Una extensión a la transformada de fourier, transformada Taylor-Fourier

128  12  Descargar (0)

Texto completo

(1)

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

DIVISIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO

UNA EXTENSIÓN A LA TRANSFORMADA DE FOURIER,

TRANSFORMADA TAYLOR-FOURIER

POR

MIGUEL ANGEL PLATAS GARZA

TESIS

EN OPCIÓN AL GRADO DE DOCTOR EN INGENIERÍA

ELÉCTRICA

(2)

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

DIVISIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO

UNA EXTENSIÓN A LA TRANSFORMADA DE FOURIER,

TRANSFORMADA TAYLOR-FOURIER

POR

MIGUEL ANGEL PLATAS GARZA

TESIS

EN OPCIÓN AL GRADO DE DOCTOR EN INGENIERÍA

ELÉCTRICA

(3)

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

DIVISIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO

Los miembros del omité de tesis re omendamos que la tesis Una

extensión a la transformada de Fourier, transformada Taylor-Fourier

realizada por Miguel Angel Platas Garza, matrí ula número 1103410 , sea

a eptadaparasudefensa omoop iónalgradodeDo torenIngenieríaElé tri a.

(4)
(5)

Quiero expresar mi más sin ero agrade imiento a mi familia, espe ialmente a

mi esposa Miriam por el apoyo moral y la ompañía que siempre me ha brindado,

a mis hijos Miguel y Leonardo, a mis abuelos Raymundo y Ester, y a mis padres

Miguel y Ester Patri ia.

Amiasesor,elDr.JoséAntoniodelaOSernaleagradez oelintrodu irmeenel

tema,así omosus valiosassugeren iaseinterésalolargodeestetrabajo.Agradez o

también a los miembros del omité de tesis: Dr. Mar o Tulio Mata Jiménez, Dra.

GinaMaríaIdárragaOspina,Dr.RamónM.RodríguezDagninoyalDr.JoséRamón

Rodríguez Cruz larevisión delpresente trabajo.

Al Consejo Na ional de Cien ia y Te nología por el apoyo e onómi o para la

realiza ión de misestudios.

Alosprofesores, alumnosypersonaldelDo toradoen IngenieríaElé tri ay a

todas las personas que ontribuyeron de una forma u otra en la realiza ión de este

trabajo.

(6)

Una extensión a la transformada de Fourier,

transformada Taylor-Fourier

Publi a iónNo.

Miguel Angel Platas Garza

Universidad Autónomade Nuevo León

Fa ultad de Ingeniería Me áni ay Elé tri a

Asesor: Dr.José Antonio de laO Serna

Agosto del2011

La estima ión armóni a es un tema de importan ia en mu has áreas de

la ingeniería. Comúnmente la herramienta matemáti a usada para realizar di ho

análisis es transformada de Fourier dis reta (Dis rete Fourier Transform, DFT).

A pesar de ser una ex elente té ni a para estimar las omponentes armóni as de

una se uen ia periódi a, la DFT presenta errores uando la señal no umple on la

propiedad ideal de periodi idad.Porejemplo, uandoel sistemaque generala señal

es sometido a un transitorio. Lo anterior se debe a que la DFT solamente generan

una base ompleta para se uen ias periódi as.

La propuesta del presente trabajo es desarrollar una extensión al análisis de

Fourier al representar el omportamiento de ada armóni a por una fun ión suave

(envolvente ompleja) en lugar de un oe iente onstante ( oe iente de Fourier).

El propósito de esta expansión es el mejorar las estima iones de las omponentes

armóni as ante os ila ioneslimitadas en banda.

Laextensiónre ibeelnombre de transformadaTaylor-Fourier(Taylor Fourier

Transform,TFT)yaqueestá basadaen laexpansiónde ada omponentearmóni o

en suserie de M Laurin. Por lo tanto, los oe ientes de laTFT poseen signi ado

(7)

seobtienenmejoresestimadosde lasenvolventes omplejasdebidoalhe hodequeel

subespa io generado por labase de Fourier se en uentra ontenido en el subespa io

generado porlabase de laTFT.

Con respe to a la implementa ión, se tiene que en el aso dis reto todos los

oe ientespuedenser al uladosalavezmedianteunatransforma iónlineal,la ual

asuvezpuedeservista omounban odeltrosFIRmáximamentelisos.Estosltros

poseen ganan ias idénti as a las de diferen iadores ideales en ve indarios alrededor

de las fre uen ias armóni as. Por lo tanto se produ en buenos estimados uando el

ontenido fre uen ia de la señal se en uentra en estos ve indarios, es de ir uando

las armóni as evolu ionan de manerasuave.

Se desarrollan diversos métodos para redu ir la arga omputa ional del

estimador presentado. Los métodos abar an las etapas de diseño e implementa ión

delmismo.Se presentaun métodobasadoen latransformadarápidadeFourier(Fast

Fourier Transform,FFT) y dos métodos basadosen laspropiedades de larespuesta

en fre uen ia delestimador.

Finalmente, se presenta una serie de ejemplos para omparar eldesempeño de

la TFT on el de la FFT. Es importante re al ar que el desempeño se ompara

usando señales de sistemas físi os y no simula iones. Como ejemplos se utilizan

señales provenientes de sistemas elé tri os de poten ia bajo os ila iones, señales

de presión arterial, y por último se presenta la implementa ión del algoritmo en

(8)

Lista de guras xi

Lista de tablas xiii

A rónimos xiv

Nomen latura xv

Introdu ión 1

1. Expansión de señales y análisis de Fourier 11

1.1. Expansiones lineales de señal. . . 11

1.1.1. Expansiones ortonormales . . . 12

1.1.2. Expansiones biortogonales . . . 15

1.1.3. Proye iones ortogonales y mínimos uadrados . . . 16

1.1.4. Expansiones para señales en tiempo ontinuo. . . 17

1.1.5. Expansiones para señales en tiempo dis reto . . . 18

1.2. Análisis de Fourier . . . 19

1.2.1. La Transformada dis retade Fourier . . . 20

1.2.2. La DFT omo transforma iónlineal . . . 21

1.2.3. Respuesta en fre uen iade la DFT . . . 22

2. La transformada Taylor-Fourier 24 2.1. Introdu ión . . . 24

2.2. Modelo de señal . . . 25

2.2.1. Caso ontinuo . . . 26

2.2.2. Caso dis retoe implementa ión . . . 28

(9)

2.4. Convergen ia . . . 31

2.4.1. Convergen ia media uadráti a . . . 31

2.4.2. Convergen ia puntual en

t = 0

. . . 33

2.5. Errores máximamentenulos . . . 35

2.6. Existen iade lasolu ión . . . 37

2.7. Respuesta en fre uen ia . . . 38

2.8. Ceros de la respuesta en fre uen ia . . . 40

2.9. Control de lóbulos laterales . . . 42

2.10.Ejemplo teóri o . . . 43

2.11.Dis usión . . . 46

2.12.Con lusiones. . . 48

3. Redu ión del osto omputa ional 50 3.1. Introdu ión . . . 50

3.2. Diseño delestimador . . . 51

3.2.1. Obten ión delestimador a partir deldominiode la fre uen ia 54 3.2.2. Obten ión delestimador a partir delpolinomiolibre . . . 61

3.2.3. Compara ión . . . 65

3.2.4. Rela iónentre losban os de ltros . . . 65

3.2.5. Cál uloe ientede la TFT basadoen laFFT . . . 69

3.3. Implementa ióndel estimador . . . 71

3.4. Con lusiones. . . 72

4. Ejemplos de apli a iones on señales reales 74 4.1. Sistemasde poten ia . . . 74

4.1.1. Resultados experimentales en sistemas elé tri os de poten ia . 75 4.2. Señalesbiomédi as . . . 80

4.2.1. Análisis y síntesis de una señal de presión arterial . . . 80

4.3. Apli a iónen tiempo real medianteFPGA . . . 81

4.3.1. Des rip ión delhardware . . . 82

4.3.2. Etapas de diseño . . . 83

4.3.3. Diseño del ban ode ltros . . . 83

4.3.4. Simula ión. . . 85

(10)

4.3.7. Resultados experimentales . . . 86 4.4. Con lusiones. . . 90 5. Con lusiones y re omenda iones 92 5.1. Objetivosal anzados . . . 93 5.2. Limita iones . . . 93 5.3. Publi a iones . . . 93 5.4. Trabajos futuros . . . 94

A.Uso de la matriz de Vandermonde en el ál ulo de la solu ión 95 A.1. Obten ión de

