CAPÍTULO 3: 3: EL EL TENSOR DE DE DEFORMACIÓN

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(1)

CAPÍTULO 3:

EL TENSOR DE DEFORMACIÓN

CAPÍTULO 3:

EL TENSOR DE DEFORMACIÓN

CAPÍTULO 3:

EL TENSOR DE DEFORMACIÓN

1. Concepto de desplazamiento y deformación. 2. Deformación en el entorno de un punto.

3. Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro. 4. El vector deformación. Componentes intrínsecas.

5. Correlación entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones. 6. Tensor esférico y tensor desviador.

7. Ecuaciones de compatibilidad.

8. Obtención del vector desplazamiento a partir del tensor de deformación 9. Tensión plana

(2)

CAPÍTULO 3:

EL TENSOR DE DEFORMACIÓN

CAPÍTULO 3:

EL TENSOR DE DEFORMACIÓN

CAPÍTULO 3:

EL TENSOR DE DEFORMACIÓN

1. Concepto de desplazamiento y deformación. 2. Deformación en el entorno de un punto.

3. Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro. 4. El vector deformación. Componentes intrínsecas.

5. Correlación entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones. 6. Tensor esférico y tensor desviador.

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Q’

P(x,y,z)

P’

r

d

dz

dy

dx

=

Q(x+dx,y+dy,z+dz)

δ

δ

δ

+

d

δ

δ

d

r

d

'

dr

Desplazamientos en el entorno de un punto: Deformación

2D

Ya es sabido que los puntos de un sólido sometidos a unas solicitaciones sufren una variación de posición en el espacio. El vector que una las posiciones inicial y final de un punto es

el

vector desplazamiento

.

Sus componentes son los

desplazamientos

o

recorridos

.

w

v

u

p

=

,

,

δ

r

La deformación puede ser de dos tipos: LINEAL que representa el alargamiento lineal

unitario y

ANGULAR que representa la variación angular.

La deformación lineal es propiedad del punto y de la dirección respecto de la que se está calculando el alargamiento. La deformación angular es propiedad del punto y de las dos

(4)

P(x,y,z)

P’(x+u,y+v,z+w)

w

v

u

=

dz

dy

dx

dr

Q(x+dx,y+dy,z+dz)

r

d

'

dr

P’

P(x,y,z)

Q’

w

v

u

v+dv

u+du

w+dw

δ

δ

δ

+

d

3D

Desplazamientos en el entorno de un punto: Deformación

Si dos puntos P y Q de un sólido elástico están infinitamente próximos los desplazamientos de ambos serán similares.

Luego pueden desarrollarse en serie de Taylor las componentes del vector desplazamiento del punto Q en torno a P.

(esto es similar a lo que se hizo con el tensor de tensiones)

(5)

P(x,y,z)

P’(x+u,y+v,z+w)

w

v

u

Desplazamientos en el entorno de un punto: Deformación

3D

Q

Q’

Por tanto, el desplazamiento de Q será:

Que puede representarse matricialmente así:

donde esta matriz puede notarse como M:

que, por ser una matriz cuadrada, puede descomponerse en una matriz

simétrica y otra antisimétrica:

El primer sumando es el

tensor de deformaciones

y el segundo la

matriz de

giro

Los vectores desplazamiento de P y Q son:

k w j v i u k w j v i up p p Q Q Q Q p r r r r r r + + = + + = δ δ ;

(6)

x

y

dx

dy

Significado físico del TENSOR DE DEFORMACION y

de la MATRIZ DE GIRO

TENSOR DE DEFORMACION

secuencia de deformación de un cuadrilátero elemental

Análogamente se define la matriz de giro, cuya

(7)

dx

dy

x

y

dx

x

u

u

+

u

x

y

significado físico

La secuencia anterior puede analizarse descomponiéndola en tres fases:

1.- Desplazamiento según OX de todo el sólido (+deformación) 2.- Desplazamiento según OY de todo el sólido (+deformación)

3.- Giro

DESPLAZAMIENTO SEGÚN OX: Si el desplazamiento de A y B es u, el de

C y D puede obtenerse desarrollando en serie en torno al origen, y considerando

sólo la variación según X

A

B

C

D

En la dirección del eje OX la deformación que se obtiene es:

que es el término

ε

xx del tensor de deformaciones.

