Michel Torino Belen

i

LICENCIATURA EN ECONONOMÍA

TRABAJO DE GRADUACIÓN

Retornos a la educación:

una revisión de ideas y resultados recientes.

Alumna: Belén Michel Torino

Legajo N°19.138

[email protected]

Mentor: Dr. Walter Sosa Escudero

Co-Mentor: Fernando Martín Callorda

ii

INDICE

1. Introducción

2. Modelo de Mincer según Card

2.1.Forma Funcional

2.2.Medición de la educación

2.3.¿Que medición de Ingresos utilizar?

2.4.Resumen

3. Avances en la utilización del Modelo de Mincer

3.1.Validez de los supuestos de separabilidad y linealidad de Mincer

3.2.Incertidumbre y Tiempos de transición en la economía

4. No participación en la fuerza laboral

5. Modelo Causal de los retornos a la educación según Card

5.1.Problema teórico

5.2.Resultados de la escolarización y los ingresos observables

5.3.Error de medición

5.4.Estimadores de Variables Instrumentales de los retornos a la educación

5.5.Limitaciones de las Variables Instrumentales

5.6.Antecedentes Familiares

5.7.Modelos de hermanos y mellizos

5.8.Resumen

6. Efectos Marginales de Cambios en las Políticas

7. Modelo dinámico de elección de escolaridad y Salarios

7.1.Identificación y estimación Paramétricas y No Paramétricas

7.2.Uso de Limites al infinito

iii

Resumen

1

La educación es un tema central en el desarrollo de los seres humanos y de las economías. Su importancia ha generado más de medio siglo de diversos estudios. Becker (1964) desarrolla un trabajo seminal donde se expone el concepto de inversión en capital humano. Años más tarde Mincer (1974) desarrolló la función de ingreso del capital humano que ha resultado una gran herramienta para gran parte de los estudios precedentes. El presente trabajo pretende exponer los avances en el estudio de dicha literatura a partir del trabajo de Card (1999) que resume las líneas de investigación que se han desarrollado hasta fines del siglo pasado, buscando actualizar el recorrido que ha continuado el estudio de los retornos a la educación. En primer lugar se buscará complementar las respuestas metodologías que han ido surgiendo a los cuestionamientos de los supuestos del modelo de Mincer abordadas en el trabajo de Card (1999) con estudios mas recientes. Y luego se abordarán dos temas que han cobrado especial importancia en la última década que son los parámetros estructurales y los modelos dinámicos

1

1

1. Introducción

La educación es un tema central en el desarrollo de los seres humanos y de las economías. Es por ello que diversos académicos ha dedicado tanto tiempo a la generación de estudios empíricos y teóricos que permitan medir el impacto de la educación tanto en el ámbito particular –los retornos privados a la educación- como en el de la sociedad en su conjunto –retornos sociales o externalidades-, evaluando también el grado de eficiencia de determinadas políticas públicas de educación.

Desde la década de 1950, la importancia de la educación en las sociedades ha generado una vasta literatura. Becker (1964) desarrolla el concepto de inversión en capital humano el cual ha servido de marco para gran parte de dicha literatura. Años más tarde Mincer (1974) desarrolló un modelo de ingresos ampliamente utilizado por diversos estudios empíricos acerca de los retornos a la educación y otros temas relacionados. La función de ingresos del capital humano (HCEF) de Mincer, ha sido empleada durante las ultimas 5 décadas y hoy en día continua siendo una gran herramienta dentro de esta literatura. Sin embargo, diversos estudios se han desarrollado cuestionando su supuesto de exogeneidad en la elección de la educación, dentro de los cuales, un gran resumen es el trabajo de Card (1999) que pretenderemos extender en el presente trabajo. Para ello, nos concentraremos en ahondar aquellas críticas que han sido realizadas al modelo de Mincer (1974) pero que hasta ahora no han sido ampliamente abordadas, como ser, los supuestos de la forma funcional de la función de ingresos y las consecuencias de considerar costos directos, incertidumbre, cambios en el entorno económico y trabajadores que no se encuentran participando de la fuerza laboral.

2 Por más que un instrumento sea válido puede que no sea capaz de identificar los parámetros de interés económico, cuando las respuestas a las opciones varían entre los individuos, y estas variaciones influyen en las decisiones tomadas.

Cuando los estudios se basan únicamente en modelos de VI las preguntas que se logran responder son mucho mas restringidas. Los modelos suelen adquirir precisión haciendo más estrechas las preguntas, agudizando los problemas de validez externa y generalización. Este tipo de estimaciones no suelen basarse en problemáticas económicas bien formuladas sino que las preguntas que responden están usualmente definidas como límites de probabilidad de los estimadores.

En el presente trabajo buscaremos completar la visión de Card (1999) con estudios de parámetros estructurales que generan mejores respuestas a la gran variedad de cuestionamientos acerca de las políticas que afectan la educación. Los parámetros estructurales resultan ser una gran herramienta ya que responden con mayor precisión a diversos planteos económicos y su identificación suele ser más sencilla que la de los parámetros individuales. Algunos de los parámetros que analizáremos serán: el Efecto Promedio del Tratamiento Local (LATE) -que mide el retorno de la educación para aquellos individuos que son inducidos a ir a la escuela por un cambio en un instrumento; el Efecto del Tratamiento Marginal (MTE), que es una manera de estimar el retorno salarial marginal de un pequeño aumento en la educación de un individuo marginal; el Efecto del Tratamiento Promedio (ATE), que es el MTE promedio; el efecto promedio del tratamiento sobre los tratados (ATT) –estos últimos dos se pueden expresar como promedios ponderados de MTE sobre diferentes rangos relevantes-; el Efecto del Tratamiento Relevante de una Política (PRTE) que es el efecto promedio del cambio neto de personas que elijen la opción de educarse cuando se pasa de una política original a una modificada. Como identificar el PRTE en cualquier muestra puede ser una tarea difícil, se suele estimar una versión marginal del parámetro PRTE que corresponde a un cambio marginal de una política original (MPRTE).

