123378994 Toma de Decisiones Ejercicios Resueltos

(1)

i 

EJERCICIOS RESUELTOS

TOMA DE DECISONES BAJO COMPLETA INCERTIDUMBRE

1.-Los directivos de pensión Planners. Inc. Deben escoger uno de los tres fondos mutuos comparables en el cual

invertir un millón de dólares. El personal del depto. de investigación ha estimado la recuperación esperada en un año para cada uno de los fondos mutuos, basándose en un desempeño pobre, moderado, o excelente del índice Dow Jones, de la siguiente manera:

Desempeño del Dow Jones

Recuperación esperada

Fondo1 $ Fondo2 $ Fondo3 $

Pobre 50000 25000 40000

Moderada 75000 50000 60000

Excelente 100000 150000 175000

Utilice la matriz de ganancias para calcular la decisión óptima y la ganancia asociada utilizando cada uno de los criterios siguientes: a) Laplace b) Mínimax c) Hurwicz (con =0.4) SOLUCION 1.- Decisor:

Los directivos de planners

2.- Alternativas o acciones:

a

₁: Elegir Fondo 1.

a

₂: Elegir Fondo 2.

a

₃: Elegir Fondo 3. 3.- Estados de la naturaleza:



1

:

Pobre.



2

:

Moderado.



2

:

Excelente. 4.- Matriz de consecuencias:



1



2



2

a

₁ 50000 75000 100000

a

₂ 25000 50000 150000

a

3 40000 60000 175000 a) Criterio de Laplace



1 

a

₁

:

3 

50000



70000



100000





75000



Max[a ]



Max



a :

1 

3 

1 (25000



50000



150000)



75000



a

₃

: (40000



60000



175000)



91666.66



a

₃



(2)



b) Míni - max



₁



₂



₂ max Mini

a

₁ 50000 75000 100000 10000 10000



a

1

a

₂ 25000 50000 150000 15000

a

3 40000 60000 175000 175000 Bajo el criterio Mini – Max elegir la alternativa

a

1

c) Hurwicz (con =0.4)



a

1

: 0.4 *100000



(1



0.4) * 50000



70000



Max[a

_i

]



Max

_

a

₂

: 0.4 *150000



(1



0.4) * 25000



₇₅₀₀₀



a

₃

: 0.4 *175000



(1



0.4) * 40000



94000



a

₃ Bajo el criterio de Hurwicz se recomienda elegir la alternativa

a

₃

2.- Los Dueños de FastFoods Inc., están tratando de decidir si construyen una nueva sucursal en un centro comercial

abierto, en un centro comercial cerrado o en un lugar remoto del que los analistas opinan que tienen un gran potencial de crecimiento. Además del costo de construcción $ 100 000, independiente del lugar, la renta anual de arrendamiento de cinco años en el centro al aire libre es de 30 000 $, en el centro comercial cerrado es de 50 000 $ y en un lugar retirado es de 10 000 $. La probabilidad las ventas de 5 años estén por debajo del promedio se estima en 0.3, la probabilidad en el promedio es de 0.5, y de que estén por encima del promedio es de 0.2. El personal de mercadotecnia a preparado la siguientes proyecciones de recuperación para cinco años para cada resultado posible:

VENTAS Centro al Aire Libre Centro Cerrado Lugar Retirado Por debajo del

promedio 100 000 200 000 50 000

Promedio 200 000 400 000 100 000

Por encima del

promedio 400 000 600 000 300 000

Utilice la matriz de ganancias para calcular a mano la decisión óptima y la ganancia asociada, usando cada uno de los siguientes criterios e ignorando cualquier flujo de efectivo después de cinco años:

a) Máxi - Max b) Maxi - Min

c) Hurwicz (con α=0.6) d) Savage

e) Aplique también el criterio de bayes. f) Laplace

SOLUCION

1.- Decisor: Los Dueños de FastFoods 2.- Alternativas:

a

1 : Construir en el centro al aire libre.

a

₂: Construir en el centro cerrado.

(3)

3.- Estados de la naturaleza:



₁

:

Ventas por debajo del promedio



2

:

Ventas en el promedio



2

:

Ventas por encima del promedio

4.- Matriz de consecuencias:



1



2



2

a

₁ -150 -50 150

a

₂ -150 50 250

a

3 -100 -50 150

P(



_j

)

0.3 0.5 0.2 5.- Función de consecuencias: Datos adicionales: Costo de construcción = 100000 $

Arrendamiento de 5 años en el centro al aire libre = 30000 $ Arrendamiento de 5 años en el centro cerrado = 50000 $ Arrendamiento de 5 años en un lugar retirado = 10000 $

En miles de $

f (a

1

,



1

)



100 – (100+30*5) = -150

f (a

1

,



2

)



200 – (100+30*5) = -50

f (a

₁

,



₃

)



400 – (100+30*5) = 150

f (a

₂

,



₁

)



200 – (100+50*5) = -150

f (a

2

,



2

)



400 – (100+50*5) = 50

f (a

₂

,



₃

)



600 – (100+50*5) = 250

f (a

₃

,



₁

)



50 – (100+10*5) = -100

f (a

₃

,



₂

)



100 – (100+10*5) = -50

f (a

3

,



3

)



300 – (100+10*5) = 150 6.- Probabilidades a priori

P(



1

)



0.3

P(



2

)



0.5 P(



₃

)



0.2

(4)



i 

a

₂



i 

a

₂ i 

2

3

a) Optimista Máxi - Max



1



2



2 Max Maxi

a

1 -150 -50 150 150

a

₂ -150 50 250 250 250



a

2

a

₃ -100 -50 150 150

b) Pesimista Maxi - Min



1



2



2 Min Maxi

a

1 -150 -50 150 -150

a

₂ -150 50 250 -150

a

3 -100 -50 150 -100 -100



a

3 c) Hurwicz (con α=0.6)



a

1

: 0.6 *150



(1



0.6) * (



150)



30 Max[a ]



Max



: 0.6 * 250



(1



0.6) * (



150)



90 

a



a

₃

: 0.6 *150



(1



0.6) * (



100)





₁₀

d) Savage



1



2



2



1



2



2 Max Mini

a

1 -150 -50 150 50 100 100 100

a

₂ -150 50 250 50 0 0 50 50



a

2

a

₃ -100 -50 150 0 100 100 100 Max -100 50 250 e) Criterio de bayes:



a

₁

:



