Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o

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(1)

DERIVADAS Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD

Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función

f(x) = x

2

+ 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x

o

El teorema de Lagrange dice que: f(3) - f(-1) = f ´(xo) [3- (-1)]

donde f´(x) = 2x + 4  f´(xo) = 2xo + 4 f (3) = 32 + 4·3 - 2 = 19 Como f(-1) = 1 - 4 – 2 = - 5 Aplicando el teorema 19 – (-5) = 4(2 xo + 4)  24 = 4 · (2 xo + 4) ; 6 = 2 xo + 4 ; 2 xo = 2 ;  xo = 1 ε [-1,3]

Aplicar el teorema del valor medio a la función f(x) en el intervalo

indicado, calculando el valor e que predice el teorema. Interpretarlo

geométricamente.

A) f(x) = senx en [0, /2] B) f(x) = x

4

- 3x

2

en [0, 2]

C) f(x) = cosx en [-/2, /2] D) f(x) = x en [0,4]

a) f(x) = senx es continua en [0, /2] por ser función sinusoidal de un polinomio

f ‘(x) = cosx es continua en (0, /2) f(x) es derivable en (0, /2) Existe xo € (0, /2) // f(/2) – f(0)

f ‘(xo) = --- ;

/2 – 0 sen (/2) – sen0 1

cos xo = --- = --- = 2/  ; xo = arc cos(2/)

/2 /2 1 La m c = tg 2/  /2 Enxo = arc cos (2/); f ‘(xo) = 2/ La tg en xo es paralela a la cuerda.

(2)

b) f(x) = x4 - 3x2 es continua en [0, 2] por ser función polinómica f ‘(x) = 4x3 - 6x es continua en (0,2) f(x) es derivable en (0,2) Existe xo € (0,2) // f(2) – f (0) f ‘(xo) = --- 2 – 0 16 - 12 4xo3 – 6xo = --- = 2 ; 4xo3 – 6xo + 2 = 0 ; 2xo3 – 3xo + 1 = 0 2 1 0 -3 1 x = 1 € (0,2) 2x2 + 2x - 1 = 0 1 2 2 -1 -2 +- 4+8 -2 +- 23 -1 + 3 € (0,2) 2 2 -1 0 x = --- = --- = -1 +-3 2 2 -1 - 3 NO € (0,2) La m c = 4/2 = 2 En xo = 1; f ‘(xo) = 2 En xo = -1 + 3; f‘(xo) = 2

Las tangentes en cada xo son paralelas a la curva.

c) f(x) = cosx es continua en [-/2, /2] por ser función sinusoidal de un polinomio

f ‘(x) = -senx es continua en (-/2, /2) f(x) es derivable en (-/2, /2) Existe xo € (-/2, /2) // f(/2) - f(-/2) cos(/2) - cos(-/2)

f ‘(xo) = ---; -sen xo= ---= 0 /2 - (-/2)  sen xo = 0; 0 € (-/2, /2) xo = arc sen 0 - NO € (-/2, /2)  NO € (-/2, /2) En xo = 0, la mt = 0

mc = 0 por ser la recta y = 0 la cuerda entre A y B

(3)

d) f(x) = x es continua  x 0; es continua en [0, 4] 1 f ‘(x) = --- es continua  x > 0 f(x) es derivable en (0,4) 2x f(4) – f(0) 1 2 - 0 Existe xo € (0,4) // f ‘(xo) = ---; --- = --- 4 – 0 2xo 4 - 0 1 --- = 1/2; 2 = 2xo; 1 = xo; xo= 1 € (0,4) 2xo La m c = tg  En xo= 1 mt = 1/2 = f ‘(1) La tg en x = 1 es paralela a la cuerda AB

Aplicar Rolle, hallando el x

0

, a la f(x) = x ⅔ en [-1 , 1]

f(x) es continua pues f(x) = ³√x² y el radicando es siempre positivo 2 2 2 2 2

f´(x) = — x

‾ ¹ = — x ‾ ⅓ = —— f´(0) = —— = — = ∞ no esta definida,

3 3 3· ³√x 3·³√o 0

luego no es continua la f´(x) en x = 0 Є (-1,1) por lo que no verifica Rolle.

Calcula y expresa lo más simplificadamente posible la derivada de:

a) f (x) = 2 + tg² x ; b) f (x) = (℮²x ) ²x 1 2tgx . --- cos² x sen x a) f ‘ (x) = --- = --- 2 2 + tg² x cos³ x · 2 + tg² x b) Ln y = 2x · Ln (℮²x) = 2x · 2x = 4x² y ’ --- = 8x ; y ’ = 8x · (℮²x ) ²x y

(4)

Calcular la derivada de la función ( para x > 0 )

_ _

f(x) = (1 + x). arc tg x - x + 4 expresando el resultado en la forma

mas simple posible.

_ _ - 1 f '(x) = (1 + x)' · arc tg x + (1 + x) · (arc tg x)' - --- 2x _ _ 1 / 2x 1 f '(x) = arc tg x + (1 + x) · --- - --- 1 + (x)2 2x _ 1 1 _ f '(x) = arc tg x + --- - --- ===> f '(x) = arc tg x 2x 2x

Calcular la derivada en el punto x = 0 de la función f(x) = x · arc tg(x

2

)

2 x 2 x2 f(x) = x · arc tg (x2) ; f ‘(x) = arc tg(x2)+ x · --- = arc tg x2 + --- 1 + (x2)2 1 + x4 2 · 02 0

f ´(x) = arc tg 0 + --- = 0 + --- = 0 1 + 04 1

Calcular simplificando todo lo posible el resultado, la derivada de las

funciones :

a)

f(x) = Ln

𝟏+𝒙 𝟏−𝒙

b)

g(x) =

𝒆

−𝒙𝟐

( x +

𝒙

𝟐

)

a) y = Ln 1+𝑥 1−𝑥 = Ln ( 1 + x ) – Ln (1 – x) y´ = 1 1+𝑥− 1 1−𝑥= 1−𝑥−1−𝑥 1+𝑥 (1−𝑥)= −2 1−𝑥2 b) y = 𝑒−𝑥2· ( x + 𝑥2 ) y´= -2x· 𝑒−𝑥2· (x + 𝑥2) + 𝑒−𝑥2· (1 + 2x) = 𝑒−𝑥2· [-2x (x + 𝑥2) + (1 + 2x) ] = = 𝑒−𝑥2· ( - 2𝑥2− 2𝑥3+ 1 + 2𝑥) = −2𝑥3− 2𝑥2+ 2𝑥 + 1 𝑒−𝑥2

(5)

Calcular el siguiente limite, explicando los cambios establecidos.

lim sen x · Ln(sen x)

x-->0

lim sen x · Ln(sen x) = s en 0 · Ln(sen 0) = 0 ·Ln 0 = 0 · -  = x--> 0

cos x --- Ln sen x -  sen x

= lim --- = --- = -- = L'Hopital = lim --- = x--> 0 1 / sen x 1 / 0  x--> 0 - cos x

--- sen2 x

cos x · sen2 x

= lim - --- = lim (- sen x) = - sen 0 = 0 x--> 0 cos x · sen x x--> 0

Calcular el siguiente limite, explicando los cambios establecidos.

lim ( x

2

)

1/x

x-> lim ( x2 ) 1 / x = (  )1 /  = 0 = e P x->  1 1 Ln x2  p = lim -- · Ln x2 = -- · Ln  = 0 ·  = lim --- = -- = x->  x  x-> x  2x --- x2 2 2 = L'Hopital = lim ---- = lim -- = --- = 0 x->  1 x-> x 

(6)

