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CAPITULO VI

CAPITULO VI

ENTROPIA

ENTROPIA

6.0 6.0 6.1 6.1 6.2 6.2 6.3 6.3 6.4 6.4 6.4.1 6.4.1 6.4.2 6.4.2 6.4.3 6.4.3 6.4.4 6.4.4 6.5 6.5 6.6 6.6 6.7 6.7 6.7.1 6.7.1 6.7.2 6.7.2 6.8 6.8 6.8.1 6.8.1 6.8.2 6.8.2 6.9 6.9 6.10 6.10 6.11 6.11 6.12 6.12 6.12.1 6.12.1 6.12.2 6.12.2 6.13 6.13 6.13.1 6.13.1 6.13.2 6.13.2 6.13.3 6.13.3 6.13.4 6.13.4 6.14.4 6.14.4 6.15 6.15 Introducción Introducción Objetivos Objetivos

Desigualdad de Clausius y entropía Desigualdad de Clausius y entropía Definición de Entropía

Definición de Entropía

Generación de entropía para sistemas cerrados Generación de entropía para sistemas cerrados Desarrollo del balance de entropía

Desarrollo del balance de entropía

Formas de balance de entropía para un sistema cerrado Formas de balance de entropía para un sistema cerrado Balance de entropía para volumen de control

Balance de entropía para volumen de control  Análisis de v

 Análisis de volumen de control olumen de control en estado estacien estado estacionarioonario Principio del incremento de entropía del universo Principio del incremento de entropía del universo Variación de entropía de una fuente térmica Variación de entropía de una fuente térmica

Representación en forma gráfica y de tablas de los datos de entropía Representación en forma gráfica y de tablas de los datos de entropía El diagrama Temperatura

El diagrama Temperatura – – Entropía Entropía El diagrama Entalpía

El diagrama Entalpía – – Entropía Entropía Las ecuaciones T.ds

Las ecuaciones T.ds

Variación de entropía de un gas ideal Variación de entropía de un gas ideal

Variación de entropía de una sustancia incompresible Variación de entropía de una sustancia incompresible

 Aplicaciones del balance de entropía para un volumen de control FEES  Aplicaciones del balance de entropía para un volumen de control FEES

Expresión del trabajo Mecánico en régimen estacionario Expresión del trabajo Mecánico en régimen estacionario

APLICACIONES DE ENTROPÍA APLICACIONES DE ENTROPÍA Procesos

Procesos isoentrópicoisoentrópicoss Isoentropía de gas ideal Isoentropía de gas ideal Relacione

Relaciones de s de isoentropía para sustancias incompresiblesisoentropía para sustancias incompresibles Rendimiento adiabático de dispositivos en régimen estacionario Rendimiento adiabático de dispositivos en régimen estacionario Eficiencia isoentrópica de una turbina

Eficiencia isoentrópica de una turbina Eficiencia isoentrópica de una tobera Eficiencia isoentrópica de una tobera Eficiencia isoentrópica de un compresor Eficiencia isoentrópica de un compresor Rendimiento adiabático de una bomba Rendimiento adiabático de una bomba El ciclo de Carnot

El ciclo de Carnot Resumen

Resumen Práctica

Práctica dirigidadirigida

Problemas domiciliarios Problemas domiciliarios 22 22 22 55 66 66 77 77 77 88 10 10 12 12 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 16 16 21 21 23 23 25 25 26 26 26 26 26 26 28 28 32 32 35 35 39 39 41 41 43 43

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INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN

En el capítulo 6 se introdujo al estudio de la segunda ley de la termodinámica y En el capítulo 6 se introdujo al estudio de la segunda ley de la termodinámica y sus aplicaciones en ciclos y dispositivos cíclicos. En este capítulo se verán sus aplicaciones en ciclos y dispositivos cíclicos. En este capítulo se verán aplicacion

aplicaciones de la segunda ley a pes de la segunda ley a procesos. La rocesos. La primera ley de la termodprimera ley de la termodinámica tratainámica trata con la propiedad

con la propiedad energíaenergía y la conservación de ella; mientras que la segunda definey la conservación de ella; mientras que la segunda define una nueva propiedad llamada

una nueva propiedad llamada entropía.entropía. La entropía así como

La entropía así como la energía son conceptos abstractos creados por el la energía son conceptos abstractos creados por el hombrehombre para facilitar la descripción de ciertos fenómenos observados. Cada estado para facilitar la descripción de ciertos fenómenos observados. Cada estado termodinámico tiene una entropía definida y su valor no depende de la trayectoria termodinámico tiene una entropía definida y su valor no depende de la trayectoria seguida para alcanzar dicho estado.

seguida para alcanzar dicho estado.

El capítulo empieza con una exposición acerca de la desigualdad de Clausius, El capítulo empieza con una exposición acerca de la desigualdad de Clausius, un concepto fundamental para definir entropía, y continúa con el principio de un concepto fundamental para definir entropía, y continúa con el principio de incremento de entropía. A diferencia de la energía, la entropía es una propiedad que incremento de entropía. A diferencia de la energía, la entropía es una propiedad que no se conserva, por lo tanto, la

no se conserva, por lo tanto, la conservación de entropíaconservación de entropía no existe. Luego se no existe. Luego se exponenexponen y examinan los cambios de entropía durante los procesos para las sustancias puras, y examinan los cambios de entropía durante los procesos para las sustancias puras, las incompresibles, los gases ideales y se examina una clase especial de procesos las incompresibles, los gases ideales y se examina una clase especial de procesos idealizad

idealizados os llamadosllamados isoentrópicosisoentrópicos. Después se . Después se estudia el trabajo de festudia el trabajo de f lujo estacionariolujo estacionario reversible y las eficiencias isoentrópicas de varios dispositivos de ingeniería como reversible y las eficiencias isoentrópicas de varios dispositivos de ingeniería como turbinas y compresores. Finalmente, el balance de entropía se introduce y aplica a turbinas y compresores. Finalmente, el balance de entropía se introduce y aplica a varios sistemas.

varios sistemas.

La Segunda Ley es muy útil para calcular interacciones (de calor y trabajo) en La Segunda Ley es muy útil para calcular interacciones (de calor y trabajo) en procesos internamente

procesos internamente reversiblreversibles.es.

Los procesos reales se analizan por comparación con los reversibles, introduciendo Los procesos reales se analizan por comparación con los reversibles, introduciendo unos parámetros llamados

unos parámetros llamados rendimientorendimiento oo eficiencia eficiencia ..

La Segunda Ley permite también analizar si un proceso es posible o no, y si lo es, si La Segunda Ley permite también analizar si un proceso es posible o no, y si lo es, si es reversible o no.

es reversible o no.

6.1 OBJETIVOS 6.1 OBJETIVOS - Introducir a

- Introducir a la entropía como herramienta analíticala entropía como herramienta analítica - Establecer el principio de incremento de entropía - Establecer el principio de incremento de entropía - Aplicar el balance de entropía para varios sistemas - Aplicar el balance de entropía para varios sistemas - Aplicar los conceptos de

- Aplicar los conceptos de entropía a procesos Isoentrópicosentropía a procesos Isoentrópicos - Ampliar conocimiento sobre compresores

- Ampliar conocimiento sobre compresores

6.2 DESIGUALDAD DE CLAUSIUS Y ENTROPIA 6.2 DESIGUALDAD DE CLAUSIUS Y ENTROPIA

En el capítulo anterior vimos la segunda ley aplicada a ciclos. La finalidad de En el capítulo anterior vimos la segunda ley aplicada a ciclos. La finalidad de este apartado es desarrollar la propiedad llamada entropía para procesos, con el este apartado es desarrollar la propiedad llamada entropía para procesos, con el objetivo de mostrar que los procesos pueden mejorarse ú

objetivo de mostrar que los procesos pueden mejorarse ú optimizarseoptimizarse..

