3.- Las potencias

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(1)

Nombre: Curso: Fecha:

3

ACTIVIDADES

1 Escribe en forma de potencia los productos que puedas.

a) 2 ? 2 ? 2 ? 2 d) (+7) ? (+7) ? (+7) ? (+7)

b) (-3) ? (-3) ? (+3) e) (-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2)

c) (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) f ) (-9) ? (-19) ? (-9) ? (-9)

2 Escribe como producto y calcula su valor.

a) (-2)3 e) (+7)2

b) (-2)4 f ) (-4)3

c) (-3)2 g) (-10)5

d) (-3)3 h) (-10)6

3 Escribe en forma de potencia.

a) 10 000 d) 1 000 000 000

b) 100 000 e) 10 000 000 000

c) 1 000 000 f ) 1 000 000 000 000

Una potencia de un número entero es una forma abreviada de escribir una multiplicación de números enteros iguales.

an = a ? a ? a ? … ? a

a " Base: el número entero que se repite. n

" Exponente: el número de veces que se repite.

COMPRENDER EL CONCEPTO DE POTENCIA

(2)

En una potencia de base un número entero y exponente un número natural: • Si la base es un entero positivo, la potencia es siempre positiva.

• Si la base es un entero negativo, la potencia es positiva cuando el exponente es par y es negativa cuando el exponente es impar.

ACTIVIDADES

1 Escribe cuál será el signo de cada potencia.

a) (-5)2 d) (+8)5

b) (-6)3 e) (-10)8

c) (+2)4 f ) (-100)11

2 Escribe en forma de potencia.

a) ? ? ?

2 1 2 1 2 1 2 1

c) ? ? ? ? ?

6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5

e o e o e o e o e o e o

b) ? ? ?

3 2 3 2 3 2 3 2 - - -

-e o e o e o e o d) ? ? ? ?

7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 - - - -

-e o e o e o e o e o

3 En cada caso, piensa y escribe tres potencias.

a) De base negativa y cuyo valor sea un número positivo.

b) De base negativa y cuyo valor sea un número negativo.

4 Calcula el valor de cada potencia.

a)

4 1 2

e o c)

3 2 3

-e o e)

10 4 2 -e o b) 4 1 2

-e o d)

3 2 2

-e o f )

10 4 5

-e o

Para elevar una fracción a una potencia se eleva el numerador y el denominador a esa potencia.

b a b a n n n = d n

(3)

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3

MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS

• Como las potencias son multiplicaciones, se va a trabajar con ellas cuando multiplicamos o dividimos:

34? 33 = 3 3 3 3H H? ? ? ?3 3 3? ? = 37

52? 54 = E5 5 5 5 5 5? ?H? ? ? = 5 6 ! exponente

• Las potencias han de tener la misma base para unificar el exponente.

32? 54 = 3 ? 3 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 (no se puede poner con el mismo exponente)

• La fórmula general para multiplicar potencias de la misma base es: a n? a m = a n+m

OPERAR CON POTENCIAS: MULTIPLICACIÓN,

DIVISIÓN Y POTENCIA DE UNA POTENCIA

2 Realiza las siguientes operaciones.

a) 10 2? 10 5 = c) 32? 3 6 = e) 113? 113 =

b) 74? 72 = d) 33? 33? 35 = f ) 19 5? 197 =

3 Completa estas potencias para que se cumplan las igualdades.

a) 35? 3 = 37 c) ?

2 1

2 1

2 1

4 5

= e o e o e o

b) (-7) ? (-7) 3 = (-7)6 d) ? 3 4

3 4 3

4 3 11

- =

-e o e o e o

4 Completa estas operaciones con las potencias que faltan.

a) 64? = 612 c) 3 2 2

e o ? = 3 2 3 e o

b) ? (-8)5 = (-8)9 d) ?

2 2

5

5 6 9

- =

-e o e o

Cualquier potencia de exponente 1 es igual a la base. Cualquier potencia de exponente 0 es igual a 1.

