MODELADO MATEMÁTICOS DE
SISTEMAS DE CONTROL
Unidad II
Modelado de sistemas
Con la finalidad de diseñar y analizar el comportamiento dinámico de un sistema físico, es necesario obtener modelos
matemáticos cuantitativos de ellos.
Modelado Cont.
La mayoría de los sistemas de interés en el área de control son de naturaleza
dinámica, la forma general de una
ecuación diferencial lineal de orden n es:
Donde:
u es la entrada del sistema y es la salida del sistema
1 1 1 1 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) .. ( ) n n m m n n n n m m m m d y t d y t d u t d u t a a a y t b b b u t dt dt dt dt
Representación
Además
a0,a1,…,an y b0, b1,…,bm son constantes o funciones del tiempo.
1 1
1 ... 0 1 ... 0
n n m m
n n m m
Tipos de sistemas
Para los sistemas físicos , además:
Si los coeficientes son constantes, se trata de sistemas lineales invariantes en el tiempo
(SLIT), por ejemplo: redes eléctricas, sistemas de suspensión de automóviles, motores
eléctricos, etc.
Si los coeficientes son variables, se les llama sistemas variantes en el tiempo (SLVT), como ejemplo tenemos: aviones, hornos, cohetes, etc.
Ejemplos
Analice cada ecuación diferencial y determine tipo de sistema al que
FUNCION DE TRANSFERENCIA
La función de transferencia de un sistema se define como la relación entre la
transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales se hacen igual a cero.
L( ) ( )
L( ) ( )
y Y s
u U s
Ec. Diferencial Ec. Algebraica
Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia
L 1 L 1 1 0 1 1 0 ... ( ) ( ) ... m m m m n n n n b s b s b Y s n m U s a s a s a
De hecho, la transformada de Laplace
permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en
ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.
Una vez que se ha estudiado el
comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.
¿Por qué Transformada de
Laplace?
Ejemplos: Obtención de función
de transferencia
Obtener la función de transferencia de los siguientes sistemas así como los polos y ceros de la misma.
OBTENCIÓN DE F.T DE
SISTEMAS
Considere un circuito eléctrico RC de la figura 2.3, aplique las leyes de voltajes
de kirchhoff para obtener la ecuación diferencial que rige la dinámica del sistema y a partir de esta determine la función de transferencia del circuito considerando como salida Vo(t) y como entrada Vi(t).
Vi (t) + -R C i(t) Vo(t) +
-Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff
0
( ) ( ) ( ) 0
i
Filtro pasa-bajas
Frecuencia de corte
Además 0 1 ( ) ( ) V t i t dt C i t( ) C dV t0( ) dt
Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la primera
0 0 ( ) ( ) ( ) 0 i dV t V t RC V t dt 0 0 ( ) ( ) ( ) i dV t RC V t V t dt
Aplicando 0( ) 0( ) i( ) E s RCsE s E s 0( ) 1 ( ) 1 i E s E s RCs 1 s RC Factorizando y reacomodando
Obsérvese que el polo del sistema está localizado en .
Función de Transferencia de
Elementos en Cascada
Se dice que dos elementos están en cascada, cuando la salida del primero corresponde a la entrada del segundo. Hay dos casos:
1. Si los elementos no se cargan.
2. Si el segundo elemento produce un
efecto de carga sobre el primero, es decir, si el segundo elemento toma
En el primer caso se puede obtener una función de transferencia del sistema
simplemente eliminando la salida y entrada intermedias.
Si el segundo elemento no carga al primero, obtenemos 3 3 2 2 1 1 2 1 X s X s X s G s G s G s X s X s X s
Ejemplo
Sea el siguiente sistema eléctrico en
cascada mostrado en la figura, obtener la función de transferencia .0( )
( )
i
V s V s
Diagramas de bloques
Esta representación gráfica permite
describir de manera clara el
funcionamiento de un sistema real (amplificadores, control de motores, circuitos eléctricos, servomecanismo, hornos, etc.), debido a que muestra como se realiza el flujo de señales dentro del mismo.