1 3

Calcular lim --- - ---

x->1

1 - x 1 - x

3

1 3 1 3 1 3 lim --- - --- = --- - --- = -- - -- =  -  = x->1 1 - x 1 - x3 1 - 1 1 - 13 0 0 1 - x3 – 3 · (1 - x) 1 - x3 – 3 + 3x 1 - 13 – 3 + 3·1 = lim --- =lim --- = --- x->1 (1 - x) · (1 - x3) x->1 1 – x - x3 + x4 1 – 1 - 13 + 14 0 -3x2 + 3 -3 + 3 0 - 6x = -- = lim --- = --- = -- = lim --- 0 x->1 -1 -3x2 + 4x3 -1 -3 +4 0 x->1 - 6x + 12x2 - 6 = --- = - 1 - 6 + 12

(2 - x). e

x

- x - 2

Calcular lim ---

x->0

x

2 (2 - x) · ex - x - 2 (2 - 0) · e0 - 0 - 2 0 L'H lim --- = --- = -- = x-> 0 x2 0 0 - ex + (2 - x) · ex - 1 - e0 + (2 - 0) · e0 - 1 = lim --- = --- = x-> 0 2x 0 0 L'H - ex - ex + (2 - x) · ex - 1 - 1 + 2 0 = -- = lim --- = --- = -- = 0 0 x->0 2 2 2

(7)

Calcular el siguiente limite, explicando los cambios establecidos.

e 1

lim --- - ---

x-> 1

e

x

- e x - 1

e 1 e 1 e 1 lim --- - --- = --- - --- = -- - -- =  -  = x->1 ex - e x - 1 e - e 1 – 1 0 0 e · (x - 1) - (ex - e) e · x - ex = lim --- = lim --- = x-> 1 x · ex - ex – e· x + e x-> 1 x · ex - ex – e ·x + e 0 e - ex 0

= --- = L'Hopital = lim --- = -- = L'Hopital = 0 x-> 1 ex + x ·ex - ex - e 0

- ex - e - e 1 = lim --- = --- = --- = - -- x->1 ex + ex + x·ex - ex e + e + e - e 2.e 2

Calcular el siguiente limite, explicando los cambios establecidos.

lim ( 5

1/x

- 1 ) · x

x-> lim ( 51/x - 1 ) · x = ( 50 - 1 ) ·  = ( 1 - 1 ) ·  = 0 ·  = x->  51/x - 1 1 - 1 0 = lim --- = --- = -- = L'Hopital = x->  1/x 1/ 0 - 1 --- · 51/x · Ln 5 x2 = lim --- = lim 51/x · Ln 5 = 50 · Ln 5 = Ln 5 x->  - 1 x->  --- x2

(8)

Calcular el siguiente limite, explicando los cambios establecidos.

2

2x

lim 1 + --

x->

x

2 2x x + 2 2x lim 1 + --- = lim --- = 1 = eP x->  x x->  x x + 2 Ln --- x + 2 x 0 P = lim 2x · Ln --- =  · Ln 1 =  · 0 = lim --- = -- = L´H = x->  x x->  1 0 ---- 2.x x - (x + 2) / x - 2 --- --- (x + 2) / x x.(x + 2) 4·x  4 = lim --- = lim --- = lim --- = --- = L'H = lim -- = 4 x->  2 x->  - 2 x->  x + 2  x->  1

- --- --- 4· x2 4·x2 2 2x

con lo que lim 1 + -- = e4 x->  x

Calcular el siguiente limite explicando los pasos utilizados para su calculo.

x

2

- 1

lim ---

x->1

x - 1

x2 - 1 1 - 1 0 2 x

lim --- = --- = -- = L'Hopital = lim --- = lim 4x · x = 4 x->1  x – 1 1 - 1 0 x->1 1 x->1

--- 2x

(9)

Calcular el siguiente limite, explicando los cambios establecidos.

lim tg 2x · cotg (x +

/4)

x-> /4

lim tg 2x · cotg (x + /4) = tg /2 · cotg /2 =  · 0 = x-> /4

2 --- tg 2x  cos2 2x = lim --- = -- = L'Hopital = lim --- = x-> /4 tg (x + /4)  x-> /4 1

--- cos2(x + /4)

cos2(x + /4) 0 - 2.cos (x + /4). sen (x + /4) = lim --- = -- = L'H = lim --- = x-> /4 cos2 2x 0 x-> /4 - 4.cos 2x . sen 2x

2· sen2(x + /4) – 2· cos2(x + /4) 2·sen2/2 – 2·cos2/2 2 1 = lim --- = lim --- = -- = -- x-> /4 4·2· sen2 2x – 4·2 ·cos2 2x x-> /4 8·sen2/2 – 8·cos2/2 8 4

Calcular el siguiente limite, eliminando las diferentes

indetermina-ciones que posea.

x 1

lim --- - ---

x-> 1

x - 1 Ln x

x 1 x· Ln x - x + 1 1 · 0 - 1 + 1 0 lim --- - --- = lim --- = --- = --- = L´H = x-> 1 x - 1 Ln x x-> 1 x · Ln x - Ln x 1 · 0 - 0 0 Ln x + x · (1/x) - 1 Ln x x · Ln x 0

lim --- = lim --- = lim --- = --- = L´H x-> 1 Ln x + (x - 1) · 1/x x-> 1 x · Ln x + x - 1 x-> 1 x · Ln x + x - 1 0 --- x Ln x + x . (1/x) Ln x + 1 1 = lim --- = lim --- = -- x-> 1 Ln x + x · (1/x) + 1 x-> 1 Ln x + 2 2

(10)

Calcular el siguiente limite, eliminando las diferentes

indetermina-ciones que posea.

lim x

sen x

x->0

lim xsen x = 00 = eP ; p = lim sen x· Ln x = 0 ·  = x->0 x->0

Ln x  1/x = lim --- = --- = L'Hopital = lim --- = x->0 1 / sen x  x->0 cos x - --- sen2x

sen2x 0 2 · sen x · cos x = lim - --- = -- = L'Hopital = lim - --- = 0 x->0 x · cos x 0 x->0 cos x – x · sen x Luego lim xsen x = e0 = 1

x->0

Calcular el siguiente limite, explicando los diferentes cambios de

variable utilizados, para deshacer las posibles indeterminaciones.

lim (sen x)

x

x->0

lim (sen x)x = (sen 0)0 = 00 = eP x->0

Ln(sen x) 

p = lim x · Ln(sen x) = 0 ·  = lim --- = ---- = L'Hopital x->0 x->0 1/x 

cos x ---

sen x x2 · cos x 0

p = lim --- = lim - --- = --- = L'Hopital = x->0 - 1 x->0 sen x 0 --- x2 2x · cos x - x2 · sen x 0 - 0 = lim --- = --- = 0 x->0 cos x 1

Con lo que lim (sen x)x = e0 = 1 x->0

(11)

Calcular

1 lim  x        1 1 ln 1 x x 1 lim  x        1 1 ln 1 x x = 1 1 1 1 ln 1   = 0 1 0 1 = [∞ - ∞] =

 

          0 0 1 ln 1 1 1 ln 1 1 ln 1 ln 1 lim 1 x x x x x =

2 1 1 1 1 ln 1 1 1 ln 1 lim 0 0 1 1 1 ln 1 1 1 1 ln 1 lim 1 ln 1 lim 1 1 ln 1 1 lim 1 ' 1 1 1                                    x x x x x x x x x x x x x x x x x x H L x x x

x 1

Calcular lim --- - ---

x->1

ln x sen(x-1)

x 1 1 1 lim --- - --- = --- - --- = [ - ] = x->1 ln x sen(x-1) ln1 sen0 x sen (x -1) - lnx 1 · sen0 – ln1 0 = lim --- = --- = ---- = x->1 lnx · sen (x -1) ln1 · sen0 0 sen(x –1) + x ·cos(x –1) – 1/x = lim --- = x->1 1/x · sen (x –1) + lnx · cos (x –1) x · sen (x -1) + x2·cos(x –1) – 1 0 + 1 - 1 0 = lim --- = --- = ---- = x->1 sen(x –1) + x· lnx · cos(x –1) 0 + 1 · 0 · 1 0

sen (x -1) + x· cos(x –1) + 2x · cos · (x –1) + x2 · [- sen (x – 1)] = lim --- = x->1 cos(x –1) + lnx · cos(x –1) + x · 1/x · cos(x –1) + x · lnx ·[- sen (x – 1)]

