   más   remotas  del  país,  no  es  posible  tomar  un  número  significativo  de  muestras  para   realizar   el   análisis   estadístico   pertinente.   Entonces,   es   necesario   hacer   dos   simplificaciones  en  cuanto  a  la  modelación  de  los  parámetros  del  suelo.  

                                                                                                                2  Código adjunto para su ejecución en MatLab®  

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i. La  media  muestral  se  toma  como  el  valor  del  parámetro  obtenido  de  una   o  pocas  muestras.  

ii. La  varianza  se  calcula  haciendo  uso  del  coeficiente  de  variación  (CoV).   El  coeficiente  de  variación  se  define  como  la  relación  entre  la  media  muestral  de   unos  datos  y  su  correspondiente  varianza  (Cruz,  2012).  Por  lo  tanto,  el  valor  de   varianza   se   obtiene   al   multiplicar   el   valor   medio   del   parámetro   por   su   correspondiente   coeficiente   de   variación.     Algunos   rangos   de   valores   para   los   coeficientes  de  variación  son  presentados  en  la  tabla  1.  Aunque  este  parámetro   se   puede   modificar   fácilmente   en   el   modelo,   los   valores   utilizados   son   presentados  en  la  tabla  2.  

Tabla  1.  Rangos  para  el  coeficiente  de  variación  (Srivastava  &  Babu,  2009)  

   

Tabla  2.  Valores  utilizados  para  el  coeficiente  de  variación  (Sánchez Silva, 2005)  

   

Además  de  lo  anterior,  con  el  valor  de  la  media  y  de  la  varianza,  se  puede  ajustar   una  distribución  normal  a  cada  parámetro.  Sin  embargo,  teniendo  en  cuenta  que   los  parámetros  no  pueden  tomar  valores  negativos,  se  asume  que  los  parámetros   siguen   una   distribución   Log-­‐Normal   (Baecher   &   Christian,   2003).   Para   utilizar   esta   distribución,   es   necesario   realizar   una   transformación     a   los   parámetros,   para  que  se  ajusten  al  espacio  Log-­‐Normal  (Sánchez Silva, 2005).  

𝜎!"#$ =log(𝜎!+1)      (2)  

𝜇!"#$ =log𝜇−𝜎!"#$

2      (3)  

Con   estos   parámetros   es   posible   generar   los   valores   aleatorios   que   siguen   la   distribución   mencionada   anteriormente,   y   de   esta   manera   calcular   el   aspecto   más   importante   de   desempeño   para   el   análisis   de   confiabilidad,   es   decir,   la   probabilidad  de  falla  (pf)  (Srivastava  &  Babu,  2009).  

Propiedad Rango,CoV,(%)

Peso%específico 2,13

Cohesión 6,80

Ángulo%de%fricción 7,20

Propiedad CoV+(%)

Peso%específico 3

Cohesión 12

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4.  Análisis  de  estabilidad  

Existen   diferentes   métodos   para   calcular   la   estabilidad   de   un   sistema   determinado,   hay   métodos   muy   simples   que   se   reducen   a   aplicar   una   sola   ecuación   (Método   del   Arco   Circular)   hasta   métodos   complejos   que   pueden   incorporar  una  superficie  de  falla  arbitraria  (Método  de  Mongenstern-­‐Price).  Con   fines   de   simplificar   el   modelo,   el   método   de   análisis   de   estabilidad,   se   realizó   utilizando  el  método  planteado  por  Bishop,  para  falla  circular  (Bishop,  1954).  El   método   de   Bishop,   asume   que   las   fuerzas   entre   dovelas   es   horizontal,   lo   que   significa   que   no   se   tiene   en   cuenta   la   resistencia   al   corte   entre   las   mismas.   Entonces  en  la  figura  1,  se  presenta  un  esquema  de  las  fuerzas  consideradas  para   cada  dovela.  

 

Figura  1.  Fuerzas  actuantes  sobre  una  dovela  (Duncan  &  Wright,  2005)  

Entonces,  el  sistema  se  vuelve  una  serie  de  segmentos,  y  se  calcula  la  estabilidad   de  cada  uno,  por  lo  tanto  la  estabilidad  del  sistema  es  la  suma  de  la  estabilidad  de   cada  elemento.  

