CONTROL ANALÓGICO I. MODELADO MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DE CONTROL Unidad II

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(1)

MODELADO MATEMÁTICOS DE

SISTEMAS DE CONTROL

Unidad II

(2)

Modelado de sistemas

 Con la finalidad de diseñar y analizar el comportamiento dinámico de un sistema físico, es necesario obtener modelos

matemáticos cuantitativos de ellos.

(3)

Modelado Cont.

(4)
(5)

 La mayoría de los sistemas de interés en el área de control son de naturaleza

dinámica, la forma general de una

ecuación diferencial lineal de orden n es:

Donde:

u es la entrada del sistema y es la salida del sistema

1 1 1 1 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) .. ( )              n n m m n n n n m m m m d y t d y t d u t d u t a a a y t b b b u t dt dt dt dt

(6)

Representación

 Además

a0,a1,…,an y b0, b1,…,bm son constantes o funciones del tiempo.

1 1

1 ... 0 1 ... 0

n n m m

n n m m

(7)

Tipos de sistemas

 Para los sistemas físicos , además:

 Si los coeficientes son constantes, se trata de sistemas lineales invariantes en el tiempo

(SLIT), por ejemplo: redes eléctricas, sistemas de suspensión de automóviles, motores

eléctricos, etc.

 Si los coeficientes son variables, se les llama sistemas variantes en el tiempo (SLVT), como ejemplo tenemos: aviones, hornos, cohetes, etc.

(8)

Ejemplos

 Analice cada ecuación diferencial y determine tipo de sistema al que

(9)

FUNCION DE TRANSFERENCIA

 La función de transferencia de un sistema se define como la relación entre la

transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales se hacen igual a cero.

L( ) ( )

L( ) ( )

y Y s

u U s

Ec. Diferencial Ec. Algebraica

Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia

L 1  L 1 1 0 1 1 0 ... ( ) ( ) ... m m m m n n n n b s b s b Y s n m U s a s a s a            

(10)

 De hecho, la transformada de Laplace

permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en

ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.

 Una vez que se ha estudiado el

comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.

¿Por qué Transformada de

Laplace?

(11)

Ejemplos: Obtención de función

de transferencia

 Obtener la función de transferencia de los siguientes sistemas así como los polos y ceros de la misma.

(12)

OBTENCIÓN DE F.T DE

SISTEMAS

 Considere un circuito eléctrico RC de la figura 2.3, aplique las leyes de voltajes

de kirchhoff para obtener la ecuación diferencial que rige la dinámica del sistema y a partir de esta determine la función de transferencia del circuito considerando como salida Vo(t) y como entrada Vi(t).

Vi (t) + -R C i(t) Vo(t) +

-Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff

0

( ) ( ) ( ) 0

i

(13)

Filtro pasa-bajas

Frecuencia de corte

(14)

 Además 0 1 ( ) ( ) V t i t dt C   i t( ) C dV t0( ) dt

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la primera

0 0 ( ) ( )  ( )  0 i dV t V t RC V t dt 0 0 ( ) ( ) ( )   i dV t RC V t V t dt

(15)

 Aplicando 0( ) 0( )  i( ) E s RCsE s E s 0( ) 1 ( ) 1 i E s E sRCs  1 s RC   Factorizando y reacomodando

Obsérvese que el polo del sistema está localizado en .

(16)

Función de Transferencia de

Elementos en Cascada

 Se dice que dos elementos están en cascada, cuando la salida del primero corresponde a la entrada del segundo. Hay dos casos:

1. Si los elementos no se cargan.

2. Si el segundo elemento produce un

efecto de carga sobre el primero, es decir, si el segundo elemento toma

(17)

 En el primer caso se puede obtener una función de transferencia del sistema

simplemente eliminando la salida y entrada intermedias.

(18)

 Si el segundo elemento no carga al primero, obtenemos   3   3   2       2 1 1 2 1 X s X s X s G s G s G s X s X s X s    

(19)

Ejemplo

 Sea el siguiente sistema eléctrico en

cascada mostrado en la figura, obtener la función de transferencia .0( )

( )

i

V s V s

(20)

Diagramas de bloques

 Esta representación gráfica permite

describir de manera clara el

funcionamiento de un sistema real (amplificadores, control de motores, circuitos eléctricos, servomecanismo, hornos, etc.), debido a que muestra como se realiza el flujo de señales dentro del mismo.

