Finitud e infinitud de puntos enteros sobre curvas

Texto completo

(1)Finitud e infinitud de puntos enteros sobre curvas. por. Patrick Antolin Tobos. Una tesis presentada al departamento de Matemáticas como parte de los requisitos para el grado de Matemático. Director: Xavier Caicedo. Universidad de los Andes Bogotá, Colombia Enero, 2003.

(2) i. À mon gros Papa et à ma belle Maman.

(3) Índice general 1. Introducción. 2. 2. Ecuaciones Diofantinas binarias de segundo grado y Aproximación Diofantina 6 2.1. Fracciones continuas . . . . . . . . . . 2.2. Ecuaciones lineales binarias y cónicas . 2.2.1. ecuaciones lineales binarias . . 2.2.2. Cónicas . . . . . . . . . . . . . 2.3. Aproximación Diofantina . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 3. Enteros algebraicos, Valores absolutos y Alturas 3.1. Clausura Integral . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Dominios de Dedekind . . . . . . . . . 3.1.2. Localización . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Indice de ramicación y grado residual 3.1.4. Norma y Traza . . . . . . . . . . . . . 3.1.5. El Grupo de Clases de Ideales . . . . . 3.2. Valores Absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Valores absolutos arquimedeanos . . . 3.2.2. Valores absolutos no arquimedeanos . 3.3. Alturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Espacios proyectivos . . . . . . . . . . 3.3.2. Alturas . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Teorema de las unidades de Dirichlet . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. 6 8 8 9 12. 16 16 16 25 28 33 37 43 43 45 51 52 54 61. 4. Puntos enteros sobre curvas elípticas. 64. Bibliografía. 72. 4.1. Curvas elípticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Finitud de puntos enteros sobre curvas elípticas . . . . . . . . . . . . . .. 64 67.

(4) 0.0. 1. Agradecimientos Quiero agradecer a mis padres, Rosa Inés y Jean, que con amor y paciencia me han infundido, a lo largo de mi vida, el amor por las cosas, y me han dado la libertad de escoger. A mis hermanos Nathalie y Jean-Philippe con quienes mi felicidad no conoce límites. Sin ustedes nada hubiera sido posible. Agradezco especialmente a mi asesor Xavier Caicedo con quien tanto he aprendido en estos últimos años, a quien tanto le debo de mi formación como matemático. A todos mis profesores y en especial a Jaime Lesmes, Carlos Montenegro, Andrei Ginatoulline y Luis Fernández, gracias por compartir su amor por las matemáticas. No hay palabras para agradecer a mis amigos, con quienes tanto he compartido, con quienes tanto he vivido y crecido. David, hermano mío, gracias por tu fuerza. A los monos, con quienes vuelvo a ser niño, arigatoo. Fabien, merci mon pote, grazie di cuore per essere sempre lí! Elga, tu sonrisa siempre está conmigo. Jaime, que la fuerza siempre te acompañe. Andres, Marcela, Mauricio, Jorge, Eduardo, gracias por ayudarme a ser mejor persona. Gracias a todos por contagiarme de su amor por las cosas, gracias Guillermo. Mi Pau, kokoro no naka ni itsumo itteiru. Gros Papa, merci pour ta patience quand j'étais petit et je ne comprenais rien du tout aux maths..

(5) Capítulo 1. Introducción Se podría decir que la ecuación diofantina aparece desde el principio de las matemáticas. En el momento mismo en la historia en el que el hombre es capaz de simbolizar números por medio de variables, y simbolizar hechos de la vida por medio de ecuaciones. Cuando se considera una ecuación arbitraria uno puede interesarse en la forma de la ecuación (los parámetros, como los coecientes, el número de variables, el grado...), o en la naturaleza de sus soluciones (soluciones en ciertos conjuntos, los enteros, los racionales...). Así, una ecuación se llama diofantina no cuando se considera su forma, sino cuando uno está interesado en las soluciones en enteros que posea (o a veces en racionales). El nombre de ecuación diofantina tiene sus orígenes con el matemático griego Diofanto de Alejandría (250 A.D.) quien hizo importantes contribuciones al tema. Un gran número de matemáticos a lo largo de la historia dedicaron gran parte de sus vidas al análisis de estas ecuaciones, y de cierta manera eso muestra no sólo la complejidad que pueden llegar a tener las soluciones de estos problemas, sino también la inuencia de estos en muchas ramas de las matemáticas, y por lo tanto su importancia (de hecho, también en física surgen ecuaciones para las cuales es muy importante saber la solución en enteros). Así, muchas ecuaciones diofantinas se volvieron famosas por toda la nueva teoría matemática que generaron. Estas normalmente llevan los nombres de los matemáticos que las inventaron, o que las resolvieron. Tal vez la más famosa de todas sea la ecuación de Pitágoras (asociada al teorema de Pitágoras) x2 + y 2 = z 2 . Y tal vez, la más famosa en nuestros días sea la ecuación de Fermat (asociado al gran teorema de Fermat) xn + y n = z n , n ≥ 3 por toda la historia que tiene a su alrededor y todo lo que aportó sobre todo en Teoría de números algebráica. En 1900 D. Hilbert (tal vez el matemático más importante de su tiempo) propuso su famosa lista de 23 problemas, que a su juicio le parecían los problemas abiertos más importantes y retadores del siglo 20. En el décimo problema, Hilbert buscaba un algoritmo general que para una ecuación diofantina arbitraria, en un número nito de pasos, permitiera saber si tiene soluciones en enteros o no, y en caso armativo, saber cuántas.

(6) 1.0. 3. soluciones tiene. La respuesta al décimo problema de Hilbert tardó muchos años, y se podría decir que llegó como una sorpresa, pues en 1970, luego de muchos años de trabajo, Putnam, Robinson y Matijasievic, [DMR] demostraron que no existía tal algoritmo. La demostración de este hecho provino del desarrollo de la teoría de algoritmos (también llamada teoría de recursión), junto con la teoría de números. El teorema principal que condujo a la respuesta del problema de Hilbert trajo una nueva manera de plantear los problemas concernientes las ecuaciones diofantinas. Por eso, vale la pena entrar un poco más en detalle. Un subconjunto S de µ−tuplas de números naturales es recursivamente enumerable si existe un algoritmo bien denido que liste precisamente los elementos deS . Por ejemplo, dada una ecuación diofantina (con µ−variables), su conjunto solución D es recursivamente enumerable. El algoritmo podría ser el siguiente: se ja una enumeración de todas las µ−tuplas de números naturales, y una a una se reemplaza la tupla en la ecuación diofantina. Si se cumple la ecuación entonces se agrega la tupla a la lista. De esta manera todos los elementos de D (y sólo ellos) aparecen eventualmente. Un subconjunto S ⊂ N es calculable si existe un algoritmo que determine en un número nito de pasos si un número natural arbitrario está en S . Un resultado básico de la teoría de algoritmos ([Cai] capt.4) arma que existe un conjunto K ⊂ N recursivamente enumerable que no es calculable. Ahora bien, el teorema principal que demostraron Putnam, Robinson y Matijasevic es que a todo conjunto recursivamente enumerable S se le puede asociar un polinomio P (x1 , ..., xµ ) tal que S es el conjunto de exactamente todos los valores a ∈ N para los cuales existe una µ−tupla de números naturales (x1 , ..., xµ ) solución de la ecuación diofantina P (x1 , ..., xµ ) = a. Así, juntando este resultado junto con el mencionado anteriormente, se tiene que existe una ecuación diofantinaP (x1 , ..., xµ ) = a para la cual no existe algoritmo alguno que permita saber si tiene solución (x1 , ..., xµ ) para ciertos valores de a. Ahora, todos los conjuntos familiares de números naturales que surgen en la teoría de números (como los números primos, los números perfectos,...) son recursivamente enumerables. Por lo tanto, cada uno se puede representar como el conjunto de valores no negativos asumidos por algún polinomio. Por lo tanto, problemas famosos en teoría de números (como la conjetura de Goldbach que arma que todo número natural mayor que 2 es suma de dos primos) pueden reducirse a la armación que cierta ecuación diofantina es insoluble. Entonces, en el caso de la conjetura de Goldbach, una respuesta armativa al décimo problema de Hilbert la habría demostrado o refutado. Esta nueva formulación de problemas abre paso a nuevas herramientas de demostración. A pesar de la respuesta negativa al décimo problema de Hilbert, existen muchas otras preguntas concernientes las ecuaciones diofantinas que uno quisiera responder. Una manera de clasicar las ecuaciones diofantinas es según el número de variables y según el grado del polinomio. Ahora bien, sabemos que no existe un algoritmo general para probar la solubilidad de una ecuación diofantina arbitraria, pero esto no implica que tampoco.

