Métodos cualitativos en ecuaciones diferenciales

GUIA 3

M´

etodos cualitativos en ecuaciones

diferenciales

Es equivocado pensar que el objetivo principal del estudio de las ecuaciones diferenciales consiste en encontrar artificios del c´alculo que permitan resolverlas. En el cap´ıtulo anterior presentamos una selecci´on de t´ecnicas que permiten resolver algunas ecuaciones diferenciales. Como en toda selecci´on la lista no es completa. Existen tratados en donde se elaboran tablas de soluciones de manera an´aloga a las tablas de antiderivadas (ver [1] en las referencias bibliogr´aficas al final de esta gu´ıa).

La pericia para resolver ecuaciones diferenciales va perdiendo poco a poco importancia con la llegada de los computadores y el dise˜no de software especializado para computaci´on simb´olica. La tendencia actual es dejar al computador este tipo de tareas de c´alculo. Un programa como Mathematica1 _{puede resolver mediante instrucciones sencillas casi todas}

las ecuaciones diferenciales tratadas en este curso. Si Mathematica despierta su curiosidad consulte las referencias [3], [4] y [5] al final de esta secci´on. Mathematica no es el ´unico programa para estos menesteres. Maple V2_{, por ejemplo, goza de aceptaci´on en el medio}

universitario.

Sin quitarle importancia a este tipo de programas debe quedar claro que ni el m´as refinado de los software ni el m´as ingenioso de los matem´aticos puede resolver en t´erminos de funciones elementales todas las ecuaciones diferenciales, ni siquiera las m´as importantes de ellas. El problema m´as que de habilidad es de principio. En casos tan simples como

dx dt = −

1 x+ t,

se desconocen soluciones cl´asicas (v´ease referencia bibliogr´afica [2]). La b´usqueda de recetas para resolver todas las ecuaciones diferenciales en t´erminos de funciones elementales es una b´usqueda sin esperanzas. Ante este hecho se presentan algunas alternativas: los m´etodos cualitativos, los m´etodos num´ericos, y los m´etodos de aproximaci´on. No es parte de los objetivos de estas notas un estudio detallado al respecto. Se quiere sin embargo ilustrar estos m´etodos en algunos casos particulares.

1.

M´

etodos Cualitativos

En muchos problemas, m´as que c´alculos cuantitativos puntuales, lo que interesa es el comportamiento cualitativo de las soluciones en t´erminos de las condiciones iniciales o de valores de los par´ametros. Saber que una soluci´on es creciente, que es c´oncava o que tiene un l´ımite en el infinito puede ser de ayuda en el entendimiento de un modelo. Ocurre, que bajo ciertas circunstancias, podemos obtener tal informaci´on sin resolver expl´ıcitamente la ecuaci´on diferencial.

1_{Mathematica es una marca registrada de Wolfram Research Inc.} 2_{Maple V es una marca registrada de Waterloo Maple Inc.}

R1 R2 R3 xE = a_b a 2b xI = 0

Figura 1: Soluciones de la ecuaci´on (1)

1.1.

El modelo de Verhulst

Resumiremos los principales resultados concernientes al modelo de Verhulst para la din´ami-ca de poblaciones

dx

dt = x (a − b x), (1)

tratado en la Gu´ıa de aplicaciones. Sabemos que la ecuaci´on (1) satisface las hip´otesis del teorema Fundamental, que las funciones constantes xE(t) = a_b y xI(t) = 0 son soluciones

(soluciones de equilibrio) de (1) y que los gr´aficos de xE y xI (ver figura 1) son rectas

horizontales que dividen el plano tx en tres regiones R1 =

n

(t, x) | a_b < xo, R2 =

n

(t, x) | 0 < x < a_bo, R3 = {(t, x) | x < 0} ,

tales que el gr´afico de cualquier soluci´on no constante x = x(t) de (1) permanece confinado en una y s´olo una de estas regiones. M´as a´un, pudimos determinar cu´ando es creciente, y cu´ando es decreciente la soluci´on x = x(t) de (1) a partir de la condici´on inicial x(t0) = x0.

