CONTROL DE LA RESPUESTA DE UN EDIFICIO MEDIANTE EL USO DE AMORTIGUADORES VISCOSOS.
Neftalí Rodríguez Cuevas1 y Jorge A. López González2 RESUMEN
La implementación de dispositivos disipadores de energía para controlar la respuesta sísmica y la acción del viento en estructuras es una práctica común en la actualidad. La inclusión de amortiguadores viscosos como sistema de amortiguamiento suplementario ha probado ser una de las mejores alternativas en cuanto a dispositivos de control pasivo se refiere. En este trabajo, se analiza la respuesta dinámica teórica de un edificio de acero de 15 niveles sometido a excitación en la base, al cual se adicionan amortiguadores de tipo viscoso, y se establece un criterio para la selección y localización de los amortiguadores.
SUMMARY
The implementation of energy dissipation devices for the control of seismic response and wind action on structures is a common practice nowadays. The addition of viscous fluid dampers as a system of supplementary damping has proven to be a good alternative as a passive device control. In this paper, the dynamic response of a 15-story steel building subjected to seismic ground motion is analyzed with the addition of viscous damping, and a criteria of selection and location of dampers is presented.
INTRODUCCIÓN
En los últimos años, se han desarrollado dispositivos disipadores de energía de varios tipos, con la finalidad de reducir la respuesta de una estructura ante excitaciones dinámicas. Uno de tales dispositivos es el amortiguador de fluido viscoso, el cual ha probado su efectividad en diversas estructuras(ref. 1). La ventaja de utilizar este dispositivo radica en el hecho de que el desplazamiento se encuentra fuera de fase con la máxima fuerza de salida del dispositivo, lo cual, a diferencia de los disipadores dependientes del desplazamiento, no incrementa los esfuerzos sobre los elementos con los cuales se conecta.
Este trabajo muestra el efecto de la inclusión de amortiguadores de tipo viscoso en un edificio de 15 niveles, sometido a excitación en la base al aplicar una metodología de optimación, cuyo objetivo busca reducir las distorsiones de entrepiso de cada nivel. Esta consta de dos partes: la primera tiene el propósito de encontrar la cantidad de amortiguamiento suplementario para lograr un desplazamiento preestablecido. Esta resulta ser una extensión de un análisis modal espectral con amortiguamiento no proporcional, debido a que, la adición de elementos disipadores de energía en una estructura, modifica las propiedades de la matriz de amortiguamiento. Con base en lo anterior, se realizan análisis no lineales en la historia del tiempo para un modelo alternativo que representa a un sistema de un grado de libertad, donde se obtuvo la máxima distorsión de entrepiso como función del amortiguamiento proporcionado por el dispositivo de fluido viscoso y del periodo de la estructura. La segunda parte trata con el problema de localización de los dispositivos con base a un razonamiento donde se hace alusión a las características del disipador.
1 Investigador, Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, Apdo. Postal 70-472, 04510, México, D.F. , Tel. (55)5622-3472; [email protected].
2 Becario, Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, Apdo. Postal 70-472, 04510, México, D.F. , Tel. (55)5622-3370; [email protected].
ESTRUCTURAS CON AMORTIGUAMIENTO NO PROPORCIONAL
Para sistemas con múltiples grados de libertad, la ecuación del movimiento queda definida por la expresión:
)
(
. ..t
P
Ku
u
C
u
M
+
+
=
(1) La ecuación anterior se puede expresar en la siguiente manera(ref. 2):(2)
[ ]
A y +[ ]
B{ } { }
y = Y . donde[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
= c m m A 0[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
−
=
k
m
B
0
0
{ }
{ }
= u u y .{ }
{ }
{ }
= P Y 0 conocida como la forma reducida de la ecuación (1)La solución homogénea de la ecuación (2) conduce a un problema de valores característicos:
( )
[
L
λ
]
{ }
y
=
{ }
0
(3) cuyas raíces o eigenvalores (λ1, λ2,....,λ2n) definen tanto las semiamplitudes del movimiento así como elángulo de fase. Para sistemas subamortiguados, esta solución consta de 2n valores complejos, con parte real negativa. Es posible demostrar que se cumplen relaciones de ortogonalidad análogamente al problema con amortiguamiento clásico, por lo que también es factible realizar una descomposición modal de la manera siguiente(ref. 3):
{ }
y
=
[ ]{ }
Φ
z
(4) La solución al problema de amortiguamiento no proporcional puede expresarse en términos de la integral de Duhamel, de la siguiente manera(ref. 4):{
}
∑
n k jh
jt
jh
t
t
u
1 = .)