(21)

Elementos básicos

Punto de suma: Indica la suma o resta de señales.

Puntos de toma o derivación: Se emplea para indicar que alguna señal sale  a diferentes lugares. + -+ G(s) C(s) R(s) R2(s) R1(s) R3(s) C(s)=R1(s)+ R2(s)-R3(s) Y(s) Y(s) Y(s) Y(s) a) b) c)

(22)

Reglas para reducir diagramas de

bloques

 Una regla para simplificar un diagrama de bloques

consiste en desplazar los puntos de toma hacia la salida y los puntos de suma hacia la entrada e ir reduciendo los lazos internos de retroalimentación aplicando las reglas de las tablas siguientes.

En toda simplificación de diagrama de bloques se deben cumplir las siguientes reglas básicas.

 El producto de F.T. a lo largo de un trayecto desde la

entrada hasta la salida (siguiendo el sentido de las flechas) debe permanecer constante.

 El producto de F.T. a lo largo de un lazo también

(23)
(24)
(25)

Ejemplo

( ) ( ) Y s R s Y(s) R(s) + -+ -1( ) G s G s2( ) G s3( ) 1( ) H s 2( ) H s

Reduzca el diagrama de bloques mostrado en la figura y obtenga la función de transferencia

(26)

 Usando regla 6 Y(s) R(s) + -+ -1 1 ( ) G s 1( ) G s 1( ) H s 2( ) G s G s3( ) 2( ) H s

(27)

 Ahora a partir de la regla 9 y 4 obtenemos el sistema mostrado Y(s) R(s)+ -+ -1 1 ( ) ( ) H s G s 1( ) 2( ) G s G s 3( ) G s 2( ) H s 3 1 ( ) G s

De igual forma usando la regla 4 al esquema de la figura obtenemos

Y(s) R(s) + -+ -1 1 ( ) ( ) H s G s 1( ) 2( ) 3( ) G s G s G s 2 3 ( ) ( ) H s G s

(28)

 Por regla 13 y 2 aplicada a la figura obtenemos Y(s) R(s) + -+ -2 3 ( ) ( ) H s G s 1 2 3 1 1 2 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) G s G s G s H s G s G s G s G s     

Simplificando vía regla 13 el sistema de la figura llegamos al esquema mostrado Y(s) R(s)+ -1 2 3 2 3 1 1 2 3 2 2 3 1 3 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) G s G s G s G s G s H s G s G s G s H s G s G s H s G s      

(29)

 Simplificando Y(s) R(s) 1 2 3 2 3 1 1 2 2 1 2 3 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G s G s G s G s G s H s G s G s H s G s G s G s

(30)

Ejemplo

 Reduzca el diagrama de bloques

mostrado en la figura y obtenga la función de transferencia Y(s) R(s) + -+ + 8 2 10 s s  s 1 1 s 1 s s

(31)

-solución

 Por regla #9 Y(s) R(s) + -+ + 8 2 10 s s  s 1 1 s  1 s s -2 10 s s s  

(32)

 Por regla #4 y #6 Y(s) R(s) + -+ + 1 8 2 10 s s  s 1 s s  -2 10 ( 1) s s s s    8

(33)

 Por Regla #1 Y(s) R(s) + -+ + 2 8 10 s s  s 8 8 s s -2 10 ( 1) s s s s   

(34)

Solución Cont.

 Por regla #13 Y(s) R(s) + -+ 2 8 10 s s  s 1 8 8 s s  -2 10 ( 1) s s s s   

(35)

Solución Cont.

 Por regla #13 Y(s) R(s) -+ 2 2 2 8 10 8 10 1 10 ( 1) s s s s s s s s s s                 1 8 8 s s 

(36)

Y(s) R(s) -+  2   (8 8) 10 9 s s s s s     9 8 8 8 s s   Y(s) R(s)        2 2 (8 8) 10 9 (8 8) 1 10 9 s s s s s s s s s s          9 8 8 8 s s  

(37)

Solución

 Simplificando Y(s) R(s)    2     9 8 10 9 8 1 s s s s s s s      

(38)

Gráficos de flujo de señal

Nodo.- Es un punto de entrada o salida que representa

una variable o señal.

Nodo fuente.- Este representa las variables

independientes del sistema y es un nodo en donde solo existen ramas de salida.

Nodo sumidero.- Representa las variables

dependientes del sistema y es un nodo en donde solamente hay ramas de entrada.