3 El presente trabajo se organiza de la siguiente manera: en la sección 2 se presentan los puntos destacados por Card (1999) acerca del modelo de Mincer, para luego en la sección 3 y 4 analizar los cuestionamientos que ha sufrido dicho modelo y que no han sido abordados por la literatura en general ni por Card (1999). En la sección 5 describiremos los cinco modelos abordados por Card para el estudio de los retornos a la educación cuando, a diferencia del modelo de Mincer (1974), se considera heterogeneidad de retornos y costos. En la sección 5 se presentarán los parámetros estructurales que, a diferencia de los modelos detallados en la sección antecedente, alcanzan mejores estimaciones de los efectos marginales de los cambios en las políticas. Por ultimo, en la sección 7 se detalla una creciente línea de investigación de la presente literatura que se orienta hacia los modelos dinámicos de elección de escolarización y salarios, revisando brevemente algunas posibles formas de estimarlo, paramétrica y no paramétricamente. Por ultimo, la sección 8 servirá, a modo de conclusión, para destacar los avances de esta literatura en la última década, mencionar los temas no abordados en el presente trabajo y delinear las cuestiones que todavía siguen sin ser profundizadas.

2. Modelo de Mincer según Card

En la presente sección nos concentraremos en el modelo de Mincer (1974) ya que su desarrollo ha sido la base para muchos de los estudios subsecuentes acerca de acerca de retornos a la educación y otros temas relacionadas. Para comenzar a entender dicho modelo nos basaremos en la descripción que realiza Card (1999).

La Función de Ingresos del Capital Humano (Human Capital Earnings Function, HCEF) de Mincer dice que el logaritmo de los ingresos de los individuos en un período de tiempo determinado puede ser descompuesto en una función aditiva de un término que representa la educación y otro que contempla la experiencia al cuadrado.

2.1 Forma Funcional

4 En la próxima sección abarcaremos algunos de dichos cuestionamientos con mayor profundidad, ya que Card (1999) resume este tema al desarrollo de dos adaptaciones a la forma funcional, concluyendo que con una simple variación en la forma funcional de la HCEF se alcanza un ajuste a los datos muy razonable.

Card (1999) destaca como primer solución un entendimiento de la HCEF desde una aproximación a una función general, estimada no-paramétricamente que incluya conjuntos de variables dummy para todos los pares de años de educación-experiencia o estimada por un método suave no-paramétrico (por ejemplo, estimadores de densidad kernel) en pequeñas bases de datos. Como segunda alternativa, destaca la posibilidad de agregarle a la HCEF términos de orden superior a la escolarización y la edad o la experiencia.

Card (1999) testea ambas alternativas en las muestras de 1994, 1995 y 1996 del March Current Population Surveys y encuentra que las dos ajustan bastante bien a los datos, pero que sin embargo, hasta la versión cubica de la ecuación de Mincer tiene algunos problemas para ajustarse con exactitud a la curvatura de los perfiles de edad para los distintos grupos etarios, especialmente tiende a subestimar la tasa de crecimiento de los ingresos para los jóvenes universitarios en comparación con los graduados de secundaria. Dicha subestimación sugiere la necesidad de un modelo que permita una interacción más flexible entre la educación y la experiencia.

2.2 Medición de la educación

Uno de los supuestos detrás del modelo de Mincer (1974) es que el efecto de la educación y el de la experiencia son separables para poder dar cuenta del porcentaje de los diferenciales salariales que explica cada uno, y para que ello se cumpla, se establece que el logaritmo de los ingresos es una función lineal de la educación. A su vez, la linealidad presupone que la forma correcta de medir la educación es el número de años de escolaridad finalizados y que, manteniendo constantes los años de experiencia, todos los años adicionales de escolaridad tiene el mismo efecto proporcional sobre las ganancias.

5 aproximación lineal a los años de escolarización se ajusta bastante bien y que los años en que se observan retornos por fuera de la línea es debido a otros factores, como el bajo rendimiento en el 15to año de educación, en vez de un alto rendimiento del 16to año que corresponde a la graduación universitaria. Sin embargo diversos estudios defienden la idea de que la medición de la escolaridad debería estar basada en los títulos alcanzados; a esta teoría se la llama “sheepskin effect".

2.3 ¿Que medición de Ingresos utilizar?

Card destaca que la medición más utilizada ha sido la transformación lineal de los ingresos por distintas causas, entre ellas debido a la gran aproximación a una distribución normal y a la importante facilidad para ser interpretados.

Además, es importante tener en cuenta con que tipo de medición se va a trabajar. El período que se utiliza para estudiar los ingresos (salario horario, semanal, mensual, anual) suele definirse en base a la información disponible en las bases de datos. Sin embargo es importante dar cuenta de las diferencias en las estimaciones que cada medición puede generar, ya que por ejemplo, individuos con mayor escolaridad tienden a trabajar mas, por lo que los retornos a la educación serán mayores en mediciones de salarios anuales que en salarios por hora.

2.4 Resumen

En conclusión, Card (1999) sostiene que el modelo de Mincer (1974) sigue siendo una buena estimación. Y destaca su bondad de poder explicar entre el 20 y el 35% de la variación observada en los ingresos con un modelo de regresiones lineales simples -con un término lineal que corresponde a la escolarización y un polinomio de bajo orden que expresa la experiencia potencia.

6

3. Avances en la utilización del Modelo de Mincer

El modelo de Mincer ha sido ampliamente utilizado en la literatura de los retornos a la educación, es por eso que diversos académicos han continuado investigando sobre sus bases, ampliándolo, cuestionándolo, relajando supuestos y generando modelos más complejos con mejor adaptación a la evidencia empírica de hoy en día.

Uno de los mejores trabajos que resume algunos de estos avances es el de Heckman, Lochner y Todd (2003) que citaremos en la presente sección. Dichos autores resaltan que:

Although fairly accurate for earlier Census data, the Mincer model no longer produces even roughly valid estimates of rates of return to education and is not a valid guide to the evaluation of educational policy. However convenient it is, it is no longer an accurate guide to identifying pricing relationships or rates of return to schooling. A more general dynamic analysis of the earnings function that accounts for tuition, taxes, nonlinearity in schooling, non-separability between experience and schooling, and uncertainty is required.

Mincer utiliza la muestra de hombres blancos del censo estadounidense de 1960 para probar su modelo, y verdaderamente encuentra que se cumplen los supuestos de que (i) el log de los ingresos y los perfiles de experiencia son paralelos a través de los niveles de educación; y que (ii) el log de los ingresos y los perfiles de edad difieren con la edad a través del nivel de educación. Pero Heckman, Lochner, Todd (2003) extienden el análisis de corte transversal a hombres, tanto blancos como negros, de los censos 1940-1990 y comprueban que, si bien con la evidencia de 1940-1950 aporta apoyo empírico a los supuestos (i) y (ii), con la evidencia de 1960 y 1970 la validez de (i) no es estadísticamente significativa, a pesar de que dicha evidencia es aproximadamente consistente con el modelo. De hecho, el modelo de Mincer se vuelve mucho menos consistente a medida que se analiza información más reciente.