La entropía es la magnitud de estado calorífico o una medida (o factor) de La entropía es la magnitud de estado calorífico o una medida (o factor) de transformación de la energía calorífica en mecánica y viceversa que surge como transformación de la energía calorífica en mecánica y viceversa que surge como postulado de la segunda ley de la termodinámica. En forma física se podría decir que postulado de la segunda ley de la termodinámica. En forma física se podría decir que la entropía es una medida del desorden molecular; a mayor temperatura aumenta el la entropía es una medida del desorden molecular; a mayor temperatura aumenta el desorden molecular, aumenta su entropía.

desorden molecular, aumenta su entropía. La entropía así como

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INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN

En el capítulo 6 se introdujo al estudio de la segunda ley de la termodinámica y En el capítulo 6 se introdujo al estudio de la segunda ley de la termodinámica y sus aplicaciones en ciclos y dispositivos cíclicos. En este capítulo se verán sus aplicaciones en ciclos y dispositivos cíclicos. En este capítulo se verán aplicacion

aplicaciones de la segunda ley a pes de la segunda ley a procesos. La rocesos. La primera ley de la termodprimera ley de la termodinámica tratainámica trata con la propiedad

con la propiedad energíaenergía y la conservación de ella; mientras que la segunda definey la conservación de ella; mientras que la segunda define una nueva propiedad llamada

una nueva propiedad llamada entropía.entropía. La entropía así como

La entropía así como la energía son conceptos abstractos creados por el la energía son conceptos abstractos creados por el hombrehombre para facilitar la descripción de ciertos fenómenos observados. Cada estado para facilitar la descripción de ciertos fenómenos observados. Cada estado termodinámico tiene una entropía definida y su valor no depende de la trayectoria termodinámico tiene una entropía definida y su valor no depende de la trayectoria seguida para alcanzar dicho estado.

seguida para alcanzar dicho estado.

El capítulo empieza con una exposición acerca de la desigualdad de Clausius, El capítulo empieza con una exposición acerca de la desigualdad de Clausius, un concepto fundamental para definir entropía, y continúa con el principio de un concepto fundamental para definir entropía, y continúa con el principio de incremento de entropía. A diferencia de la energía, la entropía es una propiedad que incremento de entropía. A diferencia de la energía, la entropía es una propiedad que no se conserva, por lo tanto, la

no se conserva, por lo tanto, la conservación de entropíaconservación de entropía no existe. Luego se no existe. Luego se exponenexponen y examinan los cambios de entropía durante los procesos para las sustancias puras, y examinan los cambios de entropía durante los procesos para las sustancias puras, las incompresibles, los gases ideales y se examina una clase especial de procesos las incompresibles, los gases ideales y se examina una clase especial de procesos idealizad

idealizados os llamadosllamados isoentrópicosisoentrópicos. Después se . Después se estudia el trabajo de festudia el trabajo de f lujo estacionariolujo estacionario reversible y las eficiencias isoentrópicas de varios dispositivos de ingeniería como reversible y las eficiencias isoentrópicas de varios dispositivos de ingeniería como turbinas y compresores. Finalmente, el balance de entropía se introduce y aplica a turbinas y compresores. Finalmente, el balance de entropía se introduce y aplica a varios sistemas.

varios sistemas.

La Segunda Ley es muy útil para calcular interacciones (de calor y trabajo) en La Segunda Ley es muy útil para calcular interacciones (de calor y trabajo) en procesos internamente

procesos internamente reversiblreversibles.es.

Los procesos reales se analizan por comparación con los reversibles, introduciendo Los procesos reales se analizan por comparación con los reversibles, introduciendo unos parámetros llamados

unos parámetros llamados rendimientorendimiento oo eficiencia eficiencia ..

La Segunda Ley permite también analizar si un proceso es posible o no, y si lo es, si La Segunda Ley permite también analizar si un proceso es posible o no, y si lo es, si es reversible o no.

es reversible o no.

6.1 OBJETIVOS 6.1 OBJETIVOS - Introducir a

- Introducir a la entropía como herramienta analíticala entropía como herramienta analítica - Establecer el principio de incremento de entropía - Establecer el principio de incremento de entropía - Aplicar el balance de entropía para varios sistemas - Aplicar el balance de entropía para varios sistemas - Aplicar los conceptos de

- Aplicar los conceptos de entropía a procesos Isoentrópicosentropía a procesos Isoentrópicos - Ampliar conocimiento sobre compresores

- Ampliar conocimiento sobre compresores

6.2 DESIGUALDAD DE CLAUSIUS Y ENTROPIA 6.2 DESIGUALDAD DE CLAUSIUS Y ENTROPIA

En el capítulo anterior vimos la segunda ley aplicada a ciclos. La finalidad de En el capítulo anterior vimos la segunda ley aplicada a ciclos. La finalidad de este apartado es desarrollar la propiedad llamada entropía para procesos, con el este apartado es desarrollar la propiedad llamada entropía para procesos, con el objetivo de mostrar que los procesos pueden mejorarse ú

objetivo de mostrar que los procesos pueden mejorarse ú optimizarseoptimizarse..

La entropía es la magnitud de estado calorífico o una medida (o factor) de La entropía es la magnitud de estado calorífico o una medida (o factor) de transformación de la energía calorífica en mecánica y viceversa que surge como transformación de la energía calorífica en mecánica y viceversa que surge como postulado de la segunda ley de la termodinámica. En forma física se podría decir que postulado de la segunda ley de la termodinámica. En forma física se podría decir que la entropía es una medida del desorden molecular; a mayor temperatura aumenta el la entropía es una medida del desorden molecular; a mayor temperatura aumenta el desorden molecular, aumenta su entropía.

desorden molecular, aumenta su entropía. La entropía así como

La entropía así como la energía son conceptos abstractos creados por el la energía son conceptos abstractos creados por el hombrehombre para facilitar la

para facilitar la descripcidescripción de ón de ciertos fenómenos observados.ciertos fenómenos observados. Como para un ciclo ® Carnot dice que:

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 B  B  A  A  B  B  A  A T  T  T  T  Q Q Q Q  , ,

Y puede ser cambiado de positivo a negativo (máquina térmica ó ciclo invertido), la Y puede ser cambiado de positivo a negativo (máquina térmica ó ciclo invertido), la ecuación independiente del sentido es:

ecuación independiente del sentido es:

 B  B  B  B  A  A  A  A T  T  Q Q T  T  Q Q           , , Ordenando tenemos: Ordenando tenemos:

     00 00 ii ii  B  B  B  B  A  A  A  A T  T  Q Q ó ó T  T  Q Q T  T  Q Q        , para in

, para infinitos procfinitos procesos reveesos reversibles.rsibles.

La desigualdad de

La desigualdad de ClausiusClausius establece que: establece que:

Para sistema cerrado Para sistema cerrado (6.1)

(6.1)

Donde δQ

Donde δQ  sigue el convenio estándar de signos en sistemas cerrados. Por  sigue el convenio estándar de signos en sistemas cerrados. Por consiguiente Clausius indica que en un proceso cíclico, la suma de todos los términos consiguiente Clausius indica que en un proceso cíclico, la suma de todos los términos δQ/T en la frontera del sistema será siempre menor ó igual a cero. Si es igual a cero el δQ/T en la frontera del sistema será siempre menor ó igual a cero. Si es igual a cero el proceso es Reversible ®, si es menor a cero el proceso es irreversible (I). Es aplicado proceso es Reversible ®, si es menor a cero el proceso es irreversible (I). Es aplicado a ciclos de

a ciclos de potencia ó invertidos, reversiblpotencia ó invertidos, reversibles e es e irreversiblirreversibleses Ejemplo 6.1

Ejemplo 6.1 Para un Para un ciclo Rankine ciclo Rankine que usa que usa vapor vapor ..  A A partir de los datos y figura,partir de los datos y figura, verifique la desigualdad de Clausius,

verifique la desigualdad de Clausius, Estado Estado 1 1 2 2 3 3 44 p,bar p,bar 10 10 0.1 0.1 0.1 0.1 1010 T T 00C C 179.91 179.91 45.81 45.81 4581 4581 4646 x x 1 1 0.9 0.9 00 Solución Solución Datos:

Datos: Ciclo Rankine, con datos mostradosCiclo Rankine, con datos mostrados Incógnitas:

Incógnitas: Verificar desigualdad de Clausius Verificar desigualdad de Clausius Modelo:

Modelo: ciclo FEES ciclo FEES



                   0 0  f    f   T  T  Q Q

(5)

 

 





 T  T  dq dq T  T  dq dq T  T  dq dq 44 11 22 33   Pero   Pero

 

 



 1 1 1 1 4 4 11 4 4 T  T  h h T  T  CpdT  CpdT  T  T  dq dq T T  fg fg  T  T  Según la tabla, h

Según la tabla, hfgfg =2015.3 kJ/kg, a una presión de 10 bar. Sustituyendo valores =2015.3 kJ/kg, a una presión de 10 bar. Sustituyendo valores



    kkgK gK   KJ   KJ  T  T  dq dq 92 92 ,, 5 5 91 91 ,, 4 45252 3 3 ,, 2015 2015 )) 3 31199 9 911 ,, 4 45252 ln( ln( 1 188 ,, 4 4 1 1 4 4    AdemásAdemás



    2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 T  T  h h  x  x T  T  h h h h T  T  dq dq fg fg  Según la tabla,

Según la tabla, hhf9f9= 2392.8 kJ/kg a una presión de 0,1 bar. Sustituyendo valores,= 2392.8 kJ/kg a una presión de 0,1 bar. Sustituyendo valores,

 K   K  kkg g  kkJ J  T  T  dq dq // 75 75 .. 6 6 81 81 .. 318 318 )) 8 8 .. 2392 2392 )( )( 9 9 .. 0 0 (( 3 3 2 2  



 En En consecuencia,consecuencia,



55..929266..7575 00..8383 kkJ J //kkg g K K 00 T  T  dq dq Comentario

Comentario: como la desigualdad es menor a cero se confirma que es un ciclo: como la desigualdad es menor a cero se confirma que es un ciclo irreversible

irreversible, si , si fuera mayor a cero, fuera mayor a cero, sería imposible.sería imposible. Ejemplo 6.2

Ejemplo 6.2 Considere el ciclo Otto ó un motor de combustión interna con un gasConsidere el ciclo Otto ó un motor de combustión interna con un gas ideal, con calores específicos constantes que realiza el siguiente ciclo termodinámico: ideal, con calores específicos constantes que realiza el siguiente ciclo termodinámico: compresión adiabática reversible desde v

compresión adiabática reversible desde v11 hasta vhasta v22, adición de calor a volumen, adición de calor a volumen

constante desde el estado 2 hasta el estado

constante desde el estado 2 hasta el estado 3,3, expansión adiabática reversible desdeexpansión adiabática reversible desde vv3 =3 =vv22hasta vhasta v4 =4 =vv11y enfriamiento a volumen constante hasta y enfriamiento a volumen constante hasta alcanzar el estado original,alcanzar el estado original,

ver diagrama:

ver diagrama:

Se pide verificar la desigualdad de Clausius

Se pide verificar la

desigualdad de Clausius

Solución

Solución

Datos:

Datos: Ciclo Otto

Ciclo Otto

Incógnitas:

Incógnitas: verificar Clausius

 verificar Clausius

Modelo:

Modelo: ciclo reversible Otto

 ciclo reversible Otto

Metodología:

Metodología: Usar desigualdad de

 Usar desigualdad de CLausius

CLausius

Análisis: Análisis:

Puesto que los procesos 1

Puesto que los procesos 1——2 y 32 y 3——4 son adiabáticos reversibles,4 son adiabáticos reversibles,

                                                                   



 







4 4 2 2 1 1 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 1 1 4 4 3 3 2 2 1 1 4 4 3 3 2 2 llnn llnn llnn T  T  T  T  T  T  T  T  Cv Cv T  T  T  T  Cv Cv T  T  T  T  Cv Cv T  T  dT  dT  Cv Cv T  T  dT  dT  Cv Cv T  T  q q T  T  q q T  T  q q           Pero Pero 4 4 3 3 1 1 3 3 4 4 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 T  T  T  T  vv vv vv vv T  T  T  T  k k  k k                                              Esto

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0 0  



dqdq Conclusiones

Conclusiones: Podemos verificar que para un ciclo R cumple la desigualdad de: Podemos verificar que para un ciclo R cumple la desigualdad de Clausius

Clausius

6.3. DEFINICIÓN DE

6.3. DEFINICIÓN DE ENTROPÍAENTROPÍA

 Acabamos de obtener la desigualda

 Acabamos de obtener la desigualdad de Clausius, que para ciclos reversibles esd de Clausius, que para ciclos reversibles es una igualdad. Recordemos que una propiedad es una función de punto, independiente una igualdad. Recordemos que una propiedad es una función de punto, independiente de la trayectoria. Ahora sup

de la trayectoria. Ahora supongamos un ciclo quongamos un ciclo que va de 1 por A y retorna por C e va de 1 por A y retorna por C o elo el ciclo de 1 por B y retorna por C. Ver fig. 6.1, se cumplirá lo

ciclo de 1 por B y retorna por C. Ver fig. 6.1, se cumplirá lo siguiente: siguiente:







 



1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 )) 2 2 ...( ...( )) 1 1 ...( ...( C  C   B  B C  C   A  A T  T  Q Q T  T  Q Q T  T  Q Q T  T  Q Q T  T  Q Q                               Igualando

Igualando (1) (1) y y (2) , (2) , se se llega llega a:a:

Fig. 6.1

Fig. 6.1 Diagrama T-s Diagrama T-s para mostrar propiedad para mostrar propiedad entropía, entre estado 1 y entropía, entre estado 1 y 2.

2.

Que es independiente del proceso, es una función de estado. Que es independiente del proceso, es una función de estado. Es

Es decir decir es es una una propiedad propiedad extensiva, representada extensiva, representada por por "S" "S" como como propiedad, propiedad, susu cambio vendrá dado por:

cambio vendrá dado por:

Ó Ó

(Para sistema cerrado) (6.2) (Para sistema cerrado) (6.2)

Donde δQ/T es una diferencial exacta de una cierta función que representamos en lo Donde δQ/T es una diferencial exacta de una cierta función que representamos en lo sucesivo con

sucesivo con "S" llamado entropía"S" llamado entropía, que el significado literal es girar o evolucionar:, que el significado literal es girar o evolucionar:  B  B  A  A

Q

Q

Q

Q





 

 

 

 





 

 

 

  





 

 

 

 





 

 

 

  





22 1 1 2 2 1 1 rev rev T  T  Q Q S  S  S  S  int int 2 2 1 1 1 1 2 2                        



T  T  Q Q dS 

(7)

Donde: Sx es el valor especificado para la entropía en el estado de

referencia.

Observe que el calor para un sistema cerrado es: Q= T.ΔS o de otra manera:

Donde el calor transferido está representado por el área bajo la trayectoria de un diagrama T-s.

6.4 GENERACIÓN DE ENTROPIA PARA SISTEMAS CERRADOS De la desigualdad de Clausius eliminando la desigualdad y

remplazando por σ (generación de entropía) y pasando al otro término tenemos:

Donde: = 0 No se presentan irreversibilidades internas.  > 0 Se presentan Irreversibilidades Internas. < 0 Imposible.