(
+
)
(
=
)
(
α
β
(5) donde{
}
[
j j j]
jφ
Q
λ
α
=
−
2
Re
{ }
[
j j]
jφ
Q
β
=
2
Re
2 2 , 1 2j jξ
jω
ji
ω
j1
ξ
jλ
−=
−
±
−
460{ }
{ }
{ }
−
=
−0
1r
Q
φ
Para sistemas con amortiguamiento proporcional, .Como se puede observar, la determinación de la respuesta máxima depende no solo del desplazamiento máximo relativo , sino también de la velocidad máxima relativa . Por lo tanto, al evaluar la respuesta de una estructura al utilizar espectros con un amortiguamiento equivalente aportado por los dispositivos, se desprecia el término de la máxima velocidad relativa, el cual resulta ser igual a la pseudo-velocidad solo para frecuencias comprendidas entre 1 y 10 Hz (ref. 6).
0
=
jβ
)
,
(
ξ
ω
dS
)
,
(
ξ
ω
vS
)
,
(
.ω
ξ
h
SOLUCION PROPUESTASe obtuvo una superficie de respuesta para un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso, por medio del programa SAP2000(ref.5) para el Sismo del 20 de abril de 1998, el cual fue escalado para obtener aceleraciones máximas próximas a 200gals. Para tal efecto, se recurrió a un modelo de un marco plano de un nivel, el cual fue excitado en la base mediante el registro propuesto. Para cubrir un intervalo de periodos entre 0 y 4.5 se cambió la rigidez de las columnas y se incluyó el amortiguador viscoso con porcentajes de amortiguamiento equivalente del 0 al 50%, registrándose el máximo desplazamiento para cada análisis. Posteriormente, este desplazamiento fue normalizado con la altura de la columna, graficándose finalmente la distorsión de entrepiso. En todos los análisis se consideró un 0% de amortiguamiento modal, debido a que se consideró que el amortiguador debe disipar toda la energía en el sistema.
Figura 1 Registro escalado para la componente S65E del Sismo del 20 de abril de 1998.
Cabe mencionar que la superficie que se muestra a continuación omite información de los picos que se presentan, sobre todo para amortiguamiento de 0%, debido a que se seleccionaron 13 periodos para los análisis, los cuales cubren intervalos sumamente espaciados, por lo que se trata de una curva muy suavizada. Se presentan a continuación la superficie obtenida y para fines de comparación, se presenta también el espectro de pseudo-desplazamiento para cocientes de amortiguamientos de 0 a 5%. Como se ha mencionado, el por ciento de amortiguamiento en la figura 2 indica una cantidad de amortiguamiento aportada por el dispositivo, para el cual, se consideró en los análisis, un relación lineal entre la fuerza de salida y la velocidad del dispositivo.
Figura 2 Superficie de respuesta para el Sismo R20/04/98 con el amortiguador viscoso.
Figura 3 Espectro de respuesta de desplazamiento para la componente S65E del Sismo del 20 de abril de 1998.
CRITERIO DE LA CANTIDAD Y SELECCIÓN DE LOS AMORTIGUADORES
Para determinar la cantidad de amortiguamiento se tomará como base la figura 2, con la cual es posible determinar el cociente de amortiguamiento para obtener un distorsión de entrepiso especificada. El proceso consiste en determinar de un primer análisis, el periodo fundamental de la estructura, para el cual es valida la siguiente relación:
(7)
ω
ζ
m
C
=
2
equiv .donde m y ω son respectivamente, la masa y la frecuencia fundamental de la estructura.
Una vez obtenido el coeficiente de amortiguamiento total, es posible seleccionar la cantidad y el tipo de amortiguador de las especificaciones del fabricante. También, se debe considerar el paso de la carrera del pistón, ya que una distorsión de entrepiso elevada, puede provocar la falla del amortiguador. Por otra parte, se debe considerar el efecto de la energía acumulada en el amortiguador, debido a que, para cargas prolongadas, por ejemplo por la acción del viento, pueden provocarse la falla del dispositivo por efectos térmicos.
CRITERIO DE LOCALIZACIÓN DE LOS DISPOSITIVOS La fuerza de salida del amortiguador queda definida por:
α
.
= u
c
F
(8) donde c y α representan respectivamente, la constante de amortiguamiento viscoso del dispositivo y un exponente que varía entre 0.5 y 1.0 para análisis sísmico y de viento(ref. 7).Considérese ahora que los dispositivos se colocan entre dos niveles consecutivos en forma diagonal. La velocidad relativa entre dos niveles queda definida por la siguiente expresión:
1 . .