1960-7 1990 se suele observar el supuesto de forma de U. Para observar en detalle los resultados de dicho estudio adjuntamos las tablas correspondientes (3a y 3b) en el Anexo I.

3.1 Validez de los supuestos de separabilidad y linealidad de Mincer

Según el modelo de Mincer el coeficiente de educación en la regresión del log de los ingresos será la tasa interna del retorno (TIR) a la educación y debe igualarse a la tasa de interés real. Dicha igualdad se cumple bajo el supuesto, que ya hemos mencionado, de separabilidad multiplicativa entre los efectos de la escolarización y de la experiencia sobre los ingresos, es decir que el perfil del log de los ingresos sea paralelo a la experiencia a través de los diferentes niveles de escolarización. Lo que implicaría también que el crecimiento del log del salario sea necesariamente lineal respecto de la escolarización.

Como se sugirió en la introducción de esta sección, si se prueba empíricamente que dichos supuestos no se cumplen entonces la igualdad que propone Mincer entre la tasa interna del retorno a la educación y la tasa de interés real no se comprobará en la práctica. A raíz de eso, nos interesa comprender que es lo que verdaderamente estudian las ecuaciones de ingresos.

Bajo un modelo de equilibrio general -que contempla ambos lados del mercado, donde los individuos elijen el nivel de educación que maximiza el valor presente de los ingresos de toda vida bajo certidumbre perfecta- se buscará comprender que sucede si se relajan los supuestos del modelo de Mincer recién mencionados y si se incorporan características adicionales al momento de decidir el nivel de escolaridad optimo. Las características adicionales consideradas serán tales como los costos de las cuotas escolares (bajo este concepto incluiremos también los gastos de transporte, materiales, libros, etc.), los costos no monetarios, los impuestos a los ingresos y la cantidad de años laborales durante la vida, ya que pueden depender del nivel de escolaridad.

8 considera el modelo de Mincer, donde no hay costos directos y la cantidad de años trabajados no depende del nivel de educación. Por ultimo comparan ambas interpretaciones de la tasa de interes post-impuestos con el coeficiente de Mincer y comprenden que existen desviaciones en la relación lineal del log de los ingresos y la escolaridad y en la relación paralela entre los perfiles de experiencia y el log de los ingresos a través de los diferentes niveles de escolarización.

Esta comprensión teórica se puede observar en el estudio empírico que ya hemos mencionado de Heckman, Lochner y Todd (2003) en el cual encuentra que los datos de 1980 a 1990 rechazan fuertemente el supuesto de separabilidad del log de los ingresos y la experiencia. Además, encuentran que en las últimas décadas, los perfiles del log de los ingresos y la experiencia difieren entre los grupos de distintos niveles escolares, e identifican también que los costos de la educación universitaria no son despreciables. De esta forma dan cuenta de notables diferencias entre el coeficiente del estado estacionario de Mincer y la tasa de interés cuando no se cumplen los supuestos o se consideran algunos de los factores mencionados. Por ultimo aclaran que al no estar controlando el estimador de mínimos cuadrados, obtenido de la regresión estándar de Mincer, por la variación en la habilidad de las personas que eligen mayor escolaridad, parte de la disparidad será por el clásico sesgo de habilidad.

Es decir que cuando los supuestos son relajados y estas características son incorporadas, el coeficiente de los años de educación en la regresión del log de los ingresos dejará de ser igual a la tasa interna de retornos. Por lo tanto, en el óptimo, la tasa de interés post-impuesto será la tasa de descuento que iguala los ingresos netos de toda la vida para cada una de las diferencias marginales en los niveles de educación alcanzados.

9 impuestos ni cuotas de escolaridad; Con cuotas de escolaridad; Con cuotas e impuestos planos; Con cuotas e impuestos progresivos).

Cuando se relaja el supuesto de linealidad se encuentran importantes aumentos de las tasas de retornos a la educación en los años en que se obtiene algún titulo de graduación, demostrando así un gran apoyo a las teorías de “sheepskin”. Además encuentran que dicho aumento es mayor para los hombres negros y que en comparación es mucho mayor para el titulo secundario que para el universitario. Para el caso en que se relaja la especificación cuadrática de la experiencia encontramos resultados bastante similares a los anteriores. Y si se comparan esos resultados con los obtenidos de relajan los tres supuestos (linealidad, especificación cuadrática y separabilidad) se obtiene una medición del sesgo inducido por el supuesto de separabilidad de los efectos de la escolaridad y la experiencia sobre los ingresos. Dicho sesgo ha sido considerable en especial en las últimas décadas estudiadas.

En síntesis, las estimaciones de la tasa interna de retorno a través de las distintas décadas y los distintos niveles educativos muestran en todos los casos diferencias importantes según los supuestos de Mincer que se relajen –salvo la relajación de especificación cuadrática de la experiencia.

Ahora, cuando estiman la tasa interna de retornos con costos directos se observan caídas en las tasas, especialmente mas profundas para los negros, ya que las cuotas suelen ser las mismas para ambos grupos y los salarios suelen ser menores para los negros. Y en las estimaciones que consideran impuestos progresivos se encuentran solo pequeños impactos que reducen menos de un punto porcentual las estimaciones. Estos dos ajustes, si bien no generan grandes cambios en las estimaciones –y de hecho no cambian la tendencia de los retornos en el tiempo- son importantes para no sobre estimar los retornos.

10 Para finalizar, se expone a continuación un grafico de Heckman, Lochner, Todd (2003) con la comparación que realizan acerca de la estimaciones que generan la ecuación (1) y la (5) de los retornos a la educación para la edad en que se completa la educación secundaria.

Grafico I: TIR para Secundaria Completa (Hombres blancos y negros)2

El grafico muestra que la tendencia de la tasa interna de retornos en el tiempo es subestimada por la ecuación de Mincer en comparación con las estimaciones proporcionadas por el modelo más flexible de ingresos no-paramétricos que considera cuotas escolares e impuestos. Además el modelo de Mincer no captura el crecimiento que ha sufrido la TIR a lo largo del tiempo ni la disparidad entre las tasas de los hombres negros y los blancos.

