VECTORES DEL ESPACIO EUCLIDEO.

VECTORES DEL ESPACIO EUCLIDEO.

VECTORES. VECTOR LIBRE.

Se llama vector fijo , al par ordenado (A,B), siendo A y B dos puntos del espacio formado por todos los puntos geométricos.

Origen del vector será el punto A, es decir el primer extremo del segmento AB. Extremo del vector será el punto B, es decir el segundo extremo del segmento AB.

Llamamos opuesto de un vector AB, al vector BA, en el cual su origen será el extremo de AB y su extremo será el origen de AB.

Llamamos vector nulo, al vector fijo, cuyo origen coincide con su extremo, como puede ser AA,

BB.

Todo vector queda representado por su modulo, dirección y sentido.

Modulo de un vector fijo AB es la longitud del segmento AB y se representa por AB. Dirección de un vector AB es la que lleve la recta que pase por A y por B o la de cualquier paralela a la recta AB.

Sentido del vector AB es el que va del origen A del vector a su extremo B.

Dos vectores fijos AB y CD son equipolentes, si los A B vectores AD y CB tienen el mismo punto medio o también

si el cuadrilátero formado por ACDB es un paralelogramo. C D AB ~ CD y AC ~ BD

La equipolencia de vectores es siempre una relación de equivalencia y a cada clase de vectores equipolentes de les llama vector libre.

El vector AB define el vector libre a, por lo que diremos que el vector AB es un representante de

a y escribiremos a= [AB]

El vector opuesto del a será el vector -a representado por [BA]. El vector cero será el vector libre 0 representado por [AA].

SISTEMA DE REFERENCIA AFÍN. COORDENADAS CARTESIANAS.

Se llama sistema de referencia afín o cartesiano al conjunto {O;u1,u2,u3} siendo O un punto

fijo perteneciente a E y siendo u1, u2 y u3 tres vectores libres que forman una base de V3 (son linealmente independientes y forman un sistema de generadores).

z Llamaremos ejes de coordenadas del sistema de u3

referencia a las rectas OX, OY y OZ que pasaran P por O y llevaran la dirección de los tres vectores

del sistema de referencia. O u2 y

Llamaremos planos coordenados a las porciones u1

de espacios limitados por XOY, YOZ y XOZ. x Llamaremos origen de coordenadas al punto O.

Todo punto P(x,y,z) se podrá descomponer en lo que llamaremos sus tres coordenadas sobre los tres ejes, mientras que todo vector OP, se descompondrá en los tres vectores

proyección sobre los ejes.

A la terna x,y,z es lo que llamaremos coordenadas cartesianas del punto P en nuestro sistema de referencia afín.

Para toda terna (x,y,z)  R ,  un único P / OP = x · u1 + y · u2 + z · u3

COORDENADAS DE UN VECTOR DEFINIDO POR DOS PUNTOS. Sean A(x1,y1,z1) y B(x2,y2,z2) dos puntos referidos al sistema {O;u1,u2,u3}.

Gráficamente OA + AB = OB ==> AB = OB – OA A

Como OB = x2 · u1 + y2 · u2 + z2 · u3 y

B OA = x1 · u1 + y1 · u2 + z1 · u3 restando queda O

AB= (x2 - x1) · u1 + (y2 - y1) · u2 + (z2 - z1) · u3

Las coordenadas de un vector AB en la base de nuestro sistema de referencia se calculan restando a las coordenadas del extremo del vector, las coordenadas del origen del vector. AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)

SUMA DE VECTORES LIBRES.

Defino suma de vectores a la aplicación VxV ---> V tal que (a, b) ----> c = a + b

El vector suma c es un vector libre ya que si a y b son vectores libres y elegimos dos puntos del espacio O y O´

Si OA y O´A´ son representantes del vector a B

y al extremo de cada uno de ellos le colocamos

el vector b, los vectores OBy O´B´ son equipolen- O A

tes y ambos representaran al vector libre suma de B´ los vectores a y b.

