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Matrices para trabajar una lluvia de datos.

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(1)

Matrices para

Matrices para

trabajar una lluvia

trabajar una lluvia

de datos

de datos

Marta Martín Sierra

Marta Martín Sierra

Abel Martín

Abel Martín

IES Pérez de Ayala de Oviedo

Facultad de Matemáticas. Universidad de Oviedo.

(2)

Segundo de Bachillerato. Matemáticas

Aplicadas a las Ciencias Sociales II.

NIVEL CURRICULAR

NIVEL CURRICULAR

Tema: matrices

.

.

(3)

Actividad on-line

Plataforma Moodle…

Plataforma Moodle…

(a) Se inicia en casa.

(c) Se finaliza en casa.

(b) Puesta común inicial en

una sesión de clase.

(4)

OBJETIVOS

OBJETIVOS

- Utilizar el lenguaje matricial, representar e interpretar tablas de

números mediante matrices, identificando sus elementos

concretos y aplicando las operaciones necesarias como

instrumento para el tratamiento de situaciones que manejen datos

estructurados en forma de tablas, resolviendo situaciones.

- Fomentar que los alumnos desarrollen las capacidades de

"pensar" y “tomar decisiones”, objetivo fundamental de las

Matemáticas…

- Valorar la importancia de los medios TIC que tenemos a nuestra

disposición, en el tratamiento de información: calculadoras,

(5)

Nos planteamos

Nos planteamos

¿Cómo organizo los

datos?

¿Qué operaciones tengo

que realizar?

Reflexionar acerca de

los resultados que voy

(6)

ACTIVIDAD EN PEQUEÑO GRUPO…

ACTIVIDAD EN PEQUEÑO GRUPO…

1 hoja con viñetas 2 hojas con cuestiones

En profesorado hará de moderador…

(7)

MATEMÁTICAS Libretas: 22 Lápices: 15 Bolígrafos: 40 Rotuladores: 6 Paquete folios: 2 MATEMÁTICAS Libretas: 22 Lápices: 15 Bolígrafos: 40 Rotuladores: 6 Paquete folios: 2

Pedido de materiales fungibles solicitados por 3 departamentos Didácticos. Cada uno de ellos hace unas peticiones iniciales pero, como consecuencia

del aumento del presupuesto, hacen una segunda demanda.

MATRICES PARA TRABAJAR UNA LLUVIA

MATRICES PARA TRABAJAR UNA LLUVIA

DE DATOS

DE DATOS

MATEMÁTICAS Libretas: 18 Lápices: 20 Bolígrafos: 32 Rotuladores: 21 Paquete folios: 6 MATEMÁTICAS Libretas: 18 Lápices: 20 Bolígrafos: 32 Rotuladores: 21 Paquete folios: 6 HISTORIA Libretas: 6 Lápices: 17 Bolígrafos: 34 Rotuladores: 6 Paquete folios: 8 HISTORIA Libretas: 6 Lápices: 17 Bolígrafos: 34 Rotuladores: 6 Paquete folios: 8 HISTORIA Libretas: 8 Lápices: 39 Bolígrafos: 62 Rotuladores: 7 Paquete folios: 8 HISTORIA Libretas: 8 Lápices: 39 Bolígrafos: 62 Rotuladores: 7

Paquete folios: 8 LENGUA

Libretas: 9 Lápices: 13 Bolígrafos: 18 Rotuladores: 6 Paquete folios: 8 LENGUA Libretas: 9 Lápices: 13 Bolígrafos: 18 Rotuladores: 6 Paquete folios: 8 LENGUA Libretas: 15 Lápices: 16 Bolígrafos: 36 Rotuladores: 4 Paquete folios: 8 LENGUA Libretas: 15 Lápices: 16 Bolígrafos: 36 Rotuladores: 4 Paquete folios: 8

DEPARTAMENTOS…

(8)

El administrador hace el pedido a 3 proveedores, que le ofertan

estos presupuestos en euros y por unidad.