  Figura  2.  Esquema  de  un  sistema  de  falla  circular  (Duncan  &  Wright,  2005)  

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Bishop  presenta  un  método  para  computar  el  factor  de  seguridad  de  un  sistema,   el   cual   representa   la   relación   entre   los   momentos   resistentes   y   los   momentos   actuantes  en  el  sistema,  por  medio  de  la  siguiente  ecuación.  

𝑓𝑠= 𝑐!𝑏+ 𝑊−𝑢𝑏 tan𝜙′ sec𝛼

1+𝑓𝑠1 tan𝜙′tan𝛼 ∗

1

𝑊sin𝛼      (4)  

Debido  a  que  el  factor  de  seguridad  se  encuentra  en  ambos  lados  de  la  ecuación,   para  encontrar  el  valor  verdadero,  es  necesario  realizar  un  proceso  iterativo.  Sin   embargo,  se  ha  logrado  encontrar  que  el  factor  de  seguridad  no  es  una  medida   consistente   del   riesgo,   ya   que   para   valores   iguales   de   factor   de   seguridad   se   puede  encontrar  niveles  de  riesgo  diferentes  (Li  &  Lumb,  1987).  Entonces  para   tener   una   noción   adecuada   del   riesgo,   se   va   a   utilizar   el   margen   de   seguridad   para   evaluar   la   estabilidad   de   un   sistema,   el   cual   representa   la   diferencia   en   magnitud   de   los   momentos   actuantes   y   los   momentos   resistentes   sobre   el   sistema.  El  cálculo  del  margen  de  seguridad  se  hace  de  forma  similar,  

𝑀𝑆= 𝑐!𝑏+ 𝑊−𝑢𝑏 tan𝜙′ sec𝛼

1+𝑓𝑠1 tan𝜙′tan𝛼 − 𝑊sin𝛼      (5)  

Es  importante  mencionar  que  el  volumen  de  cada  dovela  se  simplifico  como  el   producto  entre  su  altura  en  la  mitad,  y  el  ancho  (Duncan  &  Wright,  2005).  Esta   simplificación  es  posible  debido  a  que,  dado  que  las  dovelas  son  relativamente   delgadas,   la   pendiente   de   la   superficie   de   falla   se   puede   aproximar   igual   a   la   superficie  del  talud,  por  lo  tanto  este  cálculo  tiene  como  resultado  un  volumen   cercano  al  valor  real.  

 

5.  Determinación  de  la  superficie  crítica  de  falla  

Para   determinar   la   superficie   de   falla   crítica   se   partió   del   siguiente   supuesto:     esta  superficie  pasa  por  el  pie  del  talud.  Esta  suposición  permite  considerar  que   los  cálculos  necesarios  son  simplificados,  y  por  lo  tanto  el  costo  computacional  se   reduce.  La  razón  de  esto  es  que  debido  al  enfoque  de  aplicación  del  modelo,  la   mayoría  de  sistemas  son  estables  en  la  parte  inferior  del  talud,  ya  sea  por  vías,   poliductos   o   vivienda   construidas   en   esta   zona.   Entonces   el   proceso   para  

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encontrar   la   superficie   de   falla   crítica,   tiene   4   pasos   que   se   describen   a   continuación:  

1) Encontrar  el  radio  del  círculo  que  pasa  por  el  pie  del  talud  y  por  la  cabeza   del  mismo,  con  centro  (0,0).  

2) Aumentar  el  centro  en  cierta  proporción  para  encontrar  un  nuevo  círculo   con  mayor  radio.  

3) Hacer   este   proceso   hasta   obtener   4   círculos,   que   ocupen   la   mayoría   del   espacio  probable  de  falla  para  el  sistema.  Normalmente  se  toma  el  cuarto   círculo   lo   suficientemente   grande,   lo   cual   se   especifica   en   el   aparte   siguiente.  

4) Para  cada  círculo  se  calcula  el  margen  de  seguridad  y  se  toma  como  valor   definitivo  el  menor  entre  todos  los  encontrados.  