150 * 0.3



(



50) * 0.5



150 * 0.2





40 Max[a ]



Max



:



150 * 0.3



50 * 0.5



250 * 0.2



30 

a



a

₃

:



100 * 0.3



(



50) * 0.5



150 * 0.2





₂₅

f) Criterio de Laplace



1 

a

₁

:

3 ((



150)



(



50)



(150))





16.67 

Max[a ]



Max



a :

1 

3 

1 ((



150)



50 

250)



50 

a

₂



a

₃

: (



100 

(



50)



150)



₀



(5)

3.- Una compañía que elabora un analgésico se encuentra ante la alternativa de realizar la compra de la materia

prima básica. Esta es una droga que debe importarse y puede comprarse de dos formas distintas: encargando al extranjero el envío con cuatro meses de anticipación al invierno a un precio de $ 200 por toneladas, u ordenar en el extranjero los pedidos con un mes de anticipación al invierno con un recargo de $ 25 por tonelada si se compran 4 toneladas y $ 75 por tonelada si la compra es de una cantidad mayor.

En el caso de elegirse la primera alternativa y resultar insuficiente la cantidad pedida para satisfacer la demanda, se deberán realizar compras durante el invierno a los proveedores de la competencia en el mercado nacional, debiéndose pagar $ 350 por la primera tonelada que se compre y $ 550 por las siguientes.

La compañía se ha impuesto la restricción de no dejar demanda insatisfecha pues ello le arrancaría una pérdida de mercado tan importante que se le ha asignado un costo infinito. Si se sabe con precisión que la demanda, si el invierno es suave, implicará un consumo de materia prima de 4 toneladas, 5 si el invierno es normal y 6 si es riguroso.

No se puede atribuir ninguna probabilidad objetiva a cada uno de los estados de la naturaleza. Las materias primas que han sido compradas, pero que no se utilizan son inútiles para ser empleadas al año siguiente o en otro producto, por lo tanto su valor de salvamento es cero.

a) Armar la matriz de decisiones.

b) Cuál sería la decisión recomendada según todos los criterios vistos en clases (para el criterio de Hurwicz usar un coeficiente de optimismo = 0.8)

c) Cuál de los criterios recomendaría a la compañía? Justifique su respuesta.

SOLUCIÓN 1.- Decisor:

La compañía

2.- Alternativas:

Al principio parece que fueran solo dos alternativas

Importar del extranjero con 4 meses de anticipación. Importar del extranjero con 1 mes de anticipación.

Pero no nos indica que cantidad respecto a la demanda (4, 5, 6 ton.) por tanto las alternativas respecto a la demanda serán:

a

1 : Importar 4 ton. del analgésico del extranjero con 4 meses de anticipación.

a

₂: Importar 5 ton. del analgésico del extranjero con 4 meses de anticipación.

a

₃: Importar 6 ton. del analgésico del extranjero con 4 meses de anticipación.

a

₄: Importar 4 ton. del analgésico del extranjero con 1 mes de anticipación.

a

5 : Importar 5 ton. del analgésico del extranjero con 1 mes de anticipación.

a

₆: Importar 6 ton. del analgésico del extranjero con 1 mes de anticipación.



1 : Invierno suave con demanda de 4 ton.



2 : Invierno normal con demanda de 5 ton.



3 : Invierno riguroso con demanda de 6 ton.



1 = 4



2 = 5



3 = 6

a

₁ 800 1150 1700

a

₂ 1000 1000 1350

a

3 1200 1200 1200

a

₄ 900 1250 1800

a

₅ 1375 1375 1725

a

₆ 1650 1650 1650

(6)

5.-Funcion de consecuencias: _Datos

- En el caso que se importe con 4 meses de anticipación: Precio de compra 200 $/ton.

- En el caso que se importe con 1 mes de anticipación: Precio de compra 200 $/ton con un recargo de 25$/ton. si se compran 4 toneladas y 75$/ton. si la compra es de una cantidad mayor.

f (a

1

;



1

)

= 4*200 = 800

f (a

₁

;



₂

)

= 4*200 + 1*350 = 1150

f (a

1

;



3

) = 4-200 + 1350 +1550 = 1700

f (a

₂

;



₁

)

= 5*200 = 1000

f (a

2

;



2

) = 5*200 = 1000

f (a

2

;



3

)

= 5*200+1*350 = 1350

f (a

₃

;



₁

) = 6*200 = 1200

f (a

3

;



2

) = 6*200 = 1200

f (a

3

;



3

) = 6*200 = 1200

f (a

4

;



1

)

= 4*225 = 900

f (a

₄

;



₂

) = 4225 + 1350 = 1250

f (a

4

;



3

)

= 4*225 + 1*350 +1*550 = 1800

f (a

₅

;



₁

) = 5*275 = 1375

f (a

₅

;



₂

)

= 5*275 = 1375

f (a

₅

;



₃

) = 5275+1350 = 1725

f (a

₆

;



₁

)

= 6*275 = 1650

f (a

6

;



2

) = 6*275 = 1650

f (a

6

;



3

) = 6*275 = 1650

Como la matriz es de costos nuestro objetivo será minimizar costos.

Criterio optimista Mini - Min



1 = 4



2 = 5



3 = 6 Min Mini

a

1 800 1150 1700 800 800



a

1

a

₂ 1000 1000 1350 1000

a

₃ 1200 1200 1200 1200

a

4 900 1250 1800 900

a

5 1375 1375 1725 1375

a

6 1650 1650 1650 1650

(7)



Criterio pesimista o de Wald Mini – Max



1 = 4



2 = 5



3 = 6 Max Mini

a

1 800 1150 1700 1700

a

2 1000 1000 1350 1350

a

₃ 1200 1200 1200 1200 1200



a

₃

a

4 900 1250 1800 1800

a

₅ 1375 1375 1725 1725

a

₆ 1650 1650 1650 1650

Bajo el criterio pesimista o de W ald se recomienda elegir la alternativa

a

₃

Hurwicz (con α=.8)



a

₁

: 0.8 * 800



(1



0.8) *1700



980 

a

₁



a

2

: 0.8 *1000



(1



0.8) *1350



1070



a

3

: 0.8 *1200



(1



0.8) *1200



1200

Min[a

_i

]