l

l

=

ε

( )

x u dx u dx x u u dx dx δ δ δ δ = − + = ∆ Recordando la definición de deformación lineal:

(8)

dx

dy

x

y

dy

y

v

v

+

v

x

y

significado físico

DESPLAZAMIENTO SEGÚN OY: Si el desplazamiento de B y D es v, el de

A y C puede obtenerse desarrollando en serie en torno al origen, y considerando

sólo la variación según Y. (lo mismo que en el caso anterior)

A

B

C

D

En la dirección del eje OY la deformación que se obtiene es:

que es el término

ε

yy del tensor de deformaciones.

l

l

=

ε

( )

y

v

dy

v

dy

y

v

v

dy

dy

δ

δ

δ

δ

=

+

=

Recordando la definición de deformación lineal:

(9)

dx

dy

x

y

v

=

+

+

dx

)

x

u

dx

(

x

v

v

=

+

+

=

dx

x

u

1

x

v

v

dx

x

v

v

+

=

desp.

=





+

+

=





+

+

dy

y

v

1

y

u

u

dy

y

v

dy

y

u

u

u

dy

y

u

u

+

=

desp.

x

y

significado físico

GIRO:

Aquí se puede apreciar la variación del ángulo; de modo que el ángulo inicial BAC de 90º se transforma a 90º+α-β

(ahora ya no hay cambio de tamaño)

A B

C D

(10)

dx

dy

x

y

v

dx

x

v

v

+

u

dy

y

u

u

+

α

β

x

y

significado físico

Puede apreciarse que α=δv////δx

;

como entre A y B hay una variación de la coordenada x, si se desarrolla en serie el desplazamiento en torno al punto A, para hallar el desplazamiento de C

sólo influirá la variación con el eje x.

El desplazamiento, según el eje y, de C será v+δv////δx, pues v es el desplazamiento de A, por

tanto:

α

δ

δ

δ

δ

α

=

+

=

x

v

dx

v

dx

x

v

v

tan

esto es así porque, como las deformaciones son

pequeñas, los ángulos serán pequeños, con lo que la tangente se asimila al ángulo.

A C

B D

el mismo razonamiento sirve pata determinar que β=δu////δy

(11)

α

β

x

y

ω

δ

δ

π

/4

π

/4

4 π = ω − δ + α 4 π = ω + δ + β

De modo que la variación del ángulo de deformación es α+β=δv////δx+δu////δy = γ

expresión que es el doble del término εxy o εyx (recuérdese que en el tensor de deformación se ha definido la deformación tangencial εxy como la mitad del ángulo girado en la

deformación del sólido), de modo que se verifica esta identidad. Por este motivo, en ocasiones el tensor de deformación se escribe así:

z yz xz yz y xy xz xy x

ε

γ

γ

γ

ε

γ

γ

γ

ε

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

SIGNIFICADO FISICO DE LAS

COMPONENTES DE LA MATRIZ DE GIRO

Para determinar el giro de una sección se considerará el giro de la bisectriz del ángulo que,

antes de la deformación, era de 45º con la horizontal.

La bisectriz, debido al efecto del ángulo α, girará α/2, y debido a β, girará β/2, con lo que el giro total

de la sección será de ½—(δu/δy-δv/δx), expresión que coincide con el término hyxde la matriz de giro. Por tanto las componentes de la MATRIZ DE GIRO

representan el giro del prisma elemental en cada plano coordenado. Este hecho justifica su

denominación.

[ ]

=

zz zy zx yz yy yx xz xy xx

h

h

h

h

h

h

h

h

h

H

(12)

CAPÍTULO 3:

EL TENSOR DE DEFORMACIÓN

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EL TENSOR DE DEFORMACIÓN

CAPÍTULO 3:

EL TENSOR DE DEFORMACIÓN

1. Concepto de desplazamiento y deformación. 2. Deformación en el entorno de un punto.

3. Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro. 4. El vector deformación. Componentes intrínsecas.