(7) 1.0. 4. exista tal algoritmo para clases más restringidas de ecuaciones diofantinas. Otro resultado de Matijasevic y Robinson muestra que no existe tal algoritmo hasta para ecuaciones diofantinas con 13 variables, pero ¾qué sucede para ecuaciones diofantinas con un número menor de variables? Para una variable se puede ver que existe tal algoritmo: considere una ecuación arbitraria de grado n ≥ 1, an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 = 0, y suponga que x = b es una raíz entera de esta ecuación. Entonces a0 = −b(an bn−1 +an−1 bn−2 +...+a1 ) y vemos que a0 es divisible por b. Por lo tanto toda raíz entera de la ecuación es un divisor del término constante. El caso de dos variables, es tal vez el más trabajado entre todas las clases de ecuaciones diofantinas, justamente por su riqueza en la variedad de ideas utilizadas. En cambio para el caso de tres variables aún se sabe muy poco. Vemos entonces que aún hay muchísimo por hacer para concluir satisfactoriamente el problema de las ecuaciones diofantinas en general. En este trabajo nos centraremos en el caso de las ecuaciones diofantinas binarias (dos variables). Nuestro objetivo principal será el estudio de la nitud o innitud de soluciones en enteros. En el primer capítulo haremos un recuento de todo lo que se conoce en soluciones en enteros para las ecuaciones lineales y las cónicas. También estudiaremos los principales resultados de la teoría de aproximaciones diofantinas y cómo se relacionan con las ecuaciones diofantinas. Hablaremos del teorema de Roth [Cas], pero no lo demostraremos a pesar de que lo necesitaremos (para probarlo tendríamos que apartarnos mucho de nuestro objetivo). Luego para tratar el caso de ecuaciones de grado mayor que 2 necesitaremos herramientas de algebra conmutativa y teoría algebráica de números. Esto se hará en el capítulo 2. Aunque intentaremos denir los conceptos de manera general, nos interesaremos principalmente en campos de números, i.e. extensiones nitas de Q, entonces necesitaremos extender todas las nociones que se tienen sobre los racionales. Así toda la teoría de Kummer jugará un papel primordial, también la teoría de valuaciones, valores absolutos y alturas. El lector familiarizado con la teoría de números algebraica puede ir directamente a la sección de valores absolutos del capítulo 2. Necesitaremos teoremas clásicos como la fórmula producto, y el teorema de Dirichlet sobre las unidades en campos de números. Utilizaremos una versión generalizada del teorema de Roth, para campos de números. En el tercer capítulo utilizaremos toda la maquinaria introducida en el capítulo 2 para probar teoremas generales sobre ecuaciones diofantinas de grado mayor que 2. Para este caso, será importante considerar las ecuaciones diofantinas no sólo como objetos algebraicos sino también como objetos geométricos: como curvas o como supercies. Así introduciremos las curvas planas y los espacios proyectivos (capítulo 2), pero con el único n de denir la altura. A nales del siglo 19 no se conocían aún métodos generales para saber si una ecuación binaria de grado arbitrario tenía solución en enteros, y en caso armativo, cuántas soluciones tenía. Más bien, se conocían métodos aplicables sólo para ecuaciones particulares [Dic]. Luego, de 1890 a 1910 aparecieron tres trabajos que marcaron una nueva era en.

(8) 1.0. 5. la teoría de ecuaciones diofantinas binarias (dos variables). En los dos primeros, Hilbert, A. Hurwitz (1890) y H. Poincaré (1901) utilizando conceptos y métodos sosticados de geometría algebráica por primera vez, considerando la ecuación diofantina binaria de manera más geométrica (como una curva), y no sólo de manera algebráica, introdujeron el concepto de transformación birracional, que en pocas palabras, permite reducir ecuaciones a formas más simples, y, junto con el concepto de genus, permite clasicar de otra manera todas las curvas (ecuaciones diofantinas binarias). Así, gracias al trabajo de L.Mordell en 1922 [Mor] surgieron una clase especial de curvas llamadascurvas elípticas, muy importantes por todas sus propiedades (en el capítulo 3 entraremos un poco más en detalle respecto a todos estos conceptos). En el tercer trabajo, A. Thue (1909) mostró como obtener información sobre la solubilidad de tales ecuaciones estudiando las soluciones de ciertas desigualdades. Esto último es lo que se conoce hoy en día como aproximación diofantina, que de hecho tiene sus orígenes con Liouville y Dirichlet (en el capítulo 2 estudiaremos la ecuación de Thue, y las aproximaciones diofantinas). Luego en 1929, C. Siegel [Sie] reuniendo el trabajo de Hilbert, Hurwitz, Poincare y L. Mordell logró caracterizar por completo las curvas con un número nito e innito de puntos enteros, o sea las ecuaciones diofantinas binarias con un número nito o innito de soluciones en enteros. Como se necesita el teorema de Mordell [Sil] para alcanzar este teorema de Siegel, lo que sería sujeto de otra tesis, probaremos en el capítulo 3 que un cierto conjunto de curvas, en el cual están incluídas las curvas elípticas, tienen un número nito de puntos enteros (de hecho, tienen un número nito de S−enteros, concepto que se introducirá en el capítulo 2). Lastimosamente las pruebas que dió Siegel, y que daremos en este trabajo no son efectivas. Es decir, no aportan información sobre las soluciones en sí, el número de soluciones, o qué tan grandes son sus valores absolutos (alturas respectivamente). En 1964 A. Baker logró dar resultados efectivos para un gran número de ecuaciones, pero aún no para el caso general en dos variables, utilizando la teoría de formas lineales en logaritmos [Bak2]. Para determinar el número de soluciones por ejemplo, es suciente saber si existe alguna cota superior para los valores absolutos (alturas respectivamente) de las variables. Esta es tal vez el área de trabajo más activa en nuestros días en una nueva rama que por razones claras se llama geometría diofantina..

(9) Capítulo 2. Ecuaciones Diofantinas binarias de segundo grado y Aproximación Diofantina En este capítulo repasaremos algunos de los resultados clásicos concernientes las soluciones en enteros a ecuaciones diofantinas binarias lineales (en dos variables) y de segundo grado, el caso de las cónicas. Para ello citaremos algunos resultados de la teoría de fracciones continuas. Luego veremos de qué manera la teoría de aproximación diofantina permite deducir resultados generales en la búsqueda de soluciones en enteros.. 2.1. Fracciones continuas Las demostraciones de los teoremas de esta sección pueden encontrarse en muchos libros de teoría de números, por ejemplo: [Sho]. Una fracción continua simple nita es una expresión de la forma: 1. a1 +. 1. a2 + a3 +. 1 ... +. 1 an. donde los ai son enteros y ai > 0 para 2 ≤ i ≤ n. Se representa por la notación [a1 , a2 , ..., an ]. Las convergentes de una fracción simple nita son los números racionales Ci = [a1 , a2 , ..., ai ]. donde 1 ≤ i ≤ n. (si la expresión anterior va hasta i se le dice i−ésima convergente). Hablar de fracciones simples innitas [a1 , a2 , ...] también tiene sentido pues si Cn es su n−ésima convergente, un teorema nos dice que existe x ∈ R tal que x = lı́m Cn . Los números ai en una n→∞.

(10) 2.2. 7. fracción simple se llaman los términos de la fracción. Como consecuencia del algoritmo de Euclides todo número racional puede expresarse como una fracción continua simple nita. Por otro lado, un número irracional se expande en una fracción continua con un número innito de términos. Uno de los resultados más notables en la teoría de números, conocido desde los tiempos de Lagrange, es que una fracción continua representa un irracional cuadrático (i.e. un número que es raíz de un polinomio cuadrático con coecientes enteros ax2 + bx + c cuyo discriminante b2 − 4ac es positivo y no es un cuadrado perfecto) si y sólo si es periódica. O sea, α es un irracional cuadrático si y sólo si tiene la forma α = [a1 , a2 , ..., an , b1 , b2 , ..., bm ]. donde la barra indica el bloque de términos que se repiten indenidamente. Sea ahora pn α un número irracional, y Cn = , su n−ésima convergente. Se tiene que qn Cn − Cn−1 =. (−1)n , para n ≥ 2 qn qn−1. (2.1). y C1 < C3 < C5 < ... < α < ... < C6 < C4 < C2. (2.2). De (2.1) y de (2.2) se deduce que: ¯ ¯ ¯ ¯ p 1 n ¯α − ¯ ≤ ¯ ¯ qn qn qn+1 También se tiene que ∀n ≥ 1, qn ≥ qn−1 . Luego: ¯ ¯ ¯ ¯ p n ¯α − ¯ ≤ 1 ¯ qn ¯ qn2. (2.3). Esta última desigualdad nos muestra cómo se comportan las convergentes cuando aproximan un irracional. Esto forma parte del problema de cómo aproximar irracionales por medio de racionales, que es el problema fundamental en la teoría de Aproximación Diofantina. Discutiremos las implicaciones de (2.3) en la siguiente sección. El comportamiento de las convergentes descrito por (2.3) es muy particular, pues se tiene el siguiente teorema:. Teorema 2.1.1. Sea α un número irracional. Si 1 ≤ b < qn entonces para todo a ∈ Z. ¯ ¯ ¯α −. ¯ ¯ pn ¯¯ a ¯¯ ¯¯ ¯ > ¯α − ¯ b qn. Por lo tanto, las convergentes proporcionan las mejores aproximaciones a un irracional α si se mantiene acotado el denominador..