3.2 Decisión de Escolaridad con Incertidumbre y Cambios en la economía

Otra cuestión que se critica del modelo de Mincer es el supuesto implícito de que los individuos tomarán la decisión de la educación de toda su vida al nacer, basándose en estimaciones con información de corte transversal de los retornos a la educación de los individuos que se

11 encuentran trabajando en dicho momento. Esta forma de tomar la decisión sería más acertada si no existieran cambios diferenciales en los retornos de los trabajadores calificados en el tiempo o si los jóvenes no fueran capaces de percibir y predecir estos cambios, pero como hemos visto en la sección previa, este supuesto no condice con las estimaciones empíricas.

Heckman, Lochner, Todd (2003) proponen entonces un estudio de la elección de escolarización basada en el perfil ingreso-educación-experiencia de cada cohorte. Es decir, que en este caso, donde los individuos no conocen sus retornos a la educación al momento de decidir su escolarización óptima, por no contar con previsión perfecta, dichos retornos deben ser estimados tomando en cuenta los ingresos promedios de las cohortes pertenecientes a cada nivel de escolarización plausible de elegir. Y establecen que un todavía mejor ajuste se da asumiendo que existe heterogeneidad entre los retornos de los individuos y que por lo tanto, la decisión debe ser tomada teniendo en cuenta los ingresos promedios. Esta estimación dará menores tasas internas de retornos que las estimadas por Mincer.

Resulta importante considerar estas diferentes estimaciones cuando existen cambios en las los retornos para cohortes especificas, los cuales pueden darse por diversos motivos, como cambios en las tecnologías, o en la calidad de educación que afectan solo a determinadas cohortes.

Mincer (1974) da cuenta de estos dos tipos de estimaciones, pero al trasladarlos al estudio empírico no descubre que haya grandes diferencias en los resultados alcanzados. Heckman, Lochner, Todd (2003) sugieren que en ese entonces no se contaba con buenas bases de datos micro que permitieran estudiar cohortes a lo largo de varios años y muestran que estudios recientes revelan que los patrones de salarios han cambiado dramáticamente entre las cortes y que los estudios de corte transversal ya no son capaces de aproximar los cambios a lo largo de las cohortes o del ciclo de vida.

4. No Participación en la fuerza laboral

12 pueden estar sesgadas si es que el porcentajes de no participantes de cada nivel educativo no es el mismo3. Es decir que si, por ejemplo, quienes menos participan de la fuerza laboral son coincidentemente quienes menos escolarización eligen, los retornos no estarían calculando una cantidad de salarios correspondientes mayoritariamente al grupo de menor educación, y por lo tanto los retornos a la educación estarían siendo subestimados. De hecho, este suele ser el caso que se considera mas acercado a la realidad debido al clásico supuesto de que aquellos individuos mas educados no solo tienen mayores salarios sino que además gozan de otros beneficios como menos desempleabilidad.

Sin embargo, resulta difícil considerar los salarios de estos individuos ya que no son revelados por el mercado. Una aproximación importante se puede realizar teniendo en cuenta el trabajo de Blundell, Gosling, Ichimura, Meghir (2007). En él se desarrollan límites que permiten controlar por los efectos de autoselección en el trabajo.

5. Modelo Causal de los retornos a la educación según Card

En la presente sección detallaremos los avances realizados en el estudio de los retornos a la educación que han sido compilados por Card (1999), en especial aquellos que respectan a la inclusión de heterogeneidades que no eran consideradas en Mincer (1974).

5.1 Problema teórico

Simplificando las complejidades de la naturaleza dinámica del proceso de elección de escolarización y de los retornos, que han sido profundizados mas actualmente en la literatura, Becker (1967) construye el marco de un modelo simple estático que se concentra en la relación entre la escolaridad finalizada y las ganancias medias durante el ciclo de vida.

En el modelo establece que cada individuo enfrenta una oportunidad puntual de mercado que le otorga un nivel de ingresos determinado a cada alternativa de escolarización posible. Este modelo tiene sentido solo si las personas terminan su formación académica antes de entrar en el

3 _{Este problema se vuelve todavía mas importante cuando se estudia los retornos de las mujeres ya que}

13 mercado laboral y si el efecto de la escolaridad en los ingresos es separable del efecto de la experiencia.

Card (1995) desarrolló una versión analíticamente del modelo de Becker que se describe a continuación. Llama y(S) al promedio del nivel de ingresos por año que un individuo recibirá si alcanza un nivel S de escolarización. Además, se asume que las personas eligen S para maximizar la siguiente función de utilidad:

)

(

log

)

,

(

S

y

y

h

S

U





(2)

donde h es una función convexa creciente. Esta función generaliza la función objetivo descontada a valor presente (DVP):

,

/

)

exp(

)

(

d

)

exp(

)

(









s

r

rS

S

y

t

rt

S

y

(3)

Esta función se basa en que los individuos descuentan sus ingresos futuros a tasa r, la escolaridad es medida en años y supone que los individuos no ganan nada mientras están en la escuela y luego ganan y(S) por año. La función objetivo DVP supone que h(S)=rS. Más genérico, h(S) es estrictamente convexo si el costo marginal de un año adicional de escolaridad crece más que las ganancias del año anterior, ya sea por restricciones al crédito o por gustos. Siendo la tasa marginal de sustitución (TMS) entre ingresos y educación igual a y(S)h’(S), bajo el criterio de DVP la TMS=ry(S) ya que el coso de oportunidad del año S de educación es justo los ingresos del año anterior y(s). Si h’(S) es creciente en s, el MRS crece mas rápido que y(S).

Por lo tanto la elección óptima de escolaridad debe satisfacer la condición de primer orden

)

(

/

)

(

'

)

(

'

S

y

S

y

S

h



(4)

14 Esto modelo considera que la heterogeneidad entre los individuos esta dada por las diferencias en costos que deben asumir para educarse, h’(S) y por las diferencias en los retornos marginales a la educación que enfrenta cada individuo, y'(S)/y(S). Una simple especificación de estos componentes de heterogeneidad es la siguiente:

S

k

b

S

y

S

y

'

(

)

/

(

)



_i



₁ (5a)

S

k

r

S

h

'

(

)



_i



₂ (5b)

donde

b

i y

r

i son variables aleatorias con media by

r

y alguna distribución conjunta entre la

población i= 1, 2..., y

k

1 y

k

2 son constantes no negativas. Esta especificación implica que la elección óptima de escolarización es lineal en términos de la heterogeneidad de cada persona en particular,

k

r

b

S

_i

*



(

_i



_i

)

/

(6)

donde

k

=

k

1 +

k

2. Dado que no es real que los individuos cuenten con previsión perfecta,

b

i será

la mejor estimación que las personas pueden hacer acerca del aumento en sus ingresos generado por cada año de educación. Además, como hemos visto en la sección anterior, la distribución de

i

b

puede cambiar con el paso del tiempo de acuerdo con los cambios en las condiciones del mercado laboral, las tecnologías, etc.