PROVEEDORES…

PROVEEDOR A: /unidad PROVEEDOR A: /unidad Libretas: 4.6 € Lápices: 0.55 € Bolígrafos: 1.25 € Rotuladores: 2.1 € Paquete folios: 4 € PROVEEDOR B:

PROVEEDOR B: €€/unidad/unidad

Libretas: 5 € Lápices: 0.5 € Bolígrafos: 1.1 € Rotuladores: 2.5 € Paquete folios: 4.1 € PROVEEDOR C:

PROVEEDOR C: €€/unidad/unidad

Libretas: 4 € Lápices: 0.6 € Bolígrafos: 1.3 € Rotuladores: 2.45 € Paquete folios: 3.95 €

MATRICES PARA TRABAJAR UNA LLUVIA

MATRICES PARA TRABAJAR UNA LLUVIA

DE DATOS

DE DATOS

(9)

(A) Resume, inicialmente, las informaciones de la viñeta en 2 matrices:

CUESTIONES

CUESTIONES

(a1) Matriz A: Segundo pedido de materiales, según los departamentos.

- Debemos dejar claro que hay unos

primeros minutos en los que el alumnado

tiene que empezar a tomar decisiones y

anotar las dudas que surjan de cara a una primera puesta en común…

- ¿Cuál corresponde al primer pedido? ¿La

que vemos en la viñeta encima o la que está debajo?

¿Qué colocamos en las filas y las columnas?

(10)

ANÁLISIS PREVIO

ANÁLISIS PREVIO

- Unos pocos se decantan por la de arriba como

primer pedido y la de abajo como el segundo,

siguiendo una especie de orden cronológico directo. Por la misma razón, otros las colocan al revés, ya que el segundo iría encima del primero.

- Este último caso es el que escogen la mayoría, pero basándose en la observación de que los

presupuestos aumentaron y, parece ser, que la

hoja de encima suele tener, en general, cantidades superiores.

Sólo un equipo expone sus dudas y menciona la

aclaración "suponiendo que el primero está en la

hoja de abajo…", argumentando su respuesta en

el sentido anteriormente expuesto. MATEMÁTICAS Libretas: 22 Lápices: 15 Bolígrafos: 40 Rotuladores: 6 Paquete folios: 2 MATEMÁTICAS Libretas: 22 Lápices: 15 Bolígrafos: 40 Rotuladores: 6 Paquete folios: 2 MATEMÁTICAS Libretas: 18 Lápices: 20 Bolígrafos: 32 Rotuladores: 21 Paquete folios: 6 MATEMÁTICAS Libretas: 18 Lápices: 20 Bolígrafos: 32 Rotuladores: 21 Paquete folios: 6

- Nadie decide que las hojas puedan estar colocadas al azar, sin una

(11)

HERRAMIENTA

HERRAMIENTA

TIC

TIC

A UTILIZAR…

A UTILIZAR…

fx

fx

CG 20

CG 20

CASIO

(12)

(A) Resume, inicialmente, las informaciones de la viñeta en 2 matrices:

(A) RESUMIENDO…

(A) RESUMIENDO…

Artículos [Libretas, lápices, bolígrafos, rotuladores y paquetes de folios]

(a1) Matriz A: Segundo pedido de materiales, según los departamentos.

Departamentos [Matemáticas, Historia, Lengua]

(a2) Matriz B: Primer pedido de materiales, según los departamentos.

A rt íc u lo s Departamentos A rt íc u lo s Departamentos

(13)

(A) ELEMENTOS DE UNA MATRIZ

(A) ELEMENTOS DE UNA MATRIZ

(a3) Las dimensiones de ambas matrices…

(a4) El elemento a12 = 8, señala que…

El elemento b34

…en el segundo pedido, el Departamento de Historia reclama 8 libretas…

…no nos da información pues,

sencillamente, no existe, no hay ningún elemento en la fila 3 y columna 4.

5x3

Artículos [Libretas, lápices, bolígrafos, rotuladores y paquetes de folios]

Departamentos [Matemáticas, Historia, Lengua]

A rt íc u lo s Departamentos A rt íc u lo s

(14)

(B) El administrador acude a tres proveedores que le dan los precios señalados en la viñeta…

(B) MATRIZ PRECIOS

(B) MATRIZ PRECIOS

Precio €/u [Libretas, lápices, bolígrafos, rotuladores y paquetes de folios]

(b1) Representa, en forma de matriz, los distintos precios de los

proveedores según los artículos, denomínala matriz P (Precios) y señala sus

dimensiones. Proveedores [A, B, C] P re c io s Proveedores

(15)

(b2) Haz un boceto con las operaciones aritméticas que habría que hacer, sin utilizar matrices, para calcular el presupuesto que se le presentará a

cada departamento cada uno de los proveedores solicitados…

(B) MATRIZ PRECIOS

(B) MATRIZ PRECIOS

Aritméticamente, para saber el presupuesto de cada departamento, según el proveedor utilizado, habrá que realizar las siguientes operaciones: Por ejemplo, al Departamento de Matemáticas, el proveedor A le presentará

el siguiente presupuesto siendo, en cada sumando, el número de unidades en el primer factor y el precio, en el segundo:

ΣΣΣΣ (Unidades · Precio) = = 18 · 2.1 + 20 · 0.55 + 32 · 1.25 + 21 · 2.1 + 6 · 4 = 156.9 € P re c io s Proveedores A, B, C A rt íc u lo s Departamentos

(16)

(b3) Si utilizamos matrices, ¿a qué operaciones matriciales corresponden? A la matriz resultante llámala matriz D

(Departamentos/presupuestos) y señala sus elementos. ¿Qué dimensiones tiene esta matriz D?

(B) PRESUPUESTOS…

(B) PRESUPUESTOS…

¿Cómo colocamos las matrices y qué operación tenemos que realizar para obtener la solución en forma matricial?

D = A

t

· P

D e p a rt a m e n to s Proveedores D e p a rt a m e n to s A rt íc u lo s Artículos Proveedores

(17)

(b4) Realiza un comentario crítico de los resultados obtenidos,

explicando la matriz resultante y señalando qué proveedor será el más aconsejable para cada departamento con el segundo pedido.

(B) ANÁLISIS CRÍTICO…

(B) ANÁLISIS CRÍTICO…

Al Departamento de Matemáticas le resulta más económico el proveedor A, que le cobrará 156.9 euros,

al de Historia el proveedor B, que le cobra 159.4 euros y al de Lengua el C, que le cobra 156.65 euros.

D e p a rt a m e n to s Proveedores

(18)

(C) El Consejo Escolar, en un guiño a los momentos de crisis, decide

reducir en el último pedido 3 unidades de cada uno de los materiales del

departamento de matemáticas, 2 del de lengua y 1 unidad en los del departamento de historia..

(C) CONSEJO ESCOLAR…

(C) CONSEJO ESCOLAR…

(c2) Expresa la matriz E que nos indique la nueva matriz pedido de los

departamentos, una vez aplicada la reducción…

(c1) Indica una matriz R que simbolice dicha reducción.

A rt íc u lo s Departamentos A rt íc u lo s Departamentos

(19)

(c3) ¿Cuáles son los nuevos presupuestos ofertados por los proveedores, una vez aplicada la decisión del Consejo Escolar?

Llámala matriz N.

(C) CONSEJO ESCOLAR…

(C) CONSEJO ESCOLAR…

¿Cómo colocamos las matrices y qué operación tenemos que realizar para obtener la solución en forma matricial?

N = E

t

· P

D e p a rt a m e n to s Proveedores

Se mantendrán los proveedores ya que, para cada departamento, siguen siendo más baratos los que ya se habían elegido.

D e p a rt a m e n to s Proveedores

(20)

Si hay que añadirle un 6% en concepto de IVA, construye una matriz V con el nuevo importe presupuestario por departamento y proveedor.

(D) AÑADIENDO IMPUESTOS…

(D) AÑADIENDO IMPUESTOS…

A cobrar →→→→

V = 1.06 · N

D e p a rt a m e n to s Proveedores 106 100 = 1.06 D e p a rt a m e n to s Proveedores

(21)

(E) UNIFICANDO PROVEEDORES…

(E) UNIFICANDO PROVEEDORES…

Pista: Tenemos que conseguir que la operación a realizar sea algo así...

P ro v e e d o re s Euros

Presupuesto del proveedor A para los distintos departamentos:

= 134.514 + 161.597 + 150.202

(e1) Si queremos hacer el pedido a un solo proveedor para ahorrar gastos de envío, diseña y comenta una estrategia que nos pudiese permitir averiguar

"matricialmente" cuánto va a ser el total de cada uno de los proveedores, independientemente de los departamentos. Comenta lo que haces. A la nueva

matriz obtenida denomínala matriz U y señala sus dimensiones.

U = V

t

· I

D e p a rt a m e n to s Proveedores

(22)

(E) UNIFICANDO PROVEEDORES

(E) UNIFICANDO PROVEEDORES

P ro v e e d o re s Euros

Los proveedores A, B y C pasan al instituto un presupuesto

conjunto de, respectivamente, 446.31, 442.34 y 461.68 €,

IVA incluido, por lo que el más económico, en conjunto,

será el proveedor B.