(11) 2.2. 8. 2.2. Ecuaciones lineales binarias y cónicas 2.2.1. ecuaciones lineales binarias Consideremos la ecuación lineal binaria siguiente: ax + by + c = 0. donde a, y b son enteros no nulos y c es un entero arbitrario. Si (a, b) = d 6= 1 entonces a = a1 d, b = b1 d, y la ecuación inicial toma la forma (a1 x + b1 y)d + c = 0. y tiene solución en enteros sólo si c es divisible por d. Luego, c a1 x + b1 y + c1 = 0 (c1 = ) d donde a1 y b1 son primos relativos. Basta entonces considerar el caso (a, b) = 1. Tenemos entonces el siguiente teorema:. Teorema 2.2.1. Sea (a, b) = 1 y sea [x0 , y0 ] una solución cualquiera de la ecuación ax + by + c = 0. (2.4). Entonces todas las soluciones en enteros de (2.4) vienen dadas por las fórmulas x = x0 − bt,. y = y0 + at. para t = 0, ±1, ±2, .... Para resolver completamente el caso de las ecuaciones lineales binarias nos falta entonces, dada una ecuación arbitraria como (2.4), encontrar una solución (x0 , y0 ). Para a ello consideremos la expansión de en fracciones continuas. Si ésta tiene n términos, b a entonces Cn = . Ahora, según (2.1) tenemos: b (−1)n a pn−1 − = b qn−1 bqn−1 luego, aqn−1 − bpn−1 = (−1)n. y, multiplicando por (−1)n−1 c, a[(−1)n−1 cqn−1 ] + b[(−1)n cpn−1 ] + c = 0.. Por lo tanto el par de enteros (x0 , y0 ), x0 = (−1)n−1 cqn−1 ,. y0 = (−1)n cpn−1. es una solución de la ecuación (2.4). Esto concluye el caso de las ecuaciones lineales binarias..

(12) 2.2. 9. 2.2.2. Cónicas Luego de las ecuaciones lineales binarias, en orden de dicultad, siguen las ecuaciones cuadráticas: Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0,. A, B, o C 6= 0 (2.5). A, ..., F ∈ Z,. Estas describen secciones cónicas, y por un cambio de coordenadas adecuado, uno puede transformar una ecuación del tipo (2.5) en una de las siguientes tres formas, en donde a, b y c son reales positivos (excluyendo casos límites como conjunto vacío, un punto o rectas). Así se clasican: ax2 + by 2 = c. elipse. ax2 − by 2 = c. hipérbola. ax + by 2 = 0. parábola. Una manera de ver esto es el hecho que siempre es posible hacer desaparecer el término cruzado xy en (2.5) por medio de una rotación de ejes adecuada. Si la matriz de rotación es: Ã. x y. !. Ã =. cos θ. sin θ. − sin θ cos θ. !Ã. x0. !. y0. El ángulo requerido está denido por: cot 2θ =. a−c , b. Luego, habiendo ya eliminado el término cruzado, completando cuadrado se llega a una de las tres formas de arriba (excluyendo los casos límites).. a) La elipse Como el conjunto de puntos que denen una elipse es un conjunto acotado en el plano, los puntos con coordenadas enteras de la elipse se pueden encontrar por medio de ensayo y error. Un algoritmo para determinar si tiene o no soluciones en enteros podría ser el siguiente: Por medio de una rotación (utilizando la matriz descrita arriba) y de una traslación (que corresponde a completar el cuadrado), se llega a la forma típica de la elipse:ax2 +by 2 = c. p p Luego se determina cuál es el radio mayor de la elipse (i.e. 2 máx{ ac , cb }). A este radio se le suman las traslaciones efectuadas y se escoge un natural n mayor al número obtenido. Luego se reemplazan en la ecuación todas las parejas de enteros (a, b) tales que |a| < n y |b| < n, y así se va creando lista de todas las soluciones en enteros de la ecuación..

(13) 2.2. 10. b) La parábola En este caso, la forma (2.5) se puede escribir de la siguiente manera ([Sho], pg. 218): (ax + by)2 + cx + dy + e = 0. (2.6). donde los coecientes son enteros y ∆ = ad − bc 6= 0. Poniendo z = ax + by obtenemos las soluciones: 1 1 x = (bz 2 + dz + be) y y = − (az 2 + cz + ae) ∆ ∆ Por lo tanto, hay puntos enteros en la parábola si y sólo si existe un entero z0 que satisfaga el sistema de congruencias: (. az 2 + cz + ae ≡ 0 (mod ∆) bz 2 + dz + be ≡ 0 (mod ∆). Así, toda solución z0 de este sistema determina una clase de soluciones de (2.6). Si (x0 , y0 ) es la solución de (2.6) correspondiente a z0 , la solución general en esta clase se puede escribir en forma paramétrica: x = f (t) = x0 + (2bz0 + d)t + b∆t2 y = g(t) = y0 − (2az0 + c)t − a∆t2. con t = 0, ±1, ±2, .... Por lo tanto, para el caso de la parábola o no hay ningún punto entero en ella, o hay innitos.. c) La hipérbola El caso de la hipérbola es bastante más complicado que los casos anteriores. Por medio de transformaciones lineales con coecientes enteros, la forma (2.5) se convierte en una ecuación de la forma: u2 − Dv 2 = ±N. (2.7). donde D, N ∈ N y u, v deben satisfacer ciertas congruencias u ≡ µ (mod δ ),. v ≡ ν (mod δ ). para ciertos enteros µ, ν y δ que dependen de los coecientes de la ecuación original (2.5). Como ejemplo, consideremos el caso especial donde la ecuación de la hipérbola se puede escribir en la forma: a0 x2 + b0 xy + c0 y 2 = d0.

(14) 2.2. 11. Claramente no se pierde generalidad si se supone que b0 es par. Así tenemos: ax2 + 2bxy + cy 2 = d. Ahora, haciendo la sustitución x=. s − bt , y=t a. la ecuación se convierte en: s2 − (b2 − ac)t2 = ad. Entonces, cualquier solución (s0 , t0 ) de esta última ecuación que satisfaga s0 ≡ bt0 mod a. genera una solución. s0 − bt0 , y 0 = t0 a Concentrémonos entonces en la forma (2.7). Esta es la forma general de la ecuación de x0=. Pell : x2 − Dy 2 = 1. y consideremos los casos interesantes: D positivo y no es un cuadrado perfecto. Esta ecuación está muy relacionada con el problema de aproximar números irracionales con √ a números racionales. En efecto, si D es un número irracional y es una aproximación b √ a2 racional a D, entonces 2 es una aproximación a D. Pongamos: b c a2 − D = 2 6= 0 2 b b. Es decir, a2 − Db2 = c 6= 0 √ a Si es una 'buena' aproximación a D (en algún sentido), entonces c debería ser un b entero pequeño. Si, en particular, c es 1, tenemos una solución a la ecuación de Pell, √ a y resulta ser una 'muy buena aproximación' a D. Como observamos al nal de la b √ sección (2.1), las mejores aproximaciones a D vienen dadas por sus convergentes, por. lo tanto, es de esperarse que las soluciones a la ecuación de Pell vengan dadas por las pi convergentes. Se puede demostrar que, si es la i−ésima convergente de la fracción qi √ continua de D, y si n es el período de la fracción continua, entonces: 2 p2kn − Dqkn = (−1)kn. Por lo tanto, si n es par, todas las parejas (pn , qn ), (p2n , q2n ), (p3n , q3n ), ....

(15) 2.3. 12. son soluciones de la ecuación de Pell; y si n es impar, lo son las parejas (p2n , q2n ), (p4n , q4n ), (p6n , q6n ), .... Además, estas constituyen todas las soluciones positivas de la ecuación de Pell. Para √ el caso general (2.7), se sabe ([Sho]) que si |N | < D entonces toda solución entera pn positiva (x, y) de (2.5) está dada por x = pn , y = qn , donde es una convergente de qn √ la fracción continua de D.. 2.3. Aproximación Diofantina El tema fundamental en la teoría de Aproximación Diofantina es el problema de saber qué tanto se puede aproximar un número irracional por un número racional. ComoQ es denso en R, dado un número irracional α y p, q ∈ Q, la diferencia |α − pq | se puede hacer tan pequeña como se quiera. Lo interesante es hacerla pequeña sin que p y q sean muy grandes. Con este interés en mente, el teorema 2.1.1 nos dice que las convergentes forman una sucesión de 'mejores' aproximaciones al número irracional α. Con los resultados de la sección (2.1) obtenemos el siguiente resultado de Dirichlet: p Lema 2.3.1. (Dirichlet) Sea α ∈ R con α ∈/ Q. Entonces hay innitos ∈ Q tales que q ¯ ¯ ¯ ¯ ¯α − p ¯ ≤ 1 ¯ q ¯ q2. Demostración. Todas las convergentes Cn = la desigualdad del lema.. pn de la fracción continua de α cumplen qn. Una pregunta natural que surge a este punto es saber si se puede mejorar la cota puesta 1 por la desigualdad del lema 2.3.1. Un resultado de Hurwitz nos dice que el 2 del lema q 1 se puede reemplazar por √ y que esta cota es la mejor posible ([Bak] pg.46-47). Por 5q 2 otro lado, tenemos el siguiente resultado de Liouville:. Lema 2.3.2. (Liouville) Sea α ∈ Q de grado d ≥ 2 sobre Q (i.e.[Q(α) : Q] = d). Existe. p una constante C > 0, dependiente de α, tal que para todo número racional , q ¯ ¯ ¯ ¯ ¯α − p ¯ ≥ C ¯ q ¯ qd. Demostración. Sea f (x) = a0 xd + a1 xd−1 + ... + ad ∈ Z[x]. el polinomio minimal para α. Sea C1 = sup{f 0 (x) : |α − x| ≤ 1}.. (2.8).