Sin embargo, para mayor simplicidad, en este modelo se tratará a

b

i como conocido

desde el comienzo del ciclo de vida y fijo en el tiempo. Esta suposición probablemente conduzca a cierta exageración del rol de la heterogeneidad de

b

i en la determinación de los resultados de la

escolarización y de los salarios.

En el nivel óptimo de escolarización descrito por la Ec. (10) el retorno marginal de la educación de un individuo i es:

k

k

r

k

k

b

S

k

b

_{i i i i}

i





1

*



(

1



1

/

)



1

/

15 En equilibrio general la distribución de los retornos marginales de la educación son endogenos. Pero desde el punto de vista de una cohorte de jóvenes decidiendo su educación, se puede considerar que la distribución de los retornos es exógena. Card interpreta a la Eq. (6) como un equilibrio parcial de las opciones de educación relativas de una cohorte de jóvenes, dados sus antecedentes familiares y el entorno institucional y las condiciones económicas que prevalecieron desde su adolescencia hasta principios de sus 20s. Las diferencias entre cohortes de estos factores llevarán a mayor variación en la distribución de retornos marginales a la educación de la población en su conjunto.

5.2 Resultados de la escolarización y los ingresos observables

En el mercado laboral existe una gran heterogeneidad entre los puestos de trabajos y también entre los trabajadores. Para que la ecuación de Mincer de cuenta de la heterogeneidad de los individuos que puede afectar tanto la ordenada (

a

i) como la pendiente (

b

i), se plantea la

siguiente ecuación de Mincer clásica ampliada:

i i i i i i

i

a

b

S

k

S

a

b

b

S

y

(

)

2

1

log



₀





₁ 2







₍₈₎

donde

a

_i





_i



a

₀ tiene media 0 y las proyecciones de los parámetros de heterogeneidad en la escolaridad observada se pueden representar de la siguiente manera:

i i

i

S

S

u

a





₀

(



)



_(9a)

,

)

(

0 i i

i

b

S

S

v

b











_(9b)

donde

S

representa la media de escolarización,

E

[

S

_i

u

_i

]



E

[

S

_i

v

_i

]



0

y los parámetros λ0 y ψ0 son regresiones teóricas de coeficientes

16 br r b br b i i i

_k

S

S

b













2

)

var(

)

,

cov(

2 2 2

0

_

_







donde 2 2

r

b





 y



br son las varianzas y covarianzas de

b

iy

r

i, y



ba y



ra son las covarianzas

de

b

iy

r

icon

a

i. Por simplicidad supondremos que

b

iy

r

i tienen distribución conjunta simetrica.

Luego, usando Eq. (5a) y el hecho de que la proyección lineal de Si2 en Si tenga pendiente 2

S

, esta demostrado que la probabilidad del limite del estimador de minimos cuadrados del coeficiente de regresión bmco de una regresion logaritmica de los ingresos en la escolaridad es

,

lim

b

b

₀

k

₁

S

₀

S

_{0 0}

S

P

_mco

























(10)

donde  E[_i]E[b_i k₁S_i]bk₁S es el promedio de los retornos marginales de la

educación de la población.

La ecuación (10) generaliza el análisis convencional del sesgo de habilidad el la relación entre educación e ingresos. Supongamos que no hay heterogeneidad en el beneficio marginal de la educación

(

b

_i



b

)

y que el log de los ingresos es lineal en la educación. En este caso (10) implica que:

.

lim

b



b





₀

P

_mco

Card (1999) destaca entonces, que, esta es la expresión estándar para el sesgo asintótico que surge por las variables omitidas en los modelo de ingresos con un coeficiente de escolaridad constante

b

. De acuerdo al modelo que el presenta, el sesgo aparece por la correlación entre la habilidad inobservable

a

_i y el costo marginal de la educación

r

_i. Si el costo marginal es menos para chicos de familias mas privilegiadas, y estos chicos tienden a aprender mas en cualquier nivel educativo, entonces σra< 0 implicando que λ0> 0.

17 educación tienden a adquirir más escolaridad, una regresión de corte transversal de los ingresos en la educación lleva a una estimación del promedio marginal de los retornos sesgada hacia arriba, inclusive ignorando la variación en la ordenada de la función de ingresos. La magnitud de la endogeneidad o del sesgo por auto selección depende de la importancia de la variación de

b

i en la

determinación de la variación total de los resultados de escolaridad.

Por lo tanto, si la varianza de la escolaridad es

(



_b2





_r2



2



_br

)

/

k

2entonces podemos definir la fracción de la varianza de la escolaridad atribuible a las diferencias en

b

i (como

opuesto a las diferencias en gustos o acceso al crédito) de la siguiente forma:

br r b br b

f











2

2 2 2









Esta fracción estará entre 0 y 1 si se asume que el beneficio marginal de la escolaridad no es mayor para personas con mayor costo marginal de escolaridad que



_br



0

. De esta forma, considerando que el coeficiente de regresión auxiliar definido en la Ec. (13b) es



₀



kf



0

, el componente de sesgo de endogeneidad

b

mco será



0

S



kf

S



0

. Es decir que

b

mco es un

estimador sesgado hacia arriba de



y cuanto mas grande sea f, mas grande será el sesgo de endogeneidad – nótese que esto sucede incluso cuando se ignora el tradicional termino de sesgo de habilidad λ0.

