BORRADOR. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Definición y ejemplos

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Cap´ıtulo 3

Ecuaciones diferenciales ordinarias

de primer orden

3.1. Definici ´on y ejemplos

La definici ´on formal de unaecuaci´on diferencial ordinaria (EDO) es la de una

expresi ´on

F(x, y, y0, y00, . . . , y(n)) = 0

que relaciona entre s´ı una variable independiente x, una funci ´on inc ´ognita y =

y(x) y un n úmero finito de sus derivadas y(i). Aqu´ı la notaci ón quiere decir que F(x, y, y0, . . . , y(n)) es unafunción de varias variables, un objeto que todav´ıa no

hemos estudiado, pero que es una extensi ´on intuitivamente clara del concepto de funci ´on de una variable.

Ejemplo 3.1. El ejemplo m´as sencillo de ecuaci ´on diferencial es, a partir

de una funci ´on conocida f (x), tomar F(x, y0) = y0−_{f (x), dando lugar} a la expresi ´on

y0(x) = f (x).

La soluci ´on la proporciona el teorema fundamental del c´alculo infini-tesimal

y(x) =

Z

f (t) dt + C

y existe si f (x) es integrable. Obs´ervese que hay infinitas soluciones, porque la constante de integraci ´on C es arbitraria.

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Como acabamos de ver en el ejemplo, unasoluci´on de una ecuaci ´on diferencial

es una funci ´on y = h(x) que sustituida (ella y sus derivadas) en la ecuaci ´on la convierte en una identidad.

El mayor orden de las derivadas que aparecen en la ecuaci ´on ordinaria se denominaorden de la ecuaci ´on diferencial.

Ejemplo 3.2. ConF(x, y, y0, y”) = y00−_{cos x la ecuaci ´on diferencial es}

y00(x) = cos x

que es de segundo orden porque contiene una derivada segunda de y. La soluci ´on se obtiene integrando dos veces:

y0(x) = Z cos x dx = sen x + C1 ⇒ y(x) = Z (sen x + C1) dx = − cos x + C1x + C2

donde C1 y C2 son dos constantes arbitrarias.

Los ejemplos 3.1 y 3.2 ofrecen un dato relevante. No solo hemos encontrado

una soluci ´on, sino toda una familia de ellas, ya que las integrales indefinidas

producen constantes de integraci ´on.

Ejercicio 3.3. Resolver de modo an´alogo la ecuaci ´on diferencial

y000(x) = f (x). ¿ Cu´antas constantes arbitrarias se obtienen ?

La ecuaci ´on de los procesos exponenciales. Menos trivial que los anteriores es siguiente ejemplo de ecuaci ´on diferencial

y0(x) = y(x).

Es fácil adivinar una soluci ón: la funci ón exponencial y(x) = exp(x) es su propia derivada. Pero además podemos comprobar que todo m últiplo y(x) = C exp(x) de esta soluci ón es soluci ón, as´ı que de nuevo obtenemos una familia uniparamétrica de soluciones. La ecuaci ón algo más general

y0(t) = k y(t) (3.1)

tiene innumerables aplicaciones cient´ıfico-técnicas. Se trata de la ecuaci ón que modela la desintegraci ón de una sustancia radiactiva, ya que la cantidad que

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3.2. SOLUCI ´ON GENERAL. SOLUCIONES SINGULARES 77

se desintegra es proporcional a la cantidad de sustancia. También modela la capitalizaci ón o amortizaci ón a interés compuesto continuo, los procesos de enfriamiento o calentamiento, las descargas o cargas (simples) de condensadores y bater´ıas, y en general cualquier fen ómeno cuya variaci ón instantánea sea proporcional (negativa o positivamente) a su propia intensidad. La dataci ón del Carbono 14 o la averiguaci ón del tiempo de fallecimiento de un cadáver, son aplicaciones más o menos directas de este modelo.

