de
2º de BACHILLERATO
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
DE LOS EJERCICIOS QUE HAN SIDO PROPUESTOS
EN LOS EXÁMENES DE
LAS PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS
EN LA COMUNIDAD DE MADRID
(1996 − 2010)
DOMINGO A. GARCÍA FERNÁNDEZ
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y QUÍMICA
I.E.S. EMILIO CASTELAR
MADRID
de
2º de BACHILLERATO
MECÁNICA
E
INTERACCIÓN GRAVITATORIA
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
DE LOS EJERCICIOS
QUE HAN SIDO PROPUESTOS EN LOS EXÁMENES DE
LAS PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS
EN LA COMUNIDAD DE MADRID
(1996 − 2010)
DOMINGO A. GARCÍA FERNÁNDEZ
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y QUÍMICA
I.E.S. EMILIO CASTELAR
MADRID
EJERCICIOS PROPUESTOS EN LOS EXÁMENES DE
LAS PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS
EN LA COMUNIDAD DE MADRID
(1996 − 2010)
MECÁNICA E INTERACCIÓN GRAVITATORIA
Cuestiones
1 − Una partícula de masa m está describiendo una trayectoria circular de radio R con velocidad lineal constante v.
a) ¿Cuál es la expresión de la fuerza que actúa sobre la partícula en este movimiento?. ¿Cuál es la expresión del momento angular de la partícula respecto al centro de la trayectoria?.
b) ¿Qué consecuencias sacas de aplicar el teorema del momento angular en este movimiento?. ¿Por qué?.
Septiembre 1996 Solución.− a) r r v m F 2 2 cp ; Fcp = m r v2 ; L r x mv ; L = rmv
b) Trayectoria circular plana; movimiento siempre en el mismo sentido y barrido por el radio de sectores circulares iguales en tiempos iguales.
2 − a) ¿Qué condición debe cumplir un campo de fuerzas para ser conservativo?.
b) Ponga un ejemplo de campo de fuerzas conservativo y demuestre que se cumple la citada condición.
Septiembre 1999 Solución.− a) Que sea central ; b) El campo gravitatorio (es central).
3 − Cuando una partícula se mueve en un campo de fuerzas conservativo sometida a la acción de la fuerza del campo, existe una relación entre las energías potencial y cinética. Explica qué relación es ésta y efectúa su demostración.
Junio 1996 Solución.− ΔEc = −ΔEp ; ΔEc + ΔEp = ΔEtot = 0.
4 − Define los conceptos de: intensidad de campo, potencial, línea de fuerza y superficie equipotencial en un campo de fuerzas gravitatorio. ¿Bajo qué ángulo cortan las líneas de fuerza a las superficies equipotenciales?. ¿Por qué?.
Septiembre 1996 Solución.− Intensidad de campo gravitatorio: Fuerza gravitatoria por kilogramo.
Potencial gravitatorio: Energía potencial gravitatoria por kilogramo.
Línea de fuerza: La tangente en cada uno de sus puntos al vector intensidad de campo.
Superficie equipotencial: La integran todos los puntos en los que el potencial vale igual.
Las líneas de fuerza y las superficies equipotenciales son perpendiculares entre sí.
5 − a) Enuncie la Primera y la Segunda Ley de Kepler sobre el movimiento planetario. b) Compruebe que la Segunda Ley de Kepler es un caso particular del Teorema de
conservación del momento angular.
Junio 2000 Solución.− Primera Ley de Kepler: Los planetas describen órbitas elípticas y planas
alrededor del Sol, encontrándose éste en uno de
los focos de dicha elipse.
Segunda Ley de Kepler: El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales.
(Es consecuencia de la constancia del módulo del momento angular del planeta respecto al Sol).
6 − a) Enuncie la Tercera Ley de Kepler y demuéstrela para el caso de órbitas circulares. b) Aplique dicha Ley para calcular la masa del Sol suponiendo que la órbita de la Tierra
alrededor del Sol es circular con un radio medio de 1,49 x 108 km. Dato: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2.
Modelo 2009 Solución.− Tercera Ley de Kepler: Los cuadrados de los períodos de traslación de
los distintos planetas alrededor del Sol son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las órbitas elípticas descritas por los respectivos planetas.
mSol = 1,97 x 1030 kg.
7 − a) Enuncie la Segunda Ley de Kepler. Explique en qué posiciones de la órbita elíptica la velocidad del planeta es máxima y dónde es mínima.
b) Enuncie la Tercera Ley de Kepler. Deduzca la expresión de la constante de esta Ley en el caso de órbitas circulares.
Junio 2010 (Fase General) Solución.− Segunda Ley de Kepler: El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas
iguales en intervalos de tiempo iguales.
La velocidad del planeta es máxima en el perihelio (posición más próxima al Sol) y mínima en el afelio (posición más alejada del Sol).
Tercera Ley de Kepler: Los cuadrados de los períodos de traslación de los distintos planetas alrededor del Sol son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las órbitas elípticas descritas por los respectivos planetas.
T2 = k∙r3 k = 3 2 r T = Sol 2 Gm π 4 .
8 − a) Enuncie las tres Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario.
b) Si el radio de la órbita de la Tierra es 1,50 x 1011 m y el de la de Urano 2,87 x 1012 m, calcule el período orbital de Urano.
Modelo 2006 Solución.− Primera Ley de Kepler: Los planetas describen órbitas elípticas y planas
alrededor del Sol, encontrándose éste en uno de
los focos de dicha elipse.
Segunda Ley de Kepler: El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales.
Tercera Ley de Kepler: Los cuadrados de los períodos de traslación de los distintos planetas alrededor del Sol son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las órbitas elípticas descritas por los respectivos planetas.
9 − La luz solar tarda 8,31 minutos en llegar a la Tierra y 6,01 minutos en llegar a Venus. Suponiendo que las órbitas descritas por ambos planetas son circulares, determine:
a) el período orbital de Venus en torno al Sol, sabiendo que el de la Tierra es de 365,25 días;
b) la velocidad con que se desplaza Venus en su órbita.
Dato: Velocidad de la luz en el vacío: c = 3 x 108 m∙s−1 .
Septiembre 2004 Solución.− T = 1,94 x 107 s ; v = 3,50 x 104 m∙s−1 .
10 − a) ¿Cuál es el período de un satélite artificial que gira alrededor de la Tierra en una órbita circular cuyo radio es un cuarto del radio de la órbita lunar?.
b) ¿Cuál es la relación entre la velocidad del satélite y la velocidad de la Luna en sus respectivas órbitas?.
Dato: Período de la órbita lunar: TL = 27,32 días.
Modelo 2010 Solución.− Tsat = 3,42 días = 2,95 x 105 s ;
L sat
v v
= 2
11 − Dos masas iguales: m = 20 kg, ocupan posiciones fijas separadas una distancia de 2 m, según indica la figura. Una tercera masa, m’ = 0,2 kg, se suelta desde el reposo en un punto A equidistante de las dos masas anteriores y a una distancia de 1 m de la línea que las une (AB = 1 m). Si no actúan más que las acciones gravitatorias entre estas masas, determine:
a) la fuerza ejercida (módulo, dirección y sentido) sobre la masa m’ en la posición A;
b) las aceleraciones de la masa m’ en las posiciones A y B.
Dato: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2 .
Septiembre 2005 Solución.− F(A) 1,89x1010 j (N) ; a(A) 9,43x1010 j (ms−2) ; a(B) = 0.
Página 5
m B m
m’ A
12 − Cuatro masas puntuales idénticas de 6 kg cada una están situadas en los vértices de un cuadrado de lado igual a 2 m. Calcule:
a) el campo gravitatorio que crean las cuatro masas en el centro de cada lado del cuadrado;
b) el potencial gravitatorio creado por las cuatro masas en el centro del cuadrado, tomando el infinito como origen de potenciales.
Dato: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2.
Modelo 2008 Solución.− a) Campo gravitatorio en el centro de cada lado del cuadrado:
vector perpendicular a dicho lado, apuntando al centro del cuadrado y con módulo igual a: 1,43 x 10−10 N∙kg−1.
b) Vtotal (centro del cuadrado) = −1,13 x 10−9 J∙kg−1.
13 − a) ¿Cómo se define la gravedad en un punto de la superficie terrestre?. ¿Dónde será mayor la gravedad: en los Polos o en un punto del Ecuador?.
b) ¿Cómo varía la gravedad con la altura?. ¿Qué relación existe entre la gravedad a una altura h y la gravedad en la superficie terrestre?.