ACTIVIDADES

1 Calcula estas potencias

a) 50 = c) 52 = e) 54 =

(4)

DIVISIÓN DE POTENCIAS

• Para dividir potencias con igual base, se deja la base y se restan los exponentes: a n: a m = a n-m. • La división entre potencias de distinta base no se puede realizar, y debe quedar indicada.

• A veces se combinan las operaciones de multiplicación y división. En estos casos, se realizan las distintas operaciones, paso a paso:

? ? 3 3 3 3

3 3 3 5 2 5 6 8 2 = = ? ?

52 5

5 5 5 5 54 3 6 3 5 9 = =

• Hay que tener en cuenta que solo se puede operar cuando se unifiquen las bases de las potencias:

?

? ? ?

?

7 5

7 7

7 7 5

7 7 5

2 2 2 2 3 3 5 2 2 = =

5 Opera con las siguientes potencias.

a) 56 : 54= 5 5 4 6

= = 5 ? 5 =

b) 37 : 34= =

? ? ? ? ? ? ? ? ?

3 3 3 3 3 3 3

3 3 3 3

= ? ? =

c) 115 : 113 = d) 13 6 : 132= e) 72 : 73=

6 Realiza estas divisiones.

a) 35 : 3 4= c) 46 : = 43 e) 57 : = 52

b) : 72= 75 d) 127 : 12 4= f ) 612 : 65=

75 : 72 =

? ? ? ? ? ? ? 7 7 7 7 7 7 7 7 7

7 7 7 7

2 5

3

= = =

EJEMPLO

7 Completa las siguientes operaciones.

a) (H25?24) :(23?23)

>= =

2

2

=

b) (115 ? 112 ? 113) : (114 ? 11) =

c) (10 5 : 10 2) ? 10 5= ? =

F

(5)

Nombre: Curso: Fecha:

3

8 Completa las siguientes operaciones.

a) (73)4= 7 e) (42) = 48

b) (33) = 315 f ) (25)2= 2

c) (62) = 612 g) (53)4= 5

d) (9 3) = 915 h) (10 2)3= 10

(72)3= (7 ? 7)3= (7 ? 7) ? (7 ? 7) ? (7 ? 7) = 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 = 76

(54)2= (5 ? 5 ? 5 ? 5)2= (5 ? 5 ? 5 ? 5) ? (5 ? 5 ? 5 ? 5) = 58

EJEMPLO

(25 ? 24) : (22)3= ?

(2 2 2

2 2 2 3

4 5

6 9

=

) = 2

3

EJEMPLO

POTENCIA DE UNA POTENCIA

Si elevamos una potencia a otra potencia, el resultado es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes:

(an )p=an?p

OPERAR CON POTENCIAS: MULTIPLICACIÓN,

DIVISIÓN Y POTENCIA DE UNA POTENCIA

Hay también operaciones combinadas que presentan las tres operaciones estudiadas hasta el momento.

a n ? a m =a n+m a m : a n =a m-n (a n )m =a n ? m

Multiplicación División Potencia de una potencia

9 Realiza estas operaciones.

a) (35 : 32)3=d n3= ( )3=

b) (57 : 53) ? (56 : 52) = ?

c) (10 3)4 : (10 2? 10 3) =

d) (42)3? (45)2=

(6)

La raíz cuadrada exacta de un número a es otro número b que elevado al cuadrado nos da el número a. a=b

"

b2=a

La raíz cuadrada entera de un número a es el mayor número b cuyo cuadrado es menor que el número a. El resto es la diferencia entre el número y el cuadrado de la raíz entera.

Si b es la raíz entera de a

"

Resto =a-b 2

2 Calcula la raíz cuadrada entera y el resto de los siguientes números.

a) 65 d) 135

b) 91 e) 168

c) 1 000 f ) 100 000

ACTIVIDADES

1 Calcula la raíz cuadrada exacta.

a) 64 d) 121

b) 81 e) 144

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