Curso
2
o.
Ingeniero de Telecomunicación.
Ampliación de Matemáticas.
Lección 3.
TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE.
Curso 2010-11
1
De
fi
nición y propiedades de la transformación de
La-place
En esta lección presentamos un nuevo procedimiento para la resolución de ecuaciones y sistemas lineales con coeficientes constantes: el método de la transformación de Laplace, que será espe-cialmente adecuado para el caso no homogéneo con condiciones iniciales en el origen.
El uso del concepto de transformación de Laplace es un elemento central del análisis y el diseño de sistemas en la ingeniería. Este tipo de métodos, también llamados métodos operacio-nales, fue propuesto por el ingeniero inglés O. Heaviside (1850—1925) para resolver las ecuaciones diferenciales que aparecen en el estudio de los circuitos eléctricos ya que permiten pasar de una ecuación diferencial a una ecuación algebraica. Usando estas ideas, Heaviside fue capaz de resolver problemas sobre la propagación de la corriente eléctrica a lo largo de cables que no podían ser resueltos usando los métodos clásicos. Si bien los métodos operacionales demostraron ser muy potentes en sus aplicaciones, fueron catalogados como poco rigurosos. Ello puede explicar que el reconocimiento de las aportaciones de Heaviside llegara tardíamente. La transformación de Laplace, introducida por P.S. Laplace un siglo antes en sus estudios sobre probabilidad, fue posteriormente utilizada para proporcionar una base matemática sólida al cálculo operacional de Heaviside.
La idea es trasladar el problema desde el espacio original de las funcionesy(t)soluciones de la ecuación diferencial –el dominio del tiempo– al espacio de sus transformadasY(s)–el dominio de la frecuencia– donde el problema se expresa en términos de resolver una ecuación algebraica lineal, cuya solución deberá ser antitransformada para obtener la solución de la ecuación dife-rencial original. El método de la transformación de Laplace, en razón de su capacidad para algebrizar los problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, es ampliamente utilizado en la teoría de circuitos y en la teoría de sistemas lineales de control. Estas aplicaciones se estudian a fondo en las asignaturas correspondientes, nosotros daremos una somera introducción al estudio de los sistemas lineales en ingeniería, presentando el concepto básico de función de transferencia.
Definición. Sea f : [0,∞) →R una función continua o continua a trozos. La transformada de Laplace de f es la funciónF definida por
F(s) =
Z ∞
0
f(t)e−stdt
en los valores de spara los que dicha integral impropia es absolutamente convergente. Como los valores de f(t) para t <0, si es que existen, no intervienen en la definición de transformada de Laplace, se suele suponer, simplemente, que f(t) = 0 para t <0 y se dice, en ese caso, que f es una función causal.
Ejemplos. Las siguientes funciones f(t)tienen la transformada de Laplace F(s) indicada
f(t)→F(s) f(t)→F(s) (1) 1→ 1 s (s >0) (2) t n → snn+1! (s >0) (3) sen (t)→ 1 s2+ 1 (s >0) (4) e at → s 1 −a (s > a)
Observaciones. (1) Vemos en todos estos ejemplos que el conjunto de valoress en los que está definida la correspondiente transformada de Laplace es un intervalo de la forma(σf,∞). Esto es
cierto en general porque si la integral R0∞f(t)e−stdtconverge absolutamente para un cierto valor
del parámetrosentonces, por el criterio de comparación, también converge para todos los valores mayores que el dado. El ínfimoσf de los valores de s para los que está definida la transformada
de Laplace F(s) de una función f(t) se llama abscisa de convergencia y puede probarse que la función F es continua en(σf,∞)y que lims→∞F(s) = 0.
(2) No hay ningún problema en considerar valores complejos del parámetros. Sis =σ+jω, entonces
¯
¯e−st¯¯=¯¯e−(σ+jω)t¯¯=¯¯e−σt¯¯¯¯e−jωt¯¯=¯¯e−σt¯¯(cos(ωt)−jsen (ωt)) = ¯¯e−σt¯¯,
de manera que, a la hora de estudiar la convergencia absoluta de R0∞f(t)e−stdt, sólo influye la
parte real de s, y su región de convergencia será un semiplano del plano complejo de la forma
Re(s)> σf.
(3) Cuando la variable t representa el tiempo, el parámetro s tiene las dimensiones de una frecuencia porque en las aplicaciones se exige que e−st sea adimensional. Por ello se dice quef(t)
actúa en el dominio del tiempo y que su transformada de Laplace F(s) actúa en el dominio de la frecuencia.
(4) La notación dada utiliza las letras minúsculas para las funciones que actúan en el dominio del tiempo y las correspondientes letras mayúsculas para sus transformadas de Laplace (f(t)↔
F(s)) y, normalmente, no produce confusiones. Otras notaciones habituales sonL{f} o L{f}. (5) Puede extenderse la noción de transformada de Laplace a algunas funciones f(t) que no son continuas en t = 0 y para las que la integral R0∞f(t)e−stdt es impropia y absolutamente convergente también en el extremo inferior. El ejemplo típico es f(t) = 1/√t cuya transformada de Laplace es F(s) =pπ/s para s >0.
Recordemos que la función Γ de Euler viene dada por Γ(p) = R0∞e−xxp−1dt. Esta integral impropia es convergente si, y sólo si, p > 0. Además, integrando por partes se obtiene que Γ(p+ 1) = pΓ(p) para cualquier p > 0, de lo que deducimos que Γ(n+ 1) = n! para cualquier número naturaln.Si ahora hacemos el cambio de variablex=stcons >0en la anterior integral obtenemos que
Γ(p) =sp
Z ∞
0
e−sttp−1dt.
