Curso básico de cálculo

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CURSO BÁSICO DE CÁLCULO INTEGRAL Y DIFERENCIAL

1. Concepto de función:

Una función es una relación entre dos conjuntos numéricos, de tal manera que a cada valor del primer conjunto le corresponde uno y sólo un único valor del segundo, al que se le denomina imagen.

Ejemplo: Una función relaciona dos variables “x e y”; x es la variable independiente, y es la variable dependiente. Las funciones se representan sobre unos ejes cartesianos para observar mejor su comportamiento.

La ley de Ohm dice que el V = IR; donde V(voltaje), A(amperios) y R(Omhios), una función que bien puede representar esta ley está dada por: V(R)= 0,5R

V R R _V(R)=0.5R 2 4 6 1 2 3

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2. Funciones Reales:

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real denominado codominio o Rango

f : D

x f(x) = y

Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego y= f(x). Se denomina recorrido de una función

al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x) .

Ejemplo hallar el dominio y el rango de la función _{( ) = √}

= { ∈ ℝ/ ≥ 0}

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3. Estudio del dominio de funciones:

 Dominio de una función polinómica entera: Sea la función: ( ) = − 5 + 6

Su dominio siempre es = {ℝ}

 Dominio de una función racional: El dominio de esta función es el conjunto de los números reales, exceptuando aquellos valores que hacen cero la función o que la anulan

Sea la función: ( ) =

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 Dominio de la función irracional de índice par: Sea la función ( ) = √ − 5 + 6

Si − 5 + 6 ≥ 0; Los valores del intervalo [2,3] no cumplen por que hacen que el radicando sea menor que cero.

 Dominio de la función logarítmica: El dominio está formado por todos los valores que hacen que la función contenida dentro del logaritmo sea mayor que cero.

Sea la funciónℎ( ) = log ( − 5 + 6); hacemos que la ecuación cumpla − 5 + 6 > 0

= (−∞, 2) ∪ (3, +∞)

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 Dominio de la función exponencial: Está determinado por el conjunto de los números reales

= {ℝ}

 Dominio de las funciones trigonométricas: Para las funciones Sen(x) y Cos(x), se cumple que su dominio es el conjunto de todos los números reales.

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4. Límites y continuidad.

) Límite en un punto: el límite de la funciónf(x)en el puntoX0es el valor al que se acercan las imágenes deY,cuando los valores deX, se acercan a ese puntoX0. Estudiemos por ejemplo la función ( ) = + 1en el punto = 3

x F(x) F(x) x

2,9 3,9 4,1 3,1

2,99 3,99 4,01 3,01

2,999 3,999 4,001 3,001

3 4 4 3

“Se nota que si nos acercamos por izquierda o por derecha a 3 las imágenes se acercan a 4”

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L, cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε, mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x − x0| < δ , se cumple que |f(x) − L| < ε.

)

Límites laterales: Para que exista el límite de una función, deben existir los límites laterales y coincidir, en otras palabras la función debe ser continua. El significado de los signos en la notación para límites laterales se interpreta de la siguiente manera

→ Significa que x tiende a, a tomando valores menores que a, es decir valores que se encuentran a su izquierda.

lim_→ ( ) =

→ Significa que x tiende a, a tomando valores mayores que a, es decir valores que se encuentran a su derecha.

lim

→ ( ) =

“El límite de una función en un punto si existe, es único”

Hallar el límite de la función ( ) = ₊+ _{≤ < 8}< 1

x F(x) F(x) x

2,9 3,9 4,1 3,1

2,99 3,99 4,01 3,01

2,999 3,999 4,001 3,001

3 4 4 3

)

lim_→ ( ) =

lim

→ ( ) =

Hallar el límite de la función ( ) = ₊+ _{≤ < 8}< 1

x F(x) F(x) x

2,9 3,9 4,1 3,1

2,99 3,99 4,01 3,01

2,999 3,999 4,001 3,001

3 4 4 3

)

lim_→ ( ) =

lim

→ ( ) =

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Se puede ver claramente que el límitelim → + 1 = 2 y lim → 2 + 1 = 3

Lo que indica que el límite es diferente, de acuerdo con esto la función no es continua por lo tanto no existe el límite.

Ejemplo dos: Determinar si existe el límite lateral de lim → | |

Se cumple que: |x| = _{−x si x < 0}x si> 0

| |₌ si x > 0

si x < 0

| |

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) Continuidad en un punto: Una funciónfse dice continua encsi se verifican las siguientes condiciones.