Razona las respuestas.
Septiembre 1997 Solución.− a) g = 2 T T R m G ; gEcuador < gPolo b) g(h) =
2 T T R h m G ; g(h) g(sup) = 2 T T R R h .14 − Llamando g0 y V0 a la intensidad del campo gravitatorio y al potencial gravitatorio en
la superficie terrestre respectivamente, determine en función del radio de la Tierra:
a) la altura sobre la superficie terrestre a la cual la intensidad del campo gravitatorio es g0/2;
b) la altura sobre la superficie terrestre a la cual el potencial gravitatorio es V0/2.
Junio 2006 Solución.− a) h 2 g g 0 = 0,41 RT ; b) h 2 V V 0 = RT .
15 − a) ¿A qué altitud tendrá una persona la mitad del peso que tiene sobre la superficie terrestre?. Exprese el resultado en función del radio terrestre.
b) Si la fuerza de la gravedad actúa sobre todos los cuerpos en proporción a sus masas, ¿por qué no cae un cuerpo pesado con mayor aceleración que un cuerpo ligero?.
Modelo 2002
16 − a) ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta esférico cuyo radio es la mitad del de la Tierra y posee la misma densidad media?.
b) ¿Cuál sería el período de la órbita circular de un satélite situado a una altura de 400 km respecto a la superficie del planeta?.
Datos: Radio de la Tierra: RT = 6.371 km
Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g = 9,8 m∙s−2.
Septiembre 2007 Solución.− g = 4,9 m∙s−2 ; T = 6.049,63 s.
17 − a) ¿Cuál es la velocidad de escape de un objeto situado en la superficie de la Tierra?. b) ¿Cómo influye la dirección con que se lanza un objeto desde la superficie de
la Tierra en su velocidad de escape?.
Septiembre 1998 Solución.− vesc = T T R 2Gm = 11.190,74 m∙s−1
La dirección de lanzamiento no influye en el valor de la velocidad de escape.
18 − Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) El valor de la velocidad de escape de un objeto lanzado desde la superficie de la Tierra depende de la masa del objeto.
b) En el movimiento elíptico de un planeta en torno al Sol la velocidad del planeta en el perihelio (posición más próxima al Sol) es mayor que la velocidad en el afelio (posición más alejada del Sol).
Septiembre 2009 Solución.− a) Falsa ; b) Verdadera.
19 − Un planeta esférico tiene un radio de 3.000 km y la aceleración de la gravedad en su superficie es 6 m/s2.
a) ¿Cuál es su densidad media?.
b) ¿Cuál es la velocidad de escape para un objeto situado en la superficie de este planeta?.
Dato: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2.
Junio 2002 Solución.− ρm = 7.158,39 kg∙m−3 ; vesc = 6.000 m∙s−1 .
20 − Sabiendo que la aceleración de la gravedad en un movimiento de caída libre en la superficie de la Luna es un sexto de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra y que el radio de la Luna es aproximadamente 0,27 RT (siendo RT el radio terrestre), calcule:
a) la relación entre las densidades medias ρLuna / ρTierra;
b) la relación entre las velocidades de escape de un objeto desde sus respectivas superficies (ve)Luna / (ve)Tierra.
Junio 2007 Solución.− (Tierra) ρ (Luna) ρ m m = 0,62 ; (Tierra) v (Luna) v esc esc = 0,21 .
21 − Suponiendo un planeta esférico que tiene un radio la mitad del radio terrestre e igual densidad que la Tierra, calcule:
a) la aceleración de la gravedad en la superficie de dicho planeta;
b) la velocidad de escape de un objeto desde la superficie del planeta, si la velocidad de escape desde la superficie terrestre es 11,2 km/s.
Dato: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g = 9,81 m∙s−2 .
Junio 2003 Solución.− g = 4,91 m∙s−2 ; vesc = 5,6 x 103 m∙s−1 .
22 − Un planeta esférico tiene una masa igual a 27 veces la masa de la Tierra, y la velocidad de escape para objetos situados cerca de su superficie es tres veces la velocidad de escape terrestre. Determine:
a) la relación entre los radios del planeta y de la Tierra;
b) la relación entre las intensidades de la gravedad en los puntos de la superficie del planeta y de la Tierra. Modelo 2003 Solución.− T P R R = T P G G = 3 .
23 − a) Compara las fuerzas de atracción gravitatoria que ejercen la Luna y la Tierra sobre un cuerpo de masa m que se halla situado en la superficie de la Tierra. ¿A qué conclusión llegas?.
b) Si el peso de un cuerpo en la superficie de la Tierra es de 100 kp, ¿cuál sería el peso de ese mismo cuerpo en la superficie de la Luna?.
Datos: La masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna.
La distancia entre los centros de la Tierra y de la Luna es de 60 radios terrestres. El radio de la Luna es 0,27 veces el radio de la Tierra.
24 − a) ¿Con qué frecuencia angular debe girar un satélite de comunicaciones, situado en una órbita ecuatorial, para que se encuentre siempre sobre el mismo punto de la Tierra?.
b) ¿A qué altura sobre la superficie terrestre se encontrará el satélite citado en el apartado anterior?.
Datos: Gravedad en la superficie de la Tierra: g = 9,8 m∙s−2
Radio medio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m .
Septiembre 2000 Solución.− ω = 7,27 x 10−5 rad∙s−1 ; h = 3,58 x 107 m.
25 − Un satélite artificial de 500 kg que describe una órbita circular alrededor de la Tierra se mueve con una velocidad de 6,5 km/s. Calcule:
a) la energía mecánica del satélite;
b) la altura sobre la superficie de la Tierra a la que se encuentra.
Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2
Masa de la Tierra: mT = 5,98 x 1024 kg
Radio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m.
Junio 2009 Solución.− Etot = −1,06 x 1010 J ; h = 3,07 x 106 m.
26 − El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. En el perihelio (posición más próxima) el cometa está a 8,75 x 107 km del Sol y en el afelio (posición más alejada) está a 5,26 x 109 km del Sol.
a) ¿En cuál de los dos puntos tiene el cometa mayor velocidad?. ¿Y mayor aceleración?.
b) ¿En qué punto tiene mayor energía potencial?. ¿Y mayor energía mecánica?.
Junio 1999 Solución.− v(p) > v(a) ; a(p) > a(a) ; Ep(p) < Ep(a) ; Etot(p) = Etot(a) .
27 − Plutón describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Indique para cada una de las siguientes magnitudes si su valor es mayor, menor o igual en el afelio (punto más alejado del Sol) comparado con el perihelio (punto más próximo al Sol):
a) momento angular respecto a la posición del Sol; b) momento lineal;
c) energía potencial; d) energía mecánica.
Junio 2004 Solución.− L(a) = L(p) ; p(a) < p(p) ; Ep(a) > Ep(p) ; Etot(a) = Etot(p) .
28 − La velocidad de un asteroide es de 20 km/s en el perihelio y de 14 km/s en el afelio. Determine en estas posiciones cuál es la relación entre:
a) las distancias al Sol en torno al cual orbita; b) las energías potenciales del asteroide.
Modelo 2004 Solución.− r(p) r(a) = (a) E (p) E p p = 7 10 .
29 − a) Deduzca la expresión de la energía cinética de un satélite en órbita circular alrededor de un planeta en función del radio de la órbita y de las masas del satélite y del planeta.
b) Demuestre que la energía mecánica del satélite es la mitad de su energía potencial.
Junio 2005 y Junio 2010 (Fase Específica) Solución.− Ec =
2r m m G p s .
30 − Determine la relación que existe entre la energía mecánica de un satélite que describe una órbita circular en torno a un planeta y su energía potencial.
Modelo 2001 Solución.− Ep = 2 Etotal .
31 − En el movimiento circular de un satélite en torno a la Tierra, determine:
a) la expresión de la energía cinética en función de las masas del satélite y de la Tierra y del radio de la órbita;
b) la relación que existe entre su energía mecánica y su energía potencial.
Junio 2001 Solución.− Ec = 2r m m G T s ; Ep = 2 Etotal .