1 + 2 3

= --- = ---

(12)

x

3

Calcular lim ---

x->

e

x

x3  3x2  6x  lim --- = ---- = lim --- = ---- = lim --- = ---- = x->  ex  x->  ex  x->  ex  6 6 = lim --- = --- = 0 x->  ex 

x - senx

Calcular lim ---

x->0

x

3 x – sen x 0 – 0 0 1 – cosx 0 lim --- = --- = ---- = lim --- = ---- = x->0 x3 0 0 x->0 3x2 0 sen x 0 cosx 1 = lim --- = ---- = lim --- = ---- x->0 6x 0 x->0 6 6

x – sen x

Calcular: lim ---

x-->0

ln(cos x)

x – sen x 0 – 0 0 1 – cos x lim --- = --- = ---- = lim --- = x->0 ln (cos x) ln 1 0 x->0 - sen x / cos x

(1 – cos x) · cos x cos x – cos2 x 0

= lim --- = lim --- = ---- = x->0 - sen x x->0 -sen x 0

- sen x – 2 · cos x · (- sen x) 0 = lim --- = ---- = 0 x->0 - cos x -1

(13)

(2 - x) e

x

- (2 + x)

Calcular lim ---

x-->0

x

2 (2 - x) · ex - (2 + x) 2 e0 – 2 0 lim --- = --- = --- = x-->0 x2 0 0 - ex + (2 - x) · ex –1 - 1 + 2 – 1 0 = lim --- = --- = --- = x-->0 2x 0 0 - ex - ex + (2 - x) · ex - 1 – 1 + 2 0 = lim --- = --- = --- = 0 x-->0 2 2 2

lnx

Calcular lim ---

x1

x - √x

ln x ln1 0 1 / x 1 / 1 1 lim --- = --- = ---- = lim --- = --- = ---- = 2 x1 x - √x 1 - 1 0 x1 1 - ½ · √x 1 – ½ ½

senx - tgx

Calcular lim ---

x0

x - senx

sen x - tg x sen 0 – tg 0 0 cos x – 1 / cos² x lim --- = --- = --- = lim --- = x0 x - sen x 0 – tg 0 0 x0 1 – 1 /cos² x cos³ x – 1 1 – 1 0 3 · cos² x · (-sen x) 3 · cos x = lim ---- = --- = ---- = lim --- = lim --- = x0 cos² x - 1 1 – 1 0 x0 2 · cosx · (-sen x) x0 2

3 · cos0 3 = --- = ---

(14)

2

Calcular: lim ( cos 2x)

1 / 3x

x0

2

lim ( cos 2x ) 1 / 3x = (cos 0) 1 / 0 = [ 1 ] = eP x0

1 ln (cos2x) ln (cos 0) ln1 0 p = lim --- · ln (cos 2x) = lim --- = --- = --- = --- = x0 3 x² x0 3x² 0 0 0

-2 sen 2x / cos² x - 2 ·sen 2x 0 -2 · 2 cosx

= lim --- = lim --- = ---- = lim --- = x0 6x / 1 x0 6x· cos 2x 0 x0 6 cos 2x + 6x· (-2 sen 2x)

- 4 · cos 0 - 4 2 = --- = --- = - --- 6· cos 0 – 12· 0· sen 0 6 3 2 1 lim ( cos2x) 1 / 3x = e - 2 / 3 = ---x0 ³√ e²

Calcular: lim (cosec x)

sen x

x0

lim (cosec x)sen x = (cosec 0)sen 0 = [ 0 ] = eP x0

ln (1 / senx) ln  

p = lim sen x · Ln (cosec x) = [0· ] = lim --- = --- = --- =

x0 x0 1 / senx  

( 1 / sen x)´ / (1 / sen x) 1 1 1 = lim --- = lim --- = --- = --- = 0 x0 (1 / sen x)´ / 1 x0 1 / sen x 1 / 0 

lim (cosec x) sen x = e 0 = 1 x0

(15)

−𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒐 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒙. 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 lim x→o 1 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑥. 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1 − 1 o = 0 0 = lim𝑥→𝑜 3. 𝑐𝑜𝑠2𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 2𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥= 0 0 = lim 𝑥→𝑜 −6𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠3𝑥 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 2𝑥. 2(−𝑠𝑒𝑛2𝑥)= 3 2 + 2= 3 4 −𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒐 𝒆𝟐𝒙− 𝟏 𝒍𝒏(𝟏 + 𝒙) lim x→o e2x− 1 ln(1 + x)= e0− 1 ln1 = 0 0 = limx→o 2e2x 1 1 + x = 2e 0 1 1 = 2 −𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒐 𝟐 − 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 lim x→o 2 − 1 + cosx sen2x = 2 − 2 0 = 0 0 = limx→o − −senx 2 1 + cosx 2senx. cosx 1 = lim x→o 1 4cosx 1 + cosx= 1 4.1. 2= 1 4 2 = 2 8 −𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 𝟐𝒙 + 𝒙 + 𝟑 − 𝟑 𝒙 − 𝒙 + 𝟑 + 𝟏 lim x→1 2x + x + 3 − 3 x − x + 3 + 1 = 1 + 2 − 3 1 − 2 + 1= 0 0 = limx→1 1 2 x+ 1 2 x + 3 1 2 x− 1 2 x + 3 = 1 2+ 1 4 1 2− 1 4 = 3 4 1 4 = 3

(16)

(2 - x) e

x

– x – 2

Calcular lim ---

x->0

x

2

(2 - x) · ex – x – 2 (2 - 0) · e0 – 0 – 2 2 – 2 0 lim --- = --- = --- = --- = x->0 x2 02 0 0 -1· ex + (2 - x) · ex - 1 - e0 + (2 - 0) ·e0 -1 -1 + 2 – 1 0 lim --- = --- = --- = --- = x->0 2x 2· 0 0 0 - ex + (-1) · ex + (2 - x) · ex - e0 – e0 + 2e0 0 lim --- = --- = --- = 0 x>0 2 2 2

Calcular lim x · lnx

x->0 ln x ln0  1 / x lim x · lnx = 0 · ln0 = 0 · (-) = lim --- = --- = --- = lim --- = x->0 x->0 1/x 1 / 0  x->0 - 1 / x2 lim (-x) = 0 x->0

1 – cos (x – 1)

Calcular lim ---

x->1

(Ln x)

2

1 – cos (x – 1) 1 – cos (1 - 1) 1 – cos 0 1 - 1 0

lim --- = --- = --- = --- = --- = x->1 (Ln x)2 (ln 1)2 02 0 0

- (- sen (x - 1)) x · sen (x - 1) 1 · sen 0 0

lim --- = lim --- = --- = ---- = x->1 2 · lnx · (1 / x) x->1 2· lnx 2 · ln 1 0

1 · senx · (x - 1) + x · cos x · (x - 1) sen 0 + 1· cos 0 1

lim --- = --- = ---- x->1 2 · 1 / x 2 · 1 / 1 2

(17)

x

2

+ 2

2x+3

Calcular lim ---

x-> x2

x2 + 22x+3  + 2  2x + 2 · 22x+3 · ln2 x + ln2 · 22x+3

lim --- = --- = ---- = lim --- = lim --- =

x-> x2   x-> 2x x-> x  +   1 + 2 · 22x+3 (ln2) 2 1 + 2 (ln2) 2 ·   --- = --- = lim --- = --- = --- =    x-> 1 1 1

e

x

– x -1

Calcular lim ---

x-> 0

x

2 ex – x - 1 e0 - 0- 1 1 - 1 0 ex – 1 e0 - 1 1 - 1 0 lim --- = --- = --- = --- = lim --- = --- = --- = ---- = x-> 0 x2 02 0 0 x-> 0 2x 0 0 0 ex e0 1 lim --- = --- = --- x-> 0 2 2 2

