Orientaciones para el trabajo en aula: patrones
El álgebra en los primeros años de enseñanza básica se dedica principalmente a dos aspectos,
uno es el estudio de las igualdades que ha sido abordado en el capítulo anterior, y el otro es el
estudio de los patrones.
Este énfasis en el currículo no es trivial, hace muy poco tiempo el álgebra como eje no estaba
considerado en el marco curricular, y a partir del 2012 es que ha sido incorporado desde
primero básico como un organizador del currículum de matemáticas. Antes de ello, el estudio
de patrones se realizaba de forma atomizada en el eje de números, y solamente con patrones
numéricos.
En la nueva propuesta curricular en primero y segundo básico se introducen los patrones
repetitivos de forma pictórica, siendo en tercero básico en que introducen los patrones
crecientes de forma pictórica. Los patrones numéricos se introducen en segundo básico con
patrones repetitivos, y en tercero se complementa con secuencias de números de forma
ascendente y descendente.
En cuarto básico se introduce la tabla como estrategia para abordar los patrones crecientes y
los estudiantes comienzan a realizar predicciones, siendo en el quinto y sexto básico en que se
estudian las reglas de formación de los patrones relacionando los elementos de la secuencia
con su posición.
En estos últimos años de enseñanza básica, los estudiantes son capaces de encontrar las
reglas de formación de los patrones, dar ejemplos y comunicarlas oralmente, pero se requiere
un trabajo guiado del profesor para poder escribir la regla mediante un lenguaje algebraico.
Análisis curricular
CURSO OBJETIVOS INDICADORES DE APRENDIZAJE 1º básico Reconocer, describir, crear y
continuar patrones repetitivos (sonidos, figuras, ritmos…) y patrones numéricos hasta el 20, crecientes y decrecientes, usando material concreto, pictórico y simbólico, de manera manual y/o por medio de software educativo.
identifican y describen patrones repetitivos
reproducen un patrón repetitivo, utilizando material concreto y representaciones pictóricas
extienden patrones de manera concreta y simbólica
identifican los elementos que faltan en un patrón repetitivo
crean patrones, utilizando material dado y/o software educativo
2º básico Crear, representar y continuar una variedad de patrones numéricos y completar los elementos faltantes, de manera manual y/o usando software
identifican números que se repiten en secuencias numéricas
identifican patrones numéricos en la tabla del 100, la recta numérica y el calendario
educativo. explican mediante ejemplos, la regla usada para un patrón numérico dado
crean un patrón numérico, usando una regla y la explican (en el ámbito del 0 al 100)
determinan en patrones crecientes el número que falta en una situación pictórica y simbólica, fundamentando la solución
3º básico Generar, describir y registrar patrones numéricos, usando una variedad de estrategias en tablas del 100, de manera manual y/o con software educativo.
describen la regla de un patrón repetitivo dado, incluyendo el punto de partida, e indican cómo sigue el patrón
identifican la regla de un patrón de crecimiento ascendente/ descendente y extienden los 4 pasos siguientes del patrón
ubican y explican varios patrones de crecimiento ascendentes/ descendentes en una tabla de 100, de forma horizontal, vertical y diagonal
comparan patrones numéricos de conteo de 2 en 2, de 5 en 5, de 10 en 10, de 25 en 25 y de 100 en 100 en forma ascendente/ descendente
representan un patrón ascendente/ descendente dado en forma concreta, pictórica y simbólica
crean y representan un patrón de crecimiento
ascendente/ descendente en forma concreta, pictórica y simbólica, y describen la regla aplicada
solucionan un problema, utilizando patrones de crecimiento ascendentes/descendentes
identifican y describen patrones de crecimiento ascendentes /descendentes en el entorno
identifican, describen la regla y completan partes faltantes de un patrón de crecimiento
ascendente/descendente dado
4º básico Identificar y describir patrones numéricos en tablas que involucren una operación, de manera manual y/o usando software educativo.
determinan elementos faltantes en listas o tablas e insertan el elemento que corresponde
descubren un error en una tabla o en un cuadro y lo corrigen
identifican y describen un patrón en tablas y cuadros realizan concretamente o pictóricamente en la tabla de
100 movidas siguiendo como patrón el del “caballo del ajedrez”
varían un patrón dado y lo representan en una tabla usan software educativo para generar o variar patrones
numéricos
5º básico Descubrir alguna regla que explique una sucesión dada y que permita hacer predicciones.