32 − Calcule el módulo del momento angular de un objeto de 1.000 kg respecto al centro de la Tierra en los siguientes casos:
a) Se lanza desde el polo Norte perpendicularmente a la superficie de la Tierra con una velocidad de 10 km/s.
b) Realiza una órbita circular alrededor de la Tierra en el plano ecuatorial a una distancia de 600 km de su superficie.
Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2
Masa de la Tierra: mT = 5,98 x 1024 kg
Radio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m.
Septiembre 2008 −1
33 − Una sonda de masa 5.000 kg se encuentra en órbita circular a una altura sobre la superficie terrestre de 1,5 RT. Determine:
a) el momento angular de la sonda en esa órbita respecto al centro de la Tierra;
b) la energía que hay que comunicar a la sonda para que escape del campo gravitatorio terrestre desde esa órbita.
Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2
Masa de la Tierra: MT = 5,98 x 1024 kg
Radio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m.
Junio 2008 Solución.− a) Momento angular: vector perpendicular al plano de la órbita descrita cuyo
módulo vale: L = 3,98 x 1014 kg∙m2∙s−1. b) E (mínima) = 6,26 x 1010 J.
34 − Un objeto de 5 kg de masa posee una energía potencial gravitatoria: Ep = −2 x 108 J cuando
se encuentra a cierta distancia de la Tierra.
a) Si el objeto a esa distancia estuviera describiendo una órbita circular, ¿cuál sería su velocidad?.
b) Si la velocidad del objeto a esa distancia fuese de 9 km/s, ¿cuál sería su energía mecánica?. ¿Podría el objeto estar describiendo una órbita elíptica en este caso?.
Modelo 2007 Solución.− a) v = 6.324,56 m∙s−1 ; b) Etot = 2,50 x 106 J (la trayectoria sería abierta, no elíptica).
35 − Un proyectil de masa 10 kg se dispara verticalmente desde la superficie de la Tierra con una velocidad de 3.200 m/s.
a) ¿Cuál es la máxima energía potencial que adquiere?. b) ¿En qué posición se alcanza?.
Datos: Gravedad en la superficie de la Tierra: g = 9,8 m∙s−2
Radio medio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m .
Septiembre 2001 Solución.− Ep máx = −5,73 x 108 J ; rf = 6,94 x 106 m (desde el centro de la Tierra).
36 − a) Desde la superficie de la Tierra se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con una velocidad v. Si se desprecia el rozamiento, calcule el valor de v necesario para que el objeto alcance una altura igual al radio de la Tierra.
b) Si se lanza el objeto desde la superficie de la Tierra con una velocidad doble a la calculada en el apartado anterior, ¿escapará o no del campo gravitatorio terrestre?.
Datos: Masa de la Tierra: mT = 5,98 x 1024 kg
Radio de la Tierra: RT = 6.370 km
Constante de Gravitación: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2 .
Septiembre 2006 Solución.− a) v = 7.913,05 m∙s−1 ; b) Sí escaparía del campo gravitatorio terrestre.
37 − Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) Un objeto de masa m1 necesita una velocidad de escape de la Tierra el doble que
la que necesita otro objeto de masa m2 = m1/2.
b) Se precisa realizar más trabajo para colocar en una misma órbita un satélite de masa m1 que otro satélite de masa m2 = m1/2, lanzados desde la superficie de la Tierra.
Modelo 2005 Solución.− a) Falso ; b) Verdadero.
Problemas
38 − Se considera el movimiento elíptico de la Tierra en torno al Sol. Cuando la Tierra está en el afelio (la posición más alejada del Sol) su distancia al Sol es de 1,52 x 1011 m y su velocidad orbital es de 2,92 x 104 m/s. Hallar:
a) el momento angular de la Tierra respecto al Sol;
b) la velocidad orbital en el perihelio (la posición más cercana al Sol), siendo en este punto su distancia al Sol de 1,47 x 1011 m.
Dato complementario: masa de la Tierra: mT = 5,98 x 1024 kg .
Junio 1997 Solución.− L = 2,65 x 1040 kg∙m2∙s−1 ; v(p) = 3,02 x 104 m∙s−1 .
39 − Mercurio describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En el afelio su distancia al Sol es de 6,99 x 1010 m y su velocidad orbital es de 3,88 x 104 m/s, siendo su distancia al Sol en el perihelio de 4,60 x 1010 m.
a) Calcule la velocidad orbital de Mercurio en el perihelio.
b) Calcule las energías cinética, potencial y mecánica de Mercurio en el perihelio. c) Calcule el módulo de su momento lineal y de su momento angular en el perihelio. d) De las magnitudes calculadas en los apartados anteriores, decir cuáles son iguales en
el afelio.
Datos: Masa de Mercurio: mM = 3,18 x 1023 kg
Masa del Sol: mS = 1,99 x 1030 kg
Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2 .
Junio 2003 Solución.− v(p) = 5,90 x 104 m∙s−1 ; Ec(p) = 5,53 x 1032 J ; Ep(p) = −9,18 x 1032 J
Etot(p) = −3,65 x 1032 J -igual que en el afelio-
p(p) = 1,87 x 1028 kg∙m∙s−1
40 − Suponiendo que los planetas Venus y la Tierra describen órbitas circulares alrededor del Sol, calcule:
a) el período de revolución de Venus;
b) las velocidades orbitales de Venus y de la Tierra.
Datos: Distancia de la Tierra al Sol = 1,49 x 1011 m
Distancia de Venus al Sol = 1,08 x 1011 m
Período de revolución de la Tierra = 365 días.
Junio 2009 Solución.− TV = 1,95 x 107 s ; vV = 3,49 x 104 m∙s−1 ; vT = 2,97 x 104 m∙s−1 .
41 − Io, un satélite de Júpiter, tiene una masa de 8,9 x 1022 kg, un período orbital de 1,77 días y un radio medio orbital de 4,22 x 108 m. Considerando que la órbita es circular con este radio, determine:
a) la masa de Júpiter;
b) laintensidaddel campo gravitatorio, debida a Júpiter, en los puntos de la órbita de Io; c) la energía cinética de Io en su órbita;
d) el módulo del momento angular de Io respecto al centro de su órbita.
Dato: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2 .
Junio 2010 (Fase General) Solución.− mJ = 1,90 x 1027 kg ; G = 0,71 N∙kg−1 (dirigida hacia el centro de Júpiter)
Ec = 1,34 x 1031 J ; L = 6,51 x 1035 kg∙m2∙s−1 .
42 − Fobos es un satélite de Marte que gira en una órbita circular de 9.380 km de radio, respecto al centro del planeta, con un período de revolución de 7,65 horas. Otro satélite de Marte, Deimos, gira en una órbita de 23.460 km de radio. Determine:
a) la masa de Marte;
b) el período de revolución del satélite Deimos; c) la energía mecánica del satélite Deimos, y
d) el módulo del momento angular de Deimos respecto al centro de Marte. Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2
Masa de Fobos = 1,1 x 1016 kg Masa de Deimos = 2,4 x 1015 kg . Junio 2007 Solución.− mM = 6,44 x 1023 kg TD = 1,09 x 105 s ; Etot D = −2,20 x 1021 J ; LD = 7,62 x 1025 kg∙m2∙s−1 . Página 13
43 − Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta 1 se mueve en una órbita circular de radio 1011 m y período 2 años. El planeta 2 se mueve en una órbita elíptica, siendo su distancia en la posición más próxima a la estrella 1011 m y en la más alejada 1,8 x 1011 m.
a) ¿Cuál es la masa de la estrella?.
b) Halle el período de la órbita del planeta 2.
c) Utilizando los principios de conservación del momento angular y de la energía mecánica, hallar la velocidad del planeta 2 cuando se encuentra en la posición más cercana a la estrella.
Dato: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2 .
Modelo 2002 Solución.− mestrella = 1,49 x 1029 kg ; T2 = 1,04 x 108 s ; vmáx 2 = 11.295,76 m∙s−1 .
44 − Un satélite artificial de 200 kg gira en una órbita circular a una altura h sobre la superficie de la Tierra. Sabiendo que a esa altura el valor de la aceleración de la gravedad es la mitad del valor que tiene en la superficie terrestre, averiguar:
a) la velocidad del satélite, y b) su energía mecánica.
Datos: Gravedad en la superficie terrestre: g = 9,8 m∙s−2
Radio medio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m .
Septiembre 2000 Solución.− v = 6.643,93 m∙s−1 ; Etot = −4,41 x 109 J.
