Vol. 18, núm. 3 (2003)

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Simulación numérica de mojado y secado en aguas poco

profundas, usando un esquema curvilíneo adaptable

Gabriel Soto Cortés

Universidad Autónoma Metropolitana Azcapotzalco, México

Moisés Berezowsky Verduzco Universidad Nacional Autónoma de Mexico

Cuando una avenida fluye sobre una planicie de inundación, la forma de la zona inundada cambia continuamente; el calculo de este cambio de forma es un problema difícil de solucionar: Existen varios enfoques para intentar resolver al que se le ha denominado el problema de mojado y seca- do; esto es, la determinación de la zona cubierta por el agua. En el artículo se presenta y evalúa un método curvilíneo que mediante la adaptación de la malla calcula el proceso de mojado y secado en flujos promediados en la profundidad. La deformación del espacio físico se obtiene empleando un enfoque Euleriano-Lagrangiano, con el que la malla de calculo se adapta según el nivel del agua. El sistema de ecuaciones diferenciales parciales, que describen el flujo promediado en la profundidad y el cambio en la forma del dominio debido al mojado y secado, se basa en el método de pasos fraccionados; se descompone el sistema bidimensional no lineal de ecuaciones hidrodinámicas en un grupo lineal tridiagonal, el cual se resuelve usando un método iterativo de direcciones alternantes. Se presenta la validación del modelo con datos experimentales. La con- cordancia entre los resultados numéricos y experimentales es muy satisfactoria.

Palabras clave: modelo adaptable, enfoque Euleriano-Lagrangiano, ecuaciones para aguas poco profundas, mojado y secado, método de pasos fraccionados.

Introducción

Los modelos basados en las ecuaciones para aguas poco profundas se usan extensamente con propósitos diversos. Por ejemplo, el estudio de los procesos de mojado y secado debidos a mareas en zonas costeras (Grilli y Subramanya, 1996; Haeuser et a/., 1985; Hu y Kot, 1997; Shaoling y Kot, 1997) o el estudio de fenómenos que im- pliquen el movimiento de fronteras como los que se presentan durante los procesos de inundación y de flujos torrenciales (Akanabi y Katopodes, 1988; Balzano, 1998; Davies et al., y b). Este trabajo aborda la modelación matemática del mojado y secado, con el pro- pósito de proponer una metodología para su simulación numérica basada en un esquema de malla adaptable en

el que, simultáneamente, se determina el campo hidrodinámico asociado con el flujo. El método en dife- rencias finitas que se usa en el artículo difiere significativamente de la hipótesis de otros métodos que no consideran la dependencia del espacio físico con respecto al tiempo. En esta primera etapa de pruebas se destacan algunas cualidades del modelo y su potencial de aplicación.

Descripción del modelo

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dad de movimiento, se escriben a continuación (ecuaciones y 3). Estas ecuaciones se derivan a partir de las hipótesis de Saint-Venant para una distribución de velocidad uniforme en la vertical (Abbot, 1979); Chaudry, 1993).

donde C es el coeficiente de Chezy.

Las ecuaciones a representan la superposición de tres procesos físicos elementales, llamados advección, difusión y propagación (Benqué et al., 1982). El método de pasos fraccionados desarrollado por Yanenko y su equipo (Yanenko, 1971) es especialmente aplicable a este tipo de problemas; suponiendo que el estado del modelo se conoce al instante el nuevo estado al instante se calcula por la aplicación sucesiva de las etapas advectiva, difusiva y propagativa, considerando el método numérico más adecuado en cada caso. Las ecuaciones para cada proceso son las siguientes (Soto, 2000) :

Advección

En las cuales x , y y

t

son las coordenadas espaciales y el tiempo, respectivamente; H representa la elevación de la superficie libre del agua y h, el tirante;