 F(c)Está definida enx = c  lim → ( ) Existe.

 lim → ( ) = ( )

Una función f se dice continua en un intervalo(a, b), si lo es en todos los puntos de este intervalo.

)Algunos límites básicos:

Si b y c son números Reales y n un número entero (positivo si c =0) se cumple: 1. lim → = 2.lim → = 3.lim → =

Propiedades de los límites:

1.lim → [ ( ( ))] = [lim → ( )]

2.lim → [ ( ) ± ( )] = [lim → ( ) ± lim → ( )]

3.lim → [ ( ) ( )] = [lim → ( ) ∗ lim → ( )]

4.lim → ( )_{( )}= _→→ ( )_{( )}

5.lim → [ ( )] = [lim → ( )] lim → [ ( )] = [lim → ( )]

6.lim → ( ) = lim → ( )

7. Límites de funciones Trigonométricas

lim_→ =

lim

→ =

lim_→ =

lim

→ =

lim_→ =

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resultado es una indeterminación que se debe resolver por medio de métodos algebraicos diferentes:

1. Técnica de cancelación:

Hallar el límite lim → ≠ −3

+ − 6 + 3 =

( + 3)( − 2)

( + 3) = − 2 = −5

2. Racionalización: En estos casos se aplica la conjugada de la raíz

Hallar el límite lim → √ ≠ 0

√x + 1 − 1

x ∗

√x + 1 + 1 √x + 1 + 1=

(x + 1) − 1 x(√x + 1 + 1)=

x

x√x + 1 + 1= 1 2

3. Dos límites Trigonométricos especiales

 lim → = 1

 lim → = 0

Cuando se trabaja con límites de funciones trigonométricas es más sencillo realizar todas las operaciones convirtiéndolas en función del seno y del coseno.

Hallar el límite lim → ( )

Dos maneras de solucionarlo:

= ( ) ( )

lim_→ (2 )lim_→ 2 = 2 lim_→ lim_→ = 2(1)(1) = 2

Otra forma más simple: Multiplico y divido por dos así:

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4. Indeterminaciones: En algunas ocasiones, cuando se emplean las propiedades para resolver límites se obtienen resultados carentes de sentido que se llaman indeterminaciones, estas son algunas de ellas:

0 0,

∞

∞, 0 , 1 , ±∞, 0 × ∞

5. Límites al infinito: si a es numero racional positivo y c es un número real cualquiera se cumple:

lim

→ = 0 → lim→

1 = 0

Ejemplo: Calcular el límite limx→∞ 2x

2_+x+7

x2₊₃

.

En este caso se divide por la variable que tiene mayor exponente en este caso es .

→

De acuerdo con la propiedad

lim → = 0

→

=

+ +

+

=

Ejemplo 2: Calcular el límite

limx→∞√ En este caso la mayor potencia es x:

lim

x→∞

9 + 1

2 − 3 =√92 = 3 2

5. El concepto de derivada

El desarrollo del cálculo surgió de cuatro grandes problemas que ocuparon a los matemáticos europeos del siglo XVII:

1. El problema de la recta tangente.

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El problema de la tangente: ¿Qué se quiere decir cuando se habla que una recta es tangente a una curva?

Esencialmente, el problema de hallar la recta tangente en un Punto P(x,y), se reduce al de hallar su pendiente en donde esta puede aproximarse mediante rectas que pasen por P y por otro punto de la curva a las que se le llaman rectas secantes.

Definición de la Recta tangente con pendiente m; Sifestá definida en un intervalo contenido enc y existe el límite:

lim Δ →

∆

∆ = lim∆ →

( + ∆ ) − ( ) ∆

Ejemplo: hallar la pendiente de la recta tangente a ( ) = + 3, en los puntos (0,3) y (-2,7)