Propiedades. O´ A´ Conmutativa: a, b V ===> a + b = b + a

Asociativa: a, b, c V ===> a+ (b + c) = (a + b) + c

 elemento nulo: a V, 0 V / a + 0 = 0 + a = a

 elemento opuesto: a V,  -a V / a + (-a) = 0

Con estas cuatro propiedades, la operación suma posee la estructura de grupo conmutativo con vector nulo.

Defino diferencia de dos vectores a - b = a + (-b) a la suma de uno de ellos con el opuesto del otro.

Geométricamente, trazaremos por el extremo de

vector a, el opuesto al vector b y el vector di- a b

ferencia será el que une el origen del acon el a-b extremo del opuesto del b. -b

PRODUCTO DE UN Nº REAL POR UN VECTOR. Sea un escalar  0  R y aun vector libre representado por AB. Llamamos producto  · AB a la aplicación R x V ---> V tal que ( , AB) ---> AC =  · AB y que verifica

a) el punto C esta en la recta AB.

b) Si  > 0 , B y C están en la misma semirecta de origen A. Si  < 0 , B y C están en distintas semirectas.

Propiedades:

a) ,  R y a V ===> ( + ) · a =  · a +  · a

b)  R y a , b V ===>  · (a + b) =  · a +  · b

c) ,  R y a V ===>  · ( · a) = ( · ) · a

d) a V ===> 1 · a = a

ESPACIO VECTORIAL DE LOS VECTORES LIBRES.

El conjunto (V,+,.R) de los vectores libres que respecto a la suma es grupo conmutativo y que verifica las cuatro propiedades respecto a la ley de composición externa producto de un nº real por un vector, diremos que posee estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales y que denominaremos V3.

VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES.

La condición necesaria y suficiente para que dos vectores u y v sean linealmente dependientes es que tengan igual dirección.

Si en la igualdad 1 · u + 2 · v = 0 alguno de los escalares no es nulo, por 2

ejemplo 1 0 ==> u = - --- · v ===> u =  · v lo que nos dice que u y v 1 tienen igual dirección.

Si u y v tienen igual dirección ===> u=  · v ===> u -  · v = 0 y aquí el escalar que multiplica a ues 1  0 ===> u y v son l.d.

La condición necesaria y suficiente para que tres vectores u1, u2 y u3 sean linealmente dependientes es que uno de ellos sea combinación lineal de los otros dos, o lo que es lo mismo, que los tres vectores sean coplanarios.

Si u1, u2 y u3 son linealmente dependientes es que de la igualdad

1 · u1 + 2 · u2 + 3 · u3 = 0 se deduce que al menos un i es distinto de 0. 2 3

Si 1 0 ==> u1 = - --- · u2 - --- · u3  u1 =  · u2 +  · u3 ==> u1 es 1 1 combinación lineal de u2 y u3. Si u1 =  · u2 +  · u3 ===> u1 -  · u2 -  · u3 = 0 donde al menos un escalar

si calculamos el rg = 2 por ser uno de los tres vectores combinación lineal de los

otros dos,  No existe menor principal de orden 3  = 0

VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES.

Tres vectores que no estén situados en el mismo plano son linealmente independientes. v1 = 11 · u1 + 12 · u2 + 13 · u3

Dados los vectores v2 = 21 · u1 + 22 · u2 + 23 · u3 v3 = 31 · u1 + 32 · u2 + 33 · u3

la condición necesaria y suficiente para que los vectores v1, v2 y v3 sean linealmente independientes es que:

ya que al no haber combinación lineal entre los vectores, el rango formado por los coeficientes de los tres vectores debe de valer 3  si existe un m.p. de orden 3 y su determinante debe de valer

 0

Los tres vectores serán linealmente independientes si ninguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los otros dos.

BASE Y COMPONENTES DE VECTORES.

Un conjunto de vectores forman una base en el espacio de dimension tres, si son linealmente independientes y si cualquier otro vector de V3 se puede escribir como combinacion lineal de los vectores de la base.

{ v1, v2, v3 } forman una base de V3 

PRODUCTO ESCALAR. ESPACIO EUCLIDEO.

Dado un espacio vectorial V sobre R, llamamos producto escalar a toda aplicación VxV ---> R que asocia a cada par de vectores a · b un numero real.