Calcular lim tg x · Ln x

x->0 Ln x ∞ 1 / x lim tg x · Lnx = tg 0 · Ln 0 = [0 · (-∞)] = lim --- = ---- = lim --- =

x->0 x->0 cotg x ∞ x->0 -1 / sen2x

- sen2x 0 -2 ·sen x · cos x 0 lim --- = ---- = lim --- = --- = 0

(18)

1

tg x

Calcular lim ---

x->0

x

2 1 tg x 1 tg 0 lim --- = --- = 0 = e p x->0 x2 0 Ln(1/x2) Ln   p = lim tg x · Ln ( 1/x2 ) = tg 0 · Ln  = [ 0·  ] => lim --- = --- = --- = x->0 x->0 cotg x cotg 0  -2/x3 --- 1/x2 -2 / x 2 sen2x 0 2·2 senx · cosx 0

lim --- = lim --- = lim --- = ---- = lim --- = --- x->0 - 1/sen2x x->0 -1 / sen2 x x->0 x 0 x->0 1 1 = 0 lim (1 /x2) tgx = e0 = 1 x->0

x -

3

√ 6 + x

Calcular lim ---

x->2

x

2

- 4

1 1 - --- x - 3√ 6 + x 2 - 3√8 2 - 2 0 1 - ⅓ ( 6+x)⅓ - 1 3 3√(6+x)2 lim --- = ---= --- = --- = lim --- = lim --- x->2 x2 - 4 4 - 4 0 0 x->2 2x x->2 2x 1 1 1 1 - --- 1 - --- 1 - --- 3 3√64 3 · 4 12 11 = --- = --- = --- = --- 4 4 4 48

(19)

Calcular

x + 2 1

lim --- - ---

x->1 (x - 1)

2

x -1

x + 2 1 3 1 lim --- - --- = --- - --- = [  -  ] = x->1 (x - 1) 2 x -1 0 0 x + 2 – ( x - 1 ) 3 3 lim --- = lim --- = --- =  x->1 (x - 1) 2 x->1 (x - 1) 2 0 2

Calcular

lim √ x+1 - √ 2

x

1 ---

x -1

lim √ x+1 - √2 √2 - √2 0 1/2 ( x + 1) 1/ 2 x1 --- = --- = --- = lim --- = x - 1 1 – 1 0 x-> 1

1

1 1

√ 2 lim --- = --- = --- x1 2 √ x + 1 2 √2 4

(20)

______

Calcular lim

(

√ (x

4 +

x) - x

2

)

x+ lim (√ (x4 + x) - x2 ) = √ - 2 = [  -  ] = x+ (√ x4 + x - x2 ) (√ x4 + x + x2 ) x4 + x - x4 lim --- = lim --- = x+ √x4 + x + x2 x+ √x4 + x + x2 x  x / x2 1 / x lim --- = ---- = lim --- = lim --- x+ √x4 + x + x2  x+ √ x4 / x4 + x / x4 + x2 / x2 x+ √1 + 1 /  + 1 1 /  0 = --- = --- = 0 1 + 1 2

Calcular

x

3

+ 4x

2

lim

--- x-4

x

2

+ x - 12

x 3 + 4x 2 (-4)3 + 4 (-4) 2 - 64 + 64 0 lim --- = --- = --- = --- = x -4 x 2 + x - 12 (-4)2 + (-4) -12 +16 – 4 -12 0 3x2 + 8x 2 · (-4) 2 +8 · (-4) 48 - 32 -16 lim --- = --- = --- = --- x -4 2x +1 2 · (-4) + 1 7 7

(21)

1 /x

2/x

x

Calcular : lim e + e

x->o 1/x 2/x x   0 0 p lim e + e = ( e + e ) = [  ] = e x->0 1/x 2/x p = lim x · ln ( e + e ) = 0 · ln  = [ 0 ·  ] = x->0 2 1/x 2 2/x - 1 / x · e - 2 / x e 1/x 2/x --- ln (e + e )  e 1/x + e 2/x = lim --- = ---- = lim --- = x->0 1 / x  x->0 -1 / x 2 2 1/x 2/ x 1/x 2/x 1/x 2/x -1 / x · ( e - 2 e ) / e + e e - 2 e = lim --- = lim --- = x->0 2 x->0 1/x 2/x - 1 / x e + e 1 / x 1 / x ∞ e ( 1 - 2 e ) 1 - 2 e  = lim --- = --- = --- = x->0 1 / x 1 / x ∞   e ( 1 + e ) 1 + e 2 1 / x - 2 (- 1 / x ) · e = lim --- = - 2 x->0 2 1 / x -1 / x · e 1 / x 2 / x x - 2 = lim e + e = e x->0

(22)

2x + 3

x

Calcular lim ---

x->∞

2x - 1

x x 2x +3 4 ∞ ∞ p lim --- = lim 1 + --- = (1 + 0 ) = [ 1 ] = e x->∞ 2x -1 x->∞ 2x – 1 4 p = lim x ·ln 1 + --- = ∞ · ln 1 = [ ∞ · o ] = x->∞ 2x - 1 2 - 8 / (2x -1) --- ln ( 1 + 4 / 2x – 1) 0 1 + 4 / 2x -1 = lim --- = ---- = lim --- = x->∞ 1/x 0 x->∞ 2 - 1 / x / 2x + 3 -8 / (2x – 1) 2 / --- / 2x – 1 -8 / (2x– 1) (2x+3) = lim _____________________ = lim _________________ = x->∞ - 1 / x2 x->∞ - 1 / x2 8x2 = lim _____________ = 2 x->∞ 4x2 + 4x -3 2x + 3 x p 2 lim --- = e = e x->∞ 2x - 1 Mas corto 2x+3 x lim ______ ∞ 2x+3 x->∞ 2x-1 = 1 ; p = lim x ______ - 1 = x->∞ 2x-1 2x + 3 – 2x +1 4x = lim x · _____________ = lim ______ = 2 x->∞ 2x – 1 x->∞ 2x-1 2x+3 x 2 lim _____ = e x->∞ 2x-1

(23)

1 1

Calcular : lim --- - ---

x0

x·tgx x

2

1 1 1 1 lim --- - --- = --- - --- = [  ] = x0 x·tgx x2 0 0 1 1 - --- x - tgx 0 - 0 0 cos2 x = lim --- = --- = --- = lim --- x0 x2· tgx 0 0 x0 senx 1 2x · --- + x2 · cosx cos2 x

(cos2x - 1) · cos2x cos2 x - 1 1 - 1 0 = lim --- = lim --- = --- = --- x0 (2x · senx · cosx + x2 ) ·cos2x x0 x · sen2x + x2 0 · 0 + 0 0

- 2 senx · cosx - sen 2x 0 = lim --- = lim --- = ---- = x0 sen2x + 2xcos2x + 2x x0 sen 2x + 2x ·cos 2x + 2x 0

- 2 · cos 2x - 2 · 1 2 1 = lim --- = --- = - --- = - ---- x0 2 · cos 2x + 2 · cos2 x - 4x · sen 2x + 2 2 + 2 – 0 + 2 6 3

Calcular: lim (-x +

/2)· tg

2

x

x /2

tg2 x - x + /2 0 lim (- x + /2 ) · tg2x = [ 0 · ] = lim --- = lim --- = --- =

x /2 x /2 1 x /2 cotg2x 0 --- - x + /2 - 1 - 1 1 1 = lim --- = --- = --- = --- =  x /2 1 - 2 cos /2 2 · 0 0 -2 cotgx · --- --- --- sen2x sen2/2 1

(24)