lim

∆ →

( + ∆ ) − ( ) ∆ = lim∆ →

(( + ∆ ) + 3) − − 3

∆ = lim∆ →

+ 2 ∆ + ∆ + 3 − − 3 ∆

lim

∆ →

∆ ∆ ∆ = 2

En el punto (0,3) m = 2(0)=0; en el punto (-2,7) m= 2(-2)=-4

lim Δ →

∆

∆ = lim∆ →

( + ∆ ) − ( ) ∆

lim

∆ →

( + ∆ ) − ( ) ∆ = lim∆ →

(( + ∆ ) + 3) − − 3

∆ = lim∆ →

+ 2 ∆ + ∆ + 3 − − 3 ∆

lim

∆ →

∆ ∆ ∆ = 2

En el punto (0,3) m = 2(0)=0; en el punto (-2,7) m= 2(-2)=-4

lim Δ →

∆

∆ = lim∆ →

( + ∆ ) − ( ) ∆

lim

∆ →

( + ∆ ) − ( ) ∆ = lim∆ →

(( + ∆ ) + 3) − − 3

∆ = lim∆ →

+ 2 ∆ + ∆ + 3 − − 3 ∆

lim

∆ →

∆ ∆ ∆ = 2

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6. Definición de la derivada de una función: Una función se dice que es derivable enxsi su derivada existe enx, es derivable en un intervalo (a,b) si lo es en todo punto del intervalo. El proceso de hallar la derivada se llama derivación, estas son algunas notaciones empleadas.

´_{( )} ´ _,

Si solo y si, existe el límite.

= lim_Δ _→ ( +Δ_Δ) − ( )

7. Reglas de derivación:

 Derivada de una constante:

= li

→

( + ) − ( )

=( + ) − = − = 0

( ) = . : ( ) = −2 − 2 = 0

 Derivada de una potencia si ∈ : ( ) =

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 Derivada del múltiplo constante: = ( ( ( )) = ´( )

: ( ) =2= 2 = 2(−1) =−2

 Derivada de la suma de funciones: [ ( ) + ( )] = ( ) + ( )

: ( ) =−_{2 + 3 + 5} −1₂ + 3 + 5 = −4₂ + 9 + 0

 Derivada de una función conteniendo un radical; se aplican las propiedades de la potencia expresando el radical como un exponente fraccionario.

: ( ) = 1

2√ =

1

2 =

1 2

−2

3 = −

1 3√

 Derivada del producto de funciones: ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( )

( ) = (2 + 3)(6 − 3) = (2 + 3) (6 − 3) + (6 − 3) (2 + 3) = (2 + 3)(6) + (6 − 3)(4 ) = 36 − 12 + 18

 Derivada del cociente de dos funciones: ( )_{( )} = ( ) ´( ) ( )_{( )} ´( )

: ( ) =2 − 4 + 3_{2 − 3} =(2 − 3 ) (2 − 4 + 3) − (2 − 4 + 3)_{(2 − 3 )} (2 − 3 )

=(2 − 3 )(4 − 4) − (2 − 4 + 3)(−3)_{(2 − 3 )} =−6 + 8 + 1_{(2 − 3 )}

 Derivada de las funciones trigonométricas

( ) =

( ) = −

( ) =

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( ) =

( ) = −

: =1 − =( ) (1 − ) − (1 − ) ( )

=( )( ) − (1 − )( )= + − =1 −

= 1 − ∗ 1 = −

 La regla de la cadena (derivada de funciones compuestas): Si = ( )es función derivable deuy

= ( )es función derivable dex, entonces = ( ( ))es función derivable dex, con

= , = ´ ( ) ´( )

 Hallar = ( + 1)

En este caso es importante hacer cambio de variable con el fin de simplificar la función para derivar de forma más sencilla.

= ( + 1) = 2

= = 3 = 3( + 1) (2 ) = 6 ( + 1)

 Hallar la derivada de = ( + 2) En este caso se reescribe la función con exponente fraccionario

= ( + 2) = = ( + 2) Hacemos cambio de variable = ( + 2) = 2

=

Derivando

₌

_{= ( + ) ( ) =}

( (

 Derivar _{( ) = √} Expresando la función en potencia fraccionaria ( ) = ( )

= = ( ) =

=

( )

−

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 Derivada de las funciones logarítmicas:

i) La derivada de la función logaritmo natural o neperiano de x para todo x>0, es igual a 1 sobre x; es decir, si = → =

Verificando el límite se tiene:

( ) = → ( ) = → Por propiedad de división de logaritmos

→ + = → + Propiedad de los exponentes de los logaritmos

= → + Para continuar es necesario reescribir la potencia = ∗

Además recordar que _→ ( + ) = , á =

Continuando = → +

∗

= → + = =

: ( ) =

ii) La derivada de la función logarítmica si a>0 y a diferente de 1:

Si ( ) = su derivada es

=

∗

Ejemplo:

Hallar la derivada de ( ) = ( + ) hacemos = + = .

