1 TEMAS
Uso de magnitudes y números reales. Jerarquía de operaciones. Lenguaje Algebraico
Solución de ecuaciones con una incógnita. Problemas que involucran ecuaciones con una incógnita.
Proporción directa, inversa y compuesta. Reducción de términos semejantes. Productos Notables
o Binomio al cuadrado
o Binomio con término común o Binomios Conjugados
Factorización
Sistema de ecuaciones 2 x 2 . Planteamiento y solución de problemas. Ecuación cuadrática.
2 Uso de magnitudes y números reales
Suma de números usando la recta numérica Ej.
Sumar 3 + (-4). Solución
Comenzamos siempre en “0”. Como el primer sumando es”3” positivo, se dibuja una flecha que comienza en 3 y se prolonga 3 unidades a la derecha.
Luego, trazamos otra flecha que comienza en “3” y se traza 4 unidades a la izquierda, ya que el segundo sumando es negativo.
Tenemos entonces que: 3 + (-4) = - 1
Actividad I.
Realiza las siguientes operaciones. Si es necesario, utiliza una recta numérica.
a. -3 + (-2) = b. -3 – 4 = c. 5 + (-5) = d. -3 + 7 = e. -5 -2 = f. -3 – 2 = g. 3 +2 = h. 5 + 2 = i. -7 + 3 = j. 4 + 3 = k. -3 – (-6) – (-1) = l. 10 – 13 – 6 -8 = m. -4 – 3 -2 + 7 = n. 10 – (-5) – (-8) = o. 10 – (-5) +6= p. -6 – (-7 ) – (-3 ) q. 1+ 8 + (-9) = r. 11 + (-16) + (-9) s. -10 + (-1) +8 t. -9 + 14=
Pag.3 Resumen de operaciones con números reales:
Para realizar operaciones entre varios números, es necesario llevar un orden, el cual se lleva de acuerdo a las siguientes reglas:
1. Realizar las expresiones dentro de los paréntesis. 2. Realizar las operaciones con exponentes.
3. Realizar todas las multiplicaciones o divisiones en el orden en que suceden, de izquierda a derecha.
4. Realizar todas las sumas y restas en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.
Pag.4 Actividad 2.
Pag.5 Operaciones con fracciones
Multiplicación:
En la fracción resultante, el numerador se obtiene multiplicando los numeradores de las fracciones originales y el denominador se obtiene multiplicando los denominadores.
Ejemplos a) bd ac d c b a b) 28 15 ) 7 )( 4 ( ) 3 )( 5 ( 7 3 4 5 División
Se multiplica cruzado, veamos un par de ejemplos: Ejemplos a) bc ad d c b a b) 12 35 ) 3 )( 4 ( ) 7 )( 5 ( 7 3 4 5 Suma y resta Denominador común c b a c b c a
Se suman los numeradores; el denominador es el mismo. Denominador distinto
Para sumar (o restar) fracciones con denominadores diferentes, primero debemos reescribir dichas fracciones con el mismo, o común denominador, para ello debemos obtener el mcm de los denominadores.
Ejemplo, 60 56 60 36 60 20 5 3 12 4 12, 5 2 6, 5 2 3, 5 3 1, 5 5 1
Pag.6 Actividad 3.
Resuelve las siguientes operaciones con fracciones. a) 4 3 4 1 b) 8 5 8 3 c) 10 5 8 3 d) 7 4 8 5 e) 3 1 12 5
Resuelve los siguientes problemas.
1. De la capacidad total de un estadio de futbol hay 5/9 partes que le van al equipo azul, y 1/3 que le van al equipo rojo.¿Qué fracción repressenta la parte que falta para que se llene el estadio?
2. Adriana y Luisa fueron a la feria y decidieron subirse a la rueda de la fortuna. Si el diámetro de la rueda es de 8 mts ¿Qué recorrido hicieron dando una vuelta completa?
3. Rosario compró 4.5 kg de manzana en $ 25.15 pesos el kilo. ¿Cuánto pagó por las manzanas?
Pag.7
4. ¿Cuántas bolsas (completas) podrá llenar la sra Leonor, si a cada una le caben .220 gr. y horneó un total de 5 500 kg de galletas?