=
j j ju
u
ψ
(9) o en el dominio de las frecuencia(10) 1 . . −
−
=
Ψ
jU
jU
jPara evaluar la respuesta para un registro por cada nivel, es posible aplicar la relación siguiente:
∫
∞∞ + 2 2=
(
)
0 .. .. 0ω
ω
Φ
Ψ
σ
d
x x j vj (11)donde
Φ
es la función de densidad espectral correspondiente al registro considerado.0 .. 0 .. x x
Si se considera que los amortiguadores trabajan más eficientemente en aquellos entrepisos cuya velocidad relativa sea máxima, es decir, si se considera que la ecuación (6) representa el área bajo el espectro de respuesta y esta a la vez representa un valor o índice para cada entrepiso, para un edificio con N niveles se cumple lo siguiente:
σ2
v max
= max(
σ
2v1,σ
2v2,...,σ
2vN)
(12) Este índice por definición indica también la varianza de la velocidad relativa. Una vez determinada la historia de velocidades en todos los niveles, de acuerdo a la interpretación anterior, es posible determinar la varianza para cada marco de un entrepiso, cuyo valor máximo indicará el lugar donde deben colocarse los dispositivos.MODELO ESTUDIADO
El planteamiento anterior fue aplicado en la revisión de un edificio de acero de 15 niveles, con el Sismo R20/04/98 actuando en la base; se consideró 100% en una dirección + 30% en dirección perpendicular. La tabla 1 proporciona las secciones del edificio formado por armaduras y columnas con secciones en cajón. De acuerdo al criterio que se planteó, se realizó un primer análisis para determinar el periodo fundamental y la masa del edificio. Así mismo, se determinaron los desplazamientos máximos en el nivel superior para un intervalo de amortiguamiento modal de 0 a 5%.
Tabla 1 Secciones para el edificio de 15 niveles
Armadura Cuerda superior Cuerda inferior Diagonales Montantes Azotea exterior 2L 2.5X2.5X1/4” 2L 2.5X2.5X1/4” 2[] 2X2X1/4” 2[] 2X2X1/4”
Azotea inferior 2L 3.5X3.5X5/16 2L 3.5X3.5X5/16 2[] 2X2X1/4” 2[] 2X2X1/4” Niveles intermedios exterior 2L 3X3X1/4 2L 3X3X1/4 2[] 2X2X1/4” 2[] 2X2X1/4” Niveles intermedios interior 2L 4X4X1/4 2L 4X4X1/4 2[] 3X3X1/4” 2[] 3X3X3/16”
Entrepiso Sección (in)
15 4 PL 12X1/2 14 4 PL 12X1/2 13 4 PL 12X1/2 12 4 PL 15X1/2 11 4 PL 15X1/2 10 4 PL 16X3/4 9 4 PL 16X3/4 8 4 PL 18X3/4 7 4 PL 18X3/4 6 4 PL 18X1 5 4 PL 18X1 4 4 PL 20X1 3 4 PL 20X1 2 4 PL 24X1 1 4 PL 24X1
El periodo fundamental de la estructura resultó ser de 0.9985seg, por lo que el edificio prácticamente se encontró en la condición de resonancia. La afirmación anterior fue corroborada del espectro de respuesta de desplazamiento; los valores con amortiguamiento modal bajo rebasan los valores especificados para la aparición de daño en la estructura. El propósito de este trabajo es considerar únicamente el efecto de los amortiguadores en la respuesta estructural, por lo que se asumió que la estructura permanece elástica.
Tabla 2 Desplazamientos máximos para el nivel 15 para diferentes cantidades de amortiguamiento modal
Amortiguamiento
Modal Desplazamiento máximo (m)
0 2.347 1 1.005 2 0.625 3 0.4679 4 0.3893 5 0.3334 464
Figura 4 Modelo tridimensional de la estructura
La selección de la cantidad y tamaño del amortiguador se realizó para la condición del 0% de amortiguamiento modal, la cual representa una distorsión de entrepiso ψ=0.044. Se aceptó una distorsión máxima especificada en el RCDF de 0.012, por lo que los amortiguadores deben absorber una cantidad de energía equivalente a una distorsión de entrepiso de 0.032. De la figura 3, se debe tener una cantidad de amortiguamiento equivalente proporcionada por los dispositivos del orden del 45% del crítico. Con los valores sustituidos en la ecuación (7) se encontró que el coeficiente de amortiguamiento viscoso equivalente total es C=119504.78 kgseg/m (6685.94 lbseg/in). Se seleccionaron amortiguadores de 30kips(13620kg) de salida con una constante de amortiguamiento c=13083.78 kgseg/m (732.6 lbseg/in) por lo fue necesario colocar 10 amortiguadores en cada dirección.
La localización de los amortiguadores se realizó con base al criterio propuesto, realizándose tres análisis para determinar los entrepisos con un mayor índice (varianza de la velocidad relativa), colocándose en orden sucesivo en los marcos perimetrales de los niveles 6, 7 y 5 . La figura 5 muestran la distribución de las varianzas para dichos análisis.
Figura 5 Distribución de la varianza de las velocidades relativas de entrepiso.