Se designa por a · b y verifica los siguientes axiomas: a) Distributiva: a, b, c V  a · (b+c) = a · b + a · c b) Conmutativa: a, b V  a · b = b · a

c) Homogeneidad:  R  ( · a) · b =  · (a · b)

d) No negatividad: a V  a · a  0 Si a · a= 0  a = 0

A partir de estos axiomas, podemos definir el producto escalar como una forma bilineal (1º y 3º axioma), definida positiva (4º axioma) y simétrica (2º axioma).

Llamaremos espacio vectorial euclideo, a todo espacio vectorial V, en el que se ha definido la aplicación producto escalar.

PRODUCTO ESCALAR EN V3. ESPACIO AFÍN EUCLIDEO.

Sea V3 el espacio vectorial de los vectores libres. Llamamos producto escalar en el espacio afín tridimensional a la aplicación:

V3xV3 ---> R / (a, b) --> a · b = nº real definido por

y que cumple las siguientes propiedades: 1) Conmutativa: a, b V3 ==> a · b= b · a

2) Distributiva: a, b, c V3  a · (b + c) = a · b + a · c

3) Homogénea:  R y a, b V3  ( · a) · b =  · (a · b) 4) Positividad: a 0  V3  a · a > 0

Expresión geométrica.

= · cos multiplicando por

cos  

El modulo de la proyección orto normal de a sobre b es igual al cociente entre el modulo del producto escalar de a por by el modulo del vector sobre el que se proyecta, es decir el b. Expresión analítica.

Dados los vectores a = a1 · i+ a2 · j+ a3 · k y b = b1 · i+ b2 · j + b3 · k a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3

Llamamos espacio afín euclideo tridimensional a todo espacio afín V3, con la definición de producto escalar y que cumpla las cuatro primeras propiedades.

BASE ORTONORMAL. NORMA DE UN VECTOR.

Diremos que un conjunto de vectores pertenecientes a V3 es una base ortonormal, si sus vectores son ortogonales dos a dos y unitarios.

Dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar vale cero. Los vectores son unitarios cuando sus módulos valen la unidad.

Para calcular un vector unitario en la dirección y sentido de un vector cualquiera a, bastara con dividir las componentes del vector por su modulo.

Donde a´es un vector unitario de dirección y sentido los de a.

Defino norma de un vector a, asociada a un producto escalar, al valor de la raíz cuadrada del producto escalar del vector a por si mismo.

En el caso de nuestro espacio euclideo, la norma del vector a coincide con el modulo de dicho vector.

PRODUCTO VECTORIAL.

Dentro del espacio vectorial de los vectores libres de dimensión tres, defino producto vectorial a la aplicación VxV ---> V tal que

(a, b) --> a x b = c que asocia a cada par de vectores a, b un nuevo vector que verifique a) Su modulo será

b) Su dirección será la perpendicular a los vectores a y b a la vez.

c) Su sentido será el de avance de un tornillo o de un sacacorchos, al girar el primer vector sobre el segundo, describiendo el menor ángulo posible.

Propiedades:

1ª) Homogénea:  R , a, b V ==> ( · a) x b = a x ( · b) =  · (a x b) 2ª) Anticonmutativa : a, b V ==> a x b = - b x a

3ª) Distributiva: a, b, c V ==> a x (b + c) = (a x b) + (a x c) Expresión geométrica:

Geométricamente, el modulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados esos dos vectores.

Sean OA y OB representantes de a y de b. Formemos el paralelogramo OACB de altura h. Como y sabiendo que

= área del paralelogramo.

Expresión analítica. Si a = a1. i+ a2. j + a3. k y b= b1. i+ b2. j + b3. k a x b= (a1 · b1) · (i x i) + (a1 · b2) · (i x j) + (a1 · b3) · (i x k) + + (a2 · b1) · (j x i) + (a2 · b2) · (j x j) + (a2 · b3) · (j x k) + + (a3 · b1) · (k x i) + (a3 · b2) · (k x j) + (a3 · b3) · (k x k) = = (a2 · b3 - a3 · b2) · i + (a3 · b1 - a1 · b3) · j + (a1 · b2 - a2 · b1) · k ;

a x b

A partir del valor de la expresión analítica calculada vamos a demostrar dos nuevas propiedades.

a) a x b es un vector ortogonal al a y al b ya que

por tener dos filas iguales.

