Cuantización canónica del campo escalar

Cuantizaci´

on can´

onica del campo escalar

Cuantizaci´

on can´

onica

Receta en mec´anica cu´antica para cuantizar: partir del formalismo

ha-miltoniano de la mec´anica cl´asica

1 Promover a operadores las coordenadas generalizadas q

a y los

momentos conjugados pa

2 La estructura del bracket de Poisson se transforma en relaciones

de anti-conmutaci´on

[qa, qb] = [pa, pb] = 0

En teor´ıa de campos hacemos lo mismo, ahora para los camposφa(~x)

y sus momentos conjugadosπa_{(~x). As´ı, un campo cu´antico es un}

ope-rador que satisface las siguientes reglas de conmutaci´on:

[φa(~x), φb(~y)] = [πa(~x), πb(~y)] = 0

[φa(~x), πb(~y)] =i δ(3)(~x−~y)δab

Notar que estas relaciones se establecen para tiempos iguales en cam-pos y momentos conjugados.

Campos reales

En este caso, estudiaremos una densidad lagrangiana con la siguiente forma: L = 1 2 ∂µφ ∂µφ−m2φ2

Este lagrangiano es invariante bajo transformaciones de Lorentz. Apli-cando las ecuaciones de Euler–Lagrange,

∂µ∂µ+m2

φ(x) = 0

Como soluci´on a la ecuaci´on de Klein–Gordon para un campo real,

proponemos superposiciones de ondas planas:

φ(x) = Z d4_k (2π)4 f(k)e−ik·x+f∗(k)eik·x

La soluci´on planteada es manifiestamente real. Si sustituimos en K–G: Z d4k (2π)4 (m 2_−k2_)f(k)e−ik·x_+f∗ (k)eik·x= 0

La ecuaci´on anterior se satisface si:

f(k) = 2π δ(k2−m2)c(k) ∧ f∗(k) = 2π δ(k2−m2)c∗(k)

Con ello, una soluci´on general a la ecuaci´on de K–G para un campo

real es: φ(xµ) = Z d4_k (2π)3 δ(k 2_−m2_)c(k)e−ik·x_+c∗ (k)eik·x

La delta requiere que:

k2 =kµkµ=m2 → k0 =±ωk , ωk≡

q

k~kk2_+m2

Usando la siguiente propiedad de la delta,

δ(k2−m2) = δ(k02 −ωk2) =

δ(k0−ωk) +δ(k0+ωk)

2ωk

podemos realizar expl´ıcitamente la integraci´on en k0:

φ(xµ) = Z _d3_~k (2π)3_2ω k c(ωk, ~k)e−i(ωkt− ~_k·~x)_+c(−ω k, ~k)ei(ωkt+ ~_k·x) + c∗(ωk, ~k)ei(ωkt− ~_k·~x) +c∗(−ωk, ~k)e−i(ωkt+ ~_k·~x)

Hacemos el cambio de variables ~k → −~k en la segunda y cuarta integral: φ(x) = Z d3~k (2π)3_2ω k c(ωk, ~k)e−i(ωkt− ~_k·~x)_+c(−ω k,−~k)ei(ωkt− ~_k·~x) + c∗(ωk, ~k)ei(ωkt− ~_k·~x)_+c∗ (−ωk,−~k)e−i(ωkt− ~_k·~x)

Podemos definir el siguiente operador:

a(~k)≡c(ωk, ~k) +c∗(−ωk,−~k) Con ello, φ(x) = Z _d3_~k (2π)3_2ω k a(~k)e−i(ωkt−~k·~x)_+a∗₍~k_)ei(ωkt−~k·~x)

Cuantizaci´

on del campo real

es posible definir un momento conjugado:

π(x) = ˙φ(x) =−i Z _d3_~k (2π)3₂ a(~k)e−i(ωkt−~k·~x)_−a∗₍~k_)ei(ωkt−~k·~x)

Recordemos la propiedad dual de la transformada de Fourier en tres dimensiones:

Promovemos los objetos a,a∗ al rango de operadores. Utilizando la

propiedad dual, podemos despejar los operadoresa ya†:

a(k) = i Z d3~x ei(ωkt−~k·~x) π(x)−i ωkφ(x) a†(k) = −i Z d3~x e−i(ωkt−~k·~x) π(x) +i ωkφ(x)

Con ello se puede probar que:

[a(k1),a(k2)] = [a†(k1),a†(k2)] = 0 [a(k1),a†(k2)] = (2π)3(2ωk1)δ

(3)_(~k

Ahora, recordando que π(x) = ∂0φ(x), entonces el hamiltoniano del

sistema queda expresado de la siguiente forma:

H= 1

2 Z

d3~x π2+ (∇φ)2+m2φ2

Escrito en t´ermino de los operadores de creaci´on y destrucci´on, luego de integrar sobre todo el espacio,

H= Z d3~k (2π)3_2ω k ωk 2 a†(k)a(k) +a(k)a†(k)

Estructura del vac´ıo

Como en el caso de oscilador arm´onico en QM, definimos el estado

vac´ıo|0i a trav´es de la condici´on de ser aniquilado por todos los ope-radores a(k):

a(k)|0i= 0 , ∀k

Con esta definici´on, H|0i = Z _d3_~k (2π)3_2ω k ωk 2 a†(k)a(k) +a(k)a†(k) |0i = Z d3~k (2π)3_2ω k ωk 2 2a†(k)a(k) + [a(k),a†(k)]|0i = Z _d3_~k (2π)3_2ω k ωk 2 (2π)32ωkδ(3)(0) |0i

Por lo tanto, Evacuum =h0|H|0i=δ(3)(0) Z d3~k ωk 2

La expresi´on anterior tiene dos problemas:

1 El espacio es infinitamente grande. Una forma de aislar este

infinito es imponer PBC en el campo,

(2π)3δ(3)(0) = l´ım L→∞ Z L/2 −L/2 d3~x ei~k·~x _~ k=~0 =V

y definir una densidad de energ´ıa:

E0 = Evacuum V = Z d3~k ωk 2

2 La densidad de energ´ıa sigue divergente. Para solucionar este

problema, podemos “recalibrar” nuestros niveles de energ´ıa (mediante una constante infinita) removiendo del hamiltoniano la energ´ıa del vac´ıo:

:H:≡H− h0|H|0i Con ello, :H: = Z d3~k (2π)3_2ω k ωk[a†(k)a(k)]

que corresponde alorden normal de un operador: colocar los

operadores de creaci´on a la izquierda de los de destrucci´on, cuando se refieren al mismo momentum.

Estados de una part´ıcula

En analog´ıa con el caso del QHO, el hamiltoniano ordenado normal y

losa,a† obedecen las siguientes relaciones de conmutaci´on:

[H,a(k)] =−ωka(k) ∧ [H,a†(k)] =ωka†(k)

Estas relaciones implican que es posible construir autoestados de energ´ıa

haciendo actuar a† sobre el vac´ıo. Definimos:

|ki ≡a†(k)|0i

Usando las relaciones de conmutaci´on antes descritas, es posible definir

hk1|k2i = h0|a(k1)a†(k2)|0i = h0|[a(k1)a†(k2)]|0i = (2π)32ωk1δ

(3)_(~k

1−~k2)

El nuevo estado que construimos posee una energ´ıa dada por: H|ki=Ek|ki=ωk|ki

y, de acuerdo a la definici´on de ωk, interpretamos al estado |ki como

elautoestado de momentum de una part´ıcula de masa m.