6.4.1 DESARROLLO DEL BALANCE DE ENTROPÍA

Sea un ciclo formado por un proceso de 1 a 2 y un proceso internamente reversible de 2 a 1, de la ecuación 6.3 tenemos:

Fig. 6.3 Diagrama para mostrar el balance de entropía

Fig. 6.2 Proceso de 1 a 2 en diagrama T-s: el calor es el área bajo la curva, además recuerda que el calor no es una propiedad, pues es función de la trayectoria. (6.3) rev  Int   y  x  x  y T  Q S  S               

 2 1 . int . int .  s  s rev rev Q T dS  Q

 

 

 

 

ciclo   f   T  Q      

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 2 1

 

rev  Int   f  

Q

Q

(8)

 

 

 

 

 

 

 f  

Q

2 1 1 2   (6.4)

6.4.2 FORMAS DE BALANCE DE ENTROPIA PARA UN SISTEMA CERRADO El balance de entropía puede ser expresado en varias formas, de modo que cada una de ellas resulte más conveniente para algún tipo de análisis.

De tal forma quedará expresado de la siguiente manera:

(6.5)

6.4.3 BALANCE DE ENTROPIA PARA VOLUMENES DE CONTROL

Vimos el balance de entropía para sistemas, para volumen de control debe incluir el transporte de entropía que acompaña a la masa. En el desarrollo se procederá argumentando que, al igual que la masa y energía, la entropía es una propiedad extensiva, por lo cual también es transferida hacia o desde un volumen de control mediante los flujos de materia. Se desarrolla tomando la analogía de la primera ley de VC como sigue:

(6.6)

6.4.4 ANALISIS DE VOLUMENES DE CONTROL EN ESTADO ESTACIONARIO Cambio de Entropía Transferencia de Entropía Generación de Entropía Velocidad De cambio De entropía Velocidades de transferencia

De entropía VelocidadDe generación De entropía

 j Tj Qj S  S 2 1  

 

 

 

 

 

 f  

Q

dS 

                   f   T  Q dt  dS 

m

e

 s

e

m

 s

s

 s vc

Tj

 j

Q

dt 

dSvc

. .

.

.

 

(9)

De conservación de masa Se sabe:

De primera ley ó conservación de energía sabemos que:

El balance de entropía por unidad de tiempo:

6.5 PRINCIPIO DEL INCREMENTO DE ENTROPIA DEL UNIVERSO

Consiste en evaluar el cambio total de entropía de un sistema y su medio exterior (sus alrededores) cuando el sistema se sujeta a un cambio de estado. El sistema más sus alrededores constituyen lo que se llama el universo, en consecuencia, decir cambio total de entropía es lo mismo que el cambio de entropía del universo.

Por ello:

dS

(Univ)

 = dS

(vc)

 + dS

(alrededores)

Consideremos un ciclo formado por dos procesos: el proceso 1-2 que puede ser ® ó (I) y el proceso 2-1 que es internamente reversible, como se ve en el esquema. De Clausius 0 0 Re . 1 2 2 1

v  Int  T  Q T  Q T  Q       T  Q dS  ó T  Q S  S  S  S  T  Q      

2

1 2 1 1 2 2 1 0

Indica que hay incremento de entropía

En consecuencia:

(6.7)

S univ = 0, si el proceso es reversible.



 

 



 

 



 

 



 

 

 s i  gz  V  h m  gz  V  h m vc W  vc Q 2 2 0 2 2     vc  s  s i i   j

 s

m

 s

m

Tj

  j

Q

  

.

.

0

To dQ dS alrededor 

dQ

dS 

 sist 

0 1 1           To T 

0

(10)

S univ > 0, si el proceso es irreversible.

Ejemplo 6.3 En un intercambiador de calor se enfría 50 g/s de monóxido de carbono (CO) desde 150 hasta 100 0C, mientras la presión se mantiene constante en 1 bar. Determine el cambio de entropía por unidad de masa que experimenta el gas al pasar por el intercambiador de calor.

Solución

Datos: Un IC, enfría desde 150ºC hasta 100ºC, a 1 bar Incógnitas: determinar el cambio de entropía del gas Modelo: Intercambiador FEES

Metodología: Aplicar primera ley y segunda ley

Análisis: El cambio de entropía depende sólo de las condiciones de entrada y salida del IC, se considerará una trayectoria isobárica reversible para calcular el cambio de S, entonces de primera ley se tiene:

dT  c dh dq    p Luego,  K  kg  kJ  T  T  c T  dq  s  p c  p / 13 . 0 423 373 ln ) 1 ( ln 1 2                         

Comentarios: En este caso disminuye la entropía del monóxido de carbono, ya que el sistema cede calor hacia los alrededores. Si el enfriamiento se hubiera llevado acabo en un Sistema cerrado entre los mismos estados inicial y f inal, la diferencia Δs hubiera sido la misma, puesto que las propiedades se evalúan por medio de un observador que viaja con el fluido y cada masa unitaria es para éste un sistema cerrado.

Ejemplo 6.4 En un recipiente rígido y aislado que tiene 1 dm3 de volumen hay cierta

cantidad de aire a una presión de 3 bar y a una temperatura de 25ºC. Mediante una válvula que conecta este recipiente con otro de igual tamaño, también aislado, pero al vacío, se hace fluir el aire de tal manera que ambos recipientes queden llenos de él. Determine el cambio de entropía a) del aire, b) de los alrededores y c) del Universo. Solución

Datos: Recipiente rígido con aire a 3 bar, 25ºC

Incógnitas: a) cambio de entropía del aire, b) alrededores c) universo Modelo: sistema aislado

Metodología: Aplicar conservación de energía y entropía

Análisis: Analizando el sistema compuesto por los dos recipientes. 0

   

(11)

0   dW  dQ Y a su vez, dQ=-(-p dV) En consecuencia,  K   J   x  x V  V  T  V   P  V  V   R m V  mRdV  T  dV   p T  dQ S  C  T  / 698 . 0 ) 2 ( ln 298 ) 10 1 )( 10 3 ( 2 ln 2 ln 3 5 1 1 1 1 1                              

Este resultado comprueba que el proceso de expansión es irreversible, pues al estar el sistema aislado

0

alrededores

Por lo que el cambio de entropía del universo será,

698 . 0

  universo S 

Comentarios: Los alrededores no cambian de entropía por ser sistema aislado, en cambio la entropía total o del universo si cambia por ser el proceso irreversible

6.6 VARIACIÓN DE ENTROPIA DE UNA FUENTE TÉRMICA

Una aplicación importante de la variación de entropía es aplicada a una fuente de temperatura constante, que experimenta cambios internamente reversibles, al intercambiar calor con otros sistemas. En este caso al integrar ds tenemos:

 F   F  rev  F  T  Q T  Q S              

int,     (6.8)

y la producción de entropía para la transferencia de calor entre dos fuentes A y B (vea región de transferencia de calor) será:

                   j  FA FB Q  j  j mc T  Q T  Q T  Q S      0  (6.9)

El potencial de trabajo ó capacidad de producir trabajo de una fuente A será:

              FA Carnot   Pot  T  T  Q Q W  .  1 0   (6.10)

(12)

Puede haber una pérdida de trabajo potencial asociada a la transferencia de calor sin producir trabajo, el trabajo que se pierde entre dos fuentes A y B será el trabajo potencial de A menos el trabajo potencial de B:

             FA  FB Q  per  T  T  Q T  W  , 0 1 1 ó

 I 

o

 

  (6.11) EJEMPLO 6.5

Se dispone de una energía de 5000 Kj. a partir de una fuente térmica de a 900 K. La temperatura del ambiente es de 280 K. Esta energía se transfiere en forma de calor desde la fuente térmica a 900 K. a otra fuente térmica de 500 K. determínese:

a) La variación de entropía de cada una de las fuentes térmicas en Kj/K. b) La producción de entropía en la región de transferencia de calor en Kj/K.

c) El tanto por ciento en que se reduce el potencial de trabajo a la cantidad de calor dada, debido a su transferencia a la fuente de 500 K.

SOLUCIÓN:

DATOS: SE MUESTRA EN EL ESQUEMA, DOS FUENTES TÉRMICAS.