Igual se demuestra b · (a x b) = 0

b) Si a x b = 0 ==> a y b son linealmente dependientes

Si a x b = 0 ==>

con lo que ==> a y b son linealmente dependientes.

PRODUCTO MIXTO.

Es toda aplicación VxVxV ---> R Que asocia a cada terna de vectores a, b, c distintos del vector 0, el numero real que resulta de calcular el producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos.

a · (b x c) = nº real

Si cualquiera de los tres vectores a, b , c es el 0 ==> a · (b x c) = 0

Si a = a1 · i+ a2 · j+ a3 · k , b= b1 · i+ b2 · j+ b3 · k , c = c1 · i + c2 · j+ c3 · k son tres vectores de V3 se tiene que

a.(b x c) = (a1 · i+ a2 · j+ a3 · k) ·

Propiedades:

a) El producto mixto no varia, si se permutan circularmente sus factores, pero cambia de signo, si los factores se trasponen.

a · (b x c) = b · (c x a) = c · (a x b) = - a · (c x b) = - b · (a x c) = - c · (b x a) b)  R y a, b, c V3 ==>  · a · (b x c) = a · ( · b x c) =

= a · (b x  · c) =  · [a · (b x c)] c) a · [b x (c + c´)] = a · (b x c) + a · (b + c´)

d) Si el producto mixto de tres vectores es nulo ==> los tres vectores son linealmente dependientes.

 ==> uno de los vectores es combinación lineal de los otros dos.

Esto significa que los vectores a, b y c son linealmente dependientes o lo que es lo mismo, los vectores a, b y c son coplanarios.

Expresión geométrica.

Geométricamente, el valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas que concurren en un mismo vértice son los tres vectores dados.

En el triángulo OAD ==> h = a · cos (a, bxc) Como a · (b x c)  = a ·b x c · cos (a, bxc) Sustituyendo queda a · (b x c)  = h · b x c

Como b x c era el área del paralelogramo formada por los vectores b y c, es decir la base del paralelogramo, se verifica que

ESPACIO EUCLIDEO : RECTAS Y PLANOS.

ESPACIO AFIN.

Sea E el conjunto de todos los puntos del espacio y sea V el espacio vectorial de los vectores libres de dicho espacio.

Defino espacio afín al conjunto de elementos, llamados puntos, que verifican la siguiente aplicación:

ExV ---> E / (A,v) ---> P = A + v que asocia a cada par formado por un punto y un vector , otro punto P, tal que AP = v y que cumple dos propiedades.

1)  A,B  E , v V único / B = A + v (El punto B se obtiene aplicando una traslación del vector v en el punto A).

2)  A  E y u,v V ===> (A + u) + v = A + (u + v) (Es lo mismo aplicarle al punto A la traslación del vector u y al punto resultante la traslación del vector v que aplicarle al punto A la traslación del vector suma (u + v).

Todo lo dicho quiere significar que existe una correspondencia biunivoca entre los pares de puntos del espacio y los vectores de V3.

La dimensión del espacio afín, será la dimensión del espacio vectorial asociado, es decir, si el vector pertenece a V3, la dimensión del espacio afín será 3, con lo que todo punto vendrá dado por una terna de elementos.

Sean un punto A(x1,y1,z1) y un vector u(a,b,c)

Para calcular las coordenadas de un punto B(x,y,z) tal que AB = u , basta con sumar el vector

OA con el vector u, según la figura. OA + u = OB

x · u1 + y · u2 + z · u3 = x1 · u1 + y1 · .u2 + z1 · u3 + a · u1 + b · u2 + c · u3

x = x1 + a Esto nos indica que las nuevas coordenadas de B, se y = y1 + b obtienen sumando a las de A, las correspondientes del z = z1 + c vector dirección u.

PLANO AFÍN. ECUACIONES.

Llamamos plano afín a cualquier subespacio afín asociado a un subespacio vectorial de dimensión dos.