45 − Un satélite de 2.000 kg de masa describe una órbita ecuatorial alrededor de la Tierra, de 8.000 km de radio. Determinar:
a) su momento angular respecto al centro de la órbita; b) sus energías cinética, potencial y total.
Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2
Masa de la Tierra: mT = 5,98 x 1024 kg .
Junio 1996 Solución.− L = 1,13 x 1014 kg∙m2∙s−1
46 − Un satélite artificial de la Tierra de 100 kg de masa describe una órbita circular a una altura de 655 km. Calcule:
a) el período de la órbita;
b) la energía mecánica del satélite;
c) el módulo del momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra;
d) el cociente entre los valores de la intensidad del campo gravitatorio terrestre en el satélite y en la superficie de la Tierra.
Datos: Masa de la Tierra: mT = 5,98 x 1024 kg .
Radio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m
Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2 .
Junio 2005 Solución.− T = 5.857,82 s ; Etot = −2,84 x 109 J ; L = 5,29 x 1012 kg∙m2∙s−1 ;
G(sup) G(h)
= 0,82.
47 − Desde la superficie terrestre se lanza un satélite de 400 kg de masa hasta situarlo en una órbita circular a una distancia del centro de la Tierra igual a las 7/6 partes del radio terrestre. Calcule:
a) la intensidad del campo gravitatorio terrestre en los puntos de la órbita del satélite; b) la velocidad y el período que tendrá el satélite en la órbita;
c) la energía mecánica del satélite en la órbita;
d) la variación de la energía potencial que ha experimentado el satélite al elevarlo desde la superficie de la Tierra hasta situarlo en su órbita.
Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2
Masa de la Tierra: mT = 5,98 x 1024 kg
Radio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m .
Septiembre 2005 Solución.− G = 7,22 N∙kg−1 (dirigido hacia el centro de la Tierra)
v = 7,33 x 103 m∙s−1 ; T = 6,37 x 103 s ; Etot = −1,07 x 1010 J ; ΔEp = 3,58 x 109 J.
48 − Un satélite de 1.000 kg de masa describe una órbita circular de 12 x 103 km de radio alrededor de la Tierra. Calcule:
a) El módulo del momento lineal y el módulo del momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra. ¿Cambian las direcciones de estos vectores al cambiar la posición del satélite en su órbita?.
b) El período y la energía mecánica del satélite en la órbita.
Datos: Masa de la Tierra: mT = 5,98 x 1024 kg
Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2 .
Junio 2010 (Fase Específica) Solución.− p = 5,77 x 106 kg∙m∙s−1 − Cambia su dirección (tangente a la órbita).
L = 6,92 x 1013 kg∙m2∙s−1 − Dirección constante. T = 1,31 x 104 s ; Etot = −1,66 x 1010 J.
49 − Un satélite artificial de 100 kg de masa se encuentra girando alrededor de la Tierra en una órbita circular de 7.100 km de radio. Determine:
a) el período de revolución del satélite;
b) el momento lineal y el momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra; c) la variación de energía potencial que ha experimentado el satélite al elevarlo desde
la superficie de la Tierra hasta esa posición; d) las energías cinética y total del satélite.
Datos: Masa de la Tierra: mT = 5,98 x 1024 kg .
Radio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m
Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2 .
Septiembre 2003 Solución.− T = 5,95 x 103 s ; p = 7,50 x 105 kg∙m∙s−1 ; L = 5,32 x 1012 kg∙m2∙s−1
ΔEp = 6,44 x 108 J ; Ec = 2,81 x 109 J ; Etot = −2,81 x 109 J.
50 − Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra. En esta órbita la energía mecánica del satélite es −4,5 x 109
J y su velocidad es 7.610 m∙s−1. Calcule: a) el módulo del momento lineal del satélite y el módulo del momento angular
del satélite respecto al centro de la Tierra;
b) el período de la órbita y la altura a la que se encuentra el satélite.
Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2
Masa de la Tierra: mT = 5,98 x 1024 kg
Radio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m .
Junio 2006 Solución.− p = 1,18 x 106 kg∙m∙s−1 ; L = 8,15 x 1012 kg∙m2∙s−1
T = 5,69 x 103 s ; h = 5,17 x 105 m.
51 − La velocidad angular con la que un satélite describe una órbita circular en torno al planeta Venus es ω1 = 1,45 x 10−4 rad/s y su momento angular respecto al centro de la órbita es
L1 = 2,2 x 1012 kg∙m2∙s−1.
a) Determine el radio r1 de la órbita del satélite y su masa.
b) ¿Qué energía será preciso invertir para cambiar a otra órbita circular con velocidad angular ω2 = 10−4 rad/s?.
Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2
Masa de Venus: mV = 4,87 x 1024 kg .
Junio 2002 Solución.− r1 = 2,49 x 107 m ; m = 24,46 kg ; ΔE = 3,40 x 107 J.
52 − Desde un punto de la superficie terrestre se lanza verticalmente hacia arriba un objeto de 100 kg que llega hasta una altura de 300 km. Determine:
a) la velocidad del lanzamiento;
b) la energía potencial del objeto a esa altura.
Si estando situado a la altura de 300 km queremos convertir el objeto en satélite de forma que se ponga en órbita circular alrededor de la Tierra,
c) ¿qué energía adicional habrá que comunicarle?;
d) ¿cuál será la velocidad y el período del satélite en esa órbita?.
Datos: Constante de Gravitación: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2
Masa de la Tierra: mT = 5,98 x 1024 kg
Radio de la Tierra: RT = 6.370 km.
Modelo 2010 Solución.− a) v = 2,37 x 103 m∙s−1 ; b) Ep = −5,98 x 109 J
c) ΔE = 2,99 x 109 J ; d) v = 7,73 x 103 m∙s−1 ; T = 5,42 x 103 s.
53 − Se coloca un satélite meteorológico de 1.000 kg en órbita circular, a 300 km sobre la superficie terrestre. Determine:
a) la velocidad lineal, la aceleración radial y el período en la órbita; b) el trabajo que se requiere para poner en órbita el satélite.
Datos: Gravedad en la superficie terrestre: g = 9,8 m∙s−2
Radio medio terrestre: RT = 6.370 km .
Junio 1999 Solución.− v = 7.721,28 m∙s−1 ; an = 8,94 m∙s−2 ; T = 5.427,70 s ; W = 3,26 x 1010 J.
54 − Un satélite artificial de 100 kg se mueve en una órbita circular alrededor de la Tierra con una velocidad de 7,5 km/s. Calcule:
a) El radio de la órbita.
b) La energía potencial del satélite. c) La energía mecánica del satélite.
d) La energía que habría que suministrar al satélite para que describa una órbita circular con radio doble que el de la órbita anterior.
Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2
Masa de la Tierra: mT = 5,98 x 1024 kg
Radio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m .
Septiembre 2008 Solución.− r = 7,09 x 106 m ; Ep = −5,63 x 109 J ; Etot = −2,81 x 109 J ; ΔE = 1,41 x 109 J.
55 − Un satélite de masa 20 kg se coloca en órbita circular sobre el ecuador terrestre de modo que su radio se ajusta para que dé una vuelta a la Tierra cada 24 horas. Así se consigue que siempre se encuentre sobre el mismo punto respecto a la Tierra (satélite geoestacionario). a) ¿Cuál debe ser el radio de su órbita?.
b) ¿Cuánta energía es necesaria para situarlo en dicha órbita?.
Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2
Masa de la Tierra: MT = 5,96 x 1024 kg
Radio de la Tierra: RT = 6.371 km.
Septiembre 2007 Solución.− r = 4,22 x 107 m ; E = 1,15x 109 J.
56 − Se pretende colocar un satélite artificial de forma que gire en una órbita circular en el plano del ecuador terrestre y en el sentido de rotación de la Tierra. Si se quiere que el satélite pase periódicamente sobre un punto del ecuador cada dos días, calcule:
a) la altura sobre la superficie terrestre a la que hay que colocar el satélite;
b) la relación entre la energía que hay que comunicar a dicho satélite desde el momento de su lanzamiento en la superficie terrestre para colocarlo en esa órbita y la energía mínima de escape.
Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2
Radio de la Tierra: RT = 6.370 km
Masa de la Tierra: mT = 5,98 x 1024 kg .
Septiembre 2002 Solución.− h = 6,07 x 107 m ; Ec sup = 0,95 Eesc (95 %).