Min

_



a

₄

: 0.8 * 900



(1



0.8) *1800



1080



_{a : 0.8 1375}*

_

₍₁

_

_{0.8) *1725}

_

₁₄₄₅



5



a

₆

: 0.8 *1650



(1



0.8) *1650



₁₆₅₀

Bajo el criterio de Hurwicz se debe elegir la alternativa

a

₁

Savage



1 = 4



2 = 5



3 = 6



1 = 4



2 = 5



3 = 6 Max Min

a

1 800 1150 1700 0 150 500 500

a

₂ 1000 1000 1350 200 0 150 200 200



a

₂

a

₃ 1200 1200 1200 400 200 0 400

a

₄ 900 1250 1800 100 250 50 250

a

₅ 1375 1375 1725 575 375 175 575

a

₆ 1650 1650 1650 850 650 450 850 Min 800 1000 1200

(8)

i 

a

3

a

Criterio de Laplace



1 

a

1

:

3 (800



1150



1700)



1216.67





_{: 1 (1000}

_

₁₀₀₀

_

₁₃₅₀₎

_

_1116.67

_

_a



2

3

2





_{a :}

1 ₍₁₂₀₀

_

₁₂₀₀

_

₁₂₀₀₎

_

₁₂₀₀

Min[a ]



Min



3 

_:

1 (900



1250



1800)



1316.67



4

3 

₁



a

5

:





a

6

:



(1375



1375



1725)



1491.67

3

1 (1650



1650



1650)



1650

3

Bajo el criterio de Laplace elegir la alternativa

a

2

Conclusión

Se debe elegir la alternativa

a

₂ porque representa el menor costo

4.- Un fabricante de productos desea conocer el número de unidades que desea fabricar cada día, tiene dos

empleados: un obrero calificado al que se le paga Bs. 85 por día y un chanquista que gana Bs 70 por día, por otra parte en gastos diarios fijos (pagan impuestos, alquiler, movilizaciones, etc.) se eleva a 300 Bs/mes. El fabricante puede vender como regazo los artículos que genera al final de cada día a Bs. 2 cada una. El precio de venta de cada artículo es de 6 Bs. El fabricante ha observado que para fabricar 500 o más artículos por día, el obrero calificado debe trabajar horas extra que mejoran su salario de 20 Bs. Además calcula que un cliente no satisf echo le causa un perjuicio que estima en 5 Bs. por artículo. El fabricante ha podido establecer en número de artículos demandados por día que pueden ser 200, 400, 500, 600, 700, 800. Determinar la solución optima para el problema con por lo menos 5 métodos de toma de decisiones. Para Hurwicz α= 0.63

SOLUCION 1.- Decisor: El fabricante. 2.- Alternativas:

a

1 : Fabricar 200 art/día

a

2 : Fabricar 400 art/día

a

₃: Fabricar 500 art/día

a

₄: Fabricar 600 art/día

a

₅: Fabricar 700 art/día

a

₆: Fabricar 800 art/día 3.- Estados de la naturaleza:



1

:

Demanda de 200 art/día



2

:



₃

:



₄

:



₅

:



₆

:

(9)



1



2



3



4



5



6

a

₁ 1035 35 - 465 - 965 -1465 -1965

a

₂ 1435 2235 1735 1235 735 235

a

3 1615 2415 2815 2315 1815 1315

a

₄ 1815 2615 3015 3415 2915 2415

a

5 2015 2815 3215 3615 4015 3515

a

₆ 2215 3015 3415 3815 4215 4615 5.- Función de consecuencias: Costos:

Obrero calificado = 85 Bs/día

Obrero calificado si fabrica más de 500 artículos/día 85 Bs/día + 20 Bs/día = 105 Bs/día. Chanquista = 70 Bs/día.

Costo fijo = 300 Bs/mes = 10 Bs/día. Costo cliente insatisfecho = 5 Bs/Artículo

Precios de venta Pv. regazo= 2 Bs/día Pv. normal= 6 Bs/día

f (a

₁

,



₁

)



200*6 – (85+70+10) = 1035

f (a

1

,



2

)



200*6 – (85+70+10 + 200*5) = 35

f (a

1

,



3

)



200*6 – (85+70+10 + 300*5) = - 465

f (a

₁

,



₄

)



200*6 – (85+70+10 + 400*5) = -965

f (a

1

,



5

)



200*6 – (85+70+10 + 500*5) = -1465

f (a

1

,



6

)



2006 – (85+70+10 + 6005) = - 1965

f (a

2

,



1

)



(200*6+200*2) – (85+70+10) = 1435

f (a

2

,



2

)



400*6 – (85+70+10) = 2235

f (a

₂

,



₃

)



400*6 – (85+70+10 + 100*5) = 1735

f (a

₂

,



₄

)



400*6 – (85+70+10 + 200*5) = 1235

f (a

2

,



5

)



400*6 – (85+70+10 + 300*5) = 735

f (a

₂

,



₆

)



400*6 – (85+70+10 + 400*5) = 235

f (a

₃

,



₁

)



(200*6+300*2) – (105+70+10) = 1615

f (a

₃

,



₂

)



(400*6+100*2) – (105+70+10) = 2415

f (a

3

,



3

)



500*6 – (105+70+10) = 2815

f (a

₃

,



₄

)



500*6 – (105+70+10 + 100*5) = 2315

f (a

3

,



5

)



500*6 – (105+70+10 + 200*5) = 1815

f (a

3

,



6

)



5006 – (105+70+10 + 3005) = 1315

(10)

f (a

4

,



1

)



(200*6+400*2) – (105+70+10) = 1815

f (a

4

,



2

)



(400*6+200*2) – (105+70+10) = 2615

f (a

4

,



3

)



(500*6+100*2) – (105+70+10) = 3015

f (a

₄

,



₄

)



600*6 – (105+70+10) = 3415

f (a

₄

,



₅

)



600*6 – (105+70+10 + 100*5) = 2915

f (a

4

,



6

)



600*6 – (105+70+10 + 200*5) = 2415

f (a

5

,



1

)



(200*6+500*2) – (105+70+10) = 2015

f (a

5

,



2

)



(400*6+300*2) – (105+70+10) = 2815

f (a

5

,



3

)