Para  los  resultados  presentados  más  adelante,  se  tomaron  círculos  a  20%,  40%  y   80%   más   grandes   que   el   círculo   original.   Un   caso   específico   se   muestra   a   continuación.    

Este   caso   tiene   un   talud   de   altura   igual   a   8   metros,   en   el   cual   se   evidencia   el   tamaño  de  los  círculos.  

 

  Figura  3.  Tamaño  de  las  superficies  de  fallas  seleccionadas  para  una  altura  de  8  metros  

6.  Simulación  de  Monte  Carlo  

Para   la   Simulación   de   Monte   Carlo,   se   encontró   que   el   número   ideal   de   simulaciones  que  genera  un  equilibrio  entre  exactitud  de  los  resultados  y  costo   computacional   fue   de   1.000   iteraciones,   para   llegar   a   este   número   óptimo,   se   hizo  el  proceso  de:  

!1# 0# 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7# 8# 9#

!10# 0# 10# 20# 30# 40# 50# 60# 70# Circulo#1# Talud# Circulo#2# Circulo#3# Circulo#4#

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i. Aumentar  el  número  de  iteraciones  a  10.000.  En  este  caso  el  modelo  toma   seis  veces  el  tiempo  requerido  para  1.000  iteraciones.  

ii. Disminuir   el   número   de   iteraciones   a   100.   Aunque   con   este   número   de   iteraciones   el   modelo   es   confiable,   con   un   número   mayor   de   datos   se   tiene  una  mayor  capacidad  de  predicción.    

 Cada  vez  que  el  modelo  calcula  el  margen  de  seguridad,  lo  realiza  con  diferentes   valores   de   los   parámetros   del   suelo,   los   cuáles   siguen   una   distribución   Log-­‐ Normal.  Entonces  el  cálculo  de  la  probabilidad  de  falla  es  el  número  de  veces  que   el   margen   de   seguridad   es   menor   o   igual   a   cero,   dividido   por   el   número   de   repeticiones  que  realiza  el  modelo.  

   

7.  Análisis  de  Sensibilidad  

Para  comprobar  si  el  modelo  es  adecuado  para  su  aplicación  operativa,  se  realizó   un  análisis  de  sensibilidad  para  cada  uno  de  los  parámetros  del  modelo.  En  este   análisis  se  utilizaron  los  siguientes  casos  hipotéticos.  

Tabla  3.  Casos  hipotéticos  para  análisis  de  sensibilidad  

   

  Gráfica  2.  Análisis  de  sensibilidad  para  el  peso  específico  

h 8 h 15 h 13

beta 3 beta 3 beta 2

hw 4 hw 1 hw 0

Phi 20 Phi 25 Phi 15

C1(kPa) 100 C1(kPa) 20 C1(kPa) 200 γ1(kN/m3) 20 γ1(kN/m3) 22 γ1(kN/m3) 16

C3

C1 C2

0.0%$ 10.0%$ 20.0%$ 30.0%$ 40.0%$ 50.0%$ 60.0%$

16$ 18$ 20$ 22$ 24$ 26$ 28$

Pr

ob

ab

ili

da

d)

de

)Fa

lla

)(%)

)

Peso)Específico)(kN/m3)) Sensibilidad)Peso)Especifico)

C1$ C2$ C3$

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En   primer   lugar,   para   el   peso   específico,   se   observa   que   la   sensibilidad   del   modelo  es  limitada  a  los  cambios  importantes  de  la  propiedad  del  suelo.  

  Gráfica  3.  Análisis  de  sensibilidad  para  el  ángulo  de  fricción  

En  la  Gráfica  3,  el  análisis  muestra  que  para  ángulo  de  fricción  interna  pequeños,   la   probabilidad   de   falla   es   inversamente   proporcional   al   valor   del   ángulo.   Sin   embargo,   para   ángulo   más   grandes,   el   valor   de   la   probabilidad   de   falla   no   muestra  mayores  fluctuaciones.  