= = ₊

Hallar la derivada de = hacemos u = 2x y du= 2

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 Derivada de las funciones exponenciales: La derivada de = ; = , > 0 ≠ 1 Se pueden obtener utilizando una expresión equivalente a =

Si = → =

( ) =

Ejemplo: calcular la derivada de = Considerando a = + ; = +

= = ( + ) = ( + )

 Derivada de las funciones trigonométricas inversas

Para ello realizaremos la siguiente tabla y sus respectivas derivadas:

FUNCIÓN DERIVADA DOMINIO

= ( )

√ −

− ≤ ≤

= ( ) −

√ −

− ≤ ≤

= ( )

+ −∞ ≤ ≤ ∞

= ( )

− + −∞ ≤ ≤ ∞

= ( )

| |√ −

≤ − ; ≥

= ( ) ₋

| |√ −

≤ − ; ≥

Demostremos la derivada de la primera función:

= ( ) → = = ; =

Es muy importante recordar las identidades trigonométricas ( ) = −

= =

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 Derivación implícita

Existen funciones : → . Para las cuales no es factible encontrar una fórmula que exprese ayen términos dex. En estos casos se hace necesario seguir los siguientes pasos:

1. Derivar ambos lados de la ecuación respecto a x ó a otra variable sugerida.

2. Efectuar la trasposición de términos y dejar a aquellos que contiene ay´ (dy/dx) en el primer término.

3. Factorizar ay´ (dy/dx)

4. Despejar y´ (dy/dx) dividiendo ambos miembros de la igualdad entre el factory´ (dy/dx) diferente de cero (0)

5. Hallary´ (dy/dx) para un valor particular de x = x0si es necesario

Ejemplo:

Calcular la derivada de: + + − =

+ + − =

[ + + ] =

= [ + + ]

6. Aplicaciones de la derivada

El estudio del comportamiento de una función requiere de esfuerzo para saber si una curva toma un valor máximo o uno mínimo, o si la función crece o decrece y cuáles son sus valores críticos. La derivada aporta mucho a la hora de simplificar esta tarea, en este apartado estudiaremos los extremos relativos, los valores críticos y los máximos y mínimos de una función y sus aplicaciones tanto a la física, la geometría y la maximización y minimización de las funciones.

 Extremos relativos:

Una función alcanza un máximo relativo en el puntoasif(x) < f(a)para todos los ≠ de alguna cercanía dea

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Una función alcanza un mínimo relativo en el puntoasif(x) > f(a)para todos los ≠ de alguna cercanía dea

Los mínimos locales o relativos dey = f(x)son los valores de f(a)que son menores que losf(x)para todos los ≠ en una cercanía dea

“Nota: Los extremos relativos ocurren cuando la derivada de la función es cero o no está definida”.

 Valores o números críticos:

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Ejemplo: Hallar los extremos relativos de ( ) = +

Solución: Se empieza por hallar los valores de x en los que se anula f´(x), es decir, los valores críticos. Derivamos ´( ) = + = [ + ]= +

Segundo paso igualamos a cero la nueva función + y despejamos los valores de x para los cuales se hace cero.

+ = → ( + ) = ó = −

Los valores o números críticos son por lo tanto = ó = −

Luego reemplazamos dichos valores en la primera función ( ) = + para determinar cuál es el máximo y mínimo relativo de la función.

( ) = ( ) + ( ) =

(− ) = (− ) + (− ) =

Por lo tanto los extremos relativos son (0,0) mínimo relativo; (-2,4) máximo relativo.

7. Ejercicios de aplicación de la derivada:

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 Se lanza un balón verticalmente hacia arriba. Después de t segundos su altura está dada por

= − . . Halla la velocidad inicial, la velocidad después de 2 segundos, el tiempo de subida y la aceleración.

La velocidad es la derivada de la posición (Primera derivada).

= = − .

Para calcular la velocidad inicial se debe calcular cuando el tiempo t = 0

= − . ( ) =

Para calcular la velocidad al cabo de t = 2

= − . ( ) = .

Para hallar el tiempo de subida hacemos = , pues es el momento en que se detiene para regresar de nuevo hacia el sitio de lanzamiento.

= = − . → = . _{∴ = . =}

Para hallar la aceleración hacemos la derivada de la velocidad (Segunda derivada)