(16) 2.3 Supongamos ahora que. 13. ¯ ¯ ¯p ¯ ¯ − α¯ ≤ 1. ¯q ¯. Entonces por el teorema del valor medio, ¯ µ ¶¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯f p ¯ = ¯f ( p ) − f (α)¯ ≤ C1 ¯ p − α¯ . ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ q q q µ ¶ µ ¶ p p Por otro lado, q d f ∈ Z; y f 6= 0 pues f es irreducible sobre Q. Entonces: q q ¯ µ ¶¯ ¯ d ¯ ¯q f p ¯ ≥ 1. ¯ q ¯ Combinando las dos últimas desigualdades tenemos ¯ ¯ ¯p ¯ ¯ − α¯ ≥ C ¯q ¯ qd que se satisface para todo. p si tomamos C = mı́n{ C11 , 1}. q. Este resultado de Liouville, de consecuencias muy fuertes en la teoría de números (como la existencia de números trascendentes, [Bak2],pg. 2), en oposición al lema 2.3.1 nos dice que un número algebraico de grado d no puede ser aproximado con un error menor que qCd . Para irracionalidades cuadráticas no hay mucho más que decir en vista de los lemas 2.3.1 y 2.3.2, pero si d ≥ 3, entonces uno naturalmente se pregunta por el mejor exponente de q en la desigualdad (2.8). Primero planteemos el lema de manera distinta: Sea α ² Q̄ de grado d ≥ 2 sobre Q. Entonces para toda constante C > 0 y para todo ε > 0, si k = d + ² sólo hay un número nito de racionales pq que satisfacen: ¯ ¯ ¯p ¯ ¯ − α¯ < C ¯q ¯ qk. Este resultado de Liouville ha sido sucesivamente mejorado a lo largo del siglo pasado, lográndose disminuir el exponente k . Una corta lista es: Thue 1909 k = 21 d + ε √ Siegel 1921 k =2 d+ε √ Gelfond, Dyson 1947 k = 2d + ε Roth 1955 k =2+ε En vista del lema 2.3.1 el resultado de Roth es el mejor posible, resultado con consecuencias muy profundas en teoría de números y por el cual le fue concedida la medalla Fields en 1955. A pesar que la prueba de este teorema de Roth está basada en ideas más bien sencillas, desarrollarlas nos llevaría muy lejos de nuestro objetivo principal, y más bien veamos de qué manera teoremas de aproximación diofantina conducen a resultados.

(17) 2.3. 14. que conciernen ecuaciones diofantinas. Veamos con un ejemplo porqué es que este resultado de Roth tiene consecuencias importantes en el problema de la nitud o innitud de puntos enteros sobre curvas. Consideremos la siguiente ecuación: x3 − 2y 3 = a. interesándonos por soluciones x, y ∈ Z con a ∈ Z jo. Suponga que (x, y) es una solución con y 6= 0. Sea ζ una raíz primitiva cúbica de la unidad, y factoricemos la ecuación: µ ¶µ ¶µ ¶ √ √ x √ x x a 3 3 2 3 − 2 −ζ 2 − ζ 2 = 3. y y y y x ∈ Q, y ζ ∈ / Q, los términos segundo y tercero del producto tienen módulo y √ √ 3 3 mayor que una constante que depende solamente de ζ y 2 . En efecto, si ζ 2 = a + ib, q √ 3 x x 2 2 | y − ζ 2| = ( y − a) + b > |b|. Por lo tanto obtenemos una estimación. Como. ¯ ¯ ¯x √ ¯ ¯ − 3 2¯ ≤ C ¯y ¯ |y|3. donde C es independiente de x y y . Ahora bien, por el teorema de Roth sólo hay un x número nito de racionales que cumplen la desigualdad anterior. Por la factorización y x anterior vemos que para cada hay a lo más 3 valores posibles para y , pues dado un y x valor de y reemplazándolo en la factorización anterior, obtenemos una ecuación del y estilo y 3 = k . Entonces la ecuación x3 −2y 3 = a tiene sólo un número nito de soluciones en enteros. Volveremos a encontrar este tipo de argumento en las pruebas de teoremas generales que veremos más adelante concernientes puntos enteros sobre curvas. De hecho el teorema de Thue que veremos a continuación se basa en la misma idea.. Teorema 2.3.3. Sea f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a0 un polinomio con coecientes enteros, irreducible sobre Q y de grado al menos 3. Entonces para todo m entero no nulo, la ecuación diofantina an xn + an−1 xn−1 y + ... + a0 y n = m. (2.9). sólo tiene nitas soluciones en enteros. Demostración. Como f es irreducible sobre Q, y éste es un campo de característica 0, todas sus raíces son distintas. Sean éstas α1 , α2 , ..., αn . Entonces factorizando (2.9) obtenemos: ¯ ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯x ¯ ¯x ¯ ¯x ¯ ¯ m ¯ ¯ − α1 ¯ ¯ − α2 ¯ ... ¯ − αn ¯ = ¯ ¯ (2.10) ¯y ¯¯y ¯ ¯y ¯ ¯ an y n ¯.

(18) 2.3. 15. Supongamos ahora que existe una innidad de soluciones en enteros. Entonces, existen soluciones (x, y) para las cuales |y| se hace arbitrariamente grande, pues si hubieran innidad de pares (x, y) solución de la ecuación, con |y| acotado y |x| arbitrariamente grande, el lado izquierdo de (2.10) podría hacerse arbitrariamente grande mientras que el lado derecho permanecería acotado, lo cual es imposible. Entonces, si |y| se hace arbitrariamente grande, la parte derecha de (2.10) se hace muy pequeña. Por lo tanto algún factor de la izquierda de (2.10) es muy pequeño. Sea éste | xy − α| (donde α es alguno de los αi , (i = 1, ..., n)). Más precisamente, supongamos que | xy − α| < d, donde 2d = mı́n |αi − αj |. Además, dos productos de la izquierda no pueden hacerse i,j=1,...,n; i6=j. muy pequeños simultáneamente pues: ¯µ ¶ µ ¶¯ ¯ ¯ x x ¯ ¯ 6 0 (i, j = 1, ..., n; i 6= j) ¯ y − αi − y − αj ¯ = |αi − αj | = ¯³ ¯ ¯ ´¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Así, como ¯ xy − αi ¯ ≥ |αi − α| − ¯ xy − α¯, y, por hipótesis | xy − α| < d, tenemos | xy − αj | > d para todo αj 6= α. Entonces tenemos d. de donde. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯m¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y − α¯ < ¯ an ¯ |y|n. n−1 ¯ x. ¯ ¯ ¯x ¯ ¯ − α¯ < C ¯y ¯ |y|n. 1 con C = | amn | dn−1 que no depende ni de x, ni de y . Como n ≥ 3, el teorema de Roth nos dice que sólo hay un número nito de racionales xy que satisfacen la desigualdad anterior, y por la factorización (2.10), vemos que para cada xy hay a lo más n valores posibles para y . Entonces concluímos que la ecuación inicial (2.9) sólo tiene nitas soluciones.. Para pasar ahora a curvas un poco más complicadas, como las famosas curvas elípticas, necesitaremos generalizar el teorema de Roth, en la medida que no hay razón para restringir los números de aproximación a Q. Es útil permitir que recorran un campo de números K jo y α ∈ K . Esto lo discutiremos en el capítulo 2. Para ello necesitamos desarrollar primero muchas ideas de álgebra conmutativa, pasemos entonces al siguiente capítulo..

(19) Capítulo 3. Enteros algebraicos, Valores absolutos y Alturas En este capítulo introduciremos todas las herramientas necesarias para atacar el problema de puntos enteros sobre curvas más complicadas, de grado 3 en adelante. Para ello, necesitaremos repasar conceptos básicos del álgebra conmutativa: dominios de Dedekind, factorización única en ideales, localización, normas y trazas... Intentaremos denir los conceptos de manera general y aplicaremos los resultados a campos de números, o sea extensiones nitas de Q. Deniremos el concepto de número algebraico, y el anillo que para nosotros será más importante: el anillo de enteros algebraicos, que resulta ser un dominio de Dedekind. ¾Cuál es la relación de esta maquinaria algebráica con nuestro objetivo principal? Pues que el concepto de entero algebraico generaliza el de entero común de Z, y la experiencia bien nos dice que a veces es más fácil probar algo un poco más general (yendo más arriba en la torre de campos que empieza enQ), como la nitud o innitud de enteros algebraicos en una curva. Así, necesitaremos también generalizar el valor absoluto y hablar de valores absolutos arquimedeanos y no arquimedeanos, y luego tratar el concepto de altura que describe una propiedad muy particular de los números algebraicos. Respecto a las demostraciones, haremos aquellas que no requieran desviarnos mucho de nuestro camino (por ejemplo no se demostrará el teorema general de Roth, ni el teorema de las unidades de Dirichlet). Para las demostraciones omitidas se darán referencias apropiadas.. 3.1. Clausura Integral 3.1.1. Dominios de Dedekind Denición 3.1.1. Sea A = Z el anillo de enteros, K = Q su campo de fracciones. Un campo de números L es una extensión de campos de grado nito de Q (L ≥ Q,.