Consideremos ahora al momentum lineal total como un operador nor-malmente ordenado, P=− Z d3~x π∇φ = Z _d3_~p (2π)3_2E p ~ pa†(p)a(p)

Con ello, podemos comprobar la aseveraci´on realizada anteriormente: P|pi = Z _d3_~q (2π)3_2E q ~ qa†(q)a(q)a†(p)|0i = Z d3~q (2π)3_2E q ~ qa†(q)(2π)32Epδ(3)(p~−~q) +a†(p)a(q) |0i = ~p|pi

Estados de muchas part´ıculas

Haciendo actuar muchas veces el operador de creaci´on sobre el vac´ıo,

podemos crear estados de muchas part´ıculas. Interpretamos el estado

|p1, . . . , pni=a†(p1)· · ·a†(pn)|0i

como un estado de n−part´ıculas. Dado que [a†(pi),a†(pj)] = 0,

en-tonces los estados son sim´etricos ante permitaci´on de dos part´ıculas:

|p, qi=a†(p)a†(q)|0i=a†(q)a†(p)|0i=|q, pi

Esto significa que las part´ıculas correspondientes a la teor´ıa K–G real sonbosones.

Dado que tenemos muchas part´ıculas, tiene sentido contar el n´umero

n de ellas en un estado dado. Esta operaci´on se realiza a trav´es del

operador de n´umero: N= Z _d3_~p (2π) 2Ep a†(p)a(p) con la propiedad N|p1, . . . , pni=n|p1, . . . , pni

Adem´as, se puede probar que el operador de n´umero conmuta con el

Cuantizaci´

on de un campo escalar complejo

Ahora suponemos que φ(x) ∈C. Las correspondientes densidades

la-grangianas y hamiltoniananas son:

L = (∂µφ∗)(∂µφ)−m2φ∗φ , H =π∗π+ (∇φ∗)·(∇φ) +m2φ∗φ

Las ecuaciones de movimiento para ambos campos son:

(∂µ∂µ+m2)φ = 0

(∂µ∂µ+m2)φ∗ = 0

Despu´es de reemplazar los campos cl´asicos por operadores, la

cuan-tizaci´on can´onica se puede realizar de forma an´aloga al caso de un

[φ(x), π(y)] = [φ†(x), π†(y)] = i δ(3)(~x−~y) [φ(x), π†(y)] = 0 con: φ(x) = Z _d3_~p (2π)3_2E p a+(p)e−ip·x+a−†(p)eip·x φ†(x) = Z d3_~p (2π)3_2E p a−(p)e−ip·x+a+†(p)eip·x

Como en el caso del campo escalar real, es posible invertir estas rela-ciones y calcular los conmutadores para a±(p) y a±†(p). El ´unico no

nulo que se encuentra de esta forma es:

Las relaciones anteriores implican que hay dos conjuntos de opera-dores de creaci´on y destrucci´on, a−†(p),a−(p) y a+†(p),a+(p). En

consecuencia, tenemos dos tipos de estados:

|p,+i=a+†(p)|0i ∧ |p,−i=a−†(p)|0i

donde el vac´ıo es definido de la forma usual: a±(p)|0i= 0 , ∀p

y normalizado comoh0|0i= 1. Los estados de muchas part´ıculas est´an dados por: |p1, ε1;. . .;pn, εni ≡aε1 † (p1)· · ·aεn † (pn)|0i dondeεi =±1.

Para cada tipo de excitaci´on, es posible introducir el operador de n´ ume-ro: N±= Z d3~k (2π)2_2E p a±†(p)a±(p)

Con las propiedades:

[N±,a±†(p)] =a±†(p) ∧ [N±,a∓†(p)] = 0

Notemos que el lagrangiano para un campo escalar complejo es

inva-riante bajo transformaciones de U(1):

φ→e−iαφ δφ=iαφ

El teorema de Noether establece que Q = Z d3~x ∂L ∂(∂0φ) δφ+ ∂L ∂(∂0φ†) δφ† = Z d3~xπ δφ+π†δφ†

es una cantidad conservada. Con ello, podemos definir el operador de cargar normalmente ordenado,

Q≡ Z _d3_~p (2π)3_2E p a+†(p)a+(p)−a−†a−(p) =N+−N−

Este resultado muestra que el estado |p,+i posee carga +1, y que el

estado|p,−iposee carga −1. As´ı, podemos distinguie entrepart´ıculas