De esta forma, si a >−1 y consideramos la funciónf(t) =ta,tenemos que L{ta
}(s) = Γ(a+ 1)
sa+1 siempre que s > 0. En particular, si n es un número natural obtenemos que L{tn
}(s) =
Γ(n+ 1)
sn+1 =
n!
sn+1.
(6) Cuando tengamos una función en el dominio de la frecuenciaF(s)y calculemos una función
f(t)en el dominio del tiempo cuya transformada de Laplace sea la funciónF dada, diremos que
f es latransformada de Laplace inversao, más coloquialmente, laanti-transformadadeF, lo que se suele escribirf =L−1
{F}. Puede probarse que f es única salvo, a efectos prácticos, cambios de sus valores en un númerofinito de puntos.
(7) No todas las funciones continuas admiten transformada de Laplace. El ejemplo típico de esta situación es la funciónf(t) =et2.
Definición. Lafunción de Heaviside, ofunción de salto en el origen,viene dada por
h0(t) = ½
0 si t <0 1 sit >0.
Lafunción de salto en un punto a≥0 se define de la siguiente manera
ha(t) =h0(t−a) = ½
0 si t < a
1 si t > a.
El valor de ha(t) en el punto t = a no lo hemos definido y, de hecho, en el contexto de la
transformación de Laplace no influye a la hora de calcular las integrales que aparecen. A veces se pone el valor 0 para que sea continua por la izquierda, a veces se pone 1 para que sea continua por la derecha y otras veces se pone 1/2.
No existe una notación muy extendida para la función de salto. Nosotros usamosha(t) (“h”
por Heaviside y minúscula para mantener el convenio de usar letras minúsculas para las funciones en el dominio del tiempo) pero en otros libros aparece Ha(t) o u(t). Estas funciones son muy
útiles para trabajar con funciones discontinuas; esto lo veremos en especial cuando estudiemos cómo se aplica la transformación de Laplace a la resolución de ecuaciones diferenciales lineales.
Calculando la correspondiente integral, es muy fácil ver que la transformada de Laplace de la función de saltoha(t) =h0(t−a) esHa(s) =
e−as
s paras >0.
Propiedades de la transformación de Laplace. Vamos a describir ahora algunas de las propiedades más importantes de la transformación de Laplace. Éstas nos permitirán construir nuevas parejasf(t)↔F(s) sin necesidad de calcular directamente las integrales impropias.
Linealidad. Si a y b son números reales entonces la transformada de Laplace de af(t) +bg(t)
es aF(s) +bG(s) para s >max{σf, σg}. O sea,
L{af +bg}(s) =aL{f}(s) +bL{g}(s).
Una consecuencia sencilla de esta propiedad es queL(senh(at))(s) = a
s2 −a2 yL(cosh(at))(s) =
s
s2−a2 siempre que s >|a|.
Ejemplo. Un pulso rectángular es una función constante y no nula en un cierto intervalo de tiempo [t1, t2] que vale cero fuera de dicho intervalo, o sea,
f(t) =
½
k si t1 < t < t2,
0 en otro caso.
Escribiendo f(t) =k(ht1(t)−ht2(t)) =k(h0(t−t1)−h0(t−t2)), la propiedad de linealidad nos dice que su transformada de Laplace es F(s) = k
s (e
−t1s
−e−t2s).
Dilatación en el dominio del tiempo. Si a es un número real positivo y consideramos
g(t) =f(at), entoncesG(s) = a1F ¡sa¢.
Ejemplo. Como aplicación de esto vemos que sia >0 y tomamosf(t) = sen(t)(cuya transfor-mada ya conocemos y vale F(s) = a
s2 +a2 para s > 0), entonces L(sen(at))(s) =
a
s2 +a2 para
s > 0. Usando que la función seno es impar, obtenemos sin dificultad que la anterioe fórmula también es válida para a <0.
Traslación en el dominio de la frecuencia. Siaes un número real entonces la transformada de Laplace de eatf(t)es F(s
−a) para s > a+σf. O sea, L{eatf(t)}(s) =L{f}(s−a).
Ejemplos. Aplicando esta propiedad obtenemos que L{eattn
}(s) = n! (s−a)n+1 para s > a, L{eattb }(s) = Γ(b+ 1) (s−a)b+1 para s > a yL{e atsen (bt) }(s) = b (s−a)2+b2 para s >|a|.
Traslación en el dominio del tiempo. Sia ≥0 es un número real entonces la transformada de Laplace de la función trasladadaf(t−a)h0(t−a)ese−asF(s)para s > σf. En otras palabras,
L{f(t−a)h0(t−a)}(s) =e−asL{f}.
Transformada de Laplace de una función periódica. Sea f(t) una función periódica de período T, o sea f(t+T) =f(t) para todo t≥0. La transformada de Laplace F(s)de f(t)es
L{f}(s) =F(s) = 1 1−e−sT
Z T
0
e−stf(t)dt.
Derivada de la transformada de Laplace. La transformada de LaplaceF(s)de una función
f(t) es derivable y se tiene que F0(s) es la transformada de Laplace de −tf(t) para s > σ
hecho, por inducción, se tiene que
L{tnf(t)}(s) = (−1)nd n
L{f}
dsn para n= 1,2, . . . ys > σf.