B

−1

. . . 96

A.1.1. Ejemplo de apli a ión- Polinomio de segundo orden. . . 97

A.1.2. Ejemplo de apli a ión- Polinomio de uarto orden . . . 98

B. Redu ión de inltra ión inter-armóni a 101 B.1. Efe to de laventana en la respuesta en fre uen ia . . . 102

C. Cambios fre uen iales 104 C.0.1. Limita iones delmétodo . . . 104

(11)

1. Espe tro de armóni adinámi a. . . 5

2. Errores de aproxima iónde laDFT y FTT. . . 7

1.1. Rela iónentre losdominiosdeltiempo y de la fre uen ia. . . 20

1.2. Respuesta en fre uen ia de la DFT. . . 23

2.1. Respuesta en fre uen ia delestimador TFT. . . 29

2.2. Número de ondi ión de la matrizde Gram. . . 39

2.3. Ceros en la respuesta en fre uen ia de losestimadores. . . 41

2.4. Control de lóbulos laterales. . . 42

2.5. Señal de entrada

s(t)

. . . 43

2.6. Coe ientes estimados medianteFFT. . . 44

2.7. Coe ientes de orden ero estimados medianteTFT. . . 46

2.8. Coe ientes de primery segundo orden estimados medianteTFT. . . 47

2.9. Errores de estima ión. . . 48

3.1. Respuestas impulsionalesdel ltro pasa bajas. . . 54

3.2. Respuestas en fre uen ia delban o de ltros de dos anales. . . 55

3.3. Respuestas impulsionaldelltro pasa bajas. . . 58

3.4. Respuestas en fre uen ia delban o de ltros de 4 anales. . . 59

3.5. Rela iónentre lasrespuestas en fre uen iade 2 y 4 anales. . . 66

3.6. Rela iónentre lasrespuestas en fre uen iade diferentes ban os. . . . 67

3.7. Respuesta impulsionaldelltro de 64 anales. . . 68

3.8. Implementa ióndel estimador TFT.. . . 73

4.1. Señal de entrada alestimador. . . 76

4.2. Estimadosde orden ero obtenidos medianteFT y TFT. . . 77

4.3. Magnitudde losestimados TFT para 1er 2do y 3er orden. . . 78

(12)

4.6. Señalesre onstruidas on TFT y FFT. . . 82

4.7. Usodel nodomath-s ript. . . 84

4.8. Panel frontalde la etapa de diseño. . . 84

4.9. Panel frontalde la etapa de uanti a ión. . . 85

4.10.Muestreode entrada en FPGA. . . 86

4.11.Estimadode laprimeraarmóni aen FPGA. . . 86

4.12.Prueba en estado esta ionario. . . 87

4.13.Prueba ales alón en amplitud. . . 88

4.14.Prueba ales alón en fre uen ia. . . 89

4.15.Pro esamientoen tiemporeal. . . 89

4.16.Interfa e de usuariopara FPGA. . . 91

C.1. Flu tua iones en fre uen ia de la

1

era ,

2

da y

3

era armóni a. . . 104

C.2. Diagrama abloques delestimador on retroalimenta iónde fre uen ia.105 C.3. Fre uen ia estimadade manera ja y adaptativa. . . 106

C.4. Fre uen ia estimada on un ban ode fre uen iaja en

50

Hz. . . 107

(13)

2.1. Fun iónde osto para lasarmóni as dinámi as. . . 45

3.1. Complejidad numéri apara los diferentes métodos de diseño. . . 65

4.1. Fun iónde osto NRMSE

TFT

(14)

FT Transformada de Fourier.

TFT Transformada Taylor-Fourier.

DFT Transformada de Fourierdis reta.

FFT Transformada rápida de Fourier.

IFFT Transformada rápida de Fourier inversa.

PDS Pro esamientodigital de señales.

FIR Filtrode respuesta impulsionalnita.

IIR Filtrode respuesta impulsionalinnita.

LS Mínimos uadrados.

WLS Mínimos uadrados ponderados.

NRMSE Error medio uadráti onormalizado.

FPGA Matriz de arreglo de ompuertas de ampo.

THD Índi e de distorsión armóni atotal.

DBL Cuanti a ión en formato de doble presi ión.

(15)

Z

Conjuntode números enteros nonegativos.

R

Conjuntode números reales.

C

Conjuntode números omplejos.

L

2

(R)

Espa io que ontiene todas lasfun iones uadráti amenteintegrables.

l

2

(Z)

Espa io que ontiene todas lasse uen ias uadráti amentesumables.

x[n]

Se uen ia en tiempo dis reto.

x(t)

Señal en tiempo ontinuo.

Pertene e a.

Contenido en.

Para todo(a).

Existe.



Fin de prueba.

:=

Denido omo. Re

(x)

Parte real de

x

. Im

(x)

Parte imaginariade

x

.

|x|

Magnitud de

x

.

x

Ángulo de

x

.

x

Conjugado omplejo de

x

. max

(x)

Máximode

x

. min

(x)

Mínimo de

x

.

ˆ

x

Estimado de

x

.

h, i

Produ to punto.

kxk

p

Norma

p

de

x

.

W

N

N

-ésima raiz de

−1

.

(16)

W

N

Matriz de Fourier de

N × N

.

I

Matriz identidadde dimensiones apropiadas.

A

T

Transpuesta de la matriz

A

.

A

H

Hermitianade la matriz

A

.

A

−1

Inversa de lamatriz

A

.

A

Pseudoinversa de la matriz

A

. Parámetros de la TFT

K

OrdenusadoenlaseriedeM Laurinusadapararepresentar adaarmóni a.

H

Número de armóni as en elmodelo.

N

Longitudde laventana temporal(en muestras) usada para implementarel estimador.

ψ

(k,h)

(t)

Elementode labasede laTFTaso iadoala

k

-ésimaderivadadela

i

-ésima armóni a.

˜

ψ

(k,h)

(t)

Elemento de la base dual de la TFT aso iado a la

k

-ésima derivada de la

i

-ésima armóni a.

h

(k,h)

(t)

Respuesta impulsionaldel ltroimplí ito en la TFTaso iado a la

k

-ésima derivada de la

i

-ésima armóni a.

H

(k,h)

(ω)

Respuesta en fre uen ia del ltro FIR implí ito en la TFT aso iado a la

k

-ésima derivada de la

i

-ésima armóni a.

ˆ

σ

(k,h)

Coe iente aso iado al estimado de la

k

-ésima derivada de la

i

-ésima armóni apara el aso otinuo.

ˆ

θ

(k,h)

Coe iente aso iado al estimado de la

k

-ésima derivada de la

i

-ésima armóni apara el aso dis reto.

(17)

Una de las prin ipales metas del pro esamiento digital de señales (PDS) es

el representar señales de la vida real, en este ontexto las transforma iones y las

expansiones lineales tienen un papel fundamental. Las mismas son herramientas

bási as para realizar las tareas más omunes del pro esamiento de señales omo

lo son: laadquisi ión,ltrado y ompresión de señales.

Comúnmente lasexpansiones linealesde señaleshan surgidoen distintasáreas

pararepresentar algunaseñalenotrodominioenel ualsepresentaalgunamejoraen

parti ular on respe to al dominiooriginal. Debido a loanterior, el representaruna

señal por la suma ponderada de los elementos de una base ( omponentes bási os)

esuna idea tan antigua omo a tual, iertamentemu homás antigua queelárea de

pro esamientode señales.

Uno de los primeros en ha erlo fue J. Fourier en su "Théorie analytique de

la haleur"(1822) [1℄, en la ual se propuso resolver el problema de transferen ia

del alor mediante una serie trigonométri a a la ual se le ono e hoy en día omo

seriede Fourier,mediantedi haserie esposiblerepresentar ualquierseñalperiódi a

ontinuaen una sumatoriade exponen iales omplejas,esde irrepresenta una base

ompleta para señales periódi as.

Con el paso del tiempo, distintas expansiones de señales surgieron, entre las

más importantes se en uentran:

La transformada Haar[2℄, propuesta a prin ipiosde el sigloXX, en la ual se

representa dos muestras de una señal por su media y sudiferen ia, lo ual equivale

a un ltrado pasa bajo y uno pasa altoseguidos de una etapa de diezmado por un

fa tordedos.ClaramentelatransformadaHaareselprimerejemplodeunaonduleta,

aunque nofue re ono ido en ese enton es.