U

y V son los gastos por unidad de ancho en las direcciones cartesianas x y y, respectivamente; u y v son las velocidades correspondientes, mientras que es el vector velocidad; gc es la aceleración de la gravedad; F representa la aceleración de Coriolis; son los esfuerzos cortantes en la superficie libre y en el fondo, en las direcciones x y y, respectivamente; p es la densidad del agua; es la viscosidad turbulenta; V indica el operador nabla. Las variables dependientes en las ecuaciones y son U =

uh,

V = vh y h = H-zf

donde

zf

es

la

elevación del fondo. El término de Coriolis se expresa como:

F = 2

siendo

w

la velocidad angular de la tierra y la latitud. Debido a la escala de los problemas aquí tratados no se consideran

los

efectos de Coriolis, mientras que

los

esfuerzos cortantes en la superficie provocados por el viento se consideran despreciables. Por su parte, los esfuerzos en el fondo, de acuerdo con la ecuación de Chezy, son:

Transformación curvilínea

y

dependencia en

el

tiempo

Usando la regla de la cadena, las ecuaciones a se transforman de un espacio físico (x, y) Y) a un espacio curvilíneo en el cual es posible describir con deta- Ile la forma del espacio físico sin la necesidad de trans- formar el vector velocidad. Esto significa que la versión curvilínea de las ecuaciones hidrodinámicas de cantidad de movimiento, después de la transformación, sigue siendo las ecuaciones de cantidad de movimiento en la di- rección x y y, respectivamente. Por otra parte, es importante resaltar la forma en que las ecuaciones transforma- das tienen en consideración el cambio en el tiempo del

Difusión

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donde y son las derivadas parciales respec- to del tiempo de la propiedad f referidas al sistema cartesiano y curvilíneo, respectivamente; J representa el jacobiano de la transformación; los subindices y de- notan derivadas parciales respecto a dichas direcciones curvilíneas. Con la ecuación se calcula el cambio en el tiempo de las variables dependientes y H,). Como se observa en la ecuación todas las derivadas en el tiempo se calculan respecto a las variables curvilíneas y, por lo tanto, no es necesaria la interpolación entre los nodos del espacio físico. La Única interpolación requerida, cada intervalo de tiempo, es para obtener la nueva localiza- ción de los puntos de la malla en el espacio físico, la cual se realiza entre la superficie libre del agua y la malla topográfica.

En la ecuación las velocidades de los puntos de la malla se representan por x, y y,. En general, estas canti- dades no pueden obtenerse analíticamente y, por lo tan- to, deben calcularse numéricamente, como parte sustan- cial del problema. Así, en este trabajo, las velocidades de los puntos de la malla se consideran variables dependientes de la elevación de la superficie libre del agua: dominio de integración o espacio físico. El componente adicional que permite

lo

anterior consiste en el hecho de que aun cuando las coordenadas x y y de un punto en la frontera de la zona inundada cambian en el plano físico por el movimiento de la superficie libre del agua, la nueva solución del sistema elíptico, con el que se genera la ma- Ila a partir de los valores de frontera modificados, se obtiene sobre el mismo rango de valores en el espacio computacional (Johnson y Thompson, 1978). Por lo tan- to, el plano transformado permanece sin cambios incluso cuando los puntos en la malla en el espacio físico cam- bien su posición relativa. Matemáticamente, la transfor- mación del espacio físico

(x, y )

al espacio curvilíneo de cualquier propiedad f=f(x,y,t) puede realizarse como sigue:

de velocidad

x,

y y,. La relación funcional expresada en la ecuación no resulta fácil de determinar debido a que es necesario conocer, cada intervalo de tiempo, la forma de la zona inundada. Lo anterior no es factible debido a que la determinación de dicha forma es uno de los obje- tivos del modelo numérico propuesto. En pocas palabras, existe una dependencia recíproca entre la forma del espacio físico y el valor de las variables hidrodinámicas.