U = V

t

· I

(23)

(F) PREVISIÓN DE AUMENTO DE PRECIOS…

(F) PREVISIÓN DE AUMENTO DE PRECIOS…

PREVISIÓN

AUMENTO DE

PRECIOS:

Enero: 0.23%

Febrero: 0.17%

Marzo: 0.35%

Abril: 0.5%

Mayo: 0.4%

Junio: 0.3%

PREVISI

PREVISI

Ó

Ó

N

N

AUMENTO DE

AUMENTO DE

PRECIOS:

PRECIOS:

Enero: 0.23%

Enero: 0.23%

Febrero: 0.17%

Febrero: 0.17%

Marzo: 0.35%

Marzo: 0.35%

Abril: 0.5%

Abril: 0.5%

Mayo: 0.4%

Mayo: 0.4%

Junio: 0.3%

Junio: 0.3%

(24)

(F) SUBIENDO PRECIOS…

(F) SUBIENDO PRECIOS…

PREVISIÓN AUMENTO DE PRECIOS: Enero: 0.23% Febrero: 0.17% Marzo: 0.35% Abril: 0.5% Mayo: 0.4% Junio: 0.3% PREVISI

PREVISIÓÓN AUMENTO DE N AUMENTO DE PRECIOS: PRECIOS: Enero: 0.23% Enero: 0.23% Febrero: 0.17% Febrero: 0.17% Marzo: 0.35% Marzo: 0.35% Abril: 0.5% Abril: 0.5% Mayo: 0.4% Mayo: 0.4% Junio: 0.3% Junio: 0.3%

(f1) Si la previsión del aumento de los precios es la que aparece en la

viñeta del enunciado, ¿cuáles serán los presupuestos, según los

Departamentos dados, por los distintos proveedores si se hace el

pedido a finales de junio? Llama a la nueva matriz S.

NOTA: En febrero, por ejemplo, no sube un 0.17 simplemente, sino un 0.17 de lo que había subido en enero más el 0.23 que ya había subido. Se trata pues de un problema de los que denominamos de

(25)

(F) SUBIENDO PRECIOS…

(F) SUBIENDO PRECIOS…

PREVISIÓN AUMENTO DE PRECIOS: Enero: 0.23% Febrero: 0.17% Marzo: 0.35% Abril: 0.5% Mayo: 0.4% Junio: 0.3% PREVISI

PREVISIÓÓN AUMENTO DE N AUMENTO DE PRECIOS: PRECIOS: Enero: 0.23% Enero: 0.23% Febrero: 0.17% Febrero: 0.17% Marzo: 0.35% Marzo: 0.35% Abril: 0.5% Abril: 0.5% Mayo: 0.4% Mayo: 0.4% Junio: 0.3% Junio: 0.3%

Enero y febrero Marzo y abril Mayo y junio

Nuevo precio:

(26)

(F) SUBIENDO PRECIOS

(F) SUBIENDO PRECIOS

Realmente el IVA se aplica después de obtenidos los nuevos precios; así que a quien hay que aplicarle la subida con el 1.0196

es a la matriz N y luego añadirle el 6% de IVA.

S

1

= 1.01965555·N

D e p a rt a m e n to

s Proveedores Preparamos la calculadora para trabajar

con solo 2 decimales , al tratarse de €

D e p a rt a m e n to s Proveedores

(27)

(F) SUBIENDO PRECIOS…

(F) SUBIENDO PRECIOS…

Ahora aplicamos el IVA y llamamos a la nueva matriz S

S = 1.06·S

1

D e p a rt a m e n to s Proveedores D e p a rt a m e n to s Proveedores

(28)

(G) LLEGAN NUEVAS NECESIDADES

(G) LLEGAN NUEVAS NECESIDADES

(g1) Los departamentos solicitan añadir otros dos artículos en sus pedidos, en concepto de tinta para impresora y correctores de escritura,

respectivamente, con las siguientes unidades:

Matemáticas, 2 y 4, Historia, 3 y 6, Lengua, 2 y 7.

Los precios que los proveedores les ofertan son, respectivamente:

Proveedor A, 7.1 y 0.8 €, proveedor B, 8.05 y 0.6 €, proveedor C, 9.45 y 0.4 €.

Plasma en una matriz L sólo los nuevos artículos pedidos por departamento y en una matriz M los proveedores y precios de los artículos.