5. Hallar un número tal que su triple menos 5 sea igual a su doble más 2.
6. Una docena de empanadas cuesta $ 6.00, ¿cuánto costarán 500 empanas?
7. Durante 60 minutos de escuchar la radio ,12.5 minutos son anuncios. Si escuchas la radio por 6 horas y 15 minutos, cuántos minutos escuchaste de anuncios?
Pag.8 8. En una tienda de pinturas tienen botes con
capacidad de 8 1
de litro para llenarlos con pintura. Si cuenta con 3.75 litros de pintura, ¿cuántos botes puede llenar?
9. Marcos estudió 2 1 3
horas antes de salir a jugar. En Biología empleó 4 3 1
horas, en Inglés 5 4
de hora y el resto lo dedicó a Matemáticas. ¿Cuántas horas estudió Matemáticas?
10. Los alumnos de una escuela organizaron una función de cine. La quinta parte de los boletos se quedó sin vender, dos terceras partes fueron vendidas y el resto se regaló. ¿Qué parte del total de boletos se regaló?
11. El largo de un par de pantalones nuevos es de 30 pulgadas. Si la talla de Sergio es de
8 3
28 pulgadas, ¿Cuánto necesita cortarse el pantalón?
12. Daniel cortó una pieza de madera que medía 8 1
3 de pulgada en dos piezas iguales. ¿Cuánto mide cada pieza?
Pag.9 13. Una receta para carne asada requiere
4 1
tasa de cebollas cortadas para cada libra de carne. Para
2 1
5 libras de filete, ¿Cuántas tasas de cebolla cortada se necesitan?
Leyes de los exponentes
El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.
En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64
En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", o simplemente "8 al cuadrado"
El exponente de un número dice “multiplica la base por sí misma tantas veces como yo diga”
Leyes de los exponentes
Ley
Ejemplo
x
1= x
6
1= 6
x
0= 1
7
0= 1
x
-1= 1/x
4
-1= 1/4
x
mx
n= x
m+nx
2x
3= x
2+3= x
5x
m/x
n= x
m-nx
4/x
2= x
4-2= x
2(x
m)
n= x
mn(x
2)
3= x
2×3= x
6(xy)
n= x
ny
n(xy)
3= x
3y
3(x/y)
n= x
n/y
n(x/y)
2= x
2/ y
2x
-n= 1/x
nx
-3= 1/x
3Pag.10 Lenguaje algebraico
El lenguaje algebraico nos facilita el procedimiento en la solución de problemas. Al traducir, es importante tomar en cuenta que las operaciones fundamentales de suma, resta, multiplicación y división se expresan con palabras especiales tales como:
Suma: Gana, aumenta, más, se incrementa, crece, etc,
Resta: Diferencia, menos, disminuye, baja, pierde, decrece, etc. Multiplicación: Producto, dos veces, triple, cuádruplo, etc.
División Dividido por, el cociente de, razón, mitad, tercera parte, etc. Las palabras “es”, “resulta” , “se obtiene” nos indican una igualdad.
Un término es cada una de las partes ligadas entre sí por el signo de la suma o la resta en una expresión algebraica.
Un término algebraico tiene los siguientes elementos:
Pag.11 Actividad 4.
Completa las siguientes tablas: TABLA 1
Término Signo Coeficiente Literal (es) absoluto Grado 3x2 2y -b -3x3y Expresión algebraica Nombre 3x2+3x 2ª+b -3x3y-x+5 ½ ab +2 3abc
Pag.12 Actividad 5.
Escribe una expresión algebraica que represente cada uno de los siguientes enunciados.
Pag.13 Ecuaciones y Despeje de variables.
Una ecuación yes una igualdad entre expresiones algebraicas. Ej. 2x +3 = 7.
La letra “X” (u otra letra) representa un número cualquiera y es la llamada incógnita, que nos representa lo que se desea conocer en la ecuación dada. Señala las ecuaciones en la siguiente lista:
1) 3x +6 2) X3-5x2+3x -2 3) -5x4+8=4-4x 4) 5-y=2 5) 0=33-y + 12 6) x – 33 + x2 7) 3x-4=6 + 5x 8) 6 17 25 2 y y 9) 2x-5=8x
Al resolver ecuaciones, estamos “Despejando” la variable, pero.. ¿Qué es despejar?