La transformada dis reta de Fourier (Dis rete Fourier Transform, DFT) [3℄

y el desarrollo de algoritmos e ientes para realizar el ál ulo de la misma, omo

(18)

ál uloe ientedelamisma onalgoritmosdebajo osto omputa ional.Lamayoría

de estos algoritmosse basan en el uso de propiedades de simetría para disminuirel

número de opera iones ne esarias en el ál ulode laDFT

Las series de Fourier generalizadas[5℄, las uales bus an una base ortonormal

para representar la señal, es de ir que los omponentes en los que se des ompone

la señal sean ortonormales unos a los otros. Algunos de sus ejemplos son la serie

Fourier-Legendre ylaserie Fourier-Bessel, en las ualesseutilizanlospolinomiosde

Legendre y Bessel respe tivamente omoelementos de la base.

Lasonduletas(Wavelettransform,WT)[6℄-[7℄,las ualessurgieronenladé ada

de 1980 y son la onvergen ia de mu hos estudiosrealizados en distintas áreas, por

ejemplo:enmatemáti aspuras,en geologíaparala orre tadete iónde transitorios

en señales geofísi as, en PDS para realizar ltros de perfe ta re onstru ión y

odi a iónensub-bandas.LaWTsebasaenelreemplazodel on eptodefre uen ia

por el de es ala, al reemplazar la modula ión por exponen iales omplejas de la

transformadadeFourier(FourierTransform,FT)poreles alamientodeunafun ión

prototipo, esto impli a una mejor representa ión de la señal en el plano

tiempo-fre uen ia, es de ir se tiene la apa idad para dete tar transitorios rápidos sin que

éstos se diluyan en el intervalo de observa ión. Una de las desventajas de la WT

es la aren ia de signi ado físi o de sus oe ientes, los uales sólo reejan el

grado de similitud entre la fun ión analizada y la onduleta elegida a su respe tiva

es ala y desplazamiento temporal. Por esta razón la mayoría de las WT se usan

prin ipalmente en odi a ión [8℄-[9℄.

Cabe men ionar que lamayoría de las transforma iones lineales usadas bus a

unabase ortonormalen loselementosquesoportanalabase,tambiénsonusadaslas

transforma ionesbiortogonalesen las ualesse relaja la ondi iónde ortogonalidad,

yaquesóloesne esarioqueloselementosde labase esténdados porun onjuntode

ve toreslinealmenteindependientes. Unarevisión altemade expansiones linealeses

realizadaen elCapítulo1.

Análisis armóni o

Cuandoseto aeltemadeexpansioneslinealesdeseñales,unpuntoimportante

(19)

punto, la FT es una herramienta importante, ya que la informa ión que se puede

obtener delanálisis armóni o esmuy variada, por ejemplo puede indi ar patologías

en diagnósti os médi os, fallas en sistemas elé tri os de poten ia, vibra iones en

sistemasme áni os,et .Porestarazónlaestima iónarmóni aesuntópi odeinterés

en mu has áreas, algunos ejemplos de sus apli a iones son mostrados en [10℄-[12℄.

Todas estas apli a iones tienen un punto en omún: Usan té ni as de estima ión

armóni abasadas en la Transformada de Fourier 1

.

El presente trabajo pretende extender las té ni as de análisis armóni o

presentes en laFT, esde ir:se pretende desarrollaruna expansiónde la FT,la ual

mejore a ésta en sus puntos débiles,de los uales elprin ipal punto atratar en este

trabajo es la ondi ión esta ionaria implí itaen laFT, ya que ésta representa ada

armóni aporuna onstanteenamplitudyfasesobretodoelintervalodeobserva ión.

En ontraparte nuestra propuesta onsiste en usar un polinomio de M Laurin para

representarlaevolu iónde adaarmóni a,lo ualrepresentaunmodelomásexible,

el ual permite varia iones de lasarmóni as dentro delintervalode observa ión. La

varia iónpermitidaen adaarmóni aestádes ritaporunpolinomiode orden

K

.El planteamientoanterior ini ió on investiga ionespara mejorar laestima ión fasorial

en ondi iones os ilatorias [13℄. En éste, la estima ión se efe túa solamente en la

fre uen ia fundamental.Laidea fue generalizar [13℄-[14℄a todas las armóni as.

Las prin ipales ventajas de la expansión propuesta serán el mejorar los

oe ientes de Fourier, y añadirnuevos oe ientes, los uales estarán rela ionados

on la razón de ambiode las armóni as.

Planteamiento del problema

El prin ipal problema de la DFT es que se supone una señal estri tamente

periódi a, lo ual impli a una fre uen iafundamental

f

1

y oe ientes de Fourier

c

i

onstantes sobre todoel intervalo de observa ión.

Porotrolado,esbien ono idoquelasseñalesde ampodifí ilmente umplenla

propiedadidealdeperiodi idad,sobretodobajo ondi ionesos ilatoriasenlas uales

las armóni as ontienen varia iones dentro del intervalo de observa ión 2

. Cuando

1

ElanálisisdeFouriereslaherramientamáspopularpararealizarlaestima iónarmóni a,mas

noeslaúni a.Existennumerosasté ni asparalograresten.

2

(20)

por el mejor valor promedio sobre toda la ventana de observa ión trun ando las

varia iones que se desean apturar, en una manera similar a uando se toma una

fotografía de un objeto en movimiento y se produ e una imagenborrosa, ya que el

rollofotográ o onsideraunaimagenestáti a.Enton es,siseaproximalaevolu ión

de adaarmóni a porun modelo de señal más relajado (un polinomio de M Laurin

enlugardeuna onstante) serepresentadeunamaneramásade uadalasvaria iones

en amplitudy/o fasede ada armóni a. Este omportamientodinámi oquepueden

llegarpresentarlasarmóni asbajo ondi ionestransitoriasseledenominaarmóni a

dinámi a,y es expli adoa ontinua ión.

El on epto de armóni a dinámi a

Para ilustrar el on epto de armóni adinámi a, onsidere una señal periódi a

x

p

(t)

de fre uen ia fundamental

f

1

, la ual posee oe ientes de Fourier

c

i

i =

0, ±1, . . . , ±H

onstantes

x

p

(t) =

H

X

i=−H

c

i

e

j2πif

1

t

.

(0.1)

Una de las formas en las que se puede modelar la pérdida de periodi idad

durante un transitorio es modulando en amplitud a

x

p

(t)

por una señal aperiódi a paso-bajo de energía nita

3

m(t) = a(t)e

φ(t)

[13℄, la ual tiene un an ho de banda

β ≪ f

1

.En eldominio temporalla envolvente

m(t)

afe ta a

x

p

(t)

o asionandouna pérdida de la periodi idaden laseñal resultante

x

a

(t)

.

x

a

(t) = m(t)x

p

(t) = m(t)

H

X

i=−H

c

i

e

j2πif

1

t

!

=

H

X

i=−H

c

i

(t)e

j2πif

1

t

,

(0.2)

donde

c

i

(t)

representa una opiaes alada porel oe iente

c

i

de laportadora

m(t)

, di ha opia re ibe el nombre de armóni a dinámi a en este trabajo, ya que en el

dominiode lafre uen ia elespe trode

m(t)

esmoduladoa adafre uen iaarmóni a y ponderado porsu respe tivo oe iente:

X

a

(f ) = M(f ) ∗

H

X

i=−H

c

i

δ(2πif

1

t)

!

=

H

X

i=−H

c

i

M(f − 2πif

1

t).

(0.3)

Note que el espe tro de la señal resultante alrededor de la

i

-ésima armóni a está 3

(21)

x

p

(t)

t

(a) Señalperiódi a

x

p

(t)

.

f

1

−f

1

X

p

(f )

f

(b) Espe troseñalperiódi a.

m(t)

t

( ) Señalpasabajas

m

(t)

.

M (f )

f

(d) Espe troseñalpasabajas.

x

a

(t)

t

(e) Señalaperiódi a

x

a

(t)

.

X

a

(f )

f

(f) Espe troseñalaperiódi a.

Figura1:Pérdidadeperiodi idaddeuna señalalser moduladaenamplitudporuna

señal pasa bajas,(a)-(b) señal original,( )-(d) varia iónen amplitudy (e)-(f) señal

(22)

dadoporuna opiaes aladadelaenvolventeen lugar deun oe iente onstante

c

i

. Este planteamientose muestra en la Fig. 1.

Como se observa en la Fig. 1, el espe tro de las armóni as dinámi as se

on entra alrededor de ve indarios entrados en las fre uen ias armóni as, siempre

y uandoelan hode banda

β

de laenvolvente

m(t)

sea losu ientementepequeño. Basado en lo anterior, una orre ta estima ión delespe tro de la

i

-ésima armóni a dinámi a debe de extraer el ontenido fre uen ial del mismo ade uadamente, esto

es, el estimador debe poseer una respuesta en fre uen ia on ganan ia unitaria en

f = f

1

± β

y ganan ias nulas en

f = f

i

± β

para

i = 0, −1, ±2, ±3, ...