D e p a rt a m e n to s Materiales nuevos Matriz L P ro v e e d o re s Precios Matriz M

(29)

(G) LLEGAN NUEVAS NECESIDADES

(G) LLEGAN NUEVAS NECESIDADES

(g2) Escribe una nueva matriz K con el nuevo pedido total por departamentos. D e p a rt a m e n to s Artículos nuevos

Reordenamos las matrices para poder añadir las columnas correspondientes

A rt íc u lo s Departamentos

Matriz K Augment(Trn Mat E, Mat L)

D e p a rt a m e n to s

(30)

(G) LLEGAN NUEVAS NECESIDADES

(G) LLEGAN NUEVAS NECESIDADES

(g3) Escribe una nueva matriz Q con todos los precios ofertados por cada proveedor.

Reordenamos las matrices para poder añadir las columnas correspondientes

Matriz Q Augment(Trn Mat P, Mat M)

P ro v e e d o re s

Todos los precios

P ro v e e d o re s Precios P re c io s Proveedores

(31)

(G) Departamentos/presupuestos

(G) Departamentos/presupuestos

(g4) Calcula el presupuesto en forma de matriz O que se le presentará a cada departamento según el proveedor donde se haga el pedido sin

IVA, señalando las operaciones matriciales realizadas, etc.

P ro v e e d o re s

Todos los precios por artículo

D e p a rt a m e n to s

Todos los artículos

3x7 3x7 7x3

K · Q

t

K

Q

O =

(32)

(G) Departamentos/presupuestos

(G) Departamentos/presupuestos

D e p a rt a m e n to s Proveedores 3x3

K · Q

t

O =

Matriz O

(33)

(G) Nuevos presupuestos con IVA

(G) Nuevos presupuestos con IVA

(g5) La matriz W será la que indique el precio final, con IVA. Realiza un comentario crítico del proveedor más interesante, por departamento.

1.06 · Mat O

Mat W

Al Departamento de Matemáticas, con pedidos de las nuevas cosas, le

cobran respectivamente, 152.96, 156.46 y 172.83 €, según se trate del proveedor A, B o C

Al Departamento de Historia le cobran respectivamente, 189.26, 187.57 y

198.33 €, según se trate del proveedor A, B o C.

Al Departamento de Lengua le cobran respectivamente, 171.19, 168.86 y

167.85 €, según se trate del proveedor A, B o C.

D e p a rt a m e n to s Proveedores

(34)

(G) Nuevos presupuestos con IVA

(G) Nuevos presupuestos con IVA

1.06 · Mat O

Mat W

Al Departamento de Matemáticas le resulta más económico el

proveedor A, que le cobrará 152.96 €, al de Historia el proveedor

B, que le cobra 187.57 € y al de Lengua el proveedor C que le

cobra y 167.85 €. D e p a rt a m e n to s Proveedores D e p a rt a m e n to s Proveedores

(35)

(G) Pedido a un solo proveedor

(G) Pedido a un solo proveedor

(g6) Si queremos hacer todo el pedido a un solo proveedor, ¿cuánto va a ser el total de cada uno de los proveedores, independientemente de los departamentos? A la nueva matriz obtenida denomínala matriz

C y haz un breve comentario de los resultados obtenidos.

W

t

· I

Mat C

Los proveedores A, B y C pasan al instituto un presupuesto conjunto de, respectivamente, 513.41, 512.88 y 539.01 €, IVA

incluido, por lo que el más económico será el proveedor B.

P ro v e e d o re s Presupuesto total P ro v e e d o re s Presupuesto total

(36)

(H) Seguimos pensando…

(H) Seguimos pensando…

Dada la siguiente matriz X, donde se expresan, en las filas, los

departamentos de matemáticas, tecnología y física, y en las columnas, las unidades de libros, calculadoras y cajas de DVD y la matriz Z, que nos da los presupuestos suministrados a cada uno de estos 3 departamentos por

los almacenes (A, B y C) en los conceptos antes mencionados…

Calcula los distintos precios por unidad a los que cada

Almacén A, B, C han puesto los libros, calculadoras y

cajas de DVD.