  Gráfica  4.  Análisis  de  sensibilidad  para  la  cohesión  del  suelo  

En   la   Gráfica   4,   sucede   algo   muy   similar   a   lo   observado   en   la   Gráfica   3.   Se   evidencia   que   para   valores   pequeños   de   cohesión,   se   tienen   probabilidades   de   falla   mayores.   En   el   caso   de   cohesiones   grandes,   no   se   aprecia   un   cambio   drástico  en  la  probabilidad  de  falla.  

0.0%$ 10.0%$ 20.0%$ 30.0%$ 40.0%$ 50.0%$ 60.0%$ 70.0%$

6$ 11$ 16$ 21$ 26$ 31$ 36$ 41$

Pr

ob

ab

ili

da

d)

de

)Fa

lla

)(%)

)

Ángulo)de)Fricción)

Sensibilidad)Ángulo)de)Fricción)

C1$ C2$ C3$

0.0%$ 10.0%$ 20.0%$ 30.0%$ 40.0%$ 50.0%$ 60.0%$

0$ 200$ 400$ 600$ 800$ 1000$ 1200$

Pr

ob

ab

ili

da

d)

de

)Fa

lla

)(%)

)

Cohesión)(kPa)) Sensibilidad)Cohesión)

C1$ C2$ C3$

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  Gráfica  5.  Análisis  de  sensibilidad  para  la  altura  del  talud  

En  el  caso  de  la  altura,  la  Gráfica  5  muestra  que  el  modelo  no  es  sensible  a  esta.   Una  posible  explicación,  es  que  la  altura  máxima  para  un  sistema  determinado   está   dada   por   el   tipo   de   material   que   lo   compone.   Hay   que   aclarar   que   lo   observado  sucede  para  el  material  del  caso  3,  pero  existe  la  probabilidad  de  que   el  modelo  se  comporte  diferente  para  distintos  tipos  de  material.  

  Gráfica  6.  Análisis  de  sensibilidad  para  la  pendiente  de  la  superficie  del  talud  

En  la  Gráfica  6,  se  puede  determinar  que  el  modelo  es  sensible  a  los  cambios  en   la  pendiente  de  la  superficie  del  talud.  En  este  escenario,  la  probabilidad  de  falla   es  mayor  conforme  aumenta  la  pendiente  del  talud.  

 

20.0%% 25.0%% 30.0%% 35.0%% 40.0%% 45.0%% 50.0%%

0% 50% 100% 150% 200% 250% 300% 350%

Pr

ob

ab

ili

da

d)

de

)Fa

lla

)(%)

)

Altura)del)Talud)(m)) Sensibilidad)Altura)

0.0%$ 10.0%$ 20.0%$ 30.0%$ 40.0%$ 50.0%$ 60.0%$ 70.0%$ 80.0%$ 90.0%$

0$ 10$ 20$ 30$ 40$ 50$ 60$ 70$

Pr

ob

ab

ili

da

d)

de

)Fa

lla

)(%)

)

Pendiente)Talud)(Grados)) Sensibilidad)Pendiente)

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  Gráfica  7.  Análisis  de  sensibilidad  para  el  nivel  freático  

En  último  lugar,  la  Gráfica  6  tiene  un  comportamiento  similar  al  observado  en  la   Gráfica  5.  Entre  mayor  sea  el  nivel  freático,  la  probabilidad  de  falla  es  mayor.  Se   puede   decir,   entonces,   que   la   probabilidad   de   falla   aumenta   si   el   material   se   encuentra  saturado  en  comparación  con  el  mismo  material  en  estado  seco.  

Los  datos  anteriores  muestran  que  el  parámetro  para  el  cual  el  modelo  es  más   sensible,  es  el  cambio  de  pendiente.  De  igual  manera,  entre  las  tres  propiedades   mecánicas   del   suelo   (peso   específico,   ángulo   de   fricción   interna   y   cohesión)   el   ángulo  de  fricción  es  el  que  más  influye  sobre  el  modelo,  seguido  de  cerca  por  la   cohesión  del  suelo.  Por  otra  parte,  el  peso  específico  es  la  propiedad  que  menos   influye  sobre  los  resultados  del  modelo.  