Análisis

a) Para la fuente térmica A la variación de la entropía con el tiempo resulta:

Ta Qa dt  dsa   K   KJ   K   KJ  dt  dsa / 55 . 0 900 500  

Para la Fuente Térmica B resulta:

Fig. 6.4 Esquema que muestra el calor transferido entre dos fuentes y la pérdida de potencial de trabajo asociada al calor transferido.

(13)

b) La producción de entropía por unidad de tiempo para el sistema combinado es la suma de producción de entropía por unidad de tiempo en los tres subsistemas. La producción de entropía en el interior de una fuente térmica es 0. Entonces tenemos:

0 = Qsum - Qced Y    

Tb Qced Ta

Qsum

0 pero como: Qsum =

Qced Tenemos:            Tb 1 Ta 1 Qsum               500 1 900 1 500 KJ     K   Kj / 44 . 0   

c) Hallamos la potencia de trabajo, La ecuación de la pérdida de trabajo debido a la transferencia irreversible del calor es:

             Ta 1 Tb 1 Q To Wper               900 1 500 1 500KJ 280K  Wper   K  KJ 124.4 Wper   Entonces: 500 KJ ---- 100% 124.4 KJ ---- X% X = 24.88 %

6.7 RESENTACIÓN EN FORMA GRAFICA Y DE TABLAS DE LOS DATOS

DE ENTROPIA

Cuando se incluye el análisis según la segunda ley, la utilización de diagramas que utilizan la entropía como una de las coordenadas constituye una ayuda con mucha visualización. Los diagramas temperatura  –  entropía y entalpía  –  entropía resultan extremadamente útiles por dos razones. La primera es que pueden proporcionar una idea cualitativa sobre un proceso sin necesidad de una cantidad grande de información. La segunda es que los diagramas T-s y h-s también se podrán utilizar para obtener la información cuantitativa que pudieran proporcionar. Pueden llevar mejor ayuda que otras coordenadas como P-v, porque visualizan adecuadamente los procesos y ciclos.

6.7.1 EL DIAGRAMA TEMPERATURA – ENTROPÍA

Para representar un diagrama T-s a fin de obtener simplemente la información cualitativa que proporciona, son importantes las características generales de las líneas

(14)

que representan los procesos en este diagrama con respecto a la línea de saturación líquido – vapor. La Fig. 6.5 ilustra un diagrama T-s

Fig. 6.5 Diagrama T-s (Fuente: Campus Tecnológico De La Universidad De Navarra) 6.7.2 EL DIAGRAMA ENTALPIA – ENTROPÍA

Las coordenadas de un diagrama h-s (diagrama de Mollier) representan las dos propiedades más importantes en el análisis de los volúmenes de control con la primera y la segunda ley. El diagrama h-s es muy importante porque en los procesos adiabáticos FEES, una distancia vertical Δh entre dos estados está relacionado con el trabajo y/o ΔEC como es en turbinas, compresores, bombas, ventiladores, toberas, etc. La distancia horizontal Δs entre dos estados es la medida del grado de irreversibilidad.

(15)

Fig. 6.6 Diagrama h-s (Fuente: Campus Tecnológico De La Universidad De Navarra)

6.8 LAS ECUACIONES T.ds.

En este apartado, desarrollaremos las ecuaciones necesarias para evaluar la variación de entropía. Considerando una sustancia pura, simple y compresible que desarrolla un proceso internamente reversible en un sistema tenemos:

Sustituyendo las tres ecuaciones anteriores tenemos:

Utilizando la relación: H = U + P*V se obtiene:

Considerando como base la unidad de masa:

(6.12) Estas dos ecuaciones generalmente se aplican a sistemas homogéneos sin

reacciones químicas, que permiten obtener valores de variación de entropía

específica válidos incluso si el proceso es internamente irreversible, esto porque la entropía es una propiedad que no depende del proceso solo de los estados inicial y final. Estas ecuaciones pueden escribirse:

dP 

v

dh

ds

ó

 Pdv

du

ds

.

  (6.13) rev  Int 

Q

dS 

 

 

 

 

 

 p

.dV 

.

rev  Int 

 

 

rev  Int  rev  Int 

dU 

Q

dV   p dU  dS  T .

.

dp

dH 

dS 

.

.

dv

 p

du

ds

.

.

.

ds

dh

v

.

dp

(16)

6.8.1 VARIACIÓN DE ENTROPÍA DE UN GAS IDEAL

 A la hora de aplicar la segunda ley a un proceso de un gas ideal es útil en cualquier análisis dibujar un esquema del proceso de un diagrama T- s. La Fig. 6.6 ilustra la posición genérica de las líneas de presión y de volumen específico constante en el diagrama en la zona de gas ideal. Adviértase de nuevo que, en la región gaseosa, las líneas de volumen especifico constante poseen una pendiente ligeramente mayor que las líneas de presión constante.

Fig. 6.7 Representación de las líneas de presión y de volumen específico constante en un diagrama T-s para un gas ideal.

Usando las ecuaciones 5.18 ó 5.19 para la variación de entropía de un gas ideal, tenemos:

v

v

c

 R T  dT   s v 1 2 2 1 ln

1 2 2 ln 1 ln V  V   R T  T  Cvm   (6.14)

 P 

 P 

c

 R T  dT   s p 1 2 2 1 ln

1 ln 1 ln 2 2  P   P   R T  T  Cpm   (6.15)

Donde Cvm y Cpm son los valores medios de Cv y Cp entre el intervalo de

temperaturas

Se puede usar datos integrados de tablas

1 2 1 2 1 2 ln  P   P   R  s  s  s

 s

o

o

ó en base molar con (-) en cada término (6.16)

 R

Cv

(17)

6.8.2 VARIACIÓN DE ENTROPÍA DE UNA SUSTANCIA INCOMPRESIBLE

Partiendo de la primera de las ecuaciones Tds, se tiene que la ecuación general para la variación de entropía de una sustancia simple compresible cualquiera es:

T   Pdv T 

du ds

Una sustancia incompresible se define como una sustancia de volumen especifico constante. Como en este caso dv es cero, la ecuación anterior queda reducida a:

du

ds

 

  (6.17)

 Además, recuerde que la energía interna de una sustancia incompresible viene dada por:

dT 

du

c

v

Empleando las relaciones anteriores para una sustancia incompresible se obtiene que la variación de entropía de una sustancia incompresible viene dada por:

1 2 2 1 ln

cdT 

 s

m

  (6.18)

Donde Cm como valor medio (promedio) entre las temperaturas

6.9 APLICACIONES DEL BALANCE DE ENTROPÍA PARA UN VOLUMEN DE CONTROL FEES

Cuando evaluamos

 j  j T  Q .

 , en la ecuación de balance de entropía, como

T

 j

 no se conoce en todas las partes del VC, esta dificultad se puede evitar si

tomamos una frontera constante (pared) con fluido en el interior, vea fig. 6.7 (a).

otra forma se da en la Fig.6.7 (b), que muestra un volumen de control ampliado

con transferencia de calor a través de la pared del equipo y una fina capa de

aire exterior a la pared (a menudo se la denomina capa límite del fluido). La

línea de trazos señala la frontera de un volumen de control ampliado que

contiene tanto el volumen por el que circula el fluido como la región en la que

tiene lugar la transferencia de calor. En muchas situaciones, esta región de

transferencia de calor puede rodear por completo a la superficie de control a

(18)

través de la cual no se está transfiriendo masa.

(a) (b)

Fig. 6.8 (a) esquema para contabilizar de manera general la entropía en un volumen de control (b) VC ampliado incluye la región de TC

 Aplicando el balance general de entropía tenemos la ecuación vista antes

Esta ecuación es válida tanto para sistema como para volumen de control, y es el punto de partida para la mayoría de análisis con entropía, considerando FEES, es decir el término de la izquierda es cero.

EJEMPLO 6.6

Se comprime vapor de H2O a 1.0 bar y 100 oC en régimen estacionario y sale a 10.0

bar y 200 oC. Se ha medido el trabajo de entrada y es igual a 400 Kj/Kg, siendo despreciables las variaciones de energía cinética y potencial. La temperatura del ambiente es igual a 27 oC. Determínese:

a) La magnitud y sentido del calor transferido en Kj/Kg.

b) La variación de entropía del fluido al atravesar el compresor en Kj/Kg-k. c) La generación de entropía en el proceso global en Kj/Kg-K.