D e p a rt a m e n to s Artículos D e p a rt a m e n to s Presupuestos suministrados

X

X

Z

Z

L C DVD A B C

(37)

(H) Seguimos pensando…

(H) Seguimos pensando…

D e p a rt a m e n to s Artículos D e p a rt a m e n to s Presupuestos suministrados

X

X

Z

Z

L C DVD A B C

4

10

14

12

7

7

5

12

10

          i h g f e d c b a

=

          256 248 218 255 5 . 269 223 5 . 339 338 304

·

a: €, libros, Sum. A d: €, calcul, Sum. A g: €, DVD, Sum. A b: €, libros, Sum. B e: €, calcul, Sum. B h: €, DVD, Sum. B c: €, libros, Sum. C f: €, calcul, Sum. C i: €, DVD, Sum. C

(38)

(H) Utilización de la matriz inversa…

(H) Utilización de la matriz inversa…

Las operaciones a realizar son las siguientes:

4

10

14

12

7

7

5

12

10

          i h g f e d c b a

=

          256 248 218 255 5 . 269 223 5 . 339 338 304

X · Y = Z

·

X

-1

· X · Y = X

-1

· Z

Y = X

-1

· Z

El proveedor A pone los libros, las calculadoras y los paquetes de DVD, respectivamente a 8€, 17€ y 4€. El B, a 7.5€, 19€ y 7€ y el C a 6€, 21€ y 5.5€ D e p a rt a m e n to s Artículos

(39)

Consideraciones finales (I)

Consideraciones finales (I)

El objetivo es que todo el profesorado pueda ir

introduciendo este tipo de metodología con

calculadoras, bien sea con la ayuda del modelo de

mano o con el emulador cargado en nuestro PC, en su

netbook, etc.

Para hacer esta actividad hay que tener las ideas muy

claras y relacionar con presteza el lenguaje usual y el

lenguaje matricial. Existen multitud de cálculos, de

conceptos, de operaciones matriciales, con muchos

números que pueden hacer que nos perdamos en

cualquier momento

(40)

Consideraciones finales (II)

Consideraciones finales (II)

Es importante hacer hincapié en que el alumno

haga un comentario de lo que está haciendo. Lo

normal es que nos coloque operaciones y

resultados, sin más, sin análisis crítico de

resultados y sólo preocupado por la aritmética y los

cálculos, sin ningún tipo de reflexión ni

conclusiones, cercenando la posibilidad de valorar

por parte del profesor el trabajo realizado, pues

(41)

Consideraciones finales (III)

Consideraciones finales (III)

Como se puede apreciar, los cálculos numéricos

son cada vez más

largos y tediosos y la calculadora

cobra cada vez más importancia

a la hora de

resolver los problemas y tomar decisiones. Lo

verdaderamente

difícil es pensar

cómo organizar

(42)

Consideraciones finales (III)

Consideraciones finales (III)

La idea final es ir proponiendo, en un intento de

desarrollar el concepto de "inteligencia distribuida",

actividades y prácticas de manera TEMÁTICA. En

nuestro caso, desde las Web

www.aulatematica.com

con el objetivo de trabajar

los temas desde puntos de vista alternativos, con

un PDF que incluye la actividad para el alumnado,

otro, con clave, como cuaderno del profesorado,

(43)

CONCLUSIONES

CONCLUSIONES

En la construcción del conocimiento, los

medios tecnológicos son herramientas

esenciales para enseñar, aprender y, en

(44)

CONCLUSIONES

CONCLUSIONES

Las aulas de Nuevas Tecnologías están cada día

más saturadas y no siempre se pueden utilizar

cuando se necesitan. Un aula con ordenadores, la

disposición de las mesas, etc. suponen unas

barreras difíciles de salvar a la hora de agrupar a

los alumnos, de fomentar el trabajo en grupo y la

ayuda entre iguales. Con las máquinas calculadoras

(45)

CONCLUSIONES

CONCLUSIONES

No sólo permiten validar nuestras respuestas y

consolidar conceptos aprendidos.

(46)

CONCLUSIONES

CONCLUSIONES

Son un elemento de investigación matemática

importantísimo. En multitud de casos, con una

calculadora gráfica, se pueden contrastar

conjeturas, verificar hipótesis…

(47)

CONCLUSIONES

CONCLUSIONES

El objetivo fundamental de las Matemáticas es

aprender a pensar, abrir la mente, y las

operaciones, en sí mismas, no deben ser el fin de

las matemáticas, sino uno de los caminos que nos

lleven al objetivo final:

(48)

CONCLUSIONES

CONCLUSIONES

También se puede analizar, razonar,

representar, comunicar y valorar ideas

matemáticas a través de "ejercicios" y

prácticas.

(49)

¿Quién puede decir que no se han

hecho matemáticas en la realización de

esta actividad, con la ayuda de

herramientas TIC como son las

calculadoras?

Referencias

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