La soluci ´on de (3.1) es y(t) = C exp(kt), y a τ = 1/|k| se le denomina constante

de tiempo o caracter´ıstica del fen ´omeno exponencial descrito, ya que si en cierto

momento t0la funci ´on vale f (t0), en t = t0+ τ su valor es f (t) = e · f (t0) (si k > 0) o f (t) = f (t0)/e (si k < 0). A veces se considera el tiempo de semivida del proceso, que no es m´as que ln 2/|k|, y es el tiempo en el que el proceso se dobla o reduce a la mitad en cantidad.

La ecuaci ón de los procesos oscilatorios. En general, en la Naturaleza, un proceso exponencial decreciente es transitorio (hasta llegar a se constante) y uno creciente es explosivo. En ingenier´ıa electr ónica, ambos casos suelen evi-tarse o ignorarse. Un proceso exponencial decreciente aparece como una se ñal transitoria que tiende a anularse cuando el tiempo pasa y uno creciente suele indicar una realimentaci ón positiva, y da lugar a inestabilidades si no se elimina o anula en cierto momento. Mucho más comunes son losprocesos oscilatorios, que

permiten a los sistemas trabajar en r´egimen estacionario.

Ejemplo 3.4. Encontrar soluciones de las ecuaciones diferenciales de

segundo orden siguientes

y00+ y = 0 y en general y00+ ω2y = 0.

Las soluciones de la ecuaci ´on y00+ ω2y = 0 son y(x) = C1sen ωx +

C2cos ωx donde C1y C2son constantes arbitrarias.

De la soluci ´on del ejercicio anterior (ver al final del cap´ıtulo) conclu´ımos que la ecuaci ´on diferencial tiene como soluciones funciones que representan oscilacio-nes sinusoidales.

3.2. Soluci ´on general. Soluciones singulares

Hemos encontrado en la secci ´on anterior ejemplos de soluciones de ecuaciones diferenciales de orden 1 y 2. En el caso de orden 1 encontramos una familia

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uniparam´etrica de soluciones, mientras que en el de orden 2 se pod´ıa encontrar una familiabiparam´etrica.

Definici ´on 3.5. Dada una ecuaci´on diferencial ordinaria de orden n F(x, y, y0, y00, . . . , y(n)) = 0

una soluci ´on general es una familia de funciones y = f (x, c1, . . . , cn)

que depende de n parámetros reales c1, . . . , cn y que son solución de la ecuación

diferencial.

Toda soluci ón que no aparece en la soluci ón general, es una soluci ón singular. Hemos de decir que la existencia de la soluci ón general no está garantizada para una ecuaci ón diferencial cualquiera, y ni siquiera lo está la existencia de una soluci ón. Existen ecuaciones que no poseen ninguna soluci ón, y ecuaciones que aunque poseen soluci ón general, no se puede encontrar de forma sistemática. En este curso veremos clases de ecuaciones que se pueden estudiar sistemáticamente, y cuya soluci ón general se puede encontrar.

Para apoyar la plausibilidad de la existencia de soluci ón general, procedamos de un modo inverso. Consideremos una familia, por ejemplo biparamétrica, de funciones, e intentemos establecer una ecuaci ón diferencial que todas satisfagan. Por ejemplo, la familia de elipses

(x − c)2+ 1

b2y 2_{= 1}

se puede derivar dos veces 2(x − c) + 2 b2yy 0 = 0, 2 + 2 b2[yy 00 + (y0)2] = 0 de donde podemos deducir que

b2= −yy00−_(y0₎2_, _{c = x −} yy 0 yy00 + (y0 )2 ⇒ y2(y0)2 [yy00_{+ (y}0₎₂_]₂ − y2 yy00_{+ (y}0₎₂ = 1 ⇒ y2(y0)2−_y2_[yy00_{+ (y}0₎2_{] = [yy}00_{+ (y}0₎2_]2 ⇒ y2(y00)2+ [2y(y0)2+y3] y00+ (y0)4= 0.

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3.3. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN 79

M´as simple es estudiar la familia uniparam´etrica de c´ırculos (x − c)2+ y2= 1.

Derivando una vez

2(x − c) + 2yy0= 0, ⇒_{c = x + yy}0

y por tanto

y2(y0)2+ y2= 1. (3.2)

Es interesante observar c ´omo las “envolventes” de los c´ırculos, las funcio-nes y(x) = ±1 son soluciofuncio-nes singulares.