Paravisualizar el concepto que se describe en la ecua- ción en la ilustración se representan

los

niveles de la superficie libre del agua en los instantes y (n+1)

La variación en el nivel de la superficie libre entre ambos instantes (AH), obliga a reubicar a los puntos que definen las fronteras de la zona inundada hasta la intersec- ción de dicho plano con la malla que define la topografía. Como alternativa de solución al problema aquí des- crito, se propone utilizar un método de adaptación de malla del tipo Euleriano-Lagrangiano:

Se calcula la hidrodinámica, considerando que la malla que define al espacio físico no cambia en el tiempo (x, = y,

Los puntos de la frontera de la malla se mueven a sus nuevas posiciones, las cuales se localizan en la intersección, entre las mallas que describen la superficie libre del agua y la topografía. Como puede de- mostrarse (Alarcón et al., la descripción apro- piada de la nueva configuración del espacio físico depende del algoritmo de interpolación y del grado de refinamiento de la malla topográfica, así como de la malla que representa la superficie libre del agua. En

lo

que respecta a este trabajo, la determinación de la nueva configuración de la zona inundada no se realiza, necesariamente, cada intervalo de tiempo A t debido a que en los casos aquí analizados el despla-

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zamiento de las fronteras ocurre lentamente. Los puntos interiores de la malla se redistribuyen; es decir, se regenera la malla de acuerdo con la nueva forma del dominio de integración.

Las velocidades de los puntos de la malla se calculan numéricamente.

donde:

Difusión (ecuaciones y O)

donde:

Se recalcula la hidrodinámica.

Las ecuaciones fundamentales referidas a un espacio curvilíneo y que consideran la variabilidad de sus fron-

teras como una función del tiempo se escriben aquí como: donde g11, g12 y g22 son los componentes de la matriz métrica de transformación.

Propagación

Las ecuaciones y se transforman al espacio curvilíneo

(E,,

para posteriormente integrarse en una sola ecuación lineal, como se mostrará más adelante.

Algoritmo adaptable de solución

Suponiendo que el valor de

las

variables hidrodinámicas se conoce al tiempo el estado al tiempo se calcula después de la aplicación sucesiva de las etapas convectiva, difusiva y propagativa. El algoritmo de solu- ción considera de manera independiente -como se mos- trará en detalle- cada uno de los procesos físicos involucrados.

El modelo que aquí se desarrolla es llamado adaptable; la palabra adaptable se usa de forma amplia y, sin embargo, no es fácil de definir y es común que se con- funda con el concepto de malla ajustada a las fronteras; la adaptabilidad no tiene que ver, necesariamente, con una transformación de coordenadas. La adaptación se realiza, generalmente, a través de una función de retroa- limentación que, en este caso, se representa por el cambio en el nivel de la superficie libre AH.

Esquema numérico para cada etapa

Advección

El proceso de advección se trata de manera aislada en cada dirección curvilínea. De las ecuaciones y en la dirección

E,

se obtiene:

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tiempo. Es decir que, de momento, no se está intere- sado en reproducir los efectos locales de dispersión, pues la complejidad del movimiento de las fronteras, simultáneamente con la determinación del campo de velocidades, ya es en sí mismo un problema de difícil solución (Vreugderhil, el cual ha sido explora- do con relativo éxito debido a dificultades de estabili- dad numérica (Johns

et

al., 1982; Gopalakrishnan, 1989).

Se considera una malla aproximadamente ortogonal, lo que implica que los elementos g12 y g21 de la matriz métrica de transformación y que intervienen en las ecuaciones a toman valores cercanos a cero. Las ecuaciones y son independientes y se resuelven usando el método en dos etapas en direcciones alternadas propuesto por Peaceman y Rachford 955). Las ecuaciones y se resuelven de manera explí-

cita, con la intención de obtener una primera aproxima- ción de

los

componentes de velocidad denotadas por u'

y las cuales se usan a su vez para resolver las ecuaciones y en la dirección

*

Para la ecuación 34:

En las ecuaciones a

los

coeficientes A y B se calculan usando las expresiones y respectivamente; el superíndice n+1/3 es simbólico, representa la primera aproximación al resultado para el instante

después de la aplicación del primero de tres operadores. Los valores U"++"~

y

Y ~ + ~ / ~ se usan como v a l ~ ' es iniciales para el paso de difusión.