Transformada de Laplace de una derivada y de una integral. La transformada de Laplace de la derivadaf0(t) de una función derivablef(t) essF(s)−f(0)para s > σf. Es decir,
L{f0}(s) =sL{f}−f(0).
Ejemplo. Si tomamos f(t) = sen(at), tenemos que L{acos(at)}(s) = sL{sen(at)}(s)−sen(0).
Es decir,L{cos(at)}(s) = s
s2+a2 para s >0.
Aplicando esta propiedad a f0 tenemos, como consecuencia, la transformada de la derivada
segunda
L{f00}(s) =s2L{f}(s)−sf(0)−f0(0).
Análogamente, aplicándolo a la función integralR0tf(τ)dτ, tenemos
L ½Z t 0 f(τ)dτ ¾ (s) = 1 sF(s).
Teoremas del valor inicial yfinal. (1)Teorema del valor inicial: Si existe lim
s→∞sF(s), entonces
lim
s→∞sF(s) = limt→0+f(t). (2)Teorema del valor final: Si existe lim
t→∞f(t) y la abscisa de convergencia esσf <0, entonces
lim
t→∞f(t) = lims→0sF(s).
Antes de continuar, recopilamos aquí algunas de las transformadas obtenidas:
f(t)→F(s) f(t)→F(s) (1) 1→ 1 s (s >0) (2) e attn → (s n! −a)n+1 (s > a) (3) eattb → (Γs(b+ 1) −a)b+1 (s > a) para b >−1 (4) e at → s 1 −a (s > a) (5) eatsen (bt)→ b (s−a)2+b2 (s >0) (6) e atcos(bt) → (s s−a −a)2+b2 (s >0) (7) senh(at)→ a s2−a2 (s >|a|) (8) cosh(at)→ s s2−a2 (s >|a|) (9) 1/√t→pπ/s (s >0) (10) ha(t)→ e−as s (s >0)
2
Aplicación a las ecuaciones diferenciales lineales de
se-gundo orden.
Supongamos que tenemos el problema de valores iniciales
y00(t) +py0(t) +qy(t) =r(t) con y(0) =y0 e y0(0) =y00.
El método de la transformación de Laplace para resolver este problema consiste en calcular las transformadas de Laplace de ambos miembros de esta ecuación. Para ello necesitamos saber qué relación hay entre las transformadas de Laplace de una función y de su derivada. Sean
Y(s) =L{y(t)}(s) y R(s) = L{r(t)}(s). Entonces, calculando las transformadas de Laplace de ambos miembros de esta ecuación, tenemos
s2Y(s)−sy(0)−y0(0) +p[sY(s)−y(0)] +qY(s) =R(s).
Reordenando y usando las condiciones iniciales, nos queda
(s2+ps+q)Y(s) =R(s) + (s+p)y0+y00, de donde Y(s) = R(s) + (s+p)y0+y 0 0 s2+ps+q .
Esto nos proporciona la transformada de Laplace Y(s)de nuestra solución, así que
y(t) =L−1{Y(s)}
y la cuestión ahora es calcular la transformada inversa. Veamos un ejemplo. Ejemplo. Vamos a resolver el problema de valor inicial
y00+ 5y0+ 6y= 2e−t cony(0) = 1e y0(0) = 0. Como L{2e−t
}= 2L{e−t
}= 2
s+ 1, la transformada de Laplace de la solución y es
Y(s) = 2 s+ 1 +s+ 5 s2+ 5s+ 6 = 2 (s+ 1)(s+ 2)(s+ 3) + s+ 5 (s+ 3)(s+ 2).
Para hallar la transformada inversa de Y(s), descomponemos en fracciones simples
Y(s) = 1 s+ 1 + 1 s+ 2 − 1 s+ 3,
con lo que, de acuerdo con la tabla de transformadas,
y(t) =L−1{Y}=L−1 ½ 1 s+ 1 ¾ +L−1 ½ 1 s+ 2 ¾ −L−1 ½ 1 s+ 3 ¾ =e−t+e−2t−e−3t.
El método de la transformación de Laplace convierte la ecuación diferencial
y00(t) +py0(t) +qy(t) =r(t) cony(0) =y0 e y0(0) =y00 en un problema sin derivadas
Y(s) = R(s) + (s+p)y0+y
0
0
s2+ps+q
que puede resolverse descomponiendo en fracciones simples y, después, calculando la transformada inversa de cada fracción usando la tabla de paresf(t)↔F(s)conocidos.
Una observación importante es que el denominador s2 + ps+q que aparece a la derecha coincide con la ecuación auxiliar de la ecuación diferencial. La función (s2+ps+q)−1, que no depende del término independienter(t) de la ecuación diferencial, sino de los coeficientes de y00, y0 ey, se llamafunción de transferencia de la ecuación; volveremos sobre ella en la última sección
de la lección.
Usando la propiedad de la derivada de la transformada de Laplace, podemos emplear este método para ecuaciones con coeficientes polinómicos.
Ejemplo. La función de Bessel de orden cero J0(t) es la solución de la ecuación de Bessel
ty00 +y0 +ty = 0 tal que y(0) = 1. Es posible construir esta función mediante una serie de
potencias: J0(t) = 1− t2 22 + t4 22·42 − t6 22·42·62 +· · · ,
Veamos cómo calcular su transformada de Laplace. Si aplicamos la transformación de Laplace a la ecuación nos queda
− d ds ¡ s2Y(s)−s−y0(0)¢+sY(s)−1− d dsY(s) = 0, o sea, (s2+ 1)Y0 =−sY.