. Por otro lado, la respuesta en fre uen ia implí ita en el análisis de Fourier sólo umple las

ondi ionesanteriorespara

β = 0

,portalmotivolosestimados deFouriersóloestán libres de distorsión en este aso.

Otro enfoque interesante del problema es el del álgebra lineal, Considere a

la FT omo una base, uyos elementos se dan por exponen iales omplejas de la

forma

e

j2πif

1

t

para

i = 0, ±1, . . . , ±H

, y uyo subespa io está ompuesto de todas lasseñales periódi as limitadasala bandade fre uen ia

|ω| < Hf

1

y pertene ientes a

L

2

(R)

, enton es es laro que al agregarlos elementos

t

i

e

j2πkf

1

t

se in rementará el

espa io generado por labase, siempre y uandose garanti e la independen ia lineal

de todos sus elementos.

En este trabajo se generará una nueva base al unir la base de la FT más

un omplemento, ambos linealmente independientes, por lo tanto el subespa io

orrespondiente a lanueva base será mayoral subespa iogenerado porla FT.

Se elige omo nueva base a polinomios de M Laurin modulados en ada

fre uen ia armóni a.Porlotantosielordendelospolinomioses0,labaseseredu e

a la base de Fourier, mientras que para órdenes mayores de ero la base englobará

a la base de Fourier. La transforma ión lineal generada por esta base se nombra

transformadaTaylor-Fourier(Taylor-FourierTransform,TFT)debidoaquesebasa

en aproximarel omportamientode ada armóni apor una serie de poten ias.

Por ejemplo, onsidere que los espa ios generados por las bases de Fourier,

Taylor-Fourier y alguna onduleta están dados por los onjuntos nombrados

F T

,

T F T

y

WT

en la Fig.2

Enton esdelaFig.2setieneque,yaque

F T

está ontenidoen

T F T

,siempre se garantiza un error Taylor-Fourier menor al de Fourier para ualquier señal

s(t)

arbitraria. Note que

F T

representa al onjunto del todas las señales periódi as de

(23)

s(t)

F T

T F T

WT

Figura2: Erroresde aproxima ión de la DFT y FTT.

energíanita,y

T F T

representaal onjuntodetodaslasseñalesde energíanitaen las uales laevolu ión de sus armóni asse daporpolinomiosde M Laurin de orden

K

.

Mientras que para el aso de una transforma ión uyo subespa io no englobe

al espa io generado por la base de Fourier, omo el aso de la

WT

no se puede garantizar lo anterior, es de ir en o asiones la

WT

representará mejor una señal, pero en o asiones la

F T

tendrá el error menor, dependiendo de que tipo de señal se anali e. En general la e ien ia de una base al representar una señal se puede

determinarapartirdelasimilitudentrelaseñalaestimaryloselementosdelabase.

Por lo tanto se tiene que la señal será mejor representada por FT si es semejante

a una señal periódi a ontinua, pero será mejor representada por la WT si ésta es

semejantea laonduleta madre elegida para generarlaWT.

Compara ión on otras té ni as

Ahora que se tiene on ien ia del tipo de expansión generado por la TFT y

su propósito, es posible estable er un mar o de ompara ión on respe to a otras

té ni as de estima ión armóni a no basadas en la DFT. A ontinua ión se revisa

brevemente las ventajas y desventajas que presenta ada una de ellas.

El ltrado sele tivo en fre uen ia [16℄ es una herramienta útil para estimar el

ontenido armóni o de una señal periódi a. Es posible diseñar ltros para atenuar

los errores implí itos en el análisis de Fourier [17℄-[18℄. Algunos ejemplos de estas

(24)

ya que el mismo puede interpretarse omo un ban o de ltros FIR máximamente

lisos [21℄, los uales son diseñados espe í amente para resolver el problema de

estima iónarmóni aanteos ila ionesyrepresentanlasolu iónóptimaaunproblema

de minimiza ión.

El ltrado adaptable [22℄ también puede ser usado para estimar los

omponentes armóni os de una señal [23℄-[24℄. Estas té ni as usan ltros on

oe ientes variantes en el tiempo, los uales se a tualizan mediante algoritmos

re ursivos de minimiza ión. Generalmente, la prin ipal desventaja de estos ltros

es la omplejidad numéri a, ya que es ne esario aumentar la arga omputa ional

delalgoritmopara realizar elpro eso re ursivode a tualiza iónde oe ientes.

Entre los ltros adaptables más omúnmente usados se en uentra al ltro de

Kalman [25℄. Algunos ejemplos de apli a ión se en uentran en [26℄-[27℄. En [27℄ se

muestra la apli a ión de este ltro para estimar la primera armóni a de una señal

bajoos ila ión.Cabedesta arqueenestaapli a iónenparti ularelmodelode señal

se expande de manera similar a la de la TFT (usando una serie de M Laurin). La

prin ipalventajadeluso delltro de Kalmanen elanálisisarmóni oessurespuesta

inmediata (el pro eso de ltrado tiene un retraso de una muestra) por lo ual

sus estimados son asi instantáneos. Entre sus desventajas se tiene la omplejidad

numéri a. Ya que, a diferen ia de la TFT, es ne esario usar todo el modelo en la

etapade implementa iónaunquesóloseeste interesadoen un iertosparámetrosdel

mismo. Además, la omplejidad de las e ua iones re ursivas aumenta on respe to

al número de parámetros en el modelo.

AlgunasWTpuedenserusadaspararealizaranálisisarmóni o[28℄,paralograr

este n la WT elegida debe de estar a otada en fre uen ia. La popularidad de

la WT se debe a sus propiedades matemáti as [29℄. En adi ión, la WT es una

herramienta muy e iente omputa ionalmente 4

y es apaz de representar la señal

on po os oe ientes (en ompara ión on la DFT) lo que las ha e útiles en

tareas omo la ompresión de señales [30℄. A pesar de lo anterior, al igual que las

herramientas anteriores la WT también tiene puntos débiles: En el aso espe i o

del análisis armóni o, la prin ipal desventaja de la WT es la di ultad existente

para rela ionarlos oe ientes de latransforma ión on el ontenidoarmóni ode la

señal de entrada, ya que por lo general estos are en de signi ado físi o. Enton es

4

El implementar una WT puede presentar una menor arga omputa ional que la FFT: Por

(25)

un sistemaatravésde los oe ientes [31℄.ComúnmentelaWTanalizael ontenido

fre uen ial de la señal de entradas por bandas separadas por o tavas la ual no es

unasepara iónade uada pararealizarelanálisisarmóni o(esposibleen ontrarmás

de una fre uen ia armóni a en una banda e in luso omponentes inter-armóni os).

Lo anterior se umple,porejemplo, en el aso de la (Harmoni Wavelet Transform,

HWT) [28℄.

También existen algoritmos híbridos [32℄-[34℄ los uales ha en uso de los

métodos men ionados en onjunto on diversos algoritmos omo redes neuronales,

algoritmos genéti os, lógi a difusa, entre otros. El prin ipal problema de estos

algoritmos híbridos es su omplejidad. Por otro lado el uso de distintos métodos

al mismotiempoprovo a distintas fuentes de error.

Enresumen,debidoaquelaTFTesunaexpansióndelaFTsetienequeambas

poseen ara terísti assemejantes, entre otras setiene alafa ilidad yfa tibilidadde

implementa ión,laposibilidaddeimplementardemanerae ientelatransforma ión

medianteFFTyelsigni adofísi ode oe ientes.Ciertamentelapopularidaddela

FFTse debe en parte aestas ara terísti as. Enadi ión alo anterior,la TFT tiene

la apa idad de pro esar señales bajo os ila iones a otadas en fre uen ia. Entre las

desventajas de la TFTdesta an laexisten iade retardos temporales,genera ión de

errores ante ambios onsiderables en la señal de entrada y la resolu ión onstante

en el plano tiempo-fre uen ia 5

.

Objetivo

El objetivo prin ipal del presente trabajo es desarrollar una expansión al

análisis de Fourier, la ual se nombra transformada Taylor-Fourier, los objetivos

se undarios son:

Elaborar algoritmose ientes para disminuirla arga omputa ional.

Comparar eldesempeño on métodos omúnmenteusados.

Implementarel algoritmoy evaluar losresultados.