Rama.- Línea con dirección y sentido que conecta dos

nodos.

(39)

Camino o trayectoria.- Es un conexión continua de

ramas de un nodo a otro, en una dirección acorde con el sentido de las flechas de las ramas.

Trayecto o camino directo.-Es una trayectoria que

conecta a un nodo fuente con un nodo sumidero.

Ganancia del trayecto.- Es el producto de las

transmitancias de todas las ramas del trayecto.

Lazo.- Es un camino o trayectoria cerrada.

Ganancia de lazo.- Es el producto de las transmitancias

de todas las ramas del lazo.

Lazo disjunto.- Es un lazo que no tiene ningún nodo en

(40)

Semejanzas entre gráficos de flujo de señal y diagramas de bloques

Gráfico de flujo de señal Diagrama de bloques

Nodo de entrada Señal de entrada Nodo de salida Señal de salida

rama bloque

Transmitancia Ganancia del bloque

Nodo señal C(s) R(s) + -+ -1( ) G s G s2( ) G s3( ) 1( ) H s + - R(s)1 1 G C(s) 1(s) G2(s) G3(s) 1 -1 -H2(s) 1 L 2 L 3 L

(41)

Fórmula de ganancia de Mason

La fórmula de Mason establece que la ganancia de un sistema esta dada por

          def f e d bc c b a a L L L L L L 1   a a L Donde

k = número de trayectos directos.

Pk = Ganancia de trayectoria de la k-ésima trayectoria directa. Suma de todas las ganancias de lazo individuales.

1 k k k PP    bc c bL L   def f e dL L L

Suma de los productos de ganancias de todas las combinaciones posibles de dos lazos disjuntos. Suma de los productos de ganancias de todas las combinaciones posibles de tres lazos disjuntos. k = Cofactor del determinante de la k-ésima trayectoria directa del gráfico con los lazos que tocan la trayectoria directa k-ésima eliminados, es decir, el cofactor se obtiene apartir de al eliminar o hacer cero todos los lazos que tocan la trayectoria directa Pk.

(42)

Ejemplo

Identificando las trayectorias directas, tenemos

En este caso hay tres lazos individuales

Como puede observarse, todos los lazos tienen nodos en común, por lo tanto no hay lazos disjuntos.

C(s) R(s) 1 1 G 1(s) G2(s) G3(s) 1 -1 -H2(s) 1 L 2 L 3 L 1 1( ) 2( ) 3( ) PG s G s G s 1 1( ) 2( ) 1( ) LG s G s H s 2 2( ) 3( ) L  G s G s 3 1( ) 2( ) 3( ) 2( ) L  G s G s G s H s

(43)

Ejemplo cont.

Calculando el determinante  del gráfico

Sustituyendo valores

Como solo hay un trayecto directo, calculamos el único cofactor, tenemos:

De manera tal que, la ganancia total o función de transferencia es:

 1 2 3 1 L L L      1 2 1 2 3 1 2 3 2 1 G s G s H s( ) ( ) ( ) G s G s( ) ( ) G s G s G s H s( ) ( ) ( ) ( )      1 1   1 2 3 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G s G s G s P C s P R s G s G s H s G s G s G s G s G s H s        

(44)

MATRIZ DE TRANSFERENCIA

1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                           mr y t u t y t u t y t U t y t u t ( ) ( ) ( ) Y sG s U s

Para un sistema MIMO, se tienen r entradas u1, u2,.., ur y m salidas y1, y2,…,ym definidos como

La matriz de transferencia G(s) relaciona la salida Y(s) con la entrada U(s), o sea

Donde

U(s) vector de entradas de orden r Y(s) vector de salida de orden m

(45)

EJEMPLO DE SISTEMA MIMO

 SISTEMA DE SUSPENSION DE UN AUTOBUS f(t) x1(t) fv M1 M2 x2(t) K1 K2 Auto Sistema de suspensión Elasticidad de la llanta Masa de la suspensión U(t)

(46)

Modelos matemáticos de sistemas físicos y conceptos de no linealidades

 Durante el proceso de diseño de control hay que resolver la siguiente disyuntiva.

(47)

Simplicidad vs. Exactitud

 Que aspectos debemos considerar para modelar un sistema?

(48)

Simplicidad vs. Exactitud

(49)

Simplicidad vs. Exactitud

(50)

 Se debe establecer un compromiso

entre la simplicidad y la exactitud en el resultado del análisis.