Sea un punto A y dos vectores u y v linealmente independientes y sean el vector AB el representante del u y el vector AC el representante del v.

Definimos plano determinado por el punto A y los vectores u y v o bien plano que pase por los puntos A,B y C, al conjunto de puntos P del espacio afín tales que:

AP =  · AB +  · AC , R

Según esto, habrá infinitos puntos P que formen el plano, según los diferentes valores de  y . Llamaremos vectores dirección del plano , a los vectores u y v linealmente independientes, elegidos dentro del conjunto de vectores.

Llamaremos punto base A, al punto en donde haremos concurrir los dos vectores libres u y v. Ecuación vectorial.

Para que un punto P arbitrario, pertenezca al plano, deberá verificar que

AP =  · u +  · v y como AP = OP - OA ===> OP - OA =  · u+  · v Despejando OP= OA +  · u+  · v (Ecuación vectorial del plano)

Si A(x1,y1,z1) , u(a1,b1,c1) y v(a2,b2,c2) en general para todo punto P(x,y,z) nos queda que: (x,y,z) = (x1,y1,z1) +  · (a1,b1,c1) +  · (a2,b2,c2)

Ecuaciones paramétricas.

Si en la ecuación vectorial operamos el segundo miembro queda: (x,y,z) = (x1 +  · a1 +  · a2, y1 +  · b1 +  · b2, z1 +  · c1 +  · c2) Igualando componente a componente nos queda:

x = x1 +  · a1 +  · a2

y = y1 +  · b1 +  · b2 Ecuaciones paramétricas del plano . z = z1 +  · c1 +  · c2

Ecuación general implícita.

Partiendo de que AP =  · AB +  · AC donde  y  no pueden ser nulos a la vez, esto nos dice que los vectores AP, ABy AC son linealmente dependientes, ya que APes combinación lineal de AB y de AC.

Una forma de expresar esa dependencia lineal, era que el determinante formado por los coeficientes de los tres vectores fuese igual a cero.

y desarrollando queda que: a · x + b · y + c · z + d = 0

ecuación cartesiana implícita, en la que a, b y c no pueden ser nulos a la vez.

Ecuación del plano conocidos 3 puntos.

Si tenemos tres puntos no alineados A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), C(x3,y3,z3) podemos decir que pertenecen a un mismo plano, cuya ecuación se calcula desarrollando el determinante siguiente:

La ecuación resultante a · x + b · y + c · z + d = 0 representa un único plano, pero también las ecuaciones k.(a · x + b · y + c · z + d) = 0  k  0 representa el mismo plano.

La condición necesaria y suficiente para que los tres puntos A, B y C estén alineados es que los vectores ABy AC sean linealmente dependientes, es decir  0 / AC =  · AB

Si AC = (x3-x1, y3-y1, z3-z1) y AB = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)

HAZ Y RADIACIÓN DE PLANOS.

Se llama haz de planos determinados por los planos a · x + b · y + c · z + d = 0

y a´ · x + b´ · y + c´ · z + d´ = 0 al conjunto de planos que contiene a la recta intersección de ambos.

Su ecuación es  ·(a · x + b · y + c · z + d) +  · (a´ · x + b´ · y + c´ · z + d´) = 0 Se llama haz impropio de planos al conjunto de todos los planos paralelos a uno dado.

Si el plano dado es a · x + b · y + c · z + d = 0 , todos los planos paralelos a el, tendrán de ecuación a · x + b · y + c · z + k = 0

Se llama radiación de planos al conjunto de todos los planos que pasan por un punto llamado vértice de la radiación.

La ecuación de la radiación de planos que tienen por vértice el punto A(x1,y1,z1) será:  · (x - x1) +  · (y - y1) +  · (z - z1) donde ,  y  son parámetros variables.

En particular, si tres planos tienen un solo punto común, la ecuación de la radiación de planos será:

 · (a x + b y + c z + d) +  · (a´ x + b´ y + c´ z + d´) + .(a´´ x + b´´ y + c´´ z + d´´) = 0

ECUACIONES DE PLANOS PARTICULARES.