5

Apesardeestoesposibledete tartransitoriosmediante las oe ientesdemayorordendela

(26)

Latesis está estru turada de lasiguiente manera:

Capítulo 1 El propósito de este Capítulo es ha er el do umento auto- ontenido.

Dentro del mismose presenta un resumen breve de las herramientas usadas a

lolargodeltrabajo. Sielle torestá familiarizado ontemas omoexpansiones

de señal y análisis fre uen ial, puede empezar en el apitulo2.

Capítulo 2 Se muestra el método propuesto, desde el modelo de señal hasta las

propiedades matemáti as del estimador. Se da espe ial énfasis a la máxima

plane ia de la respuesta en fre uen ia alrededor de las fre uen ias armóni as,

así omo la olo a ión de un onjunto de eros de la fun ión de transferen ia

en di has fre uen ias.Dentrodeeste Capítulo,tambiénsepresentaun ejemplo

teóri opara evaluarel fun ionamientodelestimador.

Capítulo 3 Enfo ado prin ipalmente en la redu ión del osto omputa ional

ne esario para realizarel ál ulode latransforma iónpropuesta. Se presentan

distintosenfoques, lamayoríade losmismossebasa enredu irla argausando

larespuesta en fre uen iadelltroaso iado alestimador,también sepresenta

un métodoqueha e uso de laFFTpara disminuirla arga omputa ionaldel

estimador.

Capítulo 4 Se presentan distintos ejemplos on señales reales. Las uales son de

(27)

Expansión de señales y análisis de

Fourier

Como se men ionó en la introdu ión, este trabajo está enfo ado en la

expansión lineal de señales. A ontinua ión se muestra un resumen a er a de este

tema, el ual estomadode [6℄y [35℄.

1.1. Expansiones lineales de señal

Dada alguna señal

x

de algún espa io

S

1

, nos interesa en ontrar un onjunto

de señaleselementales

ϕ

i

(t)

paraese espa io,talquesea posible representar laseñal original

x

omo una ombina iónlineal de di ho onjunto.

x =

X

i

α

i

ϕ

i

,

i ∈ Z,

(1.1)

donde

Z

representa el onjuntode losnúmeros enteros.

De espe ial interéses el aso en el que ualquier

x ∈ S

puedeser representada poruna ombina iónlineal omoladadaen(1.1),eneste asosedi equeel onjunto

elegido omo base es ompleto, es de ir

S =

span

i

}

.

Silabasees ompletasegarantizalaexisten iade loselementosdelabasedual

˜

ϕ

i

,enton esesposibleobtener los oe ientes de laexpansiónalapli arelprodu to puntoentre laseñal y ada uno de loselementosde labase dual [6, Def. 2.2, p.19℄.

α

i

= h ˜

ϕ

i

, xi

(1.2)

1

Donde

S

puede ser de dimensiones nitas omo los espa ios eu lidianos

R

n

y

C

n

o de

dimensionesinnitas omolosespa iosdeHilbert

l

2

(Z)

y

L

(28)

donde loselementos de la base dual son el úni o onjunto en

S

que umple on:

i

, ˜

ϕ

j

i =

(

1 i = j,

0

en otro aso.

,

i, j ∈ Z.

(1.3)

Un aso parti ular es uando los elementos de la base forman un onjunto

ortonormal y ompleto, es de ir los elementos de la base son ortonormales los unos

a losotros:

i

, ϕ

j

i =

(

1 i = j,

0

en otro aso.

,

i, j ∈ Z,

(1.4)

y ualquierseñal pertene iente a

S

sepuede representar poruna ombina iónlineal de los mismos.

El asoortonormalestanimportante,que omúnmentesetoma omoreferen ia

en laforma de lasi ar lasbases. La importan iadel aso ortonormal radi aen su

sen illez matemáti a,la ual es de gran utilidaden elmomentode implementa ión,

notequede(1.3)y(1.4)sededu e:

ϕ

˜

i

= ϕ

i

paraeste aso.Porlotato,los oe ientes delaaproxima iónseobtienenalapli arprodu topunto onrespe toaloselementos

de la base dire tamente, on lo ual el problema de en ontrar los elementos de la

base dual es eliminado.

Enlassiguientesse ionessepresentanambos asos,expansionesortonormales

en las uales loselementos de labase forman un onjuntoortonormaly expansiones

biortogonalesen las ualesla ondi ión deortogonalidadserelajaalaindependen ia

lineal de los elementosde labase.

1.1.1. Expansiones ortonormales

Lasexpansiones ortonormalesjueganun papelfundamentaldentrode lateoría

de tratamientode señalesdebidoasumaneraeleganteye ientede representaruna

señal. Además su naturaleza ortonormal permite garantizar estabilidad numéri a

[30℄. Ciertamenteuna delasprimerasbases ortonormalesfue laserie de Fourier,por

esta razón,es omún llamarseriesde Fouriergeneralizadasalasbasesortonormales,

la úni a diferen ia de la series de Fourier on respe to a las series de Fourier

generalizadas,esqueen laprimeraseusa omoelementosdelabaseaexponen iales

omplejas ade uadamente moduladas en múltiplos de una fre uen ia fundamental,

mientras queen la segunda seelige a ualquier onjunto de señales que umplanlas

(29)

Deni ión 1.1 Un onjunto de elementos

i

}

es llamado una base ortonormal para el espa io

S

si para ada

x

en

S

se tiene que:

x =

X

i

α

i

ϕ

i

,

i ∈ Z,

(1.5)

y además los elementos de la base umplen on:

i

, ϕ

j

i =

(

1 i = j,

0

en otro aso.

(1.6)

Los oe ientes de la expansión

α

i

son llamados oe ientes de Fourier de

x

on respe to a

ϕ

i

.

Las ondi iones (1.5) y (1.6) son llamadas las ondi iones de ompletitud y

ortonormalidadde labase,respe tivamente. Enrela iónalos oe ientes

α

i

setiene que:

Lema 1.1 Cada uno de los oe ientes de Fourier

α

k

está dado por [6℄:

α

k

= hϕ

k

, xi.

(1.7)

Prueba. Lo anterior puede ser probado mediante la propiedad de linealidad del

produ topuntoylaortogonalidaddeloselementosdelabase.Porejemplo, onsidere

que

x

esexpresada por(1.5),enton es:

k

, xi = hϕ

k

,

X

i

α

i

ϕ

i

i,

(1.8)

y debido alas propiedadesde linealidaddelprodu to punto setiene que:

k

, xi =

X

i

α

i

k

, ϕ

i

i.

(1.9)

Finalmente, apli ando la propiedad de ortonormalidadde los elementos de la

base (1.3) se deriva

k

, xi = α

k

.

(1.10)



Note que los oe ientes de la expansión indi an la proye ión de la señal de

entrada en ada uno de los elementos de la base, por esta razón se pueden tomar

omoindi adores delgradode similitudentrelaseñal de entradayelelementode la

(30)

de asemejar a los elementos de la base usada debido a que el segmento de la señal

noproye tado en los elementos de labase será el error de la aproxima ión.

Para el aso de dimensionesnitas,es su ientetener un onjunto ortonormal

de tamaño

n

para generar una base ortonormal. Pero, para el aso de dimensiones innitas no es su iente tener un onjunto ortonormal de ve tores innito para

generarunabase. Elsiguienteteoremaestomadode[6℄ymuestravariosenun iados

equivalentes, los uales permiten veri ar si un sistema ortonormal es también una

base para ierto espa io dado.

Teorema 1.1 Dado un sistema ortonormal

1

, ϕ

2

, . . .}

en el espa io de Hilbert

E

, lo siguiente es equivalente:

1. El onjunto

1

, ϕ

2

, . . .}

es una base ortonormal de

E

. 2. Si

i

, xi = 0

para

i = 1, 2, . . .

, enton es

x = 0

.

3. El espa io generado por

1

, ϕ

2

, . . .}

es denso en

E

. 4. Por ada

x

en

E

, se tiene que la igualdad de Parseval

||x||

2

=

X

i

|hϕ

i

, xi|

2

(1.11)

se umple.

5. Por ada

x

1

y

x

2

en

E

se umple la igualdad de Parseval generalizada

hx

1

, x

2

i =

X

i

i

, x

1

i

i

, x

2

i.

