TEMA 8: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 1. DOMINIO DE DEFINICIÓN

TEMA 8: REPRESENTACIÓN DE

FUNCIONES

1. DOMINIO DE DEFINICIÓN

El dominio de definición de una función real de variable real 𝑓, es el conjunto 𝐴 ⊂ ℝ de los valores para los que está definida la función. Se suele denotar 𝐷𝑜𝑚(𝑓).

1.1 dominio de definición de las funciones usuales

— El dominio de definición de un polinomio es ℝ.

— El dominio de definición de una función racional son todos los números reales

salvo los que anulen el denominador.

— El dominio de definición de una raíz son todos los números reales para los

cuales el radicando sea mayor o igual que cero.

— El dominio de definición de una exponencial es ℝ.

— El dominio de definición de yloga x son los números reales positivos, ℝ

+_. — El dominio de definición de las funciones seno y coseno es ℝ.

2. RECORRIDO

El recorrido o imagen de una función real de variable real f A:  , es el conjunto de valores que toma la función, esto es, f A

 

 

Nota: En general no se estudia el recorrido de una función para representarla.

3. PUNTOS DE CORTE CON LOS

EJES.

3.1 Corte con el eje X

Son los puntos de la forma

 

Se obtienen sustituyendo en la ecuación y f x

 

 

     0 y x f y 𝑅𝑒𝑐𝑓 = [−1,8]

3.2 Corte con el eje Y

Son los puntos de la forma

 

Se obtienen sustituyendo en la ecuación y f x

 

 

     0 x x f y

4. SIGNO

El signo de una función es positivo si f x

 

 

Para calcular el signo de una función se hayan los puntos de corte con el eje X y se añaden los puntos en los que la función no esté definida. Se toma un punto de cada uno de los intervalos en los que haya quedado dividido el eje X y se comprueba el signo en ese intervalo.

Nota: En general no se estudia el signo de una función para representarla. Corte con eje X: (1,0); (3,0) Corte con eje Y: (0,3)

5. SIMETRÍAS

Sea :f A , función real de variable real.

𝑓 es simétrica respecto al eje Y si f x

   

Positiva: (−4,1); (3,4) Negativa: (1,3)

𝑓 es simétrica respecto al origen de coordenadas si f x

 

 

Nota: En general no se estudia el recorrido de una función para representarla.

6. PERIODICIDAD

Sea f A:  , función real de variable real. 𝑓 se dice que es periódica si sus valores se van repitiendo cada vez que la variable independiente recorre un cierto intervalo. A la longitud, 𝑇 > 0, de ese intervalo se le llama periodo.



  

7. ASÍNTOTAS

Se calculan las asíntotas de la función y ramas parabólicas.

— Asíntotas verticales 𝑥 = 𝑎: lim

 

xa f x  

— Asíntotas horizontales 𝑦 = 𝑏: lim

 

x f x b 𝑓(𝑥) = 𝑥 √𝑥2_{+ 1} 𝑓(𝑥) =𝑥 2 _{+ 1} 𝑥 − 4 Asíntotas verticales: 𝑥 = 4 Asíntotas horizontales: 𝑦 = 1; 𝑦 = −1

— Ramas infinitas: lim

 

 

 





8. INTERVALOS DE CRECIMIENTO

Y DECRECIMIENTO.

Se calculan los intervalos de crecimiento y decrecimiento utilizando la primera derivada.

𝑓(𝑥) = √−𝑥

9. MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Dada una función real de variable real, :f A , 𝑎 ∈ 𝐴. Se dice que la función alcanza un máximo absoluto en 𝑥 = 𝑎 si 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑎) ∀𝑥 ∈ 𝐴. Es decir, es el punto donde la función toma el mayor valor.

Análogamente, se dice que la función alcanza un mínimo absoluto en 𝑥 = 𝑎 si 𝑓(𝑎) ≤ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐴. Es decir, es el punto donde la función toma el menor valor. La forma más sencilla de calcular los máximos y mínimos relativos es a partir del crecimiento y decrecimiento. Después, se determina si hay o no máximos y mínimos absolutos. Creciente: [−4, −1); (2,4) Decreciente: (−1,2) Máximos: 𝑥 = −1, su valor es 8. (−1,8) (absoluto) Mínimos: 𝑥 = −4, su valor es 2. (−4,2) 𝑥 = 2, su valor es -1. (2, −1) (absoluto)

10. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

Se calculan los intervalos de concavidad y convexidad utilizando la segunda derivada.

11. PUNTOS DE INFLEXIÓN

La forma más sencilla de calcular los puntos de inflexión es a partir de los intervalos de concavidad y convexidad.

Ejemplos: 3 2 4 4 y x  x  x 3 2 1 x y x  