El objetivo principal de esta secci´on es obtener informaci´on adicional relevante de las soluciones x = x(t) de (1) sin conocerlas expl´ıcitamente. Podemos por ejemplo determinar la concavidad de las soluciones. Derivando (1) con respecto a t obtenemos

d2_x dt2 = d dt ¡ a x (t) − b x2(t)¢_{= (a − 2b x (t))} dx dt. (2)

Recuerde que la soluci´on estar´a confinada a la regi´on a la pertenece la condici´on inicial (t0, x0). Tal como hicimos en la Gu´ıa de aplicaciones estudiaremos los siguientes casos

Si a_b < x0, sabemos que el gr´afico de la soluci´on x = x(t), t ∈ I est´a contenido en R1

y que la soluci´on x = x(t) es estrictamente decreciente. Esto significa que a_b < x(t), y por lo tanto a − 2b x (t) > 0. Por eso al reemplazar en (2) tenemos d2

x

dt2 > 0. Por lo

tanto la funci´on x = x(t) es c´oncava hacia arriba.

Si 0 < x0 < a_b, vimos en la Gu´ıa de aplicaciones que 0 < x(t) < a_b y dx_dt > 0. Teniendo

en cuenta (2) se puede ver que la soluci´on x = x(t), t ∈ I, es c´oncava hacia abajo siempre que a

2b < x(t) < a

b, y c´oncava hacia arriba si se cumple que 0 < x(t) < a 2b.

An´alogamente, si x0 < 0, se demuestra que la soluci´on x = x(t), t ∈ I, es estrictamente

decreciente y c´oncava hacia abajo.

La figura 1 resume el an´alisis de crecimiento y concavidad de las soluciones de (1). Tal como se se˜nal´o en la Gu´ıa de aplicaciones, el intervalo de definici´on I de x = x(t) depende de x0 y de t0. Por ejemplo, si t0 = 0 y x0 > a_b, entonces I =

³ 1 a ln b x0−_a b x0 , ∞ ´ , mientras que I = (−∞, ∞) si 0 ≤ x0 ≤ a_b. Recuerde que mediante c´alculo directo se obtiene

l´ımt →∞x(t) = a_b siempre que x0 > 0.

1.2.

Ecuaciones diferenciales aut´

onomas

La t´ecnica empleada en el modelo de Verhulst puede extenderse a una clase relativamente amplia de ecuaciones diferenciales.

Definici´on 1. Diremos que una ecuaci´on diferencial de primer orden es aut´onoma si se puede expresar en la forma

dx

dt = f (x), (3)

donde f :Ω → R es una funci´on de valor real definida en un intervalo abierto Ω.

Por ejemplo, la ecuaci´on de Verhulst (1) es aut´onoma, mientras la ecuaci´on diferencial

dx

dt = (sen t) x no lo es. N´otese que para una ecuaci´on aut´onoma las condiciones del teorema

Fundamental de existencia y unicidad de soluciones se reducen a exigir que la funci´on f tenga derivada cont´ınua en Ω, de modo que en adelante supondremos v´alido el siguiente Supuesto. Suponderemos que f en (3) tiene derivada continua en el intervalo abierto Ω. Soluciones maximales. Dados t0 ∈ R y x0 ∈ Ω se garantiza la existencia de una ´unica soluci´on

de (3), definida sobre cierto intervalo I ⊂ R , que satisface la condici´on inicial x(t0) = x0.

M´as a´un, supondremos que I es maximal, en el sentido de que es el mayor intervalo donde la soluci´on del problema de valor inicial est´a definida. Por ejemplo, el intervalo maximal de definici´on del problema de valor inicial, dx_dt = x2_{, x(1) = −1, es (0, ∞), aunque la soluci´on}

x(t) = −1/t tambien est´a definida en cualquier subintervalo de (0, ∞).

Definici´on 2. _{Las soluciones constantes x(t) = c, t ∈ R, de (3) se llaman soluciones de} equilibrio o simplemente equilibrios.

Interpretando una ecuaci´on diferencial como la descripci´on de un sistema din´amico, los equilibrios son aquellos estados en los que el sistema no cambia con el tiempo. Supongamos que x(t) = c es un equilibrio de (3). Reemplazando en (3) tenemos que para todo n´umero real t

x0

(t) = 0 = f (x(t)) = f (c).

De acuerdo con esto, las soluciones de equilibrio c se determinan resolviendo f (c) = 0. Por ejemplo, en el modelo de Verhulst (1) las soluciones de equilibrio se obtienen resolviendo x (a − b x) = 0, de donde resultan xE(t) = a_b y xI(t) = 0.