(1.12)

Los puntos anteriores indi an la apa idad de la base ortonormal para

representar a ualquier

x ∈ E

. Note que de una u otra maneratodala informa ión ontenidaen

x

es apturadaen algún oe ientede labase. Es importantedesta ar quelapropiedadde ortonormalidadnoesuna ondi iónne esariapara garantizarla

ompletitudde labase. Realmentelapopularidadde lasbases ortonormalessedebe

alasen illezmatemáti a onlaqueéstasrepresentanunaseñal.Porlotanto,aunque

son deseadas, laspropiedadesde ortogonalidadnosonne esarias para onstruiruna

(31)

El aso general, en el ual la ondi ión de ortonormalidad de los elementos

de la base se relaja, es también importante. En este aso las expansiones re iben

el nombre de expansiones biortogonales, ya que además de la base, existe una base

dual, la ual genera el mismo subespa io que la base, y además sus elementos son

talque la ondi ión de biortogonalidades umplida.

Deni ión 1.2 Engeneralel onjunto

i

, ˜

ϕ

i

}

forma un par debasesbiortogonales de un espa io de Hilbert

E

sí y sólo sí:

1. Para ada

i, j ∈ Z

i

, ˜

ϕ

j

i =

(

1 i = j,

0

en otro aso. (1.13)

2. Existen onstantes

A > 0

,

B < 0

,

A > 0

˜

,

B < 0

˜

tal que:

A||x||

2

X

k

|hϕ

k

, xi|

2

≤ B||x||

2

(1.14)

˜

A||x||

2

X

k

|h ˜

ϕ

k

, xi|

2

≤ ˜

B||x||

2

(1.15)

se umplen para ualquier

x ∈ E

.

En el aso biortogonal, la ondi ión de ortonormalidad de los elementos de la

base se reemplaza porla ondi ión de independen ia lineal de los mismos, enton es

la fórmulade expansión de señal (1.5) se onvierte en:

x =

X

k

˜

α

k

ϕ

˜

k

=

X

k

α

k

ϕ

k

(1.16)

on:

α

˜

k

= hϕ

k

, xi

y

α

k

= h ˜

ϕ

k

, xi

. Nótese que en el aso biortogonal es posible representar laseñal omo una ombina iónde los elementos de la base o de la base

dual ya queambas generan elmismo subespa io.

Un problema de las bases biortogonales es que los oe ientes se al ulan a

partir de los elementos de la base dual y no de la base ( omo en el aso de la

base ortonormal). Lo anterior añade una etapa extra a la solu ión del problema.

Además es posible que al añadir nuevos elementos a la base se pierda la propiedad

(32)

Yaseaenel asodeunaexpansiónortonormalounabiortogonal,sepresentarán

errores uandolaseñalnopertene ealespa iogeneradoporlabase.Esde ir, uando

la señal a representar pertene e a un espa io de Hilbert

E

2

, pero la base elegida 3

i

, ˜

ϕ

i

}

solamente genera un subespa io errado al mismo

S ⊂ E

. Enton es no es unabase para

E

,perosipara

S

,ylamejoraproxima ión(proye ión)

x ∈ S

ˆ

a

x ∈ E

está dada por:

ˆ

x =

X

i

α

i

ϕ

i

(1.17)

on

α

i

= h ˜

ϕ

i

, xi

. La nota ión

x

ˆ

indi a estimado o proye ión de

x

, existe un error debido aque

x ∈ S

ˆ

y

x ∈ E

, el ual es talque

x = ˆ

x + x

,

(1.18)

donde

x

representa alerror de aproxima ión, el ual umple on:

x

⊥ S,

(1.19)

debido a que

hx

,

P

i

β

i

ϕ

i

i = 0

para ualquier onjunto arbitrario de oe ientes

β

i

∈ R

. Lo anterior también se umple para el aso parti ular

x

⊥ ˆ

x

. Enton es se tiene que se umple elteorema pitagóri o:

kxk

2

= kˆ

xk

2

+ kx

k

2

.

(1.20)

Un aspe to muy importantede (1.17), es que minimizala norma del error, es

de irdetodaslasseñales

x =

˜

P

i

β

i

ϕ

i

quepertene ena

S

,elvalormínimode

kx− ˜

xk

es al anzado para

β

i

= α

i

∀i

.

Las e ua iones normales del problema de mínimos uadrados

Los oe ientes obtenidos por la solu ión de mínimos uadrados, son tal que

umplen on elsiguiente onjunto de e ua iones:

i

, xi =

X

j

α

j

i

, ϕ

j

i,

i = 0, 1, . . . ,

(1.21)

a las uales se les ono e omo e ua iones normales del problema de mínimos

uadrados.

2

El ualseasumeseparable.

3

(33)

minimizar la fun ión de osto

J = ||x − ˆ

x||

2

(1.22)

implí ita en el problema de mínimos uadrados.

Prueba. Lafun ión es mínimasi:

∂J

∂α

i

= −2hϕ

i

, x − ˆ

xi = 0,

∀i

(1.23)

esto es, siel error de aproxima iónes ortogonala todos loselementosde labase, es

de ir:

i

, x − ˆ

xi = 0,

∀i.

(1.24)

Usando(1.17),sepuederees ribir(1.23)porelsiguiente onjuntodee ua iones:

i

, x −

X

j

α

j

ϕ

j

i = 0,

∀i,

(1.25)

las ualesrepresentan lase ua iones normalesde mínimos uadrados (1.21).

i

, xi =

X

j

α

j

i

, ϕ

j

i,

∀i

(1.26)



1.1.4. Expansiones para señales en tiempo ontinuo

Para el asode señalesen tiempo ontinuopertene ientes a

L

2

(R)

setiene que las e ua ionesde análisis y síntesis serepresentan por:

x(t) =

N −1

X

k=0

α

k

ϕ

k

(t),

(1.27) y

α

k

=

Z

˜

ϕ

k

(t)x(t)dt,

k = 0, 1, . . . , N − 1

(1.28) respe tivamente.

Usando (1.21) se tiene que las e ua iones normales de mínimos uadrados en

el aso ontinuose dan por:

Z

ϕ

i

(t)x(t)dt =

X

j

α

j

Z

ϕ

i

(t)ϕ

j

(t)dt,

i = 0, 1, . . . .

(1.29)

(34)

omputa ionalrequerida para en ontrar los oe ientes de la aproxima ión, debido

a que esne esario ono er la fun ión

x(t)

y los elementosde la base dual

ϕ(t)

˜

para al ularlos oe ientes de laaproxima iónusando(1.28).Porestarazón,lamayoría

de las expansiones utilizadas en la prá ti a son dis retas, las uales se revisan a

ontinua ión.

1.1.5. Expansiones para señales en tiempo dis reto

Enel aso de se uen ias

x[n]

, serepresenta lase ua ionesde análisisy síntesis por:

x[n] =

K−1

X

k=0

α

k

ϕ

k

[n],

n = 0, 1, . . . , N − 1,

(1.30)

α

k

=

N −1

X

n=o

˜

ϕ

k

[n]x[n],

k = 0, 1, . . . , K − 1,

(1.31)

o en su lugar, también es posible usar representa iones matri iales, por ejemplo es

omún representar (1.30)por:

x

= Aα

(1.32)

dondeelve tor

x

∈ C

N

ontiene

N

muestrasde laseñal,lamatrizde transforma ión

A

∈ C

N ×K

ontiene en ada una de sus olumnas las muestras de ada elementode

la base y elve tor

α ∈ C

K

ontiene los

K

oe ientes de la aproxima ión.

Para obtener la e ua ión análoga a las e ua iones de síntesis (1.31) se utiliza

la ortogonalidaddelerror on respe to a loselementos de la base:

hA, x − Aαi = 0,

(1.33)

lo anteriorimpli a:

A

T

x

= A

T

Aα,

(1.34)

la ualrepresentaalase ua ionesnormalesdemínimos uadradosenel asodis reto,

note que (1.34)es análogaa (1.21).

Además, debido a la independen ia lineal de las olumnas de

A

es posible invertir lamatriz gramiana

A

T

A

,enton es se tiene que:

α = (A

T

A)

−1

A

T

x,

(1.35)

donde lamatriz pseudoinversa

A

= (A

T

A)

−1

A

T

representala mejoraproxima ión

(35)

delabasedual

ϕ

˜

debidoaquesesatisfa e(1.3),esde ir

A

A

= I

,donde

I

representa lamatrizidentidaddedimensionesade uadas.Re uerdequeloselementosdelabase

ϕ

se en uentran en las olumnas de

A

.

La e ua ión (1.35) se simpli a notoriamente para el aso de una base

ortonormal, ya que en este aso no es ne esario al ular la inversa de la matriz

Gramiana, porque ésta es una matriz identidad (o una matriz diagonal on los

fa toresdees alaade uadosenel asode unabaseortogonal),porloquelae ua ión

de síntesis para una base ortonormal está dada por:

˜

α = A

T

x

,

(1.36)

mientras que parael aso ortogonalse dapor:

˜

α = DA

T

x,

(1.37)

donde

D

es una matrizdiagonal.