Separando variables e integrando resulta Y(s) = √ c
s2+ 1 para una cierta constante c. Usando el teorema del valor inicial puede verse quec= 1, así que
L{J0(t)}(s) =
1
√
s2+ 1.
En la práctica pueden darse ecuaciones que contienen tanto derivadas como integrales de la función incógnita. Un ejemplo típico es la ecuación de un circuito LRC que puede escribirse con la intensidad de corriente i(t) como incógnita
Li0(t) +Ri(t) + 1
C
Z t
0
i(τ)dτ =e(t) coni(0) =i0.
Naturalmente, podemos derivar y transformar esta ecuación en una ecuación diferencial con la carga q(t) como incógnita. Sin embargo, podemos trabajar con la integral usando la fórmula para la transformada de Laplace de una integral. Llamando I(s) =L{i(t)}nos queda
L(sI(s)−i0) +RI(s) +
1
luego
I(s) = L{e(t)}+Li0
sL+R+ 1
Cs .
Ecuaciones con término independiente discontinuo. Si el segundo miembro r(t) de la ecuacióny00(t) +py0(t) +qy(t) =r(t)es una función discontinua, por ejemplo una función con un salto, difícilmente podemos esperar que la ecuación tenga una solución con derivada continua. Los métodos que vimos en las lecciones anteriores no sirven para hallar una solución. Sin embargo, el método de la transformación de Laplace sí permite trabajar con este tipo de ecuaciones mediante las propiedades de las funciones de salto ha(t) y sus transformadas.
Ejemplo. Tenemos un circuito RC (o sea, con L = 0) en reposo (o sea, con i(0) = 0) que se conecta con una pila de v0 voltios durante t0 segundos. La ecuación que gobierna la intensidad de corriente en el circuito es Ri(t) + 1 C Z t 0 i(τ)dτ = ½ v0 si 0< t < t0, 0 si t > t0. ¾ =v0(h0(t)−ht0(t)) = v0(1−h0(t−t0)). LlamandoI(s) =L{i(t)}y usando la transformación de Laplace nos queda
RI(s) + 1 CsI(s) = v0 s ¡ 1−e−t0s¢, luego I(s) = v0/R s+ (1/RC) ¡ 1−e−t0s¢.
Usando las propiedades de traslación en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia para calcular la transformada inversa obtenemos, finalmente, la solución
i(t) =L−1{I(s)}= v0 R ¡ e−t/RC −e−(t−t0)/RCh 0(t−t0) ¢ , o, más cómodamente, i(t) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ v0 Re −t/RC si 0< t < t 0, v0 Re −t/RC¡1 −et0/RC¢ si t > t 0.
Aplicación de la transformación de Laplace a la resolución de sistemas. Una buena opción, sobre todo para el caso de un problema de valor inicial (en el origen) de dimensión no muy alta
y0(t) =Ay(t) +f(t) con y(0) =y0, es transformar ambos miembros coordenada a coordenada. Si llamamos
L{y(t)}= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ L{y1(t)} L{y2(t)} .. . L{yn(t)} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ y L{f(t)}= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ L{f1(t)} L{f2(t)} .. . L{fn(t)} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦,
entoncesL{y0(t)}=sL{y(t)}−y0, con lo que obtenemos
sL{y(t)}−y0 =AL{y(t)}+L{f(t)}. Es decir,L{y(t)} es la solución del sistema de ecuaciones escalares
(sI −A)L{y(t)}=y0+L{f(t)}, o bien,L{y(t)}= (sI −A)−1[y0+L{f(t)}].
Una vez hallado el vectorL{y(t)} de las transformadas de Laplace de las componentes de la solucióny(t) para obtener ésta, basta anti-transformar.
Ejemplo. Consideremos el problema de valor inicial
y0 = ∙ 1 −1 −1 1 ¸ y+ ∙ t 3−t ¸ cony(0) = ∙ 0 7 ¸ .
Si llamamosY1(s) =L{y1(t)} e Y2(s) =L{y2(t)}, entonces el sistema transformado es
∙ sY1(s) sY2(s)−7 ¸ = ∙ 1 −1 −1 1 ¸∙ Y1(s) Y2(s) ¸ + ∙ s−2 3s−1 −s−2 ¸ ,
donde hemos usado que
L{y10(t)}=sY1(s)−y1(0), L{y20(t)}=sY1(s)−y2(0) y L{tn}= (n!)s−n−1. Ahora ordenamos el sistema pasando todas las incógnitas al primer miembro y nos queda
∙ s−1 1 1 s−1 ¸∙ Y1(s) Y2(s) ¸ = ∙ s−2 7 + 3s−1 −s−2 ¸ .
Resolvemos este sistema aplicando la regla de Cramer (o también se podría usar, intercambiando el orden de las ecuaciones, el método de eliminación de Gauss) obteniendo
Y1(s) = (s−1)s−2 −(7 + 3s−1 −s−2) (s−1)2−1 = −7−2s−1 s(s−2) = −7s−2 s2(s−2) Y2(s) = (s−1)(7 + 3s−1 −s−2) −(s−2) (s−1)2−1 = 7s−4−4s−1 s(s−2) = 7s2 −4s−4 s2(s−2) .
Para hallar las anti-transformadas, descomponemos en fracciones simples. Para la primera com-ponente, tenemos Y1(s) = − 7s−2 s2(s−2) = a s2 + b s + c s−2 = a(s−2) +bs(s−2) +cs2 s2(s−2) de donde, identificando los coeficientes de los numeradores,
con lo que a= 1, b= 4 yc=−4, así que y1(t) =L−1 ½ 1 s2 + 4 s + −4 s−2 ¾ =t+ 4−4e2t.