(51)
(52)
(53)

 Al plantear un modelo matemático debemos decidir entre:

 Lineal vs No lineal f f m m x x Kk Kk K depende de x a) b)

(54)

Ventajas de la linealidad

 Aplicación del principio de superposición. y(t) K y(t) u(t) u(t) K u1(t) K K u2(t) u2(t) u1(t) y1(t) y2(t) y(t)=y1(t)+y2(t)

(55)

Ejemplo de no linealidades

y(t) u(t) u(t) y(t) y(t) u(t) u(t) y(t) a) Saturación b) Saturaciónde amplificador

(56)

 Sistemas con parámetros concentrados vs distribuidos f m x K a) b) f m x K mr

(57)

Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo vs Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo

SLIT SLVT f m x K a) b) f m(t) x K

(58)

Clasificación de los sistemas de

control

Incrementa la facilidad de análisis Incremento de realismo

Estocásticos Dinámicos

Estocásticos Determinísticos

Parámetros concentrados Parámetros distribuidos

Lineales No lineales

Coeficientes constantes Coeficientes variables

Continuo Discreto

Primer orden Segundo orden Orden n

Sistemas acoplados

(59)

Modelado de Sistemas de nivel de

líquido

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i o o i dh t q t q t C dt h t R q t dh t q t h t C R dt     

(60)

Resistencia

 Resistencia (R).- Se define la resistencia al flujo de líquido como la razón de la

variación de nivel a la velocidad del caudal producido por éste.

 Sí el número de Reynolds es menor de 2000 el flujo será laminar y si es mayor de 4000 el flujo será turbulento,

h R q   

(61)

Resistencia Lineal y No Lineal

 Flujo laminar vs flujo turbulento

qh  q h qh  q h qk h h R q

(62)

Capacitancia

 Esta se define como la relación del

cambio de volumen de líquido contenido a la variación de nivel. Donde v – volumen en m3 A – área en m2 h – altura en m v dv C h dh     h r 2 A r h A h Área no constante a) b)

(63)

Sistemas de nível de líquido

1 1 1 1 1 1

Aplicando la transformada de Laplace

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) i i dh t q t h t C R dt Qi s H s CsH s R Qi s H s Cs R H s R Q s Cs CRs R          

(64)

Sistemas de Nivel de Líquido

C R Válvula de control Válvula de carga i Q qH h 0 Q q

(65)

Modelado de sistemas eléctricos

 Las leyes básicas que rigen los circuitos eléctricos son las leyes de

corriente y voltaje de kirchhoff. Los elementos de un circuito incluyen resistores, capacitares, inductores, fuentes de voltaje y de corriente. Para obtener la función de transferencia de los circuitos eléctricos es conveniente tratar los elementos pasivos como impedancias complejas.

C + Vc - 0 1 ( ) ( ) t v t i t dt C i t( ) Cdv t( ) dt  1 Cs Cs L iL ( ) ( ) di t V t L dt  0 1 ( ) ( ) t i t v t dt L Ls 1 Ls R ( ) ( ) v tRi t ( ) ( ) v t i t RR 1 G R

Componente Voltaje Corriente Impedancia Z(s)

Admitancia Y(s)

(66)

EJEMPLO DE MODELADO DE

CIRCUITOS ELÉCTRICOS

 Encontrar la función de transferencia para el circuito mostrado en la figura.

L iL R V+i(t) - V0(t) + -C Vc +

-Transformando los elementos en impedancias complejas

Ls I(s) Vi+(s) - V0(s) + -Cs R 1 0 1 ( ) 1 ( ) i V s Cs V s R Ls Cs    0 2 ( ) 1 ( )   1 i V s V s LCs RCs Simplificando

(67)

Sistemas mecánicos

 Los sistemas mecánicos son aquellos que están compuestos por masas que al aplicárseles una fuerza se ponen en movimiento, dos elementos adicionales como son el resorte y el

amortiguador, son empleados en estos sistemas para

representar los efectos de torsión y la fricción que puede presentarse.

 Algunos ejemplos de estos sistemas son:  Grúas,

 Sistemas de suspensión de automóviles,  Servomecanismos

 Brazos manipuladores

(68)

Modelado de sistema mecánicos

 Sistema de suspensión de un automóvil 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) v F ma dx t d x t f t Kx t f m dt dt     

(69)

Modelado cont.