De   igual   manera,   para   todos   los   parámetros,   se   observa   una   variación   importante   cuando   estos   toman   valores   pequeños.   Esto   se   le   puede   atribuir   a   que  la  Simulación  de  Monte  Carlo  no  funciona  de  manera  tan  efectiva  cuando  se   tienen  probabilidades  pequeñas  (Wang,  Cao,  &  Au,  2010).  

 

8.  Comparación  del  modelo  con  otro  modelo  de  cálculo  de  mayor  

complejidad  

Para  determinar  si  el  modelo  se  adapta  bien  a  la  realidad,  se  va  a  comparar  con  el   estudio  realizado  en  la  vía  Medellín-­‐Bogotá    por  Escobar  y  Valencia  (2012).  Este   estudio   se   concentró   en   dos   taludes   encontrados   en   esta   vía   y   su   análisis   de   estabilidad  por  medio  de  la  mayoría  de  métodos  conocidos  en  la  actualidad  como   los   métodos   de   Bishop,   Morgestern-­‐Price   y   Sarma   entre   otros.   El   suelo   encontrado  en  el  K41+500  tiene  un  peso  específico  de  13.6  kN/m3,  cohesión  de  8  

40.0%% 45.0%% 50.0%% 55.0%% 60.0%% 65.0%% 70.0%%

0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16%

Pr

ob

ab

ili

da

d)

de

)Fa

lla

)(%)

)

Nivel)Freá2co)(m)) Sensibilidad)Nivel)Freá2co)

(12)

kPa  y  un  ángulo  de  fricción  de  29  grados  (Escobar  &  Valencia,  2012).  Entonces,   para   una   pendiente   de   aproximadamente   45   grados,   la   probabilidad   de   falla   toma  una  valor  de  81.7%.  

Al  introducir  estos  valores  para  los  parámetros  del  modelo,  el  resultado  arrojado   fue   una   probabilidad   de   falla   del   89.3%.   Teniendo   en   cuenta   que   el   modelo   utilizado   por     Escobar   y   Valencia   (2012)   se   encarga   de   utilizar   métodos   más   avanzados   para   la   determinación   de   la   probabilidad   de   falla,   la   diferencia   de   aproximadamente   9%   entre   los   dos   resultados.   Dependiendo   de   la   tolerancia   que  se  tenga,  análisis  adicionales  pueden  ser  requeridos.    

   

9.  Conclusiones  

En   conclusión,   este   artículo   presenta   un   modelo   teórico   y   una   herramienta   técnica  que  permita  calcular  de  una  manera  simple  la  probabilidad  de  falla  de  un   sistema   determinado.   Como   se   observó   en   la   comparación   del   modelo,   los   valores  arrojados  por  el  mismo  tienden  a  ser  conservadores,  lo  cual  ya  se  había   logrado   demostrar   (Rubio,   Hall,   &   Anderson,   2004)   Sin   embargo,   estos   valores   conservadores   no   se   encuentran   tan   alejados   de   la   realidad,   como   los   encontrados   por   Escobar   y   Valencia   (2012).   Como   se   ha   mencionado   anteriormente,  la  principal  ventaja  de  este  modelo  sobre  otros,  es  la  simplicidad   del  mismo.  Es  importante  mencionar  que  existen  muchos  modelos  para  calcular   el   riesgo   (Estrada,   2013),   pero   pocas   veces   estos   modelos   tiene   en   cuenta   el   comportamiento  mecánico  del  suelo,  a  diferencia  del  modelo  presentado  en  este   artículo.  

Sin   embargo,   este   modelo   tiene   ciertas   limitaciones   que   deben   ser   tenidas   en   cuenta  al  momento  de  su  aplicación.  La  primera  de  ellas  es  la  presión  de  poros.   Al   momento   de   realizar   los   cálculos   se   asumió   una   distribución   lineal   de   las   presiones   en   los   poros   del   suelo.   No   obstante,   se   sabe   que   las   presiones   no   necesariamente  se  distribuyen  de  esta  manera  (Requelme,  2012).    

Se  considera  que  el  modelo  es  útil  en  el  análisis  de  riesgo  en  taludes,  mientras   que  la  herramienta  desarrollada  es  simple  y  puede  lograr  una  mayor  cobertura.    