(500*6+200*2) – (105+70+10) = 3215

f (a

₅

,



₄

)



(600*6+100*2) – (105+70+10) = 3615

f (a

₅

,



₅

)



700*6 – (105+70+10) = 4015

f (a

5

,



6

)



700*6 – (105+70+10 +100*5) = 3515

f (a

6

,



1

)



(200*6+600*2) – (105+70+10) = 2215

f (a

₆

,



₂

)



(400*6+400*2) – (105+70+10) = 3015

f (a

6

,



3

)



(500*6+300*2) – (105+70+10) = 3415

f (a

₆

,



₄

)



(600*6+200*2) – (105+70+10) = 3815

f (a

₆

,



₅

)



(700*6+100*2) – (105+70+10) = 4215

f (a

₆

,



₆

)



800*6 – (105+70+10) = 4615 Criterio de evaluación:

Criterio optimista Maxi-max



1



2



3



4



5



6 Max Maxi

a

₁ 1035 35 - 465 - 965 -1465 -1965 1035

a

₂ 1435 2235 1735 1235 735 235 2235

a

3 1615 2415 2815 2315 1815 1315 2815

a

₄ 1815 2615 3015 3415 2915 2415 3415

a

5 2015 2815 3215 3615 4015 3515 4015

a

6 2215 3015 3415 3815 4215 4615 4615 4615



a

6

(11)



3

a

1

Criterio pesimista Maxi-min



1



2



3



4



5



6 Min Maxi

a

₁ 1035 35 - 465 - 965 -1465 -1965 -1965

a

₂ 1435 2235 1735 1235 735 235 235

a

3 1615 2415 2815 2315 1815 1315 1315

a

₄ 1815 2615 3015 3415 2915 2415 1815

a

5 2015 2815 3215 3615 4015 3515 2015

a

₆ 2215 3015 3415 3815 4215 4615 2215 2215



a

6

Bajo el criterio pesimista se recomienda al fabricante elegir la alternativa

a

6

Criterio de Hurwicz Fabricar 800 art/día



a

₁

: 0.63* (1035)



(1



0.63) * (



1965)





75 

a

2

: 0.63* (2235)



(1



0.63) * (235)





1495



a : 0.63 (2815)*



(1



0.63) * (1315)



2260

Max a



Max

i





a

₄

: 0.63* (3415)



(1



0.63) * (1815)



₂₈₂₃



_{a : 0.63 (4015)}*

_

₍₁

_

_{0.63) * (2015)}

_

₃₂₇₅



5



a

6

: 0.63* (4615)



(1



0.63) * (2215)



3727



a

6

Bajo el criterio de Hurwicz se recomienda al fabricante elegir la alternativa

a

₆ Fabricar 800 art/día



1 

a

₁

:

6 

1035



35 

(



465)



(



965)



(



1465)



(



1965)







631.67 



1 

a

2

:

6 

1435



2235



1735



1235



735 

235 



1268.3





_a

3

:

Max



a





Max



1 _

1615



2415



2815



2315



1815



1315





2048.3

6

i





_:

1 _

1815



2615



3015



3415



2915



2415





2698.3



4

6 

₁



a

5

:





a

₆

:





2015



2815



3215



3615



4015



3515





3198.3

6 

2215



3015



3415



3815



4215



4615





3548.3



a

6

(12)

5.- Una empresa debe seleccionar una de las cuatro maquinas que dispone para fabricar Q unidades de un

determinado producto. Si los costos fijos y variables por unidad producida de cada máquina son:

Maquina Costo Fijo (Bs.) Costo Variable (Bs.) A 100 6 B 50 12 C 70 5 D 180 8

Y la función de demanda viene dada por la siguiente ecuación:

D= 200 + 50*p donde P son las posibilidades de venta que varían de 0 a 4.

Qué decisión recomendaría a la empresa tomando en cuenta todos los criterios de decisión bajo incertidumbre (para el criterio de Hurwicz α=0.3) de todos los criterios cuales que recomendación daría a la empresa justifique su respuesta. SOLUCION 1.- Decisor: La empresa 2.- Alternativas:

a

₁: Elegir maquina A

a

2 : Elegir maquina B

a

3 : Elegir maquina C

a

₄: Elegir maquina D 3.- Estados de la naturaleza:



₁

:

Demanda = 200 + 50*0 = 200



₂

:

Demanda = 200 + 50*1 = 250



₃

:

Demanda = 200 + 50*2 = 300



₄

:

Demanda = 200 + 50*3 = 350



₅

:

Demanda = 200 + 50*4 = 400 4.- Matriz de consecuencias:



1



2



₃



4



₅

a

₁ 1300 1600 1900 2200 2500

a

2 2450 3050 3650 4250 4850

a

3 1070 1320 1570 1820 2070

a

4 1780 2180 2580 2980 3380 5.- Función de consecuencias: Matriz de costos

La cantidad Q que se va a producir está en función a la demanda Q = Demanda. f(a;θ) = costo fijo + costo variable*Q

f (a

₁

,



₁

)



100[Bs] + 6[Bs/unid]*200[Unid] = 1300 Bs

f (a

1

,



2

)



100[Bs] + 6[Bs/unid]*250[Unid] = 1600 Bs

f (a

₁

,



₃

)



100[Bs] + 6[Bs/unid]*300[Unid] = 1900 Bs

(13)

f (a

1

,



5

)



100[Bs] + 6[Bs/unid]*400[Unid] = 2500 Bs

f (a

₂

,



₁

)



50[Bs] + 12[Bs/unid]*200[Unid] = 2450 Bs

f (a

2

,



2

)



50[Bs] + 12[Bs/unid]*250[Unid] = 3050 Bs

f (a

2

,



3

)



50[Bs] + 12[Bs/unid]*300[Unid] = 3650 Bs

f (a

₂

,



₄

)



50[Bs] + 12[Bs/unid]*350[Unid] = 4250 Bs

f (a

₂

,



₅

)



50[Bs] + 12[Bs/unid]*400[Unid] = 4850 Bs

f (a

₃

,



₁

)



70[Bs] + 5[Bs/unid]*200[Unid] = 1070 Bs

f (a

3

,



2

)



70[Bs] + 5[Bs/unid]*250[Unid] = 1320 Bs

f (a

3

,



3

)