57 − Un planeta esférico tiene 3.200 km de radio y la aceleración de la gravedad en su superficie es 6,2 m∙s−2. Calcule:
a) la densidad media del planeta y la velocidad de escape desde su superficie;
b) la energía que hay que comunicar a un objeto de 50 kg de masa para lanzarlo desde la superficie del planeta y ponerlo en órbita circular alrededor del mismo, de forma que su período sea de 2 horas.
Dato: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2 .
Septiembre 2004 Solución.− ρm = 6.934,69 kg∙m−3 ; vesc = 6.299,2 m∙s−1 ; ΔE = 6,29 x 108 J.
58 − El período de revolución del planeta Júpiter en su órbita alrededor del Sol es aproximada-mente doce veces mayor que el de la Tierra en su correspondiente órbita. Considerando circulares las órbitas de los dos planetas, determine:
a) la razón entre los radios de las respectivas órbitas;
b) la razón entre las aceleraciones de los dos planetas en sus respectivas órbitas.
Modelo 2001 Solución.− r(Tierra) r(Júpiter) = 5,24 ; a(Tierra) a(Júpiter) = 0,04 .
59 − Las distancias de la Tierra y de Marte al Sol son, respectivamente, 149,6 x 106 km y 228,0 x 106 km. Suponiendo que las órbitas son circulares y que el período de revolución de la Tierra en torno al Sol es de 365 días:
a) ¿Cuál será el período de revolución de Marte?.
b) Si la masa de la Tierra es 9,6 veces la de Marte y sus radios respectivos son 6.370 km y 3.390 km, ¿cuál será el peso en Marte de una persona de 70 kg?.
Dato: Gravedad en la superficie terrestre: g = 9,8 m∙s−2 .
Modelo 1999 Solución.− a) TM = 5,93 x 107 s ; b) PM = 252,56 N.
60 − La sonda espacial Mars Odissey describe una órbita circular en torno a Marte a una altura sobre su superficie de 400 km. Sabiendo que un satélite de Marte describe órbitas circulares de 9.390 km de radio y tarda en cada una de ellas 7,7 h, calcule:
a) el tiempo que tarda la sonda espacial en dar una vuelta completa; b) la masa de Marte y la aceleración de la gravedad en su superficie.
Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2
Radio de Marte: RM = 3.390 km .
Modelo 2004 Solución.− T = 7,11 x 103 s ; mM = 6,38 x 1023 kg ; gM = 3,70 m∙s−2 .
61 − Júpiter tiene aproximadamente una masa 320 veces mayor que la de la Tierra y un volumen 1.320 veces superior al de la Tierra. Determine:
a) a qué altura h sobre la superficie de Júpiter debería encontrarse un satélite, en órbita circular en torno a este planeta, para que tuviera un período de 9 horas 50 minutos; b) la velocidad del satélite en dicha órbita.
Datos: Gravedad en la superficie terrestre: g = 9,8 m∙s−2
Radio medio de la Tierra: RT = 6, 37 x 106 m .
Modelo 2003 Solución.− h = 8,94 x 107 m ; v = 2,83 x 104 m∙s−1 .
62 − La nave espacial Discovery, lanzada en octubre de 1998, describía en torno a la Tierra una órbita circular con una velocidad de 7,62 km∙s−1.
a) ¿A qué altitud se encontraba?.
b) ¿Cuál era su período?. ¿Cuántos amaneceres contemplaban cada 24 horas los astronautas que viajaban en el interior de la nave?.
Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2
Masa de la Tierra: mT = 5,98 x 1024 kg
Radio medio de la Tierra: RT = 6.370 km .
Septiembre 1999 Solución.− h = 4,99 x 105 m
T = 5.663,94 s -los astronautas contemplaban 15(,25) amaneceres cada 24 horas-.
63 − Dos satélites artificiales de la Tierra S1 y S2 describen en un sistema de referencia
geocéntrico dos órbitas circulares, contenidas en un mismo plano, de radios r1 = 8.000 km y
r2 = 9.034 km, respectivamente. En un instante inicial dado, los satélites están alineados con
el centro de la Tierra y situados del mismo lado.
a) ¿Qué relación existe entre las velocidades orbitales de ambos satélites?.
b) ¿Qué relación existe entre los períodos orbitales de los satélites?. ¿Qué posición ocupará el satélite S2 cuando el satélite S1 haya completado seis vueltas, desde
el instante inicial?. Junio 2001 Solución.− 2 sat 1 sat v v = 1,06 ; 2 sat 1 sat T T = 0,83 .
Al cabo del tiempo indicado los dos satélites vuelven a estar como en la situación inicial -alineados con el centro de la Tierra y situados del mismo lado-.
64 − El vehículo espacial Apolo VIII estuvo en órbita circular alrededor de la Luna, 113 km por encima de su superficie. Calcular:
a) el período del movimiento;
b) las velocidades lineal y angular del vehículo;
c) la velocidad de escape a la atracción lunar desde esa posición.
Datos: Constante de Gravitación Universal : G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2
Masa de la Luna: mL = 7,36 x 1022 kg
Radio medio lunar: RL = 1.740 km .
Septiembre 1996 Solución.− T = 7.153,06 s ; v = 1.627,66 m∙s−1 ; ω = 8,78 x 10−4 rad∙s−1 ; vesc = 1.627,66 m∙s−1
65 − La nave espacial Lunar Prospector permanece en órbita circular alrededor de la Luna a una altura de 100 km sobre su superficie. Determine:
a) la velocidad lineal de la nave y el período del movimiento; b) la velocidad de escape a la atracción lunar desde esa órbita.
Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2
Masa de la Luna: mL = 7,36 x 1022 kg
Radio medio lunar: RL = 1.740 km .
Junio 1998 Solución.− v = 1.633,40 m∙s−1 ; T = 7.077,91 s ; vesc = 1.633,40 m∙s−1 .
66 − Se pone en órbita un satélite artificial de 600 kg a una altura de 1.200 km sobre la superficie de la Tierra. Si el lanzamiento se ha realizado desde el nivel del mar, calcule:
a) cuánto ha aumentado la energía potencial gravitatoria del satélite;
b) qué energía adicional hay que suministrar al satélite para que escape a la acción del campo gravitatorio terrestre desde esa órbita.
Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2
Masa de la Tierra: mT = 5,98 x 1024 kg
Radio medio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m .
Junio 2000 Solución.− ΔEp = 5,96 x 109 J ; ΔE = 1,58 x 1010 J.
67 − Un satélite artificial de 200 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra. La velocidad de escape a la atracción terrestre desde esa órbita es la mitad que la velocidad de escape desde la superficie terrestre.
a) Calcule la fuerza de atracción entre la Tierra y el satélite. b) Calcule el potencial gravitatorio en la órbita del satélite. c) Calcule la energía mecánica del satélite en la órbita.
d) ¿Se trata de un satélite geoestacionario?. Justifique la respuesta.
Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2
Masa de la Tierra: mT = 5,98 x 1024 kg Radio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m . Modelo 2008 Solución.− F = 491,49 N ; V = −3,13 x 107 J∙kg−1 ; Etot = −3,13 x 109 J No es un satélite geoestacionario. Página 21
68 − Si se considera que la Tierra tiene forma esférica, con un radio aproximado de 6.400 km, determine:
a) la relación existente entre las intensidades del campo gravitatorio sobre la superficie terrestre y a una altura de 144 km por encima de la misma;
b) la variación de energía cinética de un cuerpo de 100 kg de masa al caer libremente desde la altura de 144 km hasta 72 km por encima de la superficie terrestre.
Datos: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2
Masa de la Tierra: mT = 5,98 x 1024 kg . Septiembre 1998 Solución.− G(h) G(sup) = 1,0455 ; ΔEc = 6,78 x 107 J.
69 − Se lanza una nave de masa m = 5 x 103 kg desde la superficie de un planeta de radio R1 = 6 x 103 km y masa m1 = 4 x 1024 kg, con una velocidad inicial v0 = 2 x 104 m/s,
en dirección hacia otro planeta del mismo radio R2 = R1 y masa m2 = 2 m1, siguiendo
la línea recta que une los centros de ambos planetas. Si la distancia entre dichos centros es D = 4,83 x 1010 m, determine:
a) la posición del punto P en el que la fuerza neta sobre la nave es cero;
b) la energía cinética con la que llegará la nave a la superficie del segundo planeta. Dato: Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10−11 N∙m2∙kg−2 .