Teorema 1. Cualquier soluci´on de (3) es o bien una soluci´on de equilibrio o una funci´on estrictamente mon´otona.

Demostraci´on. Sea x(t), t ∈ I, una soluci´on (maximal) de (3). Demostraremos que si x tiene un punto cr´ıtico (punto donde se anula la derivada), entonces x(t) es constante. Para ello, supongamos que x0

(te) = 0 con te ∈ I y sea xe = x(te). Puesto que x(t) es soluci´on se tiene:

dx

dt = f (x(t)), t ∈ I.

En particular para t = te, se tiene que x0(te) = f (x(te)) = 0. En consecuencia, la funci´on

constante y(t) = xe, t ∈ R, es una soluci´on de equilibrio de (3). Tenemos que tanto x como

la soluci´on constante y son soluciones de (3) que satisfacen la misma condici´on inicial en t = te. Se sigue entonces del Teorema Fundamental que x(t) = y(t) = xe.

El teorema anterior no es v´alido para ecuaciones diferenciales no aut´onomas. Para muestra obs´ervese que la funci´on x(t) = e1−cos t_{, t ∈ R, es soluci´on de} dx

dt = (sen t) x. Sin embargo,

x = x(t) no es creciente ni decreciente ni constante. Como ejercicio se propone esbozar el gr´afico de x(t) = e1−cos t_.

Determinar el intervalo de definici´on de una soluci´on (maximal) de una ecuaci´on dife-rencial aut´onoma es un problema no trivial. El siguiente resultado es de gran ayuda en ese respecto.

Teorema 2. Sean Ω = (α, β), x0 ∈ Ω y t0 ∈ R. Si x = x(t), t ∈ (a, b) es la soluci´on maximal

de (3) que satisface x(t0) = x0, entonces los l´ımites

l´ım

t→a+x(t) y _t→bl´ım−

x(t)

existen (sin perjuicio de que puedan ser infinitos). M´as a´un, si los l´ımites anteriores se denotan por A y B respectivamente, entonces A debe tomar uno de los valores α o β si a 6= −∞. An´alogamente B debe tomar uno de los valores α o β si b 6= ∞.

Demostraci´on. Los l´ımites existen pues el Teorema 1 garantiza que x es una funci´on m´ono-tona. La figura 2 ilustra el caso en que x es estrictamente creciente. Suponga que b 6= ∞ y que α < B < β. El Teorema Fundamental de existencia y unicidad establece la existencia de una soluci´on ˜x = ˜x(t) que satisface ˜x(b) = B, definida en un intervalo abierto que contiene a b. En particular, ˜x est´a definida en un intervalo de la forma (b, b + ²) para alg´un ² > 0. En ese caso podr´ıa construirse una soluci´on y = y(t) de la ecuaci´on, que estar´ıa definida en (a, b + ²), de acuerdo con la siguiente f´ormula:

y(t) =      x(t) si a < t < b, B, si t = b, ˜ x(t) si b < t < b + ².

En efecto, como y coincide con x en (a, b) y con ˜x en (b, b + ²), se tiene que y = y(t) es soluci´on en dichos intervalos. De otro lado, y es derivable en t = b y y0

(b) = f (y(b)) puesto que l´ım t→b− y0 (t) = l´ım t→b− f (x(t)) = f (B) = l´ım t→b+f (˜x(t)) = l´ım_t→b+y 0 (t).

β b B t0 x0 b + ² gr´afico de ˜x gr´afico de x

Figura 2: Ilustraci´on en el Teorema 2 De donde y0

(b) = f (B) = f (y(b)). Dado que el intervalo I = (a, b) es maximal se concluye que B = α o B = β. An´alogamente se demuestra que si a 6= −∞, entonces A debe tomar uno de los valores α o β.

Como ilustraci´on del teorema 2 consideremos el caso particular, dx

dt = x (1 − x) de (1).

En este caso α = −∞ y β = ∞. Para 0 < x0 < 1, sea x = x(t), t ∈ I = (a, b), la soluci´on

que satisface x(t0) = x0. Como sabemos, el gr´afico de x est´a contenido en R2 (ver figura 1).

Por consiguiente

0 < x(t) < 1, a < t < b,

de lo que se sigue (con la notaci´on del teorema 2) 0 ≤ B ≤ 1. En consecuencia b = ∞. An´alogamente se muestra que a = −∞, con lo que podemos determinar que I = R sin c´alculos expl´ıcitos.