Difusión

Como primer paso, las ecuaciones y se simplifi- can, considerando, en este trabajo, exclusivamente los siguientes términos:

y para la ecuación 35:

la estructura de las ecuaciones y es similar a la del caso cartesiano. Básicamente existen dos razones que validan tal simplificación:

En primer lugar es conveniente resaltar que el propó- sito principal de este trabajo es proponer una meto- dología para enfrentar las dificultades que implica la solución a las ecuaciones hidrodinámicas cuando el dominio de integración cambia como una función del

la solución a las ecuaciones y 37' se reduce a sistemas lineales tridiagonales, usando para ello una rutina computacional eficiente y económica (William et a/. 1986).

Propagación

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Si se considera que la variación en el tiempo de H de acuerdo con la ecuación 13:

sustituyendo la ecuación en la y desarrollando operadores:

en la cual

los

gastos por unidad de ancho U y V se obtie- nen a partir de la ecuación escrita como:

De acuerdo con lo anterior, en la ecuación se puede llevar a cabo la discretización en cada uno de los cen- tros de la malla de calculo (Soto, 2000):

El sistema de ecuaciones para todos

los

nudos puede resolverse a lo largo de cada dirección curvilínea aplicando un método iterativo de doble barrido. Por ejemplo, la ecuación se reescribe en la dirección como:

donde el superíndice se refiere a los valores AH que se consideran conocidos de la iteración previa.

La ecuación en la dirección

El proceso iterativo finaliza cuando:

con el valor de tolerancia, E , expresado en metros. En

ambas direcciones, el sistema por resolver es tridiagonal. Como se puede observar, el nivel de la superficie libre no interviene durante los pasos de advección y difusión; estas etapas se realizan en las caras del volumen de control y se modifican solamente los valores de

los

gastos unitarios al final de la etapa difusiva:

donde:

Los

valores evaluados con la ecuación se usan en la ecuación con la intención de calcular

los

valores de

los

gastos unitarios al tiempo Los cambios en el nivel de la superficie libre del agua (AM) y el conocimien- to en detalle de la topografía permite determinar la nueva configuración de la frontera del volumen de control antes del siguiente paso de calculo al instante

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La malla computacional

Debido a la discretización propuesta, las variables dependientes H , U y V se definen en diferentes mallas, las cuales llamaremos aquí malla y malla H , tal como se muestra en la ilustración

Los gastos unitarios se definen en las caras de la malla y el nivel de la superficie libre del agua se define en los vertices de la malla H . De esta forma, en la ilustración se puede observar que las celdas que tienen como cen- tro H, tienen en su cara derecha e izquierda definidos los gastos U (caras u ) , mientras que en las caras superior e inferior se definen los gastos V (caras

v).

Condiciones iniciales

Las variables dependientes se consideran conocidas ya sea proponiendo un nivel de superficie libre y un campo de velocidades, o usando valores previamente calculados.

Condiciones de frontera

Aguas arriba y aguas abajo se conoce para todo instante el gasto y el nivel de superficie libre del agua, respectivamente. En las márgenes se considera condición de no deslizamiento. En la ilustración se puede observar una celda representativa del espacio físico, en el cual la cara superior representa la margen izquierda. Las caras de las celdas se alinean con las direcciones curvilíneas

Las caras alineadas en la dirección se llaman caras

u debido a que en ellas se ha definido esta componente

cartesiana de velocidad (ilustración 2) y las caras alineadas con la dirección curvilínea se llaman caras

v

por la misma razón; i y j son los vectores unitarios en las di- recciones cartesianas x y y , respectivamente. Por otra parte, es el ángulo entre una cara v y el eje x. En general, para la discretización propuesta, se requieren conocer en las caras

u

y

v

los valores promedio

vm

y um, respectivamente. Además, se deben tener en cuenta algunas consideraciones, a fin de garantizar el cumplimiento de las condiciones de frontera:

Si = O"

o

= entonces

v

= O (u se interpola de valores interiores).

Si O" o entonces, la suma vectorial de los componentes de flujo en la dirección normal a las caras

v

tiene que ser igual a cero (ilustración 4):

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donde el gasto tangente gt es diferente de cero y se interpola de valores interiores.

Las ecuaciones y se consideran los casos par- ticulares O = 90" y O = (u =O y v interpolada de valores interiores).