Asumiendo la endogeneidad de la escolaridad, es decir Si y (

b

i –

b

) estén

correlacionados positivamente, genera que una relación convexa entre el log de los ingresos y la escolaridad, y por lo tanto resulta inconsistente la observación de que la relación entre el log de los ingresos y la escolaridad es aproximadamente lineal. Esto puede ser detallado sustituyendo (13a) y (13b) en la Ec. 12, de la siguiente forma:

i i i i i i i i

i

a

bS

k

S

S

S

S

S

S

u

S

v

y









(



)



(



)





2

1

18 i i i i

i

k

S

u

S

v

S

S

b

c

















2 1 0 0 0

)

2

1

(

)

(







(8’)

donde c es una conste y E[u_i |S_i] E[v_i |S_i] 0se debe cumplir para que

] | [logyi Si

E sea definido como una función cuadrática de la escolaridad con un coeficiente de segundo orden(₀12k₁). La relación empírica entre el log de los ingresos y la escolaridad será

aproximadamente lineales si y solo si

k

1



2



0. Por lo tanto cuanto más grande sea



0, es decir, cuanto más grande sea la contribución de la variación en

b

_i a la variación total de la escolaridad, más compleja será dicha relación.

5.3 Error de medición

Card 1999, dedica una sección a hacer comentarios acerca de los errores de medición, ya que estos no suelen ser despreciables y conducen a sesgos en los estimadores. Para dar cuenta de ello, cita a Griliches (1977, 1979) que explica que es esperable que los errores de medición de la escolaridad lleven a sesgos hacia abajo en la estimación por MCO de la relación entre escolaridad y salarios. Un supuesto clásico es que la escolaridad observada (S_i0) difiere de la verdadera escolaridad (Si ) por un error aditivo, es decir que Si Si 



i

0

Con E[



i]0,E[Si



i]0, y

2 2

] [_i _

E considerando que la ec. (10) describe la probabilidad del limite del estimador de MCO que utiliza la verdadera escolaridad, el uso de la escolaridad observada llevaría a un estimador de MCO con



S



R

b

P

lim

_mco



₀







₀





_{0 (11)}

donde

R

0 es la credibilidad de 0

i

19 Existen varios estudios que intentan medir la credibilidad de la información de la escolaridad que las personas reportan en los censos4. Muchos de ellos han estimado que en la mayoría de las bases de datos dicha credibilidad es del 90%.

Se suele suponer que los errores de medición no están correlacionados con la verdadera escolaridad de las personas. Sin embargo, como la educación suele medirse como una variable discreta, se adapta a un límite mínimo y uno máximo, por lo tanto, los errores de medición seguramente sean mean-regressive, ya que los individuos con la mayor escolarización no pueden reportar errores positivos y los individuos con los menores niveles de educación no pueden reportar errores negativos. De esta forma, si los errores en las mediciones de la escolaridad observada están negativamente correlacionados con la verdadera escolaridad, la credibilidad de las mediciones observadas de la escolaridad puede ser levemente mayor que la credibilidad estimada inferida de la correlación entre dos mediciones alternativas de escolaridad.

5.4 Estimadores de Variables Instrumentales de los retornos a la educación

Hemos visto que el supuesto de separabilidad entre los efectos de la escolarización y la experiencia en los ingresos, no se suele cumplir, y que por lo tanto, la correlación transversal entre educación y salarios puede diferir del verdadero efecto causal de la educación. Una solución muy utilizada por diversos académicos para identificar el verdadero efecto causal ha sido la implementación de variables instrumentales (VI), es decir, variables que afecta a las decisiones de escolarización pero que no están correlacionadas con (o son independientes) los factores de habilidad

b

iy

a

i.

Card (1999) resalta que la literatura de su epoca ha centrado mucha atención en lo que podría llamarse fuentes institucionales de variación en la enseñanza, tales como la edad mínima para terminar la escolaridad obligatoria o la proximidad geográfica de las escuelas. Tales factores institucionales parecerían tener una capacidad razonable para satisfacer los supuestos de exogeneidad necesarios para ser utilizados como variables instrumentales legítimas.

20 Como ya hemos mencionado, cuando existe heterogeneidad en los retornos a la educación, las condiciones necesarias para producir un buen estimador IV son considerablemente más fuertes que los requeridos cuando la única fuente de sesgo por habilidad es una variación aleatoria en la constante de la ecuación de ganancias (es decir, la variación en

a

i). Para estudiar

este caso Card 1999 resume el análisis de Wooldrige (1997) y el de Garen (1984) que proponen que, una alternativa muy cercana a los modelos de estimaciones con VI, son las aproximaciones por funciones de control. Ambos serán citados a continuación.

Utilizando Variables Instrumentales, se supone, por ejemplo, que el costo marginal

r

i esta

linealmente relacionado con el conjunto de variables

Z

i (

r

i



Z

i



i





i), y por lo tanto la ecuación

de elección de escolaridad será:

i i i

i i

i

Z

b

k

Z

S







(





)

/





₀









(6’)

donde









₁

/

k

y



_i



(

b

_i



b





_i

)

/

k

.

Wooldridge (1997) presenta un análisis muy útil que puede ser aplicado al sistema de ecuaciones (10’) y (12). En esta primera instancia, se asume que

k

₁



0

en la ecuación de ingresos, y se consideran tres nuevos supuestos sobre los componentes inobservables de las ecuaciones (10’) y (12):

0

]

|

[

i

Z

i



E



,

E

[

a

i

|

Z

i

]



0

,

E

[(

b

i



b

)

|

Z

i

]



0

(12a)

2 2

]

|

)

[(

b

_i

b

Z

_{i b}

E







(12b)

)

(

]

,

|

[

b

Z

₁

b

b

E



_{i i i}





_i



(12c)

Ec. (16a) indica que los componentes de heterogeneidad individual son todos en promedio independientes de

Z

i. La Ec. (12b) establece que el segundo momento de

b

i es también

21 Bajo los supuestos (12a)-(12c), la expectativa condicionada del componente residual de los ingresos atribuible a la heterogeneidad de

b

i es:

]

|

]

,

|

[

)

[(

]

|

]

,

|

)

[(

[

]

|

)

[(

b

_i

b

S

_i

Z

_i

E

E

b

_i

b

S

_i

b

_i

Z

_i

Z

_i

E

b

_i

b

E

S

_i

b

_i

Z

_i

Z

_i

E











2 1

]

|

]

,

|

[

)

[(

b

_i

b

E

Z

_{i i}

b

_i

Z

_i

Z

_{i b}

E

















Y por lo tanto:

2 1 0

]

|

[log

y

_i

Z

_i

a

b

Z

_{i b}

E













Así, el uso de

Z

i como instrumento para la educación lleva a un estimador consistente del

retorno promedio de la escolaridad

b

(pero, lleva a un estimador inconsistente de

a

0). Si los ingresos son una función cuadrática de la escolaridad (es decir,

k

₁



0

)