70[Bs] + 5[Bs/unid]*300[Unid] = 1570 Bs

f (a

₃

,



₄

)



70[Bs] + 5[Bs/unid]*350[Unid] = 1320 Bs

f (a

₃

,



₅

)



70[Bs] + 5[Bs/unid]*400[Unid] = 2070 Bs

f (a

4

,



1

)



180[Bs] + 8[Bs/unid]*200[Unid] = 1780 Bs

f (a

4

,



2

)



180[Bs] + 8[Bs/unid]*250[Unid] = 2180 Bs

f (a

4

,



3

)



180[Bs] + 8[Bs/unid]*300[Unid] = 2580 Bs

f (a

₄

,



₄

)



180[Bs] + 8[Bs/unid]*200[Unid] = 2980 Bs

f (a

4

,



5

)



180[Bs] + 8[Bs/unid]*200[Unid] = 3380 Bs Criterio de evaluación:

Criterio optimista Mini-min



₁



₂

_

₃



₄

_

₅ min Mini

a

₁ 1300 1600 1900 2200 2500 1300

a

₂ 2450 3050 3650 4250 4850 2450

a

3 1070 1320 1570 1820 2070 1070 1070

a

₄ 1780 2180 2580 2980 3380 1780

Bajo el criterio optimista se recomienda al fabricante elegir la alternativa incurre en el menor costo 1070 Bs

Criterio pesimista Mini - Max

a

₃es decir elegir la maquina C porque



1



2



3



4



5 Max Mini

a

₁ 1300 1600 1900 2200 2500 2500

a

₂ 2450 3050 3650 4250 4850 4850

a

₃ 1070 1320 1570 1820 2070 2070 2070

a

4 1780 2180 2580 2980 3380 3380

Bajo el criterio pesimista se recomienda al fabricante elegir la alternativa incurre en el menor costo 2070 Bs.

(14)





2

a

4



Criterio de Hurwicz



a

₁

: 0.3* (1300)



(1



0.3) * (2500)



2140

Min



a

i





Min





a

2

: 0.3* (2450)



(1



0.3) * (4850)



4130



a

3

: 0.3* (1070)



(1



0.3) * (2070)



1770



a

3



a

4

: 0.3* (1780)



(1



0.3) * (3380)



2900

Bajo el criterio de Hurwicz se recomienda al fabricante elegir la alternativa incurre en el menor costo 1770 Bs.

a

₃es decir elegir la maquina C porque



1 

a

₁

:

5 

1300



1600



1900



2200



2500





1900



_a

Min



a





Min



:

1 

2450



3050



3650



4250



4850





3650

5 

_:

1 _

1070



1320



1570



1820



2070





1570



a



3

5

3



a :

1 

1780



2180



2580



2980



3380





2580



5

Bajo el criterio de Lapace se recomienda al fabricante elegir la alternativa incurre en el menor costo 1570 Bs

Criterio de Savage

a

3 es decir elegir la maquina C porque



1



2



3



4



5



1



2



3



4



5 Max Mini

a

1 1300 1600 1900 2200 2500 230 280 330 380 430 430

a

₂ 2450 3050 3650 4250 4850 1380 1730 2080 2430 2780 2780

a

₃ 1070 1320 1570 1820 2070 0 0 0 0 0 0 0

a

₄ 1780 2180 2580 2980 3380 710 860 1010 1160 1300 1300 Min 1070 1320 1570 1820 2070

Bajo el criterio de Savage se recomienda al fabricante elegir la alternativa

a

3 es decir elegir la maquina C

Conclusión

(15)

6.- Una empresa puede optar por fabricar uno de los modelos diferentes de un determinado artículo o ambos, pero

debido a las limitaciones de equipo y utillaje, los costos que suponen desarrollar ambos modelos simultáneamente superan la suma de los costos de hacerlo individualmente. Limitaciones en la capacidad productiva hacen que sea imposible fabricar en ambos modelos tantas unidades como pueda absorber el mercado. Los departamentos de producción y ventas de la empresa han efectuado las siguientes estimaciones:

a) Los costos (en millones de dólares ) de los diversos modelos son los siguientes : Modelos económicos 2; modelo de lujo 3; ambos el mismo año 6.

b) Los gastos generales y administrativos fijos son de 2 millones de dólares.

c) Los ingresos por ventas (en millones de dólares), que dependen de cuál sea la coyuntura económica del próximo año, son: modelo económico 12, 6 o 4; modelo de lujo 15, 6 o 0; ambos 18, 12 o 4, según que la economía está en expansión, estabilidad o recesión respectivamente.

A la vista de la información anterior determine:

La alternativa optima para la empresa según los diferentes criterios de decisión bajo incertidumbre. Para Hurwicz α= 0.45

SOLUCION 1.- Decisor:

La empresa

a

₁: Fabricar modelo económico (Costo = 2 millones + costo fijo = 2 millones)

a

2 : Fabricar modelo de lujo (Costo = 3 millones + costo fijo = 2 millones)

a

₃: Fabricar ambos modelos (Costo = 36millones + costo fijo = 2 millones)



1

:

Economía en expansión. (12, 15, 18)



2

:

Economía en estabilidad (6, 6, 12)



₃

:

Economía en recesión (4, 0, 4) 4.- Matriz de consecuencias:



1



2



3

a

1 8 2 0

a

2 10 1 -5

a

₃ 10 4 -4 5.- Función de consecuencias: Matriz de beneficios

f (a

1

,



1

)



12 – (2+2) = 8 millones $

f (a

1

,



2

)



6 – (2+2) = 2 millones $

f (a

₁

,



₃

)



4 – (2+2) = 0 millones $

B= Gan. Tot – costos tot

f (a

₂

,



₁

)



15 – (3+2) = 10 millones $

f (a

2

,



2

)



6 – (3+2) = 1 millones $

f (a

₂

,



₃

)



0 – (3+2) = -5 millones $

f (a

₃

,



₁

)



18 – (6+2) = 10 millones $

f (a

₃

,



₂

)



12 – (6+2) = 4 millones $

f (a

₃

,



₃

)



4 – (6+2) = -4 millones $

(16)



Criterio de evaluación:

Criterio optimista Maxi - Max



1



2



3 Max Max

a

1 8 2 0 8

a

₂ 10 1 -5 10 10

a

3 10 4 -4 10 10 Bajo el criterio optimista puede elegir la alternativa

Criterio pesimista Mini – min

a

2 y

a

3 con un valor esperado de 10 millones de $



1



2



3 min Mini

a

₁ 8 2 0 0 0

a

₂ 10 1 -5 -5

a

3 10 4 -4 -4

Bajo el criterio de pesimista se recomienda al fabricante elegir la alternativa

a

₃fabricar ambos modelos

Criterio de Hurwicz



a

₁

: 0.45 * (8)



(1



0.45) * (0)



3.6 

a

₁

Max



a

i





Max





a

2

: 0.45 * (10)



(1



0.45) * (



5)



1.75 

a

3

: 0.45 * (10)



(1



0.45) * (



4)



2.3

Bajo el criterio de Hurwicz se recomienda al fabricante elegir la alternativa

a

1 fabricar modelo económico



1 

a

₁

:

3 

8 

2 

0 



3.33 

a

1



Max



a

_i





Max



_

a

₂

:

1 

10 

1 

(



5)





2 

3 

1 

a

₃

:



10 

4 

(



4)





3.33 

a

₃



Bajo el criterio de Laplace se recomienda elegir entre la alternativa

Criterio de Savage

a

₁o´

a

₁



1



2



3



1



2



3 Max Mini

a

1 8 2 0 2 2 0 2 2

a

2 10 1 -5 0 3 5 5

a

₃ 10 4 -4 0 0 4 4 Max 10 4 0

Bajo el criterio de Savage se recomienda elegir la alternativa

a

₁ Conclusión

(17)

TOMA DE DECISIONES BAJO RIESGO

7.- Avon Cosmetics, está considerando la producción de un nuevo jabón líquido para mujer. El precio de venta

propuesto es de 1.25 dólares el frasco. Para emprender ese programa se necesita una inversión de 80 000 dólares en costos fijos. Se espera que el nuevo producto tenga una vida de 5 años. El grupo de investigación de mercado ha calculado la demanda anual en la forma siguiente:

Demanda Probabilidad 25 000 0.05 50 000 0.10 75 000 0.20 100 000 0.30 110 000 0.35 SOLUCION 1.- Decisor: Avon Cosmetic 2.- Alternativas:

a

1

: Producir jabón líquido

a

₂

: No producir jabón líquido

3.- Estado de la naturaleza:



1

: Demanda 25 000



5

: Demanda 110 000



2

:

Demanda 50 000



3

: Demanda 75 000



4

: Demanda 100 000



1



2



3



4



5

a

1 -48 750 -17 500 13 750 45 000 57 500

a

2 0 0 0 0 0

P(



)

0.05 0.10 0.20 0.30 0.35 5.- Función de consecuencia: Datos adicionales

Precio de venta = 1.25 $/Frasco Costo fijo de inversión = 80 000$ B= (Gan. Tot.) – (Costos totales)

f (a

1

;



1

) = (25 000*1.25) – (80 000) = -48 750

f (a

1

;



2

)

= (50 000*1.25) – (80 000) = -17 500

f (a

1

;



3

)

= (75 000*1.25) – (80 000) = 13 750

f (a

1

;



4

)

= (100 000*1.25) – (80 000) = 45 000

f (a

1

;



5

)

= (100 000*1.25) – (80 000) = 57 500

f (a

2

;



1

)



f (a

2

;



2

)



f (a

2

;



3

)



f (a

2

;



4

)



f (a

2

;



5

)



0

La matriz es de beneficios por tanto el objetivo será maximizar.

a : (48750) * 0.05  (17500) * 0.10  (13750) * 0.20  (45000) * 0.30  (57500) * 0.35  32187.5  a

Max



a



 Max 1 1

a2 : 0

Según el criterio de bayes sin experimentación se recomienda ha avon cosmetic vender el producto con una ganancia esperada 32187.5 $

(18)



8.- El Señor Joe williams, un empresario, está considerando comprar uno de los siguientes negocios al menudeo: una

tienda de Cámaras LG, una tienda de equipos de computo o una tienda de aparatos electrónicos, todos con aproximadamente la misma inversión inicial. Para la tienda de cámaras, estima que hay una probabilidad de 20% de que las ventas de desempeño sea el promedio, lo que tendría como resultado una recuperación anual de $20000. Estos valores e información parecida para las tiendas de equipo de cómputo y de aparatos electrónicos se resumen en las siguientes tablas de ganancias y de probabilidades.

Tabla de ganancias.

DESEMPEÑO DE VENTAS

Promedio Bueno Excelente

Cámaras LG $20000 $75000 $100000

Equipo $30000 $60000 $100000

Electrónica $25000 $75000 $150000

Tabla de probabilidades.

DESEMPEÑO DE VENTAS

Promedio Bueno Excelente

Cámaras LG 0.20 0.60 0.20

Equipo 0.15 0.70 0.15

Electrónica 0.05 0.60 0.35

El Señor Joe Williams.

a

1

:

Comprar tienda de cámaras LG

a

₂

: Comprar tienda de equipos de cómputo.

a

₃: Comprar tienda de aparatos electrónicos



1

: Promedio



P(



1

)



0.20; 0.15; 0.05



2

:

Bueno



P(



2

)



0.60; 0.70; 0.60



3 : Excelente



P(



3

) = 0.20; 0.15; 0.35

4.- Matriz de consecuencias: DESEMPEÑO DE VENTAS



1



2



3

a

₁ $20000 $75000 $100000

a

₂ $30000 $60000 $100000

a

3 $25000 $75000 $150000 5.- Función de consecuencias:

Son los mismos valores de la tabla inicial. a) Identifique la decisión óptima.

La matriz es de beneficios por tanto el objetivo será maximizar.



a

₁

: 20000 * 0.2



75000 * 0.60



100000 * 0.2



69000

Max



a

i





Max





a

2

: 30000 * 0.15



60000 * 0.70



100000 * 0.15



61500



a

₃

: 25000 * 0.05



75000 * 0.60



150000 * 0.35



98750



a

₃

(19)

5000 8000 6500 7000

0.4 b) Diseñe un árbol de decisión para este problema.