Elementos básicos
Punto de suma: Indica la suma o resta de señales.
Puntos de toma o derivación: Se emplea para indicar que alguna señal sale a diferentes lugares. + -+ G(s) C(s) R(s) R2(s) R1(s) R3(s) C(s)=R1(s)+ R2(s)-R3(s) Y(s) Y(s) Y(s) Y(s) a) b) c)
Reglas para reducir diagramas de
bloques
Una regla para simplificar un diagrama de bloques
consiste en desplazar los puntos de toma hacia la salida y los puntos de suma hacia la entrada e ir reduciendo los lazos internos de retroalimentación aplicando las reglas de las tablas siguientes.
En toda simplificación de diagrama de bloques se deben cumplir las siguientes reglas básicas.
El producto de F.T. a lo largo de un trayecto desde la
entrada hasta la salida (siguiendo el sentido de las flechas) debe permanecer constante.
El producto de F.T. a lo largo de un lazo también
Ejemplo
( ) ( ) Y s R s Y(s) R(s) + -+ -1( ) G s G s2( ) G s3( ) 1( ) H s 2( ) H sReduzca el diagrama de bloques mostrado en la figura y obtenga la función de transferencia
Usando regla 6 Y(s) R(s) + -+ -1 1 ( ) G s 1( ) G s 1( ) H s 2( ) G s G s3( ) 2( ) H s
Ahora a partir de la regla 9 y 4 obtenemos el sistema mostrado Y(s) R(s)+ -+ -1 1 ( ) ( ) H s G s 1( ) 2( ) G s G s 3( ) G s 2( ) H s 3 1 ( ) G s
De igual forma usando la regla 4 al esquema de la figura obtenemos
Y(s) R(s) + -+ -1 1 ( ) ( ) H s G s 1( ) 2( ) 3( ) G s G s G s 2 3 ( ) ( ) H s G s
Por regla 13 y 2 aplicada a la figura obtenemos Y(s) R(s) + -+ -2 3 ( ) ( ) H s G s 1 2 3 1 1 2 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) G s G s G s H s G s G s G s G s
Simplificando vía regla 13 el sistema de la figura llegamos al esquema mostrado Y(s) R(s)+ -1 2 3 2 3 1 1 2 3 2 2 3 1 3 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) G s G s G s G s G s H s G s G s G s H s G s G s H s G s
Simplificando Y(s) R(s) 1 2 3 2 3 1 1 2 2 1 2 3 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G s G s G s G s G s H s G s G s H s G s G s G s
Ejemplo
Reduzca el diagrama de bloques
mostrado en la figura y obtenga la función de transferencia Y(s) R(s) + -+ + 8 2 10 s s s 1 1 s 1 s s
-solución
Por regla #9 Y(s) R(s) + -+ + 8 2 10 s s s 1 1 s 1 s s -2 10 s s s Por regla #4 y #6 Y(s) R(s) + -+ + 1 8 2 10 s s s 1 s s -2 10 ( 1) s s s s 8
Por Regla #1 Y(s) R(s) + -+ + 2 8 10 s s s 8 8 s s -2 10 ( 1) s s s s
Solución Cont.
Por regla #13 Y(s) R(s) + -+ 2 8 10 s s s 1 8 8 s s -2 10 ( 1) s s s s Solución Cont.
Por regla #13 Y(s) R(s) -+ 2 2 2 8 10 8 10 1 10 ( 1) s s s s s s s s s s 1 8 8 s s Y(s) R(s) -+ 2 (8 8) 10 9 s s s s s 9 8 8 8 s s Y(s) R(s) 2 2 (8 8) 10 9 (8 8) 1 10 9 s s s s s s s s s s 9 8 8 8 s s
Solución
Simplificando Y(s) R(s) 2 9 8 10 9 8 1 s s s s s s s Gráficos de flujo de señal
Nodo.- Es un punto de entrada o salida que representa
una variable o señal.
Nodo fuente.- Este representa las variables
independientes del sistema y es un nodo en donde solo existen ramas de salida.