Solución:

Datos: ver esquema

vc  s e e e  s m s m Tj   j dt  dSvc

Q

   . . . .

(19)

 Algunas conversiones

200oC = 473 K

100oC = 373 K

27oC = 300 K

Análisis:

a) Se puede calcular el calor transferido a partir del balance de energía aplicado al compresor. Si se modela el compresor como un volumen de control en régimen estacionario con una entrada y una salida:

h  Ec  Ep

m

h  Ec  Ep

m W 

Q      

1 2

0

Dividiendo el balance de energía entre m y teniendo en cuenta que Ec Ep son

despreciables se obtiene: h w q   0 w h q    ... (I) De Tablas tenemos:

-Para el punto de entrada: Para el punto de salida

P=1 bar P=10 bar T=100oC T=200 oC VSC, Tsat=99.63 oC VSC, Tsat=179.9 oC h=2676.2 KJ/Kg h=2827.9 KJ/Kg s=7.3614 KJ/Kg-K s=6.6940 KJ/Kg-K De donde obtenemos: h = h2-h1 = 2827.9-2676.2 h = 151.7 KJ/Kg Reemplazando en (I) q = 151.7 KJ/Kg – 400 KJ/Kg q = -298.3 KJ/Kg b)S = ? S = S2- S1 S = (6.6940-7.3614) KJ/Kg-K S = -0.6674 KJ/Kg-K

(20)

c) la generación de entropía se obtiene aplicando el balance de entropía al VC y simplificando: Tamb q -S1 -S2     

-0.6674 KJ/Kg -k 

 

 298.3 KJ / KG

300 K  K  -KJ/Kg 0.32    

EJEMPLO 6.7 Por una de las entradas de una cámara adiabática de mezcla que trabaja a 800 kpa entra vapor de agua con una calidad de 90 %. Por la segunda entra agua a 30 ºC. La temperatura a la salida es de 150 ºC y el flujo másico es igual a 2 kg/s. Determínese la producción de entropía en el proceso de mezcla por unidad de tiempo, en kj/ºK s. Propiedades: Estado 1: P1=800KPa, X1= 90% => h1=721,11+0,9(2048,0) = 2564,31 s1= 2,0462+0,9(6,6628-2,0462 = 6,20114 Estado 2: P2 = 800 KPa, T2= 30ºC, => h2= 125,79 , s2= 0,4369 Estado 3: h3 = 632,2 , s3= 1,8418 · 2 · · 1 2 1 · 2 / 2kg   s m m m m       s kg  m  s kg  h h h h m h h h h m h h m h m h h m m h m h m 41534 , 0 5847 , 1 31 , 2564 79 , 125 ) 31 , 2564 2 , 632 ( 2 ) ( 2 2 2 ) ( 2 ) 2 ( 2 ) ( 1 · 1 2 1 3 2 · · 1 3 1 2 2 3 2 2 · 1 2 · 3 2 2 · · 1 2 2 · 1 1 ·                   

Del balance de entropía para VC.

 x  x  x  s m  s m  s m 2 1,8418 1,5847 0,4369 0,41534 6,20114 · · · ·         Solución

Datos: Cámara adiabática de mezcla, a 800KPa

Incógnitas: Producción de entropía por unidad de tiempo

Modelo: FEES

Metodología: Conservación de energía y segunda ley

(21)

Comentario: como la generación de entropía es mayor a cero, el proceso es irreversible, como se supone en un proceso de mezclado.

Ejemplo 6.8

En una turbina que funciona en régimen estacionario se expande dióxido de carbono desde 0.9 MPa. hasta 0.1 MPa. La temperatura inicial es de 587 oC y el proceso de

expansión obedece a la ecuación PV2 = 0.0294 MPa-m6/Kg2.

a) Si el proceso se realiza sin fricción, determínese el trabajo en eje en Kj/Kg. b) Determínese la temperatura final para el gas ideal en grados Celsius.

c) Empleando la Tabla A.9, determínese la magnitud y sentido del calor transferido en Kj/Kg.

d) Hágase un esquema del camino del proceso en un diagrama PV y señálese el área que representa el trabajo.

Solución

Datos: en el esquema

 Algunas conversiones:

587 oC = 860 K

Análisis:

a) Hallamos el trabajo en el eje

1 ) 1 2 (    n T  T  nR W 



1 2 860 287 18892 . 0 2    W   Kg   KJ  W  261.5 /

b) Determinamos la Temperatura Final

n n  P   P  T  T  1 1 2 1 2 

 

 

 

 

1/2 1 2 1 2             P   P  T  T    entonces 2 / 1 1 . 0 9 . 0 860 2            T   K  T 2 286.6 C  T 2 14o

c) El calor transferido se calcula a partir del balance de energía en régimen estacionario aplicado al volumen de control

2 1

0 qwh h ó q h2h1w... (I) De Tablas

(22)

T = 860 K h = 35296 KJ/Kmol * En el punto 2 T = 287 K Interpolando: T h 280 8697 287 X 290 9063

8697 9063

8697 290 280 287 280      X   Kmol   KJ   X 8753.2 / Reemplazando en (I)

8753.235296

217

 q  Kg   Kj kg   Kmol   Kmol   Kj q 217 / / 01 . 44 / 8 . 26542   q  382 KJ / Kg 

6.10 EXPRESIÓN DEL TRABAJO MECANICO EN REGIMEN ESTACIONARIO

 Al igual que se hizo para un sistema cerrado, es posible examinar la relación existente entre el trabajo internamente reversible y el trabajo real en un proceso en régimen estacionario.

Juntando la primera ley y segunda ley en régimen estacionario podemos llegar a una ecuación para trabajo estacionario.

) ( 2 2 1 2 1 2 2 2 1 .

 z 

w

est rev

vdP 

  (6.19)

Es preciso otro comentario con respecto a la ecuación: Para una variación dada la presión en un dispositivo de flujo estacionario que da o requiere trabajo, la cantidad de trabajo reversible se ve considerablemente afectada por el volumen específico del fluido. De ahí que generalmente de las corrientes gaseosas se obtenga mucho más trabajo que de las corrientes de líquidos, además, cuanto menor es el volumen específico, menor es el trabajo que necesita. Por tanto las bombas que trabajan con líquidos necesitan mucho menos trabajo reversible que los compresores de gases. Despreciando la EC y EP podemos observar que la ecuación 6.19 el trabajo FEES es el área contra P en un diagrama P-v

 Area

vdP 

(23)

Fig. 6.9 Representación gráfica del trabajo estacionario reversible.

Ejemplo 6.9

Hallar el trabajo de una bomba de agua, que eleva la presión desde 1 bar, como líquido saturado, hasta 30bar.

Solución:

Una solución sin el uso de tablas ni formulario, simplificando el problema será:

Trabajo reversible

(

2 1

)

2 1

.

vdP 

v

 P 

w

est rev

, para fluido incompresible, despreciando cambios en la energía cinética y potencial

W= 0,001.(3000-100)= 2,9 KW

Compare la compresión del vapor saturado de agua a las mismas condiciones ¿Cuán mayor es el trabajo del compresor?

La entropía y la generación de entropía en la vida diaria (Çengel)

La entropía mide el nivel de desorden, lo que se aplica otras áreas, la generación de entropía se puede considerar como una medida de desorden o desorganización generada durante un proceso. Veamos algunos ejemplos:

Las personas eficientes llevan vidas muy organizadas (de baja entropía), tienen un lugar para todo (incertidumbre mínima), por lo que emplean la menor energía para localizar algo. En cambio las personas desorganizadas, tienen una vida menos eficiente (alta entropía), pierden tiempo al querer encontrar algo, y aún aumentan el desorden por querer encontrar lo buscado (generan entropía), pues la búsqueda es desorganizada, no les alcanza tiempo, siempre están apurados y nunca se pueden poner al día.

