E S. circunferencia de centro O y radio OA. i

(1)

A B A’ B’ C D E _S P C’ D’ E’ 6.3-1 Reflexión en un espejo plano

aletos

Física para Ciencias e Ingeniería

Capítulo 1.6.03

Reflexión y refracción sobre superficies planas Contacto: aletos@telefonica.net

Vamos a considerar el sistema óptico formado por una superficie plana S límite de un medio homogéneo en la cual se reflejan los rayos luminosos y vamos a suponer que delante del espejo se encuentra un punto luminoso B.

Un rayo luminoso BC que parte de B se refleja al llegar al espejo de modo que forma un ángulo z’ igual al de inci-dencia z y lo mismo ocurre para cualquier otro rayo.

El haz de rayos reflejados es divergente y por tanto la imagen es virtual.

Vamos a demostrar que el sistema es perfectamente es-tigmático, es decir, que las prolongaciones de todos los rayos reflejados se cortan en un punto B’ que es la imagen del punto B.

Si prolongamos los rayos CC’ y BB’ hasta su punto de intersección B’, vamos a demostrar que la posición de B’ es independiente de los rayos elegidos.

Los triángulos BCD y B’CD de la figura son iguales, ya que tienen en común el lado CD, y los ángulos adyacentes son también iguales según las leyes de la reflexión. Por tanto

BC = B’C y BD = B’D.

Si trazamos ahora la recta BB’, los dos triángulos BPC y B’PC son también iguales ya que, según hemos visto anteriormente, son iguales los lados BC y B’C, el lado PC es común, y los ángulos en C son iguales. Por consiguien-te, los ángulos en P también son iguales, y como su suma es de 180º, cada uno de ellos es de 90º. Con lo cual, el lado BP es igual al B’P, quedando demostrado que el punto B’ en que se cortan los rayos CC’ y DD’ es precisamen-te el simétrico del punto B respecto del espejo, y por él pasan las prolongaciones de todos los rayos reflejados.

6.3-2 Desplazamiento de la imagen al desplazarse el espejo

Vamos a considerar dos desplazamientos del espejo: a) una traslación paralela a sí mismo.

b) una rotación alrededor de un eje situado en su propio plano, perpendicular el plano de incidencia.

En el primer caso se puede comprobar fácilmente, que si el espejo se desplaza una distancia d, la imagen se des-plaza 2d.

En el segundo caso vamos a suponer que un espejo E₁ gira en torno a un eje perpendicular al plano de la figura que pasa por el punto O.

Supongamos que tenemos un punto luminoso A del que parten rayos que inciden en el espejo_.

Teniendo en cuenta que la imagen del punto A es simé-trica respecto del espejo E₁, ésta debe estar situada en la circunferencia de centro O y radio OA.

Trazando desde A la perpendicular al espejo E₁, la inter-sección A’₁con la circunferencia es la imagen del punto A.

Supongamos que el espejo gira un ángulo i y pasa a la posición E₂.

La nueva imagen A’₂ estará situada igualmente sobre la circunferencia de centro O y radio OA, y es la intersección con dicha circunferencia de la perpendicular trazada por A el espejo E₂.

De la figura se deduce que el ángulo A’₂AA’₁es igual a

i por ser sus lados respectivamente perpendiculares a las posicionesE₁yE₂del espejo, y por ser un ángulo inscrito en la circunferencia, su medida es la mitad del arco que abarcan sus lados. Por tanto, el ángulo central A’₂OA’₁es 2i, con lo queda demostrado que

Al girar un espejo plano, la imagen se desplaza en una circunferencia con centro en el eje de giro, y su desplaza-miento angular es el doble del ángulo girado por el espejo.

Un rayo que parte de A, tal como el AI₁, se refleja en la posición E₁ inicial del espejo siguiendo la dirección

I₁B₁, y al girar el espejo incide en el punto I₂ reflejándose en la dirección I₂B₂, formando los rayos reflejados el án-gulo a con vértice en el punto C.