Nodo sumidero.- Representa las variables
dependientes del sistema y es un nodo en donde solamente hay ramas de entrada.
Rama.- Línea con dirección y sentido que conecta dos
nodos.
Camino o trayectoria.- Es un conexión continua de
ramas de un nodo a otro, en una dirección acorde con el sentido de las flechas de las ramas.
Trayecto o camino directo.-Es una trayectoria que
conecta a un nodo fuente con un nodo sumidero.
Ganancia del trayecto.- Es el producto de las
transmitancias de todas las ramas del trayecto.
Lazo.- Es un camino o trayectoria cerrada.
Ganancia de lazo.- Es el producto de las transmitancias
de todas las ramas del lazo.
Lazo disjunto.- Es un lazo que no tiene ningún nodo en
Semejanzas entre gráficos de flujo de señal y diagramas de bloques
Gráfico de flujo de señal Diagrama de bloques
Nodo de entrada Señal de entrada Nodo de salida Señal de salida
rama bloque
Transmitancia Ganancia del bloque
Nodo señal C(s) R(s) + -+ -1( ) G s G s2( ) G s3( ) 1( ) H s + - R(s)1 1 G C(s) 1(s) G2(s) G3(s) 1 -1 -H2(s) 1 L 2 L 3 L
Fórmula de ganancia de Mason
La fórmula de Mason establece que la ganancia de un sistema esta dada por
def f e d bc c b a a L L L L L L 1 a a L Donde
k = número de trayectos directos.
Pk = Ganancia de trayectoria de la k-ésima trayectoria directa. Suma de todas las ganancias de lazo individuales.
1 k k k P P bc c bL L def f e dL L L
Suma de los productos de ganancias de todas las combinaciones posibles de dos lazos disjuntos. Suma de los productos de ganancias de todas las combinaciones posibles de tres lazos disjuntos. k = Cofactor del determinante de la k-ésima trayectoria directa del gráfico con los lazos que tocan la trayectoria directa k-ésima eliminados, es decir, el cofactor se obtiene apartir de al eliminar o hacer cero todos los lazos que tocan la trayectoria directa Pk.
Ejemplo
Identificando las trayectorias directas, tenemos
En este caso hay tres lazos individuales
Como puede observarse, todos los lazos tienen nodos en común, por lo tanto no hay lazos disjuntos.
C(s) R(s) 1 1 G 1(s) G2(s) G3(s) 1 -1 -H2(s) 1 L 2 L 3 L 1 1( ) 2( ) 3( ) P G s G s G s 1 1( ) 2( ) 1( ) L G s G s H s 2 2( ) 3( ) L G s G s 3 1( ) 2( ) 3( ) 2( ) L G s G s G s H s
Ejemplo cont.
Calculando el determinante del gráfico
Sustituyendo valores
Como solo hay un trayecto directo, calculamos el único cofactor, tenemos:
De manera tal que, la ganancia total o función de transferencia es:
1 2 3 1 L L L 1 2 1 2 3 1 2 3 2 1 G s G s H s( ) ( ) ( ) G s G s( ) ( ) G s G s G s H s( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 3 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G s G s G s P C s P R s G s G s H s G s G s G s G s G s H s
MATRIZ DE TRANSFERENCIA
1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m r y t u t y t u t y t U t y t u t ( ) ( ) ( ) Y s G s U sPara un sistema MIMO, se tienen r entradas u1, u2,.., ur y m salidas y1, y2,…,ym definidos como
La matriz de transferencia G(s) relaciona la salida Y(s) con la entrada U(s), o sea
Donde
U(s) vector de entradas de orden r Y(s) vector de salida de orden m
EJEMPLO DE SISTEMA MIMO
SISTEMA DE SUSPENSION DE UN AUTOBUS f(t) x1(t) fv M1 M2 x2(t) K1 K2 Auto Sistema de suspensión Elasticidad de la llanta Masa de la suspensión U(t)Modelos matemáticos de sistemas físicos y conceptos de no linealidades
Durante el proceso de diseño de control hay que resolver la siguiente disyuntiva.