(20) 3.1. 17. [L : Q] < ∞).. Denición 3.1.2. Sea A un subanillo de un anillo L. Un elemento α ∈ L se dice íntegro sobre A si es raíz de algún polinomio mónico f (x) ∈ A[x]. Cuando A = Z, se dice que el elemento α es un entero algebraico en L. Sea K un campo, y L ≥ Q una extensión nita. Sea α ∈ L, entonces α es íntegro sobre K (por ser extensión nita), y el polinomio mónico irreducible irr(α, K ) lo llamaremos el polinomio minimal de α sobre K .. Denición 3.1.3. Sea A un anillo. Un A-módulo es una tripla hA, M, φi donde M es un grupo abeliano, A es un anillo, y φ(x, y) es una función de A × M en M , tal que, si representamos a φ(α, m) por αm, con α ∈ A, m ∈ M , cumple lo siguiente: ∀α,β ∈ A, ∀m, n ∈ M , • 1m = m • (αβ)m = α(βm) • (α + β)m = αm + βm • α(m + n) = αm + αn Así, un A-módulo se parece bastante a un A-espacio vectorial, pero los escalares sólo necesitan formar un anillo. Un par de ejemplos:. Ejemplo 3.1.4. • Todo grupo abeliano G es un Z-módulo deniendo nα = αn para α ∈ G y n ∈ Z, y donde tomamos la mutliplicación como la operación de G. • Todo K-espacio vectorial es un K-módulo. • Si M es un anillo y A es subanillo, entonces M es un A-módulo. Este es el caso que. más utilizaremos.. Denición 3.1.5. Un homomorsmo de A-módulos es un homomorsmo f de grupos que conmuta con la acción de φ (de la denición anterior), i.e. f ◦ φ(α, m) = φ(α, f (m)).. Denición 3.1.6. Dados M , M 0 , M 00 tres A-módulos, una secuencia de homomorsmos f. g. f, g de A-módulos M 0 −→ M −→ M 00 se dice exacta si Ker(g) = Im(f ). La siguiente proposición nos servirá para probar que el conjunto de elementos de un campo L íntegros sobre un dominio A conforma un anillo.. Proposición 3.1.7. Sea A un subanillo de un campo L, y α ∈ L. Las siguientes armaciones son equivalentes: (i) El elemento α es íntegro sobre A. (ii) El subanillo A[α] de L, es un A-módulo nitamente generado. (iii) Existe un A-submódulo nitamente generado M de L tal que αM ⊂ M , donde αM = {αm | m ∈ M }..

(21) 3.1. 18. Demostración. (i) ⇒ (ii). Sea α un elemento íntegro sobre A. Sea xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 ∈ A[x] el polinomio minimal de α sobre A. Armamos que el A-módulo A[α] es generado por los elementos 1, α, ..., αn−1 . Como todo elemento β de A[α] es de la forma β=. m X. ci αi , con ci ∈ A, ∀i = 0, ..., m,. i=0. para mostrar la armación basta mostrar que αi , i ≥ n, se pueden expresar como una combinación lineal de 1, ..., αn−1 con coecientes en A. Procedemos por inducción en i ≥ n. Si i = n, entonces αn = −a0 − a1 α − ... − an−1 αn−1 .. Sea i > n, y supongamos que si j ≤ i − 1, entonces αj se puede expresar en términos de 1, α, ..., αn−1 . Ahora, como αi = −a0 αi−n − a1 αi−n+1 − ... − an−1 αi−1. concluímos que αi está en el A-módulo generado por 1, α, ..., αn−1 . (ii) ⇒ (iii). Es claro puesto que αA[α] ⊂ A[α]. (iii) ⇒ (i). Sea e1 , ..., en un sistema de generadores para el A-módulo M . Como αei , i = 1, ..., n, son elementos de M , cada uno se puede expresar como una combinación lineal de elementos ej , j = 1, ..., n: αei =. n X. bij ej , con bij ∈ A, ∀1 ≤ i, j ≤ n.. j=1. Sea M la matriz (bij )1≤i,j≤n . Sea E la transpuesta de la matriz (e1 , ..., en ). Entonces αE = ME , y, (αId − M)E = 0. Por lo tanto, la matriz αId − M tiene un kernel no trivial. Como los coecientes de esta matriz están en un campo su determinante debe ser 0: n−1 X 0 = det(αId − M) := αn + ai αi . i=0. Como los coecientes de la matriz M están en A, los ai están en A, ∀i = 0, ..., n − 1. Entonces α es íntegro sobre A.. Corolario 3.1.8. Sea A un subanillo de un campo L. El conjunto B que consiste de todos los elementos de L íntegros sobre A es un anillo. Demostración. Claramente, A ⊂ B , de donde 1 ∈ B . Veamos ahora que, dados α, β íntegros sobre A, α + β y αβ también son íntegros sobre A. Como α, y β son íntegros sobre A, ambos subanillos A[α] y A[β] son nitamente generados como A-módulos. Sean {e1 , ..., er } y {f1 , ..., fs } sistemas generadores de A[α] y A[β].

(22) 3.1. 19. respectivamente. Sea M el subanillo A[α, β] de L. Como A-módulo, M es nitamente generado: el conjunto {ei fj | 1 ≤ i ≤ r y 1 ≤ j ≤ s} es su sistema de generadores. Como (α + β)M ⊂ M y (αβ)M ⊂ M , por la proposición 3.1.7 se sigue que α + β y αβ son íntegros sobre A. Denamos ahora nuestro conjunto importante:. Denición 3.1.9. Sea A un subanillo de un campo L. La clausura integral B de A en L es el anillo de elementos de L íntegros sobre A. Cuando L es un campo de números, la clausura integral B de Z en L se llama el anillo de enteros algebraicos de L y se denotará RL .. Denición 3.1.10. Un dominio entero A es integralmente cerrado si es igual a su clausura integral en su campo de fracciones.. Ejemplo 3.1.11. Los anillos Z y K[x] (K campo) son integralmente cerrados. De hecho, todo Dominio de Factorización Unica (D.F.U.) es integralmente cerrado. Pues si A es D.F.U., K es su campo de fracciones, α ∈ K es íntegro sobre A y g(x) = x − α ∈ K[x], entonces por el lema de Gauss ([Fra] pg.298) g(x) ∈ A[x], de donde α ∈ A.. Proposición 3.1.12. Sea A un dominio. Sea K su campo de fracciones y L ≥ K una extensión nita. Sea B la clausura integral de A en L. a) Entonces L es el campo de fracciones de B . b) Si A es integralmente cerrado, entonces B ∩ K = A c) Si L ≥ K es una extensión de Galois (normal y separable) con grupo de Galois G, entonces σ(B) = B , para todo σ ∈ G. Además, si A es integralmente cerrado, entonces A = B G := {b ∈ B | σ(b) = b, ∀σ ∈ G}. Demostración. a) Sea α ∈ L. Armamos que existe b ∈ B y a ∈ A tales que α = ab . De donde sigue lo que se quiere. Sea f (x) ∈ K[x] el polinomio minimal de α. Como K es el campo de fracciones de A, podemos escribir f (x) = xn +. Sea d :=. n−1 Q i=0. cn−1 n−1 c0 x + ... + , con ci , di ∈ A, di 6= 0, ∀i = 0, ..., n − 1. dn−1 d0. di . Como dn f (α) = 0, obtenemos (dα)n +. cn−1 c0 d(dα)n−1 + ... + dn = 0 dn−1 d0. Por construcción ( dcii )d ∈ A, ∀i = 0, ..., n − 1, entonces la relación anterior es una relación integral para dα sobre A. Entonces b := dα ∈ B , y α = db , con b ∈ B y d ∈ A..

(23) 3.1. 20. b) Se sigue de la denición de ser integralmente cerrado. c) Sea α ∈ B . Sea f (x) ∈ A[x] un polinomio mónico tal que f (α) = 0. Sea σ ∈ G. Como σ es la identidad cuando se restringe a K , 0 = σ(f (α)) = f (σ(α)). De donde σ(α) ∈ B . También, B = σ(σ −1 (B)) ⊂ σ(B), de donde σ(B) = B . Sabemos que K = LG por teoría de Galois. Entonces B ∩ K = B ∩ LG = B G , y b) muestra que cuando A es integralmente cerrado A = B ∩ K = B G .. Ejemplo 3.1.13. (Campos de números cuadráticos). Sea d un entero libre de cuadrados, d 6= 1. Se puede demostrar ([Lor] pg.100) que el √ anillo de enteros B de Q( d) es: √ • B = Z[ d] si d ≡ 2 o 3 mod 4. √ • B = Z[(1 + d)/2] si d ≡ 1 mod 4.. Denición 3.1.14. Un dominio entero A tiene la propiedad de factorización única de ideales (F.U.I.) si todo ideal no trivial I ⊂ A se puede escribir de la forma I = B1 ...Bs donde Bi , i = 1, ..., s, son ideales primos de A, y dicha factorización es única, es decir, si I = D1 ...Dn , entonces s = n y Bi = Dj para alguna permutación i → j de {1, ..., n}. Note que esta denición es análoga a la denición de factorización en elementos primos en un dominio, como Z; en esta nueva denición los ideales reemplazan los elementos y los ideales primos los elementos primos. Ser D.F.U. es una propiedad muy especial, tanto que si los dominios Z[ζp ], donde ζp es raíz primitiva p-ésima de la unidad, fuesen D.F.U. se hubiera tenido una prueba del teorema de Fermat con Lamé quien erróneamente creyó probarlo en 1847. Poseer la propiedad de factorización única de ideales es algo menos fuerte (algo que cumplen los anillos Z[ζp ]), y justamente fue un concepto introducido por Kummer para atacar el teorema de Fermat. No obstante esta última propiedad es √ muy especial, y muchos anillos sencillos como Z[ 5] no la tienen ([Lor] pg.18-19).. Proposición 3.1.15. Sea A un anillo conmutativo. Las siguientes armaciones son equivalentes. (1) Todo ideal de A es principal. (2) Todo ideal primo de A es principal. Demostración. Claramente (1) ⇒ (2). Mostremos el otro sentido. Sea Σ el conjunto de todos los ideales de A que no son principales. Tenemos que ver que Σ = ∅. Supongamos P que 6= ∅ y ordenemos los elementos de Σ por inclusión. Sea J1 ⊂ · · ·Jn ⊂ ....