Para la segunda componente, tenemos
Y2(s) = 7s2 −4s−4 s2(s−2) = a s2 + b s + c s−2 = a(s−2) +bs(s−2) +cs2 s2(s−2) de donde, identificando los coeficientes de los numeradores,
b+c= 7, a−2b=−4 y −2a=−4,
con lo que a= 2, b= 3 yc= 4, así que
y2(t) =L−1 ½ 2 s2 + 3 s + 4 s−2 ¾ = 2t+ 3 + 4e2t.
Observación. En los ejemplos de esta sección hemos visto que el último paso en la aplicación de la transformación de Laplace es el cálculo de una transformada inversa. Las tres ideas básicas para anti-transformar son, en espíritu, las mismas que las del cálculo de primitivas: conocer las anti-transformadas de las funciones más usuales, saber aplicar técnicas básicas (específicamente, la descomposición en fracciones simples) para reducir una transformada complicada a una com-binación de transformadas más simples y conocer los teoremas sobre transformadas para poder aplicarlos. De todas formas, existen tablas de transformadas de Laplace que recogen la práctica totalidad de las que suelen aparecer en las aplicaciones a las diversas ramas de la ingeniería.
3
El producto de convolución.
Producto de convolución. No es cierto que la transformada de Laplace de un producto sea el producto de las transformadas de Laplace de los factores: L{f g} 6= L{f}L{g} en general. Sin embargo, el cálculo de la transformada inversa de un producto L{f}L{g} puede hacerse de manera relativamente simple.
Definición. Dadas dos funciones f, g : [0,∞) → R, su producto de convolución es la función
f ∗g definida para t≥0 por
(f ∗g)(t) =
Z t
0
f(τ)g(t−τ)dτ .
El producto de convolución tiene una serie de propiedades fáciles de probar. Por ejemplo, es conmutativo, asociativo y distributivo:
f∗g =g∗f, f ∗(g∗h) = (f ∗g)∗h, y (af +bg)∗h=a(f ∗h) +b(g∗h).
La propiedad más importante es la expresión de su transformada de Laplace.
Transformada de Laplace del producto de convolución. Dadasf, g : [0,∞)→R, se tiene que
4
La función delta de Dirac.
En muchas situaciones de la ingeniería se busca la respuesta de un sistema cuando se le aplica una fuerza externa muy intensa pero durante un intervalo muy corto de tiempo, lo que se conoce como una fuerza impulsiva. Para modelar estas situaciones se introduce un objeto, la función delta de Dirac δt0(t), ofunción de impulso, mediante las siguientes propiedades:
δt0(t) = dht0(t) dt = ½ 0 si t6=t0, ∞ si t=t0, Z ∞ −∞ δt0(t)dt= 1, y Z ∞ −∞ δt0(t)f(t)dt=f(t0). La función delta de Dirac no es una función en el sentido habitual, pero es un ejemplo de lo que se conoce como funciones generalizadas o distribuciones para las que existen las co-rrespondientes nociones de derivada e integral. Manejadas con cuidado, las propiedades que hemos mostrado proporcionan resultados de contenido práctico que no se pueden obtener por los métodos usuales, lo que hace de esta función una herramienta muy útil. Como tal, la función delta de Dirac es físicamente irrealizable, pero podemos aproximarla suficientemente bien de una manera que, además, nos permite entender de dónde vienen sus propiedades. Nunca debemos ver estas funciones generalizadas como una regla que a cada valor (número) le asigna otro, para manipularlas correctamente hay que entender cómo actúan al interactuar con otras funciones. Analicemos esto con detalle.
Para cada n= 1,2, . . ., sean dn(t) la función definida por
dn(t) = ½ n sit0 ≤t < t0+ 1/n, 0 en otro caso, ygn(t) la función integral dedn(t), gn(t) = Z t 0 dn(τ)dτ = ⎧ ⎨ ⎩ 0 si t < t0, n(t−t0) si t0 ≤t ≤t0+ 1/n, 1 si t≥t0+ 1/n. Entonces g0
n(t) = dn(t) salvo para t = t0 y t = t0 + 1/n. Si tomamos límite para n → ∞ obtenemos lim n→∞dn(t) =δt0(t) = ½ 0 sit 6=t0, ∞ sit =t0, y nlim→∞gn(t) =ht0(t) = ½ 0 si t < t0, 1 si t > t0, Por otro lado,R−∞∞ dn(τ)dτ = 1 para todon= 1,2, . . ., así que lim
n→∞
R∞
−∞dn(τ)dτ = 1. Ahora, si
f(t)es una función cualquiera continua en t0, se tiene
min [t0,t0+1/n] f(t)≤ Z t0+1/n t0 f(τ)dn(τ)dτ = Z ∞ −∞ f(τ)dn(τ)dτ ≤ max [t0,t0+1/n] f(t).
De nuevo, tomando límite para n→ ∞, obtenemos
f(t0) = lim
n→∞
Z ∞ −∞
Calculemos ahora las transformadas de LaplaceDn(s) =L{dn}(s) Dn(s) =L{n ¡ ht0(t)−ht0+1/n(t) ¢ }(s) = n se −t0s¡1 −e−s/n¢. Luego lim n→∞Dn(s) = limn→∞ n se −t0s¡1 −e−s/n¢=e−st0,
lo que justifica enunciar que la transformada de Laplace de la función delta de Dirac es
L{δt0}(s) =e
−st0
que, además, enlaza con la propiedad de la transformada de una derivada
L{δt0}(s) =sL{ht0}(s)−ht0(0).
y afianza la afirmación de que la función delta es la derivada de la función de salto.