Cuando el aprendizaje es organizado (buen hábito y método de estudio) es de baja entropía, crean una red de información sólida dentro de sus mentes. Por otro lado, las personas que arrojan la información de cualquier manera en la mente, sin el esfuerzo adecuado, creen que están aprendiendo, sin embargo no podrán recuperar ese conocimiento por lagunas mentales producto de la alta entropía. Se recomienda revisar los hábitos de estudio.

Una Biblioteca con buen sistema de clasificación y categorización es altamente organizada (baja entropía). Una biblioteca de alta entropía no sirve por su alto nivel de desorganización, pues al querer encontrar una información, tiendes a aumentar el desorden por la desesperación, perdiendo tiempo valioso.

Considere dos bibliotecas idénticas, cada uno con un millón de libros. En la primera los libros se amontonan unos encima de otros, mientras en la segunda, los libros están muy organizados, clasificados y catalogados para conseguir una referencia fácil: No hay duda cuál biblioteca preferimos usar. Pueden decir que desde el punto de vista de

(24)

la 1ra ley, ambas bibliotecas contienen la misma masa y el mismo conocimiento, pero a la luz de la segunda ley sabemos la utilidad de la segunda biblioteca tiene mayor utilidad. Por ello una comparación realista debe tener en cuenta la segunda ley.

Un país que consiste en 50 estados como EEUU es más poderoso que 50 países independientes, por ello también la Unión Europea, que se está convirtiendo en una superpotencia económica, política y de conocimientos, porque han reducido las fricciones, fomentan alianzas estratégicas de colaboración mutua; en cambio los otros países siguen divididos, y nunca podrán avanzar al ritmo de los países organizados como el G8 … ―divide y vencerás‖.

Sabemos que la fricción mecánica está acompañada de por la generación de entropía, por lo tano la eficiencia se reduce. De la misma manera, la fricción en el lugar de trabajo con los compañeros, genera entropía, afectando de manera adversa el desempeño laboral, reduciendo la productividad.

La expansión libre (explosión) genera entropía y son muy irreversibles. De la misma manera, hablar sin ninguna restricción para esparcir palabras de enojo, es altamente irreversible y puede causar daño considerable.

APLICACIONES DE ENTROPÍA

6.12 PROCESOS ISOENTROPICOS

Cuando la entropía de una sustancia no varía durante el proceso, el proceso se denomina isoentrópico  (entropía constante). Muchos dispositivos de interés en ingeniería son prácticamente adiabáticos. Así, los procesos isoentrópicos se utilizan como modelos idealizados con los que pueden compararse los procesos reales adiabáticos.

El diagrama T-s de la fig. 7.1 muestra el modelo elegido para un proceso adiabático real, en el que se produce un aumento de presión. Si un proceso internamente reversible se realiza adiabáticamente, el estado final 2s queda justo encima del 1 y el proceso es isoentropico o adiabático reversible, el área bajo el proceso es cero o calor cero.

Como condición límite, el proceso isentrópico es un estándar de comportamiento con el que pueden compararse los procesos adiabáticos reales como el proceso de 1 a 2, donde se ve el aumento de entropía. Por tanto, resulta útil estudiar cómo varían T, P y v en un proceso isentrópico o adiabático reversible y cómo se da un incremento de entropía en procesos reales o irreversibles..

(25)

Ejemplo

 A una turbina entra vapor con un flujo másico de 13 kg/s. a una presión de 30 bar y a una temperatura de 400 0C, y se descarga en el condensador a una presión absoluta

de 0.05 bar. Si el proceso es adiabático reversible, Calcule la potencia desarrollada por la turbina.

Solución

Datos: Turbina con 13 kg/s, 30 bar, 400ºC, descarga a 0,05 bar Modelo: FEES, con agua, proceso isoentrópico

Metodología: Plantear primera ley, con proceso isoentrópico Esquema:

Análisis

Haciendo un balance de energía, W m(h1 h2)

  Según la tabla,  K   Kg   KJ   s  Kg   KJ  h / 9212 , 6 / 9 , 3230 1 1  

Dado que el proceso es isentrópico, S2 =S1 = 6,9212 KJ/Kg K. Por otra parte, puesto

que s2<sg (a 0.05 bar), el vapor a la descarga de la turbina es mezcla. El proceso de

expansión se ilustra en la figura. Según la tabla, a 0.05 bar, hf= 137.82 KJ/Kg hfg= 2423.7 KJ/Kg sf = 0.4764 KJ/Kg K sfg=7.9187 KJ/Kg K En consecuencia, 814 . 0 8187 . 7 4764 . 0 9212 . 6 2 2       fg   f    s  s  s  x  Además, kg  kJ  h h h  f    fg  / 71 . 2110 ) 7 . 2423 )( 814 . 0 ( 82 . 137 2      Por último, W 13(3230,92110,71 14562,47kW  

(26)

Comentarios: Si el proceso es irreversible habrá incremento de entropía y la potencia será menor.

7.12.1 ISOENTROPIA DE GAS IDEAL

La evaluación de isoentropía de un GI puede ser con calores específicos variables o aprovechando su poca variación, con calores específicos constantes o promedio

a) USO DE CAPACIDADES TÉRMICAS ESPECÍFICAS VARIABLES PARA GI

Para conseguir una buena precisión en el cálculo de un proceso isoentrópico en el que interviene un gas ideal es necesario tener en cuenta la variación de las capacidades térmicas con la temperatura, la forma más directa de conseguir esto consiste en utilizar las siguientes ecuaciones:

cte S   P   P   R S  S  S  o  o     ln 0, 1 2 1

2

,

operando esta ecuación podemos llegar a:

0 ln 1 2 0 1 0 2  

 P 

 P 

 s

 s

R   (7.1)

 P 

 P 

 P 

 P 

r  r   s 1 2 1 2                (7.2)

v

v

v

v

r  r   s 1 2 1 2

 

 

 

 

  (7.3)

Los valores de las presiones y volúmenes relativos están tabulados para diferentes presiones, por lo tanto se usan directamente las ecuaciones 7,2 y 7,3 para procesos isentrópicos.

b) USO DE CAPACIDADES TÈRMICAS ESPECÍFICAS CONSTANTES Y MEDIAS En algunos procesos en los que intervienen gases, resulta apropiado suponer que las capacidades térmicas son constantes, o bien que se puede utilizar un valor medio.  Al desarrollar las relaciones de isoentropía con esta condición es útil introducir otra

propiedad intrínseca, el cociente de capacidades térmicas, más conocido como índice adiabático ―k=

c

c

v  p k       (7.4)

En los procesos isoentrópicos ―Δs‖ = 0, de ahí se obtiene

las siguientes

ecuaciones.

                                   

 R

o

 s

e

 R

o

 s

e

 P 

 P 

T  T  ) ( ) ( 1 2

1

2

(27)

k  k 

 P 

 P 

1 1 2 1 2                 (7.6) k 

v

v

 P 

 p

 

 

 

 

2 1 1 2 ó 1 2 1 1 1 2 1 2                                    K   K   K  v v  P   P  T  T    (7.7)

Estas ecuaciones son suficientemente precisas cuando la variación de temperaturas en los procesos no excede en algunos cientos de grados. Normalmente se usan las capacidades térmicas a condiciones frías (del ambiente)

6.12.2 RELACIONES DE ISOENTROPIA PARA SUSTANCIAS INCOMPRESIBLES Si la capacidad térmica específica de una sustancia incompresible es básicamente constante, su variación de entropía específica viene dada por la ecuación:

c

m  s 1 2 ln

  (7.8)

Si utilizamos como base la ecuación anterior, un proceso isentrópico llevado a cabo por una sustancia incompresible es aquel en el que T2 = T1. Es decir, la temperatura no varía si no varía la entropía.