Teorema 3. _{Si c ∈ Ω y x = x(t) es una soluci´on de (3) tal que l´ımt→∞}x(t) = c o l´ımt→−∞x(t) = c, entonces x(t) = c, t ∈ R, es una soluci´on de equilibrio.

Demostraci´on. Todo lo que hay que probar es que f (c) = 0. Digamos que f (c) > 0. Entonces existen un ² > 0 y un δ > 0 tal que f (x) > ² > 0 si |x − c| < δ. Como l´ımt→∞x(t) = c, existe

un t0 ∈ R tal que |x(t) − c| < δ si t ≥ t0. Por el Teorema Fundamental del C´alculo se tiene

x(t) = x(t0) + Z t t0 x0 (ξ) dξ = x(t0) + Z t t0 f (x(ξ)) dξ. Por eso x(t) > x(t0) + ² (t − t0) , t ≥ t0,

1.3.

Equilibrios y estabilidad

Definici´on 3. Un equilibrio c de la ecuaci´on diferencial (3) es estable si toda soluci´on x = x(t) de (3) que en el instante inicial t0 toma un valor x0 suficientemente cercano a c,

permanece pr´oxima a c para todo t > t0. Es decir,

|x0− c| peque˜no implica |x(t) − c| peque˜no para todo t > t0,

equivalentemente, para todo ² > 0 existe δ > 0, δ = δ(²), tal que

|x0− c| < δ implica |x(t) − c| < ² para todo t > t0.

Si adem´as se tiene l´ımt→∞x(t) = c, se dice que el equilibrio es asint´oticamente estable. Los

equilibrios que no son estables se llaman equilibrios inestables. Ejemplo 1. x = 0 es el ´unico equilibrio de x0

= x. Adem´as x(t) = x0et−t0 es la ´unica soluci´on

que en el tiempo t0 toma el valor x0. No importa que tan cercano est´e el valor inicial x0 de

0, se tiene l´ım t→∞x(t) = l´ımt→∞x0e t−t0 = ½ ∞ si x0 > 0 −∞ si x0 < 0

Esto implica que x = 0 es un equilibrio inestable. Ejemplo 2. x = 0 es una soluci´on de equilibrio de x0

= −x. Se verifica que x(t) = x0e−(t−t0)

es la soluci´on que en el tiempo t0 toma el valor x0. Sin importar el valor de x0 se tiene

l´ımt→∞x(t) = 0. Esto muestra que 0 es un equilibrio asint´oticamente estable.

Ejemplo 3. En general, x = 0 es el ´unico equilibrio de x0

= a x. El equilibrio ser´a estable si a < 0 e inestable si a > 0 (Ver Figuras 3 y 4).

a > 0

Figura 3: Equilibrio inestable en x0

= a x

a < 0

Figura 4: Equilibrio estable x0

= a x Ejemplo 4. Retomaremos la ecuaci´on de Verhulst (1). Se sabe que xE(t) = a_b, t ∈ R, es

un equilibrio. Sea x = x(t) la soluci´on de (1) que satisface x(t0) = x0. Si x0 > 0 se tiene

l´ımt→∞x(t) = a_b, lo que prueba la estabilidad del equilibrio xE. Presentaremos una

inter-pretaci´on demogr´afica de la estabilidad del equilibrio a

b. Si la poblaci´on inicial es a

b entonces

la poblaci´on conserva este valor a medida que pasa el tiempo (esto es claro de la definici´on de soluci´on equilibrio). Imaginemos ahora que se produce una perturbaci´on que afecta a la

f (x) x c + δ x0 c c − δ Figura 5:

poblaci´on por un tiempo muy corto, digamos un virus, y el n´umero de habitantes se reduce a 0 < x0 < a_b. Si el efecto que produce la mortalidad cesa en el tiempo t0, y si no se

pre-sent´o extinci´on total, entonces se presentar´a una recuperaci´on asint´otica. Esto se pone de manifiesto con la relaci´on l´ımt→∞x(t) = a_b.

La ecuaci´on de Verhulst tiene otro equilibrio xI(t) = 0, t ∈ R, el cual es inestable.

Invitamos al lector a que lo demuestre.

1.4.

Criterios para la estabilidad de equilibrios

Presentaremos ahora un criterio para identificar los equilibrios estables e inestables de una ecuaci´on aut´onoma.