Igual que con la función de salto, teniendo en cuenta queδt0(t) =δ0(t−t0), es cómodo usar sólo la función delta en el origen δ0 para la que, en particular, se tiene que L{δ0}= 1. Así, sif es causal, podemos escribir
f(t0) = Z ∞ −∞ δt0(t)f(t)dt= Z t0 0 δ0(t−t0)f(t)dt = Z t0 0 δ0(t0−t)f(t)dt = (f ∗δ0)(t0) lo que se conoce como propiedad de replicación o de cribado.
La función de transferencia. Un circuito LRC o un muelle son ejemplos típicos de lo que en ingeniería se suele llamar un sistema. Si tenemos el circuito en reposo, continuará así salvo que le proporcionemos un estímulo externo, una fuerza electromotriz. Ante este estímulo el circuito responde con una corriente eléctrica. Análogamente, un muelle en reposo continuará así salvo que apliquemos un estímulo externo, que será una fuerza mecánica en este caso, a la que el muelle contestará moviéndose. En general, un sistema es un dispositivo que produce respuestas de salida
y(t) a estímulos de entrada u(t). Tanto el circuito como el muelle son sistemas regidos por una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes
ay00(t) +by0(t) +cy(t) =u(t)
donde u(t) es el estímulo de entrada e y(t) es la respuesta de salida a dicho estímulo. En esta ecuación, el miembro izquierdoay00(t) +by0(t) +cy(t) es, digamos, lo intrínseco al sistema, lo que
hace que el sistema responda de una determinada manera ante el estímulo externo u(t).
Se dice que un sistema es invariante en el tiempo cuando estímulos iguales, pero aplicados con una diferencia en el tiempo, producen respuestas iguales pero con la misma separación en el tiempo. Se dice que un sistema es lineal cuando la respuesta a la suma de dos estímulos es la suma de las respuestas a cada uno de ellos; esto se conoce como principio de superposición. Cuando el estímulo se produce en un instante dado, que se toma como t0 = 0, al no tener en cuenta lo que ocurre antes de ese instante, podemos poner u(t) = 0 si t < 0 y se dice u(t) que es una función causal. Se dice que el sistema es causal si la respuesta de salida a una función causal, es también una función causal o, en otras palabras, si la respuesta de salida y(t) en un
instante t depende sólo de los valores del estímulo u(τ) con τ ≤ t, o sea en ese instante y en instantes anteriores.
Los sistemas gobernados por ecuaciones diferenciales lineales de segundo (o mayor) orden con coeficientes constantes y condiciones iniciales dadas en t0 = 0 son ejemplos de sistemas lineales, causales e invariantes en el tiempo. Dado un sistema lineal, causal e invariante en el tiempo, se define su función de transferencia como el cociente entre las transformadas de Laplace de la repuesta de salida y el estímulo de entrada
G(s) = L{y(t)} L{u(t)} =
Y(s)
U(s).
Las propiedades de linealidad e invariancia en el tiempo permiten probar que esta función sólo depende de los componentes intrínsecos del sistema, no de la entrada que se tome; es decir, si
y1(t)e y2(t)son las respuestas de salida a sendos estímulos u1(t) yu2(t) entonces
Y1(s)
U1(s)
= Y2(s)
U2(s)
=G(s).
Esto se ve fácilmente en el caso de un sistema gobernado por la ecuación diferencial
ay00(t) +by0(t) +cy(t) =u(t)
que parte del reposo, es decir, con y(0) = y0(0) = 0. Al aplicar la transformación de Laplace
tenemos que
Y(s) = U(s)
as2+bs+c o, en otros términos, su función de transferencia es
G(s) = 1
as2+bs+c =
Y(s)
U(s).
Vemos que, efectivamente, la función de transferencia sólo depende de los componentes intrínsecos del sistema (a = L, b = R y c = 1/C en el caso de un circuito). Esto es así en muchos casos de interés y el conocimiento de la función de transferencia permite analizar completamente el sistema; yendo más lejos, se pueden diseñar sistemas con propiedades específicas, por ejemplo, un filtro de baja frecuencia o un amplificador, encontrando una función de transferencia adecuada.
Si en la relación Y(s) = G(s)U(s) tomamos como estímulo de entrada la función delta de Dirac δ0(t), entonces la transformada de Laplace de la respuesta del sistema será Y(s) = G(s), la función de transferencia, y su transformada inversa
g(t) =L−1{G(s)}
se llamarespuesta al impulso unidad o función de transferencia en el dominio del tiempo. Si, en cambio, tomamos como estímulo de entrada la función de Heaviside h0(t), entonces la transformada de Laplace de la respuesta del sistema seráY(s) = s−1G(s) y su transformada inversa a(t) =L−1 ½ G(s) s ¾
se llama admitancia. Puesto queL{a(t)} = G(S)
s , se tiene que la respuesta al impulso unidad
es la derivada de la admitancia: g(t) =a0(t).