Flujo en

la curva

de un

canal

A continuación se presenta una comparación entre datos experimentales obtenidos por Rosovzkii 957) para el flujo en una curva de los obtenidos con el modelo adaptable propuesto. Estos experimentos han sido am- pliamente comentados por diversos investigadores (Jiménez, 2000; Leschziner y Rodi, 1979; Meselhe y Sotiropoulus, 2000;

Molls,

1992) y se realizaron en un canal rectangular horizontal de ancho = m; el ra- dio interno de la curva es de metros.

Variables numéricas

Los valores de las variables usados en la simulación co- rresponden al experimento l de Rosovzkii y fueron: C =

m1/2/s (Chezy); aguas arriba la velocidad de entrada es u = m/s y el tirante de m. No se consideran relevantes los efectos dispersivos (Rodi, 1984;

Molls,

1992).

En las paredes del canal se supone flujo perpendicular nulo con libre deslizamiento en la tangente. La malla computacional (140 x 20) se muestra en la ilustración Aguas abajo se consideró un tirante constante de metros.

Resultados

En la ilustración se muestra el campo de velocidades para estado estacionario. Se puede observar que la velocidad del agua en la curva se acelera cerca de la margen interior y se retarda en la margen exterior, lo cual con- cuerda con los resultados experimentales. La ilustración

muestra los perfiles de velocidad medidos y calculados para las secciones transversales a y 'En este caso, u representa la componente de velocidad en la di- rección mientras que b representa la distancia perpendicular a la pared del canal, medida desde la margen derecha a la margen izquierda.

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efectos inerciales a la entrada, seguramente hay efectos tridimensionales que este modelo no toma en cuenta. En la ilustración se muestran los tirantes medidos en las márgenes de la curva. Los valores calculados son, tam- bien en este caso, comparables con los reportados en otros trabajos (Molls, 1992; Jiménez, 2000).

Flujo no permanente en un canal de laboratorio

Instalación experimental

La instalación experimental consistió en un canal rectangular de m de longitud, m de profundidad, m de ancho y pendiente variable. El equipo permite fijar el gasto de entrada mediante una compuerta vertical ubicada aguas abajo y que controla el nivel de la superficie libre del agua. La zona en estudio, ubica-

da en los últimos m del canal, se modificó en su sección transversal tal como se muestra en la ilustra- ción De esta manera, pequeñas variaciones en el nivel del agua se traducen en un cambio importante en la forma del dominio físico, definido éste como la proyección en planta de la zona inundada. Maniobras sucesivas de apertura y cierre, y sus consecuentes efectos en la cota de superficie libre del agua, se re- gistraron con ayuda de ocho sensores de nivel, distri- buidos a lo largo de la zona en estudio. La señal analógica obtenida se conduce y transforma con la intención de registrarla con un software de adquisición instalado en una computadora personal. La informa- ción experimental así obtenida se compara con la que genera el modelo numérico propuesto.

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lenta fue igual a cero. La ilustración muestra una re- presentación tridimensional de la superficie libre del agua (para

t

= s y

t

= s), la cual se adapta a la topo- grafía del canal. En ilustración se comparan los valores de la elevación de la superficie libre, medidos y calculados a cinco metros aguas arriba de la compuerta. Como puede observarse, la concordancia entre dichos valores es, en general, satisfactoria.

Flujo en un cauce natural (fronteras irregulares)

Instalación experimental

En una mesa de arena se simuló el cauce natural de un

río. La instalación tiene m de longitud y m de ancho. Un equipo de bombeo de HP provee una capaci- dad de hasta Un vertedor rectangular controla el flujo que entra al modelo. Inicialmente, el flujo se descar- ga en un tanque rectangular de m de profundidad, m de ancho y m de longitud, seguido por otro de m de ancho y m de longitud. Los tanques tienen la intención de garantizar un flujo de entrada hacia el modelo sin agitación apreciable. Aguas abajo se tiene otro tanque de m de ancho, m de longitud y m de profundidad, en el cual hay una compuerta vertical, que regula la elevación de la superficie libre del agua. La ilustración muestra una imagen del modelo desde aguas abajo hasta aguas arriba. Para el análisis se selec- cionó una zona extremadamente plana (ilustración

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la forma en la que cambiaban los márgenes que delimi- taban la zona inundada.