2 2 2 2 2 1

Aplicando la transformada de Laplace a cada término (considerando condiciones iniciales igual a cero)

          ( ) ( ) ( ) - ( ) -( ) - ( ) - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v v v v dx t d x t f t Kx t f m dt dt F s KX s f sX s ms X s F s X s ms f s K X s F s ms f s K

(70)

Modelado usando impedancias

mecánicas

 En general los sistemas de control contienen componentes tanto mecánicos como eléctricos. Desde el punto de vista de su modelo

matemático, la descripción de los elementos mecánicos y eléctricos es análoga. ( ) ( ) F s X s f(t) x(t) M Masa w M g  2 2 ( ) d x f t M dt  2 Ms f(t) K Resorte x(t) f t( )Kx t( ) K f(t) x(t) fv Amortiguador ( ) ( ) v dx t f t f dtv f s Impedancia

Es la propiedad que tiene un elemento para almacenar energía cinética debido a su movimiento de traslación.

Componente Definición Relación

Su análogo es la inductancia Es un elemento que tiene la propiedad de almacenar energía potencial, su análogo es un capacitor.

Este elemento representa la fuerza de fricción viscosa entre una fuerza aplicada y la velocidad.

(71)

 Considera el sistema masa-resorte-fricción mostrado en la figura, donde K es la constante del resorte, fv la fricción viscosa y M la masa del cuerpo. Obtenga la función de transferencia y .X sF s( )( ) V sF s( )( )

K

M f(t) x(t)

fv

v(t)

Aplicando el concepto de las impedancias mecánicas bajo la siguiente estructura:

(72)

 De aquí, tenemos:

 Para el caso de dos grados de libertad:

1 1 2

1 2

Suma de impedancias mecánicas Suma de impedancias mecánica mutuas conectadas al movimiento de x entre x y x

Suma de impedancias mecánica mutuas Suma de impedancias me entre x y x                   1 2 ( ) ( ) 1 2 2 Suma de fuerzas aplicadas a x Suma de fuerzas cánicas aplicadas a x conectadas al movimiento de x                            x s x s  2  ( ) ( ) v F sX s Ms  K f s 2 ( ) 1 ( ) v X s F sMsf sK

(73)

Modelado de sistemas mecánicos

rotacionales

 En el caso de los sistemas mecánicos de rotación, los cuerpos experimentan un movimiento de rotación en lugar de uno de traslación. Estos sistemas tienen como elementos los mostrados

( ) ( ) T s s  T( )t (t) J Inercia 2 2 ( ) ( ) d t T t J dt   2 Js K T( )t (t) Resorte torsional ( ) ( ) T tKt K ( ) ( ) v d t T t f dt   v f s Amortiguador T( )t (t) fv Impedancia

Componente Definición Relación

Es la propiedad que tiene un elemento de almacenar energía cinética del movimiento de rotación. Es un elemento que representa la torsión de una varilla o eje cuando está sometido a un par aplicado. Este elemento representa la fuerza de fricción viscosa entre el par aplicado y la velocidad angular.

(74)

Modelado de sistemas mecánicos

rotacionales

 Una de las herramientas básicas que se utilizan para describir la dinámica de los sistemas mecánicos rotacionales son las leyes de Newton, la cual establece que: “La suma algebraica

de los momentos o pares aplicados alrededor de un eje fijo es igual al producto de la inercia por la aceleración angular

alrededor del eje”. Esto puede expresarse mediante la

siguiente ecuación.  Donde  J es la inercia  es la aceleración angular Pares   J 

(75)

Ejemplo

 La figura muestra la representación de un motor que está sujeto a una flecha

flexible, la fricción de los cojinetes se representa por medio de una constante. Determinar la función de transferencia .

T ( )mTm(t) Cojinetes Jm   ( ) m s T s

primero se realiza una representación esquemática del mismo, empleando los elementos de la tabla

fv K

Jm

(76)

Ejemplo

 El análisis del sistema de la figura se realiza a partir del diagrama de cuerpo libre. ( )s  T ( )m s J sm 2 s   v f ss   Ks Jm     2 ( ) ( ) m v m T sKsf ssJ ss

Aplicando suma de pares

 2    ( ) m v m J sf sKsT s Obteniendo la F.T.      