3.3. Ecuaciones de primer orden. Interpretaci ´on

geo-m´etrica y problemas de valor inicial

Una ecuaci ´on de primer orden puede escribirse despejando la derivada

y0(x) = f (x, y)

Esta expresi ón nos da una interpretaci ón geométrica a la ecuaci ón diferencial de primer orden: se trata de uncampo de direcciones en el plano (x, y).

Las soluciones poseen gráficas que son en todo punto tangentes a la direcci ón determinada por la ecuaci ón diferencial. Estas gráficas se denominan curvas integrales de la ecuaci ón diferencial. La pregunta surge inmediatamente: por un

punto dado (x0, y0) del plano (x, y), ¿ pasa una curva integral, y solo una ? En el ejemplo de la ecuaci ´on (3.2), hay puntos con |y| > 1 por los cuales no pasa ninguna curva integral. Por los puntos con |y| = 1 pasan dos curvas integrales, y por el resto de puntos (x, y) pasa una sola curva integral.

En primer lugar, definamos m´as propiamente el problema que nos ocu-pa, que se denominaproblema de condiciones iniciales, de valores iniciales, o de Cauchy.

Definici ´on 3.6(Problema de valores iniciales (p.v.i.)). Un problema de condiciones iniciales de primer orden consiste en encontrar la o las soluciones y(x) de una ecuaci´on diferencial, que toman un valor determinado y0 en x = x0:

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Equivalentemente, podemos decir que el problema de valores iniciales plantea encontrar la o las curvas integrales que pasan por un punto determinado (x0, y0) del plano (x, y).

El siguiente teorema, que se comprenderá mejor una vez cursada la asignatura de cálculo de varias variables, es el que asegura condiciones suficientes de existencia y unicidad para el p.v.i. de una ecuaci ón de primer orden.

Teorema 3.7. Si en un punto dado (x0, y0)la funci´on f (x, y) es continua ( en dos

variables (x, y) ) y posee derivada parcial ∂f

∂y(x0, y0)continua, entonces por (x0, y0) solo pasa una curva integral de la ecuaci´on diferencial

y0(x) = f (x, y).

Como ejemplos de soluciones al problema de valores iniciales, podemos ver los de dos ecuaciones estudiadas en la secci ´on anterior. En el caso de

y0(x) = cos x ⇒ _{y(x) = y}₀_{+ sen x − sen x}₀

podemos encontrar la soluci ón al p.v.i. o bien usando el teorema fundamental del Cálculo en su versi ón detallada, especificando los l´ımites de integraci ón y la constante de integraci ón:

y(x) = y(x0) +

Z ∞

x0

cos x dx = y0+ sen x − sen x0 (3.3) o bien sustituyendo la soluci ´on general en la condici ´on inicial

y(x) = sen x + C, y(x0) = y0 ⇒ C = y0−sen x0.

Otro ejemplo es el de y0(x) = k y(x) ⇒ _{y(x) = y}₀_ek(x−x0) ya que y(x) = Cekx y(x0) = x0 ⇒ C = y0e −_kx₀ .

Ejercicio 3.8. Esbozar las curvas integrales de la ecuaci ´on diferencial

y0= x

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3.4. M ´ETODOS ELEMENTALES DE RESOLUCI ´ON 81

3.4. M´etodos elementales de resoluci ´on de

ecuaciones diferenciales de primer orden

Ecuaciones de variables separadas. Si una ecuaci ´on diferencial de primer orden se puede escribir en la forma

g(y)y0(x) = f (x) (3.4)

entonces su soluci ´on general es sencilla de calcular Z

g(y) dy =

Z

f (x) dx + C.

Se suele utilizar la siguiente forma “diferencial” de escribir la ecuaci ´on separa-ble (3.4)

g(y) dy − f (x) dx = 0

Es f´acil ver que una ecuaci ´on separable se puede presentar de muchas formas, usualmente:

y0(x) = f (x)

g(y).

Ejemplo 3.9. Resolver el problema de valor inicial

y0+ 5x4y2= 0, y(0) = 1. Separando variables dy y2 = −5x 4_dx, ₋1 y = −x 5_{+ C,} _{y =} 1 x5−_C.