Un aso parti ularde (1.37),es la DFT, la ual se revisa enseguida.

1.2. Análisis de Fourier

Detodas lasposiblesbases, nos interesan lasquerela ionen de algunamanera

los dominios tiempo-fre uen ia, es de ir, que de alguna formalos oe ientes de la

base reejen alguna ara terísti afre uen ialde la señal original.A ontinua ión se

des riben de manerabreve lasté ni as usadas pararealizarelanálisisfre uen ialde

una señal.

Larela iónexa ta entrelosdominiosdelafre uen iaydeltiemposedaporla

transformadade Fourier,la ual se omponeporlassiguientese ua ionesde análisis

y síntesis

X(ω) =

Z

t=−∞

x(t)e

−jωt

dt,

(1.38)

x(t) =

Z

ω=−∞

X(ω)e

jωt

dω.

(1.39)

La transformada de Fourier es de gran utilidad uando es posible expresar

la señal de manera analíti a, de otra manera are e de utilidad, ya que debido a

su naturaleza ontinua no es una forma omputa ionalmente onveniente. Por tal

motivo, en la prá ti a es omún utilizar aproxima iones de la misma, las uales no

(36)

F

t

f

Figura 1.1: Rela iónentre losdominiosdel tiempo y de la fre uen ia.

más utilizadas es la transformada dis reta de Fourier (Dis rete Fourier Transform,

DFT) la ual serevisa a ontinua ión.

1.2.1. La Transformada dis reta de Fourier

La transformada dis reta de Fourier oDFT representa la versión dis retizada

tantoentiempo omoenfre uen iadelatransformadade Fourier.LaDFTrela iona

N

muestras de la señal on

N

muestrasde suespe tro:

x[k] =

N −1

X

n=0

x[n]W

−nk

N

,

k = 0, 1, . . . , N − 1,

(1.40)

donde

x[k]

representalasmuestrasdelespe tro

X(ω)

,

x[n]

representaalasmuestras de la señal, y

W

N

= e

j

N

representa la

N

-ésima raíz de

−1

y es ono ido omo el fa tor de giro. La e ua ión de síntesis, la ual re onstruye la señal a partir de los

oe ientes de su espe tro está dada por:

x[n] =

1

N

N −1

X

k=0

x[k]W

N

nk

,

n = 0, 1, . . . , N − 1.

(1.41)

Laprin ipalventaja de laDFT essu apli a iónprá ti a, ya quepara al ular

la

n

-ésimamuestradelespe tro obtenidomediantelaDFT sóloesne esario realizar

N

multipli a iones entre las muestras de la señal y los fa tores de giro ade uados y

N − 1

sumas, la misma antidad de multipli a iones y sumas son ne esarias para re uperar una muestratemporalde la señala partir de lasmuestrasde su espe tro.

Porlotantopara al ularlas

N

muestrasdelaseñalolos

N

oe ientesdelespe tro se ne esitan

N

2

(37)

para realizar el ál ulo de los oe ientes del espe tro o de la señal uando se

al ulan todos a la vez. Estos algoritmos ha en uso de las simetrías de la DFT

y son ono idos omo algoritmos de transformada rápida de Fourier (Fast Fourier

Transform, FFT) y logran disminuir el número de multipli a iones ne esarias para

realizar latransforma ión de

N

2

a

N

2

log

2

(N)

.

Finalmenteesimportantemen ionarunpunto,el ualesolvidadoeno asiones.

Los oe ientes

x[k]

obtenidos mediante la DFT son estima iones y solamente representan exa tamente alas muestrasdel espe tro

X(ω)

uando lase uen ia

x[n]

seen uentradentrodelsubespa iogenerado, esde ir esperiódi a de periodo

N

.En otro aso los oe ientes representan lamejoraproxima ión posibleen elsentido de

mínimos uadrados.

1.2.2. La DFT omo transforma ión lineal

LaDFTtambiénpuedeservista omounatransforma iónlineal,lase ua iones

(1.40)-(1.41)pueden es ribirse en formato matri ialpor:

x

N

= W

N

X

N

(1.42) y

X

N

= (W

N

W

N

)

−1

W

N

x

N

=

1

N

W

N

x

N

,

(1.43)

donde

x

N

es un ve tor que ontiene

N

muestras de la señal

x

N

=

h

x[0] x[1] x[2] . . . x[N − 1]

i

T

,

(1.44)

X

N

es un ve tor que ontiene

N

muestras delespe tro

X

N

=

h

X[0] X[1] X[2] . . . X[N − 1]

i

T

,

(1.45)

y

W

N

es una matriz simétri a on respe to a su diagonalque ontiene los fa tores de giro ade uadamente rotados

W

N

=

W

0

N

W

N

0

W

N

0

. . .

W

N

0

W

0

N

W

N

1

W

N

2

. . .

W

(N −1)

N

W

0

N

W

N

2

W

N

4

. . .

W

2(N −1)

N

. . . . . . . . . . . . . . .

W

0

N

W

(N −1)

N

W

2(N −1)

N

. . . W

(N −1)(N −1)

N

,

(1.46)

(38)

la matriz

W

N

es ono ida omo matriz de Fourier.

Noteque (1.43) representa la mejoraproxima ióna los oe ientes de Fourier

en el sentido de mínimos uadrados. Es de ir la DFT estima los oe ientes de la

mejor señal periódi a que se ajusta a la señal original en un sentido de mínimos

uadrados.

1.2.3. Respuesta en fre uen ia de la DFT

La respuesta en fre uen ia es útil para evaluar el desempeño de la DFT ante

el ontenido fre uen ial de su entrada, para obtener la respuesta en fre uen ia se

analiza(1.42),dela ualsepuedededu irquelaDFTestá formadaporun onjunto

de

N

ltros los uales están dados porlas hileras de

W

N

, además di has olumnas se rela ionanpormodula iones.

Para ilustrar lo anterior onsidere a una DFT de

N

puntos, la primera hilera de

W

N

representa la respuesta impulsionaldel primer ltro ( omponente de CD

4

.,

y está dada por:

h

1

[n] =

(

1 n = 0, 1, . . . , N − 1,

0

en otro aso,

(1.47)

uya respuesta en fre uen ia está dada por:

H

1

(ω) =

sen(

ωL

2

)

sen(

ω

2

)

e

−j(ω/2)(L−1)

.

(1.48)

Enton es,para la

i

-ésima olumnade la DFT se tiene:

h

i

[n] = h

1

[n]W

N

ni

,

(1.49)

mientrasquea onse uen ia de (1.49),en eldominiode lafre uen ialarespuesta en

fre uen ia de

h

i

[n]

orresponde al desplazamiento de

H

1

(ω)

a la

i

-ésima fre uen ia armóni a

H

i

(ω) = H

1

(ω − iW

N

).

(1.50)

Las respuestas en fre uen ia

H

i

(ω)

para

i = 0, 1, . . . , (N − 1)

implí itas en la DFT son mostradas en la Fig. 1.2, note que existen inltra iones en los estimados

debido a que la respuesta en fre uen ia del

i

-ésimo estimado solamente presenta ganan ia unitaria alrededor de la

i

-ésima armóni a y ganan ias nulas en todas las demás, on lo ual se tiene que el estimado estará ontaminado por ltra iones

4

La omponente de orriente dire ta(CD)delaseñal

x(t)

sedenepor

R

(39)

−6

−4

−2

0

2

4

6

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

u = f/f1

Magnitud

Respuesta en Frecuencia

Figura 1.2: Respuesta en fre uen ia delban o de ltros implí itoen laDFT.

de omponentes fre uen iales si la respuesta en fre uen ia de la señal existe no

solamenteenlasfre uen ias armóni as,esde ir silas ondi ionesde periodi idadno

son umplidas.