Teorema 4. Si c es un equilibrio de (3) y si f0

(c) < 0 (respectivamente f0

(c) > 0), entonces x(t) ≡ c es un equilibrio asint´oticamente estable (respectivamente inestable). Rec´ıprocamente, todo equilibrio estable x(t) ≡ c (respectivamente inestable) satisface f0

(c) ≤ 0 (respectiva-mente f0

(c) ≥ 0).

Demostraci´on. Sea c un equilibrio de (3) y supongamos que f0

(c) < 0. Entonces f es estric-tamente decreciente en un intervalo (c − δ, c + δ), c es el ´unico equilibrio de f en ese intervalo y f (x) > 0 si c − δ ≤ x ≤ c. Dados ahora c − δ < x0 < c y t0 arbitrario, sea x(t), t ∈ I,

I = (a, b), la soluci´on maximal de (3) que satisface x(t0) = x0. Dado que x0(t0) = f (x0) > 0,

el teorema 1 garantiza que x es estrictamente creciente en I. De otro lado, el gr´afico de x no puede interceptar al gr´afico de la soluci´on constante x = c. Por eso x(t) ≤ c para todo t ∈ I = (a, b). Si B = l´ım

t→b−

x(t), entonces x0 < B ≤ c y se tendr´ıa, de acuerdo con el teorema

2, que b = ∞. En ese caso B debe ser un equilibrio de acuerdo con el teorema 3. Pero x = c es la ´_{unica soluci´on de equilibrio en (c − δ, c + δ), por lo que B = c y l´ım}t→∞x(t) = c. A una

conclusi´on an´aloga se llega si c ≤ x0 ≤ c + δ, de donde se sigue que x = c es asint´oticamente

estable

Ahora mostraremos que la estabilidad del equilibrio c implica f0

(c) ≤ 0. Para facilitar la argumentaci´on supondremos que c es un equilibrio asint´oticamente estable de (3) lo que implica que no existen otros equilibrios cerca de c. Sea δ > 0 lo suficientemente peque˜no

solucion de equilibrio π 1/2 2/ 1/ π R0 t c1 x

Figura 6: Gr´afico de la soluci´on de (4)

para garantizar que l´ımt→∞x(t) = c, si x = x(t) es una soluci´on de (3), que satisface

x(t0) = x0 ∈ (c − δ, c + δ). Si x0 ∈ (c − δ, c), un argumento an´alogo al presentado en la

primera parte del teorema muestra que x = x(t) tiene que ser estrictamente creciente de modo que dx

dt = f (x(t)) ≥ 0 pata todo t > t0. Ahora, como x = x(t) asume todos los valores

entre x0 y c se tiene que f (x) > 0 para todo x en el intervalo (x0, c). Teniendo en cuenta que

f es derivable se concluye que f0

(c) ≤ 0. Lo anterior se ilustra en la figura 5.

1.5.

Un ejemplo

El Teorema Fundamental garantiza que existe una ´unica soluci´on del problema de valor inicial x0 (t) = sen 1 x, x(0) = 1 2. (4)

El asunto es ¿cu´al es esa soluci´on? Desde luego que se puede aplicar la rutina conocida de separaci´on de variables y obtener

Z x(t)

1 2

1

sen_u1 du = t.

Pero esto es cambiar un problema por otro de igual dificultad, puesto que no conocemos una expresi´on para esta ´ultima integral en t´erminos de funciones elementales. Queda pues en pie la pregunta inicial.

La ecuaci´on (4) es aut´onoma con f (x) = sen1

x, x > 0. Existe un n´umero infinito de

soluciones de equilibrio dadas por las constantes cn = _nπ1 , n ∈ N. Consideremos ahora las

franjas Rn delimitadas por dos rectas horizontales que corresponden a los gr´aficos de dos

soluciones de equilibrio consecutivas cn y cn+1. Por convenci´on escribiremos

R0 :=

©

(t, x) ∈ R2 : x > c1

ª .

La uni´on de todas estas franjas (incluida la franja R0) es todo el semiplano R2+. As´ı,

estar´a confinado en alguna de estas franjas. Consideremos ahora la soluci´on x = x(t) que satisface la condici´on inicial x0 = 1₂. Seg´un el teorema 1 x ser´a estrictamente creciente.

