PENTAGONAL. Jesus A. Corral Maria Soler Facundo Chiara Forace Piera Galber Luis J. Salmerón Contreras. Universitat de València TEOREMA DEL NÚMERO

(1)

TEOREMA DEL N ÚMERO PENTAGO-NAL Introducción Teorema Numeros pentagonales Números poligonales Prueba por combinatoria

TEOREMA DEL N ´

UMERO

PENTAGONAL

Jesus A. Corral Maria Soler Facundo

Chiara Forace Piera Galber

Luis J. Salmer´on Contreras

Universitat de Val`encia

(2)

TEOREMA DEL N ÚMERO PENTAGO-NAL Introducción Teorema Numeros pentagonales Números poligonales Prueba por combinatoria 1 Introducción 2 Teorema 3 Números poligonales

(3)

Introducci´

on

Euler public´o el teorema del n´umero pentagonal por la primera

vez el 14 agosto de 1775.

Este teorema es un caso particular del producto triple de Jacobi.

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TEOREMA DEL N ÚMERO PENTAGO-NAL Introducción Teorema Numeros pentagonales Números poligonales Prueba por

Introducci´

on

Euler public´o el teorema del n´umero pentagonal por la primera

vez el 14 agosto de 1775.

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Introducci´

on

El teorema del n´umero pentagonal da una equivalencia entre la

representaci´on en forma de producto y de serie de la funci´on

de Euler. La funci´on de Euler: φ(q) = ∞ Y k=1 (1 − qk).

Una propiedad importante es 1 φ(q) = ∞ X n=0 P(n)qn

(6)

Introducci´

on

(7)

Introducci´

on

(8)

Teorema del n´

umero pentagonal

El teorema afirma que

Teorema ∞ Y k=1 (1 − xk) = ∞ X n=−∞ (−1)nxn(3n−1)/2

Se puede escribir como:

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Teorema del n´

umero pentagonal

El teorema afirma que

Se puede escribir como:

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Teorema del n´

umero pentagonal

Desarrollando el producto a la izquierda:

(1 − x ) (1 − x )(1 − x2_{) = 1 − x − x}2_{+ x}3 (1 − x )(1 − x2_{)(1 − x}3_{) = 1 − x}2₊ @x_@ 3₋ @x_@ 3_{+ x}4_{+ x}5_{− x}6 (1 − x )(1 − x2_{)(1 − x}3_{)(1 − x}4_{) = 1 − x − x}2₊ @x_@ 4₋ @x_@ 4_{+ 2x}5 +_@ @ x6−_@ @ x6− x8_{− x}9_{+ x}10 . . .

(11)

Teorema del n´

umero pentagonal

(12)

Teorema del n´

umero pentagonal

(13)

Teorema del n´

umero pentagonal

(14)

Numeros pentagonales

(1−x )(1−x2)(1−x3)... = 1−x −x2+x5+x7−x12−x15+x22...

Los exponentes que aparecen al final son 1, 2, 5, 7, 12... y

(15)

Numeros pentagonales

(1−x )(1−x2)(1−x3)... = 1−x −x2+x5+x7−x12−x15+x22...

Los exponentes que aparecen al final son 1, 2, 5, 7, 12...

y

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Numeros pentagonales

(1−x )(1−x2)(1−x3)... = 1−x −x2+x5+x7−x12−x15+x22...

Los exponentes que aparecen al final son 1, 2, 5, 7, 12... y

(17)

Numeros pentagonales

Cada n´umero pentagonal pn est´a definido por la siguiente

f´ormula:

pn=

n(3n − 1) 2

Los numero pentagonales resultan ser las sumas parciales de la progresi´on aritm´etica 1, 4, 7, 10, . . . , 3n + 1, . . .

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Numeros pentagonales

Cada n´umero pentagonal pn est´a definido por la siguiente

f´ormula:

pn=

n(3n − 1) 2

Los numero pentagonales resultan ser las sumas parciales de la progresi´on aritm´etica 1, 4, 7, 10, . . . , 3n + 1, . . .

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N´

umeros triangulares

En el Teorema de Jacobi aparecen los n´umeros triangulares en

lugar de los pentagonales.

Cada n´umero triangular tn est´a definido por la formula :

tn=

n(n + 1) 2

(20)

Relaci´

on entre los pentagonales y triangulares

Cualquier n´umero pentagonal se puede expresar en funci´on de

los n´umeros triangulares:

pn= n(3n − 1) 2 = n(n + 1) 2 + n(n − 1) = tn+ 2tn−1 Por ejemplo: p3= 12 = t3+ 2 ∗ t2 = 6 + 2 ∗ 3

(21)

Relaci´

on entre los pentagonales y triangulares

(22)

Relaci´

on entre los pentagonales y triangulares

(23)

N´

umeros poligonales

Un n´umero poligonal es aquel que puede ser representado como

puntos dispuestos en forma de pol´ıgono regular, empezando por el 1.

En general, si l es el n´umero de lados de un pol´ıgono, la

fórmula para el n-ésimo número poligonal de l lados es

an=

n((l − 2)n − (l − 4)) 2

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N´

umeros poligonales

Un n´umero poligonal es aquel que puede ser representado como

puntos dispuestos en forma de pol´ıgono regular, empezando por el 1.