Es dejar sola la variable a uno de los lados de la igualdad. Generalmente, la dejamos del lado izquierdo.
Para despejar seguimos ciertas reglas:
1) Si hacemos la misma operación sobre los dos lados de la igualdad, la igualdad sigue siendo válida.
2) Toda operación matemática tiene su inversa. Hacer dos operaciones inversas es como no hacer nada, es decir, no alteramos la ecuación. 3) Existe un orden para realizar las operaciones indicadas en una ecuación.
Para despejar se sigue el orden inverso a la jerarquía de operaciones. Planteamiento de problemas, utilizando expresiones algebraicas.
Ejemplo.
La edad de Luis es el triple de la edad de Marco y la suma de sus edades es 68, ¿Qué edad tiene cada uno?
Lenguaje Verbal Lenguaje Algebraico
La edad de Luis 3x
La edad de Marco x
La suma de sus edades 3x+x
La suma de sus edades es 68 3x + x = 68
Actividad 6.
Escribe una expresión algebraica que represente los siguientes problemas.
Pag.14 monedas de $5 y de $10. Si hay cien monedas
que suman 720 pesos, cuántas monedas de cada denominación hay en la máquina?
2. Una computadora costó $12,000. ¿Cuál es el precio de venta si el margen de utilidad es de 20% de dicho precio?
3. Un carnicelo mezcla 2 clases de carne molida, una de $52 el kilo y otra de $35 el kilo. Si la combinación pesa 5 kilos y la vende a $46 el kilo,
¿Cuántos kilos de cada clase forma la mezcla?
4. José tiene actualmente 1/3 de la edad de su padre. Dentro de diez años tendrá la mitad de la edad correspondiente de su padre. ¿Cuál es la edad actual de su padre?
5. La base de una pintura al óleo rectangular es de 5 pulgadas menor que el doble de su altura, y el perímetro es de 62 pulgadas.¿Qué dimensiones tiene el cuadrado?
Pag.15 Resolviendo problemas con ecuaciones.
Se siguen los siguientes pasos:
1. Se lee el problema tantas veces como sea necesario para comprenderlo. 2. Se toman los datos del problema y se define la incógnita.
3. Se plantea la ecuación. 4. Se resuelve la ecuación. 5. Se comprueba.
6. Se da el resultado.
Ejemplo:
El largo de un rectángulo es igual al triple de su ancho menos dos cm. Si su perímetro es de 60 cm, ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
1. Comprenderlo. ¿Qué debo encontrar? Las dimensiones, es decir, largo y ancho.
2. Datos
Ancho: x Largo: 3x -2
Perímetro: 60 cm. 3. Plantear ecuación y resolver.
2x + 2(3x-2) = 60 2x + 6x -4 = 60 8x =60 + 4 8x =64 X = 8 64 X =8 Solución: X=8; 3(8) -2 = 22 Respuesta: Ancho=8; Largo= 22
Pag.16 Actividad 7.
Resuelve los siguientes problemas utilizando ecuaciones.
1. Juan y Pedro ahorraron $152.00 Si José ahorró $22.00 más que Pedro, ¿Cuánto ahorró cada uno?
2. Raúl tiene 21 años y su padre 52. ¿En cuántos años la edad de Raúl será la mitad de la de su padre?
3. María y Lupe coleccionan mariposas. Las de María son 2/3 partes de las de Lupe. Si entre las dos tienen 25, ¿Cuántas tiene cada una?
4. El perímetro de un rectángulo es de 96 cm; si el ancho mide las 3/5 partes de su largo, ¿Cuáles son sus dimensiones?
5. Resolver y anexar la actividad del libro de texto “Desarrolla tu competencia, pag 302 a 307.
Actividad 8.
1. “Desarrolla tu competencia” pag. 293 a 296. 2. “Desarrolla tu competencia”, pag 302 a 307.