69000



₁



₃

a

₁

61500

0.20 

₂

0.60

0.20

0.15 20000

75000

100000

30000

a

₂

a

₃

98750



₁



₃



2

0.15

0.70 60000

100000

25000



₁

0.05 

₂

_0.60



₃

0.35 75000

150000

9.- El agricultor Jones debe determinar si siembra maíz o trigo. Si siembra maíz y el clima es cálido, obtiene 8000$; Si

siembra maíz y el clima es frio, obtiene 5000$. Si siembra trigo y el clima es cálido, obtiene 7000$; si siembra trigo y el clima es frio, obtiene 6500$. En el pasado, 40% de los años han sido fríos y 60% han sido cálidos. Antes de sembrar, Jones puede pagar 600 dólares por un pronóstico de clima emitido por un experto. Si en realidad el año es frio, hay 90% de posibilidad de que el meteorólogo prediga un año frio. Si el año en realidad es cálido, hay 80% de posibilidad de que el meteorólogo prediga un año cálido ¿Cómo puede maximizar Jones sus ganancias esperadas? También obtenga el costo de la información perfecta.

El banco de crédito rural.

a

₁

:

Sembrar maíz.

a

2

: Sembrar trigo.



1

: Clima frio



P(



1

)



40% o´0.40



2

:

Clima cálido



P(



2

)



60% ó 0.60

(20)

5.- Función de consecuencias:

f (a

1

,



1

)

= 5000;

f (a

1

,



2

)

= 8000;

f (a

2

,



1

)

= 6500;

f (a

2

,



2

)

= 7000

C= 600$

Tabla de información adicional.

Los eventos o resultados del estudio por el experto serán: X1 = Predicción de año frio.

X2 = Predicción de año cálido. Por tanto la tabla de información adicional es:



1



2

X1 0.9 0.2

X2 0.1 0.8

1 1

1ro Criterio de bayes sin experimentación:

Nuestra matriz es de beneficios por tanto el objetivo será maximizar.



a : 5000 0.4*



8000 * 0.6



6800



a

Max



a

i









a

2

: 6500 * 0.4



7000 * 0.3



6800



a

2

Según el criterio de bayes sin experimentación ambas alternativas son aceptables.

2do Criterio de bayes con experimentación:

Hallando las probabilidades A posteriori

Para X1: P(_i/ X )  P( X / i ) * P(i ) m



P( X / k )P(k ) k 1

P(



1

/

X 1)



P( X 1/



₁

₎

m



0.9 * 0.40

_

0.36 

0.75 

k 1

P( X 1/



k

)

0.9 * 0.40



0.2 * 0.60

0.48 P(



₂

/ X1)



0.2 * 0.60



0.25

0.48

Para X2

P(



1

/

X 2)



P( X 2 /



1

)

m



0.1* 0.40

_

0.040 _

0.0769



k 1

P( X 2 /



_k

)

0.1* 0.40



0.8 * 0.60

0.52 P(



2

/ X 2)



0.8 * 0.60

_

0.9231

0.52

P(X1)= 0.48 y P(X2)=0.52 Actualizando la tabla:



1



2 X1 0.75 0.25



₁

X2 0.0769 0.9231



₁

Probabilidades a posteriori

(21)

X1 = Predicción de año frio.

_

_{a : 5000 0.75}*

_

_{8000 * 0.25}

_

₅₇₅₀

Max



a

_i





_



a

₂

: 6500 * 0.75



7000 * 0.25



6625



a

₂ Restando el costo de la información



a

: 5000 * 0.75



8000 * 0.25



5750



600 

5150

Max



a

_i





_



a

2

: 6500 * 0.75



7000 * 0.25



6625



600 

6025



a

2

Si el pronóstico de experto es una año frio el agricultor debe elegir la alternativa

a

2

esperado de 6025$

X2 = Predicción de año cálido.

sembrar trigo con un valor



a : 5000 0.0769*



8000 * 0.9231



7169.23



a

Max



a

_i





_



a

₂

: 6500 * 0.0769



7000 * 0.9231



_6361.54

Restando el costo de la información



a : 5000 0.0769*



8000 * 0.9231



7169.23



600 

6569.23



a

Max



a

_i





_



a

₂

: 6500 * 0.0769



7000 * 0.9231



6361.54



600 

_5761.54

Si el pronóstico de experto es una año cálido el agricultor debe elegir la alternativa

a

1 sembrar maíz con un valor

esperado de 6569.23$

Costo de información perfecta

C

= E[f(a,θ)]- E[I] E[f(a,θ)]= 6800



1



2

a

₁ 5000 8000

a

2 6500 7000 Max 6500 8000 E[I] = 6500*0.4 + 8000*0.6 = 7400

C

= 6800- 7400 =-600

C

= 600

(22)

10.- Una nucleoeléctrica está por decidir si construye una planta nuclear o no en Diablo Canyon o en Roy Rogers City.

El costo de construir la planta es de 10 millones de dólares en Diablo y 20 millones de dólares en Roy Rogers City. Sin embargo, si la compañía construye en Diablo y ocurre un terremoto durante los cinco años siguientes, la construcción se terminará y la compañía perderá 10 millones de dólares (y todavía tendrá que construir un planta en Roy Rogers City). A priori, la compañía cree que las probabilidades de que ocurra un terremoto es Diablo durante los cinco años siguientes son de 20%. Por 1 millón de dólares, se puede contratar un geólogo para analizar la estructura de la falla en Diablo Canyon. El predecirá si ocurre un terremoto o no. El historial del geólogo indica que predecirá la ocurrencia de un terremoto 95% de las veces y la no ocurrencia 90% de las veces. ¿La compañía debe contratar al geólogo? Que recomienda el procedimiento bayesiano con y sin experimentación y cual el valor de la información perfecta

La nucleoelectrica

a

1

:

Construir la planta en diablo canyon (inversión 10 millones)

a

₂

: Construir la planta en Roy Rogers City (inversión 20 millones)



1

: Hay terremoto



P(



1

)



20% o´0.20



2

:

No hay terremoto



P(



2

)



80% ó 0.80



1



2

a

1 -10 10

a

2 20 20

P(



)

0.20 0.80 5.- Función de consecuencias: Matriz en millones $

f (a

₁

,



₁

)

= -10;

f (a

1

,



2

)

= 10;

f (a

2

,



1

) = 20;

f (a

2

,



2

)

= 20 C= 1 millón de $

Los eventos o resultados del estudio por el geologo serán: X1 = Ocurre terremoto.