Calcular : lim (x · e

1/x

)

x0

e1/x  -1 / x2 . e1/x

lim (x · e1/x ) = 0 · e = [ 0 ·  ] = lim --- = [----] = lim --- = x0 x0 1 / x x0 x2 lim e1/x = e1/x = e1/0 = e = x0

Calcular : lim (Ln x )

x

x0 lim (Ln x)x = [ 0 ] = ep x0 p = lim x · Ln (Lnx) = 0 · Ln(Ln0) = 0 · Ln(-) No existe x0 No existe lim (Ln x ) x x0

Calcular : lim (1 - 2x)

1 / tg x x0

lim (1 - 2x) 1 / tg x = 1 = e p x0 -2 --- 1 Ln (1 - 2x) 0 1 - 2x

P = lim --- · Ln (1 - 2x) = lim --- = ---- = lim --- = x0 tgx x0 tg x 0 x0   cos2x -2 · cos2x -2 · cos0 2 = lim --- = --- = - --- x0 x) )  Lim (1 - 2x) 1 / tg x = e – 2 /  x0

(25)

Contesta a las siguientes cuestiones:

1.-¿En qué punto de la curva de ecuación

𝑭 𝒙 =𝒙𝟐−𝟒

𝒙𝟐+𝟒

tiene una tangente

horizontal?.

2.- ¿Es posible que dicha curva tenga una tangente paralela a la recta

𝟑𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟕 = 𝟎

en algún punto de la abscisa negativa?.

1.- ¿ 𝑥0?. 𝑓′ 𝑥 =2𝑥 𝑥2+4 − 𝑥2−4 2𝑥 𝑥2+4 2 = 2𝑥3+8𝑥−2𝑥3+8𝑥 (𝑥2+4)2 = 16𝑥 𝑥2+4 2 →𝑓 ′ 𝑥 0 = 0; 16 𝑥0= 0 ; 𝒙𝟎= 𝟎 tg horizontal 2.- −3𝑦 + 7 = 0 ; 3𝑦 = 3𝑥 + 7; 𝑦 = 𝑥 + 7 3 → 𝑚𝑟 = 1 𝑚𝑡= 𝑚𝑟 = 1 → 16𝑥0 (𝑥02+4)2= 1 ; 16𝑥0= (𝑥0 2 + 4)2 ∄ 𝑥0 𝑐𝑢𝑦𝑎 𝑡𝑔 𝑠𝑒𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎

1 + sen x

1/2

Dada la función f(x) = Ln --- se pide:

1 - sen x

Hallar su derivada.

1 + sen x 1/2

f(x) = Ln --- = ½ [Ln(1 + sen x) - Ln(1 - sen x)] 1 - sen x

1 cos x - cos x 1 cos x cos x f '(x) = - --- - --- = -- --- + --- 2 1 + sen x 1 - sen x 2 1 + sen x 1 - sen x

1 cos x - cos x · sen x + cos x + cos x· sen x 1 2.cos x = - --- = -- · --- 2 1 - sen2 x 2 cos2 x 1

f '(x) = --- = sec x cos x

(26)

Dada la funcion f (x) = ³ x , se pide : a ) Determinar si f (x) es

derivable en x =0, b) Hallar f´(x) , indicando su dominio. c) Estudiar si

f(x) verifica las hipótesis de Rolle en el intervalo [-1,1].

3 __

f (x) = √ x = x 1/3

a) Para que sea derivable ,la f (x) debe ser primero continua y lo es, por ser una raíz de índice impar, definida y continua para todo R.

1 1

f ´ (x) = --- x -2 / 3 = --- ; la f´(x) es continua para todo nº real excepto x = 0 que 3 ³√ x 2 lo hace ∞.

 f (x) es derivable x R excepto x = 0  f (x) no es derivable en x = 0

1

b) El dominio de f´(x) = --- será x  (-∞, 0 ) U ( 0, ∞ )

³√ x 2 .

c) En el [-1,1] la f(x) no es derivable pues falla en x = 0. Ademas f (-1) = ³√ -1 = -1 __

(27)

mx

2

+ nx + 5

x < 1

Dada la función f(x) =

Hallar m, n y b para

3x + 1

x ≥ 1 que se verifique Rolle

en el intervalo [-2, b]. Calcular Xo

1ª Hipótesis: f(x) continua en [-2, b] f (1) = 3 · 1 + 1 = 4 Lim (3x + 1) = 4 m + n + 5 = 4 x1+ Lim (mx2 + nx + 5) = m + n + 5 L1 = L2 m + n = - 1 x1

-Además es continua en [-2, 1) y en (1, b] por ser funciones polinómicas de grado 2 y de

grado 1, continuas  x Є R 2ª Hipótesis: f(x) derivable en (-2, b) 2mx + n x < 1 f’(x) = 3 x ≥ 1 f’ (1)= 3 Lim 3 = 3 2m + n = 3 f ’(x) continua x1+ Lim (2mx + n) = 2m + n L1 = L2 f(x) derivable x1-

Además f ’(x) es continua en (-2. 1) y en (1, b) por ser funciones polinómicas de grados

1 y 0, continuas  x Є R => f(x) derivable en (-2, b) m + n = -1 2m + n = 3 - m = - 4 ; m = 4 4 + n = - 1 ; n = - 5 3ª Hipótesis: f(-2) = f(b) 4 (- 2)2 – 5 (- 2) + 5 = 3b + 1 => 16 + 10 + 5 = 3b +1 31 = 3b +1; 30 = 3b; b = 10 Ǝ xo Є (-2, 10) / f’ (xo) = 0 (-2, 1) 2m xo + n = 0 2 · 4 · xo – 5 = 0; xo = ⅝ (1, 10) 3 ≠ 0 Ǝ xo

(28)

Dada la función:

cos x – 1 x < 0

F(x) =

𝑥2

+ a 0 ≤ x < 2

𝑏

𝑥−1

x ≥ 2

a) Hallar los valores de a y b para que sea continua en [0,2]

b) Verifica el Teorema de Lagrange en (0, 2). Calcular el o los x

o

correspondientes

lim𝑥→0+(𝑥2+ a) = a En x = 0 L1 = L2; a = 0 ∃ lim 𝑥→0𝑓(x). Continua en x = 0 lim𝑥→0−(cos x – 1) = 1- 1= 0 lim𝑥→2+ 𝒃 𝒙−𝟏 = 𝒃 𝟐−𝟏= b En x = 2 L1 = L2; b = 4 + a; b = 4 lim 𝑥→2𝑓 𝑥 . lim𝑥→2−(𝑥2 + a) = 4 + a Continua en x=2

¿Continua en [0,2]? y= 𝑥2 es f.polinómica ; D= ∀𝑥 ∈ 𝑅 Como [0,2] D f(x) es

continua en [0,2] b)

- sen x x < 0 f´(x)= 2x 0 ≤ x < 2 - 4 / (x – 1)2 x ≥ 2

En (0,2)  f´(x) = 2x D: ∀𝑥 ∈ 𝑅 por ser f. polinómica. Como (0,2)  D 

f(x) continua en (0,2)  f(x) derivable en (0,2) c) Busquemos Lagrange en (0,2) ∃ xo / 𝑓 2 −𝑓(0) 2−0 = f´(xo) 4−0 2−0 = 2xo ; 2 = 2xo ; xo = 1  (1,2)

(29)

Dada la parábola de ecuación y = x

2

- 2x + 5, se considera la recta

r que une los puntos de esa parábola, de abscisas x

1

= 1 y x

2

= 3.

Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola que es paralela

a la recta r.