5. Correlación entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones. 6. Tensor esférico y tensor desviador.

(13)

SIGNIFICADO FISICO. COMPONENTES INTRINSECAS

Recordando la relación entre el desplazamiento relativo de dos puntos infinitamente cercanos con el tensor de

deformación y la matriz de giro,

el segundo término término, que consituye la matriz de giro, representa el giro como sólido rígido de un punto respecto a otro y el término que depende de la deformación

será:

donde dr es el vector de posición. Dividiendo por el módulo del vector de posición se obtiene la expresión inicial del

vector deformación. De modo que el vector deformación expresa la variación

de una dirección en el proceso de deformación.

Esa variación puede descomponerse en una variación de longitud (componente

normal) y en una variación angular (componente angular).

[ ]

dr d r r r ⋅ =

ε

δ

( )

angular

normal

n

n t n

=

=

=

2 2

2

1

ε

ε

γ

ε

ε

ε

r

r

r

P

P’

Q

r d

Q’

δ δ d ' dr

Del mismo modo que se definió un vector tensión puede definirse un vector deformación, asociado a un punto y a una dirección. Este vector deformación puede obtenerse a partir del tensor de deformación, asociado a un punto, y de la normal al plano a partir de

esta expresión:

[ ]

r

n

r

r

=

ε

ε

r d δ d ' dr

r

d

2

1

γ

ξ

r

d

n

r

ε

+

1

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CAPÍTULO 3:

EL TENSOR DE DEFORMACIÓN

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EL TENSOR DE DEFORMACIÓN

CAPÍTULO 3:

EL TENSOR DE DEFORMACIÓN

1. Concepto de desplazamiento y deformación. 2. Deformación en el entorno de un punto.

3. Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro. 4. El vector deformación. Componentes intrínsecas.

5. Correlación entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones. 6. Tensor esférico y tensor desviador.

(15)

•Tensor simétrico n

,

σ τ

I

,

II

,

III

σ σ σ

I

,

II

,

III

η η η

2 2 2 2 2 2 I II III x y z 1 + + = σ σ σ oct 1 I 3 σ = oct 2 2 2 1 2 9I 3I τ = − O oct I σ = σ % %D oct I σ = σ − σ % % % 1 x y z I II III I = σ + σ + σ = σ + σ + σ 2 I II I III II III 2 2 2 x y x z y z xy xz yz I = σ σ + σ σ + σ σ = = σ σ + σ σ + σ σ − τ − τ − τ 3 I = det( )σ % •Componentes intrínsecas •Elipsoide de Lamé •Circulos de Möhr

•Tensiones y direcciones principales

TE

NS

IÓN

•Invariantes

•Tensiones octaédricas

•Tensión plana

•Tensor esférico y desviador

•Tensor simétrico

ε

1

γ

n

,

2

ε ε ε

I

,

II

,

III

η η η

I II III

,

,

,

,

,

+ + = ε ε ε 2 2 2 2 2 2 I II III x y z 1 ε =oct 1 J 3 τ =oct 2 − 1 2 2 1 2 2 9J 3J O oct I ε = ε % %D oct I ε = ε − ε % % % = ε + ε + ε = ε + ε + ε 1 x y z I II III J = ε ε + ε ε + ε ε = = ε ε + ε ε + ε ε − ε − ε − ε 2 I II I III II III 2 2 2 x y x z y z xy xz yz J = ε % 3 J det( ) •Componentes intrínsecas •Elipsoide de Lamé •Circulos de Möhr

•Deformaciones y direcciones principales

DE

FO

RM

AC

IÓN

•Invariantes •Deformaciones octaédricas •Deformación plana

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CAPÍTULO 3:

EL TENSOR DE DEFORMACIÓN

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EL TENSOR DE DEFORMACIÓN

CAPÍTULO 3:

EL TENSOR DE DEFORMACIÓN

1. Concepto de desplazamiento y deformación. 2. Deformación en el entorno de un punto.

3. Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro. 4. El vector deformación. Componentes intrínsecas.

5. Correlación entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones. 6. Tensor esférico y tensor desviador.

7. Ecuaciones de compatibilidad.

8. Obtención del vector desplazamiento a partir del tensor de deformación 9. Tensión plana

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CAPÍTULO 3:

EL TENSOR DE DEFORMACIÓN

1. Concepto de desplazamiento y deformación. 2. Deformación en el entorno de un punto.

3. Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro. 4. El vector deformación. Componentes intrínsecas.