Como hemos dicho, Garen (1984) propone que, una alternativa muy cercana a los modelos de estimaciones con VI, son las aproximaciones por funciones de control. En lugar de las ecuaciones (5b) y (5c), asume que las expectativas condicionadas de

b

iy

a

i son lineales en

Z

iy

i

S

. i i i i

i

S

Z

S

Z

a

E

[

|

,

]





₁





₂

(13a)

i i

i i

i

b

S

Z

S

Z

b

E

[



|

,

]





₁





₂

(13b)

Manteniendo el supuesto de que E[a_i|Z_i]E[b_i b|Z_i]0, las condiciones se pueden transformar para llega a

i i i i i i i

i S Z a bS k S S

y

E[log | , ] ₀ 12 ₁ 2 



₁







₁



(14)

La aproximación de la función de control a la estimación del promedio de los retornos a la educación es para sustituir el residuo estimado



i



22 Ec.(10’)) en lugar del



_ien la ecuación (14). Card finalmente muestra que la inclusión de





_i como un regresor adicional de la función de ingresos es numéricamente equivalente a VI utilizando Zi como instrumento para

S

i. Bajo el supuesto de que

E

[

a

i

|

Z

i

]



0

, agregar



i



a la función de ingresos estimada (PURGES) el efecto de

a

_ien la relación observada entre el log de los ingresos y la educación. En general, de todas formas, el estimador VI estándar no elimina la influencia de

b

i

en la covarianza entre escolaridad e los ingresos, a menos que

E

[(

b

_i



b

)

S

_i

|

Z

_i

]

sea independiente de Zi (como en el caso de los supuestos de Wooldrige). Bajo el supuesto (13b), agregar



i

S

i



como una segunda variable de control es suficiente para eliminar el sesgo de endogeneidad que surge de la correlación entre

b

i y

S

i. Así, la aproximación por función de

control puede ser vista como una generalización de las variables instrumentales.

5.5 Limitaciones de las Variables Instrumentales

Si bien las Variables Instrumentales son en teoría una gran herramienta para disminuir el sesgo de las variables inobservables en los retornos a la educación, estas no logran ser muy efectivas si los retornos marginales no son idénticos para todos los grupos; o si el efecto de la política utilizada como VI no es homogéneo sobre todos los individuos. En general existe heterogeneidad en la distribución de los retornos marginales a la educación, por lo tanto IV se basa en una intervención que afecta a un estrecho subgrupo de la población, dando por resultado una estimación de los retornos que difiere de la estimación por MCO para la misma muestra. En la mayoría de los casos la diferencia suele estar dada por un sesgo positivo que surge cuando el retorno marginal a la educación es decreciente y por lo tanto personas con costos marginales inicialmente mayores tendrán mayores ganancias marginales de un año adicional de escolaridad. Lang (1993) denomina a este fenómeno "sesgo de tasa de descuento".

23 cambios en la escolaridad media del grupo g,



S

_g; y sea



_g el retorno marginal de la educación para el grupo g en usencia de la política. Finalmente, supone que en ausencia del tratamiento los individuos del grupo tratado y del no tratado que tengan la misma habilidad y costos tendrían la misma educación y los mismos ingresos y que la distribución conjunta de los costos y las habilidades son las mismas en todos los grupos. Entonces, un estimador VI de los retornos a la educación basado en un indicador para el grupo de tratamiento tendrá probabilidad de límite:

]

[

]

[

lim

g g g iv

S

E

S

E

b

P









donde las expectativas son tomadas con respecto a la probabilidad de distribución de la población a travez de celdas. Una condición necesaria y suficiente para que la probabilidad del límite de biv sea igual al promedio de los retornos marginales de la educación (Plimbiv ) es

que

E

[



_g



S

_g

]



E

[



_g

]

E

[



S

_g

]

|

. Entre las condiciones suficientes para que la igualdad se cumpla están (a) que todos los grupos tengan retornos marginales idénticos o (b) que la política genere un tratamiento aditivo homogéneo para toda la población.

Suele suceder que el estimador IV supere al MCO, lo cual puede darse porque la probabilidad del limite del estimador IV no se vea afectada por el error de medición de la escolaridad.

24

5.6 Antecedentes Familiares

Las características familiares determinan en gran medida el comportamiento futuro de los individuos. Es por ello que resulta intuitivo suponer que dichas características afecten también las decisiones de escolarización de los individuos. De hecho, como bien resalta Card (1999), diversos estudios han comprobado que aproximadamente el 30% de la variación observable de la educación entre adultos en EEUU puede ser explicada por la educación de los padres. Es por eso que los antecedentes familiares han sido ampliamente utilizados para controlar por habilidad o como variables instrumentales en la identificación del efecto causal de la educación en los ingresos. Sin embargo, se puede pensar que los antecedentes familiares no solo influyen en la elección de escolarización de los individuos sino también en sus ingresos potenciales. Así mismo, suponiendo que ello no sea verdad, no esta claro que las medidas de los antecedentes familiares sean legítimas variables instrumentales para educación.

Card (1999) sugiere que para comprender esta situación, se retome la ecuación ingresos del modelo de Becker pero ahora considerando la siguiente proyección lineal de los componentes inobservables en la escolarización individual junto con alguna medición de las características familiares

(

F

_i

)

:

i i

i

i

S

S

F

F

u

a

₁





(



)





₂

(



)



'

(15)

Considerando la heterogeneidad de

b

i, la proyección de

b

isobre

S

iy

F

i será:

i i

i

i

b

S

S

F

F

v

b







₁

(



)





₂

(



)



'

(16)

donde



1 esta relacionado con el coeficientes



0 de la ecuación (9b) mediante:

F SF

s

















₀



₁



₂



₁



₂ 2

/

25 Suponiendo que

b

i,

S

i,

F

i tienen distribución conjunta simétrica Card 1999 demuestra

que la probabilidad del limite de

b

VI en ausencia de errores de medición esta dada por:

,

lim

b

_{1 1}

S

P

_biv













Card 1999, luego de comparar las probabilidades del limite de las estimaciones por MCO, VI y BIV, resume que, a menos que los parámetros de las ecuaciones (8) y (16) cumplan

0

2 1 2

1

















, los antecedentes familiares no son un instrumento legítimo para la escolarización, incluso aunque los antecedentes familiares no tengan ningún efecto causal directo sobre los ingresos. La adición de controles de antecedentes familiares pueden reducir los sesgos en la medición del retorno a la educación, pero a su vez puede conducir a una estimación sesgada hacia arriba del retorno marginal promedio a menos que todos los componentes de la habilidad sean capturados por los controles de antecedentes familiares (es decir, si



₁





₁



0

).

