ACTIVIDADES REPASO TEMAS 10-11:FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS

ACTIVIDADES REPASO TEMAS 10-11:FIGURAS PLANAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS 1. Indica si los siguientes triángulos son rectángulos, acutángulos u obtusángulos, conociendo las medidas de sus lados:

a) 9 m, 17 m y 15 m b) 11 cm, 61 cm y 60 cm c)15 cm, 27 cm y 14 cm d)14 m, 50 m y 48 m Solución: a) b) c) d)

2. La sombra de una torre eléctrica mide 15m. y en el mismo instante, la sombra de un joven de 170cm, mide 1’8 m. ¿Cuál será la altura de la torre?. JUSTIFICA TODO LO QUE USES. Solución:

170cm

15 m 1,8 m

Tenemos que trabajar en metros o en centímetros, lo haré en metros.

Por semejanza de triángulos:

3. Un palo que mide 40 cm produce una sombra de 25 cm. En ese mismo instante un edificio proyecta una sombra de 5,2 m. ¿Cuál es la altura del edificio? JUSTIFICA TODO LO QUE USES.

5,2 m 25 cm

Tenemos que trabajar en metros o en centímetros, lo haré en metros.

Por semejanza de triángulos:

2 2 2 a) 9 15 81 225 306 306 289 Es acutángulo 17 289 2 2 2 b) 11 60 121 3 600 3721 Es rectángulo 61 3721 2 2 2 a) 15 14 225 196 421 421 729 Es obtusángulo 27 729 2 2 2 b) 14 48 196 2304 2500 Es rectángulo 50 2500

JUSTIFICACIÓN: Se trata de dos triángulos semejantes por tener dos ángulos iguales, uno el perpendicular al suelo de 90º y otro el de la inclinación de los rayos solares al ser en el mismo instante, por tanto puedo usar semejanza de triángulos.

h

40cm m

JUSTIFICACIÓN: Se trata de dos triángulos semejantes por tener dos ángulos iguales, uno el perpendicular al suelo de 90º y otro el de la inclinación de los rayos solares al ser en el mismo instante, por tanto puedo usar semejanza de triángulos.

4. Para medir la altura de una montaña, Pedro, de 182 cm de altura, se sitúa a 2,3 m de un árbol de 3,32 m situado entre él y la montaña de forma que su copa, la cima de dicha montaña y los ojos de Pedro se encuentran en línea. Sabiendo que Pedro se encuentra a 138 m del pie de la montaña, calcula la altura de la montaña. JUSTIFICA TODO LO QUE USES.

Solución:

Hacemos una representación del problema:

5. Halla la altura de un triángulo equilátero de 3 cm de lado. Solución:

6. En un triángulo isósceles, la base mide 10 cm y los otros dos lados miden 12 cm cada uno. Halla la altura correspondiente al lado desigual.

Solución:

7. a) Halla la altura h de este triángulo aplicando el teorema de Pitágoras.

JUSTIFICACIÓN: Se trata de dos triángulos semejantes por tener dos ángulos iguales, uno el

perpendicular al suelo de 90º y otro el de la inclinación de la visual de Pedro, por tanto puedo usar semejanza de triángulos.

La altura de la montaña será: x 1,82 90 1,82 91,82 m luego mide 91,82 metros

138 1,5 138

Luego: 90

1,5 2,3 2,3

x

x

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

La altura mide 2,6 cm.

2 2 2 2

3 h 1,5 h 9 2,25 6,75 h 6,75 2,6

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

La altura mide 10,91 cm.

2 2 2 2

12 h 5 h 144 25 119 h 119 10,91

Aplicamos el teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulos que se forman 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 169 h 441 42 h 42 272 13 h 21 400 h h 400 20 h x x x x x x x x 2 2 672 42 272 400 42 672 16 42 x x x x x 2 2 2 h 400 x 400 16 144 h 12 cm

b) Calcula el área del triángulo aplicando la fórmula de Herón y comprueba que la altura sobre el lado de 21 cm es la obtenida en el apartado a).

Aplicamos la fórmula de Herón

Comprobamos el valor de la altura

8. a) Calcula la altura h de este triángulo aplicando el teorema de Pitágoras:

b) Calcula ahora el área del triángulo aplicando la formula de Herón y comprueba que la altura sobre el lado de 21 cm es la obtenida en el apartado a).