(24) 3.1. 21. una cadena de elementos de Σ. Armamos que J :=. ∞ S n=1. Jn pertenece a Σ. En efecto, si. J∈ / Σ, entonces J = (z) para algún z ∈ A. Entonces ∃n ∈ N tal que z ∈ Jn . Como (z) ⊂ Jn ⊂ J = (z). concluímos que (z) = Jn , que contradice el hecho que Jn ∈ Σ. Entonces J ∈ Σ. Así, todas las cadenas de Σ tienen un elemento maximal en Σ. Por el lema de Zorn el conjunto Σ posee entonces un elemento maximal P . Vamos a mostrar que P es un ideal primo de A, contradiciendo el hecho que P ∈ Σ. Para ello sean a1 , a2 ∈ A\P , mostraremos que a1 a2 ∈ / P . Los ideales (P, a1 ) y (P, a2 ) no pertenecen a Σ pues P es maximal. Entonces, (P, a1 )=(z1 ) y (P, a2 )=(z2 ) para algunos z1 , z2 ∈ A. Tenemos: (P 2 , P a1 , P a2 , a1 a2 ) = (P, a1 )(P, a2 ) = (z1 z2 ) ⊂ (P, a1 a2 ).. Queremos ver que (z1 , z2 ) = (P, a1 a2 ). Sea Pi := {c ∈ A | czi ∈ P }, i = 1, 2.. Claramente, P ⊂ Pi . Armamos que P = Pi (zi ), i = 1, 2. En efecto, por denición de Pi , Pi (zi ) ⊂ P . Sea x ∈ P . Entonces x ∈ (P, ai ) = (zi ), de donde x = ui zi para algún ui ∈ Pi . Esto muestra que Pi (zi ) ⊃ P . Armamos ahora que P = Pi , i = 1, 2. En efecto, si P Pi , entonces Pi es principal, y Pi = (vi ). Entonces P = Pi (zi ) = (vi zi ) es un ideal principal, que es una contradicción pues P ∈ Σ. Entonces P = P1 = P2 y: P = P1 (z1 ) = P (z1 ) = P2 (z2 z1 ) = P (z1 z2 ) ⊂ (z1 z2 ). Como a1 a2 ∈ (P, a1 )(P, a2 ) = (z1 z2 ), concluímos que (P, a1 a2 ) ⊂ (z1 z2 ). Entonces (P, a1 a2 ) = (z1 z2 ). En particular, a1 a2 ∈ / P pues de lo contrario, P sería un ideal principal. Entonces P es ideal primo: contradicción. Entonces Σ = ∅ y A es D.I.P.. Denición 3.1.16. Un anillo A es un anillo local si tiene un único ideal maximal. Proposición 3.1.17. Sea A un dominio local donde todo primo no nulo es maximal. Entonces las siguientes armaciones son equivalentes: (1) A tiene F.U.I. (2) A es D.I.P. Demostración. (1) ⇒ (2) Sea M el ideal maximal de A. Sea x ∈ M \M 2 . El ideal (x) se puede factorizar en un producto de ideales primos de A. Como A es un dominio local en donde todo primo (no nulo) es maximal, M es el único ideal primo no nulo de A, y entonces debemos tener (x) = M , de donde M es principal, y por la proposición 3.1.15, A es D.I.P. La implicación (2) ⇒ (1) es bien conocida ([Fra] pg.293)..

(25) 3.1. 22. Nota 3.1.18. En la proposición anterior se puede demostrar que ser integralmente cerrado también es equivalente a las dos propiedades citadas, pero no necesitaremos de este hecho. Para una demostración ver por ejemplo [Lor], pg.91.. Proposición 3.1.19. Sean A y B dominios que cumplen con la propiedad que todo ideal primo no nulo es maximal. Suponga que todo elemento de B es íntegro sobre A. Entonces si B ∈ M ax(B) (no trivial), B ∩ A = P ∈ M ax(A). Demostración. Sea B ∈ M ax(B) (no trivial), y P = B ∩ A. P 6= A pues 1 ∈ / B, y P es un ideal primo de A pues B/B siendo dominio entero y A/P siendo un subanillo de éste, es a su vez un dominio entero. Ahora, P 6= (0). En efecto, sea α ∈ B, α 6= 0. Como α es íntegro sobre A, existe un polinomio mónico f (x) ∈ A[x] de grado minimal tal que f (α) = αn + an−1 αn−1 + ... + a1 α + a0 = 0.. Ahora, a0 6= 0, pues si suponemos lo contrario, α(αn−1 + an−1 αn−2 + ... + a1 ) = 0. y como B es un dominio g(x) := f (x) x es un polinomio mónico en A[x] tal que g(α) = 0, pero esto contradice el hecho que f (x) es de grado minimal tal que f (α) = 0. Entonces a0 6= 0. Como a0 = −αn − ... − a1 α ∈ B , tenemos que 0 6= (a0 ) ⊂ P , y como todo ideal primo no nulo de A es maximal, P es un ideal maximal.. Denición 3.1.20. Un anillo A se dice noetheriano si cumple cualquiera de las siguientes equivalencias: 1. Todo ideal de A es nítamente generado. 2. Cualquier cadena creciente de ideales es estacionaria CCA-Condición De Cadena Ascendente 3. Todo conjunto de ideales no vacío tiene un elemento maximal.. Ejemplo 3.1.21.. a) Un campo es noetheriano.. b) Un Dominio de Ideales Principales (D.I.P.) es noetheriano. c) Si A es noetheriano y I ⊂ A es cualquier ideal, entonces A/I es noetheriano. En efecto, sea f : A −→ A/I la aplicación cociente y J ⊂ A/I cualquier ideal. Entonces f −1 (J ) es un ideal nitamente generado por ser A noetheriano. Sea c1 , ..., cn un sistema de generadores para f −1 (J ). Los elementos f (c1 ), ..., f (cn ) generan J en A/I .. Denición 3.1.22. Sea A un dominio entero. A es un dominio de Dedekind si cumple las tres propiedades siguientes:.

(26) 3.1. 23. (i) A es noetheriano. (ii) Todo ideal primo P ∈ P rim(A) no nulo es ideal maximal P ∈ M ax(A). (iii) A es integralmente cerrado.. Ejemplo 3.1.23. Todo D.I.P. es dominio de Dedekind, pues por ser D.F.U. es integralmente cerrado y claramente es noetheriano. También cumple con la propiedad que todo ideal primo no nulo es maximal. En efecto, sean P1 = (p1 ) y P2 = p2 dos ideales primos principales distintos no triviales de algún D.I.P. A y supongamos por contradicción que P1 ⊂ P2 . Entonces existe a ∈ A tal que p1 = ap2 . Como P1 es primo, o p2 ∈ P1 , en cuyo caso tendríamos P1 = P2 , o a ∈ P1 . En este último caso a = bp1 (para algún b ∈ A), y tendríamos entonces p1 (1 − bp2 ) = 0. Como A es dominio, o p1 = 0, en cuyo caso P1 = (0), o 1 − bp2 = 0, caso en el cual p2 es una unidad de A y P2 = A. RL además de ser anillo hereda de Z propiedades muy especiales:. Teorema 3.1.24. Sea A un dominio de Dedekind. Sea L ≥ K una extensión nita y separable de K , campo de fracciones de A. Entonces la clausura integral B de A en L es un dominio de Dedekind. La demostración del teorema anterior así como la del siguiente se puede leer en [Lor] pg.91. Ser dominio de Dedekind es una propiedad muy especial sobre todo por el siguiente teorema:. Teorema 3.1.25. Sea A un dominio noetheriano donde todo ideal primo es maximal. El anillo A es dominio de Dedekind si y sólo si A tiene la propiedad de factorización única de ideales. Así, el anillo de enteros algebraicos RL siempre tiene la propiedad de factorización única de ideales.. Nota 3.1.26. Recordemos que un elemento m de un A-módulo es un elemento de torsión si existe a ∈ A, a 6= 0, tal que am = 0. Un A-módulo M es un módulo de torsión si todos sus elementos son elementos de torsión. Por ejemplo, dado I un ideal no trivial de A, A/I es siempre un módulo de torsión. Si 0 es el único elemento de torsión en M , entonces M se dice libre de torsión. Un teorema del álgebra ([Jac] teorema 3.10) nos dice que cuando A es D.I.P., todo A-módulo nitamente generado es isomorfo a la suma directa de un módulo de torsión nitamente generado y un A-módulo libre nitamente generado. En la prueba del teorema 3.1.24 uno demuestra generalmente el siguiente resultado: Dado A un dominio noetheriano, integralmente cerrado en su campo de fracciones K , y L ≥ K una extensión nita y separable, la clausura integral B de A en L es un.