Simplicidad vs. Exactitud
Que aspectos debemos considerar para modelar un sistema?
Simplicidad vs. Exactitud
Simplicidad vs. Exactitud
Se debe establecer un compromiso
entre la simplicidad y la exactitud en el resultado del análisis.
Al plantear un modelo matemático debemos decidir entre:
Lineal vs No lineal f f m m x x Kk Kk K depende de x a) b)
Ventajas de la linealidad
Aplicación del principio de superposición. y(t) K y(t) u(t) u(t) K u1(t) K K u2(t) u2(t) u1(t) y1(t) y2(t) y(t)=y1(t)+y2(t)
Ejemplo de no linealidades
y(t) u(t) u(t) y(t) y(t) u(t) u(t) y(t) a) Saturación b) Saturaciónde amplificador Sistemas con parámetros concentrados vs distribuidos f m x K a) b) f m x K mr
Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo vs Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo
SLIT SLVT f m x K a) b) f m(t) x K
Clasificación de los sistemas de
control
Incrementa la facilidad de análisis Incremento de realismo
Estocásticos Dinámicos
Estocásticos Determinísticos
Parámetros concentrados Parámetros distribuidos
Lineales No lineales
Coeficientes constantes Coeficientes variables
Continuo Discreto
Primer orden Segundo orden Orden n
Sistemas acoplados
Modelado de Sistemas de nivel de
líquido
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i o o i dh t q t q t C dt h t R q t dh t q t h t C R dt Resistencia
Resistencia (R).- Se define la resistencia al flujo de líquido como la razón de la
variación de nivel a la velocidad del caudal producido por éste.
Sí el número de Reynolds es menor de 2000 el flujo será laminar y si es mayor de 4000 el flujo será turbulento,
h R q
Resistencia Lineal y No Lineal
Flujo laminar vs flujo turbulento
q h q h q h q h q k h h R q
Capacitancia
Esta se define como la relación del
cambio de volumen de líquido contenido a la variación de nivel. Donde v – volumen en m3 A – área en m2 h – altura en m v dv C h dh h r 2 A r h A h Área no constante a) b)
Sistemas de nível de líquido
1 1 1 1 1 1Aplicando la transformada de Laplace
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) i i dh t q t h t C R dt Qi s H s CsH s R Qi s H s Cs R H s R Q s Cs CRs R
Sistemas de Nivel de Líquido
C R Válvula de control Válvula de carga i Q q H h 0 Q qModelado de sistemas eléctricos
Las leyes básicas que rigen los circuitos eléctricos son las leyes de
corriente y voltaje de kirchhoff. Los elementos de un circuito incluyen resistores, capacitares, inductores, fuentes de voltaje y de corriente. Para obtener la función de transferencia de los circuitos eléctricos es conveniente tratar los elementos pasivos como impedancias complejas.
C + Vc - 0 1 ( ) ( ) t v t i t dt C i t( ) Cdv t( ) dt 1 Cs Cs L iL ( ) ( ) di t V t L dt 0 1 ( ) ( ) t i t v t dt L Ls 1 Ls R ( ) ( ) v t Ri t ( ) ( ) v t i t R R 1 G R
Componente Voltaje Corriente Impedancia Z(s)
Admitancia Y(s)
EJEMPLO DE MODELADO DE
CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Encontrar la función de transferencia para el circuito mostrado en la figura.
L iL R V+i(t) - V0(t) + -C Vc +
-Transformando los elementos en impedancias complejas
Ls I(s) Vi+(s) - V0(s) + -Cs R 1 0 1 ( ) 1 ( ) i V s Cs V s R Ls Cs 0 2 ( ) 1 ( ) 1 i V s V s LCs RCs Simplificando
Sistemas mecánicos
Los sistemas mecánicos son aquellos que están compuestos por masas que al aplicárseles una fuerza se ponen en movimiento, dos elementos adicionales como son el resorte y el
amortiguador, son empleados en estos sistemas para
representar los efectos de torsión y la fricción que puede presentarse.