Verificación del modelo para estado estacionario (malla fija) En esta etapa se verificó el comportamiento del modelo para estado permanente con fronteras irregulares; los resultados se compararon con datos experimentales. La ilus- tración representa la malla curvilínea usada para el calculo hidrodinámico. Para este fin se usó una C = m1/2/s y un coeficiente de viscosidad turbulenta muy cercano a cero. Aguas arriba, el gasto que ingresa es de m3/s y aguas abajo, la cota de la superficie libre se fijó en m. Para las márgenes se consideró la condición de flujo nulo perpendicular a las orillas y libre deslizamiento.

En las ilustraciones y se muestra en perspec- tiva la forma en la que la superficie libre del agua se adapta a la topografía. Se encontró una muy buena concordancia entre los perfiles hidráulicos medidos y los calculados (ilustración 17).

delimitada por la cuadrícula de referencia que se observa en la ilustración

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Verificación del modelo para flujo en estado no permanente (malla adaptable)

Aguas arriba el flujo se fijó en I/s y aguas abajo la cota inicial fue de m. Una vez establecido el flujo, con ayuda de una compuerta ubicada en el tanque aguas abajo, se provocaron variaciones en el nivel de la superficie libre del agua que, en consecuencia, se transforma- rán en variaciones importantes en la forma de la zona inundada. Durante los experimentos se realizaron medi- ciones continuas de las variaciones de nivel a lo largo del cauce en estudio, así como de la evolución de la inunda- ción, esto con la ayuda de un equipo de videograbación. Para los resultados que se presentan aquí se optó por realizar la adaptación de la malla cada cien intervalos de tiempo At = s. Desde el inicio del experimento (una vez establecido el flujo) hasta su finalización, transcurrie- ron minutos. La ilustración muestra la variación

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La ilustración muestra una secuencia de imágenes en las que se confrontan las márgenes medidas y calcu- ladas correspondientes a los tiempos O, y minutos, respectivamente.

En general, se aprecia un desempeño satisfactorio del modelo para el proceso de inundación que aquí se presenta. La diferencia entre valores medidos y calculados no resulta significativa. Los errores parecen concentrar- se en zonas bien localizadas y no son atribuibles, necesariamente, al modelo propuesto.

Rango de variación experimental

Con el propósito de conocer las fuentes de error que po- drían repercutir en la respuesta del modelo, se analiza-

ron diversas posibilidades. Se concluye que la fuente más importante de error se origina en la sensibilidad del modelo físico a pequeñas variaciones en la topografía, que se traducen en la imposibilidad de obtener exactamente la misma zona inundada para diferentes sesiones experimentales, aun cuando las condiciones aguas arriba y aguas abajo permanecieran inalteradas.

Así,

entre un experimento y otro, las márgenes que delimitan la zona inundada difirieron en su posición en un rango, llamado aquí rango de variación experimental.

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res. Estas áreas cambian de experimento a experimento, aun para las mismas condiciones iniciales, y son las que definen el rango de variación experimental. Como ejemplo, la ilustración muestra el rango de variación experimental definido para un flujo de I/s (area limitada por cada margen entre la línea continua y la discontinua).

cos involucrados en el fenómeno. Con este enfoque es posible escribir la solución al problema en términos de sistemas lineales tridiagonales, cuya solución es factible aplicando un amplio rango de métodos de solución y seleccionando el más conveniente en cada caso, con lo que los problemas inherentes a inestabilidades numéri- cas a las que hace referencia Johns (1982) y Gopalakrishnan (1 entre otros autores, pueden con- En este trabajo, el modelo se aplicó a tres casos: flujo en un canal recto (malla adaptable), flujo en un canal curvo a (malla fija) y flujo en un cauce natural (malla adaptable y fronteras irregulares). Para cada uno de estos ejemplos se compararon resultados numéricos con experimentales; se encontró muy buena concordancia entre ellos. En los casos expuestos, los efectos debidos al proceso de dispersión son poco significativos, por lo que el interés se centra en analizar la dependencia biunívoca entre la forma de la zona inundada y el campo de velocidades. Se aplicó la condición de flujo nulo y libre deslizamiento en las fronteras en los tres problemas analizados, aunque esta circunstancia es relevante solamente, en concordancia con Molls para el flujo en el canal curvo.