(27) 3.1. 24. A-módulo nitamente generado, y en particular es noetheriano ([Lor], pg.21). Además,. en este caso, es fácil ver que B resulta ser libre. Entonces, por el teorema citado en el primer párrafo de esta nota, B es un A-módulo libre nitamente generado. En el caso de los campos de números, como toda extensión nita de Q es separable, y Z es noetheriano e integralmente cerrado en Q, entonces, dado L un campo de números, B = RL es siempre un Z-módulo libre nitamente generado. El rango de B sobre A se puede calcular mediante el siguiente lema.. Lema 3.1.27. Sea K un campo de fracciones de un dominio A. Sea L ≥ K una extensión nita de grado n. Sea B la clausura integral de A en L. Si B es un A-módulo libre nitamente generado entonces el rango de B sobre A es igual a n. Demostración. Sea {b1 , ..., bs } una base de B sobre A. Esta base es linealmente independiente sobre K pues toda relación K -lineal, multiplicando por todos los denominadores de las fracciones, se convierte en una relación A-lineal. Entonces s ≤ n. La proposición 3.1.12 nos muestra que todo elemento de L es de la forma ab para algún b ∈ B y a ∈ A. Entonces concluímos que b1 , ..., bs generan L como K -espacio vectorial. De donde, s = n. Ahora mostremos un hecho que nos será útil más adelante. Un anillo de Dedekind, cuando posee sólo un número nito de ideales primos, es D.I.P.. Para ello necesitamos recordar el teorema chino del resíduo, cuya demostración se puede consultar en [Ati], pg.7.. Teorema 3.1.28. (Teorema chino del resíduo) Sea A un anillo conmutativo. Sean I1 , ..., In n ideales de A. Considere la aplicación cociente n Y φ : A −→ (A/Ii ) i=1. Entonces Ii , Ij son coprimos si y sólo si φ es sobreyectiva. inyectiva.. n T i=1. Ii = (0) si y sólo si φ es. Proposición 3.1.29. Sea A un dominio en donde todo ideal primo es maximal. Suponga que A posee F.U.I.. Si Max(A) es un conjunto nito, entonces A es D.I.P.. Demostración. Sea M ∈ M ax(A). Como A posee F.U.I., M 2 6= M . Sea m ∈ M \M 2 y sean M1 , ..., Ms (sin incluir a M ) los ideales maximales de A. Como los ideales M 2 , M1 , ..., Ms son coprimos dos a dos, el teorema chino del resíduo implica que existe un elemento x ∈ A tal que x ≡ m mod M 2 , x ≡ 1 mod M i , ∀i = 1, ..., s. Aramamos que (x) = M . Como x − 1 ∈ Mi , ∀i = 1, ..., s, tenemos que (x) * Mi , ∀i = 1, ..., s. Entonces, como A tiene F.U.I., (x) = M a para algún a ≥ 0. Ahora, como x − m ∈ M 2 y m ∈ M \M 2 , entonces debemos tener (x) ⊆ M y (x) * M 2 . Por lo tanto (x) = M . Esto.

(28) 3.1. 25. muestra que todo ideal maximal de A es principal. Como todo ideal de A es producto de ideales maximales, concluímos que todo ideal de A es principal. Ahora introduzcamos una herramienta muy importante álgebra conmutativa: la localización.. 3.1.2. Localización Denición 3.1.30. Sea A un anillo conmutativo. Un conjunto S en A es multiplicativo si (i) 0 ∈ / S y 1 ∈ S. (ii) Si a, b ∈ S entonces ab ∈ S .. Ejemplo 3.1.31. Sea P ⊂ A un ideal primo. El conjunto S := A\P es multiplicativo. Denamos en A × S la siguiente relación: (a, s) ≡ (b, t) si y sólo si existe σ ∈ S tal que σ · (at − bs) = 0. Es fácil vericar que es un relación de equivalencia. Sea a/s la clase de equivalencia de (a, s) en A × S , y sea S −1 A el conjunto de todas las clases de equivalencia. Se le da una estructura de anillo a S −1 A de la manera siguiente: (a/s) + (b/t) = (at + bs)/ts (a/s)(b/t) = ab/ts 1/1 = elemento identidad.. La aplicación jS : A −→ S −1 A a 7−→ a/1. es un homomorsmo de anillos. El anillo S −1 A se llama el anillo de fracciones de A con respecto a S. Así, a partir de A, localizando se construye un anillo más grande añadiendo los inversos de elementos de algún conjunto especial S de A. Es fácil vericar que cuando A es un dominio, S −1 A es un dominio, y si K es el campo de fracciones de A y S = A\{0}, entonces K = S −1 A.. Lema 3.1.32. Sea A un anillo conmutativo. Sea S ⊂ A un conjunto multiplicativo. Sea I cualquier ideal de A. Sea S −1 I el ideal de S −1 A generado por la imagen jS (I). Entonces S −1 I = {x/s | x ∈ I, s ∈ S}. En particular S −1 I = S −1 A si y sólo si I ∩S 6= 0..

(29) 3.1. 26. Demostración. Claramente {x/s | x ∈ I, s ∈ S} ⊂ S −1 I . Sea ahora z ∈ I . Entonces z n P es de la forma z = (ai /si )(xi /1), con ai ∈ A, si ∈ S , y xi ∈ I , para todo i = 1, ..., n. Sea x :=. n P i=1. a(. Q. i6=j. i=1. sj )xi y s :=. n Q i=1. si . Entonces z = x/s con x ∈ I y s ∈ S .. Claramente, si I ∩ S 6= ∅, entonces S −1 I contiene una unidad de S −1 A y, por lo tanto, es igual a todo el anillo. Supongamos ahora que S −1 I = S −1 A. Entonces 1/1 ∈ S −1 I . De donde existe x ∈ I y s ∈ S tales que x/s = 1/1. Por lo tanto existe σ ∈ S tal que σ(x − s) = 0, que muestra que σx ∈ I ∩ S .. Proposición 3.1.33. Si A es un anillo noetheriano y S es un conjunto multiplicativo, entonces S −1 A es noetheriano. Demostración. Sea J ⊂ S −1 A un ideal de S −1 A. Sea I := jS−1 (J). Como A es noetheriano, I es generado por un conjunto nito de elementos x1 , ..., xr . Armamos que jS (x1 ), ..., jS (xr ) genera J . En efecto, observemos primero que S −1 I = J , pues si x ∈ I , entonces x/s = jS (x)s−1 pertenece a J , y, por otro lado,si x/s ∈ J , entonces x/1 ∈ J , luego x ∈ I . Segundo, por el lema 3.1.32, todo elemento de S −1 I = J es de la forma a/s para algún a ∈ I y s ∈ S . Entonces, si a = α1 x1 + ... + αr xr con αi ∈ A para todo r P i = 1, ..., r, a/s = αi /s · xi /1. i=1. Proposición 3.1.34. Sea A un dominio integralmente cerrado. Sea S ⊂ A un conjunto multiplicativo. Entonces S −1 A es un dominio integralmente cerrado. Demostración. Sea K el campo de fracciones de A (y de S −1 A). Sea α ∈ K un elemento no nulo. Escriba α = ab con a, b ∈ A y suponga que α es íntegro sobre S −1 A. Sea f (x) ∈ (S −1 A)[x] un polinomio mónico tal que f (α) = 0. Escriba f (x) = xn + (an−1 /sn−1 )xn−1 + · · · + (a0 /s0 ), con ai ∈ A, si ∈ S, ∀i.. Sea s :=. n−1 Q i=0. si . Como sn = f ( ab ) = 0, entonces (. sa b. ∈ K es íntegro sobre A pues:. a1 sn−1 sa a0 sn sa n an−1 s sa n−1 ) + ( ) +···+ ( )+ = 0. b sn−1 b s1 b s0. Entonces, como A es integralmente cerrado, S −1 A.. sa b. ∈ A. Sea c :=. sa b .. Entonces α =. a b. =. c s. ∈. Corolario 3.1.35. Sea B la clausura integral de un dominio A en un campo L. Sea S ⊂ A un conjunto multiplicativo. Entonces el anillo S −1 B es la clausura integral de S −1 A en L.. Demostración. La proposición 3.1.34 nos muestra que S −1 B es integralmente cerrado en L. Entonces sólo nos falta probar que todo elemento de S −1 B es íntegro sobre S −1 A..

(30) 3.1. 27. Sea b/s ∈ S −1 B , con b ∈ B y s ∈ S . Sea f (x) ∈ A[x] un polinomio mónico tal que f (b) = 0. Escriba f (x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 . Sea g(x) := xn +. an−1 n−1 a0 x + · · · + n ∈ (S −1 A)[x]. s s. Como g(b/s) = 0, b/s es íntegro sobre S −1 A.. Denición 3.1.36. Sea P ∈ P rim(A). El anillo S −1 A se llama la localización de A en P. Este anillo se denota AP . Nota 3.1.37. Dado un conjunto multiplicativo S , se sabe ([Lor], pg.60) que el retículo de los ideales primos P de A (Spec(A)) tales que P ∩S = ∅, está en correspondencia biyectiva (y tiene la misma forma respecto a inclusiones) que el retículo de ideales primos S −1 P de S −1 A (Spec(S −1 A)). De la denición 3.1.16 proviene el nombre de 'localización', pues el anillo AP es local y su ideal maximal es S −1 P . En particular, si en A ideal primo equivale a ideal maximal, en S −1 A también. Vemos a partir de las propiedades 3.1.33 y 3.1.34 que S −1 A hereda de A propiedades como la de ser noetheriano y ser integralmente cerrado. Entonces, si A es dominio de Dedekind y S ⊂ A es un conjunto multiplicativo tal que A\S contiene un ideal primo no trivial de A, S −1 A también es dominio de Dedekind. Así, si A es de Dedekind, K es su campo de fracciones, L ≥ K es una extensión nita y separable, B es la clausura integral de A en L, y S ⊂ A es un conjunto multiplicativo (fíjese que es multiplicativo tanto en A como en B ), B y S −1 B son dominios de Dedekind. Si A es un anillo arbitrario, es fácil vericar que si I, J son dos ideales de A, entonces S −1 (IJ) = S −1 I · S −1 J en el anillo S −1 A. Entonces, si I es m Q un ideal de B que se factoriza I = Biei , entonces la factorización del ideal S −1 I en S −1 B. será. S −1 I. =. M 6= Bi , i = 1, ..., s. i=1. m Q. (S −1 Bi )ei . No obstante, i=1 entonces IM = BM .. note que si se localiza en algún maximal. Lema 3.1.38. Sea A un anillo conmutativo, y sea P ∈ M ax(A). Sea S ⊂ A\P un conjunto multiplicativo. Entonces los campos A/P y S −1 A/S −1 P son isomorfos. Demostración. Como S ⊂ A\P , S −1 P es un ideal maximal de S −1 A, y, por lo tanto, S −1 A/S −1 P es un campo. Considere la composición natural j. π. S A −→ S −1 A −→ (S −1 A/S −1 P ).. Como (π ◦ jS )(P ) = 0, la aplicación π ◦ jS se debe dejar factorizar por medio de la aplicación cociente η → A/P . Sea h : A/P → S −1 A/S −1 P el único homomorsmo de anillos tal que h ◦ η = π ◦ jS . Como A/P es un campo, h es inyectiva. Sea a/s + S −1 P una clase en S −1 A/S −1 P . Sea t ∈ A tal que st − 1 ∈ P (coja simplemente s − 1/p con p ∈ P , no nulo, y multiplique por t = p). Entonces h(at + P ) = h(η(at)) = π(jS (at)) = at/1 + S −1 P , y como ts − 1 ∈ P , a(ts − 1)/s = at/1 − a/s ∈ S −1 P . Esto implica que.