(13)

10.

 

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(15)

Anexo  1:  Código  para  su  ejecución  en  MatLab®  

clear all

clc

%Se definen todas las propiedades del sistema (altura, pendiente y suelo)

h=20; beta=2;

pp=13.6; c=200; phi=25; hw=20; pw=10;

cfpp=0.03; cfphi=0.12; cfc=0.4;

%Se calculan los volumenes de las dovelas para los 4 circulos con geometria

%basica

deltaXC1=h/tand(beta);

RC1=(deltaXC1^2+h^2)/(2*h);

deltaYC1=-RC1+h;

L1=sqrt(deltaXC1^2+h^2);

angC1=asind(L1*sind(90-beta)/RC1);

beti=angC1/10;

alfasC1=zeros(10,1);

for i=2:10

alfasC1(1)=beti/2; psi=90-beti/2;

alfasC1(i)=180+alfasC1(i-1)-2*psi; end

bC1=RC1*sind(beti)/sind(psi);

AC1=zeros(10,2); AmC1=zeros(10,2); dC1=zeros(10,1); h1C1=zeros(10,1); AreasC1=zeros(10,1);

for i=2:10

AC1(1,1)=bC1*cosd(alfasC1(1)); AC1(1,2)=bC1*sind(alfasC1(1));

(16)

AmC1(1,1)=0.5*AC1(1,1); AmC1(1,2)=0.5*AC1(1,2);

h1C1(1)=AmC1(1,1)*tand(beta)-AmC1(1,2);

dC1(1)=bC1*cosd(alfasC1(1));

AreasC1(1)=dC1(1)*h1C1(1);

AC1(i,1)=bC1*cosd(alfasC1(i))+AC1(i-1,1); AC1(i,2)=bC1*sind(alfasC1(i))+AC1(i-1,2);

AmC1(i,1)=0.5*bC1*cosd(alfasC1(i))+AC1(i-1,1); AmC1(i,2)=0.5*bC1*sind(alfasC1(i))+AC1(i-1,2);

h1C1(i)=AmC1(i,1)*tand(beta)-AmC1(i,2);

dC1(i)=bC1*cosd(alfasC1(i));

AreasC1(i)=dC1(i)*h1C1(i); end

kC2=0.2*RC1; RC2=RC1+kC2;

deltaYC2=deltaYC1;

deltaXC2=sqrt(RC2^2-(deltaYC2-kC2)^2);

L1=sqrt(deltaXC2^2+h^2);

omC2=90-(asind(h/L1));

angC2=asind(L1*sind(omC2)/RC2);

beti=angC2/10;

for i=2:10

alfasC2(1)=beti/2; psi=90-beti/2;

alfasC2(i)=180+alfasC2(i-1)-2*psi; end

bC2=RC2*sind(beti)/sind(psi);

AC2=zeros(10,2); AmC2=zeros(10,2); dC2=zeros(10,1); h1C2=zeros(10,1); AreasC2=zeros(10,1);

for i=2:10

AC2(1,1)=bC2*cosd(alfasC2(1)); AC2(1,2)=bC2*sind(alfasC2(1));

(17)

AmC2(1,1)=0.5*AC2(1,1); AmC2(1,2)=0.5*AC2(1,2);

h1C2(1)=AmC2(1,1)*tand(beta)-AmC2(1,2);

dC2(1)=bC2*cosd(alfasC2(1));

AreasC2(1)=dC2(1)*h1C2(1);

AC2(i,1)=bC2*cosd(alfasC2(i))+AC2(i-1,1); AC2(i,2)=bC2*sind(alfasC2(i))+AC2(i-1,2);

AmC2(i,1)=0.5*bC2*cosd(alfasC2(i))+AC2(i-1,1); AmC2(i,2)=0.5*bC2*sind(alfasC2(i))+AC2(i-1,2); if AmC2(i,1)<deltaXC1

h1C2(i)=AmC2(i,1)*tand(beta)-AmC2(i,2); else

h1C2(i)=h-AmC2(i,2); end

dC2(i)=bC2*cosd(alfasC2(i));