Plano XOY : z = 0 Los planos coordenados son: Plano XOZ : y = 0 Plano YOZ : x = 0 Plano paralelo al eje OZ : a x + b y + d = 0

Plano paralelo al eje OY : a x + c z + d = 0 Plano paralelo al eje OX : b y + c z + d = 0

Plano que corta a los ejes en los puntos M(m,0,0), N(0,n,0), Q(0,0,q):

(Ecuación secular)

RECTA AFÍN. ECUACIONES.

Llamamos recta afín a cualquier subespacio afín asociado a un subespacio vectorial de dimensión uno.

Sea un punto A y un vector libre u cuyo representante sea AB. Defino recta que pasa por A y con la dirección del vector libre u, al conjunto de puntos P, tales que:

AP =  · AB  R

Al vector libre u, se le llama vector director de la recta r. Al punto A se le llama punto base de la recta r.

Ecuación vectorial.

La ecuación que nos indica que los vectores AP y AB son linealmente dependientes, será la que nos de la ecuación vectorial.

AP =  · AB que referida a nuestro sistema de referencia nos quedara OA + AP = OP y como AP =  · u ===> OP= OA +  · u (E.vectorial) Si las coordenadas son A(x1,y1,z1) P(x,y,z) y u(a1,b1,c1)

la ecuación vectorial en coordenadas quedara: (x,y,z) = (x1,y1,z1) +  · (a1,b1,c1)

Ecuaciones paramétricas.

Si operamos en la igualdad de la ecuación vectorial e igualamos las coordenadas finales de la igualdad nos queda que:

 



A partir de estas ecuaciones paramétricas podemos asegurar que la condición necesaria y suficiente para que un punto B pertenezca a la recta es que  un  tal que

 

Ecuaciones en forma continua.

Si en las ecuaciones paramétricas, despejo  tendremos que:

e igualando las  queda

ecuaciones en forma continua

Si alguna de las componentes del vector dirección u son cero, la ecuación continua no tendría sentido, pues no podemos dividir por cero, pero seguiremos usándola, pues su operación posterior conduce a los mismos resultados.

En esta ecuación hay que tener muy en cuenta que los coeficientes de x, y , z sean siempre la unidad, para que la ecuación sea la de la recta. En caso de que alguno de los tres coeficientes no sea la unidad, deberemos transformar la ecuación hasta que se cumpla esta condición imprescin-dible.

Ecuaciones reducidas de la recta.

Partiendo de la ecuación en forma continua e igualando de dos en dos

operando y despejando la x en función de la z queda x = m · z + n

operando y despejando la y en función de la z queda y = p · z + q

Estas dos ecuaciones corresponderán a dos planos, cuya intersección nos de la recta r busca-da.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Si el vector dirección uviene representado por AB, sus coordenadas serán:

(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) y la recta en continua será:

ECUACIONES DE RECTAS PARTICULARES Eje OX: Eje OY Eje OZ:

POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS.

_  a) Planos coincidentes.

o bien que a x + b y + c z + d = k · (a´ x + b´ y + c´ z + d´)

Si nos fijamos en los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada

Si rg C = rg A = 1 ==> sistema es compatible indeterminado en función de dos parámetros ==> existen infinitas soluciones, es decir, los 2 planos se cortan en infinitas rectas por lo que son coincidentes.

b) Planos paralelos.

Si nos fijamos en los rangos

Si rg C = 1 y rg A = 2 ===> sistema incompatible ===> No existe solución, es decir, no hay ningún punto de corte, por lo que los planos son paralelos.

c) Planos que se cortan en una recta.

Cuando no se cumplan ninguna de las condiciones necesarias de los dos casos anteriores, podemos asegurar que los planos solo pueden cortarse en una recta.

Si nos fijamos en los rangos

Si rg C = rg A = 2 < nº de incógnitas ===> el sistema es compatible indeterminado en función de un solo parámetro, es decir, existen infinitos puntos de corte los cuales forman una recta de intersección de mis dos planos.

POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS.

Se estudia primero si hay planos paralelos.

Si no existe ningún par de planos paralelos, habrá que estudiar por Rouche, el sistema formado por las ecuaciones de los tres planos

Si rg C = rg A = 3 = nº de incógnitas ===> el sistema es compatible determinado ===> existe solución única, los tres planos se cortan en un mismo punto, formando un triedro.