X2 = No ocurre terremoto.

Por tanto la tabla de información adicional es:



1



2

X1 0.95 0.10

X2 0.05 0.90

1 1



a :



10 * 0.20



10 * 0.80



6 Max



a

_i





_



a

2

: 20 * 0.20



20 * 0.80



20 

a

2

Según el criterio de bayes sin experimentación se recomienda a la empresa elegir la alternativa

a

2

en Roy Rogers City

(23)

P( / X )  P( X / i ) * P(i ) Para X1: i m



P( X / _k)P(_k₎ k 1

P(



₁

/

X1)



P( X 1/



1

)

m



0.95 * 0.20



0.19 

0.7037



k 1

P( X1/



_k

)

0.95 * 0.20



0.10 * 0.80

0.27 P(



2

/ X1)



0.1* 0.80

_

0.2963

0.27

Para X2

P(



₁

/

X 2)



P( X 2 /



1

)

m



0.05 * 0.20



0.01 

0.0137



k 1

P( X 2 /



_k

)

0.05 * 0.20



0.9 * 0.80

0.73 P(



2

/ X 2)



0.90 * 0.80

_

0.9863

0.73 

1



2 X1 0.7037 0.2963



₁

X2 0.0137 0.9863



₁

X1 = Ocurre terremoto. Probabilidades a posteriori



a :



10 * 0.7037



10 * 0.2963





4.0741

Max



a

_i





_



a



a

2

: 20 * 0.7037



20 * 0.2963



20 

a

2

:



10 * 0.7037



10 * 0.2963





4.0741



1 



5.0741

Max



a

_i





_



a

₂

: 20 * 0.7037



20 * 0.2963



20 

1 

19 

a

₂

Si el estudio del geólogo dice que va ocurrir un terremoto la empresa debe elegir la alternativa

a

2

en Roy Rogers City

X2 = No ocurre terremoto.

Construir la planta



a :



10 * 0.0137



10 * 0.9863



9.7260

Max



a

_i





_



a



a

₂

: 20 * 0.0137



20 * 0.9863



20 

a

₂

:



10 * 0.0137



10 * 0.9863



9.7260



1 

8.7260

Max



a

_i





_



a

2

: 20 * 0.0137



20 * 0.9863



20 

1 

19 

a

2

Si el estudio del geólogo dice que no va ocurrir un terremoto la empresa debe elegir la alternativa

a

2

planta en Roy Rogers City

(24)

Costo de información perfecta E[f(a,θ)]= 20

C

= E[f(a,θ)]- E[I]



1



2

a

1 -10 10

a

2 20 20 Max 20 20 E[I] = 20*0.2 + 20*0.8 = 20

C

= 20-20 = 0

C

= 0

11.- Un cliente acudió a su banco por un préstamo anual de 50000 dólares a una tasa de interés de 12%. Si el banco

no aprueba el préstamo, los $50000 se invertirán en bonos que obtienen un rendimiento anual de 6%. Sin más información, el banco considera que hay 4% de probabilidades de que el cliente incumpla por completo el pago del préstamo. Si el cliente no paga, el banco pierde $50000. A un costo de 500$, el banco puede investigar el registro de crédito del cliente y suministrar una recomendación favorable o desfavorable. Por experiencia se sabe que

p(recomendación favorable/el cliente no incumple) = 77/96 p(recomendación favorable/el cliente incumple) = 1/4 ¿Cómo puede maximizar el banco sus ganancias esperadas?

El banco

a

1

:

Aprobar el préstamo al cliente.

a

2

: No aprobar el préstamo al cliente e invertir en bonos



1

: El cliente cumple con el pago



P(



1

)



96% o´0.96



2

:

El cliente no cumple con el pago



P(



2

)



4% ó 0.04



1



2

a

1 56000 -50000

a

2 53000 53000

P(



)

0.96 0.04 5.- Función de consecuencias:

f (a

₁

,



₁

)

= 50000 + (50000*0.12) = 56000;

f (a

1

,



2

)

= -50000

f (a

2

,



1

)

= 50000 + (50000*0.06) = 53000;

f (a

2

,



2

)

= 50000 + (50000*0.06) = 53000 C= 500$

Los eventos o resultados del estudio serán: X1 = Estudio favorable para el cliente

(25)

Por tanto la tabla de información adicional es:

_

1

X1 77/96 1/4 X2 19/96 3/4





a : 56000 0.96*



(



50000) * 0.04



51760

Max



a

_i





_



a

₂

: 53000 * 0.96



53000 * 0.04



53000



a

₂ Según el criterio de bayes sin experimentación se recomienda al banco elegir la alternativa

a

2

al cliente e invertir en bonos.

no aprobar el préstamo P( / X )  P( X / i ) * P(i ) Para X1:

(

/ 1)

i

P( X 1 /



1

)

m



P( X / _k)P(_k₎ k 1

(77 / 96) * 0.96

0.77

0.987 P



₁

_X



_m



k 1

P( X 1/



k

)





(77 / 96) * 0.96



(1/ 4) * 0.04

0.78 

Para X2

P(



₂

/ X1)



(1/ 4) * 0.04



0.013

0.78 P(



1

/

X 2)



P( X 2 /



₁

)

m

(19 / 96) * 0.96

_

_0.19

_

0.864 

k 1

P( X 2 /



k

)

(19 / 96) * 0.96



(3 / 4) * 0.04

0.22 P(



2

/ X 2)



(3 / 4) * 0.04

_

0.136

0.22 

1



2 X1 0.987 0.013



₁

X2 0.864 0.136



₁

X1 = Estudio favorable para el cliente.



a

Probabilidades a posteriori

: 56000 * 0.987



(



50000) * 0.013



54622



a

Max



a

_i





_



a

2

: 53000 * 0.987



53000 * 0.013



53000



a : 56000 0.987*



(



50000) * 0.013



54622



500 

54122



a

Max



a

_i





_



a

2

: 53000 * 0.987



53000 * 0.013



53000



500 

52500

Si el estudio es favorable para el cliente el banco debe elegir la alternativa

a

1 Aprobar el préstamo al cliente.

X2 = Estudio no favorable para el cliente.



a : 56000 0.864*



(



50000) * 0.136



41584

Max



a

_i





_