AreasC2(i)=dC2(i)*h1C2(i); end

kC3=0.4*RC1; RC3=RC1+kC3;

deltaYC3=deltaYC1;

deltaXC3=sqrt(RC3^2-(deltaYC3-kC3)^2);

L1=sqrt(deltaXC3^2+h^2);

omC3=90-(asind(h/L1));

angC3=asind(L1*sind(omC3)/RC3);

beti=angC3/10;

for i=2:10

alfasC3(1)=beti/2; psi=90-beti/2;

alfasC3(i)=180+alfasC3(i-1)-2*psi; end

bC3=RC3*sind(beti)/sind(psi);

AC3=zeros(10,2); AmC3=zeros(10,2); dC3=zeros(10,1); h1C3=zeros(10,1); AreasC3=zeros(10,1);

for i=2:10

(18)

AC3(1,2)=bC3*sind(alfasC3(1));

AmC3(1,1)=0.5*AC3(1,1); AmC3(1,2)=0.5*AC3(1,2);

h1C3(1)=AmC3(1,1)*tand(beta)-AmC3(1,2);

dC3(1)=bC3*cosd(alfasC3(1));

AreasC3(1)=dC3(1)*h1C3(1);

AC3(i,1)=bC3*cosd(alfasC3(i))+AC3(i-1,1); AC3(i,2)=bC3*sind(alfasC3(i))+AC3(i-1,2);

AmC3(i,1)=0.5*bC3*cosd(alfasC3(i))+AC3(i-1,1); AmC3(i,2)=0.5*bC3*sind(alfasC3(i))+AC3(i-1,2); if AmC3(i,1)<deltaXC1

h1C3(i)=AmC3(i,1)*tand(beta)-AmC3(i,2); else

h1C3(i)=h-AmC3(i,2); end

dC3(i)=bC3*cosd(alfasC3(i));

AreasC3(i)=dC3(i)*h1C3(i); end

kC4=0.8*RC1; RC4=RC1+kC4;

deltaYC4=deltaYC1;

deltaXC4=sqrt(RC4^2-(deltaYC4-kC4)^2);

L1=sqrt(deltaXC4^2+h^2);

omC4=90-(asind(h/L1));

angC4=asind(L1*sind(omC4)/RC4);

beti=angC4/10;

for i=2:10

alfasC4(1)=beti/2; psi=90-beti/2;

alfasC4(i)=180+alfasC4(i-1)-2*psi; end

bC4=RC4*sind(beti)/sind(psi);

AC4=zeros(10,2); AmC4=zeros(10,2); dC4=zeros(10,1); h1C4=zeros(10,1); AreasC4=zeros(10,1);

for i=2:10

(19)

AC4(1,2)=bC4*sind(alfasC4(1));

AmC4(1,1)=0.5*AC4(1,1); AmC4(1,2)=0.5*AC4(1,2);

h1C4(1)=AmC4(1,1)*tand(beta)-AmC4(1,2);

dC4(1)=bC4*cosd(alfasC4(1));

AreasC4(1)=dC4(1)*h1C4(1);

AC4(i,1)=bC4*cosd(alfasC4(i))+AC4(i-1,1); AC4(i,2)=bC4*sind(alfasC4(i))+AC4(i-1,2);

AmC4(i,1)=0.5*bC4*cosd(alfasC4(i))+AC4(i-1,1); AmC4(i,2)=0.5*bC4*sind(alfasC4(i))+AC4(i-1,2); if AmC4(i,1)<deltaXC1

h1C4(i)=AmC4(i,1)*tand(beta)-AmC4(i,2); else

h1C4(i)=h-AmC4(i,2); end

dC4(i)=bC4*cosd(alfasC4(i));

AreasC4(i)=dC4(i)*h1C4(i); end

%Se definen los parametros para el analisis de estabilidad sum1=0;

sum2=0; sum3=0; sum4=0;

iter=0; itermax=5;

f=0.3;

ppm=pp;

pps=ppm*cfpp; phim=phi;

phis=phim*cfphi; cm=c;

cs=cm*cfc;

ms=zeros(100,1);