La figura 6 muestra el efecto en la reducción de la respuesta en la historia del desplazamientos del centro de gravedad del nivel 15, para la solución propuesta, con un amortiguamiento modal del 1%. En todos los análisis se supuso una variación lineal con respecto a la fuerza de salida del amortiguador (α=1.0).
Figura 6 Efecto de los amortiguadores viscosos en la historia de desplazamiento del centro de gravedad del edificio
Se presenta a continuación la reducción en las distorsiones de entrepiso máximas para el edificio con la solución propuesta. Cabe mencionar que se presentan reducciones del 50% en algunos niveles, lo cual concuerda con resultados obtenidos en algunas estructuras en las cuales se han implementado estos dispositivos.
Figura 7 Distorsiones de entrepiso máximas
Con el propósito de comparar la solución propuesta, se determinó la respuesta con el mismo tipo de amortiguador colocados a cada dos niveles (32 dispositivos por cada dirección). Las figura 6 muestran los resultados obtenidos para un amortiguamiento modal de 1 y 5%.
Figura 8 Desplazamientos y aceleraciones máximas para diferente número de amortiguadores.
Como puede observarse, una cantidad excesiva de amortiguadores trae reducciones poco significativas en la respuesta. Para evidenciar este hecho se presenta a continuación las gráficas de disipación de energía de los dispositivos y de la energía de entrada en las tres etapas, las cuales corresponden a la solución propuesta, en la cual se consideró que los amortiguadores fueron incorporados sucesivamente en los marcos perimetrales de los niveles 6, 7 y 5. La última figura corresponde a la energía disipada con 32 amortiguadores.
Figura 9 Comparación entre la energía de entrada y la disipada por los amortiguadores para diferentes número de dispositivos
La energía de entrada representa el trabajo realizado por la estructura por el sismo seleccionado. De estas figuras se aprecia que el incremento en la energía disipada es poco significativo después de colocar 8 amortiguadores. Para recalcar aún mas el hecho anterior, se presentan a continuación las curvas histeréticas del amortiguador, correspondiente a un nivel intermedio para la solución propuesta (10 amortiguadores) y para un amortiguador del último nivel, para el edificio con 32 amortiguadores. Se puede apreciar de las curvas que el amortiguador en el último nivel experimenta una fuerza de salida del orden del 11% de la fuerza de salida del amortiguador del nivel 6. Se deduce de este hecho que los amortiguadores son más demandados en los niveles intermedios e inferiores como lo señala la ref. 8 y por lo tanto el criterio de localización es valido.
Figura 10 Curvas histeréticas para amortiguadores situados en diferentes niveles
En cuanto al paso de la carrera del pistón y la máxima fuerza de salida, el dispositivo seleccionado cumple satisfactoriamente ambos requisitos, debido a que este tiene un paso de 5 in (12.7cm) y una fuerza de salida máxima de 30 kips (13.62 ton).
La reducción en el cortante basal fue significativa sobre todo para amortiguamiento modal bajo, por lo que este hecho evidencia la ventaja de adicionar los dispositivos, debido a que como se ha mencionado anteriormente, no existe aumento en los elementos mecánicos de la estructura, principalmente de las cargas axiales sobre las columnas.
Tabla 3 Cortante basal máximo y coeficiente sísmico para el edificio de 15 niveles
SIN AMORTIGUADORES CON AMORTIGUADORES
PSI CORTANTE BASAL COEF. SÍSMICO CORTANTE BASAL COEF. SÍSMICO
(%) (Ton) c (Ton) c
1 385.3 1.87 229.2 1.11 5 130.4 0.63 117.5 0.57
470 COMENTARIOS FINALES
Se propuso en este trabajo una metodología para la selección y localización de dispositivos de amortiguamiento viscoso, la cual puede extenderse mediante el mismo razonamiento, a otros tipos de disipadores pasivos. Se pudo observar que la adición de dispositivos de amortiguamiento viscoso tiene efecto para cierta cantidad de amortiguamiento después de la cual resulta innecesaria en el control de la respuesta de la estructura. Este amortiguamiento es más eficiente para algunos niveles, sobre todo en los niveles medios e inferiores, donde se presentan la mayor diferencia con respecto al valor medio de la velocidad relativa. Se pudo apreciar también, que la respuesta es altamente dependiente de la cantidad de amortiguamiento modal seleccionado en el análisis, por lo que debe establecerse un criterio adecuado para la selección de esta cantidad cuando se adicionan dispositivos disipadores de energía. Se tomaron dos casos para la presentación de resultados; el primero considera que los dispositivos disipan prácticamente toda la energía proveniente del sismo (1%) y el otro por ser el cociente especificado por la mayoría de los reglamentos (5%).
Se lograron reducciones importantes tanto en los desplazamientos como en las aceleraciones de la estructura, incorporándose el número de amortiguadores definidos con base en la metodología propuesta, reduciendo también el cortante basal de la estructura.
REFERENCIAS.
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