Calculamos el área del triángulo usando la fórmula de Herón

Calculamos la altura h del triángulo

9. Halla el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 2 cm de radio. Solución:

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

El lado del cuadrado mide 2,83 cm 20 13 21 54

Semiperímetro 27

2 2 2

P

2

Área del triángulo 27 27 21 27 20 27 13 27 6 7 14 15876 126 cm

h 21 h 126 2 Área 126 h 12 cm 2 2 21 b 21 17 10 Semiperímetro 24 2 2 P 2

Área del triángulo 24 24 21 24 10 24 17 24 3 14 7 7056 84 cm

h 21 h Área 84 h 8 cm 2 2 b 2 2 2 2 2 2 4 4 8 8 2,83 x x x

Aplicamos el teorema de Pitágoras en los dos triángulos rectángulos que se forman: 2 2 2 _{2 2} 2 2 2 2 10 h _{100 h} 289 441 42 100 289 441 42 h 17 21 h 42 252 6 x _x x x x x x x 2 2 2 2 2 2 100 x h h 100 x h 100 36 h 64 h 8 cm

10. Halla el área de las siguientes figuras: a) b) a) Solución: b) Solución:

11. Halla el área de la zona coloreada:

Radio de la circunferencia es 5 cm

Solución:

Hallamos el valor de x aplicando el teorema de Pitágoras:

La base mayor del trapecio medirá 4 3 7 cm.

2 2 2 5 x 4 x 25 16 9 3 cm 2 2 2 2 2 2 Área de 2 6,28 cm 2 2 h 7 4 4 Área de 22 cm 2 2 Área total 6,28 22 28,28 cm r B b   2 2 2 2 2 2 2 Hallamos la altura del triángulo equilátero:

h 8 4 64 16 48 6,93 cm

h 8 6,93

Área del triángulo 27,71 cm

2 2

4

Área del semicírculo 8 25,13 cm

2 2 Área total 27,71 25,13 52,84 cm b r 2 2 2 2 2 h 5 5 Área de Área de 12,5 cm 2 2 5 Área de 6,25 19,63 cm 4 4 Área total 12,5 2 19,63 44,63 cm b r   

12. Halla el área de la siguiente figura:

13. Para pintar el monolito de la figura, han empleado 1kg de pintura para 6 m2 a) ¿Cuánta pintura han usado en total?

b) ¿Cuántos botes han tenido que comprar Si cada bote pesa 3 kg? JUSTIFICA LO QUE USES.

Por tanto, calculamos el área total como el área del rectángulo grande más 4 veces el área del triangulo.

Como usamos 1 kg para , entonces, hemos necesitado

Por lo que hemos de comprar 4 botes

14. a) De los siguientes cuerpos geométricos, di cuáles son poliedros y cuáles no. Razona tu respuesta. Solución: 2 2 2 2 2 2 2 2 2,5 80

Área del sector circular 4,36 cm

360 360

Área del rectángulo h 5 2 10 cm

Área del círculo formado por los dos semicírculos 1 3,14 cm

Área total 4,36 10 3,14 11,22 cm r

b

r

a) Si obtenemos el desarrollo plano obtenemos 4 triángulos y cuatro rectángulos

1,8 m 1,8 m

Aplicamos Pitágoras para calcular la altura ; = 4,92 m 6 m 5 m 5 m 0,9 0,9 m

b) ¿Cuál es la relación (llamada fórmula de Euler) que hay entre el número de caras, de vértices y de aristas en un poliedro simple?

Solución:

a Son poliedros I, IV, VI y VIII, pues son cuerpos geométricos cerrados, limitados por caras planas, que son polígonos.

b En un poliedro simple, si c es el número de caras, v el de vértices y a el de aristas, se cumple la siguiente relación llamada fórmula de Euler : c v a 2.

15. Dibuja el desarrollo plano de cada una de estas figuras:

Solución:

16. Indica, razonando tu respuesta, si las siguientes figuras son poliedros regulares o no:

(4 triángulos (6 triángulos

equiláteros) equiláteros)

Solución:

a No es regular, pues sus caras no son iguales. b Sí es regular. Se trata de un tetraedro.

c No es un poliedro, pues sus caras no son planas, no son polígonos.

d No es regular. Aunque sus caras sean triángulos equiláteros, en unos vértices concurren tres caras y, en otros, cuatro.

17. Halla el área total de cada una de estas figuras: a) b) c) d) b) La base es un rombo de diagonales 7cm y 3 cm a

Hallamos el área de una base:

El área de una cara lateral es: A 3 · 8 24 cm2 Área total 2 · 23,40 6 · 24 46,80 144 190,80 cm2 2 2 2 3 a 1,5 a 9 2,25 6,75 2,60 cm 2 18 2,60 Área 23,40 cm 2 2 P a

Hallamos el área de cada una de las dos bases:

Hallamos el área de una de las caras laterales:

2 2 6 3 36 9 27 5,20 cm x 2 2 2 1 4 1 3 1,73 cm a 2 1 12 1,73

Área base menor 10,38 cm

2 2

P a

A 2

2 36 5,20

Área base mayor 93,6 cm

2 2 P x A 2 2 3 3,47 9 12,0409 4,59 cm H Área total 10,38 93,6 6 · 18,36 214,14 cm2 2 H 6 2 4,59

Área de una cara lateral 18,36 cm

2 2

c) d)

e) Pirámide cuadrangular regular de 3 cm de altura y 8 cm de lado de la base.