En general, si l es el n´umero de lados de un pol´ıgono, la

fórmula para el n-ésimo número poligonal de l lados es

an=

(25)

N´

umeros poligonales

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Prueba por combinatoria

El teorema puede ser demostrado dando una interpretaci´on

combinatorial en t´erminos de particiones.

(1 − x )(1 − x2)(1 − x3)... = |Pn| − |In|

donde

Pn= particiones distintas de n con un numero par de sumandos

In= particiones distintas de n con un numero impar de

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Prueba por combinatoria

El teorema puede ser demostrado dando una interpretaci´on

combinatorial en t´erminos de particiones.

(1 − x )(1 − x2)(1 − x3)... = |Pn| − |In|

donde

Pn= particiones distintas de n con un numero par de sumandos

In= particiones distintas de n con un numero impar de

(28)

Ejemplo para n = 5

(1 − x )(1 − x2)(1 − x3)... = 1 − x − x2+ x5+ x7− x12... El coeficiente de x5 es 1 porque: 5 = 4 + 1 5 = 3 + 2 5 = 5 |P | − |I | = 1

(29)

Prueba por combinatoria

Analizamos el problema graficamente utilizando el Diagrama de Ferrers:

Para n = 20, consideramos la partici´on

(30)

Prueba por combinatoria

Analizamos el problema graficamente utilizando el Diagrama de Ferrers:

Para n = 20, consideramos la partici´on

(31)

n=20

Sean k = n´umero de elementos de la menor fila,

s = n´umero de elementos situados m´as a la derecha que

forman diagonal

⇒ k = 3, s = 2

Si k > s nosotros podemos tomar los elementos en diagonal

(32)

n=20

forman diagonal

⇒ k = 3, s = 2

(33)

n=20

forman diagonal

⇒ k = 3, s = 2

(34)

Nosotros podemos revertir el proceso y en nuestro caso, esta acción nos devolverá al primer gráfico.

(35)

Ejemplo

Particiones de n = 10 con termin´os distintos.

N´umero impar de terminos N´umero par de terminos

Normalmente se puede trasformar una partici´on de Pn en otra

(36)

Ejemplo

N´umero impar de terminos N´umero par de terminos

Normalmente se puede trasformar una partici´on de Pn en otra

(37)

Primer caso

k = s

La diagonal m´as a la derecha y la fila de abajo se

encuentran

Al realizar la operaci´on, el resultado ser´ıa

el cual falla al cambiar la paridad del n´umero de filas, y no es

(38)

Primer caso

k = s

encuentran

(39)

Primer caso

k = s

encuentran

(40)

Primer caso

Entonces: n = k + (k + 1) + (k + 2) + ... + (2k − 1) = k(3k − 1) 2

donde k = elementos en la ´ultima fila del gr´afico original

⇒ n = k(3k − 1)

2

(41)

Primer caso

Entonces: n = k + (k + 1) + (k + 2) + ... + (2k − 1) = k(3k − 1) 2

donde k = elementos en la ´ultima fila del gr´afico original

⇒ n = k(3k − 1)

2

(42)

Segundo caso

k = s + 1

encuentran

No podemos mover la diagonal m´as a la derecha a la fila de

(43)

Segundo caso

k = s + 1

encuentran

No podemos mover la diagonal m´as a la derecha a la fila de

(44)

Segundo caso

Entonces, en este caso:

n = k +(k +1)+...+(2k −2) =(k − 1)(3k − 2) 2 = m(3m − 1) 2 donde m = 1 − k ⇒ n = m(3m − 1) 2 es un n´umero pentagonal.

(45)

Segundo caso

n = k +(k +1)+...+(2k −2) =(k − 1)(3k − 2) 2 = m(3m − 1) 2 donde m = 1 − k ⇒ n = m(3m − 1) 2 es un n´umero pentagonal.

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Segundo caso

n = k +(k +1)+...+(2k −2) =(k − 1)(3k − 2) 2 = m(3m − 1) 2 donde m = 1 − k ⇒ n = m(3m − 1) 2

(47)

Ejemplo

(48)

Resumiendo

Se ha mostrado que las particiones de un n´umero par en

distintas partes y de un n´umero impar en distintas partes se

cancelan mutuamente, excepto para los n´umeros pentagonales.

Por lo tanto, desarrollando el producto y aplicando los m´etodos

expuestos a cada xn se obtiene

(1−x )(1−x2)(1−x3)... = 1−x −x2+x5+x7−x12−x15+x22...

donde los ´unicos coeficientes que aparecen son los numeros

(49)

Resumiendo

Se ha mostrado que las particiones de un n´umero par en

distintas partes y de un n´umero impar en distintas partes se

cancelan mutuamente, excepto para los n´umeros pentagonales.

Por lo tanto, desarrollando el producto y aplicando los m´etodos

expuestos a cada xn se obtiene

(1−x )(1−x2)(1−x3)... = 1−x −x2+x5+x7−x12_−x15_+x22_...

donde los ´unicos coeficientes que aparecen son los numeros