Con los resultados obtenidos en este trabajo se destaca el potencial de aplicación de la simulación adaptable a problemas hidrodinámicos con flujo no permanente.

Agradecimientos

Se agradece al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología, y al Instituto de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México el apoyo económico y moral que hizo posible la realización de este trabajo.

Conclusiones trolarse de manera efectiva.

Se presenta el desarrollo de un modelo hidrodinámico bidimensional para aguas poco profundas, referido a un sistema de coordenadas curvilíneo en el que se considera lavariabilidad en el tiempo del volumen de control (modelo de malla adaptable). El concepto resulta importante en el caso de flujos en los que pequeñas variaciones en el nivel de la superficie libre del agua se traducen en un cambio significativo de la zona inundada. El modelo se desarrolla en un sistema de referencia curvilíneo, con el propósito de abordar problemas con geometrías irregulares sin los inconvenientes de otras técnicas numéricas.

El método numérico permite considerar la dependencia del espacio físico con respecto al tiempo y su repercu- sión en la hidrodinámica del problema, la cual se calcula simultáneamente con la forma y el tamaño del volumen de control.

El algoritmo propuesto tiene la intención de garantizar un bajo costo computacional, incluso comparado con algoritmos que no consideran la dependencia temporal del volumen de control; de hecho, en los casos analizados la adaptación no representa más del del tiempo de cómputo total. Lo anterior es posible gracias a que la solución numérica propuesta disocia los procesos físi-

Recibido: 13/02/2002 Aprobado: 28/08/2002

Referencias

ABBOT, M. B. Computational hydraulics. Elements of the theory of free surface flows. Londres: Pitman Publishing,

pp.

AKANABI, A.A. y KATOPODES, N.D. Model for flood propagation on initially dry land. J. hydraul. eng. Vol.

ALARCÓN, F!, BEREZOWSKY, M., RIVERA, F. y SOTO, G. Deter- minación de la zona inundada en flujos bidimensionales: análisis de sensibilidad. Memorias del XVlll Congreso Lati- noamericano de Hidráulica. Vol. Oaxaca, México,

pp.

(15)

BALZANO, A. Evaluation of methods for numerical simulation of wetting and drying in shallow water flow models. Coastal engineering. Vol. pp.

BENQUÉ, J.P., CUNGE, J.A., FEUILLET, J., HAUGUEL, A. y HOLLY, F.M. New method for tidal current computation. J. of the Waterway, Port, Coastal and Ocean Div. Vol.

CHAUDRY, M.H. Open channel flow. New Jersey: Prentice-Hall,

CHOW, V.T. Open channel hydraulics. New York: McGraw Hill,

DAVIES, A.M., JONES, J.E. y XING, J. Review of recent developments in tidal hydrodynamic modeling. : Spectral models. J. hydraul. eng. Vol. pp.

DAVIES, A.M., JONES, J.E. y XING, J. Review of recent developments in tidal hydrodynamic modeling. 2: Turbulence energy models. J. hydraul. eng. Vol.

pp.

GRILLI S.T., R. Subramanya, numerical model of wave breaking induced by fixed or moving boundaries. Computational mechanics. Vol pp.

GOPALAKRISHNAN, T.C. Moving boundary circulation model for regions with large tidal flats. Int. j . for numerical methods in

HAEUSER, J., PAAP, H.G., EPPEL, D. y MULLER A., A. Solution

of shallow water equations for complex flow domains via

fluids. Vol. pp.

HU,

S.

y KOT, S.C. Numerical model of tides in Pearl river estuary with moving boundary. J. hydraul. eng. Vol.

pp.