(31) 3.1. 28. h(at + P ) es igual a la clase de a/s en (S −1 A/S −1 P ). Entonces concluímos que h es un. isomorsmo, que es lo que se quiere demostrar. Si A es un dominio de Dedekind, K su campo de fracciones y B es la clausura integral de A en una extensión nita L ≥ K separable (de tal forma que B sea un A-módulo nitamente generado), B es entonces dominio de Dedekind. En la siguiente sección mostramos primero que, dado P ∈ M ax(A), el ideal P B no es nunca igual al ideal trivial en B . Q Como B es de Dedekind, P B posee entonces una factorización si=1 Miei en ideales primos de B . Luego demostraremos una fórmula muy importante que relaciona los enteros e1 , ..., es y el grado n de la extensión L ≥ K .. 3.1.3. Indice de ramicación y grado residual Lema 3.1.39. Sea A un dominio de Dedekind y sea K su campo de fracciones. Sea B la clausura integral de A en una extensión nita L de K . Sea P un ideal maximal de A. Entonces P B 6= B . Demostración. La prueba se reduce al caso en el cual P es un ideal maximal principal. En efecto, si P es un ideal maximal arbitrario, tomando S := A\P , tenemos que S −1 A = AP es D.I.P. pues A es dominio de Dedekind (y por la proposición 3.1.17), además tenemos que S −1 A es de Dedekind (nota 3.1.37), que S −1 B es la clausura integral de S −1 A en L (corolario 3.1.35), y que P B 6= B si y sólo si S −1 P S −1 B 6= S −1 B (claramente S −1 (P B) = S −1 P S −1 B , y S −1 (P B) = S −1 B ⇒ P B = B pues de no ser así P B acepta una factorización en primos de B , y localizando en P obtendríamos una factorización en primos de S −1 B lo cual es absurdo). Supongamos entonces que P es principal y P = (p) para algún p ∈ A. Supongamos que P B = B . Entonces existe b ∈ B tal que pb = 1. Como P 6= A, tenemos b ∈ / A. Sea ahora f (x) ∈ A[x] un polinomio mónico de grado minimal n > 1 (pues o sino b ∈ A), tal que f (b) = 0. Escriba f (x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 . Como pb = 1, pf (b) = bn−1 + an−1 bn−2 + · · · + a0 p = 0. Luego, encontramos une relación integral para b sobre A de grado estrictamente menor que n, lo cual es una contradicción. Por lo tanto no puede existir un tal elemento b. Esto implica que P B 6= B . Dado un dominio de Dedekind A introduzcamos la siguiente terminología. Si I es un ideal de A, y P es un ideal maximal de A (o primo, pues acuérdese que ser primo es equivalente a ser maximal en un dominio de Dedekind), decimos que P divide a I, y lo denotamos P | I , si I se puede factorizar en A como I = P J , donde J es algún ideal de A. Si I se factoriza I = P1a1 ···Psas , entonces el orden de I en P es el entero ordP (I) := ai si P = Pi , y ordP (I) := 0 si P no divide a I . Con esta terminología, podemos escribir Y Y I= P ordP (I) = P ordP (I) P ∈ Max(A). P |I.

(32) 3.1. 29. Se observa que ordP (I) es un invariante local: ordP (I) = ordS −1 P (S −1 I), ∀ S ⊂ A multiplicativo, S ∩ P = ∅. Como sabemos por el lema anterior que P B es un ideal no trivial en el dominio de Dedekind B , P B se factoriza en un producto de ideales maximales: P B = M1e1 · · · Mses , para algunos enteros positivos e1 , ..., es .. El entero eMi /P := ei se llama el índice de ramicación de Mi sobre P . Sea Q un ideal primo de A, y B un ideal primo de B tal que B ∩ A = Q. Decimos entonces que B está por encima de Q. Así, Mi está por encima de P para i = 1, ..., s pues claramente P ⊂ Mi ∩ A y Mi ∩ A es un ideal maximal de A por la proposición 3.1.19). Este debe ser P pues en caso contrario P no sería maximal. Entonces la inclusión A ⊂ B induce inyecciones A/P −→ B/Mi , para i=1,...,s. Como B es un A-módulo nitamente generado, el campo B/Mi es una extensión nita del campo A/P . Sea fMi /P := [B/Mi : A/P ] la dimensión de B/Mi como (A/P )-espacio vectorial.. Denición 3.1.40. El campo A/P se llama el campo resíduo de A en P . El entero fMi /P se llama el grado residual de Mi sobre P . Cuando no haya confusión, escribiremos fMi /P = fi .. Denición 3.1.41. Sea A un dominio de Dedekind con campo de fracciones K . Sea L ≥ K una extensión nita, y sea B la clausura integral de A en L. Suponga que B es. un A-módulo nitamente generado. Sea M ∈ M ax(B). El ideal primo P := M ∩ A es maximal (proposición 3.1.19). Denimos eM/P := ordM (P B) el índice de ramicación de M sobre P . Tanto el índice de ramicación como el grado residual son multiplicativos:. Proposición 3.1.42. Sea A un anillo de Dedekind, K su campo de fracciones, M ≥ L ≥ K dos extensiones de campo nitas y separables. Sea B (respectivamente C ) la. clausura algebráica de A en L (respectivamente, en M ). Sea P un ideal primo de A, B un ideal primo de B que está por encima de P , y Q un ideal primo de C que está por encima de B. Entonces eQ/P = eQ/B eB/P fQ/P = fQ/B fB/P.

(33) 3.1. 30. Demostración. Como BeB/P | P B , pero BeB/P +1 - P B podemos escribir P B = BeB/P ·J donde B no divide a J . De manera similar, BC = QeQ/B · J 0 donde Q no divide a J 0 . Entonces P C = (P B)C = (BC)eB/P · (JC) = QeQ/B eB/P J 0eB/P · (JC) y Q no divide JC , pues de lo contrario B = Q ∩ B ⊃ CJ ∩ B ⊃ J , que es una contradicción con nuestra suposición inicial. Entonces B eQ/B eB/P es la potencia exacta de B que divide a P C . De donde se concluye la primera armación. Ahora, por denición, fB/P = [B/B : A/P ], fQ/B = [C/Q : B/B]. Entonces fQ/P = [C/Q : A/P ] = [C/Q : B/B][B/B : A/P ] = fQ/B fB/P .. Teorema 3.1.43. Sea A un dominio de Dedekind con campo de fracciones K . Sea L ≥ K una extensión nita. Sea B la clausura integral de A en L. Si B es un A-módulo. nitamente generado, entonces [L : K] =. X. eM/P fM/P .. M |P B. Demostración. Sea P B =. s Q i=1. Miei . Como los ideales Miei , i = 1, ..., s son coprimos dos. a dos, el teorema chino del resíduo nos muestra que tenemos un isomorsmo de anillos B/P B ∼ =. s Y. B/Miei .. i=1. Cada uno de los anillos B/P B y B/Miei , i = 1, ..., s, también se puede considerar como un (A/P )-espacio vectorial. Para mostrar este Teorema vamos a mostrar que (1) dimA/P (B/P B)=[L : K], y (2) dimA/P (B/Miei )=ei · dimA/P (B/Mi )=ei fi , ∀ i = 1, ..., s. Probemos primero ambas armaciones en el caso en que A y B son D.I.P.. Por la nota (3.1.25) y el lema (3.1.26) B es un A-módulo libre de rango n := [L : K]. Sea π un generador del ideal P en A. Entonces B/P B ∼ = (A ⊕ · · · ⊕ A)/(πA ⊕ · · · ⊕ πA) ∼ = (A/P )n .. Entonces la (A/P )-álgebra B/P B tiene dimensión n sobre A/P . Ahora, sea M = Mi y e = ei para algún i = 1, ..., s. Entonces P ⊂ M e , y por lo tanto, B/M e es un (A/P )-espacio vectorial. Procedemos por inducción en e para mostrar que dimA/P (B/M e ) = e · dimA/P (B/M ). Claramente es cierta la armación para el caso e = 1. Considere ahora la secuencia exacta de (A/P )-espacios vectoriales: 0 −→ M e−1 /M e −→ B/M e −→ B/M e−1 −→ 0..