5. Correlación entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones. 6. Tensor esférico y tensor desviador.

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x

y

z

dx

dz

dy

Incremento unitario de volumen

(

1 x

)

dx +ε

(

1 z

)

dz +ε

( )

1 y dy +ε Un

invariante

de un tensor es un valor del mismo que permanece inalterable si cambia el sistema de referencia. Supóngase que el prisma de la figura se ha deformado alargándose o acortándose en cada

dirección del espacio.

El alargamiento que sufren las tres direcciones en el espacio será:

( )

dx

=

x

dx

( )

dy

=

y

dy

( )

dz

=

z

dz

ε

;

ε

;

ε

Consecuentemente, el incremento de volumen del sólido será:

( )

dz

dy

dx

V

V

V

x y x z y z x y x z y x inicial final

+

+

+

+

+

+

+

=

=

=

=

)

(

...

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

Pero los dobles y triples productos de infinitésimos son despreciables, por lo que

la expresión queda reducida a:

(

)

dx

dy

dz

V

=

x

+

y

+

z

ε

ε

ε

En el caso de que el incremento de volumen fuese unitario el producto dx—dy—dz=1, por lo que su valor sería igual al primer invariante del tensor

de deformaciones.

Por otra parte se ha enunciado que el tensor esférico dependía únicamente del primer invariante; y se acaba de ver que el primer

invariante del tensor de deformaciones representa un cambio unitario de volumen, luego se demuestra que el tensor esférico se

(19)

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EL TENSOR DE DEFORMACIÓN

1. Concepto de desplazamiento y deformación. 2. Deformación en el entorno de un punto.

3. Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro. 4. El vector deformación. Componentes intrínsecas.

5. Correlación entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones. 6. Tensor esférico y tensor desviador.

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Matemáticamente, todo campo de deformaciones debe mantener la continuidad del sólido. Y para que un sólido deformado sea continuo, ha de verificar una serie de condiciones derivadas de las expresiones

escritas arriba a la derecha.

Hasta ahora se ha demostrado la existencia de un tensor de

deformaciones que, a partir del campo de desplazamientos, permite conocer un campo de deformaciones mediante

la aplicación de las expresiones del

mismo (a la derecha del todo)

z yz xz yz y xy xz xy x

ε

γ

γ

γ

ε

γ

γ

γ

ε

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

x w z u y w z v x v y u z w y v x u xz yz xy z y x δ δ δ δ γ δ δ δ δ γ δ δ δ δ γ δ δ ε δ δ ε δ δ ε + = + = + = = = =

Por tanto, el conocimiento de un campo de

desplazamientos que en cada punto tome un sólo valor y continuo conduce a la determinación de un campo de

deformaciones, mediante la aplicación de las expresiones anteriores; pero,… ¿cualquier tensor de

deformaciones lleva asociado un campo de desplazamientos, o es necesario que se verifiquen

algunas condiciones adicionales?

Puede enfocarse esta cuestión suponiendo que cada punto del sólido es un paralelepípedo elemental al que se asocia un

tensor de deformaciones.

Si el sólido se deforma se deformarán cada uno de esos infinitos paralelepípedos; las deformaciones serán compatibles si, después de haberse efectuado, esos infinitos paralelepípedos

se pueden montar como un inmenso rompecabezas, y no lo serán si tras la deformación no pueden montarse.

De modo que, haciendo las derivadas parciales segundas de las deformaciones: Se observa que:

Que es la ECUACION DE COMPATIBILIDAD en el plano XY

(21)

El proceso de determinación del resto de

ecuaciones continúa del siguiente modo: De estas tres expresiones se

suma la primera con la segunda, se le resta la tercera

y se divide el resultado entre dos. El segundo término de la expresión obtenida se obtiene derivando εx respecto de yy de z, con lo que se obtiene la

CUARTA ECUACION DE COMPATIBILIDAD: Y de modo similar se obtienen la QUINTA Y LA XEXTA:

RESUMIENDO:

Por tanto se ha demostrado, no sin cierta pericia matemática, que si las deformaciones llevan asociados unos desplazamientos univaluados (que en

cada punto toman un solo valor) y continuos, existen unas condiciones adicionales (estas seis ecuaciones de compatibilidad) que han de verificarse

necesariamente.