Ahora, si nos adentramos en un caso más realista y consideramos los errores de medición en la educación y los errores de medición en los antecedentes familiares, la probabilidad del límite del estimador debe ser atenuada por los factores R1 y RF:

))

1

(

/(

)

1

)(

(

]

[

lim

b

_biv

R

_{1 1 1}

S

_{2 2}

S

R

_{F SF}2 _{F SF}2

P































donde

R

₁

=

(R

₀

-



)/(1

-



),

siendo R0 la credibilidad de la medición de la escolarización, y RF la credibilidad de la información de los antecedentes familiares. Ashenfelter y Rouse (1998) calculan que la credibilidad de la información que brindan los gemelos acerca de la educación de su madre es alrededor del 80%, en comparación con un 90% de fiabilidad dela información de su propia educación.

El hecho de incluir

F

i en la función de ingresos tenderá a una mayor atenuación del

coeficiente de medición de la educación ya que parte de la verdadera educación puede ser inferida por las características familiares (

F

i). Sin embargo, si el valor verdadero de

F

i es positivo

y



_F



0

, entonces la medición de

F

i induce un sesgo positivo en el coeficiente de la educación

26

5.7 Modelos de hermanos y gemelos

Otra estrategia muy utilizada que procura solucionar el problema de la causalidad se basa en que los estudios de corte transversal acarrean sesgos por las habilidades inobservables que podrían ser evitados estudiando pares de gemelos, hermanos, padre-hijo, madre-hija, ya que seguramente compartan muchas de las características inobservables.

En especial, se llama “Pure Family Effect” al supuesto de que dentro de la familia todos tienen las mismas habilidades. Este supuesto es más creíble en gemelos ya que al tener características genéticas y antecedentes familiares prácticamente iguales se podría suponer que comparten exactamente las mismas características inobservables.

Card (1999) describe el modelo para gemelos de la siguiente forma: supongamos entonces que para cada familia (diferenciadas con el índice i) tenemos observaciones de un par de hermanos –o mellizos o padre-hijo- (diferenciadas con el índice i) y que la función de ingresos de cada persona j de la familia i es:

ij ij ij ij ij

ij a bS k S a b b S

y ( )

2 1

log  0  1    (17)

Basándonos entonces en el estudio de gemelos, donde se da el “Pure family effect”, se cumplirá que aij ai y bij bi. Por lo tanto las proyecciones de

a

i y

b

i



b

sobre la

escolarización observada de los dos gemelos de cada familia son:

i i

i S S S u

S

a1 



1( 1 1)



2( 2 2) (18a)

i i

i S S S v

S b

b ) ( ) ( )

( ₁ 



_{1 1} 1 



_{2 2}  2 (18b)

27 1 2 1 1 1

1 ( ) ( )

logy_i c 



S_i 







S  S_i S_i e_i (19a)

2 2 1 2

2

2 ( ) ( )

logy_i c 



S_i 







S  S_i S_i e_i (19b)

donde

c

1 y

c

2 son constantes y el termino residual eij es ortogonal tanto a

S

i1como a

S

i2. Las ecuaciones (19a) y (19b) pueden ser estimadas por MCO ya que no hay restricciones de exclusión. En presencia de “Pure Famili Effect” se puede recobrar entonces la estimación de



mediante la diferencia en los retornos estimados para cada individuo en las Ec. (19a) y (19b). Estos estudios suelen estimar la Ec. del log ingresos para un mellizo en función de su educación y del promedio de la educación conjunta de él y de su gemelo. Bajo el supuesto de “Pure Family Effect” el sesgo proveniente de la correlación entre los inobservables de la habilidad y la educación están incluidos en el coeficiente asociado al promedio de la educación de ambos gemelos y el coeficiente de la propia educación provee un estimador insesgado del promedio del retorno marginal de la educación.

Por otro lado, si relajamos el supuesto de que a_ij a_i y bij bi, por ejemplo para

estudios en que utilizamos simples hermanos, padre-hijo o madre-hija, debemos utilizar distintas proyecciones para ai1,ai2

,

b

i1



b

,

b

i2



b

y si las sustituimos en la Ec. (17) obtendremos una versión mas generalizada de la Ec. (19a) y (19b):

1 2 12 1 1 1 1

log

y

_i



c





_i

S

_i





S

_i



e

_i

(20a) 2 2 22 1 21 2 2

log

y

_i



c





S

_i





S

_i



e

_i (20b)

donde

1 11 11

12







S



  



₁₂ 



₁₂



₁₂S1

2 21 21

21





S



 



₂₂









₂₂





₂₂

S

2

28 que es posible colocar un límite superior al promedio de los retornos marginales a la educación sobre el supuesto de que la propia escolaridad del individuo es más informativa acerca de su propia habilidad que la escolaridad de su hermano. En este caso:

















₁₁



₁₂





(

₁₁



₁₂

)



(

₁₁



₁₂

)

1



lim

S

P

Es decir, que un limite mas alto del estimador



es (



₁₁





₁₂ ) la diferencia entre el efecto de la propia educación de individuo y el efecto de la educación de su hermano o familiar sobre la ecuación de los ingresos del individuo.

Sin embargo, no sabemos si este límite genera que el estimador por diferencias entre familiares tenga un sesgo hacia arriba menor que el de la regresión por MCO para gemelos. Una condición necesaria y suficiente para que el estimador de diferencias entre familiares tenga un menor sesgo asintótico es

|



₀





₀

S

1

|

>

|



₁₁





₁₂



(



₁₁





₁₂

)

S

1

|

donde



₀ y



₀son los coeficientes de las proyecciones definidas en las Ec. (9a) y (9b).

Los errores de medición juegan un papel importante en la interpretación de las estimaciones de los modelos de gemelos y hermanos. Esto es especialmente importante para los gemelos, ya que tienden a tener escolaridades altamente correlacionadas. Por lo tanto, si bien la atenuación del sesgo del estimador de MCO tenderá a ser más alta para gemelos, la credibilidad de las diferencias observadas de escolaridad será menor que el otro par de familiares que tengan niveles de educación menos correlacionados.

5.8 Resumen