1. identifican y describen patrones de crecimiento
2. en una tabla predicen los valores siguientes a través de las relaciones recursiva
numérica para predecir los valores que siguen.
extienden un patrón numérico con y sin materiales concretos, y explican cómo cada elemento difiere de los anteriores
muestran que una sucesión dada puede tener más de un patrón que la genere. Por ejemplo: la sucesión 2, 4, 6, 8, … puede tener como patrón los números pares consecutivos, o podría ser continuada como 2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7,… y en este caso podría tener un patrón de cuatro números pares consecutivos y cuatro números impares consecutivos
dan ejemplos de distintos patrones para una sucesión dada y explican la regla de cada uno de ellos
dan una regla para un patrón en una sucesión y completan los elementos que siguen en ella, usando esa regla
describen, oralmente o de manera escrita, un patrón dado, usando lenguaje matemático, como uno más, uno menos, cinco más
describen relaciones en una tabla o un gráfico de manera verbal
6 básico Demostrar que comprenden la relación entre los valores de una tabla y aplicarla en la resolución de problemas sencillos:
• identificando patrones entre los valores de la tabla
• formulando una regla con lenguaje matemático
5. predicen la regla de formación mediante la relación que se estableceentre los valores de la tabla y su posición, y lo apiican para resolver un problema
6. en una secuencia numérica formulan la regla de formación, utilizando lenguaje algebraico.
Establecen relaciones que se dan entre los valores dados en una tabla, usando lenguaje matemático. Crean representaciones pictóricas de las relaciones que se dan en una tabla de valores.
Usando la relación entre los valores de una tabla,predicen los valores de un término desconocido y verifican la predicción.
Formulan una regla que se da entre los valores de dos columnas de números en una tabla de valores.
Identifican elementos desconocidos en una tabla de valores.
Describen patrones en una tabla de valores dados. Crean una tabla de valores para registrar información y destacar un patrón cuando se resuelve un problema.
Dificultades y errores frecuentes
En el estudio de patrones, existen errores frecuentes que pueden cometer los niños en
diferentes niveles educativos. Uno de los primeros errores que se pueden cometer en primero
y segundo básico es no continuar correctamente una secuencia con patrón repetitivo.
Por ejemplo, en el patrón repetitivo estudiado en la sección 3.1.2.
Los niños podrían reconocer como patrón:
O también a:
En ambos casos, el error consiste en mirar la secuencia como un conjunto de elementos sin
reconocer el patrón.
Para evitar este error, es recomendable que los niños tengan un modelo de referencia para
identificar patrones. En la sección 3.1.2 se propuso asignar una letra a cada elemento de la
secuencia de un patrón repetitivo. En el ejemplo sería:
A
B
C
C
A
A
B
C
C
A
A
B
C
C
A
Suponiendo que los niños han trabajado de antemano patrones con letras, se les hace más
sencillo reconocer el patrón con las letras A - B - C - C – A, que corresponde a:
secuencia de elementos y cuando no. Por ejemplo, que sean capaces de reconocer que en el
siguiente conjunto de letras no se reconoce un patrón.
A-B-B-C-A-C-A-B-A-C-C
Finalmente una tercera tarea que permita trabajar los errores, es reconocer el mismo patrón
en secuencias con diferentes objetos.
En la siguiente secuencia de elementos
El patrón sería
Que corresponde al mismo patrón al ejemplo anterior
En patrones crecientes, en las tareas que los niños presentan más dificultades son las
secuencias que no se comportan como una progresión aritmética sino que tienen asociado,
por ejemplo, un patrón de orden cuadrático.
En este tipo de ejercicios que presentan un verdadero obstáculo, es sustancial guiarse por la
configuración geométrica de la figura, en que el orden de crecimiento cuadrático se visualiza
en la misma secuencia pictórica. Por ello, es importante que el profesor guie al estudiante a
interpretar la secuencia en función del cuadrado que está en la figura, ya sea de forma
implícita o reordenando los elementos.
Para ilustrar la dificultad señalada, se puede poner como ejemplo uno de los ejercicios
propuestos que corresponde a un patrón creciente
XXXXXX
XXX
XXXX
XXXXX
XXXXXX
X
XXXX
XXXXX
XXXXXX
X
XXXXX
XXXXXX
X
X
X
X
X
X
X
X
a)
¿Cuántos X habrá en la 20ª posición?
b)
¿Cómo se puede determinar la cantidad de X que habrá en cualquier posición?