Como resultado, puesto que para una sustancia incompresible du = c.dT, en un pr oceso isoentrópico ―Δu‖ = 0

En resumen, cuando el fluido se modela como incompresible y el proceso se modela como isoentrópico, el volumen especifico, la entropía específica, la temperatura y la energía interna específica son constantes. Sin embargo, propiedades como la presión, la entalpía, la velocidad y la altura pueden variar significativamente durante los procesos de flujo.

6.13 RENDIMIENTO ADIABATICO DE DISPOSITIVOS EN REGIMEN ESTACIONARIO

Las irreversibilidades acompañan necesariamente a las corrientes fluidas en los dispositivos estacionarios reales y degradan el comportamiento de estos dispositivos. Resulta útil disponer de parámetros para comparar el comportamiento real con el que se alcanzaría en condiciones ideales. En el desarrollo de estos parámetros es necesario conocer que el flujo real a través de muchos dispositivos de ingeniería es prácticamente adiabático. El comportamiento ideal de los equipos adiabáticos tiene lugar cuando el flujo es también internamente reversible, por tanto, isoentrópico. Así, una buena medida para ver si se consigue, consiste en comparar el comportamiento real con el comportamiento que tendría en condiciones isoentrópicas. Esta comparación se expresa mediante un parámetro conocido como rendimiento adiabático o isoentrópico de un dispositivo.

6.13.1 EFICIENCIA ISOENTRÓPICA DE UNA TURBINA

El objetivo de la turbina es producir trabajo, Por tanto, el rendimiento adiabático de la turbina se define como el coeficiente entre el trabajo de salida real y el trabajo de salida isoentrópico, que se obtendría si el flujo se expansionase desde el mismo estado de entrada hasta la misma presión de salida. Es decir:

(28)

 s  sal   s  sal  T  h h h h

w

w

2 1 2 1 .

 

  (7.9)

Donde el subíndice ―s‖ representa el proceso adiabático e internamente reversible. El diagrama h-s de la fig 7.2 muestra la relación existente entre el término del trabajo real h1-h2 y el término del trabajo isoentrópico h1-h2s. Observe que la eficiencia es la menor diferencia de entalpías entre la mayor diferencia de entalpías, por lo tanto siempre será menor a 1 ó 100%.

Fig. 7.2 Diagrama hs en el que se comparan las variaciones de entalpía en los procesos real e isoentrópico de una turbina.

Ejemplo

Por una turbina cuya eficiencia es de 80% fluye 8 kg/s de vapor a una presión de 35 bar y una temperatura de 400 0C; lo descarga en un condensador con una presión de

0.05 bar. Calcule la potencia desarrollada por la unidad. Solución

Datos: 8 kg/s de vapor a 35 bar 400ºC y descarga a 0,05 bar Hallar: la potencia de la turbina

Análisis:

El trabajo isentrópico de una turbina es W  s  m(h1 h2 s)

Según el diagrama de Mollier (fig A8), a una presión de 35 bar y a una temperatura de 400 0C,

h1= 3222 kJ/kg

S1=6.84 kJ/kg K

De este punto se puede trazar una línea vertical (entropía constante) hasta intersecar la línea de presión igual a 0,05 bar. En este último punto se obtiene,

(29)

) 2 1 (  s  s real  h h m W  W            Sustituyendo valores,  KW  W  kg   KJ   s kg  W  real  real  4 , 7270 / ) 2086 3222 ( / 8 ) 8 , 0 (       

Comentario: En el diagrama podemos observar que el estado final es a la derecha, y podríamos encontrar la entalpía de salida (2) real, aún no se sabe si es VSC o mezcla. ¡Compruebe Ud.!

6.13.2 EFICIENCIA ISOENTRÓPICA DE UNA TOBERA

Una tobera es un conducto construido para acelerar el fluido, es decir, aumentar su velocidad para aumentar su energía cinética. Por tanto, el rendimiento adiabático o isoentrópico de una tobera se define como:

 s  s cs c tob h h h h V  V  V  V 

e

e

2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2

 

  (7.10)

Si la velocidad de entrada es pequeña comparada con la de la salida, la

2 2 2 2 1 V  h h  

Los rendimientos de las toberas suelen ser superiores al 90 %. En las toberas convergentes utilizadas en corrientes subsónicas es normal encontrar rendimientos de 0.95 o superiores.

El diagrama entalpía – entropía de la fig. 7.3 corresponde a una tobera adiabática en la que se desprecia la velocidad a la entrada.

Fig. 7.3 diagrama h-s en el que se comparan las variaciones de entalpía en los procesos real e isoentrópico de una tobera.

6.13.3 TRABAJO DE UN COMPRESOR Y RENDIMIENTO ADIABATICO E ISOTÉRMICO

(30)

2 1

vdp

w

n 1 n  p C v C  pv

dp

P

C

w

2 1 n 1 n 1

n

n

 p

 p

w

n n n n n

1

1 1 1 2 1





  Reemplazando

C

 p1v1

n

 p2v2

n

1

n

)

.p

v

 p

 p

.

v

n(p

w

n 1 n 1 n 1 1 n 1 n 2 n 2 2

 

Efectuando el producto de potencias de Igual base:

1

-n

)

v

 p

v

n(p

w

2 2

1 1

Reemplazando pv = RT obtenemos una segunda expresión:

1

-n

)

T

-nR(T

w

2 1

Dado que son las presiones desde y hasta la cual se comprime, las propiedades de mayor Importancia en el proceso de compresión, deduciremos una expresión que nos permita calcular el trabajo en función de la relación de estas presiones.

 A partir de la expresión

1 -n 1) /T (T nRT w

1 2 1

De la relación: n 1 n 1 2 1 2

 p

 p

T

T



 

 



 

 



 

 



 

 

1

1

1 2 1 n n

 p

 p

n

nRT 

w

(31)

POTENCIA: La potencia es determinada como el producto de la masa aspirada por unidad de tiempo, m. por el trabajo efectuado por o sobre la sustancie de trabajo:

w

m

W

 

 Así, por ejemplo, a partir de la expresión



 

 



 

 

  1  p  p 1 -n RT m n n 1 n 1 2 1

W

 O reemplazando: p1 V1 mRT    En donde 1 

V    representa el flujo volumétrico al compresor o volumen aspirado por unidad de tiempo.



 

 



 

 

 

1

 p

 p

1

-n

V

 p

n

n 1 n 1 2 1 1

W

 Donde:  W : Potencia en Kw. 2 1 y p  p : Presiones en kPa 1 V 

: Volumen -aspirado por unidad de tiempo en m3/s

n

: Índice o exponente politrópico cuyo valor depende del proceso, generalmente n= 0,35 2 1 y T T : Temperaturas, en K PROCESO ISOENTROPICO Exponente politrópico n = k

Importancia: Proceso de comparación de los compresores en los que la transferencia de calor al exterior es nula o despreciable:

(32)

Trabajo: Anotamos sólo las expresiones más usadas por cuanto se obtendrá reemplazando en. Cualquiera de las expresiones anteriores, n = K:

1)

 p

 p

(

1

-k 

kRT

w

k  1 k  1 2 1 k 

)

T

(T

1

-k 

kRT

w

2

1 Dado que: 1 k  kR  Cp   wCp(T2 T1) Es decir: w (h2 h1) Lo cual se verifica 1 2 h h w q  

Recordamos que si el proceso es adiabático: q = 0 PROCESO ISOTERMICO

Exponente politrópico: n = 1

Importancia: proceso de comparación de los compresores lentos y con un sistema de refrigeración bastante capaz.

Fig. 7.5. Proceso isotérmico de compresión

Trabajo: si reemplazamos n = 1 en las expresiones obtenidas para el proceso politrópico, tendremos el problema de Indeterminación y debería procederse a levantar la Indeterminación; sin embargo, preferimos obtener el trabajo a partir de:

2 1

vdp

w

Donde:

 p

c

v

c

 pv

dp

Figure

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