E₂ i A B1 B2 I1 I2 A’1 A’2 2i i a C z1 z2 O z2 z1 E₁

1

(2)

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Capítulo 1.6.03

Reflexión y refracción en superficies planas Contacto: aletos@telefonica.net

y como además

Ahora bien, en el triángulo CI₁I₂se verifica que

por ser el ángulo que forman las normales a los espejos, resulta

Es decir, que

Cuando un rayo incide sobre un espejo plano en una dirección determinada, al girar el espejo un cierto ángulo, el rayo reflejado gira un ángulo doble.

6.3-3 Dioptrio plano

Vamos a estudiar el paso de la luz a través de un dioptrio plano, consistente en una superficie plana que separa

dos medios transparentes, prescindiendo del fenómeno de la reflexión, que siempre se produce.

Supongamos que la superficie plana P separa dos medios transparentes de índices de refracción n₁ y n₂, siendo n₁ > n₂, y que un foco puntual lu-minoso emite rayos que inciden sobre la superficie P.

Para obtener la imagen del punto A es preciso hallar la intersección de dos rayos que partan de dicho punto.

El rayo AI” que forma un ángulo z₁con la normal trazada por el punto

I” se refracta siguiendo la dirección I”C de modo que, según la ley de la

refracción: A O B C A’ A” n₁ n₂ P z₁ z₂ I’ I”

El rayo AO, que incide normalmente sobre el dioptrio, se refracta sin desviarse, de modo que la imagen del punto A observada en la dirección

I”C es el punto A” que es la intersección del rayo AO y la prolongación del

rayo I”C. Por consiguiente la imagen A” es una imagen virtual. Del triángulo AOI” se deduce:

y del triángulo A”OI”

α = 2ϕ₂− 2ϕ₁ [1] ϕ₂−ϕ₁=θ [2] α = 2θ [3] n₁sen φ1= n2sen φ2 [3] AO =OI " tgφ₁ [4] A"O =OI " tgφ2 [5]

Dividiendo miembro a miembro [4] y [5], y despejando A”O

A"O = AOtgφ1 tgφ2 = AOsen φ1 sen φ2 cosφ₂ cosφ1 [6] y teniendo en cuenta la ley de la refracción [3]

A"O = AO 1 n₁ n₂2 − n₁2sen2φ₁ 1 − sen2 φ₁ [7]

De la relación [7] se deduce que la posición del imagen A” depende del ángulo de incidencia z₁, y por tan-to, el sistema no es estigmático.

Si los rayos que contribuyen a la formación de la imagen del punto A son muy próximos a la normal tra-zada por el punto O, los ángulos de incidencia son muy pequeños y la ecuación [7] se reduce a

A"O =n2

n₁AO [8]

En realidad, el ojo percibe la imagen de una forma algo diferente a la indicada en la figura anterior, en la que se ha exagerado la separación de los rayos que intervienen en la formación de dicha imagen para una mejor compren-sión del fenómeno.

(3)

aletos

3 Capítulo 1.6.03

El ojo ve la imagen de un punto por medio de los rayos que parten del mismo y que se encuentran comprendidos dentro de un estrecho cono o pin-cel de luz que penetra a través de la pupila.

Un rayo luminoso que parte de A e incide en el punto I’ se refracta en la dirección I’B. Otro rayo que incide en el punto I” se refracta en la dirección

I”C.

El ojo percibe los rayos como si procediesen del punto A’, intersección de las prolongaciones de los rayos I’B e I”C. Por consiguiente, la imagen

A’ es virtual.

El sistema en este caso no es perfectamente estigmático, es decir, las prolongaciones de todos los rayos refractados que parten del punto A no se cortan en un único punto, sino que la imagen que percibe el ojo depende, como se ha visto anteriormente, del ángulo de incidencia.

6.3-4 Reflexión total. Ángulo límite.