Volviendo a la relación Y(s) = G(s)U(s) para un estímulo de entrada general u(t), si cono-cemos la respuesta al impulso unidad g(t), entonces se tiene que
y(t) =L−1{G(s)U(s)}= (g∗u)(t) = Z t 0 u(t−τ)g(τ)dτ = Z t 0 g(t−τ)u(τ)dτ ,
o sea, la respuesta de salida es la convolución de la respuesta al impulso unidad con el estímulo de entrada. Esta igualdad se conoce como primera fórmula de Duhamel y puede interpretarse de la manera siguiente: Aproximamos el estímulo u(t) como una suma de estímulos impulsivos
u(τk)de corta duración ∆τk ocurridos en instantes anteriores τk,
u(t)≈X k
u(τk)δ(t−τk)∆τk.
Ahora aplicamos el principio de superposición, usando que g(t−τk) es la respuesta del sistema
al impulso unidad δ(t−τk), para obtener
y(t)≈X k
g(t−τk)u(τk)∆τk
que no es más que una suma de Riemann de la integral
y(t) = Z t 0 u(t−τ)g(τ)dτ = Z t 0 g(t−τ)u(τ)dτ ≈X k g(t−τk)u(τk)∆τk.
Si en vez de la respuesta al impulso, lo que conocemos es la admitanciaa(t), entonces se tiene que Y(s) =sL{a(t)}L{u(t)}=sL{a∗u}, luego y(t) = d dt(a∗u)(t) = d dt Z t 0 u(t−τ)a(τ)dτ =a(t)u(0) + Z t 0 u0(t−τ)a(τ)dτ
que se conoce como segunda fórmula de Duhamel. De nuevo vemos que el conocimiento de g(t)
o de a(t)caracterizan el sistema.
Podemos usar la noción de función de transferencia para describir la estabilidad de un sistema. Si escribimos la ecuación diferencial que gobierna un sistema
y00(t) +py0(t) +qy(t) = 0
como un sistema de ecuaciones diferenciales lineales
∙ y10(t) y0 2(t) ¸ = ∙ 0 1 −q −p ¸∙ y1(t) y2(t) ¸ ,
los autovalores de la matriz de los coeficientes son las raíces de la ecuación ¯ ¯ ¯ ¯ −−λq −p1−λ ¯ ¯ ¯ ¯=λ2 +pλ+q= 0
que coincide con la ecuación auxiliar de y00(t) +py0(t) +qy(t) = 0 y también con el
denomi-nador de la función de transferencia G(s) = (s2 +ps+q)−1. Los ceros de este denominador se llamanpolos de la función de transferencia por lo que el teorema de estabilidad de los sistemas de ecuaciones lineales que vimos en la lección anterior se puede reformular, en este caso particular, de la siguiente manera.
Teorema de estabilidad. (1)La solución nula de una ecuación lineal de coeficientes constantes es asintóticamente estable si, y sólo si, todos los polos de la función de transferencia tienen parte real estrictamente negativa.
(2) La solución nula de una ecuación lineal de coeficientes constantes es inestable si alguno de los polos de la función de transferencia tienen parte real estrictamente positiva.
Aunque el enunciado de este teorema sólo menciona la estabilidad de la solución de equilibrio, en el caso lineal puede comprobarse quetodaslas soluciones tienen el mismo tipo de estabilidad que la solución nula.
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Ejercicios.
Ejercicio 1. ¿Cuál es la transformada de Laplace de la función que a cada número real le asigna su parte entera?
Ejercicio 2. Prueba lapropiedad de homotecia en el tiempo de la transformada de Laplace: Si
F(s) =L{f(t)} yα >0, entoncesL{f(αt)}= F(s/α)
α .
Ejercicio 3. Comprueba que las siguientes funcionesf tienen la transformada de LaplaceF que se indica (h0 es la función de salto.)
1. f(t) = (t−2)3h 0(t−2) → F(s) = 6e−2s s4 . 2. f(t) =h0(t−2π)sen (t) → F(s) = e−2πs s2+ 1. 3. f(t) =tsen (at) → F(s) = 2as(s2+a2)−2. 4. f(t) =e−tcos(2t) + 3e−tsen (2t) → F(s) = s+ 7 s2+ 2s+ 5.
Ejercicio 4. Las siguientes funciones f se definen sobre un intervalo y se extienden periódica-mente. Dibújalas y halla sus transformadas de Laplace.
1. La función rectangular de período T f(t) =
½
k, si 0< t < T /2;
2. La función de onda dentada f(t) =t/T para 0< t < T. 3. La función de onda triangular
f(t) =
½
t/T, si0< t < T; (2T −t)/T, siT < t < 2T.
4. La función de onda sinusoidal rectificada f(t) = sen (πt/T)si 0< t < T. 5. La función de onda sinusoidal semi-rectificada
f(t) =
½
sen(πt/T), si 0< t < T; 0, si T < t <2T.
Ejercicio 5. Comprueba que las siguientes funciones F(s) tienen la transformada inversa de Laplace f(t)que se indica.
F(s)→f(t) F(s)→f(t) (1) 1 s5 → t4 24 (2) 3s+ 5 s2+ 4 →3 cos(2t) + 5 2sen (2t) (3) 1 s2 +s4 →t−sen (t) (4) 1 (s+ 2)2 →te− 2t (5) e−2s/s →h0(t−2) (6) e−2s 3 s2 →3(t−2)h0(t−2) (7) e−4s 3 s−2 →3e 2(t−4)h 0(t−4) (8) s s2+ 4s+ 5 →e −2t(cos(t) −2sen (t)) (9) a s(s−a) →e at −1 (10) 2 (s+ 1)(s2+ 1) →(e− t+ sen (t) −cos(t)).