Hallamos el valor de x para calcular el área de una de las caras laterales:

Área de la base 82 64 cm2

Área total 20 · 4 64 80 64 144 cm2

18. Calcula el volumen de las siguientes figuras:

a) b) c) 2 2 3 4 9 16 25 5 cm x 2 h 8 5

Área de una cara lateral 20 cm

2 2

b

Área de una de las caras laterales:

El lado del rombo es la base de la cara lateral:

Área total 2 · 10,5 4 · 11,43 21 45,72 66,72 cm2 2

7 3

a) Área de una base 10,5 cm

2 2 D d 2 2 2 3,5 1,5 12,25 2,25 3,81 cm l l 2 h 3,81 6

Área de una cara lateral 11,43 cm

2 2

b

Área de la base r2 4 12,57 cm2

Área lateral rg · 2 · 6 12 37,7 cm2 Área total 4 12 16 50,27 cm2

Solución:

a) Hallamos el área de la base:

Volumen del prisma Área de la base · altura 41,52 · 5 207,6 cm3

Volumen total 207,6 83,04 290,64 cm3

b) Es un prisma cuya base es un trapecio:

Volumen Área base · altura 28,15 · 6,5 182,98 cm3

c) Hallamos la altura, h, del cono:

19. Halla razonadamente el volumen de un tronco de cono cuyas dimensiones son: radios de las bases, 5 cm y 4 cm; altura, 2,5 cm. Solución: 2 2 4 2 16 4 12 3,46 cm a 2 24 3,46 Área base 41,52 cm 2 2 P a 3 1 1 1

Volumen de la pirámide Área base altura 41,52 11 5 41,52 6 83,04 cm

3 3 3 9 4 5 2,5 cm 2 2 2 2 h 5 2,5 25 6,25 18,75 4,33 cm 2 h 9 4 4,33 Área de la base 28,15 cm 2 2 B b 2 2 h 13 5 169 25 144 12 cm 2 2 3 1 1 1

Volumen Área base h h 5 12 100 314,16 cm

3 3 r 3

Utilizando la semejanza de triángulos, hallamos la altura de los dos conos:

La altura del cono grande es 12,5 cm y la del cono pequeño, 10 cm. 2,5 4 2,5 5 5 4 x x x x 10 4x 5x x 10 cm 2 2 3 cono pequeño cono grande 1 1

Volumen tronco de cono 5 12,5 4 10 159,7 cm

3 3

20. Calcula la superficie y el volumen de la mayor pirámide que cabe dentro de un ortoedro de dimensiones 5 m, 10 m y 12 m.

Solución:

Será una pirámide en la que la base y la altura coinciden con las del ortoedro. Calculamos su volumen:

Calculamos ahora su superficie, calculando previamente las alturas de las caras triangulares de bases 10 m y 5 m:

21. El departamento de logística de la empresa fabricante de bombones “que güeno esta el chocolate” quiere lanzar al mercado una nueva variedad, en cajas de 1000 cm3 de volumen. Se barajan varios

modelos para la caja:

A- base cuadrada. B-base hexagonal, C-base triángulo equilátero, D base circular. Todos ellos deben cumplir una condición, la altura de la caja debe ser de 5 cm.

El departamento elegirá el modelo que menor coste de producción represente, es decir, aquel que necesite menor cantidad de cartón para su construcción, tapa incluida.

¿Qué modelo elegirán?

NOTA: ESTE ÚLTIMO EJERCICIO ES PARA ATREVIDOS, AQUEL QUE LO ENTREGUE BIEN Y EXPLICADO ANTES DEL EXAMEN, TENDRÁ ENTRE 0 Y 2 PUNTOS PARA EL

EXAMEN. (EJERCICIO PARA HACER POR UNO MISMO, SI OS LO HACEN NO DARÉ NI UN PUNTO) 3 1 10 5 12 200 m 3 V 2 2 2 2 1 1 1 h 5 12 h 169 h 169 13 m 2 2 2 2 2 2 2 h 2,5 12 h 150,25 h 150,25 12,26 m 2 10 12,26 5 13 50 2 2 50 122,6 65 237,6 m 2 2 LATERAL BASE S S S