Modelo 2006 Solución.− Punto P: a 2 x 1010 m del centro del planeta 1 ; Ec fin = 1,22 x 1012 J.
de
2º de BACHILLERATO
VIBRACIONES Y ONDAS
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
DE LOS EJERCICIOS
QUE HAN SIDO PROPUESTOS EN LOS EXÁMENES DE
LAS PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS
EN LA COMUNIDAD DE MADRID
(1996 − 2010)
DOMINGO A. GARCÍA FERNÁNDEZ
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y QUÍMICA
I.E.S. EMILIO CASTELAR
MADRID
EJERCICIOS PROPUESTOS EN LOS EXÁMENES DE
LAS PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS
EN LA COMUNIDAD DE MADRID
(1996 − 2010)
VIBRACIONES Y ONDAS
Cuestiones
1 − La aceleración del movimiento de una partícula viene expresada por la relación: a = −ky, siendo y el desplazamiento respecto a la posición de equilibrio y k una constante. ¿De qué movimiento se trata?. ¿Qué representa k?. ¿Cuál es la ecuación del citado movimiento?.
Junio 1997 Solución.− Es un movimiento armónico simple. k = ω2 (ω: pulsación o frecuencia angular).
Ecuación del movimiento: y = y(t) = A sen(ωt + φ0).
2 − Una partícula de masa 3 g oscila con movimiento armónico simple de elongación en función del tiempo: x = 0,5 cos(0,4t + 0,1), en unidades SI. Determine:
a) la amplitud, la frecuencia, la fase inicial y la posición de la partícula en t = 20 s; b) las energías cinéticas máxima y mínima de la partícula que oscila, indicando en qué
posiciones se alcanzan.
Modelo 2003 Solución.− A = 0,5 m ; ν = 0,06 s−1 ; φ0 = 0,1 rad ; x(t = 20 s) = −0,12 m
Ec máx = 6 x 10−5 J (en el centro) ; Ec mín = 0 (en los extremos).
3 − Una partícula que realiza un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud tarda 2 s en efectuar una oscilación completa. Si en el instante t = 0 su velocidad era nula y la elongación positiva, determine:
a) la expresión matemática que representa la elongación en función del tiempo; b) la velocidad y la aceleración de oscilación en el instante t = 0,25 s.
Septiembre 2008 y Septiembre 2009 Solución.− x = x(t) = 0,10 sen 2 π t π (SI) v(t = 0,25 s) = −0,22 m∙s−1 ; a(t = 0,25 s) = −0,70 m∙s−2 .
4 − Una partícula efectúa un movimiento armónico simple cuyo período es igual a 1 s. Sabiendo que en el instante t = 0 su elongación es 0,70 cm y su velocidad 4,39 cm/s, calcule: a) la amplitud y la fase inicial;
b) la máxima aceleración de la partícula.
Septiembre 2001 Solución.− A = 9,90 x 10−3 m ; φ0 ≈
4 π
rad ; amáx = 0,30 m∙s−2 .
5 − Una partícula realiza un movimiento armónico simple con una amplitud de 8 cm y un período de 4 s. Sabiendo que en el instante inicial la partícula se encuentra en la posición de elongación máxima:
a) Determine la posición de la partícula en función del tiempo.
b) ¿Cuáles son los valores de la velocidad y de la aceleración 5 s después de que la partícula pase por un extremo de la trayectoria?.
Septiembre 1998 Solución.− x = x(t) = 0,08 sen 2 π t 2 π (m) ; v(t = 5 s) = −0,13 m∙s−1 ; a(t = 5 s) = 0.
6 − Una partícula que describe un movimiento armónico simple recorre una distancia de 16 cm en cada ciclo de su movimiento y su aceleración máxima es de 48 m/s2. Calcule:
a) la frecuencia y el período del movimiento; b) la velocidad máxima de la partícula.
Septiembre 2006 Solución.− ν = 5,51 s−1 ; T = 0,18 s ; vmáx = 1,39 m∙s−1 .
7 − Una partícula que realiza un movimiento armónico simple recorre una distancia total de 20 cm en cada vibración completa y su máxima aceleración es de 50 cm/s2.
a) ¿Cuáles son los valores de su amplitud, período y velocidad máxima?.
b) ¿En qué posiciones de la trayectoria consigue los valores máximos de la velocidad y de la aceleración?.
Modelo 1999 Solución.− A = 0,05 m ; T = 1,99 s ; vmáx = 0,16 m∙s−1
Velocidad máxima (en valor absoluto): en el centro de la oscilación. Aceleración máxima (en valor absoluto): en los extremos.
8 − a) Al colgar una masa en el extremo de un muelle en posición vertical, éste se desplaza 5 cm; ¿de qué magnitudes del sistema depende la relación entre dicho desplazamiento y la aceleración de la gravedad?.
b) Calcule el período de oscilación del sistema muelle-masa anterior si se deja oscilar en posición horizontal (sin rozamiento).
Dato: Aceleración de la gravedad: g = 9,81 m∙s−2.
Junio 2004 Solución.− g x = k m
(k: constante elástica del muelle) ; T = 0,45 s.
9 − Se tienen dos muelles de constantes elásticas k1 y k2, en cuyos extremos se disponen dos masas m1 y m2
respectivamente, y tal que m1 < m2. Al oscilar, las fuerzas que actúan sobre cada una de estas masas en función de la elongación aparecen representadas en la figura.
a) ¿Cuál es el muelle de mayor constante elástica?. b) ¿Cuál de estas masas tendrá mayor período
de oscilación?.
Septiembre 2005 Solución.− a) El muelle 1 ; b) La masa 2.
10 − Un muelle cuya constante de elasticidad es k está unido a una masa puntual de valor m. Separando la masa de la posición de equilibrio el sistema comienza a oscilar. Determine: a) el valor del período de las oscilaciones T y su frecuencia angular ω;
b) las expresiones de las energías cinética, potencial y total en función de la amplitud y de la elongación del movimiento del sistema oscilante.
Junio 2001 Solución.− T = 2π k m ; ω = m k ; Ec = 2 1 k
A2 x2
; Ep = 2 1 kx2 ; Etotal = 2 1 kA2 . F x 2 1 1 211 − Un cuerpo de masa m está suspendido de un muelle de constante elástica k. Se tira verticalmente del cuerpo desplazando éste una distancia X respecto de su posición de equilibrio, y se le deja oscilar libremente. Si en las mismas condiciones del caso anterior el desplazamiento hubiese sido 2X, deduzca la relación que existe, en ambos casos, entre: a) las velocidades máximas del cuerpo;
b) las energías mecánicas del sistema oscilante.
Junio 2008 Solución.− 2 X) (A v ) X 2 A ( v 1 m áx 2 m áx ; 4 X) (A E ) X 2 A ( E 1 tot 2 tot .
12 − Un sistema elástico, constituido por un cuerpo de masa 200 g unido a un muelle, realiza un movimiento armónico simple con un período de 0,25 s. Si la energía total del sistema es 8 J:
a) ¿cuál es la constante elástica del muelle?; b) ¿cuál es la amplitud del movimiento?.
Modelo 2010 Solución.− k = 126,33 N∙m−1 ; A = 0,36 m.
13 − Un objeto de 2,5 kg está unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento armónico simple sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz. Determine:
a) el período del movimiento y la constante elástica del muelle; b) la velocidad máxima y la aceleración máxima del objeto.
Junio 2007 Solución.− T = 0,30 s ; k = 1.074,80 N∙m−1 ; vmáx = 1,04 m∙s−1 ; amáx = 21,50 m∙s−2 .
14 − Una masa m oscila en el extremo de un resorte vertical con una frecuencia de 1 Hz y una amplitud de 5 cm. Cuando se añade otra masa, de 300 g, la frecuencia de oscilación es de 0,5 Hz. Determine:
a) el valor de la masa m y de la constante recuperadora del resorte;
b) el valor de la amplitud de oscilación en el segundo caso si la energía mecánica del sistema es la misma en ambos casos.
Septiembre 1999 Solución.− a) m = 0,1 kg ; k = 3,95 N∙m−1 ; b) A2 = A1 = 0,05 m.
15 − Una partícula realiza un movimiento armónico simple. Si la frecuencia de oscilación se reduce a la mitad manteniendo constante la amplitud de oscilación, explique qué ocurre con:
a) el período;
b) la velocidad máxima; c) la aceleración máxima;
d) la energía mecánica de la partícula.