Si rg C = rg A = 2 < nº de incógnitas ===> el sistema es compatible indeterminado ===> existen infinitas soluciones, Si despejamos x e y en función de z, hallaremos las ecuaciones reducidas de la recta común a los tres planos.

Si rg C = 2 y rg A = 3 ===> el sistema es incompatible ===> No existe solución ya que los planos se cortan dos a dos en tres rectas paralelas formando un prisma.

POSICIÓN RELATIVA DE RECTA Y PLANO.

1) Si A a + B b + C c = 0 la recta y el plano son paralelos o coincidentes. Si A(x1,x2,x3)  r al sustituir dichas coordenadas en la ecuación del plano

2) Si Aa + Bb + Cc  0 la recta corta al plano en un punto P.

Si la recta me la dan como intersección de dos planos



Escribamos la matriz de coeficientes y la ampliada

a) Si rg C = rg A = 3 = nº incógnitas ==> sistema compatible determinado solución única, la recta corta al plano en un punto (x,y,z).

b) Si rg C = 2 y rg A = 3 ===> sistema incompatible , no existe ningún punto de corte, por lo que la recta y el plano son paralelos.

c) Si rg C = rg A = 2 < nº incógnitas ==> sistema compatible indeterminado, existen infinitas soluciones, la recta y el plano se cortan en infinitos puntos y eso solo puede ser si la recta es coincidente con el plano.

POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS.

siendo u= (a1,b1,c1) el vector dirección de r y siendo v= (a2,b2,c2) el vector dirección de s.

Si además, el punto A de r, pertenece a s , o el punto B de s, pertenece a r , diremos que

En este caso las rectas pueden o cortarse o cruzarse.

Para que las rectas r y s se corten, los vectores AB, u y v deben estar en un mismo plano, para lo cual deberán ser linealmente dependientes.

Para que las rectas r y s se crucen en el espacio, los vectores u, v y AB serán linealmente independientes, para que no sean coplanarios.

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada y calculamos sus rangos.

a) Si rg C = 3 y rg A = 4 ==> sistema incompatible, no existe solución con lo que las rectas no se cortan pero se cruzan.

b) Si rg C = rg A = 3 = nº incógnitas ==> sistema compatible determinado, existe solución única con lo que las rectas se cortan en un punto.

c) Si rg C = 2 y rg A = 3 ==> sistema incompatible, no existe solución pero aquí las rectas son paralelas.

d) Si rg C = rg A = 2 < nº incógnitas ==> sistema compatible indeterminado, existen infinitas soluciones por lo que las rectas coinciden.

El rg C > 1, pues sino, una recta no podría nunca venir en función de un solo plano.

ESPACIO EUCLIDEO: DISTANCIAS Y ANGULOS.

ECUACION VECTORIAL NORMAL DE UN PLANO.

Sea un punto A(x1,y1,z1) perteneciente al plano afín y sea n =(A,B,C) un vector perpendicular al plano .

Si tomamos un punto X(x,y,z) general perteneciente al plano, esto implica que los vectores

n y AX son ortogonales ==> n · AX = 0

Operando dentro de nuestro sistema de referencia llegamos a que este producto escalar se transforma en la ecuación general del plano A x + B y + C z + D = 0

Con esto obtenemos la ecuación de un plano con solo conocer un punta A y un vector perpendicular al plano.

COORDENADAS DEL VECTOR ASOCIADO AL PLANO.

Si  a x + b y + c z + d = 0 ===> n (a,b,c) es un vector normal, perpendicular o asociado al plano .

==> A (a1,a2,a3) y los vectores u y v son vectores directores

del plano y paralelos al plano .

RECTAS PERPENDICULARES.

Dos rectas r y s , cuyos vectores dirección son ur y us , son perpendiculares cuando lo son sus vectores dirección ,  ur · us = 0 .

Esto se verifica tanto si las rectas se cortan como si se cruzan.