JIMÉNEZ, A.A. Calculo del flujo bidimensional horizontal con coordenadas curvilíneas generales. Tesis de doctorado. México: DEPFI-UNAM, pp.

JOHNS, B., DUKE, S.K., SINHA, P.C., MOHANTY, U.C. y RAO,

in problems involving the shallow water equations. Computer fluids. Vol. O, pp.

JOHNSON, B.H. y THOMPSON, J.F. A discussion of boundary- fitted coordinate systems and their aplicability to the numerical modeling of hydraulic problems. Department of the Army, USA.

LESCHZINER, M.A. y RODI, W. Calculation of strongly curved open channel flow. J of the hydraulics division. Vol.

MESELHE, E.A. y SOTIROPOULUS, F. Tridimensional numerical model for open channels with free-surface variations. J. ofhydraulic research. Vol. pp.

MOLLS, T.R.

A

general two-dimensional free-surface flow model for solving the depth-averaged equations using an implicit ADI scheme. Tesis de doctorado. Washington: UMI dissertation services. Washington State University,

pp.

PEACEMAN, D.W. y RACHFORD Jr., H.H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations. J. soc. indus- trial appl. Math. Vol. p.

RODl, W. Turbulence models and their application in hydraulics. IAHR, Holanda, pp.

ROZOVSKII, I.L. Flow of water in bends of open channels. Jerusalem: Israel Program for Scientific Transition,

PP.

SHAOLING, H. y KOT, S.C. Numerical model of tides in pearl river estuary with moving boundary, J. hydraul. eng. Vol.

SOTO, G. Mallas adaptables para la solución de la hidrodinámi- ca de cuerpos de agua. Tesis de doctorado. México: DEPFI-

UNAM, pp.

VREUGDERHIL, C.B. Numerical methods for shallow water flow. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers,

pp.

WILLIAM, H P., BRIAN, P.F., SAUL, A.T. y WILLIAM, T.V. Numerical recipes. Cambridge University Press, pp.

YANENKO, N.N. The method of fractional steps. New York:

pp. pp

pp.

engineering. Vol. pp.

boundary-fitted coordinates. Int. j . for numerical methods in pp.

A.D. Simulation of a continuously deforming lateral boundary

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Abstract

SOTO CORTÉS, G. BEREZOWSKY VERDUZCO, M. Numerical simulation of wetting and drying in shallow waters using a curvilinear adaptive scheme. Hydraulic Engineering in Mexico (in Spanish). July-September,

vol. no. pp.

As a flood is traveling through a river valley, the shape of the flooded region changes continuously; the calculation of these shape changes is a really complex problem. There are several approaches to try to solve the so-called wetting and drying problem, that is, the determination of the shape of the flooded area. In this article, an adaptive curvilinear method for the numeric simulation of the process of wetting and drying in shallow water flows is presented and evaluated. The changes in the shape of the physical space are obtained using an Euler-Lagrangian approach that considers the adaptation of the computational grid according to water level elevation. The system of partial differential equations that describe the depth-averaged flow, including the change in the form of the domain due to the wetting and drying phenomenon, is based on the method of fractional steps; the two- dimensional non-linear system of the hydrodynamic equations is split in a group of three-diagonallinear equations that are solved using an alternating direction approach. Using experimental data, the proposed approach is validated. The agreement between the numerical and experimental results is very satisfactory.

Keywords: adaptive model, Euler-Lagrangian models, shallow water equations, wetting and drying, fractional step method.

Dirección institucional de los autores:

Dr. Gabriel Soto Cortes

Profesor-investigador.

Universidad Autónoma Metropolitana- Azcapotzalco, Departamento de Energía,

Av. San Pablo Col. Reynosa Tamaulipas, Código Postal Delegación Azcapotzalco, Mexico, D.F., Mexico,

teléfono,

+

(52) (55)

fax: (55)

[email protected].

Dr. Moisés Berezowsky Verduzco

Investigador.

Coordinación de Hidráulica, Instituto de Ingeniería,

Universidad Nacional Autónoma de México, Ciudad Universitaria,

Apartado Postal

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