Calculemos las ordenadas de los puntos P y Q de la recta r P(1, 1 - 2 + 5) = (1, 4) Q(3, 9 - 6 + 5) = (3, 8)

Calculemos la ecuación de la recta r, donde su vector es PQ = (2, 4) x - 1 y - 4

--- = --- ==> 4 · (x - 1) = 2 · (y - 4) 2x - 2 = y - 4 ==> y = 2x + 2 2 4 su pendiente es m = 2 Por otro lado, la pendiente de la recta tangente a la curva, se calcula hallando la derivada de la curva, particularizada para la abscisa del punto.

y' = 2x - 2 ==> m = y'(xo) = 2xo - 2

Igualando las dos pendientes 2xo - 2 = 2 ==> 2xo = 4

xo = 2 y la yo = 5 El punto de tangencia será T(2, 5)

La ecuación de la recta tangente será: y - 5 = 2 · (x - 2) ===> y = 2x + 1

Dadas las funciones f(x) = x² + л y g (x) = sen x + cos x , calcula

la derivada en x=0 de las funciones f [g(x)] y g[f(x)] .

h (x) = f [g(x)] = ( sen x + cos x) ² + π

h’ (x) = 2 . (sen x + cos x ) . (cos x – sen x) = 2 (cos² x - sen² x) h’ (0) = 2 . (1 – 0) = 2

i (x) = g [f(x)] = sen ( x² + π) + cos (x² + π) i’ (x) = 2x . cos (x² + π) – 2x sen . (x² + π) i’(0) = 0 cos π – 0 sen π = 0

(30)

Demostrar que, cualquiera que sea el numero real a, la ecuación

x

5

+ 10x + a = 0, no tiene nunca dos soluciones reales.

Supongamos que la ecuación si tiene dos soluciones reales distintas x1, x2 y que

x1 < x2

La función f(x) = x5 + 10x + a = 0 es continua y derivable en todo R, por ser una

función polinomica.

En consecuencia la f(x) es continua en el cerrado [x1,x2] y derivable en el abierto

(x1,x2).

Como además, la f(x1) = f(x2) = 0 por ser soluciones de la ecuación, si aplicamos el

teorema de Rolle a mi f(x), debería existir un punto xo (x1,x2) que verifique:

f '(xo) = 0 y como la f '(x) = 5.x4 + 10 = 0 no tiene soluciones reales, no existirá ningún

valor real xo que verifique Rolle.

En consecuencia final, la f(x) no puede tener dos soluciones reales, ya que no existe ni

máximo ni mínimo  la función será siempre creciente o decreciente.

Demostrar que la ecuación x

3

+ 6x

2

+ 15x - 23 = 0 no puede tener

mas de una raíz real.

Consideremos la función f(x) = x3 + 6x2 + 15x - 23 en la que el dominio de mi

función es toda la recta R.

Si calculamos f '(x) = 3x2 + 12x + 15 podemos calcular que dicha derivada es siempre

positiva, para ello podemos ver que la ecuación f '(x) = 0 no se verifica para ningún

valor de x ya que la ecuación 3x2 + 12x + 15 = 0 no tiene soluciones reales.

Esto nos indica que f '(x) mantiene siempre el signo constante y además será siempre positiva ya que f '(0) = 15 > 0.

Al ser f '(x) > 0 nos dice que la f(x) es siempre creciente para todo valor de R y al

pasar de - a + la función se anulara en algún valor de x, pero solo en un punto, con

(31)

Demostrar que la ecuación x

18

- 5x + 3 = 0 no puede tener mas de

dos raíces reales.

Si consideramos la función f(x) = x18 - 5x + 3 , las raíces de dicha ecuación serán los

números x para los que se cumple que f(x) = 0. Si calculamos la derivada de f(x)

f '(x) = 18x17 - 5 ; Hagamos f '(x) = 0 ==> 18x17 - 5 = 0 5 1 / 17

x = --- 18

Al ser una raíz de índice impar, la derivada se anulara para un solo valor de x, con lo que según el Teorema de Rolle, existirá un solo máximo o un solo mínimo y por tanto la función f(x) solo podrá cortar al eje de abscisas en dos puntos, con lo que la ecuación no puede tener mas de dos raíces reales.

Derivar las siguientes funciones

1) f(x) = e2x => y´ = 2· e2x 1 2) f(x) = ln (x + 2) => y´ = --- x + 2 7 -7 3) f(x) = --- => y´ = --- x – 7 (x – 7) 2 4) f(x) = e x · (x + 1) => y´ = e x · (x + 1) + e x = e x · (x + 2) x x2 – 1 – x · 2x x2 - 4 5) f(x) = --- => y´ = --- = --- x2 - 1 (x2 – 1 ) 2 x2 x2 + 4 2x · x – (x2 + 4) x2 – 4 6) f(x) = --- => y´ = --- = --- x x2 x2 1 – 1/ x2 x2 – 1 7) f(x) = tg (x + 1/x) => y´ = --- = --- cos2 (x + 1/x) x2 cos2 (x + 1/x)

(32)

y´ -1 8) f(x) = (2 – x) x => ln y = x · ln (2 – x) ; ---- = ln (2 – x) + x · --- ; y 2 – x x y`= [ ln (2 – x) – --- ] · (2 – x) x 2 – x y´ 1 1 2 ln x 9) f(x) = x lnx => ln y = ln x · ln x ; ---- = ---- · ln x + ln x · ---- ; y´ = --- · x lnx y x x x y´ 1/x 10) f(x) = (ln x) x => ln y = x · ln (ln x) ; ---- = ln (ln x) + x · --- ; y ln x 1 y´ = [ ln (ln x) + --- ] · (ln x) x ln x

Determinar un punto sobre la parábola y = x

2

comprendido entre

los puntos A(1,1) , B(3,9) en el que la tangente a la parábola sea

para-lela a la recta AB.

Si aplicamos Lagrange a los extremos a = 1 y b = 3 en donde la f(b) = 9 y la f(a) = 1 Como f(b) - f(a) = (b - a) · f '(xo)

9 - 1 = (3 - 1) · f '(xo) Como la f '(x) = 2x

(33)

Discutir si la ecuación cos x = 2 – x posee alguna solución real positiva.

¿Puedo asegura que hay una sola solución?

Creamos una f(x) = cos x – 2 + x para comprobar la hipótesis de Bolzano en [0, b].

y= cos x : D xR por ser F sinusoidal de un polinomio

F(x) = cos x – 2 + x =

y = - 2 + x : D xR por ser Función polinómica

 f(x) es continua xR

Signo f(0) = cos 0 - 2 + 0 = 1 - 2 = - 1 0 en  0,  o mejor

Signo f(/2) = cos /2 – 2 + /2  0

Signo f() = cos  – 2 +  = - 3 +   0 en  /2,  Signo f (/2)  Signo f()

Existe al menos un x0 (/2,  )  f(x0) = 0 

 Existe al menos una solución real positiva en (/2, )

Como falla la 3ª hipótesis de Rolle f(/2)  f()

No puedo asegurar la existencia de máximo o mínimo  f(x) es siempre creciente o

decreciente y eso implica que en (/2, ) hay un solo valor en el que f(x0) = 0

En la ecuación de la recta y = mx + b, explicar como se

determina-rían los números m y b para que sea tangente a la gráfica de la función

y - f(x) en el punto de esta de abscisa p.

Por ser m la pendiente de la recta ==> m = f '(p)

La ecuación de la recta que pasa por (p, f(p)) y tiene por pendiente f '(p) será: y - f(p) = f '(p) · (x - p) y despejando la y queda:

y = f '(p) · x – f '(p) · p + f(p) Identificando con la ecuación de la recta podemos sacar que b = - f '(p).p + f(p)

(34)

En el segmento de parábola comprendido entre los puntos A(1, 1) y

B(3, 0), hallar un punto cuya tangente sea paralela a la cuerda.

Aplicando la interpretación geométrica de Lagrange.