Junio 2010 (Fase Específica) Solución.− ν2 = 2 ν1 ; T2 = 2 T1 ; vmáx,2 = 2 vm áx,1 amáx,2 = 4 am áx,1 ; Etot,2 = 4 Etot,1 .
16 − Si se duplica la energía mecánica de un oscilador armónico, explique qué efecto tiene: a) en la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones;
b) en la velocidad y el período de oscilación.
Junio 1998 Solución.− Etot 2 = 2 Etot 1 ; A2 = 2 A1 ; ν2 = ν1 ; v2 = 2v1 ; T2 = T1 .
17 − Se tiene una onda armónica transversal que se propaga en una cuerda tensa. Si se reduce a la mitad su frecuencia, razone qué ocurre con:
a) el período; b) la velocidad de propagación; c) la longitud de onda, y d) la amplitud. Septiembre 2002 Solución.− ν2 = 2 ν1 ; T2 = 2 T1 ; v2 = v1 ; λ2 = 2 λ1 ; A2 = A1 .
18 − a) Si el oído humano puede percibir sonidos de frecuencias comprendidas en el intervalo de 20 Hz a 20.000 Hz aproximadamente, ¿cuáles son las longitudes de onda en el aire que corresponden a estas frecuencias?.
b) Si el oído humano es capaz de distinguir aproximadamente dos sonidos que se emiten con un intervalo de 0,1 s, ¿cuál es la distancia mínima a la que debe estar de una pared una persona para que perciba el eco?.
Dato: Velocidad del sonido en el aire: v = 340 m∙s−1.
Junio 1997 Solución.− λ(20 Hz) = 17 m ; λ(20.000 Hz) = 0,017 m ; smín = 17 m.
19 − El período de una onda transversal que se propaga en una cuerda tensa es de 2 x 10−3 s. Sabiendo, además, que dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase vale π/2 rad están separados una distancia de 10 cm, calcule:
a) la longitud de onda, y
b) la velocidad de propagación.
Junio 2003 Solución.− λ = 0,40 m ; v = 200 m∙s−1 .
20 − Uno de los extremos de una cuerda tensa, de 6 m de longitud, oscila transversalmente con un movimiento armónico simple de frecuencia: 60 Hz. Las ondas generadas alcanzan el otro extremo de la cuerda en 0,5 s. Determine:
a) la longitud de onda y el número de onda de las ondas en la cuerda;
b) la diferencia de fase de oscilación existente entre dos puntos de la cuerda separados 10 cm.
Septiembre 2000 Solución.− λ = 0,20 m ; k = 10π rad∙m−1 ; Δφ = π rad.
21 − Una onda armónica que se propaga por un medio unidimensional tiene una frecuencia de 500 Hz y una velocidad de propagación de 350 m/s.
a) ¿Qué distancia mínima hay, en un cierto instante, entre dos puntos del medio que oscilan con una diferencia de fase de 60º?.
b) ¿Cuál es la diferencia de fase de oscilación, en un cierto punto, para un intervalo de tiempo de 10−3 s?.
Junio 1999 Solución.− Separación = 0,12 m ; Δφ = π rad.
22 − a) Escriba la expresión matemática de una onda armónica transversal unidimensional: y = y(x,t), que se propaga en el sentido positivo del eje X.
b) Defina los conceptos de las siguientes magnitudes: amplitud, período, longitud de onda y fase inicial.
Junio 2010 (Fase General) Solución.− y = y(x,t) = A sen (ωt − kx + φ0)
Amplitud: Es el valor máximo del desplazamiento transversal.
Período: Es la duración de un ciclo de onda -el tiempo al cabo del cual la onda se repite-.
Longitud de onda: Es la distancia que recorre la onda en un período -la distancia al cabo de la cual la onda se repite-.
Fase inicial: Ángulo de fase (ωt − kx + φ0) para x = 0 en t = 0.
23 − Escriba la expresión matemática de una onda armónica unidimensional como una función de x (distancia) y t (tiempo) y que contenga las magnitudes indicadas en cada uno de los siguientes apartados:
a) frecuencia angular ω y velocidad de propagación v; b) período T y longitud de onda λ;
c) frecuencia angular ω y número de onda k.
d) Explique por qué es una función doblemente periódica.
Junio 2002 Solución.− a) ψ(x,t) = A sen 0 φ x v ω t ω ; b) ψ(x,t) = A sen φ0 λ x T t π 2 c) ψ(x,t) = A sen (ωt kx + φ0)
d) La onda es periódica en el tiempo (período: T)
y periódica en el espacio (“período”: λ -longitud de onda-).
24 − Una partícula oscila con movimiento armónico simple según el eje Y en torno al origen de coordenadas, originando una onda transversal que se propaga en el sentido positivo del eje X con una velocidad de 20 m∙s−1, una amplitud de 0,02 m y una frecuencia de 10 Hz. Determine:
a) el período y la longitud de onda;
b) la expresión matemática de la onda, si en t = 0 la partícula situada en el origen de coordenadas está en la posición de máxima elongación positiva.
Septiembre 2004
25 − La expresión matemática de una onda armónica es: y(x,t) = 3 sen(200πt − 5x + π), estando todas las magnitudes en unidades SI. Determine:
a) la frecuencia y la longitud de onda;
b) la amplitud y la velocidad de propagación de la onda.
Septiembre 2003 Solución.− ν = 100 s−1 ; λ = 1,26 m ; A = 3 m ; v = 40π m∙s−1 .
26 − Una onda armónica unidimensional está dada, en el Sistema Internacional de unidades, por la expresión: y(x,t) = 4 sen(50t − 4x) . Determine: a) la amplitud; b) el período; c) la longitud de onda, y d) la velocidad de propagación. Modelo 2004 Solución.− A = 4 m ; T = 0,13 s ; λ = 1,57 m ; v = 12,5 m∙s−1 .
27 − La expresión matemática de una onda armónica transversal que se propaga por una cuerda tensa coincidente con el eje X es: y = 0,2 sen(100πt − 200πx), en unidades SI. Determine: a) los valores del período, la amplitud, la longitud de onda y la velocidad de
propagación de la onda;
b) la expresión matemática de la onda en términos de la función coseno.
Modelo 2001 Solución.− T = 0,02 s ; A = 0,2 m ; λ = 0,01 m ; v = 0,50 m∙s−1 y = y(x,t) = 0,2 cos 2 π x π 200 t π 100
28 − Una onda transversal que se propaga en una cuerda, coincidente con el eje X, tiene por expresión matemática: y(x,t) = 2 sen(7t − 4x), en unidades SI. Determine:
a) la velocidad de propagación de la onda y la velocidad máxima de vibración de cualquier punto de la cuerda;
b) el tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a la longitud de onda.
Junio 2000 Solución.− v = 1,75 m∙s−1 ; vvibración máxima = 14 m∙s−1 ; T = 0,90 s.
29 − La expresión matemática que representa una onda armónica en unidades SI es: y(x,t) = 0,04 sen x 4 π t π 2 . Determine:
a) la frecuencia de la onda y su velocidad de propagación;
b) la distancia mínima entre dos puntos que vibran con una diferencia de fase de 120º.
Modelo 2008 Solución.− ν = 1 s−1 ; v = 8 m∙s−1 ; dmín = 2,67 m.
30 − Una onda sinusoidal transversal en una cuerda tiene un período de 0,2 s y se propaga en el sentido negativo del eje X a una velocidad de 30 m/s. En el instante t = 0, la partícula de la cuerda en x = 0 tiene un desplazamiento positivo de 0,02 m y una velocidad de oscilación negativa de 2 m/s.
a) ¿Cuál es la amplitud de la onda?. b) ¿Cuál es la fase inicial?.
c) ¿Cuál es la máxima velocidad de oscilación de los puntos de la cuerda?. d) Escriba la función de onda correspondiente.
Septiembre 2007 Solución.− A = 6,67 x 10−2 m ; φ0 = 2,84 rad ; vmáx = 2,10 m∙s−1
ψ(x,t) = 6,67 x 10−2 sen(31,42t + 1,05x + 2,84) (en unidades SI) . 31 − Una onda sonora que se propaga en el aire tiene una frecuencia de 260 Hz.
a) Describa la naturaleza de la onda sonora e indique cuál es la dirección en la que tiene lugar la perturbación, respecto a la dirección de propagación.
b) Calcule el período de esta onda y su longitud de onda. Dato: Velocidad del sonido en el aire: v = 340 m∙s−1.