Vamos a considerar dos posibles casos por lo que respecta a los índices de refracción : a) n₁<n₂

En ese caso, cualquier que sea el ángulo de incidencia z₁, siempre será sen z₂<1 y por consiguiente,

Cuando un rayo de luz pasa de un medio menos refringente a otro más refringente, siempre existe el rayo refracta-do, y además, z_2<z_{1, de modo que el rayo refractado se aproxima a la normal.}

b) n₁>n₂

En este caso es siempre z₁< z₂, es decir que

Cuando un rayo de luz pasa de un medio más refringente a otro menos refringente, el rayo refractado se aleja de la normal.

lo que indica que no existe el rayo refractado, y por tanto, toda la intensidad se encuentra en el rayo reflejado IC’, por lo que se denomina a este fenómeno reflexión total, que tiene lugar,

cuando la luz incide sobre la superficie de separación de dos medios, pasando de un medio más refringente a otro menos refringente, con un ángulo superior al ángulo límite.

A C I’ B I” A’

De la ley de la refracción se deduce que el ángulo de incidencia z₁ queda expresado por la relación

n n sen 2 sen 2 1 1 z = z [9] zL _90º B B’ A” A C C’

sen

L

_n

n

1 2

z

=

Cuando llega a la superficie de separación un rayo tal como el AI, par-te de su inpar-tensidad se encuentra en el rayo reflejado IA’, y parpar-te en el rayo refractado IA”, que se ha separado de la normal.

Si vamos aumentando el ángulo de incidencia, llega un momento en que el producto del segundo miembro de [9] es igual a la unidad, en cuyo caso el ángulo z₂ = 90º, lo que significa que el rayo refractado IB’ es rasante a la superficie de separación de los dos medios.

El valor correspondiente al ángulo de incidencia se denomina ángulo límite y queda determinado por la relación

I

A’

[10] Si el ángulo de incidencia toma un valor superior al ángulo límite, como en el caso del rayo CI, entonces, según la relación [9],

sen

z

2

>

1

6.3-5 Lámina de caras plano-paralelas

Una combinación sencilla de dioptrios planos es una lámina transparente de caras plano-paralelas de índice n. Supondremos, en el caso más general, que los medios que rodean a la lámina tienen índices de refracción, respec-tivamente, n₁ y n₂.

Supongamos que un rayo AI₁ incide, propagándose en el medio de índice n₁, sobre una de las caras formando un ángulo z₁con la normal a dicha cara.

(4)

Capítulo

Por ser paralelas las caras de la lámina, el ángulo de incidencia en la segunda cara es z, y por consiguiente, el ángulo z₂ formado por el rayo refractado I₂B con la normal en el punto I₂, cumple con la relación

puede calcular a partir del triángulo CI₁I₂:

sen

n

1

z

1

=

n

z

[11] z z1 z z2 I1 I2 n₁ n n₂ A B

sen

n

z

=

n

2

z

2 [12]

De las ecuaciones [11] y [12] se deduce

sen

n

1

z

1

=

n

2

z

2 [13]

lo que significa que el rayo emergente I₂B tiene la misma dirección que

le correspondería si hubiera pasado directamente del primer medio al último.

En el caso particular de que los medios que rodean la lámina sean idénticos, se deduce de [13] que z₂= z₁, y el rayo I₂B es paralelo al AI₁, de manera que la lámina produce un desplazamiento lateral d, que se

Por otra parte, del triángulo I₁DI₂

cos

I I

1 2

=

e

_z

[15]

Sustituyendo [15] en [14], y desarrollando el seno de la diferencia [14]

(

)

sen

d

=

I C

1

=

I I

1 2

z

1

-

z

(

)

cos

sen

cos

sen

d

=

e

_z

z

1

z

-

z

1

z

[16]

y teniendo en cuenta que

A I₁ I₂ B C d e z₁ z₁ z z D n₁ n₁ n

sen

n

1

z

1

=

n

z

[17] y que

cos

_z

₌

1 _-

sen

2

_z

_[18] sustituyendo [17] y [18] en [16], se obtiene

(

)

(

)

sen

cos

sen

cos

d

e

n

_n

e

n

_n

1

2 1

1

2 1 1 1 1 1 ₂ 1

z

=

-

=

-

[19]

dencia, y por tanto, una lámina plano-paralela no es un sistema estigmático, salvo cuando se consideran rayos próximos a la normal.

En esas condiciones, si parten de un punto luminoso A dos rayos, uno AO₁ en la dirección de la normal a la lámina, y otro en una dirección AI₁ muy próxima a la anterior, el rayo refractado en la primera cara I₁I₂da lugar a la imagen virtual A₁ tal que, según la relación [8], es

De la ecuación anterior se deduce que la desviación d producida en el rayo incidente depende del ángulo de

inci-O A

1 1

=

n O A

$

1 [20] y la prolongación del rayo emergente I₂Bproduce la imagen final A’, tal que, según [8], es

' '

'

O A

_n

1

=

[21]

Por otra parte, de la figura se deduce que

[22]

'

O A

1

=

O O

1

+

O A

1 1

= +

e O A

1 1 Sustituyendo [22] en [21],

' '

O A

e n O A

_n

1

_n

e

O A

1

$

= +

=

+

[23] A O₁ A₁ I₁ I₂ B O’ A’

4

(5)

aletos

5 Capítulo 1.6.03

De la figura se deduce, teniendo en cuenta [23], que al observar un punto luminoso, tal como el A, en dirección normal a una lámina de caras plano-paralelas se produce una aproximación aparente del mismo cuyo valor es

Este desplazamiento no depende de la posición del objeto, sino solamente del espesor de la lámina y de su índice de refracción.

En óptica se da el nombre de prisma al sistema constituido por dos dioptrios planos que forman un ángulo.

Se trata, pues, de un medio transparente limitado por dos caras planas no paralelas. Estas dos caras se cortan real o virtualmente en una recta denominada arista del prisma.

Vamos a limitar el estudio de la propagación de la luz al caso sencillo en que el plano de incidencia es normal a la arista del prisma. En estas condiciones los rayos no salen de dicho plano, denominado sección principal del

pris-ma.

Supongamos que ABC es la sección principal de un prisma de ángulo a e índice de refracción n, y que el medio que le rodea tiene un índice n’ < n.

Un rayo como el a, que incide en el punto I₁ de la cara AB, en parte se refleja, y en parte se refracta en la dirección del rayo b, cumpliéndose que

Como se deduce de la figura, el prisma desvía el rayo incidente a, haciéndole emerger según el rayo refractado c, produciendo un ángulo de desviación d, que se puede calcular fácilmente a partir del triángulo DI₁I_2.

El ángulo d, es un ángulo exterior a dicho triángulo, y por tanto es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes DI₁I₂yDI₂I_1:

De la relación [28] se deduce que la desviación producida por un prisma depende del ángulo de incidencia z₁, del índice de refracción, por medio del ángulo z’_2, y del ángulo a del prisma. En realidad, para un rayo de luz mono-cromática tiene especial interés analizar cómo varía el ángulo de desviación al variar el ángulo de incidencia.

Por tanto, vamos a calcular la derivada de d respecto del ángulo de incidencia z₁, a partir de la relación [28]:

'

' '

'

d

=

AA

=

O A O A

-

=

O A

-

S

_n

e

+

O A

1 X

=

O A

-

_n

e

-

O A

1

= -

e

_n

e

=

e

n 1

-

_n

[24]

6.3-6 Prisma. Desviación producida

a z’₁ z₂ d E D b

c _{No se ha dibujado el rayo reflejado en la cara AB para evitar}

con-fusiones. El rayo b incide en el punto I₂de la cara AC, refractándose finalmente según el rayo c, cumpliéndose que

'

sen

'

n

z

1

=

n

z

1 [25]

A su vez, en el triángulo EI₁I₂el ángulo formado por las rectas I₁E e I₂E, es igual al ángulo a del prisma, por

ser normales respectivamente a las caras AB y AC, y es, asimismo, un ángulo exterior a dicho triángulo, por tanto,

'

1 2

a

=

z

+

z

[28] Sustituyendo [27] en [26],

(

1

' ) ( '

1 2 2

)

1

'

2

( '

1 2

)

d

=

z

-

z

+

z

-

z

=

z

+

z

-

z

+

z

[27

]

'

1 2

d

=

z

+

z

-

a

[29] 6.3-7 Mínima desviación

'

d

1

1 1 2

z

d

z

= +

[30]

Derivando los dos miembros de relación [26] respecto de z₁,

'

sen

n

z

2

=

n

z

2 [26] Despejando

'

d

1 2

z

_{de [31],}

'

cos

n

2

_d

d

n

d

_d

1 2 2 1 2

z

=

[31

]

'

cos

'

d

n

d

1 2 2 2 1 2

z

=

[32] A B C z₁ I1 z’2 I₂ a _a

(6)

Capítulo 1.6.03

Por otra parte, derivando los dos miembros de [28] respecto de z₁, teniendo en cuenta que a es constante,

Si la desviación d ha de ser mínima, la derivada [38] debe ser nula, por tanto,

'

cos

'

d

1

1 n

n

2

d

2 1 2

z

d

z

= +

[33]

'

d

1 2 1 1

z

=-

[34] Sustituyendo [34] en [33],

'

cos

'

d

1

1 n

n

2

d

2 1 1

z

d

z

= -

[35]

La derivada del segundo miembro de [35] se puede calcular derivando los dos miembros de [25] respecto de z_1:

Sustituyendo [37] en [35], y simplificando, de donde, despejando

'

_,

d

1 1

z

'

cos

'

n

1

n

1

d

_d

1 1

z

=

z

_z

[36]

'

cos

1

cos

1 2 2

z

=

[39]

y teniendo en cuenta las relaciones [25] y [26], podemos despejar sen z’₁y sen z’₂para sustituir cos z’₁y cos z’₂en la relación [39]:

'

cos

'

cos

'

cos

'

cos

'

d

1

1 n

n

2

n

1

2 1 2 2 1

z

d

z

= -

[38]

'

_'

'

cos

n

n sen

_n

1

2

1

2 2 1 1 2 2 2 2 2

z

-=

-

[40]

Efectuando operaciones y simplificando, queda

'

cos

n

2

n sen

2 2

n

n sen

1 1 2 2 2 2 2

z

-

=

-

[41]

y teniendo en cuenta que z₁y z‘₂son menores de 90º, se deduce de la relación anterior que deben ser necesaria-mente

'

1 2

z

=

z

[42] y de [28] se deduce que

'

1 2

₂

z

=

z

=

a

[43]

En conclusión, la desviación mínima de un rayo se produce cuando la trayectoria del rayo luminoso es simétrica respecto del plano bisector del prisma.

En realidad, las condiciones [40] y [41], para las que se anula la primera derivada de d respecto de z₁,son tanto condiciones de mínimo como de máximo. Para averiguar si dichas condiciones corresponden a un mínimo es necesa-rio calcular la segunda derivada de d respecto de z₁, y comprobar que su signo es positivo.

De la relación [30] se obtiene

'

d

12 2 12 2 2

z

d

z

=

[44]

y sustituyendo las derivadas que aparecen en el cálculo, por las relaciones obtenidas a lo largo del desarrollo ante-rior, se llega tras un laborioso proceso, que se omite por su excesiva extensión, a la conclusión de que para los valo-res [42] y [43] la derivada segunda dada por [44] es positiva lo que confirma que para un ángulo de incidencia que cumpla las condiciones [42] y [43], el ángulo de desviación es mínimo y que, según [29], [42] y [43], es

y sustituyendo en [30]

'

cos

'

d

n

1 1 1 1

z

=

[37]

6

(7)

aletos

7 Capítulo 1.6.03

de donde se deduce que el valor del ángulo de incidencia es

y teniendo en cuenta las relaciones [28], [42] y [43] se puede calcular el índice de refracción, una vez conocido el án-gulo de desviación mínima, a partir de

[45]

2

m ín m ín

d

=

z

-

a

2

m ín m ín

z

a

+

d

[46]

sen

n

2

m ín

a

d

=

+

[47]

6.3-8 Condiciones de emergencia en el prisma

En el estudio de un prisma es importante averiguar cuáles son las condiciones que deben cumplir el ángulo a del prisma y el ángulo de incidencia z₁ en la primera cara para que, después de penetrar en el prisma, el rayo incidente pueda salir por la segunda cara.

Es evidente que el ángulo de incidencia en la segunda cara debe ser menor o igual que el ángulo límite, ya que, en caso contrario, se reflejaría totalmente y no emergería del prisma.

Como siempre se cumple que

'

1 2

a

=

z

+

z

[48]

resulta que, como el valor máximo del ángulo de refracción en la primera cara es el ángulo límite, l, no habrá rayo emergente, cualquiera que sea la dirección del rayo incidente, si

l

2 >

a

Por consiguiente, la condición necesaria que debe cumplir el ángulo a del prisma para que exista rayo emergente es

l

2 #

a

[49]

Vamos a analizar entre qué valores debe estar comprendido el ángulo de incidencia z₁ en la primera cara para que haya rayo emergente.

Aplicando la ley de la refracción en la primera cara,

'

sen

'

sen

(

)

n

z

1

=

n

z

1

=

n

a

-

z

2 [50]

de donde, despejando

'

(

)

sen

z

1

=

_n

n

sen

a

-

z

2 [51]

y teniendo en cuenta la condición [49], y que el valor máximo de z₂es el ángulo límite, l, se deduce que

'

(

)

sen

_n

n

sen

l

1 >

z

1

>

a

-

[52]

En el caso límite de que a =2l, el único rayo que puede penetrar en el prisma y salir de él es un rayo que incida rasante bajo un ángulo de 90º y que, después de refractarse formando un ángulo igual al límite, incida en la segun-da cara con el mismo ángulo límite, y salga también rasante.

6.3-9 Medida de índices de refracción

La característica de un medio para la propagación de la luz es su índice de refracción.

Por consiguiente, es importante poder medirlo experimentalmente, para lo cual se recurre a algún fenómeno de cuyo estudio se deduzca una fórmula matemática que contenga el índice de refracción y puedan medirse fácilmente las restantes magnitudes que intervengan en ella.

El fenómeno de la reflexión total proporciona un método para la medida del índice de refracción, ya que, si se mide el ángulo límite correspondiente a dos medios de índices de refracción n₁ y n₂, tales que n₁ > n₂, la ley de la refracción nos da

sen

n

2

=

n

1

l

[53]

(8)

Capítulo 1.6.03

límite, y a partir de la relación [53] se puede calcular el índice n₂ de la gota de líquido.

Si no se conoce el índice de la esfera basta repetir las medidas con la semiesfera rodeada de aire y siendo enton-ces n₂ = 1, se puede calcular el índice n₁de la semiesfera.

8

En la práctica, el medio 1 está formado por una semiesfera de vidrio de índice elevado. Sobre su plano diametral S se coloca una gota de líquido cuyo índice se desea calcular.

Si se envían rayos luminosos al punto I en dirección radial, éstos no se desvían al atravesar la superficie esférica, por inci-dir normalmente sobre ella.

Un rayo tal como el AI, que forma un ángulo inferior al límite, se refleja parcialmente según el rayo IA’, y la mayor parte de su intensidad corresponde al rayo refractado IA”.

En cambio el rayo CI que incide con un ángulo superior al límite se refleja totalmente según el rayo IC’.

El rayo BI que incide con un ángulo igual al límite, en par-te se refracta según el rayo IB”, y en parpar-te se refleja según

IB’, que delimita claramente una zona iluminada más

inten-samente, la comprendida entre los rayos IB’ e IB”, debido a que a dicha zona llegan los rayos que se reflejan totalmente en la superficie S.

De modo que, si observan los rayos luminosos por medio de un anteojo cuyo eje óptico pase por el centro de la semiesfera, se puede determinar perfectamente la separación entre las zo-nas más y menos iluminadas, lo que permite medir el ángulo

S A A’ B C _B’ C’ A” B” I