Si f(x) = ax² + bx + c por pasar por A y B

1 = a·1² + b·1 + c a + b + c = 1 8a + 2b = -1 ; 2b = -1-8a ; b = - ½ - 4a ; 0 = a·3² + b·3 + c 9a + 3b + c = 0 c = 1 - b Ademas f´(x0) = m

Si la recta AB es de la forma y-0 = m · (x-3) 1- 0 1 m = —— = - — 1- 3 2 1 f´(x) = 2ax + b ; 2ax + b = - — 2 1 0 - 1 = f´(x) ·(3 - 1) ; f´(x) = - — 2 1 1 2a·x0 - — - 4a = - — ; 2a · x0 – 4a = 0 ; 2x0 = 4 ; x0 = 2 2 2 1 3 1 3 3 9 9 Si f(x) = x² - — x + — f(x0) = 4 - — · 2 + — = 3 + — = — P ( 2 , — ) 2 2 2 2 2 2 2

(35)

¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = │x – 1│ en el

intervalo [0,2]?

- x + 1 x < 1 f(x) = |x – 1| = 0 x = 1 x - 1 x > 1 lim x – 1 = 0 x→1+

Veamos si es continua en x = 1 lim f(x) = 0 = f(1) , es continua x →1 lim - x + 1 = 0 x→1- 1 x > 1 lim f ´(x) = 1 x→ 1+ f ´(x) = 0 x = 1 -1 x < 1 lim f ´(x) = - 1 x→1-

(36)

Estudiar si se cumplen las condiciones de Rolle para la función

1

f(x) = --- en el intervalo [-

sen

x

Para que f(x) sea continua es necesario que los limites laterales coincidan y que f(x) este

definida en [-



f() = --- = --- =  f(x) no esta definida en  luego falla la 1º hipótesis en 

sen 0

al menos un punto del cerrado.

Estudiar si se cumplen las hipótesis de Rolle para la función

f (x)= x³ - 9x en [-3,3] y si es cierto, comprobar la existencia de al

menos una raiz real de f´(x) = 0 en el intervalo considerado.

a) f (x) es continua por ser un polinomio de grado 3

b) f´ (x) = 3x² - 9. Por ser f´(x) un polinomio de grado 2, f´(x) escontinua  f(x) es

derivable en (-3,3)

c) f (-3) = (-3)³ - 9 (-3) = -27 + 27 = 0 f (-3) = f (3) f (3) = 3³ - 9. 3 = 27 – 27 = 0

9 Verifica Rolle  existe xo f´(xo) = 0 ; 3xo² - 9 = 0 ; xo² = --- = 3 ;

3

xo = ± 3 ε (-3,3) Son las raices de f´(x) = 0

(37)

Explicar en que consiste la regla de la cadena para derivar una

función compuesta. Como aplicación, derivar la función

f(x) = arc sen 2x · (1 - x

2

)

1/2

La regla de la cadena se utiliza para hallar la derivada de funciones compuestas. Si f(x) = g(h(x)) entonces f '(x) = g'( h(x) ) · h'(x)

En nuestro caso h(x) = 2x · (1 - x2)1/2 con lo que

1 2x2

h'(x) = 2 · (1 - x2) + 2x · -- · (1 - x2)-1/2 · (-2x) = 2 ·  (1 - x2) - --- = 2 ( 1 - x2 )1/2

2 · (1 - x2) - 2x2 2 - 4x2

--- = --- Además g(u) = arc sen u ==> (1 - x2 )1/2 (1 - x2)1/2 1 1 1 g'( h(x) ) = --- = --- = --- [1 - (2x · (1 - x2)1/2)2 ]1/2 (1 - 4x2 · (1 - x2) )1/2 ( 1 - 4x2 + 4x4 )1/2 2 - 4x2 f '(x) = --- [ (1 - x2) · (1 - 4x2 + 4x4) ]1/2

Hallar la derivadas de las funciones :

a) y = xsenx

y = xsenx ; Lny = Ln xsenx = senx · Lnx ; y’ / y = cos x · Ln x + sen x · 1/x ;

y’= (cos x · Lnx + sen x / x ) · xsenx

b) y = (senx)x

y =( senx)x ; Lny = Ln (senx)x = x · Lnsenx ; y’ / y = Ln(senx) + x · (cos x / sen x) ;

y’ = [ Ln(senx) + x · cotgx) ] (sen x ) x

c) y = 2senx

y = 2 senx ; y’ = cos x · 2 senx · log 2

d) y = sen3x

(38)

Hallar la derivada primera, segunda, tercera, cuarta ...

3

de la función y = ln --- (simplificando los resultados).

3x + 1

Escribir la expresión simplificada de la derivada de orden 18 de esa

función.

x y = Ln --- = Ln x - Ln (3x + 1) 3x + 1 1 3 1 1 y' = -- - --- = -- - 3 · --- x 3x + 1 x 3x + 1 1 3 1 1 y'' = - --- + 3 · --- = - --- + 32 · --- x2 (3x + 1)2 x2 (3x + 1)2 1 · 2x 2 · (3x + 1) · 3 1 · 2 1 · 2 y''' = --- - 32 · --- = --- - 33 . --- x4 (3x + 1)4 x3 (3x + 1)3 1· 2 · 3x2 33 ·1·2·3 · (3x + 1)2 ·3 1·2·3 1·2·3 yiv = - --- + --- = - --- + 34. --- x6 (3x + 1)6 x4 (3x + 1)4 17! 17! y18 = - --- + 318 · --- x18 (3x + 1)18

Hallar la función derivada de y = (1 - cos x ) . cotg x

Si llamo u(x) = 1 - cos x y v(x) = cotg x y' = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x) - 1

u'(x) = - (- sen x) = sen x v'(x) = --- sen2x

1 - cos x 1 - cos x y' = sen x · cotg x - --- = cos x - --- = sen2x 1 - cos2x

1 - cos x 1 cos x + cos2 x - 1 = cos x - ------ = cos x - --- = --- (1 - cos x) ·(1 + cos x) 1 + cos x 1 + cos x

(39)

La ecuación e

x

= 1 + x tiene evidentemente la raíz x = 0. Probar

que no tiene mas raíces reales.

El que tenga la raíz x = 0 se comprueba ya que e0 = 1 + 0

Ahora bien, si estudiamos la función y = ex - x - 1 podemos calcular sus máximos

o mínimos.

y' = ex - 1 ==> y' = 0 ==> ex - 1 = 0 ==> ex = 1 ==>

Ln ex = Ln 1 ==> x = 0 es posible máximo o mínimo.

y'' = ex ==> y''(0) = e0 > 0 ==> Mínimo en (0,0)

Al no existir ningún otro máximo ni mínimo en mi función, esto quiere significar que la función será siempre decreciente hasta llegar al x = 0, y que después del x = 0 será siempre creciente.

Por ello puedo asegurar que mi función no volverá a anularse para ningún otro valor

de x, o lo que es lo mismo, que la ecuación ex = 1 + x no se verificara para otro valor

que no sea el cero ya observado.

3

La función de f(x) = (x - 2)² ¿ cumple las condiciones de Rolle en

[ 0, 4] ?

Al estar el radicando elevado al cuadrado, este sera siempre > 0 y existe f(x) para todo x

perteneciente a R  f(x) sera continua en toda la R.