Del mismo modo puede demostrarse que si las deformaciones cumplen las

ecuaciones de compatibilidad, éstas son suficientes para obtener un campo

de desplazamientos univaluado y continuo.

(22)

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1. Concepto de desplazamiento y deformación. 2. Deformación en el entorno de un punto.

3. Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro. 4. El vector deformación. Componentes intrínsecas.

5. Correlación entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones. 6. Tensor esférico y tensor desviador.

7. Ecuaciones de compatibilidad.

(23)

El procedimiento deductivo es similar a los anteriores; deducir lo

que ocurre en un punto infinitamente próximo a otro considerado, desarrollando en serie las expresiones de partida.

En concreto, para este caso, se supondrá que se conoce el tensor de deformaciones compatible y se desean conocer las componentes del

desplazamiento de un punto; se sabe que las componentes del desplazamiento de un punto infinitamente cercano, separado de éste un

vector (dx,dy,dz), al punto (x0,y0,z0) son (se escribe sólo la primera):

(

x

y

z

) (

u

x

y

z

)

dx

(

h

)

dy

(

h

)

dz

u

,

,

=

0

,

0

,

0

+

ε

x

+

ε

xy

+

xy

+

ε

xz

+

xz

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

+

+

+

+

+

=

=

+

+

+

=

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

,

,

,

,

,

,

P P xz xz P P xy xy P P x P P P P P P

dz

h

dy

h

dx

z

y

x

u

dz

z

u

dy

y

u

dx

x

u

z

y

x

u

z

y

x

u

ε

ε

ε

δ

δ

δ

δ

δ

δ

Para conocer las componentes del vector desplazamiento de un punto cualquiera, de coordenadas

(x1,y1,z1), hay que integrar la expresión anterior:

El desarrollo de la expresión exige la integración por partes de las componentes de la matriz de giro; se desprecian los infinitésimos de segundo orden, se agrupan términos, se simplifica

y, finalmente, resulta la componente des desplazamiento según la coordenada xa

partir del tensor de deformaciones:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

z z

)

dz x z dy z z x z dx z z x z dz y y x y dy y y y x dx y y x y z z h dz dy dx u u P P z xz P P yz xy P P xz x P P xy xz P P xy y P P xy x P P P xy xz P P xy P P x 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 ] − ⋅       − + − ⋅       − + + − ⋅       − + − ⋅       + + + − ⋅       + − + − ⋅       − + + + ⋅ + + + + =

δ

δε

δ

δε

δ

δε

δ

δε

δ

δε

δ

δε

δ

δε

δ

δε

δ

δε

δ

δε

δ

δε

δ

δε

ε

ε

ε

Análogo procedimiento permite obtener el resultado para las otras dos componentes en el espacio (vy w)

De modo que se habrán determinado tres expresiones que permiten conocer el desplazamiento dededede un punto cualquiera conocidos el desplazamiento enenenen otro punto cualquiera, la matriz de giro y el tensor de deformaciones en todo el dominio.

(24)

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EL TENSOR DE DEFORMACIÓN

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1. Concepto de desplazamiento y deformación. 2. Deformación en el entorno de un punto.

3. Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro. 4. El vector deformación. Componentes intrínsecas.

5. Correlación entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones. 6. Tensor esférico y tensor desviador.

7. Ecuaciones de compatibilidad.

8. Obtención del vector desplazamiento a partir del tensor de deformación 9. Deformación plana

(25)

Existen determinados problemas que se pueden representar por un tensor de deformaciones de

segundo orden; son los problemas de DEFORMACION PLANA.

En este tipo de situaciones la deformación según la dimensión mayor es nula: suponiendo que en esa dirección se establezca el eje OZ serían nulos los

términos εx, γxz y γyz, luego el tensor de deformación se puede reducir a:

[ ]





=

y xy xy x

ε

γ

γ

ε

ε

2

1

2

1

r

Físicamente estos problemas responden a sólidos en los que una dimensión es mucho mayor que las

otras dos y las fuerzas se encuentran aplicadas según esas dos dimensiones menores.

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