Conrespe toal omportamientodelaDFTanteseñales uasi-periódi as( omo

la mostrada en la Fig. 1), se tiene que la inltra ión de la

j

-ésima armóni a en el estimadodela

i

-ésimaarmóni aesenrealidadladerivadadelaprimera.Estosedebe alarespuesta en fre uen ia de laDFT, la ualpresentaganan iaslineales alrededor

de las armóni as queno son de interés, las uales orresponden a diferen iadoresde

(40)

La transformada Taylor-Fourier

2.1. Introdu ión

Laidea de este trabajo onsisteen relajarlasrestri iones impuestas sobrelas

armóni as en el modelo de señal usado en latransformada de Fourier alrepresentar

el omportamiento de ada armóni a dentro del intervalo de observa ión por una

onstante en amplitud y fase. En lugar de esto, ada armóni a será modelada por

una fun ión temporal dada por un polinomio de Taylor de orden mayor a ero. El

modelo expandido ondu e a una mejora delanálisis de Fourier al expandir la base

delaFT.Enestaforma,los oe ientesdelaTransformadaTaylor-Fourierin luirán,

en adi iónalvalorinstantáneo de adau tua iónarmóni a, susprimerasderivadas

omo en ualquier aproxima ión de Taylor. Enton es,el subespa iogenerado porla

TFT será igual omayoral generado porla base de la FT.En onse uen ia, el error

de aproxima ión de la TFT será siempremenor o igual alerror de aproxima ión de

la FT. Adi ionalmente, los oe ientes de orden ero preservan su signi ado físi o

y una mejora on respe to a las lási os oe ientes de Fourier, lo anterior se debe

a que la TFT repele las inltra iones de las derivadas de las u tua iones en sus

oe ientes.

Unaobje ión,eselhe hodequelostérminosdeTaylor

1, t, t

2

, . . . , t

K

noforman

una base ortogonal, así que la base formada por di hos elementos es biortogonal.

Esta obje ión puede ser respondida al argumentar que la ortogonalidad no es una

ondi ión ne esaria para la existen ia de la aproxima ión en el sentido de mínimos

uadrados. La úni a ondi ión ne esaria es la independen ia lineal de los ve tores

(41)

de

K

lo su ientemente grande, por lo ual no se puede garantizar que exista una solu iónpara ualquier onjuntode parámetros[36℄.

Enadi ión,si lasolu ión existe, larespuesta en fre uen ia delban ode ltros

aso iado al estimador es máximamente lisa alrededor de las fre uen ias armóni as.

La respuesta en fre uen ia posee ganan ias que orresponden a lasganan ias de los

diferen iadoresidealesalrededordelaarmóni adeinterés,yganan iasnulasen ada

otra fre uen ia armóni a.

La ontribu iónprin ipaldeestetrabajoeselproveerunanuevatransforma ión

digitalreferida omotransformadaTaylor-Fourier.La ualpropor ionaun ban ode

ltros FIR mejoradopara estima ión armóni a. Losnuevos ltrosposeenganan ias

lisas alrededor de la armóni a de interés (lo ual impli a una estima ión sin

distorsión en amplitud o fase de la misma), y mejor re hazo de la interferen ia

armóni a(ganan ianulaen ualquierotra armóni a).Medianteesta transforma ión

se obtienen nuevos oe ientes de Taylor en adi ión a las oe ientes de Fourier

mejorados, los nuevos oe ientes orresponden a los estimados de las primeras

derivadas de las armóni as dinámi as.

El resto del Capítulo se en uentra organizado de la siguiente manera: En

la primera se ión, el modelo de señal es des rito en sus versiones ontinua y

dis reta. Después, la respuesta en fre uen ia del ban o de ltros FIR aso iado al

estimadores ara terizada. Enseguidaseilustranalgunaspropiedadesdelestimador.

Unejemploespresentado,el ualilustralamejoraenlosestimados onrespe toalos

estimados obtenidos vía FFT. Finalmente se presentan las on lusiones prin ipales

y limita iones de la nueva té ni a.

2.2. Modelo de señal

Sea

L

2

(R)

el espa io de Hilbert que ontiene todas las fun iones reales absolutamenteintegrables,ysea

x(t) ∈ L

2

(R)

unaseñalnone esariamenteperiódi a, la ual está dada por:

x(t) =

H

X

h=0

(42)

x(t) =

H

X

h=−H

c

h

(t)e

j2πhf

1

t

,

(2.2)

donde

f

1

representa la fre uen ia fundamental,

H

el número máximo de armóni as in luidasen elmodelo,

a

h

(t)

y

ϕ

h

(t)

lasvaria ionesen amplitudy fasede la

h

-ésima armóni a.

En una forma ompa ta

c

h

(t) = a

h

(t)e

h

(t)

puede ser denida omo la

envolvente ompleja de ada armóni a

h

. Nuestra hipótesis prin ipal es que

c

h

(t)

es limitadaen bandapor

ρ

, on

ρ ≪ f

1

. Note quesi

ρ → 0

enton es

c

h

(t) → c

h

on

c

h

representando un oe iente omplejo onstante para toda

h

, y enton es (2.2) se onvertirá en la lási a fórmulade síntesis de laserie de Fourier:

x

p

(t) =

H

X

h=−H

c

h

e

j2πhf

1

t

,

(2.3)

on

x

p

(t)

siendo una señal periódi a.

Las señales periódi as puras pueden se representadas por (2.3) sin errores,

on

c

i

para

i = −H, . . . , H

representando a sus armóni as. Bajo estas ondi iones el análisis de Fourier es apropiado. Pero uando el sistema que genera la señal se

en uentra bajo un transitorio, existen varia iones en amplitudy fase que o asionan

una pérdida de periodi idad en la señal. En este aso (2.3) deja de ser un modelo

válido, y la estima ión realizadaserá pobre.

Por otro lado,si las varia iones en amplitudy fase son lentas omparadas on

la fundamental, el modelo expandido (2.1)-(2.2) es más apropiado, porque permite

ambios lentos en la armóni as, di hos ambios dinámi os deben de ser lentos para

que las armóni as puedan ser espe tralmente denidas por un onjunto de señales

paso banda on fre uen ias entrales lo alizadasen múltiplosde la fundamental

f

1

. Este enfoque abre las tradi ionales líneas espe trales de las armóni as en estado

esta ionario ave indades alrededor de ada fre uen iaarmóni a.

2.2.1. Caso ontinuo

Nuestro problema onsiste en en ontrar buenas estima iones de

c

h

(t)

usando las medi iones de

x(t)

dentro de una ventana de observa ión

t ∈ [−∆, ∆]

. Para al anzar esta meta se propone el uso de una base, la ual genera un subespa io

(43)

ψ

(k,h)

(t) = t

k

e

−j2πhf

1

t

,

t ∈ [−∆, ∆]

k = 0, 1, . . . , K

h = −H, . . . , H

(2.4)

los uales representan versiones moduladas de poten ias enteras de

t

(i.e. una serie de M Laurin de orden

K

alrededor de ada armóni a). Cualquier señal

x(t)

˜

pertene iente a

S

puede ser expresada por una ombina iónlineal de los elementos de labase:

˜

x(t) =

K

X

k=0

H

X

h=−H

σ

(k,h)

t

k

e

−j2πhf

1

t

.

(2.5)

Se requiere en ontrar la mejoraproxima ión

x(t)

˜

en

S

a

x(t)

en un sentido de mínimos uadrados, di ha aproxima ión está dada por:

ˆ

x(t) =

K

X

k=0

H

X

h=−H

ˆ

σ

(k,h)

t

k

e

−j2πhf

1

t

,

(2.6)

de (1.2)se tiene que los oe ientes óptimosestán dados por:

ˆ

σ

(k,h)

= h ˜

ψ

(k,h)

(t), x(t)i,

(2.7)

donde

ψ

˜

(k,h)

(t)

representa a los elementos de la base dual. La existen ia de di hos elementos es garantizada por la independen ia lineal de los elementos elegidos para

onstruir la base. Loselementos de la base dual

ψ

˜

(k,h)

(t)

pueden ser vistos omo los úni os elementosen

S

que garantizan satisfa er lasrestri iones de ortogonalidad.

(k,h)

(t), ˜

ψ

(ℓ,m)

(t)i =

(

1 k = ℓ, h = m

0

en otro aso,

t ∈ [−∆, ∆]

k, ℓ = 0, 1, . . . , K

h, m = −H, . . . , H.

(2.8)

Notequeelanálisisde Fourierusa unsub onjuntoortogonal( on

K

=0)de los elementosdelabase,el ualrepresenta orre tamentesolamenteaseñalesperiódi as.

Enton es, el estimado de Fourier es la mejor aproxima ión periódi a a

x(t)

en el sentido de mínimos uadrados. Vistode otra manera, Al in luirtérminos de Taylor

no onsideradosenlabasede Fourier,unamejoraproxima ióna

x(t)

será al anzada

||x(t) − ˆ

x(t)||

2

≤ ||x(t) − ˆ

x

F

(t)||

2

,

(2.9)

on

||· ||

2

representando la norma

L

2

. Note que la igualdad en (2.9) se umple sólo para

x(t)

periódi a.

Figure

Actualización...

Referencias