Determinar el patrón de esta secuencia de X puede resultar muy difícil dado que no
corresponde a una progresión aritmética. Pero si se focaliza en la configuración geométrica y
se busca un cuadrado que crece, se encuentra que:
X X X X X X
X X X
X X X X
X X X X X
X X X X X X
X
X X X X
X X X X X
X X X X X X
X
X X X X X
X X X X X X
X
X
X
X
X
X
X
X
1º
2º
3º
4º
Se puede visualizar que en cada nueva posición hay un cuadrado y tres columnas que se
puede escribir en función de la posición respectiva.
Por tanto la 20ª posición, la cantidad de X se puede calcular escribiendo esta configuración
geométrica de forma aritmética:
20 ª posición=
20 ∙ 20 + 3 ∙ 20
= 460
Y la forma general sería
Otra dificultad que se puede presentar en los patrones crecientes es la falta de abstracción
para identificar la regla de formación. Por ello es importante que primero se familiaricen con
los patrones crecientes mediante el uso de material concreto. En el ejercicio de la torre de
cubitos del capítulo 3.1.4, una profesora que lo aplicó a estudiantes a 5° básico, llegó a la
conclusión de que varios estudiantes necesitaban manipular los cubos para identificar la regla
de formación.
Finalmente, un error habitual es aplicar en tareas de predicción de elementos muy lejanos a lo
dibujado relaciones recursivas. Por ejemplo en la actividad de las torres de cubos, ante la
tarea de identificar el número de caras cuando se tiene 24 cubos, varios niños dibujan todos
los cubos para determinar el número de caras, sumando cuatro cada vez, en vez de establecer
la relación con su posición
Actividades de aula
Las siguientes actividades estarán centradas con algún propósito que se enmarca dentro de
los aprendizajes esperados de 1º a 6º básico.
Sugerencia de Actividad 1
Los botones permiten crear varios patrones:
Reúne un grupo de botones de varios colores (rojo, azul, amarillo ) tienen que haber por lo menos 5 botones de cada color, y 3 colores diferentes
Al poner los botones en una hilera veraz que se forman diferentes patrones que se repiten En la siguiente hilera de botones:
El patrón sería:
1. Dibuja el patrón de la siguiente hilera de botones
2. Se presentan tres hileras de botones
a) Extiende la hilera de botones hasta el 12 elemento b) Dibuja cual es el patrón en cada una de las tres hileras
3. Elabora una hilera de botones siguiendo los patrón que se han dibujado, puedes usar otros colores
Curso 1º a 2ª básico
Materiales
Un conjunto de botones de tres colores y por lo menos 5 botones por cada color. Como alternativa, se pueden utilizar fichas de colores o monedas de diferente valor, para formar los elementos de la secuencia.
Aprendizaje Esperado
Reconocer, describir, crear y continuar patrones repetitivos (sonidos, figuras, ritmos…) y patrones numéricos hasta el 20, crecientes y decrecientes, usando material concreto, pictórico y simbólico, de manera manual y/o por medio de software educativo
Indicador de logro
identifican y describen patrones repetitivos
reproducen un patrón repetitivo, utilizando material concreto y representaciones pictóricas
crean patrones, utilizando material dado y/o software educativo. Propósito: Reconocen patrones repetitivos usando material concreto Conceptos
previos
contar de 0 a 20
Duración: 1 horas pedagógica
GESTION DE LA ACTIVIDAD
En esta actividad los estudiantes de 1º básico deberían ser capaces de reconocer el patrón que se repite en la hilera de botones. La actividad tiene como condición el uso de material concreto para identificar y crear los patrones, evitando el uso del lenguaje para describir el patrón. Una vez que los estudiantes son capaces de reconocer patrones, se puede pasar a una siguiente actividad sin uso de material concreto en que se describa el patrón de forma verbal. Por otra parte, puede darse que en esta misma actividad los estudiantes de forma espontanea describan el patrón de forma verbal, en el ejemplo inicial se puede decir: “el patrón sería tres botones: azul, azul y amarillo”. Se puede aprovechar estas respuestas para describir los otros patrones de forma verbal.
Sugerencia de Actividad 2
Continua la secuencia formada por puntos en forma de uves
.
a) b) c) d)
e) ¿
Cuántos puntos tendrá el séptimo término en la sucesión?
f)
g)