Algunos ejemplos de estos sistemas son: Grúas,
Sistemas de suspensión de automóviles, Servomecanismos
Brazos manipuladores
Modelado de sistema mecánicos
Sistema de suspensión de un automóvil 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) v F ma dx t d x t f t Kx t f m dt dt Modelado cont.
2 2 2 2 2 1Aplicando la transformada de Laplace a cada término (considerando condiciones iniciales igual a cero)
( ) ( ) ( ) - ( ) -( ) - ( ) - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v v v v dx t d x t f t Kx t f m dt dt F s KX s f sX s ms X s F s X s ms f s K X s F s ms f s K
Modelado usando impedancias
mecánicas
En general los sistemas de control contienen componentes tanto mecánicos como eléctricos. Desde el punto de vista de su modelo
matemático, la descripción de los elementos mecánicos y eléctricos es análoga. ( ) ( ) F s X s f(t) x(t) M Masa w M g 2 2 ( ) d x f t M dt 2 Ms f(t) K Resorte x(t) f t( )Kx t( ) K f(t) x(t) fv Amortiguador ( ) ( ) v dx t f t f dt v f s Impedancia
Es la propiedad que tiene un elemento para almacenar energía cinética debido a su movimiento de traslación.
Componente Definición Relación
Su análogo es la inductancia Es un elemento que tiene la propiedad de almacenar energía potencial, su análogo es un capacitor.
Este elemento representa la fuerza de fricción viscosa entre una fuerza aplicada y la velocidad.
Considera el sistema masa-resorte-fricción mostrado en la figura, donde K es la constante del resorte, fv la fricción viscosa y M la masa del cuerpo. Obtenga la función de transferencia y .X sF s( )( ) V sF s( )( )
K
M f(t) x(t)
fv
v(t)
Aplicando el concepto de las impedancias mecánicas bajo la siguiente estructura:
De aquí, tenemos:
Para el caso de dos grados de libertad:
1 1 2
1 2
Suma de impedancias mecánicas Suma de impedancias mecánica mutuas conectadas al movimiento de x entre x y x
Suma de impedancias mecánica mutuas Suma de impedancias me entre x y x 1 2 ( ) ( ) 1 2 2 Suma de fuerzas aplicadas a x Suma de fuerzas cánicas aplicadas a x conectadas al movimiento de x x s x s 2 ( ) ( ) v F s X s Ms K f s 2 ( ) 1 ( ) v X s F s Ms f s K
Modelado de sistemas mecánicos
rotacionales
En el caso de los sistemas mecánicos de rotación, los cuerpos experimentan un movimiento de rotación en lugar de uno de traslación. Estos sistemas tienen como elementos los mostrados
( ) ( ) T s s T( )t (t) J Inercia 2 2 ( ) ( ) d t T t J dt 2 Js K T( )t (t) Resorte torsional ( ) ( ) T t K t K ( ) ( ) v d t T t f dt v f s Amortiguador T( )t (t) fv Impedancia
Componente Definición Relación
Es la propiedad que tiene un elemento de almacenar energía cinética del movimiento de rotación. Es un elemento que representa la torsión de una varilla o eje cuando está sometido a un par aplicado. Este elemento representa la fuerza de fricción viscosa entre el par aplicado y la velocidad angular.
Modelado de sistemas mecánicos
rotacionales
Una de las herramientas básicas que se utilizan para describir la dinámica de los sistemas mecánicos rotacionales son las leyes de Newton, la cual establece que: “La suma algebraica
de los momentos o pares aplicados alrededor de un eje fijo es igual al producto de la inercia por la aceleración angular
alrededor del eje”. Esto puede expresarse mediante la
siguiente ecuación. Donde J es la inercia es la aceleración angular Pares J
Ejemplo
La figura muestra la representación de un motor que está sujeto a una flecha
flexible, la fricción de los cojinetes se representa por medio de una constante. Determinar la función de transferencia .
T ( )m Tm(t) Cojinetes Jm ( ) m s T s
primero se realiza una representación esquemática del mismo, empleando los elementos de la tabla
fv K
Jm
Ejemplo
El análisis del sistema de la figura se realiza a partir del diagrama de cuerpo libre. ( )s T ( )m s J sm 2 s v f s s K s Jm 2 ( ) ( ) m v m T s K s f s s J s s
Aplicando suma de pares
2 ( ) m v m J s f s K s T s Obteniendo la F.T.