PLANOS PERPENDICULARES.

y cuyos vectores normales son n(a,b,c) y n´ (a´, b´, c´), son perpendiculares cuando lo sean sus vectores asociados , es decir  su producto escalar es cero 

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO.

Una recta r, cuyo vector dirección es u y un plano cuyo vector normal es n(a,b,c) son perpendiculares cuando lo son u y n u · n = 0

APLICACIONES DE LA PERPENDICULARIDAD.

Llamamos proyección ortogonal de un punto P sobre un plano , a otro punto M que es la intersección del plano  con la recta perpendicular al plano que pasa por P

Llamamos proyección ortogonal de una recta r sobre un plano , a otra recta r´ definida como intersección del plano  con un plano de apoyo  (llamado plano proyector de r sobre ), que es perpendicular a  y que contiene a r

Llamamos proyección ortogonal de un punto P sobre una recta r , a otro punto M que es la intersección entre la recta r y la recta perpendicular a r que pasa por P.

ANGULOS EN EL ESPACIO.

ANGULO QUE FORMAN DOS RECTAS.

Es el menor de los ángulos que forman sus vectores dirección ur y us

A partir del producto escalar de ellos podemos despejar el ángulo

Esto vale tanto si las rectas se cortan como si se cruzan.

ANGULO QUE FORMAN DOS PLANOS.

Es el menor de los ángulos que forman sus vectores normales o asociados n y n´ A partir del producto escalar de ellos podemos despejar el ángulo.

ANGULO QUE FORMAN UN PLANO Y UNA RECTA.

Si  es el ángulo que forman ury n , el ángulo  que forman la recta y el plano será complementario del , con lo que sen  = cos 

DISTANCIAS EN EL ESPACIO.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.

Dados dos puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) llamamos distancia entre A y B al modulo del vector AB

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO.

Sea un punto P(x1, y1, z1) y un plano : a x + b y + c z + d = 0

Llamamos distancia del punto al plano al modulo del segmento trazado perpendicularmente desde el punto P al plano 

Una manera mas cómoda, sin tener que buscar el punto A del plano es:

solo tenemos que sustituir en la x, la y y la z del plano las coordenadas del punto P, y dividir por n 

DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOS

Sean los planos : a x + b y + c z + d = 0 y ´: a x + b y + c z + d´ = 0 paralelos entre si. d(,´) = d(A, ´) donde A  Para buscar A , hacemos en el plano , que la x y la y valgan cero y calculamos la z  A(0, 0, - d/c) y utilizamos la formula de la distancia de un punto a un plano ´.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.

Sea un punto P(x1, y1, z1) y una recta que pasa por A(x2, y2, z2) y posee un vector dirección ur (a1, a2, a3)

Llamamos distancia del punto a la recta al modulo del segmento trazado perpendicularmente desde el punto P a la recta r .

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS.

d(r, s) = d(A, r) = d(B, s)

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN.

Esta mínima distancia entre las dos rectas es la que se obtendría entre dos puntos X e Y que serian los de intersección de la recta perpendicular a r y a s, con r y con s.

ECUACION DE LA PERPENDICULAR COMUN.

La ecuación de la recta perpendicular común a dos rectas r y s que se cruzan en el espacio se puede calcular como intersección de dos planos  y ´ que se obtienen de la siguiente manera.

La recta t perpendicular común a r y a s será la intersección de los dos planos

AREA DEL TRIANGULO.

Sea el triángulo de vértices A (x1, y1, z1) , B (x2, y2, z2) , C (x3, y3, z3) Formemos el parelelogramo ABCD a partir del triángulo ABC.

Area del triángulo será la mitad del área del paralelogramo y recordando la expresión geométrica del producto vectorial de dos vectores, nos queda que:

·

VOLUMEN DEL TETRAEDRO.

Sea la pirámide de vértices A (x1, y1, z1) , B (x2, y2, z2) , C (x3, y3, z3) , D (x4, y4, z4) donde A, B y C forman la base triangular y D es el vértice opuesto a la base, dicha pirámide recibe el nombre de tetraedro.

El volumen del paralelepipedo cuya base la forman los vectores AB y AC y cuya altura es el vector AD, incluye dentro de él a 6 tetraedros, por lo que: