Tema 8. Determinantes.
8.1 Definición de determinantes. 8.2 Propiedades de los determinantes.
8.3 Cálculo de determinantes de orden mayor que 3(No entra en selectividad). 8.4 Rango de una matriz.
8.5 Matriz inversa.
Estos apuntes han sido completados para ayudar a entenderlos por vosotros mismos. Allí donde tengáis más dudas haremos pequeños vídeos. Aquellos ejercicios del libro que son para clase, los sustituiré por otros si es necesario. Los ejercicios voluntarios podéis hacerlos, si queréis puedo mandar una foto con las soluciones de los ejercicios del libro.
8.1. Definición del determinante de una matriz cuadrada.
Se define producto parcial en una matriz cuadrada como el producto que se forma con elementos de la matriz (siguiendo un orden en cuanto a las filas) con la condición de que por cada fila y columna exista obligatoriamente "uno y solo un" elemento representante. Dicho producto estará afectado por un signo, que será
positivo o negativo según que la permutación de subíndices que indican columna sea par o impar. 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a -a11 a23 a32
Se define el determinante de una matriz cuadrada A como la suma de todos los productos parciales de A. Y se denota por |A|. Veamos de forma práctica como calcular un determinante, dependiendo del orden de la matriz.
a) Si la matriz es de orden 2 será de la forma A = 22 21 12 11 a a a a entonces |A| = a11 · a22 - a12 a21. Por ejemplo: A = 1 4 1 3 |A| = -3 -4 =-7
b) Si la matriz es de orden 3 será de la forma A =
33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a ,calcular el
|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 –a31a22 a13 – a32a23a11 - a12 a21 a33
Para recordarlo de una forma más cómoda observa que van con signo positivo la diagonal principal y sus paralelas y con signo negativo la diagonal secundaria y sus paralelas, es la llamada regla de Sarrus.
Ejercicio 1: Calcula los siguientes determinantes:
a) 23 54 b) 01 02 c) 31 26 d) 52 34 e) 52 95 f) -32 54 g) 51 25 h) 5 0 2 1 1 1 3 2 1 i) 5 1 3 0 1 2 2 1 1 j) 5 4 3 5 1 3 1 2 3 k) 5 1 3 0 1 2 4 2 2 l) 1 0 1 6 7 8 1 1 1 m) 2 4 4 8 5 5 5 3 3 n) 1 1 1 5 0 2 3 2 1 ñ) 1 5 3 1 0 2 1 2 1 o) 5 6 2 7 5 1 4 7 1 p) 0 0 0 5 3 0 1 2 1 q) 2 4 2 5 3 0 1 2 1 r) 1 1 1 3 2 1 5 0 2 s) 3 2 1 1 1 1 5 0 2 t) 3 2 1 1 1 1 4 1 3 u) 3 0 0 1 1 0 4 1 3
8.2. Propiedades de los determinantes.
1º) Si se cambian filas por columnas en una matriz cuadrada, su determinante no varía. Es decir, el determinante de una matriz cuadrada es igual al de su matriz traspuesta. A = At
2º) Si cambiamos entre sí dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada, el determinante de la nueva matriz es igual al opuesto del determinante de la matriz inicial. a b c d e f g h i - g h i d e f a b c
, o bien, det (C1, C2, C3) = - det (C1, C3, C2)
Para un número par de intercambios + y para un nº impar -.
3º) Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales, su determinante es nulo, es decir, det (C1, C2, C2) = 0.
Demostración: i h g c b a c b a -i h g c b a c b a 0 i h g c b a c b a
4º) Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada valen cero, el determinante vale cero, ya que en los productos parciales hay un elemento de cada fila y columna.
5º) Dada una matriz cuadrada si multiplicamos todos los elementos de una fila (ó columna) por un cierto nº real , entonces el determinante de la nueva matriz es igual al determinante de la matriz inicial multiplicado por dicho nº .
a b c d e f g h i = a b c d e f g h i , o bien, a b c d e f g h i = 1 a b c d e f g h i , o bien, det (C1, C2, C3) = det (C1, C3, C2)
6º) Si una fila de un determinante está formada por términos que son suma de dos sumandos, el determinante es igual a la suma de determinantes del siguiente modo:
a a' b b' c c' d e f g h i = a b c d e f g h i + a' b' c' d e f g h i , es decir,
det (C1, C2, C3´+C3) = det (C1, C2, C3) + det (C1, C2, C3´)
Para su demostración simplemente tomamos un producto parcial y aplicamos la propiedad distributiva.
7º) Si en una matriz cuadrada una fila (o columna) es combinación lineal de otras entonces el determinante es nulo, es decir, det (C1, C2, C1+C2) = 0.
8º) Dada una matriz cuadrada, si a una fila se le suman otras filas multiplicadas por factores cualesquieras, la nueva matriz tiene el mismo determinante que la matriz inicial. (Análogo para columnas). Debes tener en cuenta que la fila a la que sumamos la combinación lineal no puede estar multiplicada por ningún número, es decir,
det (C1, C2, C1+C2+ C3) = det (C1, C2, C3)
9º) Determinante de una matriz triangular. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.
10º) |A.B| = |A| |B|
11º) |A-1| = A
1 , su demostración se basa en la propiedad anterior, |A| | A-1| =
|A. A-1| = |I| = 1, por tanto, |A-1| = A
1 . De esta propiedad deducimos que no todas
las matrices tienen determinante, es evidente que las matrices que tienen determinante cero no tienen inversa.
Ejercicio 2: Calcula los siguientes determinantes sin desarrollarlos, es decir, utilizando las propiedades de los determinantes:
a) Sabiendo que a b c p q r u v w = 25 Calcula 2a 2c 2b 2 u 2 w 2 v 2p 2r 2q , 2q 2r 2p 2v 2w 2u q b r c p a
b) Siendo x y z 3 0 2 1 1 1 = 5 Calcular 2 x 2 y 2 z 3 2 0 1 1 1 1 =, x y z 3x 3 3y 3z 2 x 1 y 1 z 1 = y 1 1 1 3 1 4 1 -z 1 -y 1 -x = c) Siendo det(F1, F2, F3) = 25.
Calcular det(2F1, F2, F3), det(F2, F1, F3), det(2F1+ F2, F2, F3) y det(2F1, F2, F3- F2). 1) det(2F1, F2, F3) = (propiedad 5) = 2 det(F1, F2, F3) = 2 · 25 = 50
2) det(F2, F1, F3) = (propiedad 2) = - det(F1, F2, F3) = - 25
3) det(2 F1 + F2, F2, F3) = (propiedad 6) = det(2F1, F2, F3) + det(F2, F2, F3) = (propiedad 5, propiedad 3) = 2 det(F1, F2, F3) + 0 = 2 · 25 = 50
4) det(2F1, F2, F3 – F2) = (propiedad 6) = det(2F1, F2, F3) + det(2F1, F2, -F2) = (propiedad 5) = 2det(F1, F2, F3) - 2det(F1, F2, F2) = (propiedad 3) = 2 · 25 + 0 = 50
Este apartado podemos hacerlo con otra propiedad: det(2F1, F2, F3 – F2) = (propiedad 8) = det(2F1, F2, F3) ya que a F le hemos sumado otra fila, en este caso la F multiplicada por -1 = (propiedad 5) = 2 det(F1, F2, F3) = 50
d) Siendo A una matriz de orden n y det(A) = 5. Calcula det(3A), det(At), det(A 3) y det(A -1).
1) det(3A) = (propiedad 5) = 3 · 3 ··· 3 det(A) = 3n · 5 2) det(At) = (propiedad 1) = 5
3) det(A3) = (propiedad 10) = det(A) det(A) det(A)= 125 4) det(A-1) = (propiedad 11) = 1/det(A) = 1/5
Ejercicio 3: Resuelve las siguientes ecuaciones (simplemente hacéis el determinante con la regla de Sarrus y después la ecuación que se plantea):
a) 1 1 1 1 x 1 1 1 x2 = 0 b) a b c a x c a b x = 0 siendo a, b y c no nulos c) 1 x 1 x 1 x 2 x 8 x 4 2 x 4 x 3 3 x 2 2 x
= 0 En este apartado podéis sacar factor común
antes de empezar, en la fila 3 se repite x + 1, pero en la fila 2 también se repite un factor ¿lo ves?
Ejercicio 4: Obtener el siguiente determinante, saca factor común antes de empezar Sarrus: 3abc c b -c b ab -2b c b -a ab -abc 2 2 2 2 2 2
Página 216, ejercicios: 45, 46, del 50 al 59. Algunos ejercicios del libro aparecen en el archivo de actividades de repaso de esta unidad.
Ejercicio 5: Calcula M, Mt ,M3 ,4M y M1 , siendo M =
2 1 3 1 0 1 1 1 2 y utilizando
Sarrus solo una vez. Calculas el determinante de M con Sarrus y los demás determinantes tienes que hacerlos con las propiedades, se parece al ejercicio 2 d.
8.3. Reglas prácticas para el cálculo de determinantes de orden mayor que 3:
Este apartado nos lo vamos a saltar, a la vuelta decidimos.
8.4. Rango de una matriz:
Dada una matriz de orden mxn, se define matriz menor de orden h (menor o igual que el mínimo entre m y n) como la matriz cuadrada formada por los elementos que resultan en la intersección de h filas y h columnas, elegidas al azar en la matriz dada. Definimos menor como el determinante de una matriz menor. Se define rango de una matriz como el orden del menor no nulo de mayor orden posible. Al menor que determina el rango de la matriz se le llama menor principal. El rango coincide con el número de filas linealmente independientes, que coincide con el número de columnas linealmente independientes (por las propiedades 1, 7 y 8).
Mucha palabra complicada, con un par de ejemplos lo entenderás mejor: 1) ¿Qué es una matriz menor? Dada la matriz A =
2 0 0 1 1 1 4 3 0 1 2 1 0 1 1 , podemos construir muchos matrices menores de orden 1, de orden 2 y algunos de orden 3, no los hay de orden 4 porque solo hay 3 filas. Recuerda la matriz menor tiene que ser una matriz cuadrada:
Matrices menores de orden 2 de A, cojo, arbitrariamente F1, F2, C2 y C3 obtengo, 3 0 0 1
, hay otras matrices menores por ejemplo F1, F3, C1 y C3
1 0 0 1
Matrices menores de orden 3 de A, cojo obligatoriamente las tres filas y arbitrariamente C1, C2 y C3 y obtengo, 1 1 0 3 0 1 0 1 1
, hay otras matrices menores, aunque no tantas, por ejemplo C1, C3 y C5
1 0 2 1 3 1 2 0 1
2) La diferencia entre matriz menor y menor, es que matriz menor es una matriz y
menor es el determinante de dicha matriz.
3) ¿Qué es el rango? El rango de una matriz es el número de filas (o columnas) linealmente independientes (es decir, como si cada fila fuese información, si las informaciones son distintas decimos que son independientes). Para calcular el rango de una matriz tenemos que buscar los menores no nulos (distintos de cero), siempre empezamos por el de menor orden:
Cojo un menor de orden 1, para ello hago una matriz menor como
1 y calculo su determinante 1 0 se dice que rg(A) 1 (porque tiene un menor de orden 1 nonulo). Veamos si hay de orden 2
Cojo un menor de orden 2 3 0 3
0 0 1
se dice que rg(A) 2 (porque tiene un menor de orden 2 no nulo). Veamos si hay de orden 3
Cojo un menor de orden 3 6 0 0 ( 6 0 0) 12
2 0 1 1 3 1 2 0 1
se dice que rg(A) = 3,
porque el orden del menor es de orden 3.
rg(A) = 3 significa que hay 3 filas (o columnas) independientes, es evidente que no puede tener orden 4, no hay 4 filas!!!
¿Recuerdas la definición tan “rara”? “El rango de una matriz es el rango del menor no nulo (distinto de cero) de mayor orden posible”, hemos visto varios menores no nulos y el de mayor orden es de orden 3, por eso decimos que rg(A) = 3.
Veamos algunos ejemplos que nos ayude a entender y a calcular el rango de una matriz. ¿Cuál es la utilidad del rango? En la próxima unidad de sistemas de ecuaciones lineales utilizaremos el rango para resolverlos.
Ejemplos del cálculo de rango:
a) Calculemos el rango de la matriz
0 6 1 5 4 8 6 2 2 4 3 1
Cojo un menor de orden 1, a11 10 rg(A) 1, veamos si hay de orden 2
Cojo un menor de orden 2, 6 6 0 6 2 3 1
, no me sirve, busco otro, 1 15 0 1 5 3 1
rg(A) 2 , veamos si hay de orden 3
Cojo un menor de orden 3, es importante construirlo a partir del menor de orden 2
1 5 3 1 proviene de F1 y F3, C1 y C2 1 5 3 1
, completamos a la fuerza F2 y elegimos
por ejemplo C3, obteniendo 36 120 8 (120 8 36) 0 6 1 5 8 6 2 4 3 1 como el
determinante es 0, no nos sirve por tanto tenemos que seguir buscando. Tenemos otra opción F2 y C4, recuerda que “rellenamos” el menor de orden 2,
0 ) 0 4 60 ( 4 60 0 0 1 5 4 6 2 2 3 1
por tanto no hay un menor no nulo de orden 3, es
decir, rg(A) = 2
Sé que hay más menores de orden 3, si los haces verás que da 0. Pero tú solo tienes que construir los menores de orden 3 que se pueden formar con el menor de orden 2 que habías calculado.
rg(A) = 2 significa que hay 2 filas (o columnas) independientes, observa que la F2=2F1, solo hay dos filas independientes F1 y F3.
b) Calculemos el rango de la matriz
3 1 2 3 4 1 2 3 0 1 5 1 2 3 4
menor de orden 1, a11 4 0 rg(A) 1, veamos si hay de orden 2
menor de orden 2, 0 ( 3) 0 0 1 3 4
menor de orden 3, es importante construirlo a partir del anterior, 0 1 3 4 proviene de F1 y F2, C1 y C2 1 0 3 4
, completamos a la fuerza con F3 y elegimos C3,
obteniendo 0 2 3 4 3 0 1 2 3 4
ya que F1 = F3, por tanto tenemos que seguir buscando,
manteniendo el de orden 2, no cojo C4 porque volverá a ocurrir lo mismo F1 = F3, cogemos C5, 0 12 15 (0 12 9) 6 0 3 3 4 1 0 1 5 3 4 rg(A) = 3
Antes de seguir practicando vamos a ver unas propiedades que nos facilita el trabajo.
Propiedades del rango: Las transformaciones elementales de filas o columnas que dejan invariante el rango de una matriz son:
1ª) Si se permutan (cambian) dos filas o dos columnas el rango no varía.
2ª) Si se multiplica o divide un fila o columna de una matriz por un nº real no nulo, el rango no varía.
3ª) Si a una fila o columna se le suma o resta otra paralela, el rango no varía. 4ª) Podemos suprimir las filas o columnas nulas.
5ª) Podemos suprimir las filas o columnas proporcionales (es decir, si C2 = k C3 elimino C2)
6ª) Podemos suprimir las filas o columnas combinación lineal de otras (es decir, si C2= a C1 + b C3 elimino C2).
Con estas propiedades podemos pasar de una matriz “grande” a otra más “pequeña”. El método de Gauss que veremos después se basa en estas propiedades.
a) Calculemos el rango de la matriz A =
3 1 6 3 0 5 1 6 3 1 5 1 6 3 1
Antes de empezar a buscar el menor como hicimos en los ejemplos anteriores busco si puedo eliminar fila o columna teniendo en cuenta las propiedades, por ejemplo
observa que F2 = - F1, C3 = 2 C2, por la propiedad 5 podemos eliminar la F2 y la C3, es decir, rg 3 1 6 3 0 5 1 6 3 1 5 1 6 3 1 = rg 3 1 3 0 5 1 3 1
, acabo de ver que C2 = 3 C3, por tanto por
la propiedad 5 otra vez, = rg
3 1 0 5 1 1
, está claro que el máximo rango es 2, mucho más fácil que la primera matriz.
0 1 rg(A) 1 0 ) 0 ( 1 1 0 1 1 rg(A) = 2
Tenemos claro las matrices
3 1 6 3 0 5 1 6 3 1 5 1 6 3 1 y 3 1 3 0 5 1 3 1
no son iguales, pero
en cambio sus rangos sí, rg
3 1 6 3 0 5 1 6 3 1 5 1 6 3 1 = rg 3 1 3 0 5 1 3 1 = 2
Intenta hacer todos los apartados por ti mismo, si no puedes mira el desarrollo de los apartados a y b, están después del apartado f.
Ejercicio 8: Calcula el rango de las siguientes matrices, no olvides mirar si puedes quitar alguna fila o columna teniendo en cuenta las propiedades anteriores:
a) 6 3 5 3 3 1 2 3 0 1 5 1 2 3 4 b) 2 -0 2 4 -2 -3 1 -3 1 3 4 1 -2 3 4 1 0 1 -2 1 c) 0 2 10 6 2 0 1 5 3 1 d) 1 3 4 1 6 3 0 6 2 0 3 1 1 0 5 e) 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 f) 1 2 2 1 3 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1
Desarrollo de los apartados a y b a) rg 6 3 5 3 3 1 2 3 0 1 5 1 2 3 4
, observa F2 = F3 – F1 por tanto
rg 6 3 5 3 3 1 2 3 0 1 5 1 2 3 4 = rg 6 3 5 3 3 5 1 2 3 4 0 4 rg(A) 1 0 ) 9 ( 12 3 3 3 4 rg(A)= 2
¿Qué ocurre si no te das cuenta que F2 = F3 – F1? Nada. La única consecuencia es que tendrás que buscar si hay determinantes de orden 3 y tardarás un poco más. Prueba siempre a mirar si hay fila o columna de ceros y quítala, si hay filas o columnas proporcionales y quita una de ellas, y es más difícil ver las combinaciones lineales como la de este apartado, pero prueba un poco y si no la encuentras no pasa nada. b) 2 -0 2 4 -2 -3 1 -3 1 3 4 1 -2 3 4 1 0 1 -2 1
observa F1 = F2 – F3 por tanto
rg 2 -0 2 4 -2 -3 1 -3 1 3 4 1 -2 3 4 1 0 1 -2 1 = rg 2 0 2 4 2 3 1 3 1 3 4 1 2 3 4 observa C1 = C5 rg 2 0 2 4 2 3 1 3 1 3 4 1 2 3 4 = rg 0 2 4 2 1 3 1 3 1 2 3 4 0 4 rg(A) 1 0 ) 9 ( 4 1 3 3 4 rg(A)= 2 0 ) 18 48 4 ( 24 18 8 2 4 2 3 1 3 2 3 4
rg(A) = 3 Observa que la matriz de la
que partíamos podía tener hasta rango 4, y al eliminar fila y columna facilitamos nuestro trabajo.
*** Vamos a aprender el método de Gauss. Es necesario que dominéis los dos métodos, por determinantes (lo hecho arriba) y por Gauss (el que vamos a hacer
ahora). Sugerencia: Realiza el ejercicio 8 dos veces, una vez por determinantes y la segunda vez por Gauss. Para explicar el método de Gauss, voy a volver a utilizar los apartados a y b para que comparéis.
El método de Gauss consiste en hacer ceros debajo de la diagonal principal, para ello utilizaremos las 6 propiedades descritas anteriormente.
Es decir pasaremos de 6 3 5 3 3 1 2 3 0 1 5 1 2 3 4 a 0 0 0 0 0 9 9 14 3 0 1 2 3 0 1 ¿Para qué? En la
matriz es muy fácil ver el rango de la matriz ¿Cómo pasaremos a dicha matriz? Lee los dos ejemplos despacio, si no lo tienes claro, mira el vídeo. Es un método muy sencillo y que vas a utilizar en esta unidad y en las siguientes.
a) rg 6 3 5 3 3 1 2 3 0 1 5 1 2 3 4
= Me interesa tener 1 ó -1 en el a11, por la propiedad 1
cambiaré F1F2=rg 6 3 5 3 3 5 1 2 3 4 1 2 3 0 1
Por la propiedad 3 cambio la fila 2 por 4F1+F2,
se escribe F2 4F1 + F2 ***** (abajo te aclaro como se hace la suma por si tienes
dudas) = rg 6 3 5 3 3 9 9 14 3 0 1 2 3 0 1 Por la propiedad 3, F3 3F1+F3 = rg 9 9 14 3 0 9 9 14 3 0 1 2 3 0 1
Observa que debajo del a11, tengo ceros, Ahora voy a hacer lo mismo debajo del a22,
usando la propiedad 3, F3 -F1 + F3 = rg 9 9 14 3 0 1 2 3 0 1 rg 0 0 0 0 0 9 9 14 3 0 1 2 3 0 1
Por tanto el rango de la matriz es 2!!!! Se ve muy claro que hay un menor no nulo de
orden 2, 3 0 3 0 0 1 rgA = 2. *Vuelve a leerlo
** Observa que al hacer ceros, los determinantes salen muy fáciles.
*** Es importante que sigas el orden, primero hacemos 0 debajo del a11, después del a22, después del a33, y así sucesivamente. Si cambiamos el orden tendremos problemas.
**** ¿Ves la relación entre el método de Gauss y el método de reducción de los sistemas de ecuaciones lineales?
***** ¿Cómo obtener 4F1 + F2 para cambiarla por la F2? 2 1 F F 4 F F 4 0 3 14 9 9 5 1 2 3 4 4 8 12 0 4
En el apartado b, voy a explicar menos, solo señalaré los pasos que doy b) rg 2 -0 2 4 -2 -3 1 -3 1 3 4 1 -2 3 4 1 0 1 -2 1 = (F2 -4F1 + F2, F3 -3F1 + F3, F4 2F1 + F4) Voy a
hacer los 3 cambios a la vez = rg
0 0 0 0 0 0 1 -6 5 -0 0 1 -6 5 -0 1 0 1 -2 1
No olvides las propiedades 4 y 5
= rg 0 1 6 5 0 1 0 1 2 1 = 2 ya que 5 0 5 0 2 1 .
** La primera vez que utilizamos las propiedades, buscábamos filas (o columnas) proporcionales o combinación lineal y eso no siempre lo vemos, la ventaja de Gauss es que el los encuentra y los convierte en ceros o en filas (o columnas) iguales. Ahora intenta los siguientes apartados, recuerda cambiar filas o columnas para tener un 1 en el lugar a11, si es posible.
g) 1 2 1 4 8 1 4 7 8 12 0 1 3 2 2 1 1 -8 -2 -2 cambia C1 por C5 h) 5 1 4 1 1 1 1 1 2 1 1 1 4 3 1 3 i) 3 1 1 3 2 3 1 0 3 2 1 -1 1 1 1 4 0 1 -2 1 j) 11 13 10 3 1 1 5 4 1 3 5 4 3 2 1 8 1 5 1 2
A partir de estas propiedades para calcular el rango de una matriz podemos aplicar el método de Gauss y por determinantes, pero recuerda que tienes que dominar los dos métodos. El siguiente contenido que vamos a estudiar es el cálculo del rango donde intervengan parámetros, para este tipo de ejercicios es conveniente utilizar el cálculo de rengo por determinantes.
Voluntarios: Pág 216: ejercicios: 65, 66, 67. Os pasaré las soluciones en el classroom. Ejercicio 9: Calcula el rango de las siguientes matrices en función del valor del parámetro o parámetros.
A= 0 1 a 2 1 6 10 1 5 a 1 2 , 2 0, 0 1 1 5 2 57 2a a 0 2 10 1 1 1 5 2 , a = - 57/2 a 3 102 1 0 2 6 1 1 a 5 2 , a = 102/3
Por tanto rg A = 3 para todo valor de a.
B= a 1 1 1 a 1 1 1 a C= 11 4 8 4 2 1 a 1 3 1 2 1 D= a 2 4 1 3 2 1 1 2 E= 3 a 7 0 4 9 2 0 5 6 3 6 F= 12 9 6 3 8 6 4 2 t 3 2 1
(mirar con las propiedades)
Ejercicio 70 del libro: Determina para que valores de a son linealmente independientes los vectores:u =(1, -1, 2), v = (2, a, -1) y w = (a, 2 a). (Indicaciones: cada vector es una fila (o columna) de una matriz y para que sean linealmente independientes el rango tiene que ser 3)
Voluntarios: Página 216, ejercicios: 60 al 67, 69, 72, 73.
8.5. Matriz Inversa :
Dada A una matriz cuadrada, se llama menor complementario de un elemento aij al determinante de la matriz que resulta de suprimir la fila i y la columna j. Se llama adjunto de aij, y se denota por Aij , al menor complementario de aij, afectado de un signo que será + si i + j es par y - si i + j es impar. El determinante de una matriz coincide con la suma de los productos, productos que resultan de multiplicar los elementos de una fila o columna por sus adjuntos respectivos.
A = a13 · A13 + a23 · A23+ a33 · A33 ó A = a11 · A11 + a12 · A12+ a13 · A13 |A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 –a31a22 a13 – a32a23a11 - a12 a21 a33 = = a11 33 32 23 22 a a a a -- a12 33 31 23 21 a a a a + a13 32 31 22 21 a a a a = a11A11+a12 A12+a13A13 ,
Cuando en el tema anterior estudiamos la estructura de un conjunto de matrices cuadradas con la operación multiplicación de matrices [Mn x n (IR), x], vimos que dicho conjunto con la operación producto de matrices queda dotado de estructura de "SEMIGRUPO CON ELEMENTO NEUTRO" (matriz identidad); no obstante quedó pendiente por analizar la posibilidad de que exista elemento simétrico (matriz inversa) para cada matriz. Al estudiar las propiedades de los determinantes, demostramos que no todas las matrices tienen matriz inversa. Por tanto [Mn x n (IR), x] no alcanza la estructura de "Grupo".
Para demostrar la existencia de la matriz inversa, cuando A 0, diremos cómo
se construye y comprobaremos que verifica A · A-1 = A-1 · A = I. Por comodidad, vamos a trabajar con orden 3. Para construir la matriz inversa seguiremos los siguientes pasos:
Primer Paso: Se construye la matriz adjunta de A que se obtiene sustituyendo cada elemento de la matriz dada por el valor de su adjunto:
Adj A = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 A A A A A A A A A
Segundo Paso: Se calcula la matriz transpuesta de la matriz adjunta: (Adj)t
Tercer Paso: Finalmente se multiplica cada elemento de la matriz obtenida: (Adj)t por el inverso del determinante de la matriz inicial (Aunque en el último paso es cuando dividimos por el determinante, lo primero que haremos es calcularlo. Sería innecesario realizar los pasos 1 y 2 si el determinante es cero):
1 A · 33 23 13 32 22 12 31 21 11 A A A A A A A A A = A A A A A A A A A A A A A A A A A A 33 23 13 32 22 12 31 21 11 = A-1
La matriz obtenida se llama matriz inversa de la matriz A y se denota por A-1.
*** Para demostrar que se verifica que A · A-1 = A-1 · A = I, utilizaremos la definición de determinante por adjuntos.
Ejemplo: Construye la matriz inversa de:
A = 4 2 0 4 1 0 1 2 1 Primer paso 1 4 7 2 4 6 0 0 4
1 2 0 4 4 0 7 6 4AdjA t calculamos el determinante,
1 2 -1 0 -1 4 0 -2 4
= 4 y dividimos cada
elemento por 4. Obteniendo:
4 / 1 2 / 1 0 1 1 0 4 / 7 2 / 3 1 A 1 . Observaciones:
1) Aunque en el tercer paso dividimos por el determinante, antes de empezar a calcular la matriz inversa debemos calcular su determinante. De esa forma nos aseguramos de que existe.
2) El paso 1 y el 2 se pueden intercambiar, es decir, hacer primero la traspuesta y después la adjunta de la traspuesta.
3) Si queremos hacer la comprobación tan solo tenemos que multiplicar A por su inversa y comprobar que su producto es la matriz unidad.
Ejercicio 10: Calcula la inversa de las siguientes matrices, no olvides que lo primero es calcular su determinante para asegurarnos de su existencia:
A = 5 3 2 1 B = 3 2 1 2 C = 1 0 1 1 1 0 0 1 1 D = 3 0 2 0 1 0 1 2 1
Propiedades de la matriz inversa: 1) La inversa es única.
2) La inversa de A-1 es A. Es decir, (A-1)-1 = A. 3) (At)-1 = (A-1) t
4) (AB)-1 = B-1A-1
Demostración: Tenemos que probar que B-1A-1 es la inversa de AB, para ello las multiplicamos, (B-1A-1) .(AB) = B-1(A-1 A)B = B-1IB = B-1B = I , es decir, B-1A-1 es la inversa de AB.
Ejercicio 11: Dadas las matrices A =
3 2 2 1 0 1 y B= 2 1 0 0 1 2 , obtener, si
procede, (B.A)-1. Si procede quiere decir, si BA es cuadrada y su determinante es no
Ejercicio 12: Hallar los valores de a para los que la matriz A = 1 1 3 1 2 a a 1 1 tiene
inversa. Calcula su matriz inversa para a = 1. Ejercicio muy habitual en selectividad.
Ejercicio 13: ¿Para qué valores de a no tiene inversa la matriz A? Siendo A=
2 1 a 0 a 0 1 0 1
Calcular la inversa para a = 1.
Voluntarios: Página 216, ejercicio: 74, 75, 76 (no hacer apartado c), 78, 79.
Ejercicio 14: Resolver la ecuación matricial X.A – 2B + 3C = D siendo A= 1 1 -3 2 , B = 4 1 0 2 , C = 0 2 3 0 y D = 6 3 -4 5 .
Ejercicio 15: Hallar una matriz X tal que
0 1 3 1 0 0 0 2 5 . X = 0 1 1 0 0 1 1 1 0 .
Ejercicio 86: Dadas las matrices A=
3 -2 1 1 3 -2 1 1 -2 y B = 1 0 1 0 1 2 1 1 3 , resuelve la ecuación I – XA = 3X + B
Ejercicio 90: a) Despeja la matriz X en la ecuación (X + M)2 – XM = I + X2 en la que M es una matriz regular de orden 3 (regular significa que tiene inversa) e I la identidad del mismo orden.
b) Resuelve la ecuación cuando M =
1 1 0 1 -0 1 -1 1 -1
Ejercicio 16: Sean las matrices
a 2 0 3 1 a 3 2 1 A y 4 3 2 B
a) (0,5 puntos) Determina los valores de a para los que A tiene inversa. b) (1,25 puntos) Calcula la inversa de A para a = 1.
Ejercicio 17: Sean las matrices m 1 4 3 m 0 1 0 1 A , 1 1 2 3 0 1 B y 2 2 3 4 3 5 C
a) (0,5 puntos) Indica los valores de m para los que A es invertible (que tenga inversa).
b) (2 puntos) Resuelve la ecuación matricial XA – Bt = C para m = 0.
Ejercicio 18: Considera las siguientes matrices
1 0 2 1 A y 1 2 0 3 B a) (0,75 puntos) Calcula A-1.
b) (2 puntos) Resuelve la ecuación matricial AXAt – B = 2I donde I es la matriz identidad de orden 2.
Ejercicio 19: Obtén un vector no nulo v = (a, b, c), de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango 2 (Hay infinitas soluciones).
c 1 1 b 0 1 a 1 1 A c 1 3 b 1 0 a 0 2 B
Página 216, ejercicios: 82, 83, 84, 85, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, en clase 86, 90. Si es posibles, conviene hacer los siguientes ejercicios: 97, 98, 102, 105, 109.