Esta es la soluci ´on general, y sustituyendo en ella las condiciones iniciales:

1 = 1

05−_C ⇒ C = −1 ⇒ y = 1

x5_{+ 1}.

No se debe olvidar comprobar el resultado sustituyendo la soluci ´on encontrada en la ecuaci ´on diferencial y en las condiciones iniciales.

Ecuaciones homog´eneas. Las ecuaciones denominadas homog´eneas:

y0= f y

x

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Se pueden hacer separables mediante el cambio de variables que consiste en definir una nueva variable dependiente u = u(x) con la f ´ormula

u = y x Entonces y = xu ⇒ y0= xu0+ u y sustituyendo en (3.5) xu0+ u = f _y x = f (u)

y despejando se obtiene una ecuaci ´on diferencial el la nueva variable dependien-te u = u(x):

u0=1

x[f (u) − u]

que es separable.

Ejercicio 3.10. Resolver la ecuaci ´on homog´enea 2xyy0−_y2_{+ x}2_{= 0.} Tenemos que 2y xy 0₋y x 2 + 1 = 0 por lo que 2xuu0+ 2u2−_u2_{+ 1 = 0,} 2 du u2_{+ 1} = − dx x ln(1 + u2) = − ln |x| + c, 1 + u2= C x x2+ y2= Cx, (x − c)2+ y2= c2

Ecuaciones reducibles a homog´eneas. Las ecuaciones de la forma

y0 = f a1x + b1y + c1

a2x + b2y + c2 !

son reducibles a homog´eneas trasladando el origen de coordenadas al punto de intersecci ´on (x0, y0) de las rectas

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lo cual se consigue haciendo x = ˜x + x0, y = ˜y + y0. Si el determinante siguiente se anula a1 b1 a2 b2 = 0

entonces la ecuaci ´on original se puede escribir de la forma

y0= g(a1x + b1y) que con el cambio ˜y = a1x + b1y es separable.

La ecuaci ón lineal de primer orden. La ecuaci ón lineal de primer orden es lineal en la func ón inc ógnita y en su derivada

y0+ p(x)y = q(x)

Si q(x) = 0 se denomina ecuaci ón lineal homogénea. En este caso la ecuaci ón es separable:

y0(x) = −p(x)y(x), y 0

(x)

y(x) = −p(x)

y la soluci ón general de la ecuaci ón lineal homogénea es

y(x) = Ce−

R

p(x) dx_. _(3.6)

Para encontrar la soluci ón general de la ecuaci ón no homogénea se puede aplicar elmétodo de variación de constantes. Se utiliza una soluci ón prueba de tipo (3.6),

pero suponiendo que la constante C es una funci ´on de x:

y(x) = C(x)e−

R

p(x) dx_.

Sustituyendo esta expresi ´on en la ecuaci ´on se obtiene [C0(x) − p(x)C(x)]e− R p(x) dx_{+ p(x)C(x)e}−R_{p(x) dx} = q(x) lo cual implica C0(x) = q(x)e R p(x) dx

con lo que la soluci ´on de la ecuaci ´on lineal de primer orden puede ser escrita como y(x) = e− R p(x) dx "Z q(x)e R p(x) dx_{dx + C} # . (3.7)

Es importante ver la estructura de esta soluci ´on: es la suma

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de la soluci ón general yh(x) de la ecuaci ón homogénea (3.6), más una solución

particular yp(x) de la ecuaci ´on inhomog´enea

yp(x) = e −R_{p(x) dx} Z q(x)e R p(x) dx_dx

De hecho, sumando cualquier soluci ón concreta de la homogénea a la solu-ci ón yp(x) de la no homogénea, obtenemos otra soluci ón particular válida.

Ejemplo 3.11. En un circuito LR compuesto de una resistencia R y

una bobina de inductancia L en serie, alimentado por una fuerza electromotriz v(t) R L vt it Figura 3.1: Circuito LR.

la ley de Kirchoff (en corriente alterna) asegura que la intensidad est´a dada por la ecuaci ´on diferencial

Ldi

dt(t) + Ri(t) = v(t).