2 -1/3 2

f´(x) = --- ( x-2 ) = --- 3 3 ³ x -2

Para x = 2 no existe f´(x) luego no es derivable en ( 0, -4) pues no es continua en x = 2 

verifica Rolle : No podemos asegurar que exista x0 ε (0, 4) / f´(x0) = 0

(40)

|x|

Sea f(x)= ---

x

2

+1

Estudiar la continuidad y derivabilidad de x=0

a)

Estudiar cuando se verifica que f `(x)=0. Puesto que f(1) = f(-1),

¿Existe contradicción en el teorema de Rolle en el intervalo

[-1,1]?

a) - x - ( x2 + 1) + x· 2x --- x < 0 --- x < 0 x2 +1 (x2+1)2 |x| f(x)= --- = 0 x =0  f´(x) = 0 x = 0 x2+1 x x2 + 1 – x· 2x --- x > 0 --- x > 0 x2 +1 (x2+1)2 x lim --- = 0 x->o+ x2 + 1 En x=0 - x l1 = l2 existe lim f (x) = f (0) = 0 lim --- = 0 x->0 x->o- x2 + 1 f(x) es continua en x = 0 x2 + 1 --- x < 0 - x2 + 1 1 (x2 + 1)2 lim --- = --- = 1 x->o+ (x2 + 1)2 1 Si f `(x) = 0 x = 0 en x = 0 x2 + 1 -1 -x2 + 1 lim --- = --- = - 1 --- x > 0 x->o- (x2 + 1)2 1 (x2 + 1)2

l1 ≠ l2 No existe lim f´(x) => f´(x) no es continua=> f(x) no es derivable en x = 0

b) No existe contradicion ya que al no ser derivable en x = 0 perteneciente (-1,1) no se

verifica Rolle a pesar de que f (-1) = f(1) = ½ ya que Rolle no niega que exista um x0

perteneciente (-1,1) / f´(x0)=0 sino que no lo puede asegurar aunque en este caso si que

(41)

Sea una función f (x) tal que f (x) y f´(x) son continuas en todo R.

Demostrar si f(y además la única raíz real de f´(x) es, esto

implica que la única raíz real de f(x)= 0 es 

Para demostrarlo supongamos que existe R / 

Si supongo que f( ) = 0  f´() = 0 esto nos indica que si existe un valor  que hace su derivada 0.

Esto nos implica que exista una raíz real para f´(x), que sería  en contra del

enuncia-do que nos dice que la única raíz real de f´es 

 

Sea f: R R una función con función derivada f ’(x)= sen x².

Si f(0) = 0, ¿puede ser f(√π) = 0? Razonar la respuesta aplicando el

teorema de Rolle.

El teorema de Rolle dice que si f(x) es continua en [a,b] y derivable en (a,b), además de que f(a) = f(b) ==> x0 / f ‘(x) = 0.

Aquí me dicen que la f(x) tiene como derivada f ‘(x) = senx²; si ésta f ‘(x) es continua en R lo será en el (0 ,√π)

Como la función sen x² es continua siempre que lo sea x² y ésta es una función polinómica continua en R luego f ’(x) = sen x² es continua en (0 ,√π) y por tanto es derivable en (0 ,√π).

Si f(x) es derivable, antes ha tenido que ser continua en [0 ,√π]. Rolle me dice que además f(0) = f(√π) y como f(0) = 0 f(√π) = 0 para que se verifique el teorema.

Se considera la parábola y = 2x

2

. Determinar un punto de la misma

en el que la tangente a la parábola sea paralela a la recta que pasa por

los puntos de la parábola A(1,2) y B(2,8)

Se aplica la formula de Lagrange f(b) – f (a) = (b – a) · f ´(xo);  f ´(x) = 4x

8 – 2 = (2 - 1) · 4 xo 6 = 4 xo ;  xo = 6/4 = 3/2;

yo = 2 · (3/2)2 = 2∙ 9/4 = 9/2

(42)

Se considera la función

a)

Determinar m y n para que se cumplan las hipótesis del teorema del

valor medio en el intervalo [-4,2].

b)

Hallar los puntos del intervalo cuya existencia garantiza el teorema.

a) Para que se verifique Lagrange, la f(x) debe ser continua y derivable en [-4,2]

Obliguemos a que sea continua en [-4,-2), (-2,2] y en x=-2

En los intervalos será continua m,n por ser f. polinómicas.

Además debe ser continua en x=2

- 8 + m = 4 - 32 ; m = - 20

(43)

1

Se da la curva de ecuación y = -- . Comprobar que el segmento de

x

1

la tangente a dicha curva en el punto 3 , -- , comprendido entre los

3

ejes de coordenadas, esta dividido en dos partes iguales por el punto

de contacto.

Calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x=3 , y para ello, calcularemos la pendiente de la recta.

1 1 y'(x) = - -- y'(3) = - -- x2 9

1 1

La ecuación de la tangente será: y - -- = - -- · (x - 3) 3 9

9y - 3 = - x + 3 ==> x + 9y - 6 = 0

Calculemos los puntos de corte de la tangente con los ejes

x + 9y - 6 = 0 2  9y - 6 = 0 ==> 9y = 6 ==> y = -- A( 0, 2 / 3) x = 0 3 x + 9y - 6 = 0  x - 6 = 0 ==> x = 6 B(6,0) y = 0 El punto medio entra A y B será M ( 3, 1/3)

Lo que hay que comprobar es que d(A,M) = d(B,M) 1 82  82 d(A,M) =  9 + --- =  --- = --- 9 9 3 1 82  82 d(B,M) =  9 + -- =  --- = --- 9 9 3

(44)

Si el termino independiente de un polinomio en x es igual a 3 y el

valor que toma ese polinomio para x=2 es 3, probar que su derivada se

anula para algún valor de x; razonar que ese valor pertenece a un

cierto intervalo que se especificara.

Llamemos P(x) = an ·xn + an-1 · xn-1 + ... + a1 ·x + 3

P(0) = an · 0 + an-1 · 0 + ... + a1 · 0 + 3 = 3

Además nos dicen que P(2) = 3, por tanto P(0) = P(2) = 3.

Como P(x) es función continua y derivable en toda la recta real podremos aplicar el Teorema de Rolle, con lo que existe un valor x = a en el intervalo (0,2) tal que P'(a) = 0

Si f(x) = 2 + x

3

(x - 2)

2

probar que la ecuación f´(x) = 0 posee al

menos una raíz en (0, 2) sin calcular su derivada.

Para que xo sea raíz es necesario que f´(x0) = 0

Se aplica Rolle, por ser f(x) continua en [0,2] y derivable en (0,2) y ademas f(0) = 2 + 03· (0 – 2)2 = 2 ; f(0) = f(2) f(2) = 2 + 23·(2 – 2)2 = 2 al verificarlo Ǝ x0 Ɛ R / f´(x0) = 0 Por Lagrange f(2) - f(0) = f´(x0) [2 – 0] 2 – 2 = f´(x0) · 2 ; 0 = f´(x0) · 2; f´(x0) = 0

Si la derivada de una función f es positiva para todos los valores de la

variable. ¿Puede haber dos números distintos a, b, tales que

f(a) = f(b)?. Razonarlo.

Si fuera f(a) = f(b) para dos números distintos a y b, puesto que f es derivable, también es continua y podría aplicarse el teorema de Rolle.

Habría entonces un numero c entre a y b, tal que f '(c) = 0, lo cual es imposible ya que f '(x) > 0 para todo numero x, según dice el enunciado. Luego no puede haber dos números distintos a, b, tales que f(a) = f(b).

(45)

1

Si P es un punto cualquiera de la gráfica y = -- , probar que el

3

triángulo formado por la recta OP, la tangente a esa gráfica en el

punto P y el eje y = 0, es isósceles. (O es el origen de coordenadas)

1 1 Sea P( x1, -- ) un punto de la hipérbola y = --

x1 x

La tangente a la curva en el punto P tendrá de pendiente 1

m = y'(x1) = - ---- por lo que la tangente será de la forma:

x12

1 1

y - --- = - ---- · (x - x1)

x1 x12

Para buscar el punto de corte de la tangente con el eje OX resolveremos el sistema: 1 1 1

y = --- + --- - ----. x 1 2 2 · x12

x1 x1 x12  ---- · x = --- ==> x = ---  x = 2 · x1

x12 x1 x1

y = 0

luego la tangente corta al eje en Q(2x, 0)

Para ver que los triángulos formados son isósceles solo será necesario demostrar que: d(OP) = d(PQ) 1 d(OP) =  x12 + ---- x12  d(OP) = d(PQ) 1 2 1 d(PQ) =  (2x1 - x1)2 + ( 0 - --- ) =  x12 + --- x1 x12

(46)

Figure

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