Ejercicio 6. Resuelve los siguientes problemas de valor inicial usando el método de la transfor-mación de Laplace. 1. y00+y=t cony(0) = 1 ey0(0) =−2. 2. y00−3y0+ 2y= 4t−6 cony(0) = 1 e y0(0) = 3. 3. y00−6y0+ 9y=t2e3t cony(0) = 2 ey0(0) = 6. 4. y00+ 2y0+ 2y=e−tsen (t) cony(0) = 1 ey0(0) = 1. 5. y00−y0−2y= 4t2 cony(0) = 1 e y0(0) = 4.
Ejercicio 7. Resuelve los siguientes problemas de valor inicial con término independiente con-tinuo a trozos
1. y0 +y=
½
t, si0< t <1;
2. y00+ 4y=
½
8π−4t, si 0< t <2π;
0, en otro caso, con y(0) = 2, y0(0) = 0.
3. y00+ 16y=
½
cos(4t), si0< t < π;
0, en otro caso, con y(0) = 0, y0(0) = 1.
4. y00+ 3y0+ 2y=
½
0, si 0< t <2;
e−3t, en otro caso, cony(0) = 2, y0(0) =−3.
5. y00+ 3y0+ 2y=
½
1, si 0< t <1;
0, en otro caso, cony(0) = 0, y0(0) = 0.
Ejercicio 8. Usando la transformación de Laplace, resuelve el problema de valores iniciales para un circuito LRC Li0(t) +Ri(t) + 1 C Z t 0 i(τ)dτ =e(t) coni(0) =i0 en los siguientes casos.
1. e(t) =e0 constante.
2. e(t) =e0cos(ωet)conωe 6= 0.
3. e(t) es un pulso dee0 voltios durante t0 segundos.
Ejercicio 9. Aplica la transformación de Laplace para resolver las siguientes ecuaciones íntegro-diferenciales. 1. Z t 0 f(τ) √ t−τ dτ = 1. 2. y(t) =t2+Rt 0 sen (t−τ)y(τ)dτ. 3. y00(t) +Rt 0e 2(t−τ)y0(τ)dτ =e2t cony(0) =y0(0) = 0. 4. y(t) = 3t2 −e−t −R0ty(τ)e t−τdτ.
Ejercicio 10. Determina las funciones de transferencia y las respuestas al impulso unidad de los sistemas gobernados por las siguientes ecuaciones diferenciales
1. y00+ 5y0+ 6y=u(t). 2. Ri0(t) + 1 C Rt 0 i(τ)dτ =e(t). 3. y00+ 2y0+ 5y= 3u0+ 2u conu(0) = 0. 4. y000+ 5y00+ 17y0+ 13y=u00+ 5u0+ 6u conu(0) =u0(0) = 0.
Ejercicio 11. La admitancia de un sistema es a(t) = 1− 73e−t+ 3 2e− 2t − 16e− 4t. Determina su función de transferencia.
Ejercicios y cuestiones de exámenes de cursos anteriores.
Ejercicio 12. Enuncia y demuestra la propiedad de la transformada de Laplace de una integral y úsala para calcular la transformada de Laplace de la función definida para t ≥0por
f(t) =
Z t
0
τ2e−τdτ .
Ejercicio 13. Halla la transformada de Laplace inversa deF(s) = 1−2s
s(s2 + 1). Ejercicio 14. Resuelve el problema de valor inicial
y0 +y =
½
1−t2, si 0< t <1;
0, en otro caso, con y(0) = 1.
Ejercicio 15. Resuelve el problema de valor inicial
y00+y0−2y=f(t) cony(0) = 0e y0(0) = 0, siendo f(t) la función cuya gráfica se representa en la siguientefigura
( ) f t 1 1 0 t ( ) f t 1 1 0 t
Ejercicio 16. (1) Resuelve el problema de valor inicial
f0(t) + tan(t)f(t) = 1
cos(t) conf(0) = 0.
(2) Resuelve, usando la transformación de Laplace, el problema de valor inicial
y00(t) +y(t) =
½
f(t), si0< t <2π;
0, en otro caso, con y(0) = 1e y
0(0) = 0.
siendo f(t) la solución del apartado anterior. Escribe el valory(8) con tres cifras decimales. Ejercicio 17. Resuelve la ecuación integral
e−t =y(t) + 2
Z t
0
Ejercicio 18. La función de Bessel de primer orden J1(t) es la solución del problema de valor inicial
t2y00+ty0+ (t2−1)y= 0 cony(0) = 0e y0(0) = 1/2. Calcula la transformada de Laplace deJ1(t).
Ejercicio 19. Resuelve el problema de valor inicial
y0 +y=δ0 +δ3 cony(0) = 1,
siendoδ la función delta de Dirac. Escribey(4) con dos cifras decimales. Ejercicio 20. Resuelve el problema de valor inicial
y00+y=δ0(t) +δ0(t−π) con y(0) = 1e y0(0) = 0 y dibuja la gráfica de su solución en el intervalo0≤t≤2π.
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Bibliografía.
Para desarrollar esta lección pueden consultarse los siguientes textos, en especial el de Simmons y el de James (que incluye algunas aplicaciones a la ingeniería).
[517,9/2-BRA] M. Braun,Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones, Capítulo 2.
[517.9/3-EDW] C.H. Edwards y D.E. Penney, Ecuaciones diferenciales elementales, Capítulo 4. [51:62/ADV] G. James, Advanced Modern Engineering Mathematics, Capítulo 9.