Junio 2006 Solución.− El sonido es una onda de presión longitudinal, en la que la dirección en la que vibran
las partículas del medio coincide con la dirección de propagación de la onda. T = 3,85 x 10−3 s ; λ = 1,31 m.
32 − ¿Qué cualidades distinguen entre sí los diferentes sonidos?. ¿Cómo dependen dichas cualidades de las magnitudes que caracterizan la onda sonora?.
Razona la respuesta.
Septiembre 1996 Solución.− Intensidad; depende de la frecuencia, amplitud y distancia.
Tono; depende de la frecuencia fundamental. Timbre; depende de la combinación de armónicos.
33 − a) ¿Qué es la intensidad y el tono de un sonido?. b) ¿De qué parámetros de la onda dependen?.
Junio 1998 Solución.− Intensidad: Energía transportada por unidad de tiempo y de superficie
perpendicular al sentido de propagación. Depende de la frecuencia, amplitud y distancia. Tono: Está dado por la frecuencia fundamental.
34 − Una bolita de 0,1 g de masa cae desde una altura de 1 m, con velocidad inicial nula. Al llegar al suelo el 0,05 por ciento de su energía cinética se convierte en un sonido de duración 0,1 s.
a) Halle la potencia sonora generada.
b) Admitiendo que la onda sonora generada puede aproximarse a una onda esférica, estime la distancia máxima a la que puede oírse la caída de la bolita si el ruido de fondo solo permite oír intensidades mayores de 10−8 W/m2.
Dato: Aceleración de la gravedad: g = 9,8 m∙s−2.
Septiembre 2002 Solución.− P = 4,9 x 10−6 W ; rmáx = 6,24 m.
35 − Una fuente sonora puntual emite con una potencia de 80 W. Calcule: a) la intensidad sonora en los puntos distantes 10 m de la fuente.
b) ¿A qué distancia de la fuente el nivel de intensidad sonora es de 130 dB?. Dato: Intensidad umbral de audición: I0 = 10−12 W∙m−2.
Modelo 2007 Solución.− I(r = 10 m) = 0,06 W∙m−2 ; r(S = 130 dB) = 0,80 m.
36 − Una fuente sonora puntual emite con una potencia de 10−6 W.
a) Determine el nivel de intensidad expresado en decibelios a 1 m de la fuente sonora. b) ¿A qué distancia de la fuente sonora el nivel de intensidad se ha reducido a la mitad
del valor anterior?.
Dato: La intensidad umbral de audición es: I0 = 10−12 W∙m−2.
Modelo 2002 Solución.− S(r = 1 m) = 49 dB ; r(S = 24,5 dB) = 16,80 m.
37 − La potencia de la bocina de un automóvil, que se supone foco emisor puntual, es de 0,1 W. a) Determine la intensidad de la onda sonora y el nivel de intensidad sonora a
una distancia de 8 m del automóvil.
b) ¿A qué distancias desde el automóvil el nivel de intensidad sonora es menor de 60 dB?.
Dato: Intensidad umbral de audición: I0 = 10−12 W∙m−2.
Modelo 2009 Solución.− I(r = 8 m) = 1,24 x 10−4 W∙m−2 ; S(r = 8 m) = 80,95 dB
S < 60 dB para r > 89,21 m.
38 − Razone si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes:
a) La intensidad de una onda sonora emitida por una fuente puntual es directamente proporcional a la distancia a la fuente.
b) Un incremento de 30 decibelios corresponde a un aumento de la intensidad del sonido en un factor 1.000.
Modelo 2006 Solución.− a) Falso ; b) Verdadero.
39 − Una fuente puntual emite un sonido que se percibe con nivel de intensidad sonora de 50 dB a una distancia de 10 m.
a) Determine la potencia sonora de la fuente.
b) ¿A qué distancia dejaría de ser audible el sonido?. Dato: Intensidad umbral de audición: I0 = 10−12 W∙m−2.
Junio 2009 Solución.− a) P = 4π x 10−5 W ; b) rmín(S = 0) = 3.162,28 m.
40 − El nivel de intensidad sonora de la sirena de un barco es de 60 dB a 10 m de distancia. Suponiendo que la sirena es un foco emisor puntual, calcule:
a) el nivel de intensidad sonora a 1 km de distancia; b) la distancia a la que la sirena deja de ser audible. Dato: Intensidad umbral de audición: I0 = 10−12 W∙m−2.
Junio 2005 Solución.− S(r = 1 km) = 20 dB ; rmín(S = 0) = 104 m.
41 − El sonido producido por la sirena de un barco alcanza un nivel de intensidad sonora de 80 dB a 10 m de distancia. Considerando la sirena como un foco sonoro puntual, determine:
a) la intensidad de la onda sonora a esa distancia y la potencia de la sirena. b) El nivel de intensidad sonora a 500 m de distancia.
Dato: Intensidad umbral de audición: I0 = 10−12 W∙m−2.
Junio 2010 (Fase General) Solución.− I(r = 10 m) = 10−4 W∙m−2 ; P = 4π x 10−2 W
S(r = 500 m) = 46,02 dB.
42 − Dos sonidos tienen niveles de intensidad sonora de 50 dB y 70 dB respectivamente. Calcule cuál será la relación entre sus intensidades.
Junio 1999 Solución.− I(70 dB) = 100 I(50 dB).
43 − Si la velocidad del sonido en el aire es 340 m/s, ¿cuáles son los valores de la frecuencia fundamental y de los otros armónicos en el caso de las ondas estacionarias en un tubo de 1 m de longitud cerrado por ambos extremos?. ¿Cuáles son los valores de las longitudes de onda correspondientes a dichas frecuencias?.
Justifica las respuestas.
Septiembre 1997 Solución.− Sonido fundamental: ν1 = 170 s−1 ; λ1 = 2 m
Armónicos: νn = n ν1 ; λn =
n 2
m (n = 2,3,4 ...)
44 − Enuncia el Principio de Huygens y utiliza dicho principio para construir el frente de onda refractado en el fenómeno de la refracción de ondas planas. Deduce, asimismo, la Ley fundamental de la refracción en este caso.
Junio 1996 Solución.− Principio de Huygens: La onda avanza porque cada punto del frente de onda
actúa como reemisor de ondas secundarias de igual
longitud de onda que la primitiva en el sentido de
avance de la onda, siendo el nuevo -siguiente- frente de
onda tangente -“envolvente”- a esas ondas esféricas
secundarias reemitidas.
45 − Un rayo de luz monocromática que se propaga en el aire penetra en el agua de un estanque. a) ¿Qué fenómeno luminoso se origina al pasar la luz del aire al agua?.
Enuncie las Leyes que se verifican en este fenómeno.
b) Explique si la velocidad, la frecuencia y la longitud de onda cambian al pasar la luz de un medio a otro.
Modelo 2003 Solución.− Se verifica la refracción de la luz.
Primera Ley: El rayo incidente, el rayo refractado y la normal son coplanarios.
Segunda Ley: n1 senα = n2 sen β’ (Snell)
Al pasar del aire al agua disminuyen la velocidad de propagación y la longitud de onda, pero la frecuencia permanece invariable.
46 − Explica por qué cuando se observa desde el aire un remo sumergido parcialmente en el agua parece estar doblado. Ayúdate de construcciones geométricas en la explicación.
Junio 1996 Solución.− Se debe a la refracción de la luz al pasar del agua al aire.
47 − a) Indique las diferencias que a su juicio existen entre los fenómenos de refracción y de dispersión de la luz. ¿Puede un rayo de luz monocromática sufrir ambos fenómenos?. b) ¿Por qué no se observa dispersión cuando la luz blanca atraviesa una lámina de
vidrio de caras plano-paralelas?.
Junio 1998 Solución.− Refracción: Desviación de los rayos luminosos al cambiar la luz de medio
de propagación.
Dispersión: Separación de las diferentes ondas monocromáticas -“colores”- que componen la luz inicial.
Un rayo de luz monocromática puede refractarse, pero no dispersarse.
Al atravesar la luz blanca una lámina de caras plano-paralelas no se observa apreciablemente dispersión dado que los rayos salientes van paralelos -y juntos-respecto a los incidentes.