Suma de impedancias mecánicas
Suma de pares aplicados conectadas al movimiento en s s Se observa que
Tren de engranes
Cuando se utilizan sistemas mecánicos rotacionales tales como motores o generadores, es común que se presente la necesidad de requerir un par diferente al que se genera para aplicarlo a la carga, en esta
situación suelen emplearse los trenes de engranes.
2 1 1 1 2 2 ( ) ( ) t r N t r N 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) T t t N T t t N N2 N1 2( ) T t 1( ) T t N1 N2 1( )t 2( )t
Aplicaciones: Barreras para
estacionamientos
BA 1200 ALTA VELOCIDAD: Modelo de alta velocidad y uso intensivo Tiempo
de apertura y cierre: 1,2 segundos. El mecanismo posee una transmisión de engranajes que optimiza el funcionamiento del motor logrando una mayor
velocidad en el ciclo de maniobra. Este tipo de transmisión simple asegura una vida útil muy prolongada del equipo. Esta diseñada para soportar lanzas de hasta 3 metros, de sección redonda o rectangular. El motor que acciona la barrera tiene una potencia de 1/5 de HP
Ejemplo
Determine la función de transferencia y . Considere que N1=10, N2=20, J = 1 kg-m2, fv = 1 N-m-s/rad y K = 2 N-m/rad. 2 1 ( )s T s 1 1 ( )s T s fv J K T1(t) 1( )t 2( )t N1 N2 T2(t)
Modelado de un Motor de CD
Para un motor de CD controlado por armadura como el mostrado en la figura. (t) T(t) Jm Ra La + -+ -Va(t) ia eb fv ( )t ( )t t
Considerando los siguientes parámetros para el motor: ia Corriente de armadura (Amp)
Ra Resistencia de armadura ()
eb(t) Fuerza contraelectromotriz (Volts) T(t) Par del motor
(t) Desplazamiento del Motor (Rad) Ka Constante del Par (N-m/Amp)
La Inductancia de la armadura (Henrios) Va(t) Voltaje aplicado en la armadura (Volts)
Kb(t) Constante de la fuerza electromotriz (V/rad/seg) Velocidad angular del motor (rad/seg)
Flujo magnético en el entrehierro (Webers) J Inercia del motor (Kg-m2)
( ) ( ) ( ) a ( ) 0 a a a a b di t V t R i t L e t dt ( ) ( ) ( ) a ( ) a a a a b di t V t R i t L e t dt ( ) ( ) b b e t K t
Modelado de la parte eléctrica.
Por ley de voltajes de kirchhoff al circuito de armadura tenemos
Relación eléctrica-mecánica.
La fuerza contraelectromotriz eb(t) se relaciona con la velocidad con la ecuación
( ) t ( ) ( )a
T t K t i t
( )
a a
T K i t
el par desarrollado por el motor depende de la corriente de armadura y del flujo en el entrehierro.
2 ( ) ( ) ( ) d t d t T t f J dt dt ( ) ( )t d t dt ( ) ( ) ( ) d t T t f t J dt
Modelado de la parte mecánica.
En un motor de CD controlado por armadura el par producido está dado por
Si consideramos la velocidad como salida
Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a b a R I s L sI s E s V s ( ) ( ) b b E s K s ( ) a a( ) T s K I s ( ) ( ) ( ) T s Js s f s Ia(s) Las+Ra Va(s) 1 -+ Eb(s) Ka Ia(s) T(s) T(s) (s) Js+f 1 Eb(s) (s) Kb
Representación en diagrama de bloques Ia(s) Va(s) -+ Eb(s) La1s+Ra Kb Ka T(s) (s) Js+f 1 Simplificando ( ) ( ) a a a a a b K s V s L s R Js f K K
Función de transferencia de un
servomecanismo
Determinar la función de transferencia de un motor de Cd con carga .