Sea I = (a, b) el dominio de definici´on de x. Mostraremos que b = ∞. Por contradicci´on, supongamos que b < ∞ de modo que l´ım

t→b−x(t) = ∞, de acuerdo al teorema 2. Ahora bien,

sabemos que

0 < x0

(t) = sen 1

x(t) < 1, 0 < t < b.

Integrando esta ´ultima desigualdad se tiene x(t) < 1/2 + t, para todo 0 < t < b, lo cual es contradictorio.

El tipo de concavidad de la soluci´on se sigue de x00 (t) = − cos µ 1 x (t) ¶ 1 (x(t))2 x 0 (t) = − 1 2 (x(t))2 sen 2 x (t). La soluci´on es c´oncava hacia arriba cuando x(t) < 2

π, y c´oncava hacia abajo cuando para

x(t) > _π2. Esta informaci´on se recopila en la figura 6

Dado que la soluci´on x = x(t) es estrictamente creciente los l´ımites cuando t → ∞ y t → −∞ existen. Debido a que no existen soluciones de equilibrio xc(t) = c con c > _π1, se

tiene, en virtud del teorema 2, que l´ım

t→∞x(t) = ∞, t→−∞l´ım x(t) =

1 π. Problemas.

1. Muestre que la funci´on sen t no puede ser soluci´on de ecuaci´on diferencial alguna de la forma dx_dt = f (x), donde f satisface las hip´otesis del Teorema Fundamental. Muestre que x(t) = sen t satisface

dx dt =

√

1 − x2_.

¿Hay alguna contradicci´on en esto? 2. La ecuaci´on diferencial

du dt = n u

2/3

− k u, (n, k > 0 constantes)

para una funci´on u = u(t) es un caso particular de la ecuaci´on de Von Bertalanffy que modela el tama˜no de ciertos peces.

a) Haga ver que el Teorema fundamental de existencia y unicidad no es aplicable aqu´ı para garantizar la existencia de una soluci´on que satisface la condici´on inicial u(0) = 0.

b) Determine las soluciones de equilibrio y mediante un an´alisis cualitativo esboce las gr´aficas de las soluciones.

c) ¿Puede usted encontrar dos soluciones distintas que satisfagan la misma condici´on inicial u(0) = 0 ?

3. Clasifique los equilibrios de las siguientes ecuaciones diferenciales como estables o ines-tables. a) x0 = x1/2_{, b) x}0 = −x4_{, c) x}0 = x sen x2_, d) x0 = x2_{, e) x}0 = −x3_{, f) x}0 = x sen x, g) x0 = x(x + 1)(x − 2)(x + 3)2.

4. Trazar un gr´afico cualitativo de la soluci´on de x0

= sen ¡1_x¢, x(0) = 1₄. 5. Determine la estabilidad o inestabilidad de todos los equilibrios de x0

= sen ¡1 x

¢ . 6. Dada la ecuaci´on dx_dt = a x3 _{− b x}2_{, donde a y b son constantes positivas, hallar las}

soluciones de equilibrio y determinar su estabilidad. Mediante un an´alisis cualitativo trace un bosquejo de las curvas soluci´on, especificando los puntos de inflexi´on.

2.

M´

etodos num´

ericos

Se busca una aproximaci´on ex de la soluci´on x = x(t) del problema de valor inicial x0

(t) = f (t, x(t)), x(t0) = x0.

Supondremos que f : J × Ω → R es una funci´on continuamente diferenciable, y que x(t) est´a definida en un intervalo [a, b]. Primero se definir´a la aproximaci´on ex en n puntos equi-distantes t0, t1, ..., tn= b, con con a = t0, tj+1= tj+ h, para j = 0, 1, . . . , n − 1 y h = b−a_n . El

n´_{umero h se conoce como longitud de paso. Luego, en los valores intermedios t ∈ ( t}j+1, tj) se

puede definir la aproximaci´on ex mediante alg´un m´etodo de interpolaci´on. En esta secci´on nos limitaremos a mostrar algunas ideas generales con ayuda de ejemplos. El lector interesado puede encontrar en [6] mayores detalles.

2.1.

El m´

etodo de Euler

La definici´on de derivada nos indica como hallar la aproximaci´on ex. En efecto, se tiene x0

(t) = l´ım

h→0

x(t + h) − x(t)

h .