Suma de impedancias mecánicas

Suma de pares aplicados conectadas al movimiento en  s         s Se observa que

(77)

Tren de engranes

 Cuando se utilizan sistemas mecánicos rotacionales tales como motores o generadores, es común que se presente la necesidad de requerir un par diferente al que se genera para aplicarlo a la carga, en esta

situación suelen emplearse los trenes de engranes.

2 1 1 1 2 2 ( ) ( ) t r N t r N     2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) T t t N T t t N     N2 N1 2( ) T t 1( ) T t N1 N2 1( )t  2( )t

(78)
(79)

Aplicaciones: Barreras para

estacionamientos

BA 1200 ALTA VELOCIDAD: Modelo de alta velocidad y uso intensivo Tiempo

de apertura y cierre: 1,2 segundos. El mecanismo posee una transmisión de engranajes que optimiza el funcionamiento del motor logrando una mayor

velocidad en el ciclo de maniobra. Este tipo de transmisión simple asegura una vida útil muy prolongada del equipo. Esta diseñada para soportar lanzas de hasta 3 metros, de sección redonda o rectangular. El motor que acciona la barrera tiene una potencia de 1/5 de HP

(80)

Ejemplo

 Determine la función de transferencia y . Considere que N1=10, N2=20, J = 1 kg-m2, fv = 1 N-m-s/rad y K = 2 N-m/rad.   2 1 ( )s T s    1 1 ( )s T s  fv J K T1(t) 1( )t  2( )t  N1 N2 T2(t)

(81)

Modelado de un Motor de CD

 Para un motor de CD controlado por armadura como el mostrado en la figura. (t)  T(t) Jm Ra La + -+ -Va(t) ia eb fv ( )t  ( )t   t

Considerando los siguientes parámetros para el motor: ia Corriente de armadura (Amp)

Ra Resistencia de armadura ()

eb(t) Fuerza contraelectromotriz (Volts) T(t) Par del motor

(t) Desplazamiento del Motor (Rad) Ka Constante del Par (N-m/Amp)

La Inductancia de la armadura (Henrios) Va(t) Voltaje aplicado en la armadura (Volts)

Kb(t) Constante de la fuerza electromotriz (V/rad/seg) Velocidad angular del motor (rad/seg)

Flujo magnético en el entrehierro (Webers) J Inercia del motor (Kg-m2)

(82)

( ) ( ) ( ) a ( ) 0 a a a a b di t V t R i t L e t dt     ( ) ( ) ( ) a ( ) a a a a b di t V t R i t L e t dt    ( ) ( ) b b e tKt

Modelado de la parte eléctrica.

Por ley de voltajes de kirchhoff al circuito de armadura tenemos

Relación eléctrica-mecánica.

La fuerza contraelectromotriz eb(t) se relaciona con la velocidad con la ecuación

( ) t ( ) ( )a

T tKt i t

( )

a a

TK i t

el par desarrollado por el motor depende de la corriente de armadura y del flujo en el entrehierro.

(83)

2 ( ) ( ) ( ) d t d t T t f J dt dt     ( ) ( )t d t dt    ( ) ( ) ( ) d t T t f t J dt    

Modelado de la parte mecánica.

En un motor de CD controlado por armadura el par producido está dado por

Si consideramos la velocidad como salida

(84)

 Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a b a R I sL sI sE sV s ( ) ( ) b b E sKs ( ) a a( ) T sK I s ( ) ( ) ( ) T s  Js s  f s Ia(s) Las+Ra Va(s) 1 -+ Eb(s) Ka Ia(s) T(s) T(s) (s) Js+f 1 Eb(s) (s) Kb

(85)

 Representación en diagrama de bloques Ia(s) Va(s) -+ Eb(s) La1s+Ra Kb Ka T(s) (s) Js+f 1 Simplificando    ( ) ( ) a a a a a b K s V s L s R Js f K K     

(86)

Función de transferencia de un

servomecanismo

 Determinar la función de transferencia de un motor de Cd con carga .

(87)

 Calculando la impedancia mecánica equivalente vista en la armadura (eje fuente).

(88)

 De la curva de velocidad-Par, determinamos las constantes.