Calculando la impedancia mecánica equivalente vista en la armadura (eje fuente).
De la curva de velocidad-Par, determinamos las constantes.
Del modelo del motor de CD
Para encontrar la FT como
Entonces Así
Modelado de Motor de CD
controlado por Campo
Determine la función de transferencia del sistema dada por ( )( ) .
f s V s
Considerando los siguientes parámetros para el motor: If Corriente de campo (Amp)
Rf Resistencia de campo () T(t) Par del motor
(t) Desplazamiento del Motor (Rad) K2 Constante del Par (N-m/Amp)
Lf Inductancia de campo (Henrios)
Vf(t) Voltaje aplicado en el devanado de campo (Volts)
( )t
Velocidad angular del motor (rad/seg) J Momento de inercia del motor (Kg-m2)
Linealización de sistemas no
lineales
En el modelado la mayoría de los componentes y actuadores que se encuentran en los sistemas físicos tienen características no lineales, para evitar que se tenga un ecuación diferencial no lineales, se debe linealizar el sistema.
Linealización Cont
Para mostrar el proceso de linealización supongamos que deseamos linealizar la
función f(x) alrededor del punto de operación
x0.
Usando una expansión por series de Taylor la aproximación para f(x) está dada por:
0 0 2 2 0 0 0 2 ( ) ( ) 1! 2! x x x x x x x x df d f f x f x dx dx Si se consideran pequeñas variaciones alrededor del punto de operación x0, se pueden ignorar los términos de orden superior de la ecuación 0 0 0 ( ) ( ) x x df f x f x x x dx
O bien Por lo que 0 0 0 ( ) ( ) ( ) x x df f x f x x x dx 0 ( ) x x df f x x dx
Ejemplo
Considere la red no lineal mostrada en la figura, donde , , representa la
aplicación de un generador de pequeña señal. Determine la función de transferencia
linealizada alrededor del punto de
operación correspondiente al estado estable del circuito. 1 2 C F ( ) 2vR R i t e ( ) ( ) ( ) v s G s I s v(t) C R 2A i(t) iR(t) vR +
-Ejemplo Cont.
Por LCK v(t) C R 2A i(t) iR(t) vR + -( ) ( ) 2 ( ) R dv t C i t i t dt 1 ( ) ( ) 2 ( ) 2 R dv t i t i t dt 0 ( ) R v t V v v Entonces
Sustituyendo las ecuaciones
Considerando como función , con donde es el punto de operación en estado estable y aplicando la ecuación
0 2 ( ) v v R i t e 0 2 0 0 ( ) 1 2 ( ) 2 v v d v v e i t dt 2 ( ) v f t e v v0 v 0 v 0 0 0 2 2 2 v v v v v de e e v dv
Resolviendo para
Consideremos ahora el punto de
operación en estado estable con , por lo que ante la fuente de CD el
capacitor actúa como circuito abierto, por lo tanto con .
0 2 v v e 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 v v v v v v v de e e v e e v dv 0 R v v iR 2 ( ) 0 i t
Ejemplo cont
Por lo que Y resolviendo para vR Por lo que 2vR R i e 2 ln ln vR R i e ln 2ln vR R i e ln 2 R R i v Como , tenemos
Sustituyendo este resultado
2 R i 0 ln 2 0.693 2 2 r v v 0 0.693 0.693 2 2 2 2 2 2 v v e e e v 0 2
2 4
v ve
v
La ecuación anterior nos representa la linealización de la función no lineal
alrededor del punto de operación
Aplicando Laplace 1 2 4 2 ( ) 2 d v v i t dt 1 4 ( ) 2 d v v i t dt 1 4 ( ) 2 s v s v s I s v s s 4 2 ( )I s ( ) 24 v s I s s
Referencias
1.- Nise S. N., Control Systems Engineering, John Wiley & Sons, 4th Edition, 2004.
2.- Dorf B, Sistemas de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 10ª Edición, 2005.
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7.- D´azzo J. J., Sistemas Retroalimentados de Control, 4a edición, Paraninfo, 1989.
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