Esto justifica la aproximaci´on

x(t + h) ≈ x(t) + h x0

(t). Si x = x(t) es soluci´on de la ecuaci´on diferencial, entonces

Figura 7: Soluci´on de x0

= x, x(0) = 2 y su aproximaci´on dediante el m´etodo de Euler.

Como t0 y x0 son datos del problema, entonces la aproximaci´on en t1 = t0+ h est´a dada por

x(t1) = x(t0+ h) ≈ x(t0) + h f (t0, x (t0)) .

Escribiendo ex1 = x(t0) + h f (t0, x (t0)) se puede calcular la aproximaci´on ex2 de x(t2) con

t2 = t0+ 2h mediante

x(t2) = x(t0+ 2h) ≈ x(t0+ h) + h f (t0+ h, x (t0+ h))

≈ ex1+ h f (t1, ex1) .

Escribimos ex2 = ex1+ h f (t1, ex1) . Generalizando se tiene la regla recursiva

e

x0 = x0

e

xj+1 = exj+ h f (tj, exj) , j = 1, . . . , n − 1. .

El pr´oximo paso es definir la aproximaci´on ex en todo punto t de [a, b]. Si t = tj definimos

e

x(tj) = exj, y si t ∈ ( tj+1, tj) es un valor intermedio definimos ex(t) mediante interpolaci´on

lineal. Es claro que la aproximaci´on ex = ex(t) as´ı definida depende de la longitud de paso h, o lo que es lo mismo, depende del n´umero n de partes en que se haya subdividido el intervalo [a, b].

El siguiente teorema precisa en que sentido ex(t) es una aproximaci´on de x(t).

Teorema 5. Existe una constante C > 0 (que depende del intervalo [a, b] y de la funci´on f ) tal que

|x (t) − ex (t)| < C_n, _{t ∈ [a, b].} Con h = b−a_n se tiene la estimaci´on equivalente

|x (t) − ex (t)| < C

b − a |h| t ∈ [a, b].

2.2.

El m´

etodo de Runge-Kutta

Un m´etodo m´as eficiente se obtiene con la regla recursiva e x0 = x0 e xj+1 = 1₆(k1+ 2k2+ 2k3+ k4) + exj k1 = h f (tj, exj) k2 = h f ¡ tj +h₂, exj +1₂k1 ¢ k3 = h f ¡ tj +h₂, exj +1₂k2 ¢ k4 = h f (tj+ h, exj+ k3) , j = 1, . . . , n − 1.

x R-K E

Figura 8: Comparaci´on de los m´etodos

De manera an´aloga se define una aproximaci´on ex(t) definida para todo t en [a, b]

de la soluci´on x = x(t). Como ilustraci´on se comparar´an los dos m´etodos en la ecuaci´on diferencial

x0

= 10 cos (20 t) x(t), x(0) = 2.

Con longitud de paso h = 1₉, [a, b] = [0,10₂₇] en ambos m´etodos. Los resultados se consignan en la figura 8.

Para el m´etodo de Runge-Kutta existe una constante C tal que |x (t) − ex (t)| < C |h|4 t ∈ [a, b].

Referencias

[1] Murphy, G. Ordinary differential Equations and their Solutions. D. Van Nostrand Company, Princeton, New Jersey, 1960. Este es un manual de consulta en donde se rese˜nan muchos m´etodos para obtener soluciones expl´ıcitas de ecuaciones diferenciales. [2] Lehning, H. From experimentation to solution. Am. Math. Mon., 96 (1989), pg, 631.

Es un art´ıculo dedicado a la ecuaci´on diferencial x0

= t − x1.

[3] Wolfram, S. Mathematica a System for Doing Mathematics by Computer. Second Edition. Addinson-Wesley Publishing, 1991. Libro de referencia estandar sobre el pro-grama Mathematica.

[4] Gray, T, and Glynn, J. Exploring Mathematics with Mathematica. Addinson-Wesley Publishing, 1991. Libro introductorio al programa Mathematica.

[5] Gray, A., Mezzino, M., and Pinsky, M. Ordinary Differential Equations with Mathematica. Springer Verlag, 1996. Es un texto de reciente aparici´on en el mercado internacional. Viene acompa˜nado de un disco compacto (CD) con programas escritos en Mathematica para experimentaci´on num´erica y visualizaci´on de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias.

[6] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery. Numerical Recipes in C. Cambridge, 1992. Libro de referencia para ingenieros y cient´ıficos que deseen aplicar el an´alisis num´erico.