Esta ecuaci ón es lineal, y para cualquier voltaje v(t) la soluci ón puede encontrarse mediante la f órmula (3.7), poniendo l´ımites de integra-ci ón concretos como hiintegra-cimos en (3.3) para resolver el p.v.i. i(0) = i0:

i(t) = e−RLt "Z t 0 v(τ) L e R Lτdτ + i₀ # .

La f órmula del ejemplo anterior tiene una interpretaci ón f´ısica inmediata. La soluci ón de la ecuaci ón homogénea ih(t) = i0e

−_Rt/L

satisface la condici ´on inicial y representa untransitorio que decae exponencialmente con constante de

tiem-po L/R, debido a una corriente inicial i0. El t´ermino correspondiente a la soluci ´on particular ip(t) = e −R Lt Z t 0 v(τ) L e R Lτ_dτ

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es el que incluye el voltaje, “forzamiento” o se ñal de entrada al circuito v(t). Representa la reacci ón del circuito a la fuerza electromotriz introducida, y contiene informaci ón sobre un posibleestado estacionario que se establezca en él.

Por ejemplo, si se introduce un voltaje continuo v(t) = V0a partir de un momento de conmutaci ´on t = 0, es decir, v(t) = H(t)V0, tenemos

ip(t) = e −R Lt Z t 0 V0 L e R Lτdτ = V0 R 1 − e−RLt _t→∞ −→ V0 R

que es el estado estacionario que predice la ley de Ohm para el funcionamiento del circuito en corriente continua*.

Si la se ˜nal introducida es un voltaje alterno v(t) = V0cos ωt, obtenemos que ip(t) = e −R Lt Z t 0 V0 L cos(ωτ) e R Lτ_dτ = V0 R2_{+ ω}2_L2 e−RLt_{R + R cos ωt + ωL sen ωt} t→∞ −→ V0 R2_{+ ω}2_L2[R cos ωt + ωL sen ωt] . Se puede comprobar que R cos ωt + ωL sen ωt =

√

R2_{+ ω}2_L2_{cos(ωt − θ) (v. la} f ´ormula (1.6)) donde θ = arctanωL

R , quedando ip(t) =

V0 √

R2_{+ ω}2_L2cos(ωt − θ).

La intensidad es, pues, una sinusoide de la misma frecuencia que el voltaje de entrada, con un desfasaje θ y una amplitud V0/Z donde Z =

√

R2_{+ ω}2_L2 _{es la} denominadaimpedancia del circuito.

La ecuaci ´on de Bernouilli. La ecuaci ´on de Bernouilli

y0+ p(x)y = q(x)yn no es lineal (si n , 0, 1) pero haciendo la sustituci´on

z = 1 yn−1, z 0 = −(n − 1)y 0 yn

*_{Hay que observar que la soluci ón particular as´ı calculada contiene también una parte} transitoria, no como las soluciones particulares que se calculan en F´ısica o en Electr ónica. La condici ón que hemos impuesto sobre la soluci ón particular encontrada es que sea nula en t = 0, condici ón que la parte estacionaria aislada no cumple.

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se linealiza: −y n_z0 n − 1+ p(x)y = q(x)y n_, _z0₋ (n−1)p(x)z = −(n−1)q(x).

Puede resultar m´as conveniente hacer la sustituci ´on y(x) = u(x)v(x) y proceder como sigue:

u0v + uv0+ p(x)uv = q(x)unvn, u0v + u(v0+ p(x)v) = q(x)unvn

Tomando v(x) como una soluci ´on particular de v0+ p(x)v = 0, tenemos que u(x) puede hallarse con

v(x)u0= q(x)unv(x)n, u 0 un = q(x)v(x) n−1_. Ejemplo 3.12. xy0+ y = y2ln x es decir, p(x) = 1/x, q(x) = ln x/x y n = 2. Si z = 1/y z0−1 xz = − ln x x , 1 y = z = −x Z ln x x2 dx = ln x + 1 + Cx. Por tanto y =1 z = 1 1 + ln x + Cx.