(89)

 Del modelo del motor de CD

(90)

 Para encontrar la FT como

Entonces Así

(91)

Modelado de Motor de CD

controlado por Campo

 Determine la función de transferencia del sistema dada por ( )( ) .

f s V s

Considerando los siguientes parámetros para el motor: If Corriente de campo (Amp)

Rf Resistencia de campo () T(t) Par del motor

(t) Desplazamiento del Motor (Rad) K2 Constante del Par (N-m/Amp)

Lf Inductancia de campo (Henrios)

Vf(t) Voltaje aplicado en el devanado de campo (Volts)

( )t

 Velocidad angular del motor (rad/seg) J Momento de inercia del motor (Kg-m2)

(92)

Linealización de sistemas no

lineales

 En el modelado la mayoría de los componentes y actuadores que se encuentran en los sistemas físicos tienen características no lineales, para evitar que se tenga un ecuación diferencial no lineales, se debe linealizar el sistema.

(93)

Linealización Cont

 Para mostrar el proceso de linealización supongamos que deseamos linealizar la

función f(x) alrededor del punto de operación

x0.

 Usando una expansión por series de Taylor la aproximación para f(x) está dada por:

0 0 2 2 0 0 0 2 ( ) ( ) 1! 2! x x x x x x x x df d f f x f x dx dx      

(94)

 Si se consideran pequeñas variaciones alrededor del punto de operación x0, se pueden ignorar los términos de orden superior de la ecuación   0 0 0 ( ) ( ) x x df f x f x x x dx   

(95)

O bien Por lo que 0 0 0 ( ) ( ) ( ) x x df f x f x x x dx    0 ( ) x x df f x x dx    

(96)

Ejemplo

 Considere la red no lineal mostrada en la figura, donde , , representa la

aplicación de un generador de pequeña señal. Determine la función de transferencia

linealizada alrededor del punto de

operación correspondiente al estado estable del circuito. 1 2 CF ( ) 2vR R i te ( ) ( ) ( ) v s G s I s   v(t) C R 2A i(t) iR(t) vR +

(97)

-Ejemplo Cont.

Por LCK v(t) C R 2A i(t) iR(t) vR + -( ) ( ) 2 ( ) R dv t C i t i t dt    1 ( ) ( ) 2 ( ) 2 R dv t i t i t dt    0 ( ) R v tV  vv

(98)

 Entonces

Sustituyendo las ecuaciones

Considerando como función , con donde es el punto de operación en estado estable y aplicando la ecuación

 0  2 ( ) v v R i te   0  2 0 0 ( ) 1 2 ( ) 2 v v d v v e i t dt        2 ( ) v f te v  v0 v 0 v  0  0 0 2 2 2 v v v v v de e e v dv

(99)

 Resolviendo para

 Consideremos ahora el punto de

operación en estado estable con , por lo que ante la fuente de CD el

capacitor actúa como circuito abierto, por lo tanto con .

 0  2 v v e   0  0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 v v v v v v v de e e v e e v dv 0 R vv iR  2 ( ) 0 i t

(100)

Ejemplo cont

Por lo que Y resolviendo para vR Por lo que 2vR R ie 2 ln ln vR R ie ln 2ln vR R ie ln 2 R R i v

(101)

 Como , tenemos

 Sustituyendo este resultado

2 R i  0 ln 2 0.693 2 2 r vv    0  0.693 0.693 2 2 2 2 2 2 v v ee ev           0  2

2 4

v v

e



 

v

(102)

 La ecuación anterior nos representa la linealización de la función no lineal

alrededor del punto de operación

 Aplicando Laplace 1 2 4 2 ( ) 2 d v v i t dt    1 4 ( ) 2 d v v i t dt     1 4 ( ) 2 s v s  v sI sv s s   4 2 ( )I s  ( ) 24 v s I s s

(103)

Referencias

 1.- Nise S. N., Control Systems Engineering, John Wiley & Sons, 4th Edition, 2004.

 2.- Dorf B, Sistemas de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 10ª Edición, 2005.

 3.- Navarro R, Ingeniería de Control Analógica y Digital, McGraw Hill, 1ra Edición, 2004.

4.- Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 4tª Edición, 2003.

 5.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons, 2nd Edition, 1994.  6.- Lewis P. H. & Yang C., Sistemas de Control en Ingeniería,1ra

Edición, Prentice Hall, 1999.

 7.- D´azzo J. J., Sistemas Retroalimentados de Control, 4a edición, Paraninfo, 1989.

 8.- Kuo C. B, Sistemas de Control Automático, Séptima Edición, Prentice Hall, 1996.

 9.- Phillips L. Ch., Harbor R. D., Feedback Control Systems, Third Edition, Prentice Hall, 1996.

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