%Se inicia el ciclo de las simulaciones de Monte Carlo for s=1:100

ppsln=log(pps^2+1); ppln=log(ppm)-0.5*ppsln;

phisln=log(phis^2+1);

philn=log(phim)-0.5*phisln;

csln=log(cs^2+1); cln=log(cm)-0.5*csln;

(20)

pp=lognrnd(ppln,ppsln); phi=lognrnd(philn,phisln); c=lognrnd(cln,csln);

pesosC1=pp*AreasC1(:,1); pesosC2=pp*AreasC2(:,1); pesosC3=pp*AreasC3(:,1); pesosC4=pp*AreasC4(:,1);

while iter<itermax for i=1:10

coh(i)=c*dC1(i);

ratio=dC1(1)*sind(beta); por=pw*(hw-i*ratio)/2;

pres(i)=por*dC1(i);

sum1=sum1+coh(i)*1/cosd(alfasC1(i));

sum2=sum2+(pesosC1(i)-pres(i))*tand(phi)*1/cosd(alfasC1(i));

sum3=sum3+(1+(tand(phi)*tand(alfasC1(i)))/f); sum4=sum4+(pesosC1(i)*sind(alfasC1(i)));

end

fs=((sum1+sum2)/sum3)/sum4;

margenC1=((sum1+sum2)/sum3)-sum4;

fC1=fs; iter=iter+1; sum1=0; sum2=0; sum3=0; sum4=0; end

iter=0;

while iter<itermax for i=1:10

coh(i)=c*dC2(i);

ratio=dC2(1)*sind(beta); por=pw*(hw-i*ratio)/2;

pres(i)=por*dC2(i);

sum1=sum1+coh(i)*1/cosd(alfasC2(i));

sum2=sum2+(pesosC2(i)-pres(i))*tand(phi)*1/cosd(alfasC2(i));

sum3=sum3+(1+(tand(phi)*tand(alfasC2(i)))/f); sum4=sum4+(pesosC2(i)*sind(alfasC2(i)));

end

(21)

fs=((sum1+sum2)/sum3)/sum4;

margenC2=((sum1+sum2)/sum3)-sum4;

fC2=fs; iter=iter+1; sum1=0; sum2=0; sum3=0; sum4=0; end

iter=0;

while iter<itermax for i=1:10

coh(i)=c*dC3(i);

ratio=dC3(1)*sind(beta); por=pw*(hw-i*ratio)/2;

pres(i)=por*dC3(i);

sum1=sum1+coh(i)*1/cosd(alfasC3(i));

sum2=sum2+(pesosC3(i)-pres(i))*tand(phi)*1/cosd(alfasC3(i));

sum3=sum3+(1+(tand(phi)*tand(alfasC3(i)))/f); sum4=sum4+(pesosC3(i)*sind(alfasC3(i)));

end

fs=((sum1+sum2)/sum3)/sum4;

margenC3=((sum1+sum2)/sum3)-sum4;

fC3=fs; iter=iter+1; sum1=0; sum2=0; sum3=0; sum4=0; end

iter=0;

while iter<itermax for i=1:10

coh(i)=c*dC4(i);

ratio=dC4(1)*sind(beta); por=pw*(hw-i*ratio)/2;

pres(i)=por*dC4(i);

sum1=sum1+coh(i)*1/cosd(alfasC4(i));

sum2=sum2+(pesosC4(i)-pres(i))*tand(phi)*1/cosd(alfasC4(i));

sum3=sum3+(1+(tand(phi)*tand(alfasC4(i)))/f); sum4=sum4+(pesosC4(i)*sind(alfasC4(i)));

end

(22)

fs=((sum1+sum2)/sum3)/sum4;

margenC4=((sum1+sum2)/sum3)-sum4;

fC4=fs; iter=iter+1; sum1=0; sum2=0; sum3=0; sum4=0; end

matmarg(1,1)=margenC1; matmarg(1,2)=margenC2; matmarg(1,3)=margenC3; matmarg(1,4)=margenC4;

margen(s)=min(matmarg); end

%Se calcula la probabilidad de falla fallas=0;

for q=1:s

if margen(q)<0; fallas=fallas+1; end

end

Probabilidad=fallas/s

Figure

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Referencias

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